http://www.pdfonline.com/easypdf/?gad=CLjUiqcCEgjbNejkqKEugRjG27j-AyCw_-AP

PERSAMAAN DAN FUNGSI LOGARITMA

A. Persamaan Logaritma.Persamaan logaritma adalah persamaan yang peubahnya terdapat dalam bilangan pokok atau numerusnya.Contoh : (i) log (3x – 1) = log (x – 15) , (ii) (x-1)log 16 = 2, dllMacam-macam bentuk persamaan logaritma :1. alog f(x) = alog p 5. f(x)log a = g(x)log a2. alog f(x) = alog g(x) 6. f(x)log g(x) = f(x)log h(x)

3. alog f(x) = blog f(x) 7. 0loglog.2

CxBxA aa

4. f(x)log g(x) = p untuk A 0

Bentuk persamaan logaritma pada umumnya belum sederhana. Untuk menyeder-hanakan persamaan logaritma perlu memperhatikan sifat-sifat logaritma berikut :a. Bila alog x = n , maka x = an g. alog x.y = alog x + alog y

b. alog 1 = 0 h. alog y

x= alog x – alog y

c. alog a = 1 i. alog xn = n.alog x

d. alog an = n j. alog x = aa

xxb

b

log

1

log

log

e. a xa log = x k. m

nxn xa

ma

log

f. (i) alog b = alog c , maka b = c (ii) alog b = clog b , maka a = cDalam menyelesaikan persamaan logaritma, bilangan pokok logaritma perlu disamakan dahulu. Nilai penyelesaian yang diperoleh perlu diuji dengan mensubstitusikan ke persamaan semula. Nilai penyelesaian yang menjadi anggota himpunan penyelesaian (HP) adalah yang mengakibatkan :1. numerus pada persamaan semula bernilai positif.2. bilangan pokok logaritma pada persamaan semula bernilai positif dan tidak

sama dengan 1 (satu).

Contoh soal dan penyelesaian.:

Bentuk alog f(x) = alog p. Penyelesaiannya adalah f(x) = p Syarat f(x) > 0

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari 2log (2x+1) = 3 !

Penyelesaian :

2log (2x+1) = 3 => 2log (2x+1) 2log 23 => 2log (2x+1) = 2log 8

=> 2x + 1 = 8 => 2x = 7 => x = 2

7= 3 ½

Syarat : f(x) > 0 => x = 3 ½ => f(3 ½ ) = 2.3 ½ + 1 = 7 + 1 = 8 > 0 (memenuhi)

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 3 ½ }

2. Tentukan HP dari 3log (2x-5) = 4

Penyelesaian :3log (2x-5) = 4 => 3log (2x-5) = 3log 34 => 3log (2x-5) = 3log 81

=> 2x – 5 = 81 => 2x = 86 => x = 43 Syarat : f(x) > 0 => x = 43 => f(43) = 2.43 - 5 = 86 – 5 = 81 > 0 (memenuhi)

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 43 }

Bentuk alog f(x) = alog g(x). Penyelesaiannya f(x) = g(x) Syarat f(x) dan g(x) > 0.

1. Tentukan HP dari 3log (2x-3) = 3log (x+1) !

Penyelesaian : 3log (2x-3) = 3log (x+1) => 2x – 3 = x + 1 => x = 4 Syarat : f(x) dan g(x) > 0 x = 4 => f(4) = 2.4 – 3 = 8 - 3 = 5 > 0 (memenuhi) => g(4) = 4 + 1 = 5 > 0 (memnuhi) Jadi HP : { 4 }

2. Tentukan HP dari 2log ( 2x-3) = 2log (x2-3x+1) !.

Penyelesaian : 2log (2x-3) = 2log (x2-3x+1) => 2x -3 = x2 – 3x + 1 => x2 – 5x + 4 = 0 => (x - 1)(x - 4) = 0 => x = 1 atau x = 4 Syarat : f(x) dan g(x) > 0 x = 1 => f(1) = 2.1 -3 = 2 – 3 = -1 < 0 (tidak memenuhi) x = 4 => f(4) = 2.4 – 3 = 5 > 0 (memenuhi) => g(4) = 42 – 3.4 + 1 = 16 – 12 + 1 = 5 > 0 (memenuhi).

Jadi HP : { 4 }

Bentuk alog f(x) = blog f(x). Penyelesaiannya f(x) = 1

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari 3log (x2-2x-7) = 2log (x2-2x-7) !

Penyelesaian : 3log (x2-2x-7) = 2log (x2-2x-7) => x2-2x-7 = 1

=> x2-2x – 8 = 0 => (x-4)(x+2) = 0 => x = 4 atau x = -2Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {4,-2}

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari 3log (x2-3) = 5log (x2-3) !

Penyelesaian : 3log (x2-3) = 5log (x2-3)

=> x2-3 = 1 => x2 – 4 = 0 => (x-2)(x+2) = 0 => x = 2 atau x = -2 jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-2, 2}

Bentuk f(x)log g(x) = p. Penyelesaiannya f(x)p = g(x). Syarat ; f(x) dan g(x) > 0 dan f(x) 1.

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari xlog (x+2) = 2 !

Penyelesaian : Syarat : f(x) dan g(x) > 0 dan f(x) 1 xlog (x+2) = 2 x = 2 => f(2) = 2 > 0 dan f(2) ≠ 1 (memenuhi) => x2 = (x+2) => g(2) = 2+2 = 4 > 0 (memenuhi). => x2 – x – 2 = 0 x = -1 => f(-1) = 1 < 0 (tidak memenuhi). => (x-2)x+1) = 0 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 2 } => x = 2 atau x = -1

2. tentukan himpunan penyelesaian dari (x+2)log (5x+6) = 2 !.

Penyelesaian : Syarat ; f(x) dan g(x) > 0 dan f(x) ≠ 1 (x+2)log (5x+6) = 2 x = 2 => f(2) = 2+2 = 4 > 0 dan f(2) ≠ 1 (meme-

=> (x+2)2 = (5x+6) nuhi) => x2 + 4x + 4 = 5x + 6 => g(2) = 5.2+6 = 16 > 0 (memenuhi) => x2 – x – 2 = 0 x = -1 => f(-1) = -1 + 2 = 1 > 0 tetapi f(-1) = 1 => (x-2)(x+1) = 0 (tidak memenuhi) => x = 2 atau x = -1 Jadi himpunan penyelesaiannya adalag { 2 }

Bentuk f(x)log a = g(x)log a. Penyelesaiannya f(x) = g(x). Syarat : f(x) dan g(x) > 0 serta f(x) dan g(x) ≠ 1

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari (x-5)log 5 = (-2x+1)log 5 !.

Penyelesaian : Syarat : f(x) dan g(x) > 0 serta f(x) dan g(x) ≠ 1 (x-5)log 5 = (-2x+1)log 5 x = 2 => f(2) = 2-5 = -3 < 0 (tidak memenuhi). => x-5 = -2x+1 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { } => 3x = 6 => x = 2

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari 3log3log )32()73( 2 xxx !.

Penyelesaian :

3log3log )32()73( 2 xxx

=> x2 – 3x + 7 = 2x + 3 => x2 – 5x + 4 = 0

=> (x – 1)(x – 4) = 0 => x = 1 atau x = 4 Syarat : f(x) dan g(x) > 0 serta f(x) dan g(x) ≠ 1 x = 1 => f(1) = 12 – 3.1 + 7 = 5 > 0 dan f(1) ≠ 1 (memenuhi)

=> g(1) = 2.1 + 3 = 5 > 0 dan g(1) ≠ 1 (memenuhi). x = 4 => f(4) = 42 – 3.4 + 7 = 11 > 0 dan f(4) ≠ 1 (memenuhi) => g(4) = 2.4 + 3 = 11 > 0 dan g(4) ≠ 1 (memenuhi)

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {1 , 4}

Bentuk f(x)log g(x) = f(x)log h(x). Penyelesaiannya g(x) = h(x). Syarat : f(x), g(x) dan h(x) > 0, serta f(x) ≠ 1

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari xlog (2x+3) = xlog (x2-2x+6) !.

Penyelesaian : xlog (2x+3) = xlog (x2-2x+6)

=> 2x + 3 = x2 - 2x + 6 => x2 - 4x + 3 = 0

=> (x – 1)(x – 3) = 0 => x = 1 atau x = 3 Syarat ; f(x), g(x) dan h(x) > 0, serta f(x) ≠ 1 x = 1 => f(1) = 1 (tidak memenuhi)

x = 3 => f(3) = 3 > 0 dan f(x) ≠ 1 (memenuhi) => g(3) = 2.3 + 3 = 9 > 0 (memenuhi) => h(3) = 32 – 2.3 + 6 = 9 > 0 (memenuhi)

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 3 }

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari xlog (2x-1) = xlog (x + 3) !.

Penyelesaian : xlog (2x-1) = xlog (x + 3)

=> 2x – 1 = x + 3 => x = 4

Syarat ; f(x), g(x) dan h(x) > 0, serta f(x) ≠ 1 x = 4 => f(4) = 4 > 0 dan f(4) ≠ 1 (memenuhi).

=> g(4) = 2.4 – 1 = 7 > 0 (memenuhi) => h(4) = 4 + 3 = 7 > 0 (memenuhi)

Jadi himpunan penyelesaiannya adalh { 4 }

Bentuk 0)log.()log.( 2 CxBxA aa Penyelesaiannya Ay2 + By + C = 0 dengan y = alog x => x = ay

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari 5log2 x + 3.5log x – 4 = 0 !.

Penyelesaian: 5log2 x + 3.5log x – 4 = 0 => (5log x)2 + 3(5log x) – 4 = 0, misal y = 5log x, maka diperoleh: => y2 + 3y – 4 = 0 => (y + 4)(y – 1) = 0 => y = -4 atau y = 1

untuk y = -4 => 5log x = -4 => x = 5-4 = 625

1

5

14

untuk y = 1 => 5log x = 1 => x = 51 = 5.

Jadi himpunan penyelesainnya adalah { 625

1, 5 }

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari log2 x + log x2 – 3 = 0 !.

Penyelesaian : log2 x + log x2 – 3 = 0 => (log x)2 + 2(log x) – 3 = 0, misal y = log x, maka diperoleh : => y2 + 2y – 3 = 0 => ( y + 3)(y - 1) = 0 => y = -3 atau y = 1

Untuk y = -3 => log x = -3 => x = 10-3 = 1000

1

10

13

Untuk y = 1 => log x = 1 => x = 10.

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {1000

1, 10 }

SOAL-SOAL LATIHAN.

1 Tentukan himpunan penyelesaian dari :a..2log (2x+1) = 4b. 3log (x2 – 3x -7) = 1c. log (x2 + 7x + 11) = 0d. 2log (3x–5) – 2log (x+2) = 1e. 2log x + 2log (x+2) = 3f. log (x-2) + log (x-1) = 3

2 Tentukan himpunan penyelesaian dari :a.. 2log (3x+2) = 2log (x2-3x+7)b. 2log (x-4) + 2log (x-6) = 2c. 3log (x2+x) = 3log (2x+2)d. log (2x-30 + log 4 = log (2x+6)e. 4log (3x-3) = 4log (x+2)f. 3log (x2-x+6) = 3log (4x+2)

3 Tentukan himpunan penyelesaian dari :a..4log (x2+7x+13) = 5log (x2+7x+13)

b. 2log (x2-2x-7) = 4log (x2-2x-7)c. 3log (x2-x+1) = 5log (x2-x+1)d. 6log (x2-x-1) = 5log (x2-x-1)

6 Tentukan himpunan penyelesaian dari :a..(2x-5)log (x+4) = (2x-5)log (2x+1)b. (2x+1)log(x2-3x+7) =(2x+1)log(3x+2)c. (x+6)log x2 = (x+6)log (6x+7)d. (2x-1)log(x2-5) = (2x-1)log 4x

4 Tentukan himpunan penyelesaian dari :a.. xlog (2x-3) + xlog 2 = 1b. xlog (x+3) – 2 = xlog 4c. xlog (x+10) – xlog (2x-10 = 2d. xlog (4x-2) = 1

7e. (x=20log (5x-6) = (x+2)log x2

Tentukan himpunan penyelesaian dari :a..2log2x – 2.2log x – 3 = 0b. 2log2x – 2log x3 + 2 = 0c. 5log2x – 5log x4 + 5log 125 = 0

5 Tentukan himpunan penyelesaian :dari :a.. (2x-4)log 5 = (-x+2)log 5

b. 3log3log )32()73( 2 xxx

c. 6log6log )87()10( 2 xx

d. 4log4log )102()2102( 22 xxxx

d. 2log2x + 2.2log x – 3 = 0e. 2.log2x – 3.log x = -1f. 2log2x + 4.2log x = 2log 32g. 2.4log2x – 10.4log x + 8 = 0

B. Fungsi LogaritmaFungsi Logaritma adalah suatu fungsi invers (balikan) dari fungsi eksponen. Bila fungsi eksponen dinyatakan dengan f(x) = ax, a > 0, a ≠ 1, maka invers dari f(x0 ditulis dengan f-1(x) = alog x atau f(x) = alog x, a > 0, a ≠ 1.Secara umum bila y = ax, maka x = alog y. Bila f(x) = alog x, dengan a > 1, x > 0 , x R, maka f(x) dikatakan fungsi turun. Bila f(x) = alog x, dengan 0 < a < 1, x > 0 , x R, maka f(x) dikatakan fungsi naik.Grafik fungsi logaritma selalu melalui titik (1,0) dan selalu berada di sebelah kanan sumbu Y. Perhatikan gambar di bawah ini. Y y = alog x, a > 1

X 0 (1,0)

y = alog x, 0 < a < 1

Contoh Soal :1. Gambarkan grafik fungsi f(x) = 2log x , x R !

Penyelesaian :Fungsi y = f(x) = 2log x

X 8

1

4

1

2

1 1 2 4 8

y = 2log x -3 -2 -1 0 1 2 3

Grafiknya.

2. Gambarkan grafik fungsi f(x) = ,log2

1

x x R !

Penyelesaian :

Fungsi y = f(x) = 2

1

log x

x 8

1

4

1

2

1 1 2 4 8

y = 2

1

log x 3 2 1 0 -1 -2 -3

Grafiknya.

C. Pertidaksamaan logaritma.Dari grafik fungsi logaritma di atas tampak bahwa :1. Untuk a > 1 - Bila alog f(x) alog g(x), maka f(x) g(x), dengan syarat f(x) dan g(x) > 0.

- Bila alog f(x) alog g(x), maka f(x) g(x), dengan syarat f(x) dan g(x) > 0.

Contoh soal :Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 2log (2x-3) > 2log 5 ! Penyelesaian : 2log (2x-3) > 2log 5 , karena a = 2 dan a > 1, maka 2x – 3 > 5 2x > 8 x > 4 ........(1) Syarat : f(x) > 0 2x – 3 > 0 2x > 3 x > 1½ ..... (2) (1) 4 (2) 1½

4 Kesimpulan : Nilai x yang menjadi penyelesaian pertidaksamaan harus memenuhi (1) dan (2) Jadi nilai x yang memenuhi adalah x > 4

2. Untuk 0 < a < 1- Bila alog f(x) alog g(x) , maka f(x) g(x) dengan syarat f(x) dan g(x) > 0- Bila alog f(x) alog g(x) , maka f(x) g(x) dengan syarat f(x) dan g(x) > 0.

Contoh :Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan ½ log (x2 – X) < -1 ! Penyelesaian : ½ log (x2 – x) < -1 ½ log (x2 – x) < ½ log 2 , karena a = ½ dan 0 < a < 1 , maka x2 – x > 2 x2 – x – 2 > 0 (x – 2)(x + 1) > 0

x > 2 atau x < -1 ................(1) Syarat : f(x) > 0 x2 – x > 0 x(x – 1) > 0 x < 0 atau x > 1 .........(2)(1) -1 2(2) 0 1 -1 2 Kesimpulan ; Himpunan penyelesaiannya adalah { x < -1 atau x > 2}

SOAL-SOAL LATIHAN

1. Gambarkan grafik fungsi logaritma di bawah ini :

a. y = 4log x, 1616

1 x b. 16

16

1,log4

1

xxy

c. 2525

1,log5 xxy d. y = 25

25

1,log5

1

xx

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan :a. 6log (x2 – x) > 1b. 2log (x2 – x) > 2log 6c. 2log (3x + 2) < 2log (x2 – 3x + 2)d. 3log (2x – 3) < 3log (x2 + 2x – 5)e. 2log (3x – 5) + 2log (x – 2) > 1

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan :

a. 1)3log(3

1

x

b. 1)2log( 23

1

xx

c. )6log()2log( 3

123

1

xxx

d. )123log()12log( 25

125

1

xxxx

e. )122log()12log( 22

122

1

xxxx

f. )16log()112log( 23

123

1

xxxx