PERSAMAAN GARIS | Phibeta 1000, Soal dan Solusi Persamaan Garis, SIMAK UI Rumus Jarak Dua Titik:...
Transcript of PERSAMAAN GARIS | Phibeta 1000, Soal dan Solusi Persamaan Garis, SIMAK UI Rumus Jarak Dua Titik:...
1 | Phibeta 1000, Soal dan Solusi Persamaan Garis, SIMAK UI
PERSAMAAN GARIS
1. SIMAK UI Matematika Dasar 911, 2009
Diketahui adalah garis l yang dinyatakan oleh det( ) 0A dimana
1 1 2
1
2 1 3
A x y
, persamaan garis
yang sejajar l dan melalui titik (3,4) adalah....
A. 7 0x y C. 1 0x y E. 1 0x y
B. 7 0x y D. 1 0x y
Solusi: [A]
1 1 2
det( ) 1 3 2 2 4 1 3 0
2 1 3
A x y y x y x
1 0x y
Gradien garis 1 0x y adalah 1m .
Dua garis sejajar mempunyai gradien sama, sehingga persamaan garis yang sejajar l dan
melalui titik (3,4) adalah
4 1 3y x
7 0x y
2. SIMAK UI Matematika Dasar 921, 2009
Diketahui 2 1
3 3P
, 1 2
1 0Q
, dan determinan dari matriks PQ adalah k. Jika garis
2 4x y dan 3 2 5x y
berpotongan di titik A, maka persamaan garis yang melalui A dengan
gradien sebesar k adalah....
A. 6 20 0x y C. 3 2 4 0x y E. 6 16 0x y
B. 2 3 6 0x y D. 6 16 0x y
Solusi: [E]
2 1 1 2
3 3 1 0PQ
6 3 0 2 6m PQ P Q
2 4x y 2 4y x 2 4 3 2 5y x x y
3 2 2 4 5x x
8 5x
3x
2 | Phibeta 1000, Soal dan Solusi Persamaan Garis, SIMAK UI
2 4 2 3 4 2y x
Titik 3, 2A .
Jadi, persamaan garis yang melalui A dengan gradien sebesar k adalah
2 6 3y x
6 16 0x y
3. SIMAK UI Matematika IPA 944, 2009
Diketahui determinan dari hasil perkalian matriks A dengan matriks B merupakan gradien garis g
dengan 1 2
0 1A
dan 0 2
1 1B
. Garis g melalui titik potong antara garis 3x y dengan
garis 3 1x y , maka persamaan garis g adalah....
A. 3 0y x C. 6 0y x E. 2 3 0y x
B. 2 0y x D. 2 4 0y x
Solusi: [B]
1 2 0 2
0 1 1 1AB
1 0 0 2 2gm AB A B
3x y .... (1)
3 1x y .... (2)
Persamaan (1) + Persamaan (2) menghasilkan:
4 4x 1x
1 3y
2y
Titik potongnya adalah 1, 2
Persamaan garis g adalah
2 2 1y x
2 0y x
4. SIMAK UI Matematika IPA 944, 2009
Persamaan garis lurus yang dinyatakan dengan
1
1 2 1 0
1 3 2
y x
memenuhi sifat-sifat....
(1) memotong sumbu x di titik 1,0
(3) melalui 1, 2
(2) memiliki gradien 1 (4) tegak lurus garis 1 0x y
Solusi: [E]
1
1 2 1 0
1 3 2
y x
4 3 2 3 2 0y x x y
1 0x y
(1) Garis 1 0x y memotong sumbu X jika 0y , sehingga
0 1 0x
1x
3 | Phibeta 1000, Soal dan Solusi Persamaan Garis, SIMAK UI
Garis tersebut memotong sumbu x di titik 1,0 . (Benar)
(2) Garis 1 0x y memiliki gradien 1. (Benar)
(3) 1,2 1 0x y
1 2 1 0 (pernyataan bernilai benar)
Garis 1 0x y melalui 1, 2
(4) Gradien garis 1 0x y adalah 1 1m dan gradien garis 1 0x y adalah 2 1m .
Karenanya 1 2 1m m , sehingga pernyataan garis 1 0x y tegak lurus garis 1 0x y
adalah benar.
Semua pernyataan benar.
5. SIMAK UI Matematika Dasar 203, 2010
Diberikan sepasang persamaan 2 3 13x y dan 3 2x y b dengan 1 100b , dan b bilangan
bulat. Misalkan 2n x y , dengan x dan y adalah solusi dari persamaan di atas, yang berupa
bilangan bulat, maka nilai n yang memenuhi adalah....
(1) 4 (2) 3 (3) 1 (4) 2
Solusi: [-]
2 3 13x y .... (1)
3 2x y b .... (2)
2 Persamaan (1) + 3 Persamaan (2) menghasilkan
13 26 3x b
3
213
x b
3
2 2 3 1313
x b x y
3
2 2 3 1313
b y
3 6
3 2 2 13 913 13
y b b
2
313
y b
Perhatikan dari 1 100b yang menyebabkan nilai-nilai x dan y merupakan bilangan bulat
adalah 26,39,52,65,78,dan91b . Tetapi yang menyebabkan 2n x y , dengan n bilangan bulat
hanya untuk 26b , sehingga 3
26 2 813
x dan 2
26 3 113
y .
2 8 1 9n x y
9 3n 3atau 3n n
Hanya pernyataan (2) yang benar. Jadi, tidak ada pilihan opsinya.
6. SIMAK UI Matematika Dasar 204, 2010
Segitiga OAB adalah segitiga sama kaki (OA = OB). Titik O merupakan titik asal, dan B terletak
di sumbu X positif. Jika koordinat titik 3, 4A , maka koordinat titik berat segitiga OAB adalah....
A. 4 8
,3 3
B. 4 2
,3 3
C. 2 8
,3 3
D. 8 4
,3 3
E. 8 2
,3 3
Solusi: [D]
4 | Phibeta 1000, Soal dan Solusi Persamaan Garis, SIMAK UI
Rumus Jarak Dua Titik:
Jarak dari titik 1 1,x y ke titik 2 2,x y dirumuskan sebagai 2 2
2 1 2 1d x x y y
2 2
3 0 4 0 5OA
Segitiga OAB adalah segitiga sama kaki dengan 5OA OB .
Koordinat 5,0B .
Koordinat titik berat segitiga OAB adalah ,Z ZZ x y .
1 1 8
0 3 53 3 3
Z O A Bx x x x
1 1 4
0 4 03 3 3
Z O A By y y y
Jadi, koordinat titik berat segitiga OAB adalah 8 4
,3 3
Z
.
7. SIMAK UI Matematika Dasar 207, 2010
Pada suatu penangkaran terdapat burung pipit dan burung dara. Ketika 5 burung pipit dilepaskan,
jumlah burung dara dua kali burung pipit yang tersisa. Kemudian, ketika 25 ekor burung dara
dilepaskan, burung pipit yang tersisa adalah 3 kali burung dara yang tersisa. Jumlah burung pipit
semula adalah....
A. 20 B. 25 C. 30 D. 35 E. 40
Solusi: [A]
Misalnya banyak burung pipit dan dara masing-masing adalah p dan d ekor.
Ketika 5 burung pipit dilepaskan, jumlah burung dara dua kali burung pipit yang tersisa:
2 5 2 10d p p .... (1)
Ketika 25 ekor burung dara dilepaskan, burung pipit yang tersisa adalah 3 kali burung dara yang
tersisa:
5 3 25p d .... (2)
Dari persamaan (1) dan persamaan (2) diperoleh:
5 3 2 10 25p p 5 6 30 75p p
5 100p
20p
Jadi, jumlah burung pipit semula adalah 20 ekor.
8. SIMAK UI Matematika IPA 505, 2010
Kurva I memuat titik-titik ,x y sehingga 1x u , 2 3y u , u bilangan real. Kurva II
memuat titik-titik ,x y dengan 2 2x v , 4 1y v , v bilangan real. Banyaknya titik yang
terletak pada kurva I sekaligus kurva II adalah...
A. 0 B. 3 C. 10 D. E. tidakdapatditentukan
Solusi: [D]
1 2 3u x y u
2 1 3 2 5y x x .... (I)
2 2 4 1v x y v
2 2 1 2 5y x x .... (II)
Persamaan kuarva I dan II sama, berarti kedua kurva ini berimpit.
Y
X
O
4
5,0B
3, 4A
,Z ZZ x y
C
D E
5 | Phibeta 1000, Soal dan Solusi Persamaan Garis, SIMAK UI
Jadi, banyaknya titik yang terletak pada kurva I sekaligus kurva II adalah .
9. SIMAK UI Matematika Dasar 213, 2011
Titik pada garis 3 10y x yang terdekat dengan titik 3,8
adalah titik P. Jarak titik P dan
3,8 adalah....
A. 11
10 B.
11 10
10 C.
91
10 D.
91 10
10 E.
121 10
10
Solusi: [B]
Jarak dari titik 1 1,x y ke garis 0ax by c adalah
1 1
2 2
ax by cd
a b
.
Dengan demikian,
22
3 3 8 10 11 11 10
10103 1
d
10. SIMAK UI Matematika Dasar 214, 2011
Tiga buah garis lurus 1l , 2l , dan 3l mempunyai gradien masing-masing 2, 3, dan 4. Ketiga garis
ini memotong sumbu y di titik yang sama. Jika jumlah nilai x dari titik potong dengan sumbu x
dari ketiga garis adalah1
9, maka persamaan garis 2l
adalah....
A. 117 39 4x y C. 117 39 4x y E. 39 117 4x y
B. 117 39 4y D. 39 117 4x y
Solusi: [B]
01 1 0
1
12
2
ym x y
x
02 2 0
2
13
3
ym x y
x
03 3 0
3
14
4
ym x y
x
1 2 3
1
9x x x
0 0 0
1 1 1 1
2 3 4 9y y y
0
6 4 3 1
12 9y
0
12 4
9 13 39y
2 0
1 1 4 4
3 3 39 117x y
Persamaan garis 2l adalah
1x y
a b
bx ay ab
Y
X 3
3 10y x
O
1
10
P 3,8 d
Y
X O
00, y
1l
2l
3l
6 | Phibeta 1000, Soal dan Solusi Persamaan Garis, SIMAK UI
4 4 4 4
39 117 39 117x y
117 39 4x y
11. SIMAK UI Matematika IPA 511, 2011
Jika sistem persamaan
2 1
3
ax y b
x y
dan 22 2
3 3
x y a
x y
mempunyai solusi yang sama, maka banyaknya pasangan bilangan ( , )a b adalah....
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. tak berhingga
Solusi: [C]
Karena solusi kedua system persamaan adalah sama, maka kita dapat mencari nilai x dan y dari
persamaan 3x y .... (1) dan 3 3x y .... (2)
Persamaan (2) – Persamaan (1) menghasilkan:
2 0y
0y
0 3x
3x
Penyelesainnya adalah 3,0 .
23,0 2 2x y a
22 3 0 2a 2 4a
2a
2dan 3,0 2 1a ax y b
2 3 2 0 1b
1 6b
5atau 7b b
5 3 13 3
2 2
b a by x
a a
Pasalasangan bilangan ( , )a b adalah 2,5 dan 2, 7 .
Jadi, banyaknya pasangan bilangan ( , )a b adalah 2.
12. SIMAK UI Matematika IPA 522, 2012
Diberikan sistem persamaan berikut
3
4 6
x ky
kx y
Banyaknya bilangan bulat k sehingga sistem tersebut mempunyai solusi 1x dan 0y adalah...
A. 0 B. 1 C. 3 D. 5 E. tak berhingga
Solusi: [D]
3 4 6x ky kx y
3 4 6k ky y
23 4 6k k y y
2
3 23 6 3
2 2 24
kky
k k kk
7 | Phibeta 1000, Soal dan Solusi Persamaan Garis, SIMAK UI
33
2y x ky
k
3 6
32 2
kx
k k
Dari soal diketahui bahwa 0y dan 1x , sehingga
0y
30
2k
2k .... (1)
Dari soal diketahui bahwa 1x , sehingga
1x
61
2k
6 20
2
k
k
40
2
k
k
2 4k .... (2)
Dari (1) (2) diperoleh 2 4k .
Karena k bilangan bulat, maka nilai k adalah 1, 0, 1, 2, 3. Jadi, banyak bilangan k adalah 5.
13. SIMAK UI Matematika IPA 523, 2012
Himpunan semua bilangan k sehingga sistem persamaan linier:
2
3
kx y
x y
mempunyai solusi adalah....
A. 1k atau 1k B. 1 0k C. 1k D. 0k E. 2k
Solusi: [A]
Determinan koefisien:
1 1
0 01 1 1 1
atauk k
1 0 1 0atauk k
1 1atauk k
14. SIMAK UI Matematika Dasar 331, 2013
Diketahui sistem persamaan linier berikut.
13 11 700
1
x y
mx y
Agar pasangan bilangan bulat ,x y memenuhi sistem persamaan linier tersebut, banyaknya nilai
m yang memenuhi adalah....
A. 0 B. 1 C. 3 D. 5 E. 6
Solusi: [E]
1 13 11 700y mx x y
13 11 1 700x mx
13 11 711m x
13 11 1 711 3 237 9 79m x
8 | Phibeta 1000, Soal dan Solusi Persamaan Garis, SIMAK UI
Jika 1x , 700 13 700 13 1 687y x ,sehingga 1,687
Jika 711x , 700 13 700 13 711 8543y x ,sehingga 711, 8543
Jika 3x , 700 13 700 13 3 661y x ,sehingga 3,661
Jika 237x , 700 13 700 13 237 2381y x ,sehingga 3, 2381
Jika 9x , 700 13 700 13 9 583y x ,sehingga 9,583
Jika 79x , 700 13 700 13 79 327y x ,sehingga 79, 327
Jadi, banyaknya nilai m yang memenuhi adalah 6.
15. SIMAK UI Matematika Dasar Kode 1, 2015
Diketahui garis 2 2 1 0x p y sejajar dengan garis 1 6 7 0p x y . Misalkan a dan b
adalah nilai-nilai p yang memenuhi kedua persamaan tersebut dengan a b , maka nilai dari
1
57 2log ....a
b
A. 15 B. 10 C. 6 D. 3 E. 2
Solusi: [B]
1
22 2 1 0
2x p y m
p
2
11 6 7 0
6
pp x y m
Karena kedua garis tersebut sejajar, maka 1 2m m , sehingga
2 1
2 6
p
p
212 3 2p p
2 3 10 0p p
5 2 0p p
5 2p b p a
11
557 2 5 2 2log log5 10
1
5
ab
16. SIMAK UI Matematika Dasar 566, 2016
Jika solusi 2 4x y dan 5ax y selalu berada di kuadran I, maka banyak nilai a yang
merupakan bilangan bulat nonnegatif adalah ....
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5
Solusi: [B]
2 4x y .... (1)
5ax y .... (2)
Penjumlahan persamaan (1) dan (2) menghasilkan
2 9a x
9
2x
a
92 4
2y
a
9
2 42
ya
19 8 4
2
a
a
11 4
2
a
a
9 | Phibeta 1000, Soal dan Solusi Persamaan Garis, SIMAK UI
Penyelesaiannya adalah 9 11 4
,2 2
a
a a
11 4
02
a
a
3
2 24
a
Nilai-nilai a yang bulat nonnegative adalah 1, 0, 1, 2.
Jadi, banyak nilai a yang merupakan bilangan bulat nonnegatif adalah 4.
17. SIMAK UI Matematika Dasar 571, 2016
Jika titik 3, , 9, 2 ,dan 3 ,11P a Q R a membentuk segitiga PQR, dan sudut PQR = 90o , maka
luas segitiga PQR adalah ....
A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 E. 60
Solusi: [B]
Karena PQ RQ , maka 1PQ RQm m , sehingga
2 2 111
9 3 9 3
a
a
18 9 54 18a a
9 36a
4a
3, 4 , 9, 2 ,dan 12,11P Q R
2 2
9 3 2 4 36 4 2 10PQ
2 2
12 9 11 2 9 81 90 3 10QR
1 1
2 10 3 10 302 2
PQR PQ QR
18. SIMAK UI Matematika Dasar 573, 2016
Jika x ay b , 2x by a , dan 3 4x aby , maka ....a b
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 E. 10
Solusi: [B]
1
2 0
3 4
a b
b a
ab
2 2 2 24 3 2 3 8 0b a ab b a b a 2 2 2 24 3 2 3 8 0b a ab b a b a
2 2 2 23 2 4 3 8 0b ab a b b a a
2 2 23 2 4 3 8 0a b a b a a
22 2 24 4 4 3 2 3 8
2 3 2
a a a a ab
a
19. SIMAK UI Matematika Dasar Kode2, 2016
Jika 2x y a , 2x by b , dan 3 2x ay b , maka ....ab
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 E. 10
Solusi: [B]
2x y a
10 | Phibeta 1000, Soal dan Solusi Persamaan Garis, SIMAK UI
2 2x y a x by b
2 2y a by b
4 2y a by b
4 2b y b a
2
4
b ay
b
22
4
b ax a
b
2 4 4 2
4 4
b a ab a ab b
b b
3 2x ay b
2 23 2
4 4
ab b b aa b
b b
2 23 6 2 2 8ab b ab a b b
2 24 2 2 2ab a b b
2 2 2a b ab b
2
a b b
a b b 1dan 2b a
2ab
Solusi 2: [B]
Syarat tiga garis berpotongan di satu titik adalah
1 2
2 0
3 2
a
b b
a b
2 22 6 2 3 8 0b b a ab ab b 2 22 6 2 4 8 0b b a ab b
2 22 2 4 2 0b a ab b
2 2 2 0a b ab b
2
a b b
a b b 1dan 2b a
2ab
Semoga bermanfaat...