PEWARNAAN TITIK / SIMPULrizkimuliono.blog.uma.ac.id/.../sites/365/2017/10/PEWARNAAN_graph.pdf ·...

20
PEWARNAAN TITIK / SIMPUL A. Pengertian. Pewarnaan titik / simpul adalah memberikan warna pada titik titik pada graph sedemikian sehingga setiap dua titik yang bertetangga (berhubungan langsung) mempunyai warna yang berbeda. Dua titik yang bertetangga (berhubungan langsung) adalah dua titik yang dihubungkan oleh sebuah sisi. Contoh 1 : vvv 4 v 3 Titk v 1 bertetangga dengan titik v 2 dan v 4 dan tidak bertetangga dengan titik v 3 , berarti titik titik v 1 tidak boleh berwarna sama dengan titik v 2 dan v 4 tetapi boleh berwarna sama dengan titik v 3 . Dalam pewarnaan graph, kita tidak hanya sekedar mewarnai titik titik dengan warna yang berbeda dari warna titik yang bertetangga saja, tetapi kita juga menginginkan jumlah macam warna yang digunakan seminimum mungkin. Dan pewarnaan titik di sisi dibatasi pada graph sederhana atau graph yang tidak mempunyai sisi rangkap atau gelung. Contoh 2 : v 1 v 2 v 6 v 7 v 3 v 5 v 4 G

Transcript of PEWARNAAN TITIK / SIMPULrizkimuliono.blog.uma.ac.id/.../sites/365/2017/10/PEWARNAAN_graph.pdf ·...

Page 1: PEWARNAAN TITIK / SIMPULrizkimuliono.blog.uma.ac.id/.../sites/365/2017/10/PEWARNAAN_graph.pdf · Pewarnaan titik / simpul adalah memberikan warna pada titik – titik pada graph sedemikian

PEWARNAAN TITIK / SIMPUL

A. Pengertian.

Pewarnaan titik / simpul adalah memberikan warna pada titik – titik pada graph sedemikian

sehingga setiap dua titik yang bertetangga (berhubungan langsung) mempunyai warna yang

berbeda. Dua titik yang bertetangga (berhubungan langsung) adalah dua titik yang dihubungkan

oleh sebuah sisi.

Contoh 1 :

v₁ • • v₂

v4 • • v3

Titk v1 bertetangga dengan titik v2 dan v4 dan tidak bertetangga dengan titik v3, berarti titik

titik v1 tidak boleh berwarna sama dengan titik v2 dan v4 tetapi boleh berwarna sama dengan titik v3.

Dalam pewarnaan graph, kita tidak hanya sekedar mewarnai titik – titik dengan warna yang

berbeda dari warna titik yang bertetangga saja, tetapi kita juga menginginkan jumlah macam warna

yang digunakan seminimum mungkin. Dan pewarnaan titik di sisi dibatasi pada graph sederhana

atau graph yang tidak mempunyai sisi rangkap atau gelung.

Contoh 2 : v1 v2

v6 v7 v3

v5 v4

G

Page 2: PEWARNAAN TITIK / SIMPULrizkimuliono.blog.uma.ac.id/.../sites/365/2017/10/PEWARNAAN_graph.pdf · Pewarnaan titik / simpul adalah memberikan warna pada titik – titik pada graph sedemikian

Jumlah warna minimum yang dapat digunakan untuk mewarnai titik pada suatu graph G

disebut bilangan kromatik graph G, yang dilambangkan dengan χ(G). Suatu graph yang

mempunyai bilangan kromatis k dilambangkan dengan χ(G) = k. Berarti graph G pada contoh 2 di

atas mempunyai bilangan kromatik = 3 atau χ(G) = 3.

B. Teorema – teorema yang berhubungan dengan bilangan kromatik suatu graph.

Teorema 8.1.

a). Jika ada sebuah pewarnaan – k pada graph G, maka χ (G) ≤ k

Bukti :

Jika ada pewarnaan – k pada graph G berarti semua titik pada graph G dapat diwarnai

dengan menggunakan k warna.

Karena bilangan kromatik merupakan minimum banyaknya warna yang digunakan untuk

mewarnai semua titik pada graph G, sedemikian sehingga syarat pewarnaan terpenuhi.

Maka χ (G) ≤ k

Contoh 3 v₁ v₂

v₄ v₃ G

Pewarnaan – 4 atau χ (G) = 4 (k = 4)

Sebenarnya graph G pada contoh 3 di atas dapat diwarnai dengan menggunakan

2 warna

Page 3: PEWARNAAN TITIK / SIMPULrizkimuliono.blog.uma.ac.id/.../sites/365/2017/10/PEWARNAAN_graph.pdf · Pewarnaan titik / simpul adalah memberikan warna pada titik – titik pada graph sedemikian

v₁ v2

v₄ v₃ G

dengan demikian χ (G) = 2 berarti χ (G) ≤ k

b). Jika H sebuah graph bagian dari graph G, maka χ (H) ≤ χ (G)

Bukti :

Misalkan H sebuah graph bagian dari graph G. Berarti V(H) V(G) dan E(H) E(G)

Karena setiap pewarnaan titik H dapat diperluas ke sebuah pewarnaan titik di G, maka χ

(H) ≤ χ (G)

contoh 4 :

v₁ v₂ v₁ v₂

v₅

v₄ v₃ v₄ v₃

G H

diperoleh χ (G) = 3 dan χ (H) = 2 berarti χ (H) ≤ χ (G)

c). Jika G₁ , G₂ , . . . , Gk adalah komponen – komponen graph G, maka : χ (G) =

maks * ( ) ⁄ +

Bukti :

Misalkan Gi untuk suatu 1 ≤ i ≤ k yang ditulis dengan G₁ , G₂ , . . . , Gk adalah komponen

– komponen graph G yang mempunyai bilangan kromatik maksimum, katakan t.

Page 4: PEWARNAAN TITIK / SIMPULrizkimuliono.blog.uma.ac.id/.../sites/365/2017/10/PEWARNAAN_graph.pdf · Pewarnaan titik / simpul adalah memberikan warna pada titik – titik pada graph sedemikian

Sehingga t warna yang digunakan untuk mewarnai semua titik di Gi, dapat digunakan

untuk mewarnai semua titik di G pada komponen selain Gi, sehingga diperoleh sebuah

pewarnaan – t pada G.

Berdasarkan definisi bahwa χ (G) ≤ t dan karena Gi adalah graph bagian dari G dan χ(Gi) =

t, maka χ(G) ≥ χ(Gi) = t

Karena χ (G) ≤ t dan χ(G) ≥ t, maka χ(G) = t

Contoh 5 :

G

:

G1 G2 G3

Graph G1, G2 dan G3 adalah komponen – komponen dari graph G.

Teorema 8. 2.

a). Jika graph G adalah graph komplit dengan n titik, maka χ (G) = n.

Bukti :

Karena pada graph komplit setiap dua titik berhubungan langsung, sesuai dengan definisi

pewarnaan titik maka semua titik harus diwarnai dengan warna yang berbeda.

Page 5: PEWARNAAN TITIK / SIMPULrizkimuliono.blog.uma.ac.id/.../sites/365/2017/10/PEWARNAAN_graph.pdf · Pewarnaan titik / simpul adalah memberikan warna pada titik – titik pada graph sedemikian

Contoh 6 :

G

Graph G dengan 4 titik maka χ (G) = 4

b). Jika graph G adalah graph kosong, maka χ (G) = 1

Bukti :

Karena graph kosong hanya terdiri dari titik – titik dan tidak ada sisi yang menghubungkan

dua titik, berarti setiap titik boleh mempunyai warna yang sama.

Contoh 7 :

graph G dengan χ (G) = 1

Teorema 8.3.

Misalkan G graph tak kosong. Graph G bipartisi jika dan hanya jika χ (G) = 2

Bukti : ( ) Jika G bipartisi maka χ (G) = 2

G bipartisi maka G dapat dipartisi menjadi dua himpunan, misalkan X dan Y.

Gunakan warna 1 untuk mewarnai semua titik di X (karena tiap titik di X tidak saling

berhubungan)

Gunakan warna 2 untuk mewarnai semua titik di Y (karena tiap titik di Y tidak saling

berhubungan)

Sehingga hanya dibutuhkan 2 warna untuk mewarnai graph G, berarti χ (G) = 2

Page 6: PEWARNAAN TITIK / SIMPULrizkimuliono.blog.uma.ac.id/.../sites/365/2017/10/PEWARNAAN_graph.pdf · Pewarnaan titik / simpul adalah memberikan warna pada titik – titik pada graph sedemikian

Contoh 8 : X (1) (1) (1)

Y (2) (2) (2)

Graph G dengan χ (G) = 2

Bukti : ( ) Jika χ (G) = 2 maka G bipartisi

Misalkan semua titik yang diwarnai dengan warna (1) diletakkan dalam himpunan X dan semua

titik yang diwarnai dengan warna (2) diletakkan dalam himpunan Y.

Berarti titik – titik yang terletak dalam himpunan X tidak mungkin saling berhubungan karena

berwarna sama, begitu juga untuk titik – titik yang terletak dalam himpunan Y, tetapi pastilah

titik – titik yang terletak dalam himpunan X dan titik - titik yang teletak dalam himpunan Y

berhubungan agar terbentuk suatu graph. Sehingga graph yang terbentuk adalah graph bipartisi.

Contoh : v1 v2

v3 v4 v5

Graph G dengan χ (G) = 2

Teorema 8,4.

Jika Cn adalah sikel dengan n titik, maka χ (G) = {

Bukti :

Misalkan Cn adalah sikel dengan n titik. Maka panjang sikel Cn adalah n.

Jika n genap, maka Cn adalah graph bipartisi. Berdasarkan teorema 8.3 bilangan kromatik Cn

adalah 2.

Jika n ganjil maka Cn bukan graph bipartisi. Berdasarkan teorema 8.3 dan Cn bukan graph

kosong, maka χ (G) ≥ 3

Page 7: PEWARNAAN TITIK / SIMPULrizkimuliono.blog.uma.ac.id/.../sites/365/2017/10/PEWARNAAN_graph.pdf · Pewarnaan titik / simpul adalah memberikan warna pada titik – titik pada graph sedemikian

Selanjutnya misalkan Cn = (v1, v2, v3, . . . , vn)

Untuk n ganjil dan 1 ≤ i ≤ n – 2, warnai titik vi dengan warna 1. Untuk n genap dan 1 ≤ i ≤ n – 1,

warnai titik vi dengan warna 2. Akhirnya warnai titik vn dengan warna 3.

Maka diperoleh sebuah pewarnaan – 3 pada Cn. Berdasarkan definisi bilangan kromatik, maka χ

(G) ≤ 3.

Karena χ (G) ≥ 3 dan χ (G) ≤ 3, maka χ (G) = 3.

Jadi untuk Cn adalah sikel dengan n titik maka untuk n genap maka χ (Cn) = 2 dan untuk n

ganjil maka χ (G) = 3.

Contoh 9 :

Cn Cn

dengan n = 6 dengan n = 5

χ (C4) = 2 χ (C5) = 3

Teorema 8.5.

Jika G graph sederhana dengan derajat maksimum (G) , maka χ(G) ≤ (G) + 1

Bukti : (dengan induksi)

Misalkan G graph sederhana dengan n titik, dapat ditulis | ( )| = n

Untuk | ( )| = 1 maka G = K1 (G graph kosong) , sehingga χ(G) = 1 dan (G) = 0. Akibatnya

: χ(G) = 1 ≤ 0 + 1

χ(G) = (G) + 1

jadi pernyataan benar untuk n = 1

Page 8: PEWARNAAN TITIK / SIMPULrizkimuliono.blog.uma.ac.id/.../sites/365/2017/10/PEWARNAAN_graph.pdf · Pewarnaan titik / simpul adalah memberikan warna pada titik – titik pada graph sedemikian

Diasumsikan pernyataan benar untuk graph G dengan | ( )| = n – 1 untuk n > 1 dan

misalkan G graph sederhana dengan | ( )| = n.

Pandang sebarang titik v di G dan hapus titik v itu sehingga terbentuk graph baru G–v dengan n

- 1 titik.

Berdasarkan asumsi, diperoleh χ(G-v) ≤ (G-v) + 1, berarti semua titik di graph G-v dapat

diwarnai dengan (G-v) + 1 warna.

Karena titik v dihapus pada garph g maka (G-v) ≤ (G).

Dari (G-v) ≤ (G) terdapat 2 kasus, yaitu :

Kasus 1 : ( (G-v) = (G)

Karena χ(G-v) ≤ (G) + 1, berarti semua titik di G-v dapat diwarnai dengan (G) + 1 warna

sedemikian hingga syarat pewarnaan terpenuhi.

Karena banyaknya warna yang diperlukan untuk mewarnai NG(v) di G-v sebanyak –

banyaknya (G), padahal pewarnaan - ( (G) + 1) di graph G-v, maka terdapat paling

sedikit satu warna di G-v yang tidak muncul pada NG(v) di G, sehingga warna tersebut dapat

digunakan untuk mewarnai titik v di G. diperoleh pewarnaan - ( (G) + 1) pada graph G.

Akibatnya, berdasarkan definisi bilangan kromatik diperoleh χ(G) ≤ (G) + 1

Kasus 2 : ( (G-v) < (G)

Berdasarkan asumsi diperoleh χ(G-v) ≤ (G-v) + 1

Karena χ(G-v) ≤ (G) + 1 dan χ(G-v) < (G), maka χ(G-v) < (G) + 1 atau χ(G-v) ≤ (G)

+ 1 (karena bilangan kromatik dari graph G-v adalah bilangan bulat). Artinya ada pewarnaan

- (G) pada graph G-v.

Warnai titik v di G dengan warna (warna baru) selain warna yang muncul di graph G-v

sehingga diperoleh pewarnaan - ( (G) + 1) pada graph G.

Dari kasus 1 dan kasus 2 , maka diperoleh χ(G-v) ≤ (G) + 1

Page 9: PEWARNAAN TITIK / SIMPULrizkimuliono.blog.uma.ac.id/.../sites/365/2017/10/PEWARNAAN_graph.pdf · Pewarnaan titik / simpul adalah memberikan warna pada titik – titik pada graph sedemikian

C. Algoritma WELCH – POWELL (algoritma pewarnaan titik pada graf)

Pewarnaan titik pada graph dapat dilakukan dengan mengguakan Algoritma WELCH –

POWELL, dengan langkah – langkah sebagai berikut :

1. Urutkan titik – titik dari G dalam derajat menurun,

d(V₁) > d(V₂) > d(V₃) > . . . > d(Vn) (boleh memakai tabel)

2. Gunakan warna pertama (I) untuk mewarnai titik pertama (yang mempunyai derajat tertinggi

(v₁)) dan titik yang tidak bertetangga dengan v₁

3. Gunakan warna ke dua (II) untuk mewarnai titik dengan derajat tertinggi berikutnya.

4. Ulangi penambahan warna – warna sampai semua titik terwarnai.

Contoh 10 :

Warnailah graph G di bawah ini dengan menggunakan Algoritma Welch Powell.

v1 v2

V6 v7 v3

v5 v4

G

dengan langkah – langkah sebagai berikut :

1. Urutkan titik dari G, seperti pada tabel

Titik v1 v3 v5 v7 v2 v4 v6

Derajat 5 4 4 4 3 3 3

warna A B b c c A d

Page 10: PEWARNAAN TITIK / SIMPULrizkimuliono.blog.uma.ac.id/.../sites/365/2017/10/PEWARNAAN_graph.pdf · Pewarnaan titik / simpul adalah memberikan warna pada titik – titik pada graph sedemikian

2. Dari tabel diperoleh v1 mempunyai derajat tertinggi yaitu 5, warnai titik v1 dengan warna a

dan warnai titik lain (yaitu titik v4) yang tidak berhubungan langsung dengan titik v1 dengan

warna a.

3. Lanjutkan mewarnai titik yang mempunyai derajat tertinggi berikutnya yaitu titik v3 (dengan

derajat 4) dengan warna b, dan cari titik lain yang tidak berhubungan langsung dengan titik v3

yaitu titik v5, kemudian warnai titik v5 dengan warna yang sama dengan titik v3 yaitu warna b.

4. Lanjutkan mewarnai titik yang mempunyai derajat tertinggi berikutnya yaitu titik v7 (dengan

derajat 4) dengan warna c, dan cari titik lain yang tidak berhubungan langsung dengan titik v7

yaitu titik v2, kemudian warnai titik v2 dengan warna yang sama dengan titik v7 yaitu warna c.

5. Kemudian warnai titik terakhir yang belum terwarnai yaitu titik v6 dengan warna d.

v1(a) v2(c)

V6 (d) v7 (c) v3 (b)

v5(b) v4(a)

Graph G di atas dapat diwarnai dengan menggunakan 4 warna, berarti χ(G) = 4.

Contoh 11 :

Warnailah graph G di bawah ini dengan menggunakan Algoritma Welch Powell.

A • • H

• G

B •

C • • F

D • • E

Page 11: PEWARNAAN TITIK / SIMPULrizkimuliono.blog.uma.ac.id/.../sites/365/2017/10/PEWARNAAN_graph.pdf · Pewarnaan titik / simpul adalah memberikan warna pada titik – titik pada graph sedemikian

Urutkan titik dari G, seperti pada tabel

Titik H A D F B C E G

Derajat 5 4 4 4 3 3 3 2

Warna a b b c a c c a

Dengan langkah yang sama dengan soal nomor 10, maka diperoleh :

A(b) H(a)

G(a)

B(a)

C(c) F(c)

D(b) E(c)

Graph G di atas dapat diwarnai dengan menggunakan 3 warna, berarti χ(G) = 3.

D. Aplikasi pewarnaan titik pada graph

Pewarnaan titik pada graph dapat diaplikasi keberbagai bidang, diantaranya :

1. Penjadwalan ujian.

Persoalan yang mempunyai karakteristik seperti pewarnaan graph adalah persoalan

menentukan jadwal ujian. Misalkan terdapat delapan orang mahasiswa (1, 2, 3, . . ., 8)

dan lima mata kuliah yang dipilihnya (A, B, C, D, E). Tabel berikut

memperlihatkan matriks lima mata kuliah dan delapan orang mahasiswa. Angka 1 pada

elemen (i,j) berarti mahasiswa i memilih mata kuliah j, sedangkan angka 0 menyatakan

mahasiswa i tidak memilih mata kuliah j.

Page 12: PEWARNAAN TITIK / SIMPULrizkimuliono.blog.uma.ac.id/.../sites/365/2017/10/PEWARNAAN_graph.pdf · Pewarnaan titik / simpul adalah memberikan warna pada titik – titik pada graph sedemikian

1 2 3 4 5 6 7 8

A 0 0 0 1 0 0 1 0

B 1 1 0 1 1 0 0 0

C 0 0 1 0 0 1 1 1

D 0 1 1 0 1 1 0 1

E 1 0 0 0 0 0 0 0

Berdasarkan tabel tadi, administatur mata kuliah ingin menentukan jadwal ujian

sedemikian sehingga semua mahasiswa dapat mengikuti ujian mata kuliah yang

diambilnya tanpa bertabrakan waktunya dengan jadwal ujian kuliah lain yang juga

diambilnya. Pendek kata, jika ada mahasiswa yang mengambil dua buah mata kuliah atau

lebih, jadwal ujian mata kuliah tersebut harus pada waktu yang tidak bersamaan. Ujian dua

mata kuliah dapat dijadwalkan pada waktu yang sama jika tidak ada mahasiswa yang sama

yang mengikuti ujian dua mata kuliah itu. Berapa paling sedikit jumlah hari yang

dibutuhkan untuk jadwal ujian tersebut?

Penyelesaian :

Penyelesaian persoalan menentukan jadwal ujian semua mata kuliah sama dengan

menentukan bilangan kromatik suatu graph. Kita dapat menggambarkan graph yang

menyatakan penjadwalan ujian, dengan titik – titik pada graph menyatakan mata kuliah

sedangkan sisi yang menghubungkan dua titik pada graph menyatakan ada mahasiswa

yang memilih kedua mata kuliah itu.

Page 13: PEWARNAAN TITIK / SIMPULrizkimuliono.blog.uma.ac.id/.../sites/365/2017/10/PEWARNAAN_graph.pdf · Pewarnaan titik / simpul adalah memberikan warna pada titik – titik pada graph sedemikian

Persoalan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk graph seperti di bawah ini :

A(b) • • B(a)

• C(a)

E(b) • • D (b)

Titik B A C D E

Derajat 3 2 2 2 1

warna a B a b b

Bilangan kromatik dari graph di atas adalah 2. Jadi jumlah hari yang paling sedikit

dibutuhkan untuk jadwal ujian lima mata kulaih untuk delapan orang mahasiswa tersebut

adalah 2 hari.

2. Penempatan bahan – bahan kimia secara efisien

Ada enam jenis zat kimia yang perlu di simpan di dalam gudang. Beberapa pasang dari zat

itu tidak dapat disimpan di dalam ruangan yang sama, karena campuran gasnya bersifat

eksplosif (mudah meledak). Utnuk zat yang semacam itu perlu dibangun ruang – ruang

yang terpisah yang dilengkapi ventilasi dan penyedot udara keluar yang berlainan. Jika

lebih banyak ruangan yang dibutuhkan, berarti lebih banyak ongkos yang harus

dikeluarkan karena itu perlu diketahui berapa banyak minimum ruangan yang diperlukan

untuk dapat menyimpan semua zat kimia dengan aman. Berikut ini adalah daftar pasangan

zat kimia yang tidak dapat disimpan di dalam ruangan yang sama.

Zat kimia Tidak dapat disimpan bersama zat kimia

A B, D

B A, D, E, F,

C E,

Page 14: PEWARNAAN TITIK / SIMPULrizkimuliono.blog.uma.ac.id/.../sites/365/2017/10/PEWARNAAN_graph.pdf · Pewarnaan titik / simpul adalah memberikan warna pada titik – titik pada graph sedemikian

D A, F, B

E B, C,

F B, D

Penyelesaian :

Graph dari tabel di atas adalah

A© • • B(a)

• C (a)

F© •

• D(b)

E(b) •

Keterangan :

Titik menyatakan zat kimia dan sisi yang menghubungkan dua zat kimia yang tidak boleh

terletak dalam satu ruangan.

Titik B D A E D C

Derajat 4 3 2 2 2 1

Warna A b c b C A

Bilangan kromatik dari graph di atas adalah 3, berarti dibutuhkan banyak ruangan

minimum untuk menyimpan enam zat kimia pada soal di atas adalah sebanyak 3 ruangan.

Page 15: PEWARNAAN TITIK / SIMPULrizkimuliono.blog.uma.ac.id/.../sites/365/2017/10/PEWARNAAN_graph.pdf · Pewarnaan titik / simpul adalah memberikan warna pada titik – titik pada graph sedemikian

PEWARNAAN SISI

1. Pengertian Pewarnaan sisi pada graph

Sebuah pewarnaan sisi pada graph adalah pewarnaan semua sisi pada graph tanpa

loop(gelung). Suatu pewarnaan –sisi-k untuk graph G adalah suatu penggunaan sebagian atau semua k

warna untuk mewarnai semua sisi di G sehingga setiap pasang sisi yang mempunyai titik persekutuan

diberi warna yang berbeda. Jika G mempunyai pewarnaan –sisi-k, maka dikatakan sisi-sisi di G diwarnai

dengan k warna.

Contoh :

(A) (B) (C) (D)

Gambar 1

2. Indeks khromatik (chromatic index) pada graph G

Indeks khromatik graph G adalah Misalkan G sebuah graph. Bilangan yang menyatakan

minimum banyaknya warna yang diperlukan untuk mewarnai semua sisi G sedemikian hingga

setiap dua sisi G yang terkait ke titik yang sama mendapatkan warna yang berbeda. Indeks

khromatik diyatakan dengan ’(G). Biasanya warna-warna yang digunakan untuk mewarnai

sisi-sisi suatu graph dinyatakan dengan 1, 2, 3,…, k.

’(G) = minimum * | +

Contoh :

G G

(a) (b)

Gambar 2

Page 16: PEWARNAAN TITIK / SIMPULrizkimuliono.blog.uma.ac.id/.../sites/365/2017/10/PEWARNAAN_graph.pdf · Pewarnaan titik / simpul adalah memberikan warna pada titik – titik pada graph sedemikian

Pada gambar 2(A), indeks kromatik = 3 karena minimum banyaknya warna untuk mewarnai

semua sisi pada gambar graph G adalah 3. Dan pada gambar 2 (B), indeks kromatik = 4 karena

minimum bayaknya warna untuk mewarnai semua sisi pada gambar graph G adalah 4.

Sikel dengan n titik, Cn mempunyai ’(Cn) = 2 jika n genap dan ’(Cn) = 3 jika n

ganjil

Untuk graph komplit dengan n titik, Kn diperoleh ’(Kn) = n – 1 jika n genap dan ’(Kn)

= n jika n ganjil.

Indeks khromatik sebuah graph sederhana selalu sama dengan derajat maksimumnya atau

derajat maksimum ditambah satu. Namun sebelumnya kita perlu memahami konsep rantai

kempe dan argumen rantai kempepada pewarnaan sisi graph. Misalkan G adalah sebuah graph

yang semua sisinya dapat diwarnai dengan paling sedikit dua warna. Sebuah graph bagian G

yang dibangun oleh semua sisi G yang bewarna i dan j dengan i ≠ j dilambangkan dengan H(i,j).

Sebuah komponen dari H(i,j) disebut sebuah rantai kempe. Misalkan K sebuah rantai kempe

pada H(i,j), jika warna i dan warna j dipertukarkan npada sisi-sisi K, sedangkan warna sisi-sisi

yang lain tetap, maka akan diperoleh pewarnaan G yang baru dengan menggunakan warna-

warna yang lama. Proses ini disebut argumen rantai kempe.

Teorema 8.7 : (Teorema Vizing)

Jika G graph sederhana maka (G) ≤ ’(G) ≤ (G) + 1

Bukti

Misalkan G grah sederhana dengan (G) = ∆ dan v Є V(G) dengan d(v) = ∆. Karena

terdapat ∆ sisi G terkait di titik v, maka untuk memenuhi semua sisi tersebut diperlukan

sebanyak ∆ warna. Sehingga

Sikel dengan n titik, Cn mempunyai indeks kromatik dengan ’(G) ≥ (G). Untuk

membuktikan ’(G) ≤ (G) + 1, digunakan induksi pada |E(G)| = m. Untuk m = 0, maka

(G) = 0 dan ’(G) = 0. Sehingga ’(G) = 0 ≤ 0 + 1 = (G) + 1.

Asumsikan pernyataan benar untuk |E(G)| = m – 1.

Akan ditunjukkan pernyataan benar untuk |E(G)| = m.

Misalkan G graph sederhana dengan m sisi dan e = uv sebuah sisi G, maka graph G1= G-e

adalah graph sederhana dengan m-1 sisi. Berdasarkan asumsi, ’(G) ≤ (G) + 1.

Karena (G1) ≤ (G), maka ’(G1) ≤ (G) + 1. Ini berarti ada pewarnaan sisi ( (G) +

1) pada graph G1.

Karena dG1(u) ≤ (G1) ≤ (G), maka ada paling sedikit satu warna dari ∆G + 1, warna

tidak muncul pada sisi-sisi G1 yang terkait di titik v.

Kasus 1: Warna yang muncul di u dan v sama

Page 17: PEWARNAAN TITIK / SIMPULrizkimuliono.blog.uma.ac.id/.../sites/365/2017/10/PEWARNAAN_graph.pdf · Pewarnaan titik / simpul adalah memberikan warna pada titik – titik pada graph sedemikian

Misalkan warna α tidak muncul di u dan v dalam pewarnaan-( (G)+1) pada G1. Maka sisi c

di graph G dapat diwarnai dengan menggunakan warna α, sehingga diperoleh pewarnaan-(

(G)+1) pada graph G, akibatnya ’(G) ≤ (G) + 1.

Kasus 2 : warna yang tidak muncul di u berbeda dengan warna yang tidak muncul di v.

Misalkan warna α tidak muncul di u dan warna β tidak muncul di v.

Klaim bahwa ada sisi e1terkait dengan u di graph G1bewarna β. Sebab jika tidak, maka

warna β tidak muncul di u, padahal β juga tidak muncul di v. Hal ini kontradiksi jadi

haruslah ada sisi e2terkait dengan v di graph G1 bewarna α.

Selanjutnya, perhatikan graph bagian G1 yang dibangun oleh sisi-sisi bewarna α dan β yaitu

H(α,β). Kita tinjau dua subkasus.

Subkasus 2.1 : Sisi e1 dan sisi e2 terletak pada rantai yang berbeda.

Misalkan sisi e1 ter;letak pada rantai kempe K dan sisi e2 terletak pada rantai Kempe L.

Terapkan argumen rantai kempe pada K, akibatnya warna β tidak muncul di titik u; padahal

warna β dapat digunakan untuk mewarnai sisi e pada graph G, sehingga diperoleh

pewarnaan-(∆(G) + 1). Dengan demikian ’(G) ≤ (G) + 1.

Subkasus 2.2 : Sisi e1 dan sisi e2 terletak pada rantai Kempe H(α,β) yang sama.

Misalkan rantai Kempe K di H (α,β) memuat sisi e1 dan e2. Maka ada lintasan dari titik u ke

titik v di K pada graph G1 Misalkan ada sisi lain dari G1 yang bewarna γ terkait di sebuah

titik internal lintasan tersebut, misalnya titik w. Putus rantai k pada titik wyang sisi

terkaitnya dengan w berwarna α sehingga diperoleh H(α,γ) yang memuat rantai kempe baru,

namakan L. Terapkan argumen rantai kempe pada L, sehingga warna α tidak muncul di titik

w. Perhatikan K sudah terputus pada pewarnaan baru, selanjutnya terapkan argumen rantai

Kempe pada K, maka warna β tidak muncul di titik u; padahal warna β juga tidak muncul di

v, sehingga warna β dapat digunakan untuk mewarnai sisi e pada graph G, akibatnya

diperoleh pewarnaan-sisi-(∆(G) + 1) pada graph G. Dengan demikian ’(G) ≤ (G) + 1.

Jika tidak ada sisi bewarna γ yang terkait, maka K berupa lintasan. Putus lintasan tersebut

Page 18: PEWARNAAN TITIK / SIMPULrizkimuliono.blog.uma.ac.id/.../sites/365/2017/10/PEWARNAAN_graph.pdf · Pewarnaan titik / simpul adalah memberikan warna pada titik – titik pada graph sedemikian

pada w, dan terapkan argumen rantai Kempe pada rantai tersebut, maka warna β tidak

muncul di titik u. Karena warna β juga tidak muncul di v, maka warna β dapat digunakan

untuk mewarnai sisi e pada graph G. Sehingga diperoleh pewarnaan-sisi-(∆(G) + 1) pada

graph G. Dengan demikian ’(G) ≤ (G) + 1.

Khusus untuk graph bipartisi, diperoleh hasil yang eksak seperti terlihat dalam teorema

berikut.

Teorema 8.8

Jika G graph bipartisi dan tak kososng maka ’(G) = (G).

2. Pengklasifikasian Berdasar Indeks Khromatik Graph

Berasarkan teorema 8.7 hanya ada dua kemungkinan nilai dari indeks khromatiksuatu graph

deserhana yaitu sama dengan derajat maksimum ditambah 1. Selanjutnya graph G disebut

graph kelas satu jika ’(G) = (G). Dan graph kelas dua jika ’(G) = (G). Misalnya

sikel panjang genap adalah graph kelas satu, sedangkan sikel dengan panjang ganjil adalah

graph kelas dua. Begitu juga, graph komplit Kn adalah graph kelas satu untuk n genap dan

untuk n ganjil Kn adalah graph graph kelas dua.

Teorema 8.9 : Misalkan G graph dengan n titik, m sisi dan derajat maksimum ∆ jika m > ∆

⌋ maka G adalah graph kelas dua.

Bukti

Andaikan G bukan graph kelas dua, maka G adalah graph kelas satu, sehingga ’(G) =

(G) = ∆. Ini berarti ada pewarnaan-sisi-∆ pada graph G. Jadi E(G) dapat dipartisi menjadi ∆

himpunan sisi-sisi independen. Setiap himpunan sisi independen tersebut memuat paling

banyak ⌊

⌋ sisi G, maka m = | ( )| ≤ ∆⌊

⌋.

Hal ini kontradiksi dengan yang diketahui jadi haruslah G adalah graph kelas dua.

Page 19: PEWARNAAN TITIK / SIMPULrizkimuliono.blog.uma.ac.id/.../sites/365/2017/10/PEWARNAAN_graph.pdf · Pewarnaan titik / simpul adalah memberikan warna pada titik – titik pada graph sedemikian

3. Aplikasi Pewarnaan sisi pada Graph

Beberapa aplikasi pewarnaan sisi pada graph adalah :

1. Pada sistem jaringan komunikasi yang melibatkan sekumpulan sentra dan sekumpulan

chanel yang menghubungkan sentra-sentra tersebut. Untuk mengoperasikan sistem tersebut,

setiap chanel harus diberi frekuensi tertentu. Supaya tidak terjadi masalah, maka chanel-

chanel yang bertemu di suatu sentra tertentu harus diberi frekuansi yang berbeda. Minimum

banyaknya frekuensi yang diperlukan untuk mengoperasikan sistem komunikasi tersebut.

Dalam hal ini himpunan sentra komunikasi berkorespondensi dengan himpunan titik pada

graph dan chanel yang menghubungkan dua sentra dipresentasikan dengan sisi graph.

Frekuensi berkorespondensi dengan warna sisi pada graph. Menentukan minimum banyakny

frekuensi yang diperlukan berkorespondensi dengan menentukan indeks khromatik pada

graph yang mempresentasikan sistem komunikasi tersebut.

2. Aplikasi pewarnaan sisi pada graph khususnya graph bipartisi adalah untuk mengkonstruksi

bujur sangkar latin. Telah diketahui luas, bahwa bujur sangkar latin banyak digunakan

dalam statistika, khususnya dalam membuat rancangan percobaan yang valid. Secara formal,

defenisi bujur sangkar latin adalah sebuah bujur sangkar latin order n adalah matriks bujur

sangakar n x n yang entri-entrinya dilabel dengan bilangan-bilangan 1, 2, 3, ..., n sedemikian

hingga tidak ada sebuah bilangan muncul lebih dari satu baris dan lebih dari satu kolom.

Contoh bujur sangkar latin 5 x 5 dapat dilihat sebagai berikut :

3 4 5 1 2

5 1 2 3 4

2 3 4 5 1

4 5 1 2 3

1 2 3 4 5

Page 20: PEWARNAAN TITIK / SIMPULrizkimuliono.blog.uma.ac.id/.../sites/365/2017/10/PEWARNAAN_graph.pdf · Pewarnaan titik / simpul adalah memberikan warna pada titik – titik pada graph sedemikian

Bujur sangkar latin ordo n x n da[pat dikonstruksi menggunakan sebuah pewarnaan sisi-n

graph bipartisi komplit Kn,n.

Karena ∆ (Kn, n) = n, maka menurut teorema 8.8, ’(Kn,n) = n. Sehingga ada pewarnaan-

sisi-n pada graph Kn,n. Misalkan (X,Y) adalah bipartisi dari Kn,n dan X = *

+ dan Y = * + dan misalkan 1,2,...,n adalah label-label warna. Defenisikan

matriks A = (aij ) sebagai berikut :

aij = k jika sisi xiyk bewarna j (terkait dengan xi).

Maka untuk setiap dua indeks j1 dan j2 yang berbeda , aiji ≠ aij2. Hal ini menunjukkan bahwa

setiap baris A mempunyai n entri yang berbeda. Lebih lanjut, jika i1 . i2 . ai1j = ai2j (katakan

bernilai k), maka titik yk merupakan titik ujung dua sisi G yang berwarna j, suatu

kontradiksi. Sehingga setiap kolom A memuat n entri yang berbeda. Dengan demikian

matriks A merupakan bujur sangkar latin ordo nxn.

http://arniatiu.files.wordpress.com/2010/12/pewarnaan-titik-w1.docx.

http://oktamira.files.wordpress.com/2010/12/pewarnaan-sisi-pada-graph.docx