BENDA TEGAR

DINAMIKAROTASIBENDA TEGAR

KESETIMBANGAN BENDA

TEGAR

TITIK BERAT BENDA

TORSI

MOMEN INERSIA

MOMENTUM SUDUT

ENERGI KINETIK

SYARAT DAN

PENGERTIAN

JENIS-JENIS

KESETIMBANGAN

PENGERTIAN

LETAK TITIK BERAT BENDA

HOMOGEN

2. GAYA YANG TIDAK MENYEBABKAN GERAK ROTASI.

F F

Gaya F tidak dapat menyebabkan roda berputar.

Syarat agar dapat menghasilkan rotasi, Garis kerja gaya tidakmelalui pusat rotasi.

Gaya diatas tidak menghasilkan torsi ( Momen gaya)

Torsi (τ) merupakan hasil perkalian vektor ( cross product) antara vektor jarak dan gaya F. Secara matematis ditulis :

τ = r x F atau τ = r.F sin θ

Dengan θ adalah sudut antara r dan F.

Arah torsi ( momen gaya ).

Positif jika benda cenderung berlawananarah dengan putaran jarum jam.

Negatif jika cenderung berputar searahdengan putaran jarum jam.

Lengan momen (ℓ) adalah jarak tegak lurus yang ditarik dari sumbu putar ke garis kerja gaya.

Garis kerja gaya

lengan momen (ℓ) F

θ

O r

Lengan momen( ℓ ) = r. sin θ

Maka untuk Torsi (τ) = ( r.sin θ).F

atau τ = F . ℓ

Hitunglah besarnya Torsi yang disebabkan gaya-gaya sepertipada gambar, jika gaya yg diberikan 10 N dan panjang batang2 m.

ℓ 60⁰ ℓ 30⁰

a. F c.

F

b. 90⁰ d.

F ℓ= 0 F

Clue:

Lengan momen (ℓ) = r. sin θ

Torsi ( Momen gaya) τ = F. ℓNO F r θ Sin θ ℓ = r. sin θ

(m)τ = F . ℓ

(+/-) N.m

A 10 N 2 m 60⁰ 0,8660 1,732 - 17,32

B 10 N 2 m 90⁰ 1 2 - 20

C 10 N 2 m 30⁰ 0,5 1 10

D 10 N 2 m 180⁰ 0 0 0

Kecederungan yang dimiliki oleh suatu benda untuk selalu

mempertahankan keadaannya, untuk tetap diam ataubergerak lurus beraturan.

Kecenderungan ini disebut INERSIA.

Dan ukuran yang menyatakan kecenderungan ini dinamakanMASSA.

Dalam gerak rotasi tiap-tiap benda mempunyaikecenderungan untuk mempertahankan posisi ataukeadaannya. Misalnya rotasi bumi. “ Apa yg terjadi jika bumiberhenti berotasi “ ?

Kecenderungan seperti ini dinamakan inersia rotasi, ukuranuntuk menyatakan kecenderungan ini disebut momen inersia.

Momen inersia tergantung pada :

1. Jumlah kandungan zat2. Bagaimana zat-zat atau massa itu terdistribusi.

Semakin jauh distribusi massa dari pusat putaran, maka semakinbesar momen inersianya.

a. b.

Maka selinder a mempunyai momen inersialebih besar dari selinder b.

Momen inersia ( I ) suatu benda titik ( partikel) terhadap suatusumbu putar didefinisikan sebagai perkalian massa partikel(m) dengan kuadrat jarak partikel r dari sumbu putar.

o m

r

I = m.r²

Momen inersia dari sistem beberapa partikel dapat dihitungdengan menjumlahkan momen inersia tiap-tiap partikel.

I = ∑ m r²

Contoh kasus :

Sebuah benda terdiri dari 4 buah partikel dengan massa : m1,m2,m3 dan m4 yang berada pada jarak r1,r2,r3 dan r4 darisumbu putar (titik o)

m2

m1 r2

r1 r3 m3

o

r4 m4

Maka momen inersia sistem diatas : I = ∑ m r²

I = m1r1² + m2r2² + m3r3² +m4r4²

Hubungan antara Momen gaya dan Momen Inersia

m Fo

r

Gaya yang bekerja pada benda bermassa m yang bergerak melingkar dengan jari-jari r.Besar percepatan tangensial benda itu adalah : a = α.r.Menurut Hukum Newton F = m.a

F = m.α.rJika kedua ruas dikalikan dengan r

F.r = m.α.r.rF.r = m.α.r²

Karena :F.r = τ ( Momen gaya ) dan m.r² = I ( Momen Inersia )

Maka : τ = I. α Ini merupakan bentuk hukum Newton II padagerak melingkar.

QUIZ1. Sebuah selinder massanya 20 kg dan memiliki panjang 0,5 m.

diputar dari pusat sumbu putarnya. Hitung Momeninersianya. ( key. I = 0,41 kgm² )

2. Soal seperti no 1 tetapi diputar melalui ujung selinder. Hitungmomen inersianya. ( key. I = 1,67 kg.m²)

3. Sebuah kulit selinder massanya 2 kg, memiliki jejari 60 cm. diputar melalui poros sumbu putarnya. Hitung momeninersianya. ( key. I = 0,72kg.m² )

4. Sebuah selinder pejal masanya 5 kg, berjejari 80 cm. Jikadiputar melalui poros sumbu putarnya, tentukan momeninersianya. (key. I = 1,6 kg.m²)

5. Sebuah bola pejal bermassa 10 kg, jejarinya 40 cm. diputarmelalui poros sumbu putar. Hitung momen inersianya. (key. I =0,64 kg.m² )

1. I= 1/12𝑚𝑙2

I= 1/12.20.0,5.0,5I= 1/12.5I= 0,41kgm2

2. I=1/3 𝑚𝑙2

I=1/3.20.0,52

I=1/3.5I= 1,67 𝑘𝑔𝑚2

3. I= 𝑚𝑟2

I= 2.0,62

I= 0,72

4. I=1/2 𝑚𝑟2

I= 1/2.5.0,82

I= 1/2.5.0,64m2

I= 1,6 𝑘𝑔𝑚2

5. I=2/5 𝑚𝑟2

I= 2/5.10.0,42

I= 2/5.1,6I= 0,64 𝑘𝑔𝑚2

y

v

r x

Andaikan partikel bermassa m berotasi dengankecepatan v. Partikel tsb mempunyai momentum linear p = m.v. Dan vektor posisi partikel adalah r, maka momentum sudut partikel itu dirumuskandengan ;

L = r.p atau L = r. mv.

Dalam bentuk skalar, momentum sudut dapat dinyatakan :

L = r.p. sinθ atau L = r.m.v. Sinθ

dengan θ adalah sudut antara vektor posisi r dengankecepatan v.

Jika r tegak lurus dengan v ( θ = 90⁰) sin 90⁰ = 1, maka L = r.m.v

Karena v = ω.r

L = r.m.ω.r

L = (m.r²).ω Karena mr² = I (momen inersia)

L = I.ω

Jika momen gaya yang bekerja pada sistem = 0,

Maka berlaku hukum kekekalan momentum sudut :

L1 = L2 atau I1 ω1 = I2 ω2

Dari persamaan diatas : Momen inersia akan semakin kecil jikakecepatan sudutnya makin besar dan sebaliknya.

1. Suatu partikel bergerak melingkar dengankecepatan 10 rad/s. Jejari lingkaran 2 cm. Hitungmomentum sudut partikel ini terhadap pusatlingkaran. Jika massa partikel 2 gram.

Diket : ω = 10 rad/s

m = 2 gr = 2.10-3 kg

R = 2 cm = 2.10-2 m

Ditanya L = ?

Clue : L = I.ω

2. Sebuah telur matang diputar diatas sebua mejadengan kecepatan 4 putaran per detik. Hitungmomentum suduttelur terhadap sumbu putarnya. Anggap massa telur 60 gram dan telur sebagai bola dengan jejari 2,5 cm. ( key L = 3,77.10-4 kg.m²/s )

3. Sebuah benda bermassa 100 kg bergerak padaketinggian 4.107m dari pusat bumi. Benda inibergerak dari timur ke barat dengan kecepatan 500 m/s. Hitung momentum sudut benda itu terhadappusat bumi. ( key. L = 2.1012 kg.m2/s)

BERGULIR TANPA SLIP

Bergulir tanpa slip artinya benda bergulir tapitidak terpeleset. Dalam hal ini jarak translasiyang ditempuh sama dengan panjang talibusur yang ditempuh.

Syarat benda bergerak tanpa slip :

v = R.ω

a. Gerak rotasi murni, kecepatan linear rodabagian atas dan bagian bawah berlawananarah.

v = ω.r

v = ω.r ω

b. Roda bergerak translasi murni, setiap titikpada roda memiliki kecepatan linear yang sama.

v = ω.r

v = ω.r

v = ω.r

c. Sebuah roda mengalami rotasi dan translasisekaligus. Kecepatan linear di bagian bawah rodabernilai nol, kecepatan linear roda dipusat rotasiadalah v = ω.r, sedangkan di bagian atas rodakecepatannya v = 2.ω.r.

v= 2.ω.r

v = ω.r

v = 0 ω

V = ω.r

rAnggap suatu partikel bergerak melingkar dengan kecepatan sudut ω. Kecepatansinggung partikel adalah v = ω.r. Energi kinetik partikel Ek = ½ mv2. Denganmensubstitusikan v, kita peroleh rumus energi kinetik partikel : Ek = ½ m.v2

Ek = ½ m.(ω.r)2 = ½ m.ω2.r2

Karena mr2 merupakan momen inersia partikel ( I )Maka :

EK = ½ I. ω²Dalam kasus ini partikel hanya bergerak melingkar saja, sehingga rumus diatasadalah rumus energi kinetik untuk gerak rotasi. Satuannya Joulle.

RR

Hukum kekekalan energi mekanik ( translasi)

Ema = Emb

Eka + Epa = Ekb + Epb

½ mava² + m.g.ha = ½ mbvb² + m.g.hb

Untuk benda yang bertranlasi juga melakukanrotasi maka hukum kekekalan energimekaniknya adalah :

Ektrans1 + Ekrot1 + Ep1 = Ektrans2+Ekrot2 + Ep2 atau

½ mv1² + ½ Iω1² + m.g.h1 = ½ mv2² + ½ Iω2² + m.g.h2

1. Sebuah compact disc berputar 33 rpm danmempunyai massa 100 gram. Jika jejari cd 5 cm, hitung berapa energi kinetik rotasi cd.

Solution :

Diket : m = 100 gram = ……..kg

r = 5 cm =………..m

ω = 33 rpm = ………..rad/s

Ditanyakan : Ek = …………….Joulle

Clue : I = mr²

1. Sebuah partikel berputar dengan kecepatan sudut50 rad/s. Hitung energi kinetik rotasi partikel ini jikamomen inersia partikel ini I = 20 kg.m².

2. Energi kinetik suatu partikel yang berputar 10 Joulle. Hitung berapa kecepatan sudut itu jikamomen inersianya I = 3 kg.m².

3. Hitung momen inersia suatu benda yang berputardengan kecepatan sudut 10 rad/s dan mempunyaienergi kinetik 5 Joulle.

4. Momen inersia suatu ban yang berputar denganlaju 600 rpm adalah 70 kg.m². Hitung energi kinetikrotasi ban itu.

Sebuah benda adalah terdiri dari bagian-bagian kecil( partikel) yang masing-masing memiliki berat. Beratbenda adalah resultan dari semua gaya grafitasi yang dialami partikel-partikel penyusun benda.

w6

w2 w5

w1 w3 w4

Resultan gaya berat partikel-partikel penyusun bendaberada pada titik tertentu. Titik tersebut merupakantitik tangkap resultan gaya berat yang selanjutnyadisebut titik berat atau titik pusat massa.

Koordinat titik berat benda ( xo,yo). Untuk partikelyang banyak dengan titik berat(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4)………..,(xn,yn). Dan memilikiberat berturut-turut : w1,w2,w3,w4……..wn.

xo dan yo dapat ditentukan sbb :

xo = ∑xi.wi dan yo = ∑ yi.wi

∑ wi ∑ wi

Karena w =m.g.

Sehingga w1 = m1.g, w2 = m2.g , w3 = m3.g dst.

Dan persamaan berubah menjadi sbb :

xo = ∑ xi.mi dan yo = ∑ yi.mi

∑ mi ∑ mi

W3

W1 W2 W4

Maka koordinat titik berat benda diatas :

xo = ∑ xi.mi. = x1.m1 + x2.m2+x3.m3+x4m4

∑ mi m1 + m2 + m3 + m4

Dan:

yo = ∑ yi.mi = y1.m1+y2.m2+y3.m3+y4.m4

∑ mi m1 + m2 + m3 + m4

Sehingga koordinat titik berat benda yang terdiri dari4 buah partikel :

(xo;yo ) = ( ……..; ……..)

Koordinat titik berat untuk benda yang memiliki panjang:

xo = ∑ xi.ℓi = x1.ℓ1 + x2.ℓ2 +……….

∑ ℓi ℓ1 + ℓ2 +…….

yo = ∑ yi.ℓi = y1.ℓ1+y2.ℓ2 +………

∑ ℓi ℓ1 + ℓ2 + ………

Sehinga koordinat titik beratnya :

(xo;yo) = ( …….;…….)

Untuk benda yang memiliki luas (A):

xo = ∑ xi.Ai = x1.A1+x2.A2 + x3.A3 +……∑ Ai A1 + A2 + A3 +……….

yo = ∑ yi.Ai = y1.A1+y2.A2+ y3.A3 +……∑ Ai A1 + A2 + A3 +…….

Sehingga koordinat titik berat benda yang memilikiLuas (A) :

( xo;yo) = (……….;……….)

Koordinat titik berat untuk benda yang memilikiVolume

xo = ∑ xi.Vi = x1.V1 + x2.V2 +x3.V3……..

∑ Vi V1 + V2 + V3 +……..

yo = ∑ yi.Vi = y1.V1 +y2.V2 + y3.V3 +…….

∑ Vi V1 + V2 + V3 +…………..

Sehingga koordinat titik berat benda yang mempunyai Volume :

( xo ; yo ) = ( ………;……….)

1. Benda berbentuk L ditempatkan pada suatusumbu koordinat. Tentukan titik berat benda.

8 (Y)

2

0 2 6 (X)

solution

8

y1

2

y2

0 x1 2 x2 6

Diketahui :x1 = 1 A1 = 2.8 = 16y1 = 4 A2 = 2.4 = 8x2 = 4y2 = 1

xo = ∑ xi.Ai = x1.A1 + x2.A2 = 1.16+4.8 = 2∑ Ai A1 + A2 16 + 8

yo = ∑ yi.Ai = y1.A1 + y2.A2 = 4.16 + 1.8 = 3∑ Ai A1 + A2 16 + 8

(xo;yo) = ( 2;3)

Benda tegar dikatakan dalam keadaan setimbangstatik jika jumlah gaya yang bekerja pada benda itusama dengan nol dan jumlah torsi terhadapsembarang titik pada benda tegar itu sama dengannol.

Syarat benda dalam keadaan setimbang :

1. ∑ F = 0

a. ∑ Fx = 0

b. ∑ Fy = 0

2. ∑ τ = 0

1. Kesetimbangan Statik, yaitukesetimbangan ketika benda diam.

2. Kesetimbangan Dinamik, yaitukesetimbangan ketika benda bergerakdengan kecepatan tetap.

Kesetimbangan Statik terdiri dari :

a. Kesetimbangan Stabil.

b. Kesetimbangan Labil

c. Kesetimbangan Indiferen ( Netral)

Adalah kesetimbangan yang dialami benda, dimana setelah gangguan kecil yang dialamibenda dibebaskan, maka benda akan kembalike posisi kesetimbangan semula.

( Menaikan titik berat benda atau energi potensialnya)

Adalah kesetimbangan yang dialami benda, dimana setelah gangguan kecil yang dialamibenda dibebaskan maka benda tidak kembalike posisi kesetimbangan semula, tetapibahkan meningkatkan gangguan tersebut.

( Menurunkan titik berat atau energi potensialnya)

Adalah kesetimbangan yang dialami benda, dimana gangguan kecil yang dialami bendatidak mengubah posisi benda.

( Tidak menyebabkan perubahan letak titikberatnya atau energi potensialnya)

1.Suatu benda titik dipengaruhi 3 buah gaya yang besarnya

masing-masing 6N,4N dan 8N seperti pada gambar. Hitungbesar dan arah gaya R agar benda ini berada dalamkesetimbangan.

F1 = 6N

F2=4N 135o

45o

225o

F3= 8N

Uraikan dahulu tiap gaya pada komponen sumbux dan sumbu y.

Agar titik itu setimbang :

a. ∑ Fx = 0

b. ∑ Fy = 0

NO GAYA (F) SUDUT(θ) FX = F COS θ FY = F SIN θ

1 F1 = 6 N 45O F1X = F1Y =

2 F2 = 4 N 135O F2X = F2Y =

3 F3 = 8 N 225O F3X = F3Y =

4 R θ R COS θ R SIN θ

TOTAL (∑) R.Cos θ+F1x+F2x+F3x R.Sinθ+F1y+F2y+F3y

2.Hitung tegangan tali T1,T2 dan T3dari gambar dibawah, jika

benda titik A berada dalam keadaan setimbang. W adalahberat benda.

30o 60o

T1 T2

T3

W = 20 N

Y

30o 60o

T1y T2y

T1

T2

X

T1x T2x

T3

3. Hitung tegangan T1,T2,T3 dan W agar sistem pada gambardibawah berada dalam kesetimbangan.

A

T1

30o 60o

150o

B T2 T3

C

1000 N W

4. Sebuah batang BC dipasang seperti pada gambar. Hitung :

a. Gaya di B agar batang setimbang.

b. Gaya tekan bidang tumpu di A

c. Momen gaya (τ) di titik C.

A

B C

4 m 6m

FB = ? 80 N

5. Untuk batang AB dengan berat 50 N seperti gambar, Berapa besar tegangan kabel pendukung (T).

T

37o

100 cm 40 cm

100 N

C

6. Bila batang AB panjang 5 m dan massanya 5 kg disandarkanpada dinding vertikal. Titik A terletak pada dinding dan titik B pada lantai. Jika A terletak 4 m diatas lantai dan dinding licin, hitung koefisien gesek lantai dengan ujung B agar batangsetimbang ( Hampir bergerak). Jika g = 10 m/s2 .

NA A

5 m 4 m

NB

W

B fB

Ket:

NA dan NB Adalah gaya reaksi dinding dan lantai terhadap tangga. W adalahberat tangga yang titik tangkapnya terletak pada tengah-tengah tangga. fBadalah gaya gesek antara tangga dan lantai.

Syarat setimbang : ∑ Fx =0 ; ∑ Fy =0 dan ∑ τ = 0. ( Analisa di titik B)

∑ Fx =0 ∑ τ = 0

fB – NA = 0 - W. 1,5 + NA . 4 =0

µB.NB – NA = 0 - 50 . 1,5 + NA.4 =0

NA = µB.NB NA = 18,75

∑ Fy = 0 Benda setimbang jika fB = NA

NB – W = 0 µB. NB = NA

NB = W = 50 N µB.50 = 18,75

µB = 18,75/50 = 0,375

Koefisien gesek (µ) di titik B supaya tangga setimbang = 0,375.

40o 40o

T1 T2

m = 10 kg

Tentukan : Tegangan Tali T1 dan T2 ?

8. Pada sistem dibawah, abaikan massa katrol. Hitung tegangantali AB, BC dan BD jika sistem berada dalam kesetimbangan.

A

30o

B D

60o

C W2=30N W1=40N

9. Hitung besarnya gaya F yang bekerja pada benda A agar sistemsetimbang.

T T

θ

B=50 N

A F

WA = 40 N

10. Pada sistem dibawah, hitung gaya F agar sistem setimbang.

30o

T1 T2

60o

WA = 300 N

F