PENYELESAIAN MODEL TAHAP TERHINGGA DAN … · model tersebut diaplikasikan dalam bidang pertanian,...

PENYELESAIAN MODEL TAHAP TERHINGGA DAN

TAKHINGGA PADA PROSES KEPUTUSAN MARKOV

DAN APLIKASINYA DI BIDANG PERTANIAN

BILYAN USTAZILA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2014

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN

SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penyelesaian Model Tahap

Terhingga dan Takhingga pada Proses Keputusan Markov dan Aplikasinya di

Bidang Pertanian adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing

dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun.

Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun

tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan

dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut

Pertanian Bogor.

Bogor, April 2014

Bilyan Ustazila

NIM G54100101

ABSTRAK

BILYAN USTAZILA. Penyelesaian Model Tahap Terhingga dan Takhingga pada

Proses Keputusan Markov dan Aplikasinya di Bidang Pertanian. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan HADI SUMARNO.

Proses keputusan Markov adalah suatu proses pengambilan keputusan

menggunakan rantai Markov untuk model-model stokastik. Tujuan karya ilmiah

ini adalah merumuskan model stokastik yang melibatkan state, tindakan dan

reward. Lalu, model tersebut diaplikasikan dalam bidang pertanian, yaitu

menentukan keuntungan optimal dengan memberikan suatu tindakan, serta

menentukan kebijakan optimal yang memaksimumkan keuntungan (reward).

Metode yang digunakan untuk menentukan kebijakan optimal adalah

enumerasi lengkap, iterasi kebijakan dan formulasi pemrograman linear. Diantara

metode yang digunakan, metode iterasi kebijakan yang paling efisien.

Berdasarkan data yang digunakan dalam kasus ini, penentuan kebijakan dengan

ketiga metode ini menghasilkan kesimpulan yang sama yaitu petani tidak akan

menggunakan pupuk saat kondisi tanah baik, dan akan menggunakan pupuk saat

kondisi tanah sedang atau buruk. Pada kasus dengan faktor diskonto sebesar 0.7,

masalah pertanian ini menghasilkan kebijakan yang sama dengan kasus tanpa

diskonto.

Kata kunci: enumerasi, iterasi kebijakan, pemrograman linear, proses keputusan

Markov

ABSTRACT

BILYAN USTAZILA. Solution of Finite and Infinite Stage Models in Markov

Decisicion Processes and Its Application in Agricultural Sector. Supervised by I

WAYAN MANGKU and HADI SUMARNO.

Markov decision process is a decision making process using Markov chain

for stochastic models. The aim of this paper is to formulate a stochastic model

involving states, actions and rewards. Further, the model is applied into

agricultural sector, especially on determination of the optimal revenue based on

actions specified. Also to determine an optimal policy that maximizes the reward.

The methods used in this study are the complete enumeration, the policy

iteration and the linear programming methods. Among the methods used, the most

efficient method is the policy iteration. Based on the data used, determination of

the policy using those three methods concluded that farmers would not use

fertilizer when the soil fertility is good, and will use fertilizer when the soil

fertility are moderate or low. Especially, for the case of the discount 0.7, the

agricultural problem resulting the same policy with the case of no discount rate.

Keywords: enumeration, linear programming, Markov decision process, policy

iteration.

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains

pada

Departemen Matematika

PENYELESAIAN MODEL TAHAP TERHINGGA DAN

TAKHINGGA PADA PROSES KEPUTUSAN MARKOV

DAN APLIKASINYA DI BIDANG PERTANIAN

BILYAN USTAZILA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2014

Judul Skripsi : Penyelesaian Model Tahap Terhingga dan Takhingga pada Proses

Keputusan Markov dan Aplikasinya di Bidang Pertanian.

Nama : Bilyan Ustazila

NIM : G54100101

Disetujui oleh

Prof Dr Ir I Wayan Mangku, MSc

Pembimbing I

Dr Ir Hadi Sumarno, MS

Pembimbing II

Diketahui oleh

Dr Toni Bakhtiar, MSc

Ketua Departemen

Tanggal Lulus:

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala

karunia-Nya sehingga karya ilmiah yang berjudul Model Tahap Terhingga dan

Takhingga pada Proses Keputusan Markov dan Aplikasinya di Bidang Pertanian

berhasil diselesaikan. Skripsi ini merupakan syarat bagi penulis untuk dapat meraih

gelar Sarjana Sains pada Mayor Matematika. Terima kasih penulis ucapkan kepada

Bapak Prof Dr Ir I Wayan Mangku, MSc dan Bapak Dr Ir Hadi Sumarno, MS

selaku dosen pembimbing dan Bapak Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc

selaku dosen penguji yang telah memberi masukan dalam penulisan skripsi. Selain

itu, penulis juga mengucapkan terima kasih kepada bapak, ibu, kakak Bellya Saksilia,

atas doa dan kasih sayangnya serta teman-teman matematika 47, Ayun, Alin, Jupe,

Pupu, Leni, pembahas seminar Marin, Safi’i dan Novia, dan anak kosan Tyas, Kak

Mira, Kak Ira, Iis, Admas

Penulis menyadari bahwa penulisan skripsi ini kurang sempurna. Oleh

karena itu, kritik dan saran yang membangun sangat penulis harapkan. Penulis juga

berharap skripsi ini dapat memberikan pengetahuan dan manfaat.

Bogor, April 2014

Bilyan Ustazila

DAFTAR ISI

DAFTAR TABEL vi

DAFTAR LAMPIRAN vi

PENDAHULUAN 1

Latar Belakang 1

Tujuan 1

TINJAUAN PUSTAKA 2

APLIKASI DI BIDANG PERTANIAN 4

Aplikasi Model Pemrograman Dinamis Tahap Terhingga 4

Aplikasi Model Pemrograman Dinamis Tahap Takhingga 7

Metode Enumerasi Lengkap 8

Masalah Petani dengan Tahap Perencanaan Periode Takhingga 8

Metode Iterasi Kebijakan 10

Metode Iterasi Kebijakan tanpa Diskonto 12

Metode Iterasi Kebijakan dengan Diskonto 13

Penyelesaian Pemrograman Linear untuk Masalah Keputusan Markov 15

Masalah Keputusan Markov tanpa Diskonto 15

Masalah Keputusan Markov dengan Diskonto 17

SIMPULAN DAN SARAN 18

Simpulan 18

Saran 18

DAFTAR PUSTAKA 18

LAMPIRAN 20

RIWAYAT HIDUP 24

DAFTAR TABEL

1 Nilai-nilai 6

2 Hasil perhitungan pada n = 3 6



5 Nilai-nilai 7

6 Kebijakan yang terjadi 8

7 Nilai-nilai setiap state 9

8 Nilai dan semua kebijakan 10

9 Hasil iterasi kebijakan tanpa diskonto pada iterasi pertama 12

10 Hasil iterasi kebijakan tanpa diskonto pada iterasi kedua 13

11 Hasil iterasi kebijakan tanpa diskonto pada iterasi ketiga 13

12 Hasil iterasi kebijakan dengan diskonto iterasi pertama 14

13 Hasil iterasi kebijakan dengan diskonto iterasi kedua 15

DAFTAR LAMPIRAN

1 Keuntungan per tahap kebijakan tahap takhingga 20

2 Proses perhitungan pada metode iterasi kebijakan tanpa diskonto 22

3 Proses perhitungan pada metode iterasi kebijakan dengan diskonto 23

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Dalam kehidupan sehari-hari, manusia sering menemukan suatu

permasalahan, baik permasalahan kecil maupun besar. Setiap menghadapi

permasalahan, manusia dituntut untuk mengambil suatu tindakan atau kebijakan.

Dalam proses stokastik, tindakan atau kebijakan tersebut dikenal dengan

keputusan. Dalam proses pengambilan keputusan akan ada risiko yang harus

ditanggung. Risiko menjadi salah satu pertimbangan untuk mengambil keputusan.

Keputusan yang sederhana hanya akan berpengaruh pada risiko yang kecil,

sedangkan untuk keputusan besar akan mengakibatkan risiko yang besar, sehingga

perlu pertimbangan yang matang. Dalam praktiknya, terdapat banyak alternatif

pilihan keputusan, sehingga diperlukan teknik-teknik dalam pemilihannya agar

memperoleh hasil yang optimal. Alternatif keputusan tersebut memiliki unsur

probabilitas karena dalam pembuatan keputusan dihadapkan pada ketidakpastian.

Proses keputusan Markov (Markov Decision Process) menjelaskan model

dinamika dari pengambilan keputusan yang mengandung unsur ketidakpastian.

Pada setiap langkah proses keputusan Markov dipilih tindakan tertentu dan

tindakan tersebut akan menghasilkan keuntungan (reward) yang sesuai. Untuk

mendapatkan keuntungan yang optimal, diperlukan kebijakan yang optimal pula.

Kebijakan optimal dapat diperoleh dengan menggunakan tiga metode yaitu

metode enumerasi, metode iterasi kebijakan (policy iteration method), dan metode

solusi program linear (linear program solution method).

Pembahasan utama dalam karya ilmiah ini yakni metode iterasi kebijakan

dan metode pemrograman linear. Metode iterasi kebijakan ini diawali dengan

mengambil sebuah kebijakan dan menghitung nilainya yang dalam

perhitungannya terdapat faktor diskonto (α) maupun tidak terdapat faktor

diskonto. Faktor diskonto adalah pengali untuk menghitung nilai uang yang akan

datang bila dinilai dalam waktu sekarang. Adanya faktor diskonto (α < 1) dapat

menghasilkan perubahan dalam kebijakan optimal, dibandingkan dengan kasus

tanpa diskonto (α = 1). Setelah itu, memperbaiki kebijakan secara iteratif sesuai

algoritme yang ada hingga kebijakan tersebut tidak dapat diperbaiki, dengan kata

lain telah mencapai kondisi optimal.

Masalah keputusan Markov tahap takhingga dengan ataupun tanpa

menggunakan faktor diskonto dapat dirumuskan dan diselesaikan sebagai sebuah

pemrograman linear. Batasan atau kendala dari metode pemrograman linear

adalah peluang steady-state dari rantai Markov. Secara khusus, setiap kebijakan

dinyatakan sebagai kelompok tindakan yang tetap.

Penentuan kebijakan optimal di bidang manajemen pemasaran dan produksi

telah dijelaskan pada Hidayah (2013) dengan menggunakan algoritme

Discounted-Return Policy-Improvement.

Dalam karya ilmiah ini digunakan metode enumerasi lengkap, iterasi

kebijakan, formulasi pemrograman linear pada aplikasi di bidang pertanian. Setiap

tahap, di awal musim tanam, petani menggunakan pengujian kimia untuk

memeriksa kondisi tanah. Dari hasil pengujian tersebut, produktivitas sawah

untuk setiap musim dikelompokkan dalam beberapa kategori. Petani dapat

2

melakukan tindakan yaitu menggunakan pupuk untuk memperbaiki kondisi tanah.

Petani melihat bahwa produktivitas tahap yang akan datang dapat diasumsikan

hanya bergantung pada kondisi tanah sekarang dan memerlukan penentuan arah

tindakan terbaik yang harus dilakukan berdasarkan hasil dari pengujian kimia.

Proses optimisasi didasari oleh pemaksimuman keuntungan yang diperkirakan.

Proses keputusan Markov adalah salah satu cara yang cocok untuk menyelesaikan

masalah ini.

Tujuan

Tujuan karya ilmiah ini adalah

1 Merumuskan suatu model stokastik yang melibatkan state, tindakan, dan

reward.

2 Mengaplikasikan model tersebut dalam bidang pertanian, yaitu menentukan

keuntungan dengan memberikan beberapa alternatif tindakan.

3 Menentukan kebijakan optimal yaitu memaksimumkan keuntungan (reward).

TINJAUAN PUSTAKA

Proses keputusan Markov (Markov Decision Process/ MDP) awalnya

diperkenalkan oleh Andrey Markov, seorang matematikawan Rusia pada awal

abad ke-20 (Tijms 1994). Proses keputusan Markov berguna untuk mempelajari

berbagai masalah optimasi yang dipecahkan melalui dynamic programming.

Proses keputusan Markov adalah sebuah sistem yang dapat memindahkan satu

keadaan yang khusus ke keadaan lainnya yang mungkin. Proses keputusan

Markov pada dasarnya merupakan perluasan dari rantai Markov sehingga harus

memenuhi syarat Markov. Menurut Grimmet dan Stirzaker (1992) suatu proses S

disebut sebagai rantai Markov jika memenuhi syarat Markov, yaitu

P(St = s | S0 = s0, S1 = s1,…, St-1 = st-1)= P(St = s | St-1 = st-1).

Dalam proses keputusan Markov memungkinkan adanya pilihan tindakan

(action) yang menghasilkan keuntungan. Oleh karena itu, dapat dikatakan proses

keputusan Markov merupakan kerangka matematika untuk memodelkan

pembuatan keputusan di situasi yang hasilnya bersifat acak dan berada di bawah

kontrol dari pembuat keputusan. Proses keputusan Markov memiliki unsur-unsur

yaitu

1 State

State adalah suatu keadaan, akibat, atau kejadian (alamiah) pada suatu

waktu dimana pengambil keputusan hanya mempunyai sedikit kontrol atau

bahkan tidak memiliki kontrol terhadapnya. State dilambangkan i dengan i =

1, 2,…,m . Setiap i 𝜖 I dengan I himpunan state (Rosadi 2000).

2 Tindakan

Tindakan adalah suatu bagian dari aksi atau strategi yang mungkin

dipilih oleh pengambil keputusan di setiap state. Tindakan dilambangkan k

dengan k = 1, 2,..., K. Setiap k 𝜖 dengan himpunan tindakan (Rosadi

2000).

3

3 Probabilitas transisi

Menurut Taylor dan Karlin (1998), probabilitas transisi disebutkan

sebagai peluang n-step

, yaitu peluang bahwa suatu proses yang mula-

mula berada pada state i akan berada pada state j setelah n tambahan transisi.

Menurut Heymen dan Sobel (2004), probabilitas transisi adalah suatu

fungsi yang menyatakan peluang perpindahan dari suatu state ke state

lainnya. Probabilitas transisi pada proses keputusan Markov harus memenuhi

asumsi sifat Markov seperti yang dijelaskan sebelumnya yaitu ketika tindakan

diambil di state , maka state telah ditentukan dengan sebuah cara

yang hanya bergantung pada dan . Sehingga berlaku persamaan

P( ∈ I| , = P( ∈ I | =i, = k).

Notasi I melambangkan himpunan state dan menyatakan kejadian

lampau hingga waktu pengambilan keputusan ke-n diambil. Bentuk notasinya

sebagai berikut =( , , , , ..., , , ).

Pengambilan keputusan masa yang akan datang didasarkan pada

keadaan sekarang, bukan berdasarkan pada keadaan di masa lalu. Hal ini

dikarenakan keadaan di masa lalu dianggap bebas dengan keadaan di masa

yang akan datang. Dalam prosesnya, pembuat keputusan harus mengambil

suatu tindakan dari alternatif-alternatif yang ditetapkan. Tindakan sekarang

mempengaruhi peluang transisi pada perpindahan yang akan datang dan

mendatangkan sebuah keuntungan atau kerugian setelah itu. Nilai peluang

adalah tak negatif dan karena proses tersebut harus mengalami transisi ke

suatu state maka ≥ 0, untuk semua ∈ , ∑

= 1

untuk semua ∈ . Secara umum, probabilitas transisi tidak perlu

sama setiap tahap.

4 Reward transisi

Keuntungan yang diperoleh sebagai implikasi terjadinya transisi antar

state pada tindakan ke-k yang dilambangkan . Jika matriks probabilitas

transisi P berukuran dan elemen-elemennya , maka matriks reward

R juga berukuran dengan elemen-elemennya (Rosadi 2000).

Menurut Taha (1987), proses perhitungan reward dapat menggunakan faktor

diskonto maupun tanpa faktor diskonto.

5 Kebijakan optimal

Suatu kebijakan terbaik dari sekian banyak tindakan yang mungkin,

sebagai hasil menjalankan serangkaian proses pengambilan keputusan. Secara

matematis dinyatakan sebagai himpunan semua keputusan di setiap state yang

memberikan reward maksimal atau cost minimal (Rosadi 2000).

6 Ekspektasi reward

Ekspektasi reward adalah pengembalian yang diperkirakan dan

dihasilkan dari satu transisi pada keadaan i dengan tindakan k. Ekspektasi

reward dilambangkan dengan

∑

. Kebijakan optimal

adalah kebijakan yang menghasilkan keuntungan terbesar dilambangkan .

4

7 Aplikasi pada masalah manajerial

Solusi yang didapatkan oleh Hidayah (2013) pada masalah manajerial

dengan konsep proses keputusan Markov menggunakan algoritme Discounted-

Return Policy-Improvement memberikan keuntungan optimal.

Beberapa metode dalam proses keputusan Markov yaitu, enumerasi lengkap

(iterasi nilai), formulasi pemrograman linear, dan metode iterasi kebijakan (policy

iteration method). Dalam karya ilmiah ini metode yang digunakan adalah

enumerasi lengkap, policy iteration dengan algoritma perbaikan kebijakan, dan

formulasi pemrograman linear baik dengan maupun tanpa faktor diskonto. Faktor

diskonto adalah pengali untuk menghitung nilai uang yang akan datang bila dinilai

dalam waktu sekarang. Faktor diskonto yang digunakan dalam karya ilmiah ini

sebesar 0.7.

APLIKASI DI BIDANG PERTANIAN

Aplikasi Model Pemrograman Dinamis Tahap Terhingga

Penerapan pemrograman dinamis (DP) untuk pemecahan suatu proses

keputusan stokastik dapat dijabarkan oleh sejumlah state yang terhingga.

Probabilitas transisi antara state dijabarkan dengan sebuah rantai Markov.

Keuntungan (reward) dari proses ini juga dijabarkan oleh sebuah matriks dengan

elemen-elemen individual yang merepresentasikan keuntungan atau biaya yang

dihasilkan oleh pergerakan dari satu state ke state lainnya.

Setiap tahap, di awal musim tanam, petani menggunakan pengujian kimia

untuk memeriksa kondisi tanah. Dari hasil pengujian tersebut, produktivitas

sawah untuk setiap musim dikelompokkan dengan kategori baik (state 1), sedang

(state 2), dan buruk (state 3). Selama beberapa tahap, petani hanya melihat bahwa

produktivitas tahap yang akan datang dapat diasumsikan hanya bergantung pada

kondisi tanah sekarang.

Probabilitas transisi dalam 1 tahap dari satu state produktivitas ke state

lainnya dengan tindakan tanpa menggunakan pupuk dapat dipresentasikan dalam

bentuk rantai Markov berikut

State yang akan datang

State sekarang (

).

Jika petani melakukan tindakan yaitu menggunakan pupuk untuk memperbaiki

kondisi tanah, yang menghasilkan matriks transisi

(

).

Untuk setiap tindakan yang diambil petani tersebut terdapat pengembalian

keuntungan (reward) dengan transisi dari satu state ke state lainnya.

5

Pengembalian tersebut adalah keuntungan atau kerugian dalam periode 1 tahap,

bergantung pada state yang terjadi dalam transisi.

Matriks dan adalah fungsi pengembalian dalam jutaan rupiah yang

berkaitan dengan matriks dan secara berturut-turut.

(

) (

).

Jika petani menggunakan pupuk hanya saat kondisi tanah buruk (state 3)

atau tindakan 3. Kebijakan yang menyatakan penggunaan pupuk hanya ketika

kondisi tanah buruk, matriks transisi dan matriks reward yang dihasilkan, P dan R

adalah

(

) (

).

Petani merencanakan untuk “Berhenti bekerja” setelah N tahap, sehingga

optimisasinya adalah akumulasi keuntungan tertinggi yang diperoleh petani di

akhir N tahap. Tindakan yang tersedia bagi petani k = 1 dan k = 2 dengan

adalah probabilitas transisi untuk tindakan k dan adalah fungsi pengembalian

untuk tindakan k. Jumlah state untuk setiap tahap adalah m = 3 dan definisikan

adalah keuntungan optimal yang diperkirakan untuk tahap n, dengan

diketahui kondisi tanah di awal tahap n adalah i. Persamaan rekursif mundur yang

mengaitkan dan dapat ditulis

Persamaan ini menyatakan bahwa keuntungan kumulatif, ,

yang dihasilkan dari tercapainya state j di tahap dari state i di tahap n

terjadi dengan probabilitas . Jika

mewakili pengembalian yang

diperkirakan dan dihasilkan dari satu transisi dari state i dengan diketahui

tindakan k, maka dapat ditulis sebagai

∑

.

Persamaan rekursif pemograman dinamik dapat ditulis sebagai

{ ∑

}

Berikut perhitungan untuk mengevaluasi tindakan 1 (tanpa menggunakan pupuk)

dan tindakan 2 (menggunakan pupuk)

= 0.1(7) + 0.5(6) + 0.4(3) = 4.9

= 0 + 0.4(5) + 0.6(1) = 2.6

= 0 + 0 + 1( 1) = 1

= 0.2(6) + 0.6(4) + 0.2( 1) = 3.4

= 0.1(7) + 0.6(4) + 0.3(0) = 3.1

= 0.05(6)+ 0.45(3) + 0.5( 2) = 0.65

𝑓𝑛 𝑖 𝑘 ∑ 𝑝𝑖𝑗𝑘 𝑟𝑖𝑗

𝑘 𝑓𝑛 𝑗 𝑚𝑗 𝑛 𝑁 dengan 𝑓𝑁 𝑗 = 0.

6

Jika kondisi tanah baik (state 1) dengan tindakan tanpa menggunakan pupuk di

awal tahap, satu transisi diperkirakan menghasilkan reward 4.9, sedangkan jika

petani menggunakan pupuk maka akan menghasilkan reward 3.4.

Tabel 1 Nilai-nilai

Tahap 3 (n = 3)

Tabel 2 Hasil perhitungan pada n = 3

State Kebijakan optimal

i k = 1 k = 2

1 4.9 3.4 4.9 1

2 2.6 3.1 3.1 2

3 1.0 0.65 0.65 2

adalah kebijakan optimal pada saat kondisi tanah ke i.

Tahap 2 (n = 2)


Tahap 1 (n = 1)


i

Kebijakan optimal

k = 1 k = 2

1

4.9+0.1(7.2)+0.5(5.645) +

0.4(2.615)=9.4885

3.4+0.2(7.2)+0.6(5.645)+

0.2(2.615)=8.75 9.489 1

2 2.6+0(7.2)+0.4(5.645)+

0.6(2.615)=6.427

3.1+0.1(7.2)+0.6(5.645)+

0.3(2.615)=7.992 7.992 2

3 1+0(7.2)+0(5.645)+

1(2.615)=1.615

0.65+0.05(7.2)+

0.45(5.645)+ 0.5(2.62)=4.86 4.86 2

i

1 4.9 3.4

2 2.6 3.1

3 1.0 0.65

i

Kebijakan optimal

k = 1 k = 2

1 4.9+0.1(4.9)+0.5(3.1)+

0.4(0.65)=7.2

3.4+0.2(4.9)+0.6(3.1)+

0.2(0.65)=6.37 7.2 1

2 2.6+0(4.9)+0.4(3.1)+

0.6(0.65)=4.23

3.1 +0.1(4.9)+0.6(3.1)+

0.3(0.65)=5.645 5.645 2

3 1+0(4.9)+0(3.1)+ 1(0.65)

= 0.35

0.65+0.05(4.9)+

0.45(3.1)+0.5(0.65) =2.615 2.615 2

7

Kebijakan optimal dari masalah ini adalah setiap tahap petani sebaiknya tidak

menggunakan pupuk ( = 1) saat tanah dalam state baik (state) 1, tetapi

menggunakan pupuk saat tanah dalam state sedang atau buruk (state 2 atau 3).

Reward (keuntungan) yang diperkirakan untuk tiga tahap adalah = 9.489 jika state tanah dalam tahap 1 baik, = 7.992 jika sedang, dan

= 4.86 jika buruk.

Selanjutnya untuk mengevaluasi tindakan 3 yang menyatakan penggunaan

pupuk hanya saat kondisi tanah buruk (state 3)

(

) (

).

= 0.1(7) + 0.5(6) + 0.4(3) = 4.9

= 0 + 0.4(5) + 0.6(1) = 2.6

= 0.05(6) + 0.45(3) + 0.5( 2) = 0.65.

Tabel 5 Nilai-nilai

i 3

1 4.9 6.95 8.566

2 2.6 4.03 5.646

3 0.65 2.39 4.006

= 4.9; = 2.6; = 0.65

= 4.9 + 0.1(4.9) + 0.5(2.6) + 0.4 (0.65) = 6.95

= 2.6 + 0(4.9) + 0.4(2.6) + 0.6 (0.65) = 4.03

= 0.65 + 0.05 (4.9) + 0.45(2.6) + 0.5(0.65) = 2.39

= 4.9 + 0.1 (6.95) + 0.5(4.03) + 0.4(2.39) = 8.566

= 2.6 + 0 (6.95) + 0.4(4.03) + 0.6(2.39) = 5.646

= 0.65 + 0.05(6.95) + 0.45 (4.03) + 0.5(2.39) = 4.006

Reward yang diperkirakan untuk tiga tahap dengan tindakan menggunakan pupuk

saat state buruk adalah 8.566 jika tanah dalam tahap 1 baik, = 5.646

jika sedang, dan 4.006 jika buruk. Dari perhitungan ini, dapat

disimpulkan bahwa akan lebih menguntungkan jika menggunakan pupuk saat

kondisi tanah sedang dan buruh dibandingkan hanya menggunakan pupuk saat

kondisi tanah buruk saja.

Aplikasi Model Pemrograman Dinamis Tahap Takhingga

Evaluasi penentuan kebijakan jangka panjang model tahap takhingga dari

sebuah masalah keputusan Markov didasarkan dari sebuah kebijakan berdasarkan

pemaksimuman keuntungan yang diperkirakan per periode transisi. Dalam

masalah pertanian, pemilihan kebijakan terbaik untuk tahap takhingga didasari

oleh keuntungan maksimum yang diperkirakan per tahap.

Terdapat tiga metode untuk memecahkan permasalahan model tahap

takhingga yaitu

1 Enumerasi (pendaftaran) lengkap, dengan cara mengevaluasi setiap kebijakan

maka kebijakan optimal dapat ditentukan. Metode ini dapat digunakan jika

kebijakan sedikit.

8

2 Iterasi kebijakan, yaitu menentukan kebijakan optimal dengan beberapa

iterasi.

3 Penyelesain pemrograman linear, yaitu merubah kondisi rantai Markov dalam

bentuk kendala linear. Formulasi LP cukup menarik, tetapi tidak efisien secara

perhitungan jika dibandingkan dengan algoritma iterasi kebijakan. Untuk

permasalahan dengan K tindakan dan state, model LP akam memiliki

( ) kendala dan variabel

Metode Enumerasi Lengkap

Misalkan masalah keputusan ini memiliki S kebijakan, dan adalah

matriks transisi dan matriks keuntungan yang berkaitan dengan kebijakan ke- ,

1, 2, …, S. Langkah-langkah dari enumerasi sebagai berikut

1 Hitung keuntungan satu langkah (satu periode) yang diperkirakan dari

kebijakan k dengan diketahui state ke-i, i = 1, 2, …, m.

2 Hitung , probabilitas jangka panjang dari matriks transisi yang

berkaitan dengan kebijakan k. Probabilitas dihitung dari persamaan

dengan

dan

3 Tentukan keuntungan yang diperkirakan dari kebijakan k per periode,

dengan menggunakan rumus ∑

4 Tentukan kebijakan optimal sehingga menghasilkan keuntungan yang

maksimum atau biaya yang minimum (Taha 1987).

Masalah Petani dengan Tahap Perencanaan Periode Takhingga

Tabel 6 Kebijakan yang terjadi

Kebijakan Tindakan

1 Tidak menggunakan pupuk

2 Menggunakan pupuk tanpa bergantung pada state

3 Menggunakan pupuk ketika state 3



6 Menggunakan pupuk ketika state 1 atau 2



Matriks dan untuk kebijakan 3 sampai 8 didapatkan dari matriks

untuk kebijakan 1 dan 2.

9

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

Tabel 7 Nilai-nilai setiap state

Kebijakan State

i = 1 i = 2 i = 3

1 4.9 2.6 1

2 3.4 3.1 0.65

3 4.9 2.6 0.65

4 4.9 3.1 1

5 3.4 2.6 1

6 3.4 3.1 1

7 3.4 2.6 0.65

8 4.9 3.1 0.65

10

Perhitungan dari probabilitas tersebut dicapai dengan menggunakan persamaan

Sebagai ilustrasi, saat = 2. Persamaannya adalah

0.2 + 0.1 + 0.05 =

0.6 + 0.6 + 0.45 =

0.2 + 0.3 + 0.5 =

+ +

maka didapatkan =

, =

, =

. Keuntungan yang diperoleh per

tahap adalah ∑

= 1

11[ 1(3.4) 6(3.1) 4( .65 ]= 2.236. Hasil

perhitungan lainnya disajikan dalam Tabel 8 (proses perhitungan terdapat pada

Lampiran 1).

Tabel 8 Nilai dan semua kebijakan

Tabel ini menunjukkan bahwa kebijakan 8 menghasilkan keuntungan per tahap

yang diperkirakan terbesar. Akibatnya, kebijakan jangka panjang yang optimal

adalah dengan menggunaan pupuk saat tanah dalam kondisi sedang atau buruk.

Jika metode enumerasi lengkap diterapkan untuk masalah petani dengan 4

arah tindakan yaitu tidak menggunakan pupuk, menggunakan pupuk satu kali

selama musim tersebut, menggunakan pupuk dua kali, dan menggunakan pupuk

tiga kali, maka petani secara keseluruhan memiliki 43 = 256 kebijakan. Mencari

solusi optimal dengan metode enumerasi dari semua kebijakan secara eksplisit

sulit dan jumlah perhitungan yang terlibat dalam evaluasi kebijakan sangat besar.

Untuk mengatasi hal ini maka dikembangkan metode iterasi kebijakan.

Metode Iterasi Kebijakan

Pengembalian total yang diperkirakan di tahap dinyatakan dengan

persamaan rekursif

∑ .

1 0 0 1 1

2 1/11 6/11 4/11 2.236

3 3/100 43/100 54/100 1.616

4 0 0 1 1

5 0 0 0 1

6 0 0 1 1

7 1/30 13/30 16/30 1.587

8 13/161 86/161 62/161 2.302

11

Persamaan rekursif ini adalah dasar untuk pengembangan metode iterasi

kebijakan. Untuk melihat asimtot, persamaan ini harus dimodifikasi terlebih

dahulu. Misalkan sebagai jumlah tahap yang tersisa untuk dipertimbangkan,

) adalah keuntungan kumulatif yang diperkirakan dan berbeda dengan

dalam persamaan di atas, yang mendefinisikan tahap ke- . Jadi, persamaan

rekursif dapat ditulis

∑ .

Dengan definisi baru, perilaku asimtot dapat diketahui dengan menganggap

→∞. Vektor = ( , adalah probabilitas steady-state dari matriks

transisi = dan = +... + adalah keuntungan yang

diperkirakan per tahap.

Untuk yang sangat besar, dengan adalah konstanta

yang mewakili titik potong asimtot dari Nilai adalah pengembalian

optimal kumulatif untuk tahap pada state i dan E adalah pengembalian yang

diperkirakan per tahap, maka sama dengan ditambah faktor koreksi yang memperhitungkan state i. Hasil ini mengasumsikan bahwa sangat besar.

Dengan demikian, persamaan rekursif dapat ditulis sebagai

∑

Secara sedehana persamaan rekursif dapat ditulis sebagai

E ∑

yang menghasilkan persamaan dan variabel yang tidak diketahui,

dengan dan adalah variabel yang tidak diketahui.

Nilai E yang optimal tidak dapat ditentukan dalam satu langkah, karena

terdapat persamaan dengan variabel yang tidak diketahui. Oleh karena

itu, suatu pendekatan iteratif merupakan salah satu cara mendapatkan nilai E

optimal. Pendekatan iteratif diawali dengan mengambil satu kebijakan secara

sembarang, kemudian menentukan suatu kebijakan baru yang menghasilkan nilai

E yang lebih baik. Proses iteratif berhenti jika ada dua kebijakan yang berturut-

turut identik. Proses iteratif ini terdiri dari dua komponen dasar yaitu penentuan

nilai (value determination) dan perbaikan kebijakan (policy improvement).

1 Penentuan nilai

Pilih satu kebijakan k secara sembarang. Gunakan matriks dan

yang berkaitan dan asumsikan bahwa = 0,

∑

dengan variabel yang tidak diketahui , ,…, dan

. Iterasi

dilanjutkan ke tahap perbaikan kebijakan.

2 Langkah perbaikan kebijakan

Untuk setiap state i, tentukan tindakan k yang menghasilkan

{ ∑

}

12

Nilai-nilai , = , adalah nilai-nilai yang ditentukan dalam

langkah penentuan nilai.

Kebijakan untuk state membentuk kebijakan baru . Jika

dan adalah identik, maka iterasi berhenti dan adalah optimal. Jika tidak

identik, tetapkan dan kembali ke langkah penentuan nilai. Persamaan

∑ tidak bergantung pada tindakan pemaksimuman

di semua tindakan setara dengan masalah pemaksimuman dalam langkah

perbaikan kebijakan (Taha 1987).

Metode Iterasi Kebijakan tanpa Diskonto

Iterasi 1

Dengan mengambil kebijakan sembarang yang menyatakan tidak

menggunakan pupuk maka

(

) (

).

Persamaan dalam langkah iterasi nilai adalah

.

Dengan menganggap , maka solusinya , ,

(proses perhitungan terdapat pada Lampiran 2).

Tabel 9 Hasil iterasi kebijakan tanpa diskonto pada iterasi pertama

Kebijakan

optimal Tindakan

i = 1

1 4.9+0.1(9.89)+0.5(6)+0.4(0) =

8.889

3.4+0.2(9.89)+0.6(6)+0.2(0)

= 8.978 8.978 2

2 2.6+0(9.89)+0.4(6)+ 0.6(0) = 5 3.1+0.1(9.89)+0.6(6)+0.3(0)

= 7.689 7.689 2

3 1.0+0(9.89)+0(6)+1(0) = 1 0.65+0.05(9.89)+0.45(6)+

0.5(0) = 3.845 3.845 2

Kebijakan baru ini menyatakan penggunaan pupuk tidak bergantung pada state.

Kebijakan baru ini berbeda dari kebijakan sebelumnya, maka langkah penentuan

nilai dilakukan kembali.

Iterasi 2

Persamaan-persamaan dari kebijakan sebelumnya

Dengan solusi persamaan (proses

perhitungan terdapat pada Lampiran 2).

13

Tabel 10 Hasil iterasi kebijakan tanpa diskonto pada iterasi kedua

Kebijakan

optimal Tindakan

i = 1

1 4.9+0.1(3.78)+0.5(3.105)+

0.4(0) = 6.83

3.4+0.2(3.78)+0.6(3.105)+

0.2(0) = 6.019 6.83 1

2 2.6+0(3.78)+0.4(3.105)+

0.6(0) = 3.842

3.1+0.1(3.78)+0.6(3.105)+

0.3(0) = 5.34 5.34 2

3 1.0+0(3.78)+0(3.105)+1(0) =

1

0.65+0.05(3.78)+

0.45(3.105)+0.5(0)=2.24 2.24 2

Kebijakan baru menyatakan penggunaan pupuk tidak bergantung pada state saat

kondisi tanah dalam state sedang atau buruk (state 2 atau 3) dan tidak

menggunakan pupuk saat kondisi tanah baik. Kebijakan berbeda dengan kebijakan

pada iterasi 1, maka iterasi dilanjutkan.

Iterasi 3

Persamaan-persamaan dari kebijakan sebelumnya {1,2,2} yaitu

.

Dengan solusi persamaan (proses

perhitungan terdapat pada Lampiran 2).

Tabel 11 Hasil iterasi kebijakan tanpa diskonto pada iterasi ketiga

Kebijakan

optimal Tindakan

i = 1

1 4.9+0.1(4.64)+0.5(3.155)+

0.4(0) = 6.94

3.4+0.2(4.64)+0.6(3.155)+

0.2(0) = 6.221 6.94 1

2 2.6+0(4.64)+0.4(3.155)+

0.6(0) = 3.862

3.1+0.1(4.64)+0.6(3.155)+

0.3(0) = 5.46 5.46 2

3 1.0+0(4.64)+0(3.155)+1(0) =

1

0.65+0.05(4.64)+

0.45(3.155)+ 0.5(0) = 2.3 2.3 2

Kebijakan baru menyatakan penggunaan pupuk tidak bergantung pada state saat

kondisi tanah dalam state sedang atau buruk (state 2 atau 3) dan tidak

menggunakan pupuk saat kondisi tanah baik. Kebijakan ini sama dengan

sebelumnya maka proses iteratif berhenti. Jadi kebijakan optimal dengan metode

iterasi kebijakan sama dengan kebijakan yang diperoleh dengan metode enumerasi

lengkap.

Metode Iterasi Kebijakan dengan Diskonto

Dengan α < 1 adalah faktor diskonto, persamaan rekursif tahap terhingga

dapat ditulis sebagai

14

{ ∑

}

Dapat dibuktikan bahwa untuk →∞ (tahap takhingga), , dengan

adalah nilai sekarang (yang didiskonto) dari keuntungan yang diperkirakan

ketika sistem berada dalam state ke- dan berjalan dalam tahap waktu yang

takhingga.

Hal ini berlawanan dengan kasus tanpa diskonto, dimana . Dalam kasus diskonto, pengaruh keuntungan masa mendatang akan menurun

menjadi nol. Jadi pada kenyataannya, nilai sekarang akan mendekati nilai

konstan saat →∞.

Langkah kebijakan iterasi dengan diskonto dimodifikasi sebagai berikut

1 Langkah penentuan nilai. Untuk sebuah kebijakan sembarang k dengan

matriks dan , ∑

.

2 Langkah perbaikan kebijakan. Untuk setiap tahap i, tentukan tindakan k yang

menghasilkan

{ ∑

}

dengan adalah nilai-nilai yang diperoleh dari langkah penentuan nilai. Jika

kebijakan yang dihasilkan s sama dengan k, maka iterasi berhenti. Jadi adalah

kebijakan optimal. Jika tidak sama, tetapkan s = k dan kembali ke langkah

penentuan nilai (Taha 1987).

Dalam kasus yang sama, dengan faktor diskonto α = 0.7.

Iterasi 1

Misalkan kebijakan awal k = {1,1,1}. Matriks P dan R menghasilkan

persamaan

[ ] [ ]

[ ]

didapatkan solusinya (proses perhitungan

terdapat pada Lampiran 3).

Tabel 12 Hasil iterasi kebijakan dengan diskonto iterasi pertama

[ ]

Kebijakan

optimal Tindakan

i = 1 k = 2

1 4.9+0.7[0.1(4.89)+0.5(1.67)+

0.4( 3.33)] = 4.89

3.4+ 0.7[0.2(4.89)+0.6(1.67)

+0.2( 3.33)] = 4.32 4.89 1

2 2.6+0.7[0(4.89) + 0.4(1.67)+

0.6( 3.33)] = 1.67

3.1+0.7[0.1(4.89)+0.6(1.67)+

0.3( 3.33)] = 3.44 3.44 2

3 1.0 + 0.7[0(4.89) + 0(1.67)

+1( 3.33)] = 3.33

0.65+0.7[0.05(4.89)+

0.45(1.67)+ 0.5( 3.33)]=0.18 0.18 2

15

Kebijakan baru yang didapat adalah {1,2,2} berbeda dengan kebijakan awal

{1,1,1}, maka iterasi dilanjutkan.

Iterasi 2

Langkah penentuan nilai dari kebijakan {1,2,2} menghasilkan persamaan-

persamaan

[ ] [ ]

[ ]

didapatkan solusinya (proses perhitungan

terdapat pada Lampiran 3).

Tabel 13 Hasil iterasi kebijakan dengan diskonto iterasi kedua

[ ]

Kebijakan

optimal

Tindakan

i = 1 k = 2

1 4.9+0.7[0.1(10.26)+0.5(8.67)+

0.4(5.75)] = 10.26

3.4+0.7[0.2(10.26)+0.6(8.67)

+0.2(5.75)] = 9.28 10.26 1

2 2.6+0.7[0(10.26) + 0.4(8.67)+

0.6(5.75)] = 7.44

3.1+0.7[0.1(10.26)+0.6(8.67)

+0.3(5.75)] = 8.67 8.67 2

3 1.0 +0.7[0(10.26) + 0(8.67) +

1(5.75)] = 3.025

0.65+0.7[0.05(10.26)+

0.45(8.67)+ 0.5(5.75)] = 5.75 5.75 2

Kebijakan baru {1,2,2} identik dengan kebijakan sebelumnya {1,2,2} maka iterasi

berhenti. Oleh karena itu kebijakan ini optimal. Kebijakan diskonto menghasilkan

kebijakan optimal yang sama dengan kebijakan tanpa diskonto, tetapi ini tidak

berlaku secara umum.

Penyelesaian Pemrograman Linear untuk Masalah Keputusan Markov

Masalah keputusan Markov tahap takhingga, dengan ataupun tanpa

menggunakan faktor diskonto, dapat dirumuskan dan diselesaikan sebagai sebuah

pemrograman linear.

Masalah Keputusan Markov tanpa Diskonto

Masalah keputusan Markov tahap takhingga tanpa diskonto pada akhirnya

menyempit menjadi masalah penentuan kebijakan optimal , yang bersesuaian

dengan

∑

dan adalah kumpulan dari semua kebijakan yang mungkin terjadi. Batasan dari

masalah ini adalah , mewakili probabilitas steady-state dari

16

rantai Markov . Secara spesifik, setiap kebijakan k dinyatakan dengan

sekelompok tindakan.

Jadi, masalah ini dapat diekspresikan sebagai

E =∑ (∑

)

dengan kendala

∑

dan k

dengan adalah probabilitas kondisional dari memilih tindakan k dengan

sistem berada dalam state i dan adalah fungsi dari kebijakan yang dipilih, oleh

karena itu merupakan fungsi dari tindakan spesifik k dari kebijakan tersebut.

Didefinisikan

, untuk semua i dan k. Berdasarkan definisinya,

mewakili probabilitas gabungan dalam state i dan membuat keputusan k. Dari

teori probabilitas ∑

maka

∑

. Jadi kendala ∑

dapat ditulis sebagai ∑ ∑

dan kendala batasan ∑

dalam bentuk . Jadi masalah ini dapat ditulis sebagai

∑∑

dengan kendala

∑

∑ ∑

∑∑

Model yang dihasilkan ini merupakan sebuah pemrograman linear dalam

Solusi optimalnya secara otomatis menjadi

untuk satu k untuk

setiap i. Pemrograman linear ini memiliki persamaan bebas. Oleh karena itu,

masalah ini harus memiliki variabel dasar. Nilai harus positif untuk paling

sedikit satu k untuk setiap i. Dari kedua hasil ini, dapat disimpulkan bahwa

∑

hanya dapat memiliki nilai biner (0 atau 1), seperti yang

diharapkan. Dapat dilihat bahwa adalah tindakan yang bersesuaian dengan

Formulasi LP untuk masalah petani tanpa diskonto

maksimumkan

dengan kendala

17

, untuk semua i dan k.

Solusi optimalnya adalah

dan

13/161,

86 161, dan = 62/161. Hasil ini berarti bahwa

. Jadi,

kebijakan optimalnya yaitu melakukan tindakan 1 (tidak memberi bubuk saat

kondisi tanah baik) dan melakukan tindakan 2 (memberi pupuk) i = 2 dan 3. Nilai

optimal dari E adalah 2.3018.

Nilai-nilai dari sama dengan nilai-nilai yang berkaitan dengan

kebijakan optimal (kebijakan 8) dalam metode enumerasi lengkap. Hal ini

menunjukkan adanya hubungan langsung antara metode enumerasi lengkap dan

pemrograman linear.

Masalah Keputusan Markov dengan Diskonto

Masalah ini diekspresikan dengan persamaan rekursif

{ ∑

}

Persamaan ini setara dengan ∑

dengan ketentuan

bahwa mencapai nilai minimum untuk setiap i dan fungsi tujuan ∑

dengan adalah konstanta sembarang. Jadi masalah ini dapat ditulis sebagai

∑

dengan kendala

∑

dan k

tidak terbatas, i = 1, 2, …, m.

Masalah dual dari masalah ini adalah

∑∑

dengan kendala

∑

∑

, untuk i = 1, 2, …, m; k = 1,2, …, K (Taha 1987).

Fungsi tujuan memiliki bentuk yang sama seperti kasus tanpa diskonto, sehingga

dapat diinterpretasikan dengan cara yang sama.

Pada permasalahan yang sama dan faktor diskonto α = 0.7, misalkan

, masalah dual dari LP ini dapat ditulis sebagai

maksimumkan

dengan kendala

18

(

)

, untuk semua i dan k.

Solusi optimalnya adalah

. Solusi ini memperlihatkan bahwa kebijakan optimal

adalah {1,2,2}. Nilai optimal dari E adalah 24.6805.

SIMPULAN DAN SARAN

Simpulan

Sebuah permasalahan untuk menduga state di masa mendatang yang

diasumsikan hanya bergantung pada state sekarang seperti kasus dalam karya

ilmiah ini dapat dirumuskan dalam suatu model stokastik dengan mendifinisikan

state, tindakan dan reward.

Untuk aplikasi di bidang pertanian, reward diasumsikan berasal dari

keuntungan dan diasumsikan biaya pemeriksaan kondisi tanah setiap tahap tidak

ada. Model stokastik tersebut dapat digunakan untuk menentukan keuntungan

(reward) optimal, sehingga dengan keuntungan yang optimal ini petani dapat

mengambil tindakan yang seharusnya dilakukan.

Proses keputusan Markov adalah model matematika yang bisa digunakan

untuk menyelesaikan penentuan pengambilan keputusan seperti kasus dalam

penentuan tindakan di bidang pertanian ini. Tindakan yang bisa dilakukan dalam

kasus ini adalah memberikan pupuk dan tidak memberikan pupuk. Adanya faktor

diskonto dapat menghasilkan perubahan dalam kebijakan optimal, dibandingkan

dengan kasus tanpa diskonto, tetapi dalam kasus ini faktor diskonto tidak

mempengaruhi kebijakan optimal.

Saran

Penulisan karya ilmiah ini menggunakan faktor diskonto hipotetik dan data

yang digunakan sederhana maka karya ilmiah ini dapat dikembangkan dengan

menyesuaikan antara data dengan faktor diskonto yang berlaku saat itu.

DAFTAR PUSTAKA

Grimmet GR, Stirzaker DR. 1992. Probability and Random Processes. Ed ke-2.

Oxford (GB): Clarendon Press.

Heymen DP, Sobel MJ. 2004. Stochastic Models in Operation Research. Volume

ke-2. New York (US): Publications.inc.Mineola.

Hidayah N. 2013. Penyelesain Masalah Manajerial dengan Metode Iterasi

Kebijakan pada Discounted Markov Decision Processes [skripsi]. Bogor:

Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,

Institut Pertanian Bogor.

19

Rosadi D. 2000. Pengambilan Keputusan Markov dan Aplikasinya di Bidang

Periklanan. Integral. 5(2): 75-82.

Taha HA. 2011. Operations Research An Introduction. Volume ke-9. New York

(US): Macmillan Publishing Company.

Taylor HM, Karlin S. 1998. An Introduction to Stochastic Modeling. Ed ke-3. San

Diego (US): Academic Press.

Tijms HC. 1994. Stochastic Models: An Algorithmic Approach. Amsterdam (NL):

John Wiley and Sons.

20

Lampiran 1 Keuntungan per tahap kebijakan tahap takhingga

=1

0.1 =

0.5 + 0.4 =

0.4 + 0.6 + =

+ +

maka solusi dari persamaan ini adalah = = 0. Keuntungan yang

diperoleh per tahap ∑

= 0(4.9) + 0(2.6) + 1( 1) = 1.

=2

0.2 + 0.1 + 0.05 =

0.6 + 0.6 + 0.45 =

0.2 + 0.3 + 0.5 =

+ +

maka solusi dari persamaan ini adalah =

, =

, =

. Keuntungan yang

diperoleh per tahap adalah = 1

11[ 1(3.4) 6(3.1) 4( .65 ] = 2.236

= 3

0.1 + 0.05 =

0.5 + 0.4 + 0.45 =

0.4 + 0.6 + 0.5 =

+ +


, =

, =

. Keuntungan

yang diperoleh per tahap = 1

1 [3(4.9) + 43(2.6) + 54(0.65)]=1.616.

= 4

0.1 + 0.1 =

0.5 + 0.6 =

0.4 + 0.3 + =

+ +

maka solusi dari persamaan ini adalah = 0, = 0, = 1. Keuntungan yang

diperoleh per tahap = 0(4.9) + 0(3.1) + 1( 1) = 1.

= 5

0.2 =

0.6 + 0.4 =

0.2 + 0.6 + =

+ +



= 6

0.2 + 0.1 =

0.6 + 0.6 =

0.2 + 0.3 + =

21

+ +



= 7

0.2 + 0.05 =

0.6 + 0.4 + 0.45 =

0.2 + 0.6 + 0.5 =

+ +


, =

, =

. Keuntungan yang

diperoleh per tahap = 1

3 [1(3.4) + 13(2.6) + 16(0.65)]=1.587.

= 8

0.1 + 0.1 + 0.05 =

0.5 + 0.6 + 0.45 =

0.4 + 0.3 + 0.5 =

+ +


, =

, =

. Keuntungan

yang diperoleh per tahap = 1

161[13(4.9) + 86(3.1) + 62(0.65)] =2.30.

22

Lampiran 2 Proses perhitungan pada metode iterasi kebijakan tanpa diskonto

Iterasi pertama

(1)

(2) (3)

Dengan menganggap =0, maka dari persamaan (3) diperoleh E = 1.

Subtitusi ke persamaan (2) yaitu 1 + 0.6 = 2.6, maka = 6.

Subtitusi ke persamaan (1) yaitu 1 + 0.9 0.5(6) = 4.9, maka = 9.89.

Iterasi kedua

Dengan menganggap = 0, maka persamaan berubah menjadi

(4)

(5)

(6)

Eliminasi persamaan (4) dan (5)

(7)


(8)


0.85

1

+

sehingga dengan subtitusi diperoleh .

Iterasi ketiga

Proses perhitungan sama dengan proses pada iterasi 2. Hasil perhitungannya yaitu .

23

Lampiran 3 Proses perhitungan pada metode iterasi kebijakan dengan diskonto

Iterasi pertama

[ ] (9) [ ] (10)

[ ] (11)

Dari persamaan (11) didapat 0.3 = , maka .

Subtitusi ke persamaan (10) yaitu 0.72 0.42( 3.33) = 2.6 maka .

Subtitusi ke persamaan (9) yaitu 0.93 ,

maka .

Iterasi kedua

[ ]

0.93 (12)

[ ]

0.07 (13)

[ ]

0.035 (14)


0.93 0.07

0.07 0.93

0.0651

0.0651 + 0.5394 0.1953 = 2.883 +

0.5149 (15)


0.07 0.5

0.035 1

0.035

0.035

0.605 (16)


0.5149 0.605

0.605 0.5149

0.31

0.31

0.259 = 1.48832

= 8.67

sehingga dengan subtitusi diperoleh =1 .26, = 5.75.

24

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Belitung Timur pada tanggal 31 Oktober 1992 dari

ayah Rinto dan ibu Khusaenah. Penulis adalah putri kedua dari dua bersaudara.

Tahun 2010 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Kelapa Kampit dan pada tahun yang

sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur

Beasiswa Utusan Daerah IPB dan diterima di Departemen Matematika, Fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif mengajar mata kuliah Landasan

Matematika, Pengantar Matematika dan Kalkulus di bimbingan belajar dan privat

mahasiswa GUMATIKA dan MAFIA CLUBS . Penulis pernah menjadi asisiten

mata kuliah Persamaan Diferensial Parsial, Pemograman Tak Linear dan Proses

Stokastik Dasar. Penulis juga pernah aktif sebagai staf divisi keilmuan

GUMATIKA selama dua periode kepengurusan.

PENYELESAIAN MODEL TAHAP TERHINGGA DAN … · model tersebut diaplikasikan dalam bidang pertanian,...

Documents

Transcript of PENYELESAIAN MODEL TAHAP TERHINGGA DAN … · model tersebut diaplikasikan dalam bidang pertanian,...