Pertemuan 19Pertemuan 19

LIMIT FUNGSILIMIT FUNGSI

Tujuan Tujuan

Agar mahasiswa dapat Agar mahasiswa dapat menunjukkan konsep limit dan menunjukkan konsep limit dan

penghitungannyapenghitungannya

DEFINISI LIMITDEFINISI LIMIT

Dalam kalkulus sering menjadi perhatian nilai Dalam kalkulus sering menjadi perhatian nilai “batas” (limiting value) suatu fungsi bila variabel “batas” (limiting value) suatu fungsi bila variabel bebasnya mendekati suatu bilangan nyata bebasnya mendekati suatu bilangan nyata tertentutertentuNilai “batas’ tsb (bila ada) disebut limit, dg Nilai “batas’ tsb (bila ada) disebut limit, dg notasi:notasi:

lim f(x) = L lim f(x) = L x ax a

baca: limit f(x) bila baca: limit f(x) bila xx mendekati mendekati aa adalah adalah LL.. Dlm menyelidiki keberadan limit, perlu ditanya: Apa f(x) Dlm menyelidiki keberadan limit, perlu ditanya: Apa f(x) makin mendekati L bila x makin mendekati a ?makin mendekati L bila x makin mendekati a ?

PENGHITUNGAN LIMITPENGHITUNGAN LIMIT

Ada berbagai prosedur penentuan limit fungsiAda berbagai prosedur penentuan limit fungsiIngat: umumnya Ingat: umumnya bukanbukan dg memasukkan nilai x=a ke dg memasukkan nilai x=a ke dalam f dan mencari f(a) dalam f dan mencari f(a) Satu cara dg memasukkan nilai var. x ke fungsi, sambil Satu cara dg memasukkan nilai var. x ke fungsi, sambil melihat gerakan nilai f(x) bila nilai x makin dekat ke a, melihat gerakan nilai f(x) bila nilai x makin dekat ke a, baik dari kiri/kananbaik dari kiri/kanan: : – dari kiri (kecil => besar), dari kiri (kecil => besar), – dari kanan (besar => kecil). dari kanan (besar => kecil).

Bila lim f(x)Bila lim f(x) = L = L , , limitlimit kirikiri & & lim f(x) = Llim f(x) = L , , limitlimit kanankanan x ax a __ x ax a++

maka lim f(x) = Lmaka lim f(x) = L x ax a

ILUSTRASI LIMITILUSTRASI LIMIT

Mendekati x = 2 dari kirix 1 1.5 1.9 1.95 1.99 1.005 1.999f(x) = x3 1 3.375 6.859 7.415 7.881 1.015 7.988Mendekati x = 2 dari kananx 3 2.5 2.1 2.05 2.01 2.005 2.001f(x) = x3 27 15.625 9.261 8.615 8.121 8.060 8.012

Ternyata bila nilai x makin mendekati 2, nilai f(x) makin dekat ke 8

SIFAT-SIFAT LIMIT (1)SIFAT-SIFAT LIMIT (1)

Proses penentuan limit tidak perlu selalu dg mengevaluasi Proses penentuan limit tidak perlu selalu dg mengevaluasi f(x) pd suatu seri titik di dua sisi (kiri/kanan) dari x = a f(x) pd suatu seri titik di dua sisi (kiri/kanan) dari x = a

Sifat2 limit, berguna utk menentukan nilai limit suatu fungsi.Sifat2 limit, berguna utk menentukan nilai limit suatu fungsi.1.1. Jika f(x) = c, Jika f(x) = c, c = bil.rilc = bil.ril, maka lim (c) = c, maka lim (c) = c

x ->ax ->aContoh: lim 30 = 30Contoh: lim 30 = 30

x->9x->9

2.2. Jika f(x) = xJika f(x) = xnn, n = bil. bulat positif, maka lim x, n = bil. bulat positif, maka lim xnn = = aann,, x ->ax ->a

Contoh: lim xContoh: lim x33 = (-2) = (-2)33= -8= -8 x-> -2x-> -2

SIFAT-SIFAT LIMIT (2)SIFAT-SIFAT LIMIT (2)

3.3. Jika f(x) mempunyai limit utk x ->a, dan c = bil. ril,Jika f(x) mempunyai limit utk x ->a, dan c = bil. ril,maka lim c.f(x) = c.lim f(x)maka lim c.f(x) = c.lim f(x)

x ->a x ->ax ->a x ->a 4.4. Jika lim f(x) & lim g(x) Jika lim f(x) & lim g(x) adaada, maka, maka

x ->a x ->a x ->a x ->a

lim [f(x) lim [f(x) g(x)] = lim f(x) + lim g(x) g(x)] = lim f(x) + lim g(x) x ->a x ->a x ->ax ->a x ->a x ->a

ContohContoh: lim (x: lim (x55-10) = lim (x-10) = lim (x55) - lim10) - lim10 x-> -1 x -> -1 x -> -1 x-> -1 x -> -1 x -> -1

=( -1)=( -1)55 – 10 = -11 – 10 = -11

SIFAT-SIFAT LIMIT (3)SIFAT-SIFAT LIMIT (3)

5.5. Jika lim f(x) & lim g(x) Jika lim f(x) & lim g(x) adaada, maka, maka x ->a x ->ax ->a x ->a

lim [f(x).g(x)] = lim f(x). lim g(x)lim [f(x).g(x)] = lim f(x). lim g(x) x ->a x ->a x ->ax ->a x ->a x ->a

ContohContohlim[(xlim[(x22-5)(x + 1)] = lim(x-5)(x + 1)] = lim(x22-5).lim(x + 1) =(4-5).lim(x + 1) =(422-5)(4+1)=55 -5)(4+1)=55

x->4x->4 x->4x->4 x->4x->4 Jika lim f(x) & lim g(x) Jika lim f(x) & lim g(x) adaada, maka, maka

x ->a x ->ax ->a x ->a lim f(x) lim f(x)

f(x)f(x) x ->a x ->a lim ---- = -------- lim ---- = -------- dg syaratdg syarat lim g(x) ≠ 0 lim g(x) ≠ 0

x ->a x ->a g(x) lim g(x)g(x) lim g(x) x->ax->a

LIMIT FUNGSI TERTENTULIMIT FUNGSI TERTENTU

Sifat2 limit tsb., memudahkan proses penentuan limit utk Sifat2 limit tsb., memudahkan proses penentuan limit utk kelompok fungsi tertentu, yaitu polinomial. Limit fungsi tsb. kelompok fungsi tertentu, yaitu polinomial. Limit fungsi tsb. diperoleh dg substitusi, yaitu:diperoleh dg substitusi, yaitu:

lim f(x) = f(a)lim f(x) = f(a) x ax a

Contoh:Contoh:1.1. lim (3xlim (3x22 -4x + 10) = f(-2) = 3(-2) -4x + 10) = f(-2) = 3(-2)22 -4(-2) +10 = 30 -4(-2) +10 = 30 x -> -2x -> -2

xx2 2 - 9 - 9 ( (x + 3)( x – 3) x + 3)( x – 3) l i m -------- = l I m ------------------ = l i m (x+3) = 6l i m -------- = l I m ------------------ = l i m (x+3) = 6

x->3 x - 3 x ->3 (x – 3) x->3 x - 3 x ->3 (x – 3) x -> 3 x -> 3

Walau fungsi ini tidak terdefinisi utk x = 3, nilai f(x) mendekati 6 Walau fungsi ini tidak terdefinisi utk x = 3, nilai f(x) mendekati 6 bila x mendekati 3. Ini juga contoh fungsi yg dapat bila x mendekati 3. Ini juga contoh fungsi yg dapat disederhanakan dg faktorisasi. disederhanakan dg faktorisasi.