ALJABAR MATRIK &

RANDOM VEKTOR

NOVI HIDAYAT PUSPONEGORO

JARAK ANTAR AMATAN

Ukuran Jarak Kesamaan :Euclidean DistanceMahalanobis Distance

Ukuran Jarak Kesamaan ,digunakan untuk mengkaji jarak tiap amatan terhadap ukuran pemusatan data, deteksi outlier, maupun kesamaan karakteristik

Euclidean Distance Setiap koordinat berkontribusi sama dalam

jarak Semakin besar ukuran, semakin besar jarak Tidak memperhitungkan hubungan antar

variabel Tidak robust

Euclidean Distance (2)

22

21

222

21 ,0;,0 xxPdxxPd

Misalnya P=(x1,x2),merupakan nilai dua amatan yang digambarkan dalam sumbu koordinat ,maka jarak P terhadap titik pusat 0= (0,0) adalah

Kurang cocok,jika ternyata nilai amatan yang digambarkan memiliki fluktuasi ataupun arah yang sangat beragam

),...,,(,...,0 2122

22

1 pp xxxuntukPxxxPd

),...,,();,...,,(

,...,

2121

2222

211

pp

pp

yyyQxxxuntukP

yxyxyxQPd

Mahalanobis DistanceMemperhatikan keragaman nilai amatan (variasi)Disebut sebagai”ukuran jarak secara statistik”

11

21

11

212

22

22

11

21 ,0;,0

s

x

s

xPd

s

x

s

xPd

Euclidean V.S Mahalanobis Distance

VEKTOR

DEFINISI PANJANG VEKTOR SUDUT ANTARA 2 VEKTORVEKTOR ORTHOGONAL TURUNAN VEKTOR

PANJANG VEKTOR

Sebuah vektor a berukuran n x 1 memiliki panjang (norm) yang didefinisikan sebagai :

aa'

Dan vektor normal dari adalah:

aaa

'

VEKTOR ORTHOGONAL

Dua buah vektor berukuran n x 1 dikatakan ortogonal satu sama lain jika a’b=0

VEKTOR

Kebebasan LinierSekumpulan vektor kolom atau baris tak nol dikatakan bebas linier jika tidak ada satupun yang bisa dituliskan sebagai kombinasi linier dari vektor lainnya

MATRIKDEFINISIOPERASI MATRIKSMATRIS ORTHOGONALTRACE MATRIKSDETERMINAN MATRIKSINVERS MATRIKSRANK MATRIKSTRANSFORMASI ORTHOGONALAKAR CIRIBENTUK KUADRATMATRIKS DEFINIT POSITIF, DEFINIT NEGATIF, INDEFINITE, SEMI DEF. POSITIF, SEMI DEF. NEGATIFDEKOMPOSISI SPEKTRAL

Jajaran bilangan tersebut di atas disebut MATRIKS, dan secara umum dapat dituliskan sbb :

mnmjmmm

inijiii

nj

nj

nij

aaaaa

aaaaa

aaaaa

aaaaa

aaaaa

321

321

33333231

22232221

1131211

.....

.....

.....

m, n adalah bilangan bulat ≥ 1.

aij = elemen-elemen dari matriks (i = 1, 2.......m).. (j = 1, 2 .......n)

m banyak baris n banyaknya kolom Matriks biasanya ditulis dengan notasi (A)

mxnmatriksorde

Macam matriks

• Matriks bujur sangkar, bila m = n

mxn

987

654

321

Elemen-elemen a11, a22, .........., ann

disebut “elemen-elemen diagonal utama”

• Matriks baris, bila m = 1

• Matriks kolom, bila n = 1

Macam matriks

54321 [ A ]mx1

5

4

3

2

1

[ A ]1x n

• Matriks nol, bila aij = 0 :

0000

0000

0000

Macam matriks

TYPE MATRIKS BUJUR SANGKAR

• Matriks Diagonal, Jika semua elemen sama dengan nol, kecuali

elemen-elemen diagonal utamanya.

4000

0300

0020

0001aij = 0

aii ≠ 0

• Matriks Satuan (unit matriks). Jika elemen-elemen diagonal sama

dengan 1 dan elemen-elemen yang lain sama dengan nol.

Disebut juga matriks identitas = [ I ]

1000

0100

0010

0001

= [ I ]

TYPE MATRIKS BUJUR SANGKAR

• Matriks simetris, jika aij = aji

• Matriks skew-simetris, jika aij = - aji

573

702

321

573

702

321

TYPE MATRIKS BUJUR SANGKAR

OPERASI MATRIKS

• Kesamaan matriks

Dua matriks [A] dan [B] dikatakan sama bila

aij = bij

[ A ] dan [ B ] harus mempunyai orde yang sama.

• Penjumlahan matriks

Bila [A] dan [B] punya orde yang sama, maka kedua matriks tersebut bisa dijumlahkan menjadi matriks [C]

[C] = [A] + [B]

cij = aij + bij

OPERASI MATRIKS

Sifat-sifat penjumlahan Matriks[ A ] + [ B ] = [ B ] + [ A ] → Komutatif[ A ] + [ B ] + [ C ] = ([ A ] + [ B ]) + [ C ] → Assosiatif

6

3

5

2

4

1

3

2

2

3

1

0

[C] =

36

23

25

32

14

01

[A] =

[B] =

EXAMPLE :

9

5

7

5

5

1[C] =

• Perkalian dengan skalar : Suatu matriks [A] dapat dikalikan dengan bil.skalar k

menghasilkan suatu matriks

[D] = k [A]

dij = k . aij Sifat-sifat perkalian skalar matriks:

k ( [A] + [B] ) = k [A] + k [B] k ( [A] + [B] ) = ( [A] + [B] ) k

OPERASI MATRIKS

[ A ] = ; k = -2

[ D ] =

6

3

5

2

4

1

12

6

10

4

8

2

EXAMPLE :

• Perkalian matriks Matriks [A]mxp dan [B]pxn dapat dikalikan menghasilkan

matriks baru

[E]mxn = [A]mxp [B]pxn

dimana :i = 1, 2, … m ; j = 1, 2, … n ; k = 1, 2, … p

p

kkjikij bae

1

OPERASI MATRIKS

322

5

3

1

1

2

x

231

2

4

2

1

3

x

22)1(331

25)1(132

xx

xx

122341

152142

xxx

xxx

22124

1515

x

[A] = ; [B] =

[E] =

[E] =

EXAMPLE :

Sifat-sifat perkalian matriks :

• [A] ( [B] + [C] ) = [A] [B] + [A] [C] ; sifat distributif

• ( [A] + [B] ) + [C] = [A] [B] + [A] [C] ; sifat distributif

• [A] ( [B] [C] ) = ( [A] [B] ) [C] ; sifat assosiatif

• [A] [B] ≠ [B] [A]

• [A] [B] = [A] [C] ; belum tentu [B] = [C]

Perkalian Kronecker

Perkalian Kronecker C denganD inotasikan

C D⊗Yaitu dengan mengalikan setiap unsur

matriks C dengan matriks D, dan

kemudian membuat matriks

gabungannya.

TRANSPOSE MATRIKS

Jika matriks [A] dengan orde m x n

Transpose matriks [A] = [A]T

adalah matriks berorde n x m dengan baris dan kolom matriks [A] menjadi kolom dan baris matrix [A]T

326

3

5

2

4

1

x

236

5

4

3

2

1

x

[A] = [A]T =

EXAMPLE :

Sifat-sifat dari transpose matriks

• ( [A]T )T = [A]

• ( k [A] )T = k [A]T

• ( [A] + [B] )T = [A]T + [B]T

• ( [A] [B] )T = [B]T [A]T

DETERMINAN MATRIX BUJUR SANGKAR

[A]2x2 =

Det. [A] =

2221

1211

aa

aa

21212211 aaaa A

333231

232221

131211

bbb

bbb

bbb

3x3[B]

312232211331233321123223332211 ..... bbbbbbbbbbbbbbb B

Co-factor bij = ( –1) i+j Minor bij

Untuk matriks dengan orde yang lebih tinggi ( n x n ) → cara sama

ininiiiiikik

n

k

cacacacaA

.......22111

dimana cik = co-factor aik

INVERS MATRIKS BUJUR SANGKAR

• Matriks tidak bisa dibagi dengan matriks lainnya. Sebagai analogi, digunakan INVERSE dari matriks tersebut.

• Apabila [A] dan [B] adalah matriks bujur sangkar, dan [A] [B] = [I] = [B] [A], maka

matriks [B] disebut inverse dari matrix [A], dan matriks [A] adalah inverse dari matriks [B].• Selanjutnya [A] disebut matriks NON SINGULAR • Bila [A] tidak punya inverse disebut matriks

SINGULAR.• Inverse dari matriks [A] biasa ditulis [A]-1

101

011

326

421

331

321

100

010

001

[A] = ; [A]-1 =

[A] [A]-1 = = [ I ]

Catatan :Untuk mencari inverse suatu matrix dapat dipakai beberapa metoda, antara lain : metode ad-joint, metode pemisahan, metode Gauss-Jordan, metode Cholesky, dsb.

EXAMPLE :

Metode Gauss-Jordan

Akan dicari inversi dari matriks [A]nxn

Langkah-langkah yang dilakukan :

1) Ambil matriks satuan [I]nxn

2) Dengan cara operasi baris, ubahlah matriks [A] menjadi matriks satuan

3) Proses ke-2 juga dilakukan pada matriks [ I ], sehingga setelah proses selesai matriks [ I ] telah berubah menjadi matriks [A]-1

431

341

331

100

010

001

431

341

331

100

011

001

431

010

331

101

011

001

100

010

331

101

011

034

100

010

301

101

011

337

100

010

001

[A] =

101

011

337[A]-1 =

LANGKAH KE-1

LANGKAH KE-3

LANGKAH KE-2 LANGKAH KE-5

LANGKAH KE-4

LANGKAH KE-n Selesai …?????

EXAMPLE :

PARTISI MATRIKSSuatu matriks bisa dipartisikan menjadi SUB-MATRIKS dengan cara hanya mengikutkan beberapa baris atau kolom dari matriks aslinya.

363534333231

262524232221

161514131211

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaa

A

23

13

22

12

21

11

A

A

A

A

A

A=

dimana ;

2625

161513 aa

aaA

21

1111 a

aA

242322

14131212 aaa

aaaA

3121 aA 34333222 aaaA 363523 aaA

Aturan-aturan yang dipakai untuk mengoperasikan matriks partisi persis sama dengan mengoperasikan matriks biasa

BA 222221

1211

xAA

AA

122

1

xB

B

222121

212111

BABA

BABA

222221

1211

xAA

AA

334310

264

135

x

A

2323

42

51

X

B

122

1

xB

B

4416

3711

42

51

64

35111 BA

46

2323

2

1212 BA

812234222 BA

321642

51310121

BA

7028

][ 48223914

[B] A

EXAMPLE :

sehingga ;

MATRIKS ORTHOGONAL

Matriks P berdimensi mx m, dikatakan orthogonal jika , sehingga 1PP t

mt IPP

(a) |P| = ±1(b) |P’AP| = |A|(c) PQ adalah matriks orthogonal

TEOREMAMisalkan P dan Q matriks orthogonal mxm dan A adalah sembarang matriks mxm, maka

TRACE MATRIKS

Trace Matriks A berdimensi px p, didefinisikan sebagai

p

iiiaAtrATrace

1

)()(

(a) tr (A±B)=tr (A) ±tr (A)(b) tr (CD)=tr (DC), implikasinya tr (C’C)=tr (CC’)=

Sifat Operasi trace:

p

ji

ijc1,

2

RANK MATRIKS

RANK MATRIKSMatriks A (nxp) adalah maksimum banyaknya baris atau kolom yang bebas linear atau ordo terbesar matrik A atau minornya yang determinannya tidak sama dengan nol

Sifat-sifat:0≤r(A) ≤min (p,n)r(A)=r(A’)Matriks Singular dan NonsingularMatriks A n x n dikatakan singular jika semua baris atau kolomnya saling bebas linier ->Determinannya sama dengan 0

AKAR CIRI DAN VEKTOR CIRI

Untuk matriks A berukuran n x n maka pasangan pasangan (λ1,x1),…,‐(λn,xn) dikatakan sebagai pasangan akar ciri dan vektor ciri yangortonormal jika berlaku:Ax1= λ1x1

::

Axn= λnxnAtau memenuhi det(Ax – λIx)=0

BENTUK KUADRAT

Misal A adalah matrik berukuran n x n dan x adalah vektor peubah berukuran n x 1 maka:

MATRIKS DEFINIT POSITIF, SEMI DEF. POSITIFF

Matriks simetrik berukuran n x n bersifat:‐definit positif jikax’Ax > 0 untuk sembarang vektor x ≠ 0, semua nilai akar cirinya (+)‐semidefinit positif jikax’Ax ≥ 0 untuk sembarang vektor x ≠ 0, nilai akar cirinya(+) dan 0

MATRIKS DEFINIT NEGATIF, SEMI DEF. NEGATIF,INDEFINITE

Kalau Matriks A bersifat simetris, maka akar ciri dari Aadalah riil danmemiliki vektor ciri yang saling bebas (ortogonal)

RANDOM VEKTOR & MATIKS

Random vektor : vektor yang elemennya merupakan random variabelRandom matriks : matriks yang elemennya merupakan random variabel

,ijxXMerupakan Random mariks berukuran n X p, maka nilai ekpektasi dari setiap nilai X

,

21

22221

11211

npnn

p

p

xExExE

xExExE

xExExE

E

X

VEKTOR RATA-RATA & MATRIKS VAR-COV

22211

222

221122

1122112

11

221122

11

,,,

,

PPPPPP

PP

PP

PP

PP

XXXXX

XXXXX

XXXXX

XXX

X

X

X

E

E

μXμXEΣ

,2

1

2

1

μX

PPXE

XE

XE

E

nppp

p

p

Cov

21

22221

11211

)(XΣ

MATRIKS KORELASI

1

1

1

21

212

112

22

2

11

1

22

2

2222

22

2211

12

11

1

2211

12

1111

11

pp

p

p

pppp

pp

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

ρ

,kkii

ikik

pp

00

00

00

22

11

21

V

MATRIKS KORELASI (2)

12

112

1

21

21

VΣVρ

ΣρVV

Contoh:exercises 2.25