Kelompok : Penyelesaian akar-akar karakteristik

dan metode tabulasi

Metode Numerik

METODE NUMERIK

Oleh :-Muhammad iqbal (3101 1002 1405)-Sidiq Purnomo (3101 1002 1341)

PENDAHULUAN

Metode numerik merupakan teknik-teknik yang digunakan untuk

merumuskan masalah-masalah matematika agar dapat diselesaikan dengan

operasi-operasi aritmatika (hitungan) biasa (tambah, kurang, kali, dan bagi). Ada

beberapa alasan mengapa mempelajari metode numerik, yaitu:

1) Metode numerik merupakan alat untuk memecahkan masalah matematika

yang sangat handal. Banyak permasalahan teknik yang mustahil dapat

diselesaikan secara analitik, karena kita sering dihadapkan pada sistem-sistem

persamaan yang besar, tidak linear dan cakupan yang kompleks, dapat

diselesaikan dengan metode numerik.

2) Program paket numerik, misalnya MATLAB, MAPLE, dan sebagainya yang

digunakan untuk menyelesaikan masalah matematika dengan metode numerik

dibuat oleh orang yang mempunyai dasar-dasar teori metode numerik.

Metode Numerik

3) Banyak masalah matematika yang tidak dapat diselesaikan dengan memakai

program paket atau tidak tercakup dalam program paket. Oleh karena itu kita

perlu belajar metode numerik untuk dapat membuat program paket (software)

untuk masalah sendiri.

4) Metode numerik merupakan suatu sarana yang efisien untuk mempelajari

penggunaan komputer. Belajar pemrograman secara efektif adalah menulis

program komputer. Metode numerik mengandung bagian yang dirancang

untuk diterapkan pada komputer, misalnya membuat algoritma.

5) Metode numerik merupakan suatu sarana untuk lebih memahami matematika.

Karena fungsi metode numerik adalah menyederhanakan matematika yang

lebih tinggi dengan operasi-operasi hitungan dasar.

Metode Numerik

Tahap-tahap dalam menyelesaikan masalah matematika secara numerik

dengan memakai alat bantu komputer secara umum adalah:

1) Pemodelan

2) Pemilihan metode (algoritma) numerik

3) Pemrograman (koding)

4) Dokumentasi

5) Penafsiran hasil.

Metode Numerik

PENYELESAIAN AKAR-AKAR PERSAMAAN KARAKTERISTIK

1. METODE TABULASI

Metode Tabulasi adalah metode penyelesaian persamaan nonlinear dengan cara membuat tabel-tabel persamaan atau fungsi nonlinear di sekitar titik penyelesaian.

Contoh dan cara penyelesaian :

Contoh 1:

Tentukan akar penyelesaian dari persamaan nonlinear dengan metode Tabulasi f(x) = x3-7x+1=0

Penyelesaian :

Langkah 1.

menentukan dua nilai f(x1) dan f(x2) dengan syarat : f(x1)*f(x2)<0, missal nilai x1=2.5 dan x2=2.6 maka: F(x1)= (2.5)3-7(2.5)+1 = -0.8750

F(x2)= (2.6)3-7(2.6)+1 = 0.3760

Di dapat F(x1)*f(x2)<0 maka titik penyelesaian berada di antara nilai x1 = 2.5 dan x2 = 2.6.

Metode Numerik

Langkah 2.

Membuat tabel fungsi F(x) di sekitar f(x1) dan f(x2).

Metode Numerik

Langkah 3.

Membuat tabel di sekitar dua titik yang menyebabkan terjadinya perubahan tanda fungsi F(x) pada tabel ke 1, yaitu terjadi pada baris ke 8 dan 9. maka table ke-2 :

Metode Numerik

Langkah 4 dan setrusnya mengulangi langkah ke 3 yaitu membuat table di sekitar dua titik yang menyebabkan terjadinya perubahan tanda pada f(x) pada table sebelumnya.

Proses dihentikan jika didapatkan errornya relative kecil dan biasanya lebih kecil dari 10-7.

Maka akar pendekatanya adalah nilai x=2.57120143 dengan errornya= 9.5576979220*10-8 Metode

Numerik

Contoh 2 :

Mencari akar-akar persamaan menggunakan Metode Tabulasi

Dari pendekatan kasar, ditemukan bahwa fungsi y bernilai 0 (mutlak)

bila

x = ±1 sehingga tidak perlu dilakukan proses untuk mendapatkan x yang

lebih akurat. Dalam hal ini f (±1) = 0 .

Diperoleh 18,00 approks x = dengan selisih y1− y2 = 0,090 . Ambil data iterasi ke-10 – ( x =17,800 ) – sebagai data masukan untuk iterasi berikutnya dengan interval (0,1) yang lebih kecil untuk mendapatkan nilai x yang lebih akurat.

diperoleh x =18,100 dengan kesalahan (error) atau nilai fungsi f (18,100) = −0,014

Diperoleh 0,60 approks x = dengan selisih y1− y2 = 0,21. Ambil data iterasi ke-13 – ( x = 0,40 ) – sebagai data masukan untuk iterasi berikutnya dengan interval (0,05) yang lebih kecil untuk mendapatkan nilai x yang lebih akurat.

Diperoleh x = 0,650 dengan error atau nilai fungsi f(0,650) = 0,061

Diperoleh 1,100 approks x = dengan selisih y1− y2 = −0,270 . Ambil data iterasi ke-3 – ( x = 0,100 ) – sebagai data masukan untuk iterasi berikutnya dengan interval (0,05) yang lebih kecil untuk mendapatkan nilai x yang lebih akurat.

Diperoleh x =1,150 dengan kesalahan atau nilai fungsi f (1,150) = 0,121

Terima Kasih