Pertemuan 11.ppt
22
Click here to load reader
Transcript of Pertemuan 11.ppt
1
Matematika Ekonomi
Hand Out : Pertemuan 11 Persamaan Linier Simultan (PLS)
2
Persamaan Linier Simultan (PLS)
Definisi Sebuah sistem persamaan linier yang terdiri dari m persamaan linier dengan n bilangan yang tidak diketahui (variabel), dapat ditulis sebagai :
..(1)
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
. . . .
. . . .
...
...
2211
22222121
11212111
3
Solusi PLS (1) adalah urutan dari n bilangan s1, s2, …, sn sehingga jika kita mensubstitusikan x1 = s1, x2 = s2, …, xn = sn akan secara simultan memenuhi pada semua PLS, misalnya pada contoh berikut :
Solusi PLS
2 3 1
4 4 6
3 3 5 5
x y z
x y z
x y z
Solusi PLS di atas adalah x = 2, y = -2, z = 1, karena:
(2) 2( 2) 3(1) 1
4(2) ( 2) 4(1) 6
3(2) 3( 2) 5(1) 5
4
Jenis-jenis solusi PLS1. Ada satu penyelesaian (PLS konsisten)2. Banyak penyelesaian (many solution)3. Tak ada penyelesaian = No Solution (PLS tak
konsisten)
Solusi PLS dan jenis Solusi
Cara menyelesaikan PLS :
1. tanpa matriks : cara eliminasi / substitusi
2. memakai matriks : AX = B ** kalau A non singular, gunakan cara CRAMER atau Invers : X =A-1B ** Kalau A Singular atau tidak bujur sangkar, gunakan cara ROM (Row Operation Matrix)
5
Tidak mempunyai penyelesaianx
ylm
x
yl m
x
y
l
m
Mempunyai satu penyelesaian
Mempunyai tak hingga banyak penyelesaian
6
PLS (1) dapat disusun menjadi bentuk matriks sebagai berikut:
Bentuk Matriks dari Sistem PLS
mnmnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
..
..
.....
..
..
2
1
2
1
21
22212
11211
A X = B
7
ROM dapat dilakukan dengan tiga cara :1. Kalikan sebuah baris dengan sebuah konstanta
tak nol2. Pertukarkan dua baris3. Semua elemen satu baris dapat ditambah atau
dikurangi dengan k kali elemen baris yang lain.
Row Operation Matrix (ROM) atauOperasi Baris Elementer (OBE)
ROM digunakan untuk : * mendapatkan Invers matriks * menyelesaikan PLS melalui Augmented matrix * mengetahui RANK matriks, yakni angka dimensi matriks satuan I setelah proses ROM
8
Bentuk Matriks Augmented dari PLS PLS (1) dapat juga ditulis menjadi bentuk
matriks augmented sebagai berikut:
Bentuk ini dipakai kalau kita akan menyelesaikan dengan menggunakan ROM, dengan mengubah matriks [A |B], sehingga sebagian dari A atau semua menjadi matriks satuan I; Dari perubahan ini dapat dilihat apakah Rank A = Rank [A |B] atau Rank A < Rank [A|B]
mmnmm
n
n
b
b
b
aaa
aaa
aaa
.
..
.....
..
..
] | [ 2
1
21
22212
11211
BA
9
Eliminasi Gauss (Gauss – Jordan)
Langkah penyelesaian PLS dari AX = B:
1. Susun dalam matriks augmented [A |B]
2. Transformasi matriks augmented ke bentuk
eselon baris dengan menggunakan ROM,
sehingga menjadi [C|D] dimana C adalah bentuk
matriks A setelah di ROM.
3. Tentukan penyelesaian PLS dari hasil ROM
10
Contoh 1
Hitung x, y dan z dari : 2x + 4y + 5z = 56 x + 3y + 4z = 43
11
kita susun Augmented matrix , kemudian dengan ROM diperoleh:
15
2
10
01
b-
~
bb
30
43
320
431
~56
43
542
431 ~
43
56
431
542
23
21
221
223
1
b2bbb 1221
Jawab
12
155,1 15 5,10
25,0 2 5,00
zyzyx
zxzyx
Untuk berbagai harga z dapat dihitung nilai x dan ydan kalau ingin mendapatkan harga x, y dan z yang non negatif, maka :
10 ; 8 6; ; 4
0 ; 3 ; 6 ; 9
3 2; ; 1 ; 0
:diperoleh akan dan
104ialah batas memenuhi harus
z
y
x
zz
Selain itu dapat diperoleh nilai yang tidak utuh (bulat) asal memenuhi 4 z 10
13
Jika A matriks n x n maka PLS AX = B akan
mempunyai penyelesaian
X = A-1B
dengan syarat A non singular, sehingga A-1 ada
Solusi PLS dengan Invers
14
Contoh 2
Dengan menggunakan invers hitung x, y dan z dari : 2x + y + 3z = 59 x + 3y + z = 63 3x + 2y + 4z = 92
Jawab : Persamaan matriks PLS ini ialah :
92
63
59
423
131
312
AX
z
y
x
B
15
Setelah dihitung dengan cara Sarrus, maka determinan A = |A| = -2, sehingga ada Invers A
8
15
10
92
63
59
5,25,05,3
5,05,05,0
415
: maka
! periksa Anda Coba
5,20,53,5
5,00,50,5
415
: yakni 1-
z
y
x
X
A
Maka solusi PLS tadi: x =10 , y = 15 dan z = 8
16
PLS Homogen
Suatu PLS dikatakan homogen jika konstanta di sebelah kanan semuanya nol
Solusi PLS homogen ini sudah pasti semua variabel = 0, namun bisa juga diperoleh yang tidak nol dan ini hanya mungkin terjadi kalau : A matriks singular atau m < n
0 ...
. . . .
. . . .
0 ...
0 ...
2211
2222121
1212111
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
17
Jika penyelesaian x1,x2,…xn= 0, yakni hanya = 0, maka penyelesaian PLS homogen ini disebut penyelesaian trivial. Jika tidak semua xi= 0 maka solusi PLS ini
disebut penyelesaian nontrivial
Solusi non-trivial akan diperoleh kalau A adalah matriks Singular atau kalau banyaknya persamaan kurang dari banyaknya variabel (m < n) dan solusi dilakukan dengan cara ROM.
Jenis-jenis Solusi PLS homogen
18
Selesaikan persamaan homogen berikut ini3x - 5y + 2z = 02x - 4y + 4z = 0
Contoh :
19
Jawab :
0
0
410
601~
5,0
0
0
820
211
2
~
0
0
442
211
~
0
0
442
253
221
21
12
21
b
bb
bb
bb
kita susun dulu persamaan (A | 0), lalu lakukan ROM
20
Dari hasil akhir diperoleh : x - 6z = 0 => x = 6zdan y -4z = 0 => y = 4z,
sehingga untuk berbagai harga z selain 0 akan diperoleh banyak harga x, y dan z, antara lain:x =6, y= 4 ,z= 1
21
Soal Latihan PLS
2. Dapatkan solusi PLS berikut ini dengan cara eliminasi Gauss –Jordan (ROM)
b) x - 2y + 6z = 0a) -2x + y + 3z = 3
c) 4x + 6y + 3z = 78 3x + 5y + 2z = 61
0563
1342
92
zyx
zyx
zyx
1. Dapatkan solusi PLS berikut dengan cara Cramer atau Invers:
x + z = 93x + 3y +4z = 374x + 2y + 3z = 36
22
4. Sebuah pabrik memproduksi 3 jenis barang A, B dan C yang dibuat dari bahan baku P, Q dan R.Tiap 1 unit barang A dibuat dari 2 unit P, 3 unit Q dan 4 unit R;Tiap 1 unit barang B dibuat dari 4 unit P, 2 unit Q dan 3 unit R;Tiap 1 unit C hanya dibuat dari 3 unit P dan 3 unit R;Jika tersedia tiap minggu bahan baku P, Q dan R sebanyak : 2600, 1300 dan 3000 unit, maka :a). Formulasikan persamaan matriks soal ini.b). Hitung banyaknya barang A, B dan C yang dapat dibuat.
3. Selesaikan sistem persamaan linier homogen berikut 2x - y - 2z = 0 a) -x + 2y -3z = 0 b). 3x - 2y+ 4z = 0 5x - 4y - z = 0 4x + y- 13z = 0
