Persamaan Differential Kelas Genap_2014

69
7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014 http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 1/69  ersamaan Differensial ersamaan Differensial Tujuan: memahami arti persamaan Tujuan: memahami arti persamaan differensial dan mampu mengaitkannya differensial dan mampu mengaitkannya dengan fenomena kejadian alam di dengan fenomena kejadian alam di bidang pertanian bidang pertanian Lingkup: Arti Persamaan Differensial, Lingkup: Arti Persamaan Differensial, Penyelesaian Pers. Penyelesaian Pers. Differensial, Differensial, K K egunaan Pers. Differensial di bidang egunaan Pers. Differensial di bidang pertanian pertanian  

Transcript of Persamaan Differential Kelas Genap_2014

Page 1: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 1/69

  ersamaan Differensial

ersamaan Differensial

Tujuan: memahami arti persamaanTujuan: memahami arti persamaan

differensial dan mampu mengaitkannyadifferensial dan mampu mengaitkannya

dengan fenomena kejadian alam didengan fenomena kejadian alam dibidang pertanianbidang pertanian

Lingkup: Arti Persamaan Differensial,Lingkup: Arti Persamaan Differensial,

Penyelesaian Pers.Penyelesaian Pers. Differensial,Differensial,KKegunaan Pers. Differensial di bidangegunaan Pers. Differensial di bidang

pertanianpertanian 

Page 2: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 2/69

A. Definisi ers. Differensial

. Definisi ers. Differensial

Persamaan Differensial adalahPersamaan Differensial adalah

hubungan antara variabel bebas ,hubungan antara variabel bebas ,

variabel tak bebas y, dan satu atau lebihvariabel tak bebas y, dan satu atau lebihkoefisien differensial y terhadap koefisien differensial y terhadap

0edxdyy

dx

yddan xy 0xsinydxdyx

3x

2

22 =++=+

Page 3: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 3/69

PDPD  hubungan dinamik: hubunganhubungan dinamik: hubungan

tersebut memuat besaran!besaran yangtersebut memuat besaran!besaran yangberubahberubah

PD sering mun"ul dalam persoalan!PD sering mun"ul dalam persoalan!

persoalan ilmu pengetahuan dan teknik.persoalan ilmu pengetahuan dan teknik.#isal ke"epatan menyatakan perubahan#isal ke"epatan menyatakan perubahan

 jarak terhadap $aktu, per"epatan jarak terhadap $aktu, per"epatan

menyatakan perubahan ke"epatanmenyatakan perubahan ke"epatanterhadap $aktu, debit yang menyatakanterhadap $aktu, debit yang menyatakan

perubahan volume terhadap $aktu, dsb.perubahan volume terhadap $aktu, dsb.

Page 4: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 4/69

Orde & pangkat

rde & pangkat

%rde: tingkat derivatif &turunan' tertinggi%rde: tingkat derivatif &turunan' tertinggi

dalam suatu PDdalam suatu PD

Pangkat: pangkat tertinggi dariPangkat: pangkat tertinggi dari

penyebut derivatif dengan tingkatpenyebut derivatif dengan tingkattertinggitertinggi

! PD (! PD (  pangkat (pangkat (

! PD )! PD )  pangkat )pangkat )

)/(keduaorder persamaanadalah0xsinydx

ydxy

(dy/dx) pertamaorder  persamaanadalah 0ydx

dyx

222

2

2

2

dx yd  →  =−

 →  =−

Page 5: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 5/69

Tentukan orde & tingkat dari D

berikut:

0ydx

ydxy

dx

dyx

222 =+⋅+

d y

dx6xy

dy

dx0

2

2

2 3

  +

 

  =

e  dy

dx4x =   ,

Page 6: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 6/69

  embentukan D

embentukan D

*e"ara matematik, persamaan*e"ara matematik, persamaan

differensial mun"ul bila ada konstantadifferensial mun"ul bila ada konstanta

sembarang dieliminasikan dari suatusembarang dieliminasikan dari suatufungsi tertentu yang diberikannya.fungsi tertentu yang diberikannya.

+ontoh: y A sin - "os +ontoh: y A sin - "os

kita ingin mengeliminasi A / , apakita ingin mengeliminasi A / , apahasilnya0hasilnya0

Page 7: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 7/69

Persamaan tersebut kita turunkan,Persamaan tersebut kita turunkan,menjadi persamaan:menjadi persamaan:

y1 A "os 2 sin y1 A "os 2 sin

y11 ! A sin 2 "os y11 ! A sin 2 "os PadahalPadahal

y A sin - "os y A sin - "os

#aka bisa dituliskan:#aka bisa dituliskan:

y ! y11 atau y - y11 3y ! y11 atau y - y11 3

Page 8: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 8/69

  D orde 1 berpangkat 1

entuk 4mum:entuk 4mum:

  atauatau

5 &, y, y1' 3 atau5 &, y, y1' 3 atau

# &, y' d - 6 & , y' dy 3# &, y' d - 6 & , y' dy 3

*ifat peubah:*ifat peubah:Peubah terpisahPeubah terpisah  f&' d - g&y' dy 3f&' d - g&y' dy 3

Peubah ter"ampur, tapi mudah dipisahkanPeubah ter"ampur, tapi mudah dipisahkan

&a' f(&'.g)&y' d - f)&'.g(&y' dy 3&a' f(&'.g)&y' d - f)&'.g(&y' dy 3

&b'&b'

Peubah ter"ampur, tapi sulit dipisahkanPeubah ter"ampur, tapi sulit dipisahkan

F x,y, dydx

0         =

( )

( )

( )

( )

f x

f xdx

g y

g ydy 01

2

1

2

+ =

Page 9: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 9/69

  emecahan

ersamaan Differensial

Page 10: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 10/69

  D orde ertama, pangkat

1

Dengan 7ntegrasi LangsungDengan 7ntegrasi Langsung

Dengan pemisahan variabelDengan pemisahan variabel

Dengan substitusi y vDengan substitusi y v

Persamaan linear Persamaan linear 

Persamaan ernaulliPersamaan ernaulli

d

Page 11: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 11/69

Integrasi langsung

ntegrasi langsung

Digunakan untuk menyelesaikan PDDigunakan untuk menyelesaikan PD

dengan bentuk umum:dengan bentuk umum:

maka:maka:

)f(xdx

dy=

)f(xdxdy =

∫ =   dx x f   y )(

dy 2x

Page 12: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 12/69

ontoh, selesaikan D

berikut:

6dx

dy+=   x

)sin()!os(dx

dy

 x x   −=

10

dx

dyex =

dy

dx

2x

y 1=

+

1x

2x

dx

dy

+=

Page 13: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 13/69

!atihan A "Order e#uation$

Page 14: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 14/69

!atihan % "ormation of differential e#uation

$

(

)

8

9

Page 15: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 15/69

!atihan "ormation of differential e#uation

& order

$

Page 16: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 16/69

!atihan D " en'elesaian Differential dengan

integrasi langsung$

(

)

dy

Page 17: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 17/69

  emisahan (ariabel

emisahan (ariabel

Digunakan untuk menyelesaikan PD denganDigunakan untuk menyelesaikan PD dengan

bentuk umum:bentuk umum:

maka:maka:

)f(xdx

dy=

)yf(x,dxdy =

f(x)

f(y)

f(y)

f(x))()"()yf(x,   atauatau y f   x f  =

Page 18: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 18/69

%antuk

antuk

f(x)"f(y)dx

dy=

dxf(x)f(y)

dy=

∫ =∫    f(x)dxf(y)

dy

#(f(x))ln(f(y)   2

21 +=

Page 19: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 19/69

%entuk

entuk f(y)

f(x)

dx

dy=

dx x f  dy y f     )()(   =

∫ ∫    =   f(x)dx)(   dy y f  

#(f(x))(f(y))   2

212

21 +=

Page 20: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 20/69

%entuk

entuk f(x)

f(y)

dx

dy=

f(x)

dx

f(y)

dy=

∫ ∫    =f(x)

dx

f(y)

dy

#ln$(f(x)%ln$(f(y)%   +=

Page 21: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 21/69

)oal:

oal:

1y

2x

dy

dx

+=

dy

dx

2x

y 1=

+

)1(2dx

dy+=   y x

Page 22: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 22/69

!atihan * " en'elesaian Differential dengan

emisahan (ariabel$

(

)

8

Page 23: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 23/69

;

<

=

!atihan * " en'elesaian Differential dengan

emisahan (ariabel$

Page 24: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 24/69

(

)

8

9

Page 25: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 25/69

  en'elesaian D dengan

substitusi '+-

>ika bentuk persamaan differensial dimana :>ika bentuk persamaan differensial dimana :

&i'&i'

&ii'&ii' atau&iii'atau&iii'

artinya persamaan f&,y' tidak dapatartinya persamaan f&,y' tidak dapatdipisahkan antara faktor dan faktor y,dipisahkan antara faktor dan faktor y,

dengan "ara substitusi, yaitu dengan "aradengan "ara substitusi, yaitu dengan "aramensubstitusikan y v . dimana v f&'mensubstitusikan y v . dimana v f&'  

y)f(x,dx

dy=

f(x)"f(y)y)f(x,   ≠f(x)/f(y)y)f(x,   ≠

f(y)/f(x)y)f(x,   ≠

Page 26: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 26/69

dx

d&x&

dx

d&x

dx

dx&

dx

dy+=+=

dx

d&x&dx

dy

+=

Page 27: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 27/69

+ontoh : *elesaikan persamaan+ontoh : *elesaikan persamaan

differensialdifferensial

2x

3yx

dx

dy   +=

dxd&x&

dxdy +=

2

3&1

2x

3&xx

2x

3yx   +=

+=

+2

3&1

2x

3yx   +=

+

2

3&1

dx

d&x&

  +=+

substitusi

Page 28: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 28/69

&2

3&1

dx

d&x   −

+=

2

&1

2

2&'3&1   +=

+=

2

&1

dx

d&x

  +

=   dxx

1

d&&1

2

=+

∫ ∫ =+

  dxx

1d&

&1

2

#lnx&)2ln(1   +=+  ln&(-v') ln - ln + &(-v') +

y v  x

y& =

#xx

y1

2

 

 

 

  +

Page 29: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 29/69

(

)

8

9

;

!atihan " D dengan substitusi ' + .-$

Page 30: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 30/69

  D dengan bentuk:

Q Pydx

dy =+

n

Qy Pydx

dy

=+

P / ? adalah f&' atau konstanta

Ketiga "ara sebelumnya tidak dapatdipakai

agaimana penyelesaiannya0

Persamaan Linear 

Persamaan ernoulli

Page 31: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 31/69

  D dengan bentuk:

Q Pydxdy =+

Diselesaikan dengan mengalikan keduaruasnya dengan faktor integasinya &57'

7ngat: untuk y #6

( ) ( )dxMdNdxNd.Mdxdy ⋅+=

Dibuat ruas kiri merupakan turunanfungsi #6 tersebut

Page 32: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 32/69

ila kedua ruas dikalikan dengan faktorintegasinya &57', maka

erapakah 57 tersebut

∫ =  Pdx

e FI 

Qe Py

dx

dye

  Pdx Pdx ∫ =  

  

  +∫ 

dxQe MN 

Qedx

 MN d 

Qedx

dM  N 

dx

dN  M 

Qe yPedx

dye

 Pdx

 Pdx

 Pdx

 Pdx Pdx Pdx

"

)(

∫   ∫ =

∫ =

∫ =+

∫ =∫ +∫ 

Page 33: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 33/69

ontoh, selesaikan D berikut:

P

? 57

tanpa konstanta + karena akan saling

meniadakan jika dikalikan di dua ruas 

 x

e ydx

dy   2

  =+

 xe2

 xdx

ee  

=∫ 

Page 34: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 34/69

{ }

 x x

 x x x

 x x

 x x x

 x x x x

Cee

 y

C e

e ye

e yedxd 

ee ydx

dye

ee yedx

dy

e

2

2

"

−+=

+==

=

=+

=+

∫ 

Page 35: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 35/69

ontoh, selesaikan D berikut:

 x ydx

dy =−

Page 36: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 36/69

ontoh, selesaikan D berikut:

P !(

? 57

 x ydx

dy

=−

 xdxee   −−

=∫   1

Page 37: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 37/69

( )

 x

 x x x x x x x

 x x

 x x x

 x x

Ce x y

C e xedxee x BdA AB AdBdx xedx xee y

 xee ydx

 xe ye

dx

dye

 xe ydx

dye

+−−=

+−−=−−−=−====

=

=−

=   

   −

−−−−−−−

−−

−−−

−−

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1

)("

"

Page 38: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 38/69

Dalam penyelesian ini terlihat bah$aDalam penyelesian ini terlihat bah$a

keberhasilan tergantung pada:keberhasilan tergantung pada:

kemampuan men"ari 57kemampuan men"ari 57

kemampuan menyelesaikan bentukkemampuan menyelesaikan bentukintegral di ruas kananintegral di ruas kanan

Q Pydx

dy

=+  FI 

 FIdxQ

 y

  ∫   ⋅

=

Page 39: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 39/69

  D dengan bentuk:

nQy Pydx

dy=+

Persamaan tersebut harus diubahmenjadi persamaan di sebelah kanan

+aranya0

Q Pydx

dy=+

Page 40: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 40/69

!angkah pen'elesaian

(. agilah kedua ruas dengan , makaakan diperoleh 

). Kemudian mengandaikan 

Q Pydx

dy y

Qy y Py ydx

dy

 y

nn

nnnn

=+

=+−−

−−−

1

n y z    −=   1 ( )dx

dy yn

dx

dz    n−−=  1

n

 y

Page 41: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 41/69

!angkah pen'elesaian

8. Kalikan kedua ruas dengan &(!n' dansubstitusikan hasil langkah ) kepersamaan 

9. *elesaikan dengan mengunakan 57 

( ) ( ) ( )

( ) ( )

11

1

1

11

111

Q z  P dx

dz 

Qn Pyndx

dz 

Qn Pyndx

dy

 yn

n

nn

=+

−=−+

−=−+−

−−

Page 42: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 42/69

ontoh:

ontoh:

21 xy y

 xdx

dy=+

Page 43: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 43/69

!angkah pen'elesaian

(. agilah kedua ruas dengan , makaakan diperoleh 

). Kemudian mengandaikan 

n

 y

 x y xdx

dy y

 x y xdx

dy y

=+

=+

−−

−−

12

212

1

1

11   −− ==   y y z    n

dx

dy y

dx

dz    2−−=

Page 44: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 44/69

!angkah pen'elesaian

8. Kalikan kedua ruas dengan &(!n' dansubstitusikan hasil langkah ) kepersamaan 

9. *elesaikan dengan mengunakan 57 

 x z  xdx

dz 

 x y xdx

dy y

−=−

−=−−   −−

1

1   12

Page 45: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 45/69

P ! (@P ! (@

? !? !

57 57  x xeee   x x

dx x   11lnln

11

====∫    −−−   −

2

111

1"

 xCx

 x

C  x

 x

dx

 x

dx x

 x

 FI 

 FIdxQ z    −=

+−=

−=

−=

⋅=

  ∫ ∫ ∫ 

( )   12

21

−=

−==

 xCx y

 xCx y z 

Page 46: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 46/69

)elesaikan:

elesaikan:

 x ydx

dy x y x   !os432 =−

Page 47: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 47/69

.egunaan Persamaan Differensial.egunaan Persamaan Differensial 

Proses Peluruhan 4nsur adioaktif Proses Peluruhan 4nsur adioaktif 

Pertambahan PopulasiPertambahan Populasi

Proses Pen"ampuran LarutanProses Pen"ampuran Larutan Proses PendinginanProses Pendinginan

Proses Penurunan Air dalam eservoir Proses Penurunan Air dalam eservoir 

Berakan endaBerakan enda Cnergi tersimpan dalam komponenCnergi tersimpan dalam komponen

elektronika &induktor / kapasitor'elektronika &induktor / kapasitor'

Page 48: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 48/69

  eluruhan bahan radioaktif

4nsur radioaktif akan meluruh &de"ay'

dengan laju peluruhan yang sebanding

dengan banyaknya unsur yang belum

meluruh.

#isal sejumlah unsur radioaktif pada

$aktu t berada di suatu tempat, maka laju

peluruhan &rate of de"ay' ke"epatan

peluruhan unsur terhadap $aktu:

k*dt

d*−= k kostanta proporsi, bernilai

negatif karena menurun

Page 49: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 49/69

Page 50: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 50/69

Page 51: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 51/69

  ertambahan populasi

Proses ini berla$anan dengan peluruhan

Terjadi pada proses biologi, misalnyapertambahan penduduk, pertambahan luastanaman, pertambahan rumput!rumputan didanau, pertambahan pertumbuhan tanaman,

pertambahan uang simpanan deposito di ank,dan lain!lain.  Ada ) fenomena, yaitu: &a' pertambahan

populasi yang berbanding lurus dengan jumlahpopulasi yang ada sebelumnya. &b'pertambahan populasi berbanding lurus dengan$aktu.

Page 52: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 52/69

!a/u pertambahan populasi berbanding lurus dengan

 /umlah populasi 'ang ada sebelumn'a

+dt

d = K kostanta proporsi, bernilai

positif karena bertambah

!a/u pertambahan populasi berbanding lurus dengan

0aktu

+tdt

d=

K kostanta proporsi, bernilai

positif karena bertambah

Page 53: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 53/69

  endinginan

*uatu benda mendingin dalam medium

&udara, air' maka laju pendinginan akan

ditentukan oleh perbedaan suhu benda

dengan suhu medium tersebut.

Eukum pendinginan dari 6CFT%6

menyatakan bah$a laju perubahan suhu

benda berbanding lurus dengan beda suhu

benda &u' tersebut dengan mediumnya &um'.

( )du

dt+ u um= − −

Page 54: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 54/69

erakan benda

Laju perubahan #omentum endaberbanding lurus dengan jumlah gaya yang

bekerja pada benda itu, dalam arah jumlah

gaya itu

Ke"epatan benda yang dilempar keatas

berbanding terbalik dengan $aktu

+Fdt

d(m&)=

gt

dt

d&−=

Page 55: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 55/69

  enurunan Air dalam

2eseroir

Page 56: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 56/69

Page 57: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 57/69

  erubahan energi dalam

kapasitor & induktor

Kapasitor 

7nduktor

dt

d-C i =

dt

di LV  =

Page 58: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 58/69

(.(. Eitunglah jumlah Gat radioaktif (3 tahunEitunglah jumlah Gat radioaktif (3 tahunyang akan datang, apabila diketahuiyang akan datang, apabila diketahui

sekarang jumlahnya H3 kg dan diperlukansekarang jumlahnya H3 kg dan diperlukan

tahun untuk menluruh (@8 nyaI tahun untuk menluruh (@8 nyaI

).  Apabila suatu bahan radioaktif sebanyak

(333 kg luruh menjadi =33 kg dalam $aktu

(3 hari, hitunglah yang tinggal setelah )3

hari.

!atihan )oal

Page 59: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 59/69

8. *atu tahun yang lalu, terdapat bahan

radioaktif sebanyak 9 kg. *ekarangtinggal 8 kg. erapa bahan radioaktif

yang sama ) tahun yang lalu dan (3

tahun yang akan datang0

9. Diandaikan bah$a dalam tahun (HH;,

terdapat (333 ekor tikus liar di ka$asan

lembah ulaksumur. Tikus tersebut

berkembang biak se"ara alami, dengan

laju pertumbuhan tiap tahun berbanding

Page 60: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 60/69

lurus dengan jumlah tikus pada tahun

bersangkutan. Apabila diketahui bah$apada tahun (HH3 jumlah tikus tersebut,

banyaknya =33 ekor. Tentukan jumlah

tikus pada tahun )333 dan )3(3I

. Diketahui luas rumput liar en"eng

gondok di a$a lembah 4B#

bertambah dengan laju berbanding lurus

dengan luas yang ada. Apabila luasen"eng gondok berlipat tiga dalam

$aktu

Page 61: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 61/69

83 hari. erapa $aktu yang diperlukan

apabila luas en"eng gondok berlipat )dan 9

;. *uatu bola logam dipanaskan hingga

833

3

+ dan kemudian diletakkan didalam ruang dengan suhu udara tetap

=33+. *etelah (3 menit, suhu benda

)33+. erapa suhu benda setelah )3

menit0

Page 62: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 62/69

<. *uatu benda didinginkan di dalam suatu

ruang dengan suhu tetap )33

+. Pada t , suhu benda )333+. Pada t (3, suhu

benda (;33+. erapa suhu benda mula!

mula0 erapa lama diperlukan $aktu

untuk suhu benda sama dengan suhu

ruangan0

Page 63: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 63/69

=. *uatu benda dengan suhu mula!mula

(33

5 ditempatkan di dalam air yangsuhunya tetap <35. *etelah (3 menit,

suhu benda ()35. Kapan suhu benda

menjadi (3335 dan <350

H. *uatu reservoar yang dibendung

mempunyai spill $ay bentuk silinder

dengan diameter 3,) m dan koefisien

debit +e 3,). #ula!mula reservoarmempunyai tinggi muka air &dari spill

$ay' h 8,3 m.

Page 64: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 64/69

Eubungan antara volum reservoar

dengan tinggi muka air &h'

 v (3h.Eitunglah debit pada t (3 dan t (33I

Eitunglah volum air dalam reservoar

saat t 3 dan J saat t (33I

Page 65: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 65/69

ontoh )oal 3A)

ontoh )oal 3A)

(.(. Tuliskan persamaan dari Eukum Pendinginan 6e$ton,Tuliskan persamaan dari Eukum Pendinginan 6e$ton,dan berdasarkan hukum tersebut, selesaikanlahdan berdasarkan hukum tersebut, selesaikanlah

persamaan suhu dari suatu benda yang didinginkanpersamaan suhu dari suatu benda yang didinginkan

sebagai fungsi $aktuI +antumkan keterangansebagai fungsi $aktuI +antumkan keterangan

seperlunyaseperlunya

).). >ika diketahui benda pada saat a$al dengan suhu <3>ika diketahui benda pada saat a$al dengan suhu <333++

ditempatkan pada medium dengan suhu 93ditempatkan pada medium dengan suhu 9333+, setelah+, setelah

8 menit suhu benda menjadi ;38 menit suhu benda menjadi ;333+. Tentukanlah:+. Tentukanlah:

a.a. Faktu yang diperlukan agar suhu benda menjadi 3Faktu yang diperlukan agar suhu benda menjadi 333++

b.b. *uhu benda setelah menit*uhu benda setelah menit

Page 66: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 66/69

Page 67: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 67/69

Page 68: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 68/69

Page 69: Persamaan Differential Kelas Genap_2014

7/23/2019 Persamaan Differential Kelas Genap_2014

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-differential-kelas-genap2014 69/69