PERKALIAN DAN PEMBAGIAN BILANGAN BULAT

Sifat konselasi dari penjumlahan

a+c = b+c

Bukti

(a+c)+(-c) = (b+c)+(-c)sifat penjumlahan pada kesamaan

a+(c+(-c)) = b+(c+(-c))sifat asosiatif penjumlahan

a+0 = b+0 invers penjumlahana = b

Jika a, b dan c bilangan-bilangan bulat dan a+c=b+c maka a=b

Bagaimana memberi makna perkalian dua bilangan bulat yang satu positif dan lain negatif ?

Langkah 1.a x (b+(-b)) = a x 0 = 0

Invers penjumlahan dan perkalian bilangan cacah dengan nol

Langkah 2.a x (b+(-b)) = (a x b)+(a x (-b))

Sifat distributive perkalian terhadap penjumlahan

Langkah 3.(a x b)+(a x (-b)) = 0 Sifat transitif dari kesamaan-

kesamaan pada langkah 1 dan 2Langkah 4.

(a x b)+(-(a x b))= 0Sifat invers penjumlahan

Langkah 5.(a x b)+(a x (-b))=(a x b)+(-(a x b))

Sifat transitif dari kesamaan-kesamaan pada langkah 3 dan 4

Langkah 6. a x (-b)= -(a x b)Sifat konselasi(penghapusan) dari penjumlahan

Karena perkalian bilangan-bilangan bulat bersifat komutatif ,

a x (-b)=(-b) x a dan a x (-b)= -(a x b)

maka

(-b) x a = -(a x b) = -(b x a)

jikaa = 0

maka0 X (-B)= -0 = 0

DAN(-B) X 0 = -(B X 0) = -0 = 0

Bagaimana memberi makna perkalian dua bilangan bulat negative ?

Langkah 1.

Langkah 2.

Langkah 3.

Langkah 4.

Langkah 5.

Langkah 6.

(-a) x (b+(-b)) = (-a) x 0 Sifat invers penjumlahan dan sifat perkalian bilangan bulat dengan nol

(-a) x (b+(-b)) = ((-a) x b) + ((-a) x (-b))Sifat distributive perkalian terhadap penjumlahan

((-a) x b) + ((-a) x (-b)) = 0Sifat transitif dari kesamaan-kesamaan pada langkah 1 dan 2

-(a x b) + ((-a) x (-b)) = 0Perkalian bilangan bulat negative dan bilangan bulat positif pada langkah 3

(-(a x b) + (a x b) = 0Sifat invers penjumlahan

(-(a x b) + ((-a) x (-b)) = (-(a x b) + (a x b)Sifat transitif dari kesamaan-kesamaan pada langkah 4 dan 5Langkah 7.

(-a) x (-b) = a x bSifat kanselasi dari penjumlahan

Jika a, b dan c bilangan-bilangan bulat dengan b ? 0, maka a:b = c bila dan hanya bila a = bc.

Mengingat bahwa (-a)(b) = (-ab) dan definisi di atas. maka

•-(ab) : a = (-b) dan•-(ab) : b = (-a) dan•-(ab) : (-a) = b dan•-(ab) : (-b) = a

Demikian pula karena (-a)(-b) = ab maka

ab : (-a) = (-b) danab : (-b) = (-a)

rumus-rumus definisi pembagian bilangan-bilangan bulat

((-a):b) x (b) = (-a)(a:(-b) x b = (-a)((-a):b) x (-b) = a(a:(-b)) x (-b) = a((-a) : (-b)) x b = a((-a) : (-b)) x (-b) = (-a)

Contoh soal.

Jika a,b,c,k,l, dan m adalah bilangan-bilangan bulat, maka buktikan

1. ((-a):b):(-c) = (a:c):b2. (-(abc):(-klm) = (a:k)(b:l)(c:m)

Jawaban:

1. ((-a):b):(-c) = (a:c):b kalimat pembagian

(a:c) terbagi

b pembagi

{((-a):b): (-c)} hasil pembagian

{((-a):b):(-c)}x (b x c) = a

Ki = {((-a):b) : (-c)} x b) x c

= {((-a):b) : (-c)} x (b x c) sifat asosiatif pembagian

= {((-a):b) : (-c)} x (c x b) sifat komutatif perkalian

= [{((-a):b) : (-c)} x c] x b sifat asosiatif perkalian

= (-((a):b)) x b definisi pembagian

= -((-a) : b) x b perkalian bilangan bulat

= -(-a)

= a

= Ka

URUTAN BILANGAN-BILANGAN BULAT

Definisi 1.2Jika a dan b bilangan-bilangan bulat, a lebih kecil dari b ( a < b ) biila dan hanya bila ada bilangan positif c sedemikian hingga a+c=b

Definisi 1.3Jika a dan bilangan-bilangan bulat, a lebih besar dari b ( a > b) bila dan hanya bila b < a.

Apabila a, b, c dan d bilangan bulat

a = b maka a + c = b + c a = b maka a x c = b x c a = b dan c = d maka a + c = b + d

a + c = b + c maka a = b a x c = b x c dengan c ? 0 maka a = b

Sifat 1.2

Jika a, b dan c bilangan-bilangan bulat, maka a<b bila dan hanya bila a+c < b+c. Bukti :

A. Dibuktikan jika a< b maka a+c = b+ca< b berarti ada bilangan bulat positif k sedemikian hinggaa+k = b definisi “lebih kecil dari”(a+k) + c = b+c sifat penjumlahan dalam kesamaana + (k+c) = b+c sifat asosiatif penjumlahana + (c+k) = b+c sifat komutatif penjumlahan

(a + c) + k = b+c sifat asosiatif penjumlahana + c < b + c definisi “lebih kecil dari”

Dibuktikan jika a+c< b+c maka a< b.a+c< b+c berarti ada bilangan bulat positif p

sedemikian sehingga(a+c) + p = b+c definisi “lebih kecil

dari”a+ (c+p) = b+c sifat asosiatif

penjumlahana+ (p+c) = b+c sifat komutatif

penjumlahan(a+p) +c = b+c sifat asosiatif

penjumlahan{(a+p)+c}+(-c) = (b+c) + (-c)sifat

penjumlahan pada kesamaan(a+p)+(c+(-c)) = b+(c+(-c)) sifat asosiatif

penjumlahan(a+p) + U = b + U invers penjumlahana + p = ba < b definisi “lebih kecil dari”

Sifat 1.2dari pembuktian-pembuktian diatas terbukti

bahwa

a < b bila dan hanya bila a + c < b + c

Sifat 1.4Jika a dan b bilangan-bilangan bulat dan c bilangan

bulat positif serta a x c < b x c maka a < b ,bukti :a x c < b x c(a x c) + (-(b x c))< (b x c) + (-(b x c)) sifat

kejumlahan pada ketidaksamaan(a x c) + (-(b x c))< 0 invers penjumlahan(a +(-b)) x c < 0 sifat distributive perkalian

terhadap penjumlahana +(-b)b < 0 c bilangan bulat positif(a +(-b)) + b < 0 + b sifat penjumlahan pada

ketidaksamaana + ((-b) + b) < b sifat asosiatif penjumlahana < b invers penjumlahan

Sifat 1.3 dan 1.4 dapat diringkas menjadi:

Jika a dan b bilangan-bilangan bulat dan c bilangan bulat positif maka a< b bila dan hanya bila a x c < b x c.

Sifat 1.5

Jika a dan b bilangan-bilangan bulat dan c bilangan bulat negative serta a < b maka a x c = b x c

SIFAT 1.6

Jika a dan b bilangan-bilangan bulat dan c bilangan bulat negative serta a x c < b x c maka a < b

Sifat-sifat konselasi (penghapusan) pada ketidaksamaan:

Jika a+c < b+c maka a< cJika dan b bilangan-bilangan bulatdan c

bilangan bulat positif serta a x c < b x c maka a < c

Jika a dan b bilangan-bilangan bulat dan c bilangan bulat negative serta a x c < b x c maka a > b