Penulis - repository.uhamka.ac.id
Transcript of Penulis - repository.uhamka.ac.id
i
Penulis
Ayu Faradillah
Ayu Tsurayya
Copyright ยฉ 2020 Penulis
Hak cipta dilindungi Undang-undang
Cetakan I, Maret 2021
ISBN 978-623-7724-19-3
Diterbitkan oleh:
UHAMKA PRESS
Anggota IKAPI, Jakarta
Jl. Gandaria IV, Kramat Pela, Kebayoran Baru, Jakarta Selatan.
e-mail: [email protected]
i
PRAKATA
Assalamuaโalaikum Warahmatullahi Wabarakatuh.
Segala Puji dan Syukur kami panjatkan selalu kepada Tuhan Yang Maha
Esa atas Rahmat, Taufiq, dan Hidayah yang sudah diberikan sehingga kami
bisa menyelesaikan buku ajar yang berjudul Pengantar Persamaan
Diferensial. Penulisan buku ini bertujuan untuk membantu mahasiswa
memahami materi-materi persamaan diferensial melalui pembahasan di buku
maupun di video pembelajaran yang tersedia pada barcode. Buku ini juga
akan memberikan informasi mengenai Persamaan Diferensial Implisit dan
Eksplisit, Persamaan Diferensial Orde Satu, Persamaan Diferesial Orde Dua,
Transformasi Laplace, dan Aplikasi Persamaan Diferensial pada Kehidupan
Sehari-hari.
Penulis menyadari bahwa proses penulisan buku ini dibantu oleh pihak
sehingga buku ini bisa selesai. Oleh karena itu, penulis mengucapkan
terimakasih kepada semua pihak yang telah membantu memberikan
wawasan dan bimbingan kepada penulis sebelum maupun ketika menulis
buku panduan ini.
Penulis juga menyadari bahwa buku yang penulis buat masih tidak
belum bisa dikatakan sempurna. Maka, penulis meminta dukungan dan
masukan dari para pembaca, agar kedepannya penulis bisa lebih baik lagi di
dalam menulis sebuah buku.
Billahi Fi Sabililhaq Fastabiqul Khairat, Wassalamualaikum Warahmatullahi
Wabarakatuh.
Bekasi, Maret 2021
Penulis
ii
DAFTAR ISI
PRAKATA ............................................................................................ i
DAFTAR ISI ......................................................................................... ii
BARCODE ........................................................................................... iv
ISI BUKU
1. BAB 1 PERSAMAAN DIFERENSIAL IMPLISIT
DAN EKSPLISIT
A. Konsep .............................................................................. 1
B. Persamaan Diferesial Implisit dan Eksplisit ....................... 2
C. Latihan Soal........................................................................ 3
2. BAB 2 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE 1
A. Pendahuluan ...................................................................... 5
B. Persamaan Diferensial dengan Peubah Terpisah ............. 5
C. Persamaan Diferensial Homogen ...................................... 8
D. Persamaan Diferensial Koefisien Linierโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ... 13
E. Persamaan Diferensial Eksak ............................................ 18
F. Analisis Jenis Persamaan Diferensial ................................ 23
G. Faktor Integrasi .................................................................. 26
1) Fungsi x saja ................................................................ 26
2) Fungsi y saja ................................................................ 29
3) Fungsi xy ...................................................................... 31
4) Fungsi x/y (Pengayaan) ............................................... 35
5) Fungsi y/x (Pengayaan) ............................................... 36
H. Persamaan Diferensial Linier Orde 1 ................................. 37
I. Latihan Soal ....................................................................... 40
iii
3. PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE 2
A. Penyelesaian Persamaan Diferensial Linier Homogen
Orde Dua dengan Koefisien Konstan ............................... 43
B. Persamaan Diferensial Tak Homogen ............................... 47
C. Penggunaan Variabel kompleks untuk Menyelesaikan
Persamaan Diferensial Orde Dua ...................................... 54
D. Tambahan Contoh Soal ..................................................... 55
E. Latihan Soal ....................................................................... 60
4. Transformasi Laplace
A. Fungsi Periodik ................................................................... 63
B. Derivatif Fungsi .................................................................. 63
C. Invers Laplace .................................................................... 65
D. Persamaan Diferensial dengan Suku Tak Homogen
Diskontinu ........................................................................... 69
E. Latihan Soal........................................................................ 71
5. APLIKASI PERSAMAAN DIFERENSIL ORDE 2
A. Persamaan Diferensial Orde 1 ........................................... 73
B. Persamaan Diferensial Orde 2 .......................................... 84
C. Latihan Soal........................................................................ 93
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................. 96
iv
BARCODE
Scan Barcode di bawah, untuk mengakses seluruh video pembelajaran dalam Buku
Pengantar Persamaan Diferensial.
1
PERSAMAAN DIFERENSIAL
IMPLISIT DAN EKSPLISIT
A. Konsep
Konsep turunan sebagai bagian utama dari materi kalkulus dipikirkan
oleh dua ahli diwaktu yang hampir berdekatan. Seorang ilmuwan ahli
matematika dan fisika asal Inggris bernama Sir Isaac Newton pada tahun
1642-1727 dan seorang ahli matematika asal Jerman bernama Gootfried
Wilhelm Leibniz pada tahun 1646-1716.
Konsep turunan ini digunakan sebagai alat untuk menyelesaikan
berbagai masalah bidang keilmuan, misalnya geometri.
Diferensial juga diartikan sebagai tingkat perubahan suatu fungsi atas
adanya perubahan variabel bebas dari fungsinya tersebut. Misalkan fungsi
f(x) = y, yang dimana y sebagai variabel terikat dan x sebagai variabel
bebasnya, artinya nilai y dipengaruhi oleh nilai x. Jadi, diferensial dapat
diartikan sebagai tingkat perubahan dari setiap variabel y sebagai
tanggapan terhadap suatu perubahan dalam variabel x.
B. Persamaan Diferesial Implisit dan Eksplisit
Penentuan order suatu persamaan diferensial tergantung pada
kandungan fungsi turunan di dalam persamaan diferensial tersebut. Order
atau tingkat suatu persamaan diferensial merupakan pangkat tertinggi
turunan dalam persamaan diferensial. Persamaan diferensial dibagi
BAB 1
Dalam Islam, menentukan waktu shalat, ramadhan, dan hari raya seperti Idul Fitri dan
Idul Adha menggunakan bantuan atau konsep spherical geometri. Beberapa ilmuwan
muslim yang mewarisi atau mengembangkan geomteri yaitu Tsabit Ibu Qurra, Ibnu al-
Haitham, dan Abu Nasr Mansur.
2
menjadi 2 jenis, yaitu persamaan diferensial implisit dan persamaan
diferensial eksplisit.
1. Persamaan Diferensial Implisit
Bentuk Persamaan Diferensial Implisit:
๐(๐ฅ, ๐ฆ) ,๐๐ฆ
๐๐ฅ = 0 ๐๐ก๐๐ข ๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆโฒ)
Contoh 1.
Tentukan jenis dan penyelesaian persamaan diferensial (PD) berikut.
xyyโฒ + x2 + 1 = 0
Penyelesaian:
Jenis PD di atas adalah PD implisit orde satu karena terdapat suku xyyโ
dimana yโ = ๐๐ฆ
๐๐ฅ yang artinya merupakan turunan pertama sehingga
dapat dikatakan sebagai orde satu.
๐ฆ๐ฆโฒ =โ๐ฅ2 โ 1
๐ฅ
๐ฆ๐๐ฆ
๐๐ฅ= (
โ๐ฅ2โ1
๐ฅ)
1 (ร)๐๐ฅ
๐ฆ ๐๐ฆ = (โ๐ฅ2 โ 1
๐ฅ) ๐๐ฅ
โซ ๐ฆ ๐๐ฆ = โซ (โ๐ฅ2 โ 1
๐ฅ) ๐๐ฅ
1
2 ๐ฆ2 + ๐ถ = โซ โ๐ฅ ๐๐ฅ โซ โ
1
๐ฅ ๐๐ฅ
1
2 ๐ฆ2 = โ
1
2๐ฅ2 โ ln ๐ฅ + ๐ถ
1 (ร) 2
๐ฆ2 = โ ๐ฅ2 โ 2ln ๐ฅ + 2๐ถ
๐ฆ = โโ๐ฅ2 โ ๐ฅ2 + ๐ถ
๐ฆ = โโ2๐ฅ2 + ๐ถ
3
2. Persamaan Diferensial Eksplisit
Bentuk Persamaan Diferensial Implisit:
๐๐ฆ
๐๐ฅ = ๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ก๐๐ข ๐ฆโฒ = ๐(๐ฅ, ๐ฆ)
Contoh 2.
Tentukan jenis dan penyelesaian persamaan diferensial (PD) berikut.
๐๐ฆ
๐๐ฅ= 3๐ฅ2 + 6๐ฅ โ 5
Penyelesaian:
Jenis PD di atas adalah PD eksplisit orde satu karena terdapat suku ๐๐ฆ
๐๐ฅ
yang artinya merupakan turunan pertama sehingga dapat dikatakan
sebagai orde satu.
๐๐ฆ
๐๐ฅ= 3๐ฅ2+6๐ฅโ5
๐ฅ (ร) ๐๐ฅ
๐๐ฆ = (3๐ฅ2 + 6๐ฅ โ 5) ๐๐ฅ
โซ ๐๐ฆ = โซ (3๐ฅ2 + 6๐ฅ โ 5) ๐๐ฅ
y + c = ๐ฅ3 + 3๐ฅ2 โ 5๐ฅ
C. Latihan Soal
Tentukan jenis dan penyelesaian persamaan diferensial (PD) di bawah ini.
1. (1 + ๐ฅ2)๐๐ฆ
๐๐ฅโ ๐ฅ๐ฆ = 0
2. ๐ฅ2๐ฆ2๐ฆโฒ โ 3๐ฅ2 + 2 = 0
3. 2๐ฅ๐ฆ2๐๐ฅ โ (๐ฅ2 โ 3)๐๐ฆ = 0
4. (1 + 2๐ฅ2)๐ฆ๐ฆโฒ = 2๐ฅ(1 + ๐ฆ2)
5. ๐ฆโฒโฒโฒ = 5๐ฅ2 + 2๐ฆ โ 6
6. ๐ฆโฒโฒ = ๐ด tan ๐ฅ โ ๐ต sin ๐ฅ
4
โJangan takut jatuh, karena yang tidak pernah memanjatnya yang tidak
pernah jatuh. Jangan takut gagal, karena yang tidak pernah gagal
hanyalah orang-orang yang tidak pernah melangkah. Jangan takut
salah, karena dengan kesalahan yang pertama kita dapat menambah
pengetahuan untuk mencari jalan yang benar pada langkah yang
kedua.โ
Hamka
5
PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE-1
A. Pendahuluan
PD linear order satu ๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ฆโฒ) = 0 yang dapat dinyatakan dalam bentuk.
๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฆ
๐๐ฅ+ ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = 0 (2.1)
Variabel ๐ฆ disebut dengan variabel terikat sedangkan variabel ๐ฅ disebut
dengan variabel bebas. Fungsi (2.1) dapat dinyatakan dalam bentuk lain
dengan mengalikannya dengan ๐๐ฅ pada masing-masing ruas persamaan,
sehingga
๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฆ + ๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฅ = 0 (2.2)
Contoh 1.
1. ๐๐ฆ
๐๐ฅ= 2๐ฅ๐ฆ + sin ๐ฅ
2. ๐ฆโฒ = ln 2๐ฅ๐ฆ + tan ๐ฅ
3. (๐ฅ โ cos ๐ฅ + ๐ฆ)๐๐ฅ + (2๐ฅ๐ฆ + sin ๐ฅ)๐๐ฆ = 0
4. ๐๐ฅ cos ๐ฆ ๐๐ฅ + 2๐ฅ sin ๐ฅ ๐๐ฆ = 0
Pada penjabaran berikutnya, kita akan mempelajari beberapa jenis PD orde
satu.
B. Persamaan Diferensial dengan Peubah Terpisah
Persamaan diferensial (PD) orde satu merupakan bentuk PD yang paling
sederhana, karena hanya melibatkan turunan pertama dari suatu fungsi yang
tidak diketahui. Jika dalam persamaan tersebut variabel bebas dan variabel
tak bebasnya berada pada sisi yang berbeda dari tanda persamaannya,
maka disebut PD yang terpisah dan untuk menentukan penyelesaiannya
BAB 2
6
tinggal diintegralkan. Jika tidak demikian, maka disebut PD tak terpisah.
Suatu PD orde satu yang tak terpisah biasanya dapat dengan mudah
dijadikan PD terpisah melalui penggantian (substitusi) dari salah satu
variabelnya.
PD (2.2) direduksi ke bentuk
๐(๐ฅ) ๐๐ฅ + ๐(๐ฆ) ๐๐ฆ = 0 (2.3)
Maka variabel-variabel dari persamaan (2.2) dinyatakan terpisah dan
persamaan diferensialnya disebut persamaan diferensial dengan variabel
terpisah. Penyelesaian persamaan diferensialnya diberikan oleh
โซ ๐(๐ฅ) ๐๐ฅ + โซ ๐(๐ฆ)๐๐ฆ = ๐ถ (2.4)
Dimana ๐ถ sebagai parameter (konstanta)
Contoh 2.
Selesaikan PD:
4๐ฆ๐ฆโฒ + ๐ฅ = 0
Penyelesaian:
Dengan pemisahan variabel akan diperoleh
4๐ฆ ๐๐ฆ = โ๐ฅ ๐๐ฅ
Dengan pengintegralan pada masing-masing sisinya akan diperoleh
penyelesaian umum:
โซ 4๐ฆ ๐๐ฆ = โซ โ๐ฅ ๐๐ฅ
4
2๐ฆ2 = โ
1
2๐ฅ2 + ๐โ
4๐ฆ2 + ๐ฅ2 = ๐
Jadi solusi persamaan diferensial di atas adalah
4๐ฆ2 + ๐ฅ2 = ๐
7
Contoh 3.
Selesaikan PD:
3๐ฅ๐ฆ๐ฆโฒ + ๐ฆ2 + 1 = 0
Penyelesaian:
3๐ฅ๐ฆ๐ฆโฒ + ๐ฆ2 + 1 = 0 dapat diubah menjadi
๐ฆ
๐ฆ2 + 1๐๐ฆ = โ
๐๐ฅ
3๐ฅ
โซ๐ฆ
๐ฆ2 + 1 ๐๐ฆ = โซ โ
๐๐ฅ
3๐ฅ
1
2ln(๐ฆ2 + 1) +
1
3ln(๐ฅ) = ๐โ
๐ฅ2(๐ฆ2 + 1)3 = ๐
Jadi solusi persamaan diferensial di atas adalah
Contoh 4.
Selesaikan PD:
๐ฆโฒ + 2๐ฅ๐ฆ = 0 ; ๐ฆ(0) = 1
Penyelesaian:
Persamaan diferensial di atas dapat diubah menjadi
๐๐ฆ
๐ฆ+ 2๐ฅ๐๐ฅ = 0
โซ๐๐ฆ
๐ฆ+ 2 โซ ๐ฅ๐๐ฅ = ๐โ
๐๐|๐ฆ| + ๐ฅ2 = ๐โ
๐ฆ = exp (๐ โ ๐ฅ2)
Jadi solusi persamaan diferensial di atas adalah
Untuk mendapatkan solusi khususnya, masukkan nilai ๐ฆ(0) = 1 ke dalam
solusi di atas, sehingga diperoleh 1 = ๐๐ฅ๐(๐) โ๐ = 0. Jadi solusi khususnya
๐ฆ = ๐๐ฅ๐(โ๐ฅ2)
๐ฅ2(๐ฆ2 + 1)3 = ๐
๐ฆ = exp (๐ โ ๐ฅ2)
8
C. Persamaan Diferensial Homogen
Definisi 1.
Sebuah fungsi persamaan diferensial A(x,y) disebut persamaan homogen
bila terdapat n X R, sehingga A(kx,ky) = knA(x,y) dimana n dikatakan
sebagai order dari persamaan diferensial homogen A(x,y).
Pada suatu persamaan yang dinyatakan sebagai PD Homogen memiliki ciri
yaitu derajat pada setiap sukunya adalah sama.
Contoh 5.
Periksalah persamaan di bawah ini merupakan persamaan diferensial
homogen atau tidak
Penyelesaian:
1. f(x,y) = x + 3y
f(x,y) = f(kx, ky)
= kx + 3ky
= k(x + 3y), maka f(x,y) = x + 3y
merupakan PD homogen derajat 1
2. g(x,y) = 3x2 + xy โ 7y2
g(x,y) = g(kx,ky)
=3(kx)2 + 4 (kx)(ky) โ 7(ky)2
=3k2x2 + 4 k2(xy) โ 7k2y2
=k2 +(3x2 + xy โ 7y2) maka
fungsi ini merupakan PD Homogen derajat 2
3. F(x,y) = ๐ฅ2 + ๐ฆ
F(kx,ky) = (๐๐ฅ)2 + ๐๐ฆ
= ๐2๐ฅ2 + ๐๐ฆ
= ๐(๐๐ฅ2 + ๐ฆ)โ Bukan PD Homogen
9
Bentuk Umum
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 (2.5)
Dimana M(x,y) dan N(x,y) merupakan PD Homogen.
Setelah kedua fungsi telah PD Homogen, selanjutnya substitusikan dengan:
๐ฆ
๐ฅ= ๐ง โ ๐ฆ = ๐ง๐ฅ
dy = x dz + z dx (2.6)
Atau
๐ฅ
๐ฆ= ๐ง โ ๐ฅ = ๐ง๐ฆ
dx = y dz + z dy (2.7)
Sehingga langkah-langkah untuk menyelesaikan PD. Homogen adalah.
a. Periksalah terlebih dahulu apakah M(x,y) dan N (x,y) adalah fungsi
homogen dengan menggunakan definisi di atas (f(x,y)=f(kx,ky)).
b. Jika M(x,y) dan N (x,y) homogen, maka substitusikan dengan persamaan
(2.6) atau (2.7). Selesaikan seperti langkah pada PD variabel terpisah.
c. Jika tidak homogen maka tidak usah diselesaikan.
Contoh 6.
Tentukan apakah PD di bawah ini merupakan PD Homogen dan
Selesaikanlah.
(๐ฅ + ๐ฆ )๐๐ฅ + ๐ฅ ๐๐ฆ = 0
Penyelesaian:
1. Periksa PD Homogen atau tidak
๐(๐๐ฅ, ๐๐ฆ) = ๐๐ฅ + ๐๐ฆ
๐(๐๐ฅ, ๐๐ฆ) = ๐๐ฅ = ๐(๐ฅ + ๐ฆ)
Kedua suku pada soal di atas telah memenuhi syarat: F(kx,ky) = knF(x,y),
sehingga PD pada soal merupakan PD Homogen.
10
2. Substitusikan persamaan (2.6) atau (2.7)
Misal ๐ฆ
๐ฅ= ๐ โ ๐ฆ = ๐ฅ๐ง
๐๐ฆ = ๐ฅ ๐๐ง + ๐ง ๐๐ฅ
๐๐ฆ = (๐ฅ + ๐ฆ)๐๐ฅ + ๐ฅ ๐๐ฆ = 0
๐๐ฆ = (๐ฅ + ๐ฅ๐ง)๐๐ฅ + ๐ฅ(๐ฅ ๐๐ง + ๐ง ๐๐ฅ) = 0
๐๐ฆ = ๐ฅ (1 + ๐ง)๐๐ฅ + ๐ฅ2 ๐๐ง + ๐ฅ๐ง ๐๐ฅ = 0
๐๐ฆ = [ ๐ฅ (1 + ๐ง) + ๐ฅ๐ง ]๐๐ฅ + ๐ฅ2 ๐๐ง = 0
๐๐ฆ = ๐ฅ ( 1 + ๐ง + ๐ง)๐๐ฅ + ๐ฅ2 ๐๐ง = 0
๐๐ฆ = ๐ฅ ( 1 + 2๐ง)๐๐ฅ + ๐ฅ2๐๐ง โฆโฆโฆโฆ (ร)1
(1+2๐ง)๐ฅ2
๐๐ฆ = โซ๐ฅ
๐ฅ2 ๐๐ฅ + โซ1
1+2๐ง ๐๐ง = โซ 0
๐๐ฆ = โซ1
๐ฅ ๐๐ฅ + โซ
1
1+2๐ง ๐๐ง = โซ 0
= ln|๐ฅ| + ๐ + โซ1
๐ข
๐๐ข
2
= ln|๐ฅ| + ๐ + 1
2โซ
1
๐ข ๐๐ข
= ln|๐ฅ| + ๐ + 1
2ln|๐ข| + ๐
๐๐๐ ๐๐ โถ ๐ข = 1 + 2๐ง
๐๐ข = 2๐๐ง
๐๐ง =๐๐ข
2
11
= ln|๐ฅ| + 1
2ln|(1 + 2๐ง)| = ๐ โฆโฆ. โฆ(ร) 2
= 2 ln|๐ฅ| + ln|1 + 2๐ง| = 2 ln ๐
= ln |๐ฅ2 | + ln|1 + 2๐ง| = ๐
= ln (๐ฅ2(1 + 2 ๐ฆ
๐ฅ) = ๐
Contoh 7.
Tentukan apakah PD di bawah ini merupakan PD Homogen dan
Selesaikanlah.
2๐ฅ๐ฆ ๐๐ฅ + (๐ฅ2 โ ๐ฆ2 )๐๐ฆ = 0
Penyelesaian:
๐( ๐๐ฅ, ๐๐ฆ) = 2(๐๐ฅ)(๐๐ฆ) = 2๐2๐ฅ๐ฆ = ๐2(2๐ฅ๐ฆ)
๐(๐๐ฅ, ๐๐ฆ) = (๐๐ฅ)2 โ (๐๐ฆ)2 = ๐2๐ฅ2 โ ๐2๐ฆ2 = ๐2(๐ฅ2 โ ๐ฆ2)
Dari uji coba diatas kita bisa menarik kesimpulan bahwa keduanya PD
Homogen. Maka:
2๐ฅ๐ฆ ๐๐ฅ + (๐ฅ2 โ ๐ฆ2 )๐๐ฆ = 0
= 2 ( ๐ฆ๐ง๐ฆ)( ๐ฆ ๐๐ง + ๐ง ๐๐ฆ) + ((๐ฆ๐ง)2 โ ๐ฆ2)๐๐ฆ = 0
= 2 (๐ฆ2๐ง)( ๐ฆ ๐๐ง + ๐ง ๐๐ฆ) + (๐ฆ2๐ง2 โ ๐ฆ2)๐๐ฆ = 0
= 2 ๐ฆ3๐ง ๐๐ง + 2๐ฆ2๐ง2๐๐ฆ + ๐ฆ2๐ง2 โ ๐ฆ2๐๐ฆ = 0
= 2 ๐ฆ3๐ง ๐๐ง + (2๐ฆ2๐ง2 + ๐ฆ2๐ง2 โ ๐ฆ2)๐๐ฆ = 0
Misal : ๐ฅ
๐ฆ= ๐ง โ ๐ฅ = ๐ฆ๐ง
๐๐ฅ = ๐ฆ ๐๐ง + ๐ง ๐๐ฆ
๐๐๐ ๐๐ ๐ข = 3๐ง2 โ 1
๐๐ข = 6๐ง ๐๐ง
๐๐ง =๐๐ข
6๐ง
12
= 2 ๐ฆ3๐ง ๐๐ง + 3๐ฆ2๐ง2 โ ๐ฆ2)๐๐ฆ = 0
= 2 ๐ฆ3๐ง ๐๐ง + ๐ฆ2(3๐ง2 โ 1)๐๐ฆ = 0 โฆโฆโฆโฆโฆโฆ. (ร)1
๐ฆ3(3๐ง2โ1)
= 2๐ง
3๐ง2โ1 ๐๐ง +
๐ฆ2
๐ฆ3 ๐๐ฆ = 0
= โซ2๐ง
3๐ง2โ1 ๐๐ง + โซ
1
๐ฆ ๐๐ฆ = โซ 0
= โซ2๐ง
๐ข
๐๐ข
6๐ง+ โซ
1
๐ฆ ๐๐ฆ = โซ 0
= 1
3โซ
1
๐ข ๐๐ข + โซ
1
๐ฆ ๐๐ฆ = โซ 0
= 1
3ln|3๐ง2 โ 1| + ln ๐ฆ = ๐ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ . . (ร)3
= ln|3๐ง2 โ 1| + 3 ln |๐ฆ| = 3๐
= ln|3๐ง2 โ 1| + ln|๐ฆ3| = ๐
= ln( (3๐ง2 โ 1)๐ฆ3) = ๐
= 3๐ฆ3๐ง2 โ ๐ฆ3 = ๐
= 3๐ฆ3๐ฅ2
๐ฆ2 โ ๐ฆ3 = ๐
= 3x2y โ y3 = c
13
D. Persamaan Diferensial Koefisien Linier
Bentuk umum
(๐๐ฅ + ๐๐ฆ + ๐)๐๐ฅ + (๐๐ฅ + ๐๐ฆ + ๐)๐๐ฆ = 0 (2.8)
Persamaan diferensial (PD) koefisien linier sering juga disebut dengan
persamaan diferensial tidak homogen. Suatu PD dikatakan tidak homogen
jika.
A(kx,ky) โ kn . A(x,y) (2.9)
Pada penyelesaian PD homogen, setelah menguji apakah suatu persamaan
dikatakan PD homogen atau tidak, Langkah selanjutnya adalah dengan
mensubstitusikan dy = x dz + z dx atau dx = y dz + z dy. Sedangkan pada
PD Koefisien Linier atau Tidak Homogen untuk mencari nilai ๐๐ฅ dan ๐๐ฆ bisa
diperoleh dengan.
Misal.
๐ข = ๐๐ฅ + ๐๐ฆ + ๐ โ ๐๐ข = ๐๐๐ฅ + ๐๐๐ฆ (i)
๐ฃ = ๐๐ฅ + ๐๐ฆ + ๐ โ ๐๐ฃ = ๐๐๐ฅ + ๐๐๐ฆ (ii)
Sehingga dx dan dy bisa diperoleh dengan mengeliminasi dan substitusi
pers. (i) dan (ii)
๐๐ข = ๐๐๐ฅ + ๐๐๐ฆ |ร ๐| โ ๐๐๐ข = ๐๐๐๐ฅ + ๐๐๐๐ฆ
๐๐ฃ = ๐๐๐ฅ + ๐๐๐ฆ |ร ๐| โ ๐๐๐ฃ = ๐๐๐๐ฅ + ๐๐๐๐ฆ โ
๐๐๐ข โ ๐๐๐ฃ = (๐๐ โ ๐๐)๐๐ฅ
๐๐ฅ =๐๐๐ขโ๐๐๐ฃ
๐๐โ๐๐ (2.10)
Lakukan hal yang sama untuk memperoleh dy.
Cobalah untuk menurunkan dy, sehingga didapatkan
๐๐ฆ =๐๐๐ขโ๐๐๐ฃ
๐๐โ๐๐ (2.11)
14
Contoh 8.
Tentukan apakah PD di bawah ini merupakan PD koefisien linier atau tidak
dan Selesaikanlah.
(2๐ฅ โ ๐ฆ + 3) ๐๐ฅ + (4๐ฅ โ 2๐ฆ + 7) ๐๐ฆ = 0
Penyelesaian:
1. Periksa PD koefisien linier atau tidak
Pengujian PD koefisien linier sama seperti pengujian pada PD homogen.
f(kx,ky) = 2kx โ ky + 3
= k (2x โ y) + 3 โ homogen
karena ada +3 yang tidak mengandung variable k.
f(kx,ky) = 4kx - 2ky +7
= k (4x - 2y) + 7 โ homogen
karena ada +7 yang tidak mengandung variable k.
Kedua suku pada soal di atas telah memenuhi syarat: F(kx,ky) โ knF(x,y),
sehingga PD pada soal merupakan PD koefisien linier.
2. Substitusikan persamaan (2.10) atau (2.11)
(2๐ฅ โ ๐ฆ + 3) ๐๐ฅ + (4๐ฅ โ 2๐ฆ + 7) ๐๐ฆ = 0
Karena 2x โ y merupakan setengah dari 4x โ 2y maka
Misal.
๐ข = 2๐ฅ โ ๐ฆ
๐๐ข = ๐๐๐ฅ + ๐๐๐ฆ
๐๐ข = 2 ๐๐ฅ โ 1 ๐๐ฆ
๐๐ฆ = โ ๐๐ข + 2 ๐๐ฅ
Maka substitusikan pemisalan ke soal, sehingga
(2๐ฅ โ ๐ฆ + 3) ๐๐ฅ + (4๐ฅ โ 2๐ฆ + 7) ๐๐ฆ = 0
(2๐ฅ โ ๐ฆ + 3) ๐๐ฅ + (2(2๐ฅ โ ๐ฆ) + 7) ๐๐ฆ = 0
(๐ข + 3)๐๐ฅ + [2๐ข + 7] ๐๐ฆ = 0
(๐ข + 3) ๐๐ฅ + (2 ๐ข + 7)(โ๐๐ข + 2 ๐๐ฅ) = 0
15
๐ข ๐๐ฅ + 3 ๐๐ฅ โ 2 ๐ข ๐๐ข + 4๐ข ๐๐ฅ โ 7 ๐๐ข + 14 ๐๐ฅ = 0
5 ๐ข ๐๐ฅ + 17 ๐๐ฅ โ 2 ๐ข ๐๐ข โ 7 ๐๐ข = 0,
lalu kumpulkan masing-masing variabel yang sama untuk dapat
diintegralkan seperti pada PD variable terpisah.
(5 ๐ข + 17) ๐๐ฅ โ (2 ๐ข โ 7) ๐๐ข = 0 โฆโฆโฆ..(ร)1
5๐ง+7
โซ ๐๐ฅ โ โซ ( 2๐ข+7
5๐ข+17 ) du = โซ 0
Sehingga memperoleh penyelesaian akhir:
๐ฅ + 2๐ฆ โ 5 (10 ๐ฅ โ 5๐ฆ + 17)1
5 = ๐ถ
Contoh 9.
Tentukan apakah PD di bawah ini merupakan PD koefisien linier atau tidak
dan Selesaikanlah.
๐๐ฆ
๐๐ฅ=
6๐ฅ โ 2๐ฆ โ 7
2๐ฅ + 3๐ฆ โ 6
Penyelesaian:
1. Periksa PD koefisien linier atau tidak
(6๐ฅ + 2๐ฆ โ 7)๐๐ฅ โ (2๐ฅ + 3๐ฆ โ 6)๐๐ฆ = 0
Sehingga,
f(kx,ky) = 6kx + 2ky โ 7
= k (6x + 2y) โ 7 โ homogen
karena ada โ 7 yang tidak mengandung variable k.
f(kx,ky) = - (2kx + 3ky โ 6)
= -k (2x + 3y) โ 6 โ homogen
karena ada โ 6 yang tidak mengandung variable k.
Kedua suku pada soal di atas telah memenuhi syarat: F(kx,ky) โ knF(x,y),
sehingga PD pada soal merupakan PD koefisien linier.
16
2. Substitusikan persamaan (2.10) dan (2.11)
Misal :
๐ข = (6๐ฅ + 2๐ฆ โ 7) โ ๐๐ข = 6๐๐ฅ โ 2๐๐ฆ ;
๐ฃ = (2๐ฅ + 3๐ฆ โ 6) โ ๐๐ฃ = 2๐๐ฅ + 3๐๐ฆ
๐๐ฅ =๐๐๐ข โ ๐๐๐ฃ
๐๐ โ ๐๐
๐๐ฅ =3๐๐ข โ (โ2)๐๐ฃ
6.3 โ (โ2)2
๐๐ฅ =3๐๐ข + 2๐๐ฃ
22
dan
๐๐ฆ =๐๐๐ข โ ๐๐๐ฃ
๐๐ โ ๐๐
๐๐ฆ =2๐๐ข โ 6๐๐ฃ
(โ2)2 โ 6.3
๐๐ฆ =2๐๐ข โ 6๐๐ฃ
โ22
Maka,
(6๐ฅ + 2๐ฆ โ 7)๐๐ฅ โ (2๐ฅ + 3๐ฆ โ 6)๐๐ฆ = 0
๐ข๐๐ฅ โ ๐ฃ๐๐ฆ = 0
๐ข (3๐๐ข + 2๐๐ฃ
22) โ ๐ฃ (
2๐๐ข โ 6๐๐ฃ
โ22) = 0
๐ข
22(3๐๐ข + 2๐๐ฃ) +
๐ฃ
22(2๐๐ข โ 6๐๐ฃ) = 0
๐ข(3๐๐ข + 2๐๐ฃ) + 2๐ฃ(๐๐ข โ 3๐๐ฃ) = 0
3๐ข๐๐ข + 2๐ข๐๐ฃ + 2๐ฃ๐๐ข โ 6๐ฃ๐๐ฃ = 0
(3๐ข + 2๐ฃ)๐๐ข + (2๐ข โ 6๐ฃ)๐๐ฃ = 0
Buktikan apakah persamaan diatas termasuk PD Homogen.
๐(๐ข, ๐ฃ) = 3๐ข + 2๐ฃ ๐(๐ข, ๐ฃ) = 2๐ข โ 6๐ฃ
๐(๐๐ข โ ๐๐ฃ) = 3(๐๐ข) + 2(๐๐ฃ) ๐(๐๐ข โ ๐๐ฃ) = 2(๐๐ข) โ 6(๐๐ฃ)
๐(๐๐ข โ ๐๐ฃ) = ๐(3๐ข + 2๐ฃ) ๐(๐๐ข โ ๐๐ฃ) = ๐(2๐ข โ 6๐ฃ)
17
Misal :
๐ข
๐ฃ= ๐ง โ ๐ข = ๐ง๐ฃ โ ๐๐ข = ๐ง๐๐ฃ + ๐ฃ๐๐ง
(3๐ข + 2๐ฃ)๐๐ข + (2๐ข โ 6๐ฃ)๐๐ฃ = 0
(3๐ง๐ฃ + 2๐ฃ)(๐ง๐๐ฃ + ๐ฃ๐๐ง) + (2๐ง๐ฃ โ 6๐ฃ)๐๐ฃ = 0
3๐ง2๐ฃ๐๐ฃ + 3๐ง๐ฃ2๐๐ง + 2๐ง๐ฃ๐๐ฃ + 2๐ฃ2๐๐ง + (2๐ง๐ฃ โ 6๐ฃ)๐๐ฃ = 0
(3๐ง2๐ฃ + 4๐ง๐ฃ โ 6๐ฃ)๐๐ฃ + (3๐ง๐ฃ2 + 2๐ฃ2)๐๐ง = 0
[๐ฃ(3๐ง2 + 4๐ง โ 6)]๐๐ฃ + [๐ฃ2(3๐ง2 + 2)]๐๐ง = 0
โซ๐ฃ
๐ฃ2 ๐๐ฃ + โซ3๐ง2 + 2
3๐ง2 + 4๐ง โ 6๐๐ง = โซ 0
Misal :
๐ข = 3๐ง2 + 4๐ง โ 6 โ ๐๐ข = (6๐ง + 4)๐๐ง โ ๐๐ง =๐๐ข
2(3๐ง + 2)
โซ1
๐ฃ๐๐ฃ + โซ
3๐ง + 2
๐ข.
๐๐ข
2(3๐ง + 2)= โซ 0
In|๐ฃ| +1
2 In|๐ข| = ๐
2In|๐ฃ| + In|๐ข| = ๐
2In|๐ฃ2| + In|3๐ง2 + 4๐ง โ 6| = ๐
In[๐ฃ2(3๐ง2 + 4๐ง โ 6)] = In ๐
๐ฃ2(3๐ง2 + 4๐ง โ 6) = ๐
3๐ข2 + 4๐ข๐ฃ โ 6๐ฃ2 = ๐
3(6๐ฅ โ 2๐ฆ โ 7)2 + 4(6๐ฅ โ 2๐ฆ โ 7)(2๐ฅ + 3๐ฆ โ 6) โ 6(2๐ฅ + 3๐ฆ โ 6)2 = ๐
3(36๐ฅ2 โ 24๐ฅ๐ฆ โ 84๐ฅ + 4๐ฆ2 + 28๐ฆ + 49) + (48๐ฅ2 + 56๐ฅ๐ฆ โ 200๐ฅ โ 24๐ฆ2
โ36๐ข + 168 โ 6(4๐ฅ2 + 12๐ฅ๐ฆ โ 24๐ฅ + 9๐ฆ2 โ 36๐ฆ + 36) = ๐
108๐ฅ2 โ 72๐ฅ๐ฆ โ 252๐ฅ + 12๐ฆ2 + 84๐ฆ + 147 โ 48๐ฅ2 โ 56๐ฅ๐ฆ + 200๐ฅ
+24๐ฆ2 + 36๐ฆ โ 168 โ 24๐ฅ2 โ 72๐ฅ๐ฆ + 144๐ฅ โ 54๐ฆ2 + 216๐ฆ โ 216 = ๐
36๐ฅ2 โ 200๐ฅ๐ฆ + 92๐ฅ โ 18๐ฆ2 + 336๐ฆ โ 426 = ๐
18
E. Persamaan Diferensial Eksak
Dengan mengingat pelajaran kalkulus, jika pada sebuah fungsi persamaan
memiliki dua variable berbeda, seperti
๐ง = ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐ฅ2 + ๐ฆ2 โ 3๐ฅ3๐ฆ2 โ 3๐ฅ2๐ฆ3 + 6๐ฅ๐ฆ + 15
Diferensial total dari fungsi di atas diberikan oleh
๐๐ง =๐๐(๐ฅ, ๐ฆ)
๐๐ฅ๐๐ฅ +
๐๐(๐ฅ, ๐ฆ)
๐๐ฆ๐๐ฆ
= (2๐ฅ โ 9๐ฅ2๐ฆ2 โ 6๐ฅ๐ฆ3 + 6๐ฆ)๐๐ฅ + (2๐ฆ โ 6๐ฅ3๐ฆ โ 9๐ฅ2๐ฆ2 + 6๐ฅ)๐๐ฆ
Sebaliknya jika kita mulai dari ekspresi
= (2๐ฅ โ 9๐ฅ2๐ฆ2 โ 6๐ฅ๐ฆ3 + 6๐ฆ)๐๐ฅ + (2๐ฆ โ 6๐ฅ3๐ฆ โ 9๐ฅ2๐ฆ2 + 6๐ฅ)๐๐ฆ
Definisi 2.
Ekspresi Diferensial
๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฅ + ๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฆ = 0 (2.12)
PD disebut eksak bila ruas kiri dapat ditulis sebagai diferensial total dari
Suatu PD yang memiliki dua variabel ๐(๐ฅ, ๐ฆ) sehingga
๐(๐ฅ, ๐ฆ) =๐
๐๐ฅ๐(๐ฅ, ๐ฆ) dan ๐(๐ฅ, ๐ฆ) =
๐
๐๐ฆ๐(๐ฅ, ๐ฆ) (2.13)
Misalkan belum diketahui apakah persamaan (2.13) eksak atau tidak.
Sehingga, kita harus menguji terlebih dahulu PD (2.13) eksak atau tidak.
Adapun langkah-langkah pengujikan suatu PD eksak atau tidak yaitu dengan
Eksak berasal dari kata sifat yang memiliki arti pasti, tentu, dan tidak dapat diubah-ubah
lagi. Salah satu ayat pada Al-Quran yang memiliki pengertian eksak, yaitu.
Katakanlah: "Sesungguhnya kematian yang kamu lari daripadanya, maka sesungguhnya
kematian itu akan menemui kamu, kemudian kamu akan dikembalikan kepada (Allah),
yang mengetahui yang ghaib dan yang nyata, lalu Dia beritakan kepadamu apa yang
telah kamu kerjakan." (Q.S. Al-Jumuโah : 8)
19
cara mengintegrasikan koefisien dari ๐๐ฅ terhadap ๐ฅ dengan y dianggap
konstan.
Definisi 3.
Persamaan Diferensial:
๐(๐ฅ, ๐ฆ) ๐๐ฅ + ๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฆ = 0
Dikatakan eksak jika ada persamaan (๐ฅ, ๐ฆ) sehingga derivatif parsialnya
terhadap ๐ฅ adalah ๐(๐ฅ, ๐ฆ) dan derivatif parsialnya terhadap ๐ฆ adalah ๐(๐ฅ, ๐ฆ).
Maka berdasarkan definisi 3, suatu PD dinyatakan eksak jika ada fungsi yang
sedemikian sehingga
๐(๐ฅ, ๐ฆ) =๐๐(๐ฅ, ๐ฆ)
๐๐ฅ dan Q(x, y) =
๐๐(๐ฅ, ๐ฆ)
๐๐ฆ
Diferensial total dapat ditulis sebagai berikut.
๐๐น(๐ฅ, ๐ฆ) = 0. Berarti:
๐๐น
๐๐ฅ๐๐ฅ +
๐๐น
๐๐ฆ๐๐ฆ = 0
Persamaan (1) dan (2) harus identik, karena keduanya dapat ditulis sebagai
diferensial dari ๐น(๐๐น(๐ฅ, ๐ฆ)) sehingga
๐(๐ฅ, ๐ฆ) =๐๐น
๐๐ฅโ
๐๐
๐๐ฆ=
๐2๐น
๐๐ฅ๐๐ฆ
๐(๐ฅ, ๐ฆ) =๐๐น
๐๐ฆโ
๐๐
๐๐ฅ=
๐2๐น
๐๐ฆ๐๐ฅ
โง sama
๐น(๐ฅ, ๐ฆ) = โซ ๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฅ + ๐(๐ฆ) (2.14)
Karena diintegralkan terhadap ๐ฅ maka ๐ฆ dianggap sebagai konstanta
sehingga merupakan fungsi dari ๐ฆ
๐๐น
๐๐ฆ=
๐
๐๐ฆ[๐น(๐ฅ, ๐ฆ)] =
๐
๐๐ฆ[๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฅ + ๐(๐ฆ)]
=๐
๐๐ฆ[โซ ๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฅ] + ๐โฒ(๐ฆ)
Kita tahu bahwa ๐๐น
๐๐ฆ= N(x, y)
20
Maka:
๐(๐ฅ, ๐ฆ) =๐
๐๐ฆ[โซ ๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฅ] + ๐โฒ(๐ฆ)
๐(๐ฆ) = โซ [๐(๐ฅ, ๐ฆ) โ๐
๐๐ฆ[โซ ๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฅ]] ๐๐ฆ
Sehingga
๐น(๐ฅ, ๐ฆ) = โซ ๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฅ + ๐(๐ฆ)
= โซ ๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฅ + โซ [๐(๐ฅ, ๐ฆ) โ๐
๐๐ฆ[โซ ๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฅ]] ๐๐ฆ
Syarat eksak ditentukan oleh
๐2F
๐๐ฅ๐๐ฆ=
๐2F
๐๐ฆ๐๐ฅ
๐๐
๐๐ฆ=
๐๐
๐๐ฅโ Syarat PD Eksak
Jika ๐ฆ terlebih dulu dianggap konstan, kita juga bisa membalik kondisi
dengan ๐ฅ dulu yang dianggap konstan.
Dengan
๐น(๐ฅ, ๐ฆ) = โซ ๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฆ + ๐(๐ฅ) (2.15)
๐๐น(๐ฅ, ๐ฆ)
๐๐ฅ=
๐
๐๐ฅ[โซ ๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฆ] + ๐โฒ(๐ฅ) = ๐(๐ฅ, ๐ฆ)
Teorema Persamaan Diferensial
๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฅ + ๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฆ = 0
Eksak jika hanya jika
๐๐(๐ฅ, ๐ฆ)
๐๐ฆ=
๐๐(๐ฅ, ๐ฆ)
๐๐ฅ
dimana fungsi ๐(๐ฅ, ๐ฆ), ๐(๐ฅ, ๐ฆ),๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฅ,
๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฆ dan persamaan terdefinisi dan
kontinu dalam daerah terhubung sederhana.
21
Contoh 10.
Tentukan apakah PD di bawah ini merupakan PD eksak atau tidak dan
Selesaikanlah.
Penyelesaian:
1. Periksa PD Eksak atau tidak
Karena , maka persamaan diferensial eksak.
2. Substitusikan ke persamaan 2.14 atau 2.15
Selanjutnya dicari nilai
Sehingga
atau
Jadi penyelesaiannya adalah
22
Contoh 11.
Tentukan apakah PD di bawah ini merupakan PD eksak atau tidak dan
Selesaikanlah.
xyโ + y + 4 = 0
Penyelesaian:
1. Periksa PD Eksak atau tidak
xyโ + y + 4 = 0
xyโ = - (y+4)
x = - (y + 4)
x dy + (y + 4) dx = 0
(y + 4) dx + x dy = 0
Sehingga,
M(x,y) = y + 4
= 1
N(x,y) = x
= 1
Karena = , maka xyโ + y + 4 = 0 persamaan differensial eksak
2. Substitusikan ke persamaan 2.14 atau 2.15
Fungsi penyelesaian
u(x,y) =
=
= xy + l(x)
Nilai konstanta l(x)
= M
y + = y + 4
= 4
23
= 4 dx
=
l(x) = 4x + c
Jadi,
u(x,y) = xy + 4x + c
xy + 4x + c = 0
xy = - c โ 4x
y =
jadi, penyelesaiannya adalah fungsi y =
F. Analisis Jenis PD Orde-1
Jenis-jenis PD Orde-1 yang telah dijabarkan dan dipelajari, seperti PD
Variabel Terpisah, Homogen, Koefisien Linier, dan Eksak memiliki ciri yang
dapat dianalisis. Sehingga, dalam menyelesaikan suatu permasalahan dari
PD Orde-1 dapat dianalisis berdasarkan bentuk umumnya.
Contoh 12.
Tentukan jenis PD orde-1 dari persamaan (6xy + 2y) ๐๐ฆ
๐๐ฅ = - (2x + 3y2)
Penyelesaian:
Persamaan di atas dapat dituliskan menjadi (2x + 3y2) dx + (6xy + 2y) dy = 0
1. Analisis Bentuk Umum PD orde-1.
a. Bentuk umum PD Variabel terpisah yaitu M(x) dx + N(y) dy = 0 (tidak
memenuhi)
b. Bentuk umum PD Homogen: M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 (memenuhi)
c. Bentuk umum PD Koefisien Linier: (๐๐ + ๐๐ + ๐) ๐ ๐ + (๐๐ + ๐๐ + ๐)
๐ ๐ = ๐ (tidak memenuhi)
d. Bentuk umum PD eksak: M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 (memenuhi)
24
Jadi, berdasarkan analisis bentuk umumnya, persamaan pada soal
kemungkinan merupakan jenis PD Homogen dan Eksak
2. Pembuktian PD yang memenuhi
Berdasarkan analisis bentuk PD orde-1, diperoleh bahwa persamaan
pada soal mungkin merupakan jenis PD Homogen dan Eksak. Sehingga,
pada Langkah selanjutnya yang dapat dilakukan adalah analisis definisi
PD orde-1.
a. Definisi PD Homogen: f(kx,ky) = kn f(x,y).
Suku pertama โ f(kx,ky) = 2kx + 3(ky)2
= 2kx + 3 k2y2
= k (2x + 3ky2)
bukan homogen (karena fungsi yang dihasilkan bukan (2x + 3y2)
seperti pada soal.
Suku kedua โ f(kx,ky) = 6kxky + 2ky
= 6k2xy + 2ky
= k (6kxy + 2y)
bukan homogen (karena fungsi yang dihasilkan bukan (6xy + 2y)
seperti soal awal melainkan (6kxy + 2y)
Maka Contoh Soal tersebut bukan merupakan jenis PD Homogen.
b. Definisi PD eksak: ๐๐
๐๐ฆ=
๐๐
๐๐ฅ
M (x,y) = (2x + 3y2) maka ๐๐
๐๐ฆ= 0 + 6๐ฆ = 6๐ฆ
N(x,y) = (6xy + 2y) maka ๐๐
๐๐ฅ= 6๐ฆ + 0 = 6๐ฆ
Sehingga terbukti bahwa ๐๐
๐๐ฆ=
๐๐
๐๐ฅ โ 6๐ฆ = 6๐ฆ
Oleh karena itu, Contoh Soal ini merupakan jenis PD Eksak.
25
3. Penyelesaian
Berdasarkan hasil analisis bentuk umum dan definisi dari jenis-jenis PD
orde-1 di atas, diperoleh bahwa persamaan (2x + 3y2) dx + (6xy + 2y) dy
= 0 merupakan jenis dari PD eksak, Sehingga penyelesaiannya sebagai
berikut.
a. Buktikan fungsi kontinu
u(x,y) = โซ ๐ ๐๐ฅ + ๐(๐ฆ)
= โซ(2๐ฅ + 3๐ฆ2) ๐๐ฅ + ๐(๐ฆ)
= x2 + 3xy2 + k(y)
b. Setelah memperoleh u(x,y) diperoleh hasil x2 + 3xy2 + k(y), untuk
mendapatkan nilai k(y) dilakukan dengan cara mensubstitusikan ke
๐๐ข
๐๐ฆ= ๐(๐ฅ, ๐ฆ)
Sehingga, u(x,y) = x2 + 3xy2 + k(y)
๐๐ข
๐๐ฆ= 0 + 6๐ฅ๐ฆ +
๐๐(๐ฆ)
๐๐ฆ= 6๐ฅ๐ฆ +
๐๐(๐ฆ)
๐๐ฆ
Dan N (x,y) = 6xy + 2y
Ketika disubtitusikan menjadi
๐๐ข
๐๐ฆ= ๐(๐ฅ, ๐ฆ)
6๐ฅ๐ฆ + ๐๐(๐ฆ)
๐๐ฆ = 6xy + 2y
๐๐(๐ฆ)
๐๐ฆ= 2๐ฆ
Karena yang dicari adalah nilai k(y),
maka ๐๐(๐ฆ)
๐๐ฆ= 2๐ฆ masing-masing ruas diintegralkan jadi
โซ ๐๐(๐ฆ)
๐๐ฆ= โซ 2๐ฆ dikali silang dy
โซ ๐๐(๐ฆ) = โซ 2๐ฆ ๐๐ฆ
k(y) = y2 + c
Substitusikan k (y) ke u(x,y)
u(x,y) = x2 + 3xy2 + k(y)
= x2 + 3xy2 + y2+ c
26
u(x,y) merupakan fungsi kontinu yang bernilai 0 sehingga
0 = x2 + 3xy2 + y2+ c
y2 (๐ฅ + 1) = โ x2 โ ๐
๐ฝ๐๐๐, ๐๐๐๐ฆ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ก๐โ ๐๐ท ๐๐ ๐๐ก๐๐ ๐๐๐๐๐โ ๐ฆ = โโ๐ฅ2โ๐
๐ฅ+1
G. Faktor Integrasi
Definisi 4.
Sebuah faktor pengali yang menjadikan suatu PD yang tidak eksak menjadi
PD eksak dinamakan faktor integrasi.
Teorema Faktor Integrasi
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0
Seperti yang diketahui bahwa untuk menguji suatu PD Eksak atau tidak
adalah jika dan hanya jika
๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฆ=
๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฅ (2.16)
Kita asumsikan bahwa PD pada bentuk umum di atas tidak eksak dan
memiliki faktor integrasi a(x,y). Sehingga berdasarkan definisi
a(x,y) M(x,y) dx + a(x,y) N(x,y) dy = 0 (2.17)
PD (2.17) merupakan PD Eksak. Jadi, untuk mengujinya menjadi
๐
๐๐๐(๐, ๐)๐ด(๐, ๐) =
๐
๐๐๐(๐, ๐)๐ต(๐, ๐)
Sehingga dapat menggunakan sifat dasar turunan uv = uโv + vโu menjadi
๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฆ๐(๐ฅ, ๐ฆ) +
๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฆ๐(๐ฅ, ๐ฆ) =
๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฅ๐(๐ฅ, ๐ฆ) +
๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฅ๐(๐ฅ, ๐ฆ) (2.18)
1. Faktor Integrasi a(x,y) = a(x) (Fungsi x saja)
Misalkan ๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฆ= 0
Substitusikan ke (2.18) sehingga,
27
0 ๐(๐ฅ, ๐ฆ) + ๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฆ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = โ (
๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฅ๐(๐ฅ, ๐ฆ) +
๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฅ๐(๐ฅ, ๐ฆ))
๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฆ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โ
๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฅ๐(๐ฅ, ๐ฆ) =
๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฅ๐(๐ฅ, ๐ฆ)
๐(๐ฅ, ๐ฆ) (๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฆโ
๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฅ) =
๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฅ๐(๐ฅ, ๐ฆ)
๐(๐ฅ, ๐ฆ) (๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฆโ
๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฅ) ๐๐ฅ = ๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) ๐(๐ฅ, ๐ฆ)
Gunakan prinsip pada PD dengan variabel yang dapat dipisahkan untuk
menggabungkan a(x,y) dengan ๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) dan N(x,y) dengan dx. Sehingga
dikalikan dengan 1
๐(๐ฅ,๐ฆ)๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐(๐ฅ, ๐ฆ) (๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฆโ
๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฅ) ๐๐ฅ = ๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) ๐(๐ฅ, ๐ฆ)
1
๐(๐ฅ,๐ฆ)(
๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฆโ
๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฅ) ๐๐ฅ =
1
๐(๐ฅ,๐ฆ)๐๐(๐ฅ, ๐ฆ)
Integralkan kedua ruas menjadi
โซ1
๐(๐ฅ,๐ฆ)(
๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฆโ
๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฅ) ๐๐ฅ = โซ
1
๐(๐ฅ,๐ฆ)๐๐(๐ฅ, ๐ฆ)
Sehingga
โซ1
๐(๐ฅ,๐ฆ)(
๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฆโ
๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฅ) ๐๐ฅ = ln|๐|
Jadi,
๐โซ
1
๐(๐ฅ,๐ฆ)(
๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฆโ
๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฅ)๐๐ฅ
= ๐ln|๐|
Contoh 13.
Tentukan penyelesaian dari persamaan diferensial di bawah ini.
(1 โ ๐ฅ๐ฆ) ๐๐ฅ + (๐ฅ๐ฆ โ ๐ฅ2) ๐๐ฆ = 0
Penyelesaian:
1. Periksa PD eksak atau tidak
๐ = ๐โซ
๐
๐ต(๐,๐)(
๐๐ด(๐,๐)
๐๐โ
๐๐ต(๐,๐)
๐๐)๐๐
โ Faktor Integrasi Fungsi x saja.
28
๐๐(๐ฅ, ๐ฆ)
๐๐ฆ= โ๐ฅ โ
๐๐(๐ฅ, ๐ฆ)
๐๐ฅ= ๐ฆ โ 2๐ฅ
(1 โ ๐ฅ๐ฆ)๐๐ฅ + (๐ฅ๐ฆ โ ๐ฅ2) ๐๐ฆ = 0 bukan Persamaan Differensial Eksak.
2. Substitusikan ke rumus faktor integrasi fungsi x saja
๐(๐ฅ) =
๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฆโ
๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฅ
๐(๐ฅ, ๐ฆ)
๐(๐ฅ) =โ๐ฅ โ (๐ฆ โ 2๐ฅ)
๐ฅ๐ฆ โ ๐ฅ2
๐(๐ฅ) =โ๐ฅ โ ๐ฆ + 2๐ฅ
๐ฅ๐ฆ โ ๐ฅ2
๐(๐ฅ) =(๐ฅ โ ๐ฆ)
โ๐ฅ(๐ฅ โ ๐ฆ)
๐(๐ฅ) = โ1
๐ฅ
๐(๐ฅ) = ๐โซ ๐(๐ฅ)๐๐ฆ
๐(๐ฅ) = ๐โซ(โ1
๐ฅ)๐๐ฆ
๐(๐ฅ) = ๐โ ln ๐ฅ
๐(๐ฅ) =1
๐ฅ
3. Selesaikan dengan penyelesaian PD eksak
(1 โ ๐ฅ๐ฆ)๐๐ฅ + (๐ฅ๐ฆ โ ๐ฅ2) ๐๐ฆ = 0 ๐ฅ 1
๐ฅ
(1
๐ฅโ ๐ฆ) ๐๐ฅ + (๐ฆ โ ๐ฅ)๐๐ฆ = 0
a. Periksa PD eksak atau tidak
๐๐(๐ฅ, ๐ฆ)
๐๐ฆ= โ1 =
๐๐(๐ฅ, ๐ฆ)
๐๐ฅ= โ1
(1
๐ฅโ ๐ฆ) ๐๐ฅ + (๐ฆ โ ๐ฅ)๐๐ฆ = 0 merupakan PD Eksak
b. Substitusikan ke persamaan (2.14) atau (2.15)
๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฆ= โซ(๐ฆ โ ๐ฅ) ๐y
29
๐๐(๐ฅ, ๐ฆ)
๐๐ฆ=
๐ฆ2
2โ ๐ฅ๐ฆ + ๐ถ
๐๐ฅ(๐ฅ, ๐ฆ) = โ๐ฆ + ๐ถ(๐ฅ)
(1
๐ฅโ ๐ฆ) = โ๐ฆ + ๐ถ(๐ฅ)
โซ1
๐ฅ= โซ ๐ถ(๐ฅ)
ln ๐ฅ = ๐ถ
๐ฆ2
2โ ๐ฅ๐ฆ + ๐ถ
Substitusikan : C = ln ๐ฅ
๐ฆ2
2โ ๐ฅ๐ฆ + ln ๐ฅ = 0 ร 2
๐ฆ2 โ 2๐ฅ๐ฆ + 2 ln ๐ฅ = 0
2. Faktor Integrasi a(x,y) = a(y) (Fungsi y saja)
๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฆ๐(๐ฅ, ๐ฆ) +
๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฆ๐(๐ฅ, ๐ฆ) =
๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฅ๐(๐ฅ, ๐ฆ) +
๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฅ๐(๐ฅ, ๐ฆ) (2.18)
Misalkan ๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฆ= 0
Coba turunkan rumus faktor integrasi fungsi y saja seperti yang telah
dilakukan pada fungsi x saja.
Sehingga diperoleh
Contoh 14.
Tentukan penyelesaian dari persamaan diferensial di bawah ini.
๐ฅ๐ฆ ๐๐ฅ + (1 + ๐ฅ2) ๐๐ฆ = 0
Penyelesaian:
1. Periksa PD eksak atau tidak
๐๐(๐ฅ, ๐ฆ)
๐๐ฆ= 1 โ
๐๐(๐ฅ, ๐ฆ)
๐๐ฅ= 2๐ฅ
๐ = ๐โซ
๐
๐ด(๐,๐)(โ
๐๐ด(๐,๐)
๐๐+
๐๐ต(๐,๐)
๐๐)๐๐
โ Faktor Integrasi Fungsi y
saja.
30
๐ฅ๐ฆ ๐๐ฅ + (1 + ๐ฅ2) ๐๐ฆ = 0 bukan PD Eksak
2. Substitusikan ke rumus faktor integrasi fungsi y
๐(๐ฆ) =
๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฅโ
๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฆ
๐(๐ฅ, ๐ฆ)
๐(๐ฆ) =2๐ฅ โ 1
๐ฅ๐ฆ
๐(๐ฆ) =๐ฅ(2 โ 1)
๐ฅ๐ฆ
๐(๐ฆ) =๐ฅ
๐ฅ๐ฆ
๐(๐ฆ) =1
๐ฆ
๐(๐ฆ) = ๐โซ ๐(๐ฆ)๐๐ฆ
๐(๐ฆ) = ๐โซ(
1
๐ฆ)๐๐ฆ
๐(๐ฆ) = ๐ln ๐ฆ
๐(๐ฆ) = ๐ฆ
3. Selesaikan dengan penyelesaian PD eksak
a. Periksa PD eksak atau tidak
( ๐ฅ๐ฆ ๐๐ฅ + (1 + ๐ฅ2) ๐๐ฆ = 0 ) ร ๐ฆ
(๐ฅ๐ฆ2)๐๐ฅ + (๐ฆ + ๐ฅ2๐ฆ )๐๐ฆ = 0
๐๐(๐ฅ, ๐ฆ)
๐๐ฆ= 2๐ฅ๐ฆ =
๐๐(๐ฅ, ๐ฆ)
๐๐ฅ= 2๐ฅ๐ฆ
(๐ฅ๐ฆ2)๐๐ฅ + (๐ฆ + ๐ฅ2๐ฆ )๐๐ฆ = 0 merupakan PD Eksak
b. Substitusikan ke persamaan (2.14) atau (2.15)
๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฆ= โซ(๐ฆ + ๐ฅ2 ๐ฆ) ๐y
๐๐(๐ฅ, ๐ฆ)
๐๐ฆ=
๐ฆ2
2+
๐ฆ2๐ฅ2
2+ ๐ถ
๐๐ฅ(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐ฅ๐ฆ2 + ๐ถ(๐ฅ)
31
๐ฅ๐ฆ2 = ๐ฅ๐ฆ2 + ๐ถ(๐ฅ)
โซ 0 = โซ ๐ถ(๐ฅ)
0 = ๐ถ
Substitusikan : C = 0
๐ฆ2
2+
๐ฆ2๐ฅ2
2+ 0 =
๐ฆ2
2+
๐ฆ2๐ฅ2
2= 0
3. Faktor Integrasi a(x,y) = a(xy) (Fungsi xy saja)
๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฆ๐(๐ฅ, ๐ฆ) +
๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฆ๐(๐ฅ, ๐ฆ) =
๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฅ๐(๐ฅ, ๐ฆ) +
๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฅ๐(๐ฅ, ๐ฆ) (2.18)
Misalkan a(x,y) = a(xy) dan b = xy, sehingga
Dengan menggunakan prinsip aturan rantai diperoleh,
๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฅ=
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐ฅ ๐๐๐
๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฆ=
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐ฆ
๐๐(๐ฅ, ๐ฆ)
๐๐ฅ=
๐๐
๐๐
๐(๐ฅ๐ฆ)
๐๐ฅ=
๐๐
๐๐๐ฆ
๐๐๐๐๐(๐ฅ, ๐ฆ)
๐๐ฆ=
๐๐
๐๐
๐(๐ฅ๐ฆ)
๐๐ฆ=
๐๐
๐๐๐ฅ
Coba turunkan rumus faktor integrasi fungsi xy seperti yang telah
dilakukan pada fungsi x saja.
Sehingga diperoleh,
Contoh 15.
Tentukan penyelesaian dari persamaan diferensial di bawah ini.
(2๐ฅ3๐ฆ2 โ ๐ฆ) ๐๐ฅ + (2๐ฅ2๐ฆ3 โ ๐ฅ) ๐๐ฆ = 0
๐ = ๐โซ(
๐๐ด(๐,๐)๐๐
โ๐๐ต(๐,๐)
๐๐
๐๐ต(๐,๐)โ๐๐ด(๐,๐))๐ ๐
โ Faktor Integrasi Fungsi xy saja.
32
Penyelesaian:
1. Periksa PD eksak atau tidak
๐(๐ฅ, ๐ฆ) = 2๐ฅ2๐ฆ2 โ ๐ฆ =๐๐
๐๐ฆ= 4๐ฅ2๐ฆ โ 1
๐(๐ฅ, ๐ฆ) = 2๐ฅ3๐ฆ3 โ ๐ฅ =๐๐
๐๐ฅ= 4๐ฅ๐ฆ2 โ 1
(2๐ฅ3๐ฆ2 โ ๐ฆ) ๐๐ฅ + (2๐ฅ2๐ฆ3 โ ๐ฅ) ๐๐ฆ = 0 bukan PD eksak
2. Substitusikan ke rumus faktor integrasi fungsi xy
๐๐
๐๐ฆโ
๐๐
๐๐ฅ= 4๐ฅ2๐ฆ โ 1 โ (4๐ฅ๐ฆ2 โ 1 )
= 4๐ฅ2๐ฆ โ 4๐ฅ๐ฆ3
= 4๐ฅ๐ฆ(๐ฅ2๐ฆ2)
b= xy โ๐๐
๐๐ฆ= ๐ฅ ,
๐๐
๐๐ฅ= ๐ฆ
๐๐๐
๐๐ฆ= ๐ฅ(2๐ฅ3๐ฆ2) = 2๐ฅ4๐ฆ2 โ ๐ฅ๐ฆ
๐๐๐
๐๐ฅ= ๐ฆ(2๐ฅ2๐ฆ3 โ ๐ฅ) = 2๐ฅ2๐ฆ4 โ ๐ฅ๐ฆ
๐๐๐
๐๐ฆโ ๐
๐๐
๐๐ฅ= 2๐ฅ4๐ฆ2 โ ๐ฅ๐ฆ โ (2๐ฅ2๐ฆ4 โ ๐ฅ๐ฆ )
= 2๐ฅ4๐ฆ2 โ 2๐ฅ2๐ฆ4
= 2๐ฅ2๐ฆ2(๐ฅ2 โ ๐ฆ2)
๐น(๐) =
๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฆโ ๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฅ
๐ฆ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โ ๐ฅ๐(๐ฅ, ๐ฆ)
= โ(4๐ฅ๐ฆ(๐ฅ2๐ฆ2)
2๐ฅ2๐ฆ2(๐ฅ2 โ ๐ฆ2) )
= โ4๐ฅ๐ฆ
2๐ฅ2๐ฆ2
= โ2
๐ฅ๐ฆ
Faktor Integrasi terhadap xy
a(b) = ๐โซ ๐น(๐) ๐๐ฃ
= ๐โซ โ(
2
๐ฅ๐ฆ) ๐๐ฃ
33
= ๐โ2โซ โ(
1
๐ฅ๐ฆ) ๐๐ฃ
= ๐โ2 ln |๐ฅ๐ฆ|
= ๐ln|๐ฅ๐ฆ|โ2
= ๐ln |๐ฅโ2๐ฆโ2|
a(b) = ๐ฅ2๐ฆ2 =1
๐ฅ2๐ฆ2
Maka persamaan terhadap xy
1
๐ฅ2๐ฆ2 (2๐ฅ3๐ฆ2 โ ๐ฆ) ๐๐ฅ +1
๐ฅ2๐ฆ2 (2๐ฅ2๐ฆ3 โ ๐ฅ) ๐๐ฆ = 0
3. Selesaikan dengan penyelesaian PD eksak
a. Periksa PD eksak atau tidak
๐ = 1
๐ฅ2๐ฆ2(2๐ฅ3๐ฆ2 โ ๐ฆ) =
2๐ฅ3๐ฆ2 โ ๐ฆ
๐ฅ2๐ฆ2 =2๐ฅ3๐ฆ2
๐ฅ2๐ฆ2 โ๐ฆ
๐ฅ2๐ฆ2 = 2๐ฅ โ1
๐ฅ2๐ฆ
๐๐
๐๐ฆ=
1
๐ฅ2๐ฆ2
๐ =1
๐ฅ2๐ฆ2(2๐ฅ2๐ฆ3 โ ๐ฅ) =
2๐ฅ2๐ฆ3 โ ๐ฅ
๐ฅ2๐ฆ2 = 2๐ฅ2๐ฆ3
๐ฅ2๐ฆ2 โ๐ฅ
๐ฅ2๐ฆ2 = 2๐ฆ โ1
๐ฆ2
๐๐
๐๐ฅ=
1
๐ฅ2๐ฆ2
(2๐ฅ โ1
๐ฅ2๐ฆ) ๐๐ฅ + (2๐ฆ โ
1
๐ฆ2) ๐๐ฆ = 0 merupakan PD eksak.
b. Substitusikan ke persamaan (2.14) atau (2.15)
๐(๐ฅ, ๐ฆ) = โซ ๐(๐ฅ, ๐ฆ) + ๐(๐ฆ)
= โซ (2๐ฅ โ1
๐ฅ2๐ฆ) ๐๐ฅ + ๐(๐ฆ)
= ๐ฅ2 +1
๐ฅ๐ฆ+ ๐(๐ฆ)
๐
๐๐ฆ[๐ฅ2 +
1
๐ฅ๐ฆ+ ๐(๐ฆ)] = 2๐ฆ โ
1
๐ฆ2
โ1
๐ฅ๐ฆ2 +๐๐(๐ฆ)
๐๐ฆ = 2๐ฆ โ
1
๐ฆ2
34
โซ ๐๐(๐ฆ) = โซ 2๐ฆ ๐๐ฆ
๐(๐ฆ) = ๐ฆ2 + ๐
Substitusi,
๐(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐ฅ2 +1
๐ฅ๐ฆ+ ๐ฆ2 + ๐
๐(๐ฅ, ๐ฆ) = โซ (๐ฅ, ๐ฆ) ๐๐ฆ + ๐(๐ฅ)
= โซ (2๐ฆ โ1
๐ฅ๐ฆ2) ๐๐ฆ + ๐(๐ฅ)
= โซ 2๐ฆ ๐๐ฆ โ โซ1
๐ฅ๐ฆ2 ๐๐ฆ ๐(๐ฅ)
= ๐ฆ2 +1
๐ฅ๐ฆ+ ๐(๐ฅ)
๐
๐๐ฅ[๐ฆ2 +
1
๐ฅ๐ฆ+ ๐(๐ฅ) ] = 2๐ฅ โ
1
๐ฅ2๐ฆ
โ1
๐ฅ2๐ฆ+
๐๐(๐ฅ)
๐๐ฅ = 2๐ฅ โ
1
๐ฅ2๐ฆ
โซ ๐๐(๐ฅ) = โซ 2๐ฅ ๐๐ฅ
i(x) = ๐ฅ2 + ๐
Jadi,
๐(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐ฆ2 +1
๐ฅ๐ฆ+ ๐ฅ2 + ๐
35
Pengayaan
1. Faktor Integrasi a(x,y) = a(x/y)
(Fungsi x/y saja)
๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฆ๐(๐ฅ, ๐ฆ) +
๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฆ๐(๐ฅ, ๐ฆ) =
๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฅ๐(๐ฅ, ๐ฆ) +
๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฅ๐(๐ฅ, ๐ฆ) (2.18)
Misalkan a(x,y) = a(x/y) dan b = x/y, sehingga
Dengan menggunakan prinsip aturan rantai diperoleh,
๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฅ=
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐ฅ ๐๐๐
๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฆ=
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐ฆ
๐๐(๐ฅ, ๐ฆ)
๐๐ฅ=
๐๐
๐๐
๐(๐ฅ/๐ฆ)
๐๐ฅ=
๐๐
๐๐(
1
๐ฆ)
๐๐๐๐๐(๐ฅ, ๐ฆ)
๐๐ฆ=
๐๐
๐๐
๐(๐ฅ/๐ฆ)
๐๐ฆ=
๐๐
๐๐(โ
๐ฅ
๐ฆ2)
Coba turunkan rumus faktor integrasi fungsi x/y seperti yang
telah dilakukan pada fungsi x saja.
Sehingga diperoleh,
Rumus Faktor Integrasi Fungsi x/y saja.
๐ = ๐โซ(
๐๐(๐๐ด(๐,๐)
๐๐โ
๐๐ต(๐,๐)๐๐
)
๐๐ด(๐,๐)+๐๐ต(๐,๐))๐๐
36
2. Faktor Integrasi a(x,y) = a(y/x) (Fungsi y/x saja)
๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฆ๐(๐ฅ, ๐ฆ) +
๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฆ๐(๐ฅ, ๐ฆ) =
๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฅ๐(๐ฅ, ๐ฆ) +
๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฅ๐(๐ฅ, ๐ฆ) (2.18)
Misalkan a(x,y) = a(xy) dan b = y/x, sehingga
Dengan menggunakan prinsip aturan rantai diperoleh,
๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฅ=
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐ฅ ๐๐๐
๐๐(๐ฅ,๐ฆ)
๐๐ฆ=
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐ฆ
๐๐(๐ฅ, ๐ฆ)
๐๐ฅ=
๐๐
๐๐
๐(๐ฅ๐ฆ)
๐๐ฅ=
๐๐
๐๐(โ
๐ฆ
๐ฅ2)
๐๐๐๐๐(๐ฅ, ๐ฆ)
๐๐ฆ=
๐๐
๐๐
๐(๐ฅ๐ฆ)
๐๐ฆ=
๐๐
๐๐(
1
๐ฅ)
Coba turunkan rumus faktor integrasi fungsi y/x seperti yang
telah dilakukan pada fungsi x saja.
Sehingga diperoleh,
Rumus Faktor Integrasi Fungsi y/x saja
๐ = ๐โซ(
๐๐(๐๐ต(๐,๐)
๐๐ โ๐๐ด(๐,๐)
๐๐ )
๐๐ด(๐,๐)+๐๐ต(๐,๐))๐๐
37
H. Persamaan Diferensial Linier Orde 1
Definisi 5.
PD linier orde 1 adalah sebuah PD yang dapat ditulis dalam bentuk
yโ + M(x) y = N(x) (2.19)
dimana M(x) dan N(x) adalah fungsi kontinu dari x pada interval dimana
M dan N terdefinisi.
Persamaan ini mempunyai faktor integrasi:
Sehingga,
yโ + M(x) y = N(x)
๐๐ฆ
๐๐ฅ+ ๐(๐ฅ)๐ฆ = ๐(๐ฅ) [kali dx]
dy + M(x)y dx = N(x) dx
dy + M(x)y dx - N(x) dx = 0
[M(x)y โ N(x)] dx + dy = 0
Uji Eksak (1)
๐๐
๐๐ฆ=
๐(๐(๐ฅ)๐ฆ โ ๐(๐ฅ))
๐๐ฆ= ๐(๐ฅ)
๐๐
๐๐ฅ=
๐(1)
๐๐ฅ= 0
๐๐
๐๐ฆโ
๐๐
๐๐ฅ, ๐ก๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐
Integrasikan terhadap (x)
๐ = ๐โซ
1
๐(๐ฅ)(
๐๐(๐ฅ)
๐๐ฆโ
๐๐(๐ฅ)
๐๐ฅ)๐๐ฅ
๐ = ๐โซ1
1(๐(๐ฅ)โ 0)๐๐ฅ
๐ = ๐โซ ๐(๐ฅ) ๐๐ฅ
Kalikan faktor integrasi ๐โซ ๐(๐ฅ) ๐๐ฅ dengan bentuk umum PD Linier Orde 1
menjadi
๐โซ ๐(๐ฅ) ๐๐ฅ ๐๐ฆ
๐๐ฅ+ ๐โซ ๐(๐ฅ) ๐๐ฅ ๐(๐ฅ)๐ฆ = ๐โซ ๐(๐ฅ) ๐๐ฅ ๐(๐ฅ) (2.20)
38
๐โซ ๐(๐ฅ) ๐๐ฅ ๐๐ฆ + ๐โซ ๐(๐ฅ) ๐๐ฅ(M (x)๐ฆ โ ๐(๐ฅ))๐๐ฅ = 0
Uji Eksak (2)
๐๐
๐๐ฆ=
๐(๐โซ ๐(๐ฅ) ๐๐ฅ(M (x)๐ฆ โ ๐(๐ฅ)))
๐๐ฆ= ๐โซ ๐(๐ฅ) ๐๐ฅ๐(๐ฅ)
๐๐
๐๐ฅ=
๐(๐โซ ๐(๐ฅ) ๐๐ฅ)
๐๐ฅ= ๐โซ ๐(๐ฅ) ๐๐ฅ๐(๐ฅ)
๐๐
๐๐ฆ=
๐๐
๐๐ฅ, ๐๐๐ ๐๐
Dengan menggunakan prinsip derivatif total diperoleh
๐(๐โซ ๐(๐ฅ) ๐๐ฅ๐ฆ) = ๐โซ ๐(๐ฅ) ๐๐ฅ๐๐ฆ + ๐(๐ฅ)๐ฆ ๐โซ ๐(๐ฅ) ๐๐ฅ๐๐ฅ
Perhatikan persamaan (2.20), sehingga
๐(๐โซ ๐(๐ฅ) ๐๐ฅ๐ฆ) = ๐โซ ๐(๐ฅ) ๐๐ฅ ๐(๐ฅ) dx
Integralkan masing-masing suku
โซ ๐(๐โซ ๐(๐ฅ) ๐๐ฅ๐ฆ) = โซ ๐โซ ๐(๐ฅ) ๐๐ฅ ๐(๐ฅ) ๐๐ฅ
๐โซ ๐(๐ฅ) ๐๐ฅ๐ฆ = โซ ๐โซ ๐(๐ฅ) ๐๐ฅ ๐(๐ฅ) ๐๐ฅ + ๐
Kalikan dengan ๐โ โซ ๐(๐ฅ) ๐๐ฅ
Jadi,
๐ = ๐โ โซ ๐ด(๐) ๐๐ โซ ๐โซ ๐ด(๐) ๐๐ ๐ต(๐) ๐ ๐ + ๐๐โ โซ ๐ด(๐) ๐๐ (2.21)
Dimana c merupakan konstanta integrasi.
Contoh 16.
Selesaikan persamaan differensial berikut.
๐ฆโฒ + ๐ฆ = 0
Penyelesaian:
F(x) =๐โซ ๐๐ฅ
๐น(๐ฅ)๐ฆ = ๐ฆ๐โซ ๐๐ฅ
๐
๐๐ฅ(๐(๐ฅ)๐ฆ) = ๐โซ ๐๐ฅ๐ฆโฒ + ๐โซ ๐๐ฅ๐ฆ
= ๐น(๐ฅ)๐ฆโฒ + ๐น(๐ฅ)๐ฆ
39
๐ฆโฒ + ๐ฆ = 0
๐น(๐ฅ)๐ฆโฒ + ๐น(๐ฅ)๐ฆ = 0
โซ(๐น(๐ฅ)๐ฆ)โฒ
= โซ 0
๐น(๐ฅ)๐ฆ = ๐
๐ฆ = ๐โ โซ ๐๐ฅ๐
๐ฆ = ๐๐โ๐ฅ
Contoh 17.
Tentukan penyelesaian dari persamaan diferensial di bawah ini.
๐๐ฆ
๐ ๐ฅ+
2
๐ฅ ๐ฆ =
sin 3๐ฅ
๐ฅ2
Penyelesaian:
๐ฆ = โซ ๐(๐ฅ)๐โซ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ๐๐ฅ+๐ถ
๐โซ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ
๐ฆ = โซ
sin3๐ฅ
๐ฅ2 ๐โซ2๐ฅ
๐๐ฅ๐๐ฅ+๐ถ
๐โซ2๐ฅ
๐๐ฅ
๐ฆ = โซ
sin3๐ฅ
๐ฅ2 ๐2 ln ๐ฅ๐๐ฅ+๐ถ
๐2 ln ๐ฅ
๐ฆ = โซ
sin3๐ฅ
๐ฅ2 ๐ฅ2๐๐ฅ+๐ถ
๐ฅ2
๐ฆ = โซ sin 3๐ฅ ๐๐ฅ+๐ถ
๐ฅ2
๐ฆ = โซ sin 3๐ฅ ๐๐ฅ+๐ถ
๐ฅ2
๐ฆ = โ
1
3cos 3๐ฅ+๐ถ
๐ฅ2
y = โ1
3๐ฅโ2 cos 3๐ฅ + ๐ถ๐ฅโ2
40
I. Latihan Soal
1. Tentukan jenis PD di bawah ini dan berikanlah solusi
penyelesaiannya.
a. 9yyโ + 4x = 0
b. ๐ฆ๐ฆ โฒ = 3 cos ๐ฅ
c. tan ๐ฅ ๐๐ฆ โ cot ๐ฆ ๐๐ฅ = 0
d. ๐ฆ(๐ฅ โ 1)๐๐ฅ + (๐ฆ + 2)๐ฅ ๐๐ฆ = 0
e. ๐ฆ โฒ = (๐๐๐ 2๐ฅ)(๐๐๐ 22๐ฆ)
f. (โ๐ฅ2 โ ๐ฆ2 โ ๐ฆ)๐๐ฅ + ๐ฅ ๐๐ฆ = 0
g. (๐ฅ3 โ ๐ฆ3)๐๐ฅ โ (3๐ฅ๐ฆ2)๐๐ฆ = 0
h. (3x + 3y โ 6) dx + (6x + 6y โ 12) dy = 0
i. ๐๐ฆ
๐๐ฅ=
4๐ฅ2 + 3๐ฆ2
2๐ฅ๐ฆ
j. ๐๐ฆ
๐๐ฅ=
๐ฅ๐๐ฆ
๐ฅโ +๐ฆ
๐ฅ
k. (2๐ฅ โ 9๐ฅ2๐ฆ2 -6xy3 + 6y) dx + (2y โ 6x3y -9x2y2 + 6x) dy = 0
l. sin(๐ฅ + ๐ฆ)๐๐ฅ + (5๐ฆ2 + 3๐ฆ + sin(๐ฅ + ๐ฆ))๐๐ฆ = 0
m. (x + siny) dx + (x cos y โ 2y) dy = 0
n. y = 2+๐ฆ๐๐ฅ๐ฆ
2๐ฆโ๐ฅ๐๐ฅ๐ฆ
o. (2 + ๐ฆ๐๐ฅ๐ฆ)๐๐ฅ + (๐ฅ๐๐ฅ๐ฆ โ 2๐ฆ )๐๐ฆ = 0
2. Tentukan jenis faktor integrasi dan penyelesaian pada persamaan
diferensial berikut.
a. (1 โ ๐ฅ๐ฆ)๐๐ฅ + (๐ฅ๐ฆ โ ๐ฅ2)๐๐ฆ = 0
b. ๐ฆ cos ๐ฅ ๐๐ฅ + 3 sin ๐ฅ ๐๐ฆ = 0
c. ๐๐ฅ(๐ฅ + 1)๐๐ฅ + (๐ฆ๐๐ฆ โ ๐ฅ๐๐ฅ)๐๐ฆ = 0
d. (4๐ฅ๐ฆ + 3๐ฆ2 โ ๐ฅ)๐๐ฅ + ๐ฅ(๐ฅ + 2๐ฆ)๐๐ฆ = 0
e. (2๐ฅ๐ฆ4๐๐ฆ + 2๐ฅ๐ฆ3 + y) dx + (๐ฅ2๐ฆ4๐๐ฆ โ ๐ฅ2๐ฆ2 โ 3๐ฅ) = 0
f. (3y โ ex) dx + x dy = 0
41
g. (12x2y + 3xy2 + 2y) dx + (6x3 + 3x2y + 2x)dy = 0
h. (2x3y2 + 4x2y + 2xy2 + xy4 + 2y) dx + (2y3 + 2x2 + 2x)dy = 0
i. (5xy+4๐ฆ2 + 1)๐๐ฅ + (๐ฅ2 + 2๐ฅ๐ฆ)๐๐ฆ = 0
j. 3๐ฅ3๐ฆ2 ๐๐ฅ + (4๐ฅ3๐ฆ โ 12) ๐๐ฆ = 0
k. ๐ฆ3๐๐ฅ โ (๐ฅ2 + ๐ฅ๐ฆ)๐๐ฆ = 0
l. (๐ฆ โ ๐ฅ๐ฆ2) ๐๐ฅ + (๐ฅ + ๐ฅ2๐ฆ2) ๐๐ฆ = 0
m. y(2xy+1)dx + x(1+2xy-x3y3)dy = 0
n. (x3 y2 โ y) dx โ (x2 y4 โ x) dy = 0
o. (4๐ฅ3๐ฆ โ ๐ฅ๐ฆ2)๐๐ฅ + (4๐ฅ๐ฆ3 โ ๐ฅ2๐ฆ)๐๐ฆ = 0
3. Selesaikanlah persamaan diferensial linier orde satu ini.
a. ๐๐ฆ
๐๐ฅโ
1
๐ฅ๐ฆ = ๐ฅ2 + 3๐ฅ โ 2
b. ๐๐ฆ
๐๐ฅ+
2
๐ฅ ๐ฆ =
sin 3๐ฅ
๐ฅ2
c. ๐๐ฅ
๐๐ฆ โ 2xy = ๐๐ฅ2
d. ๐๐ฆ
๐๐ฅ+ 2๐ฆ = ๐ฅ
e. (๐ฅ โ 2)๐๐ฆ
๐๐ฅ= ๐ฆ + 2(๐ฅ โ 2)3
42
โOrang yang berakal pergi ke medan perang membawa senjata. Berbantah
dan bertukar pikiran dengan cukup alasan. Berlawan dengan kekuatan.
Karena dengan akallah tercapai hidup, dengan budi tenanglah hati, dengan
pikiran tercapai maksud, dengan ilmu ditaklukkan duniaโ
Hamka
43
PERSAMAAN DIFERENSIAL
LINIER ORDE DUA
Definisi 1.
Persamaan diferensial linear orde 2 merupakan sebuah fungsi yang dapat
dituliskan dalam bentuk
๐2(๐ฅ)๐ฆโฒโฒ + ๐1(๐ฅ)๐ฆโฒ + ๐0(๐ฅ)๐ฆ = ๐(๐ฅ) (3.1)
Dimana ๐0, ๐1, ๐2 dan ๐ adalah fungsi-fungsi kontinu dalam x yang
didefinisikan pada domain I dan ๐2(๐ฅ) โ 0 dalam ๐ผ
Definisi 2.
Jika ๐(๐ฅ) โ 0 pada Definisi 1 maka persamaan diferensial (3.1) dinamkan
persamaan diferensial linier tak homogen orde 2. Jika ๐(๐ฅ) = 0 pada ๐ผ
maka persamaan (3.1) dinamakan persamaan diferensial homogen orde
2.
A. PD Linier Homogen Orde Dua dengan Koefisien
Konstan
Dari asumsi bahwa ๐2(๐ฅ) โ 0 untuk semua ๐ฅ dalam domain, maka
persamaan umum (3.1) dapat diubah ke bentuk persamaan diferensial
berikut
๐ฆโฒโฒ + ๐1๐ฆโฒ + ๐1๐ฆ = 0 (3.2)
Dengan ๐1, ๐0 merupakan bilangan riil.
Seperti yang telah dipelajari pada bab sebelumnya, konsep dasar
penyelesaian PD orde dua adalah dengan mengintegrasikan turunan
pada persamaan (3.2) dua kali. Sehingga, berdasarkan konsep tersebut
akan diperoleh dua konstanta.
BAB 3
44
Jika fungsi y dimisalkan dengan variable lain yaitu D, maka persamaan
(3.2) menjadi
(๐ท2 + ๐1(๐ฅ)๐ท + ๐0(๐ฅ))๐ฆ = 0 (3.3)
Bagaimana cara kita menyelesaikan persamaan di atas? Kita ingat bahwa
solusi persamaan linear homogen orde pertama dengan koefisien konstan
๐ฆโฒ + ๐๐ฆ = 0 adalah suatu fungsi eksponen ๐ฆ = ๐ถ๐โ๐๐ฅ jadi kita menduga
bahwa fungsi berbentuk eksponen
๐ฆ = ๐๐๐ฅ (3.4)
Fungsi (3.4) harus diubah sesuai dengan bentuk pada persamaan (3.3)
dengan mensubstitusikan (3.4) ke dalam persamaan (3.3) menghasilkan
(๐ท2 + ๐1(๐ฅ)๐ท + ๐0(๐ฅ))๐๐๐ฅ = ๐ท2(๐๐๐ฅ) + ๐1๐ท(๐๐๐ฅ) + ๐0(๐๐๐ฅ)
= ๐2(๐๐๐ฅ) + ๐1๐(๐๐๐ฅ) + ๐0(๐๐๐ฅ)
= ๐๐๐ฅ(๐2 + ๐1๐ + ๐0)
Persamaan ini bernilai nol. Sehingga dapat dituliskan menjadi
๐๐๐ฅ(๐2 + ๐1๐ + ๐0) = 0 (3.5)
Persamaan (3.5) dinamakan persamaan karakteristik dari persamaan
(3.2). Pada PD orde dua dengan koefisien konstanta terdapat tiga akar
penyelesaian yang berbeda, dimana konsepnya akan dijabarkan di bawah
ini.
Teorema 3.1 (Akar riil berbeda):
Diketahui bahwa ๐1 dan ๐2 merupakan dua akar riil berbeda dari sebuah
PD, maka penyelesaian umum PD tersebut adalah
๐ฆ = ๐ด๐๐1๐ฅ + ๐ต๐๐2๐ฅ (3.6)
Dimana ๐ด dan ๐ต konstanta-konstanta sembarang.
45
Contoh 1.
Tentukanlah penyelesaian umum persamaan diferensial linear
๐ฆโฒโฒ + 9๐ฆโฒ + 20 ๐ฆ = 0
Penyelesaian:
Persamaan karakteristik pada PD di atas yaitu
๐2 + 9๐ + 20 = 0 (3.7)
Akar-akar yang diperoleh adalah -4 dan -5. Karena ๐โ4๐ฅ dan ๐โ5๐ฅ bebas
linier maka diperoleh penyelesaiannya menurut Teorema 3.1:
๐ฆ(๐ฅ) = ๐ด๐โ4๐ฅ + ๐ต๐โ5๐ฅ (3.8)
Contoh 2.
Tentukanlah penyelesaian umum persamaan diferensial
๐ฆโฒโฒ โ 2๐ฆโฒ โ ๐ฆ = 0
Dimana diketahui ๐ฆ(0) = 0 dan ๐ฆโฒ(0) = โ2
Penyelesaian:
Dimisalkan persamaaaan yโ โ2๐ฆโฒ โ ๐ฆ = 0 dapat dituliskan dengan ๐2 โ
2๐ โ 1 = 0 dengan menggunakan rumus ABC atau pemfaktoran untuk
mencari akar-akarnya sehingga diperoleh ๐1 = 1 + โ2 dan ๐2 = 1 โ โ2.
Terlihat bahwa kedua akar tersebut merupakan jenis akar riil berbeda
sehingga penyelesaiannya yaitu
๐ฆ(๐ฅ) = ๐ด๐(1+โ2)๐ฅ + ๐ต๐(1โโ2)๐ฅ (3.9)
Cobalah untuk mensubstitusikan ๐ฆ(0) = 0 dan ๐ฆโฒ(0) = โ2 untuk
memperoleh nilai A dan B. Jika sudah disubstitukan maka akan diperoleh
bahwa nilai ๐ด =1
2 sedangkan ๐ต = โ
1
2
Teorema 3.2: (Akar Berulang)
Jika persamaan karakteristik (3.5) mempunyai akar berulang, maka
penyelesaian umum persamaan diferensial (3.2) diberikan oleh
๐ฆ(๐ฅ) = ๐ด๐๐๐ฅ + ๐ต๐ฅ๐๐๐ฅ (3.10)
46
Contoh 3.
Tentukanlah jenis akar pada persamaan diferensial berikut ๐ฆโฒโฒ + 8๐ฆโฒ +
16 = 0 dimana PD tersebut memiliki syarat ๐ฆ(0) = 2 dan ๐ฆโฒ(0) = โ7
Penyelesaian:
Persamaan pada contoh 3 dapat dituliskan juga dengan ๐2 + 8๐ โ 16 = 0.
Sama halnya seperti contoh sebelumnya, gunakan rumus ABC atau
pemfaktoran untuk mencari akar-akarnya. Sehingga diperoleh kedua
akarnya yaitu ๐1 = ๐2 = โ4. Berdasarkan Teorema 3.2 sehingga diperoleh
penyelesaiannya yaitu
๐ฆ(๐ฅ) = ๐ด๐โ4๐ฅ + ๐ต๐ฅ๐โ4๐ฅ (3.11)
Substitusikan ๐ฆ(0) = 2 dan ๐ฆโฒ(0) = โ7 pada persamaan (3.11) sehingga
diperoleh ๐ด = 2 dan ๐ต = 1. Selain cara substitusi, kita dapat
menggunakan strategi lain untuk mencari penyelesaian jika suatu PD
memiliki akar berulang yaitu dengan cara reduksi orde. Anggaplah ๐ฆ1(๐ฅ)
tidak ekuivalen dengan nol adalah penyelesaian PD (3.2). Penyelesaian
yang dapat dilakukan adalah
๐ฆ(๐ฅ) = ๐ฃ(๐ฅ)๐ฆ1(๐ฅ) (3.12)
Substitusikan ke persamaan (3.2) sehingga diperoleh
๐ฆ1๐ฃโฒโฒ + (2๐ฆ1โฒ + ๐1๐ฆ1)๐ฃโฒ + (๐ฆโฒโฒ + ๐1๐ฆ1
โฒ + ๐0๐ฆ1)๐ฃ = 0 (3.13)
Karena ๐ฆ1 merupakan penyelesaian (3.2), maka berarti
๐ฆ1๐ฃโฒโฒ + (2๐ฆ1โฒ + ๐1๐ฆ1)๐ฃโฒ = 0 (3.14)
Cermati persamaan (3.14), disimpulkan ordenya adalah satu untuk ๐ฃ,
sehingga
๐ฆ1๐ฃโฒ + (2๐ฆ1โฒ + ๐1๐ฆ1)๐ฃ = ๐ถ (3.15)
Dengan mengintegrasikan persamaan terakhir ini satu kali diperoleh
penyelesaiannya.
Perhatikan kembali contoh 3, akar penyelesaian yang didapatkan
yaitu ๐ฆ = ๐ถ๐โ4๐ฅ. Penyelesaian untuk v diberikan oleh ๐ฃ = ๐ถ0 + ๐ถ1๐ฅ.
47
Teorema 3.3 (Akar Kompleks Konjugat):
Jika persamaan karakteristik (3.5) maka penyelesaian umum persamaan
diferensial (3.2) diberikan oleh
๐ฆ(๐ฅ) = ๐ด๐๐ผ๐ฅ cos ๐ฝ๐ฅ + ๐ต๐๐ผ๐ฅ sin ๐ฝ๐ฅ
Contoh 4.
Tentukan penyelesaian dari suatu persamaan diferensial
๐ฆโฒโฒ โ 4๐ฆ + 16 = 0
Penyelesaian:
Ubahlah ke dalam fungsi r sehingga
๐2 โ 4๐ + 16 = 0 (3.18)
Akar-akar karakteristik yang diperoleh adalah 2 ยฑ 2๐โ3 berdasarkan
teorema 3.3 penyelesaian umum PD diberikan oleh:
๐ฆ = ๐ด๐(2+2โ3๐)๐ฅ + ๐ต๐(2โ2โ3๐)๐ฅ (3.19)
๐ฆ = ๐2๐ฅ[(๐ด + ๐ต) cos 2โ3๐ฅ + ๐(๐ด โ ๐ต) sin 2โ3๐ฅ] (3.20)
Dari hasil ini, solusi untuk kasus ini sering ditulis dengan bentuk
๐ฆ = ๐2๐ฅ(๐ด cos 2โ3๐ฅ + ๐ต sin 2โ3๐ฅ) (3.21)
B. PD Tak Homogen
Misalkan dituliskan suatu persamaan diferensial tak homogen menjadi
๐ฆโฒโฒ + ๐1๐ฆโฒ + ๐0๐ฆ = ๐(๐ฅ) (3.22)
Diketahui bahwa ๐0 dan ๐1 adalah fungsi kontinu pada interval terbuka ๐ผ.
Sedangkan ๐ฆ1 dan ๐ฆ2 adalah penyelesaian bebas linear PD diferensial (3.22),
maka ๐ฆ1 dan ๐ฆ2 dikatakan sebagai penyelesaian persamaan diferensial
homogen. Selanjutnya, untuk menyelesaikan PD tak homogen, perhatikanlah
penjabaran Teorema 3.4.
48
Teorema 3.4
Penyelesaian umum PD tak homogen (3.22) dapat ditulis menjadi
๐ฆ(๐ฅ) = ๐ด๐ฆ1 + ๐ต๐ฆ2 + ๐ (3.23)
Dimana ๐ฆ1 dan ๐ฆ2 adalah penyelesaian PD homogen (๐ฆโ) yang sebanding
dengan PD tak homogen (3.22), ๐ด dan ๐ต merupakan konstanta sembarang,
dan ๐ penyelesaian khusus pada PD (3.22).
Teorema 3.2 mengungkapkan bahwa tahapan penyelesaian PD tak
homogen dapat dilakukan dengan tiga tahapan, yaitu
1. Menentukan penyelesaian umum PD homogen pada persamaan (3.22).
Adapun penyelesaiannya dapat dituliskan dengan
๐ฆ๐ = ๐ด๐ฆ1 + ๐ต๐ฆ2 (3.24)
2. Menentukan penyelesaian tunggal Y dari fungsi (3.23). Penyelesaian ini
dikatakan sebagai penyelesaian khusus dari fungsi(3.22)
3. Jumlahkan kedua penyelesaian tersebut sehingga terbentuk
penyelesaian umum persamaan diferensial tak homogen (3.22)
Dalam menentukan penyelesaian umum suatu PD tak homogen, maka harus
ditentukan penyelesaian khusus dulu. Beberapa Teknik yang bisa dilakukan
untuk menemukan penyelesaian khusus dari PD tak homogen yaitu dengan
cara.
1. Koefisien Tak Tentu
Teknik koefisien tak tentu mempersyaratkan bahwa dugaan tertentu yang
sebanding dengan suku tak homogen harus dibuat. Maksudnya adalah
bentuk suku tak homogen dapat dibuat sebagai dugaani dalam menentukan
penyelesaian khusus. Terdapat PD tak homogen bernilai ๐๐๐ ๐ฅ atau ๐ ๐๐ ๐ฅ
sehingga penyelesaian khususnya merupakan kombinasi dari ๐๐๐ ๐ฅ dan
๐ ๐๐ ๐ฅ.
Teknik koefisien tak tentu dapat digunakan jika suku dalam ๐(๐ฅ) terdiri
diferensial yang bebas linier. Maka, strategi koefisien tak tentu dapat
49
digunakan jika ๐(๐ฅ) memuat suku-suku seperti ๐ด, ๐ต, ๐ฅ๐, ๐๐ถ๐ฅ, sin ๐ถ๐ฅ, cos ๐ถ๐ฅ
dan gabungan dari beberapa suku, dimana ๐ถ konstan dan ๐ bilangan bulat
positif. Yang dimaksud bebas linier adalah: Pandanglah turunan dari
persamaan berikut.
y = sin 3๐ฅ,
yโ = 3 cos 3๐ฅ,
yโ = โ9 sin 3๐ฅ,
yโโ = โ27 cos 3๐ฅ, dan seterusnya.
Suatu turunan fungsi ๐ฅ๐ Ketika diturunkan sampai ke-๐ maka terbentuk
himpunan bebas linier. Pada Teknik ini dapat ditentukan bentuk penyelesaian
khusus dari PD tak homogen seperti pada persamaan (3.22).
a. Tidak mempunyai suku yang serupa dengan suku yh
Penyelesaian khusus ๐ adalah penggabungan suku linier pada ๐(๐ฅ) dan
turunannya yang bebas linier.
Contoh 5.
Tentukan penyelesaian dari persamaan diferensial
๐ฆโฒโฒ โ 3๐ฆโฒ โ 4๐ฆ = 3๐2๐ฅ + 2 sin ๐ฅ โ 8๐๐ฅ cos 2๐ฅ (3.25)
Penyelesaian:
Penyelesaian PD homogen pada soal yang dituliskan di atas yaitu
๐ฆโ = ๐ด๐โ๐ + ๐ต๐4๐ฅ
Bandingkan antara himpunan bebas linear penyelesaian homogen {๐๐ฅ , ๐4๐ฅ}
dengan {๐2๐ฅ, sin ๐ฅ , ๐๐ฅ cos 2๐ฅ} himpunan bebas linier dalam ๐(๐ฅ) atau dapat
dikatakan bahwa pada penyelesaian homogen tidak terdapat yang serupa
dengan suku yang terdapat pada sisi kanan PD tersebut. Jadi himpunan
bebas linier koefisien tak tentu yaitu
{๐2๐ฅ , sin ๐ฅ , cos ๐ฅ , ๐๐ฅ sin 2๐ฅ, ๐๐ฅ cos 2๐ฅ} (3.27)
Penyelesaian khusus PD (3.25) di atas dapat menggunakan teknik koefisien
tak tentu yaitu persamaan dari gabungan linier himpunan bebas linier
50
koefisien tak tentu, yaitu
๐ = ๐ด๐2๐ฅ + ๐ต cos ๐ฅ + ๐ถ sin ๐ฅ + ๐๐ฅ(๐ท cos 2๐ฅ + ๐ธ sin 2๐ฅ) (3.28)
Dengan mendiferensiasikan persamaan (3.28) sampai turunan kedua, lalu
substitusikan ๐ฆ, ๐ฆโฒ, dan ๐ฆโฒโฒ ke persamaan (3.25) kita peroleh hubungan
berikut:
โ6๐ด๐2๐ฅ โ (5๐ต + 3๐ถ) cos ๐ฅ + (3๐ต โ 5๐ถ) sin ๐ฅ + ๐๐ฅ((โ2๐ธ โ 10๐ท) cos 2๐ฅ
(2๐ท + 10๐ธ) sin 2๐ฅ = 3๐2๐ฅ + 2 sin ๐ฅ โ 8๐๐ฅ cos 2๐ฅ (3.29)
Bandingkan ruas kiri dan kanan pada PD (3.29) diperoleh ๐ด = โ1
2, ๐ต =
3
8, ๐ถ =
โ5
8, ๐ท =
5
6, ๐ธ = โ
1
6 jadi penyelesaian lengkap persamaan diferensial (3.25)
adalah
๐ฆ = ๐ด๐โ๐ฅ + ๐ต๐4๐ฅ โ1
2๐2๐ฅ +
3
8cos ๐ฅ โ
5
8sin ๐ฅ + ๐๐ฅ (
5
6cos 2๐ฅ โ
1
6sin 2๐ฅ) (3.30)
Contoh 6.
Tentukanlah penyelesaian umum persamaan diferensial tak homogen
๐ฆโฒโฒ + 4๐ฆโฒ + 4๐ฆ = 4๐ฅ2 + 6๐๐ฅ (3.31)
Penyelesaian:
๐ฆโ = (๐ด + ๐ต๐ฅ)๐โ2๐ฅ (3.32)
Bandingkan suku pada persamaan (3.32) dengan suku di ruas kanan PD
(3.31) terlihat bahwa tidak ada suku yang sama pada kedua ruasnya. Oleh
karena itu himpunan bebas linier koefisien tak tentu yaitu {1, ๐ฅ, ๐ฅ2, ๐๐ฅ}.
Selanjutnya, penyelesaian khusus PD di atas mempunyai bentuk gabungan
linier dari suku pada sisi kanan PD (3.31) adalah
๐ = ๐ด๐ฅ2 + ๐ต๐ฅ + ๐ถ + ๐ท๐๐ฅ (3.33)
Dengan mensubstitusikan fungsi (3.33) ke dalam PD (3.31) diperoleh bahwa
4๐ด๐ฅ2 + (8๐ด + 4๐ต)๐ฅ + (2๐ด + 4๐ต + 4๐ถ) + 9๐ท๐๐ฅ = 4๐ฅ2 + 6๐๐ฅ (3.34)
Pada fungsi (3.34) ini dapat digunakan sistem persamaan linier yaitu
4๐ด = 4
8๐ด + 4๐ต = 0
2๐ด + 4๐ต + 4๐ถ = 0
51
9๐ท = 6
Gunakanlah metode substitusi dan eliminasi sehingga memperoleh ๐ด =
1, ๐ต = โ2, ๐ถ = 3/2, dan ๐ท = 2/3. Setelah disubstitusikan nilai A, B, C, dan D
pada PD (3.31) diperoleh bahwa
๐ฆ = (๐ด + ๐ต๐ฅ)๐โ2๐ฅ + ๐ฅ2 โ 2๐ฅ +3
2+
2
3๐๐ฅ (3.35)
b. Jika pada ๐(๐) terdapat suku ๐๐ kali suku ๐๐ dengan Mengabaikan
Koefisien Konstan dan diketahui ๐ bernilai nol atau positif
Jika suku pada ๐(๐ฅ), faktor tak homogen terdapat ๐ฅ๐ kali suku-suku dalam
penyelesaian PD homogen maka penyelesaian khusus PD tak homogen
dapat diselesaikan dengan Teknik berikut.
Misalkan ๐ข(๐ฅ) suku dalam ๐ฆโ jika ada suku pada ๐(๐ฅ) yang sama dengan
๐ข(๐ฅ) dengan faktor pengali ๐ฅ๐ sehingga penyelesaian khusus yang
sebanding dengan suku ini diberikan oleh ๐ฅ๐+1๐ข(๐ฅ).
Contoh 7.
Tentukanlah penyelesaian umum persamaan diferensial:
๐ฆโฒโฒ โ 3๐ฆโฒ + 2๐ฆ = 2๐ฅ2 + 3๐2๐ฅ (3.36)
Penyelesaian:
Penyelesaian homogen yang berpadanan dengan persamaan (3.19)
diberikan oleh
๐ฆโ = ๐ด๐๐ฅ + ๐ต๐2๐ฅ (3.37)
Dengan membandingkan ruas kanan persamaan (3.36) dan (3.37) dan
menghiraukan koefisien konstan, terlihat bahwa suku ๐2๐ฅ pada ruas kanan
PD (3.36) sama dengan ๐ฅ0๐2๐ฅ = ๐ฅ0๐ข(๐ฅ) dalam penyelesaian homogen. Jadi
himpunan bebas liner dari koefisien tak tentu adalah {๐ฅ2, ๐ฅ, 1, ๐ฅ๐2๐ฅ} oleh
karenanya bentuk penyelesaian khusus PD (3.36) yaitu
๐ = ๐ด๐ฅ2 + ๐ต๐ฅ + ๐ถ + ๐ท๐ฅ๐2๐ฅ (3.38)
52
Dengan mensubtitusikan fungsi (3.38) ke dalam (3.36) kita peroleh hubungan
berikut
2๐ด๐ฅ2 + (2๐ต โ 6๐ด)๐ฅ + (2๐ด โ 3๐ต + 2๐ถ) + ๐ท๐2๐ฅ = 2๐ฅ2 + 3๐2๐ฅ (3.39)
Bandingkan persamaan pada sisi kanan dan kiri (3.39) sehingga diperoleh
nilai ๐ด = 1, ๐ต = 3, ๐ถ =7
2 dan ๐ท = 3. Setelah mendapatkan masing-masing
nilai dari koefisien tak tentu maka penyelesaian umum PD (3.36), yaitu
๐ฆ = ๐ฅ2 + 3๐ฅ +7
2+ 3๐ฅ๐2๐ฅ + ๐ถ1๐๐ฅ + ๐ถ2๐2๐ฅ (3.40)
Contoh 8.
Tentukanlah penyelesaian umum persamaan diferensial
๐ฆโฒโฒ โ 3๐ฆโฒ + 2๐ฆ = ๐ฅ๐2๐ฅ + sin ๐ฅ (3.41)
Penyelesaian:
Adapun Langkah-langkah penyelesaian PD (3.41) adalah sebagai berikut
๐ฆโ = ๐ถ1๐๐ฅ + ๐ถ2๐2๐ฅ (3.42)
Bandingkan sisi kanan PD (3.41) dengan sisi kanan PD (3.42) terlihat bahwa
๐ฅ๐2๐ฅ = ๐ฅ๐ข(๐ฅ) dimana ๐ข(๐ฅ) = ๐2๐ฅ adalah suku pada ๐ฆโ . Oleh karena itu,
himpunan bebas linier koefisien tak tantu diberikan oleh
{๐ฅ2๐2๐ฅ, ๐ฅ๐2๐ฅ, sin ๐ฅ , cos ๐ฅ}. Jadi, bentuk umum penyelesaian khusus PD (3.41)
yakni
๐ = ๐ด๐ฅ2๐2๐ฅ + ๐ต๐ฅ๐2๐ฅ + ๐ถ sin ๐ฅ + ๐ท cos ๐ฅ (3.43)
Degan mensubstitusikan fungsi (3.43) ke dalam (3.42) kita peroleh hubungan
berikut
2๐ด๐ฅ๐2๐ฅ + (2๐ด + ๐ต)๐2๐ฅ + (๐ถ + 3๐ท) sin ๐ฅ + (๐ท โ 3๐ถ) cos ๐ฅ = ๐ฅ๐2๐ฅ + sin ๐ฅ(3.44)
Bandingkan sisi kanan dan kiri (3.44) kita dapatkan ๐ด =1
2, ๐ต = โ1, ๐ถ =
1
10, ๐ท =
3
10. Setelah koefisien tak tentu diketahui maka penyelesaian umum
persamaan diferensial (3.41) dapat kita tentukan, yaitu
๐ =1
2๐ฅ2๐2๐ฅ โ ๐ฅ๐2๐ฅ +
1
10sin ๐ฅ +
3
10cos ๐ฅ + ๐ถ1๐๐ฅ + ๐ถ2๐2๐ฅ (3.45)
53
Acuan dalam menentukan himpunan bebas linier dari koefisien tak tentu dari
suku tak homogen tertuang pada tabel 1 di bawah ini.
Tabel 1.
Himpunan bebas linier koefisien tak tentu dari suku tak homogen
No Suku tak-Homogen Himpunan Koefisien tak Tentu
1 ๐ฅ๐ {๐ฅ๐ , ๐ฅ๐โ1, โฆ , }
2 ๐๐๐ฅ {๐๐๐ฅ}
3 sin(๐๐ฅ + ๐)
cos(๐๐ฅ + ๐)
{sin(๐๐ฅ + ๐) , cos(๐๐ฅ + ๐)}
4 ๐๐๐ฅ sin(๐๐ฅ + ๐),
๐๐๐ฅ cos(๐๐ฅ + ๐)
{๐๐๐ฅ sin(๐๐ฅ + ๐) , ๐๐๐ฅcos(๐๐ฅ + ๐)}
5 ๐ฅ๐๐๐๐ฅ {๐ฅ๐๐๐๐ฅ, ๐ฅ๐โ1๐๐๐ฅ , โฆ , ๐ฅ๐๐๐ฅ , ๐๐๐ฅ}
6 ๐ฅ๐ sin(๐๐ฅ + ๐),
๐ฅ๐ cos(๐๐ฅ + ๐)
{๐ฅ๐ sin(๐๐ฅ + ๐) , ๐ฅ๐ cos(๐๐ฅ + ๐), ๐ฅ๐โ1 sin(๐๐ฅ + ๐)}
๐ฅ๐โ1 cos(๐๐ฅ + ๐), โฆ , ๐ฅ sin(๐๐ฅ + ๐) , ๐ฅ cos(๐๐ฅ + ๐),
sin(๐๐ฅ + ๐) , cos(๐๐ฅ + ๐),.
7 ๐ฅ๐ ๐๐๐ฅsin(๐๐ฅ + ๐),
๐ฅ๐ ๐๐๐ฅcos(๐๐ฅ + ๐)
{๐ฅ๐๐๐๐ฅ sin(๐๐ฅ + ๐) , ๐ฅ๐๐๐๐ฅ cos(๐๐ฅ + ๐), ๐ฅ๐โ1๐๐๐ฅ}
sin(๐๐ฅ + ๐) ๐ฅ๐โ1๐๐๐ฅ cos(๐๐ฅ + ๐), โฆ , ๐ฅ ๐๐๐ฅsin(๐๐ฅ
+ ๐)
๐ฅ๐๐๐ฅ cos(๐๐ฅ + ๐), ๐๐๐ฅ sin(๐๐ฅ + ๐) , ๐๐๐ฅcos(๐๐ฅ + ๐),
Dari Tabel 1 kita dapatkan bahwa jika suku tak homogen ๐(๐ฅ) = ๐ฅ5 + sin ๐ฅ +
๐ฅ2๐3๐ฅ maka hinpunan bebas linier koefisien tak tentu diberikan oleh
{๐ฅ5, ๐ฅ4, ๐ฅ3, ๐ฅ2, ๐ฅ, 1, sin ๐ฅ , cos ๐ฅ , ๐ฅ2๐3๐ฅ , ๐ฅ๐3๐ฅ, ๐3๐ฅ }
Sehingga penyelesaian khususnya akan mempunyai bentuk
๐ = ๐ถ1๐ฅ5 + ๐ถ2๐ฅ4 + ๐ถ3๐ฅ3 + ๐ถ4๐ฅ2 + ๐ถ5๐ธ๐ฅ + ๐ถ6๐น + ๐ถ7 sin ๐ฅ + ๐ถ8 cos ๐ฅ
+๐ถ9๐ฅ2๐3๐ฅ + ๐ถ10๐ฅ๐3๐ฅ + ๐ถ11๐3๐ฅ
Dimana ๐ถ1, ๐ถ2, ๐ถ3, โฆ , ๐ถ11 adalah konstanta riil.
54
C. Penggunaan Variabel Kompleks pada PD Orde-2
Selain menggunakan metode koefisien tak tentu, PD orde-2 tertentu dapat
diselesaikan dengan menggunakan variabel kompleks. Lihatlah PD (3.1),
dengan mengubah ๐(๐ฅ) sebagai persamaan variabel kompleks, dalam
menentukan penyelesaian khusus Y maka terdapat hal-hal yang harus
diperhatikan yakni.
1. Bagian riil ๐ adalah penyelesaian PD (3.1) dengan ๐(๐ฅ) digantikan oleh
bagian riilnya.
2. Bagian imajiner ๐ adalah penyelesain persamaan (3.1) dengan
๐(๐ฅ) digantikan oleh bagian imajinernya.
Contoh 9.
Tentukanlah penyelesaian khusus persamaan diferensial
๐ฆโฒโฒ โ 3๐ฆโฒ + 2๐ฆ = sin ๐ฅ (3.46)
Penyelesaian:
Untuk menyelesaikan persamaan ini, pandanglah persamaan diferensial
๐ฆโฒโฒ โ 3๐ฆโฒ + 2๐ฆ = ๐๐๐ฅ (3.47)
Dimana
๐๐๐ฅ = cos ๐ฅ + ๐ sin ๐ฅ (3.48)
Dengan menggunakan bagian kedua dari prosedur, dapat disimpulkan
bagian imajiner penyelesaian khusus PD (3.47) merupakan penyelesaian
khusus PD (3.46). Selanjutnya, mencari penyelesaian khusus PD (3.47)
dengan menggunakan metode koefisien tak-tentu yaitu perhatikanlah suku
tak homogen PD (3.47), penyelesaian khusus yang sebanding dengan
bentuk tak homogen ini yaitu
๐ = (๐ด + ๐ต๐)๐๐๐ฅ (3.49)
Substitusikan fungsi ini ke PD (3.47) sehingga diperoleh ๐ด =1
10 dan ๐ต =
3
10.
Lalu, substitusikan nilai A dan B pada persamaan (3.49)
๐ =1
10๐๐๐ฅ +
3
10๐๐๐๐ฅ
55
=1
10(cos ๐ฅ + ๐ sin ๐ฅ) +
3
10๐(cos ๐ฅ + ๐ sin ๐ฅ)
=1
10cos ๐ฅ โ
3
10sin ๐ฅ + ๐ (
1
10sin ๐ฅ +
3
10cos ๐ฅ) (3.50)
bagian imajiner dari Y adalah 1
10sin ๐ฅ +
3
10cos ๐ฅ. Karenanya penyelesaian
khusus (3.47) diberikan oleh
๐ =1
10sin ๐ฅ +
3
10cos ๐ฅ (3.51)
D. Tambahan Contoh Soal dan Penyelesaian
1. Carilah penyelesaian umum persamaan diferensial non homogen ๐ฆโ +
2๐ฆโฒ โ 3๐ฆ = 1 + ๐ฅ2
Penyelesaian:
Persamaan homogen pada soal adalah ๐ฆโ + 2๐ฆโฒ โ 3๐ฆ = 0.
Tuliskan karakteristik persamaannya menjadi
๐2 + 2๐ โ 3 = 0
Faktorkan persamaan di atas untuk menentukan jenis-jenis akarnya
๐2 + 2๐ โ 3 = (๐ + 3)(๐ โ 1) = 0
Jadi, diperoleh PD homogen pada soal memiliki dua akar berbeda yakni
๐ = 1 ๐๐๐ ๐ = โ3. Maka solusi homogen adalah
๐ฆโ(๐ฅ) = ๐1๐๐ฅ + ๐2๐โ3๐ฅ
Karena ๐ (๐ฅ) = 1 + ๐ฅ2 adalah polinom orde-2, maka ๐ฆ๐ juga merupakan
polinom orde 2, sebab jika ๐ฆ(๐ฅ) adalah polinom orde 2, maka ๐ฆ" + 2๐ฆโฒ โ
3๐ฆ juga polinom orde 2. Misalkan
๐ฆ๐(๐ฅ) = ๐ด๐ฅ2 + ๐ต๐ฅ + ๐ถ
Dimana ๐ฆโฒ = 2๐ด๐ฅ + ๐ต ๐๐๐ ๐ฆ" = 2๐ด. Jadi,
๐ฆ" + 2๐ฆโฒ โ 3๐ฆ = 2๐ด + 2(2๐ด๐ฅ + ๐ต) โ 3(๐ด๐ฅ2 + ๐ต๐ฅ + ๐ถ) = 1 + ๐ฅ2
Operasikanlah persamaan tersebut menjadi
(โ3๐ด)๐ฅ2 + (4๐ด โ 3๐ต)๐ฅ + (2๐ด + 2๐ต โ 3๐ถ) = 1 + ๐ฅ2
56
Sehingga,
2๐ด + 2๐ต โ 3๐ถ = 1
4๐ด โ 3๐ต = 0
โ3๐ด = 1
Gunakanlah penyelesaian eliminasi dan substitusi untuk memperoleh
nilai ๐ด = โ1
3, ๐ต = โ
4
9 , ๐ถ = โ
23
27 , ๐๐๐๐
๐ฆ๐(๐ฅ) = โ๐ฅ2
3โ
4๐ฅ
9โ
23
27
Maka diperoleh penyelesaian umum PD di atas adalah
๐ฆ(๐ฅ) = ๐ฆ๐(๐ฅ) + ๐ฆโ(๐ฅ) = โ๐ฅ2
3โ
4๐ฅ
9โ
23
27+ ๐1๐๐ฅ + ๐2๐โ3๐ฅ
2. Carilan penyelesaian khusus dari ๐ฆโ โ ๐ฆโฒ = 3 cos 2x
Penyelesaian:
Diketahui a(x) = 3 cos 2x, maka kita mencoba ๐ฆ๐(๐ฅ) = ๐ด cos 2๐ฅ +
๐ต sin 2๐ฅ. Jadi
๐ฆโฒ๐
= โ2๐ด๐ ๐๐ 2๐ฅ + 2๐ต๐๐๐ 2๐ฅ
๐ฆ"๐ = โ4 Acos 2๐ฅ โ 4๐ต sin 2๐ฅ
๐ฆ"๐ โ ๐ฆโฒ๐
= (โ4๐ด cos 2๐ฅ โ 4๐ต sin 2๐ฅ) โ (โ2๐ด sin 2๐ฅ + 2๐ต cos 2๐ฅ)
= (โ4๐ด โ 2๐ต) cos 2๐ฅ + (2๐ด โ 4๐ต) sin 2๐ฅ
Sebagai solusi ๐ฆ"๐ โ ๐ฆโฒ๐
= 3 cos 2๐ฅ.
(โ4๐ด โ 2๐ต) cos 2๐ฅ + (2๐ด โ 4๐ต) sin 2๐ฅ = 3 cos 2๐ฅ
Maka haruslah โ4๐ด โ 2๐ต = 3 ๐๐๐ 2๐ด โ 4๐ต = 0 yang memberikan
๐ด = โ3
5 , ๐ต = โ
3
10
Maka solusi khususnya adalah
๐ฆ๐(๐ฅ) = โ3
5cos 2๐ฅ โ
3
10sin 2๐ฅ
57
3. Tentukan solusi khusus persamaan diferensial ๐ฆโ + 2๐ฆโฒ โ 3๐ฆ = 4๐โ3๐ฅ
Penyelesaian:
Diketahui a(x) = 4๐โ3๐ฅ ,
maka kita mungkin mencoba ๐ฆ๐ = ๐ด๐โ3๐ฅ .
Tetapi,
๐ฆ"๐ + 2๐ฆโฒ๐
โ 3๐ฆ๐ = 9๐ด๐3๐ฅ โ 6๐3๐ฅ โ 3๐ด3๐ฅ = 0
Jadi,
0 = 4๐โ3๐ฅ
Ini tidak mungkin karena fungsi eksponensial tidak pernah nol. Hal ini
karena persamaan karakteristik persamaan diferensial ini adalah
๐3 + 2๐ โ 3 = (๐ + 3)(๐ โ 1) = 0
Jadi, ๐ = โ3 adalah akarnya dan oleh karena itu ๐โ3๐ฅ adalah solusi
homogen. Maka tidak mungkin ๐ฆ๐๐ด๐โ3๐ฅ . Maka coba
๐ฆ๐ = ๐ด๐ฅ๐โ3๐ฅ
๐ฆโฒ๐
= ๐ด๐โ3๐ฅ โ 3๐ด๐ฅ๐โ3๐ฅ = (1 โ 3๐ฅ)๐ด๐โ3๐ฅ
๐ฆ"๐ = โ3๐ด๐โ3๐ฅ + (โ3)(1 โ 3๐ฅ)๐ด๐โ3๐ฅ = (9๐ฅ โ 6)๐ด๐โ3๐ฅ
Subsitusi pada fungsi memberikan
๐ฆ"๐ + 2๐ฆโฒ๐
โ 3๐ฆ๐ = (9๐ฅ โ 6)๐ด๐โ3๐ฅ + 2((1 โ 3๐ฅ)๐ด๐โ3๐ฅ โ 3๐ด๐ฅ๐โ3๐ฅ
= โ4๐ด๐โ3๐ฅ
Maka
โ4๐ด๐โ3๐ฅ = 4๐โ3๐ฅ
Jadi, ๐ด = โ1. Diperoleh
๐ฆ๐(๐ฅ) = โ๐โ3๐ฅ
4. Tentukan solusi khusus persamaan diferensial ๐ฆโ + 4๐ฆโฒ + 4๐ฆ = 8๐โ2๐ฅ
Penyelesaian:
PD pada ruas kanan yang diketahui pada soal adalah ๐ฆโ + 4๐ฆโฒ + 4๐ฆ =
8๐โ2๐ฅ, tulislah karakteristik persamaan tersebut
๐2 + 4๐ + 4 = (๐ + 2) = 0
58
Sehingga diperoleh bahwa persamaan tersebut memiliki akar berulang
yaitu ๐ = โ2. Maka solusi homogen adalah
๐ฆโ(๐ฅ) = ๐1๐โ2๐ฅ + ๐2๐ฅ๐โ2๐ฅ = (๐1 + ๐2๐ฅ)๐โ2๐ฅ
Maka ๐ฆ๐ = ๐ด๐โ2๐ฅ maupun ๐ฆ๐ = ๐ด๐ฅ๐โ2๐ฅ akan memberikan ๐ฆ"๐ + 2๐ฆโฒ๐ โ
3๐ฆ๐ = 0. Kita harus memodifikasi lebih jauh lagi, yaitu:
๐ฆ๐(๐ฅ) = ๐ด๐ฅ2๐โ2๐ฅ
Jadi,
๐ฆโฒ๐
(๐ฅ) = 2๐ด๐ฅ๐โ2๐ฅ โ 2๐ด๐ฅ2๐โ2๐ฅ = 2(๐ด๐ฅ โ ๐ด๐ฅ2)๐โ2๐ฅ
๐ฆ"๐(๐ฅ) = 2(๐ด โ 2๐ด๐ฅ)๐โ2๐ฅ โ 4(๐ด๐ฅ โ ๐ด๐ฅ2)๐โ2๐ฅ = (โ4๐ฅ + 2๐ฅ2 + 1)2๐ด๐โ2๐ฅ
Maka,
8๐โ2๐ฅ = ๐ฆ"๐ + 4๐ฆโฒ๐
+ 4๐ฆ๐
= (โ4๐ฅ + 2๐ฅ3 + 1)2๐ด๐โ2๐ฅ + 4(2(๐ด๐ฅ โ ๐ด๐ฅ2)๐โ2๐ฅ + 4๐ด๐ฅ2๐โ2๐ฅ
Maka ๐ด = 4, jadi
๐ฆ๐(๐ฅ) = 4๐ฅ2๐โ2๐ฅ
5. Tentukan solusi umum persamaan diferensial ๐ฆโ โ 5๐ฆโฒ โ 6๐ฆ = ๐โ๐ง โ
7 cos ๐ฅ
Penyelesaian:
Karakteristik persamaan ini adalah
0 = ๐2 โ 5๐ โ 6 = (๐ โ 6)(๐ + 1).
Dengan menggunakan pemfaktoran diperoleh akar-akar persamaan
tersebut adalah ๐ = 6 ๐๐๐ ๐ = โ1.
Substitusikan
๐ฆโ(๐ฅ) = ๐1๐6๐ฅ + ๐2๐โ๐ฅ
๐โ๐ฅ merupakan solusi homogen, sehingga
๐ฆ๐(๐ฅ) = ๐ถ๐ฅ๐โ๐ฅ + ๐ด ๐๐๐ ๐ฅ + ๐ต sin ๐ฅ
Maka,
๐ฆโฒ๐
(๐ฅ) = ๐ถ๐โ๐ฅ โ ๐ถ๐ฅ๐โ๐ฅ + ๐ต cos ๐ฅ โ ๐ด sin ๐ฅ
= ๐ถ(1 โ ๐ฅ)๐โ๐ฅ + ๐ต cos ๐ฅ โ ๐ด sin ๐ฅ
59
๐ฆ"๐(๐ฅ) = โ๐ถ๐โ๐ฅ โ ๐ถ(1 โ ๐ฅ)๐โ๐ฅ โ ๐ต sin ๐ฅ โ ๐ด cos ๐ฅ
= (๐ฅ โ 2)๐ถ๐โ๐ฅ โ ๐ต sin ๐ฅ โ ๐ด cos ๐ฅ
Substitusikan ke persamaan pada soal, diperoleh
๐โ๐ฅ โ 7 cos ๐ฅ = ๐ฆ"๐ โ 5๐ฆโฒ๐
โ 6๐ฆ๐
= ((๐ฅ โ 2)๐ถ๐โ๐ฅ โ ๐ต sin ๐ฅ โ ๐ด cos ๐ฅ) โ 5((1 โ ๐ฅ)๐ถ๐โ๐ฅ + ๐ต cos ๐ฅ โ ๐ด sin ๐ฅ)
โ 6(๐ถ๐ฅ๐โ๐ฅ + ๐ด cos ๐ฅ + ๐ต sin ๐ฅ)
= โ7๐ถ๐โ๐ฅ + (โ7๐ด โ 5๐ต) cos ๐ฅ + (5๐ด โ 7๐ต) sin ๐ฅ
Bandingkan nilai kedua ruas, sehingga
โ7๐ถ = 1
โ7๐ด โ 5๐ต = โ2
5๐ด โ 7๐ต = 0
Diperoleh bahwa = โ1
7, ๐ด =
7
37, ๐ต =
5
37 , maka
๐ฆ๐(๐ฅ) = โ1
7๐ฅ๐โ๐ฅ +
7
37cos ๐ฅ +
5
37sin ๐ฅ
Maka solusi umum adalah
๐ฆ(๐ฅ) ==1
7๐ฅ๐โ๐ฅ +
7
37cos ๐ฅ +
5
37sin ๐ฅ + ๐1๐6๐ฅ + ๐2๐โ๐ฅ
60
E. Latihan Soal
Selesaikan Persamaan diferensial orde dua berikut ini.
1. ๐ฆ" + 6๐ฆโฒ + 9๐ฆ = 0
2. ๐ฆ" + ๐ฆ = 0
3. ๏ฟฝฬ๏ฟฝ + 3๏ฟฝฬ๏ฟฝ + ๐ฅ = 0
4. ๐2๐
๐๐ก2 โ 5๐๐
๐๐ก+ 7๐ = 0
5. ๐ฆ" โ 2๐ฆโฒ + ๐ฆ = 3๐2๐ฅ
6. ๐ฆ" โ 2๐ฆโฒ + ๐ฆ = ๐ฅ2 โ 1
7. ๐ฆ" โ 2๐ฆโฒ + ๐ฆ = 4cos ๐ฅ
8. ๐ฆโฒ โ ๐ฆ = ๐๐ฅ
9. ๐ฆโฒ โ ๐ฆ = ๐ฅ๐2๐ฅ + 1
10. ๐ฆ" โ 2๐ฆ + ๐ฆ = ๐ฅ๐๐ฅ
11. ๐ฆ" โ ๐ฆโฒ โ 2๐ฆ = 4๐ฅ2; ๐ฆ(0) = 1, ๐ฆโฒ(0) = 4
12. ๐ฆ" โ ๐ฆโฒ โ 2๐ฆ = ๐3๐ฅ ; ๐ฆ(0) = 1, ๐ฆโฒ(0) = 2
13. ๐ฆ" โ ๐ฆโฒ โ 2๐ฆ = ๐3๐ฅ ; ๐ฆ(0) = 2, ๐ฆโฒ(0) = 1
14. ๐ฆ" โ ๐ฆโฒ โ 2๐ฆ = 0; ๐ฆ(0) = 2, ๐ฆโฒ(0) = 1
15. ๐ฆ" โ ๐ฆโฒ โ 2๐ฆ = ๐3๐ฅ ; ๐ฆ(1) = 2, ๐ฆโฒ(1) = 1
16. ๐ฆ" + ๐ฆ = ๐ฅ; ๐ฆ(1) = 0, ๐ฆโฒ(1) = 1
17. ๐ฆ" + 4๐ฆ = sin2 2๐ฅ ; ๐ฆ(๐) = 0, ๐ฆโฒ(๐) = 0
18. ๐ฆ" + ๐ฆ = 0; ๐ฆ(2) = 0, ๐ฆโฒ(2) = 0
19. ๐ฆโฒโฒโฒ = 12; ๐ฆ(1) = 0, ๐ฆโฒ(1) = 0, ๐ฆโฒโฒ(1) = 0
20. ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = 2๏ฟฝฬ๏ฟฝ + 2๐ฆ = sin 2๐ก + cos 2๐ก ; ๐ฆ(0) = 0, ๏ฟฝฬ๏ฟฝ(0) = 1
61
โDalam Kerendahan diri, ada ketinggian budi. Dalam kemiskinan harta ada
kekayaan jiwa. Dalam kesempitan hidup ada keluasan ilmu. Hidup ini indah
jika segalanya karena Allah SWT.โ
Hamka
62
TRANSFORMASI LAPLACE
Definisi 1.
Transformasi Laplace
โ(๐) = โซ ๐(๐ก)๐โ๐ ๐ก๐๐กโ
0 (4.1)
untuk semua nilai s sedemikian hina integral tak tentu terdefinisi.
Seperti yang telah dipelajari pada kalkulus bahwa integral tak tentu dapat
diselesaikan dengan pendekatan limit, yaitu
โ(๐) = โซ ๐(๐ก)๐โ๐ ๐ก๐๐กโ
0
= lim๐โโ
โซ ๐(๐ก)๐โ๐ ๐ก๐๐กโ
0
Bentuk transformasi Laplace (i) merupakan tranformasi linier jika fungsi f dan
g mempunyai transformasi Laplace dan a dan b konstanta sembarang maka
โ(๐๐ + ๐๐) = ๐โ(๐) + ๐ โ(๐) (4.2)
Contoh 1.
Tentukan penyelesaian transformasi Laplace dari fungsi a dengan a
konstanta.
Penyelesaian:
โ(๐) = โซ ๐๐โ๐ ๐ก๐๐กโ
0
BAB 4
Transformasi atau sering juga diistilahkan dengan perubahan banyak diungkapkan pada
Al-Quran, Misalnya pada surat Ibrahim ayat 1, yang artinya โAlif Lam Ra. (Ini adalah)
kitab yang Kami turunkan kepadamu (Muhammad) agar engkau mengeluarkan manusia
dari kegelapan kepada cahaya terang benderang dengan izin Allah, (yaitu) menuju jalan
Allah yang Maha Perkasa, Maha Terpuji)โ Maha benar Allah dengan segala firmannya.
63
โ(๐) = ๐ lim๐โโ
โซ ๐โ๐ ๐ก๐๐กโ
0
โ(๐) = lim๐โโ
โ๐
๐ ๐โ๐ ๐ +
๐
๐
โ(๐) =๐
๐ , ๐ > 0
A. Fungsi Periodik
Diketahui A bilangan tetap dan g(a + A) = g(a) maka transformasi Laplace
fungsi g yaitu
โ(๐) =1
1โ๐โ๐ ๐ โซ ๐(๐)๐โ๐ ๐๐๐ก๐ด
0 (4.3)
Contoh 2.
Tentukan transformasi Laplace untuk fungsi periodik
๐(๐ก) = {๐, ๐๐๐๐ 0 โค ๐ก โค
๐
2
โ๐, ๐๐๐๐ ๐
2โค ๐ก < ๐
Penyelesaian:
โ(๐) = โซ ๐(๐ก)๐โ๐ ๐ก๐๐ก๐
0
= โซ ๐๐โ๐ ๐ก๐๐ก
๐2โ
0
โ โซ ๐๐โ๐ ๐ก๐๐ก๐
๐2โ
= โ๐
๐ ๐โ๐ ๐ก|
๐ก=0
๐ก= ๐ 2โ
+๐
๐ ๐โ๐ ๐ก|
๐ก=๐ 2โ
๐ก= ๐
=๐
๐ (๐โ๐ ๐ โ 2๐โ
๐ ๐
2 + 1)
=๐
๐ (๐โ๐ ๐/2 โ 1)
2
B. Derivatif Fungsi
Berdasarkan definisi transformasi Laplace (4.2),
โ(๐๐(๐ก) + ๐๐(๐ก)) = โซ ๐โ๐ ๐ก(๐๐(๐ก) + ๐๐(๐ก))๐๐กโ
0
= โซ (๐โ๐ ๐ก๐๐(๐ก) + ๐โ๐ ๐ก๐๐(๐ก))๐๐กโ
0
64
= ๐ โซ ๐โ๐ ๐ก๐(๐ก)๐๐ก + ๐ โซ ๐โ๐ ๐ก๐(๐ก)๐๐กโ
0
โ
0
= ๐โ(๐(๐ก)) + ๐โ(๐(๐ก)) (4.4)
Turunkanlah persamaan di atas sehingga memperoleh rumus derivative
fungsi pada transformasi laplace seperti di bawah ini.
๐(๐โฒ(๐)) = ๐๐(๐(๐)) โ ๐(๐) (4.5)
Contoh 3.
Diketahui โ(๐โฒ(๐ก)) = โ(sin ๐๐ก). Tentukanlah penyelesaiannya.
Penyelesaian:
๐(๐โฒ(๐ก)) = ๐ โ(๐(๐ก)) โ ๐(0)
โ(sin ๐๐ก) = ๐ โ(๐(๐ก)) โ ๐(0)
โ(๐โฒ(๐ก)) = โซ ๐โฒ(๐ก)๐โ๐ ๐ก๐๐ก
โ
0
โ(๐ ๐๐ ๐๐ก) = lim๐โโ
โซ sin ๐๐ก ๐โ๐ ๐ก ๐๐กโ
0
Integral Parsial: โซ ๐ฃ ๐๐ข = ๐ข๐ฃ โ โซ ๐ข๐๐ฃ
v = sin at , dv = a cos at dt
du = e-st , ๐ข = โ๐โ๐ ๐ก
๐
โซ sin ๐๐ก ๐โ๐ ๐ก ๐๐ก = โ๐โ๐ ๐ก
๐ sin ๐๐ก โ โซ โ
๐โ๐ ๐ก
๐ (๐๐๐๐ ๐๐ก)๐๐ก
โ
0
= โlim๐กโโ
๐โ๐ ๐ก
๐ sin ๐๐ก + lim
๐กโโ
๐
๐ โซ ๐โ๐ ๐ก(๐๐๐ ๐๐ก)๐๐ก
โ
0
= โlim๐กโโ
๐โ๐ โ
๐ sin ๐โ + lim
๐กโโ
๐
๐ โซ ๐โ๐ ๐ก(๐๐๐ ๐๐ก)๐๐ก
โ
0
= โ0 + lim๐กโโ
๐
๐ โซ ๐โ๐ ๐ก(๐๐๐ ๐๐ก)๐๐ก
โ
0
Integral Parsial: โซ ๐ฃ ๐๐ข = ๐ข๐ฃ โ โซ ๐ข๐๐ฃ
v = cos at , dv = -a sin at dt
65
du = e-st , ๐ข = โ๐โ๐ ๐ก
๐
= โ0 +๐
๐ (โ
๐โ๐ ๐ก
๐ cos at โ
a
๐ โซ ๐โ๐ ๐ก( sin ๐๐ก)๐๐ก
โ
0)
= โ0 โ๐
๐ 2 ๐โ๐ ๐กcos at โa2
๐ 2 โซ ๐โ๐ ๐ก( sin ๐๐ก)๐๐กโ
0
Misal ๐(๐๐๐ ๐๐) = ๐
๐ฆ = โ๐
๐ 2 ๐โ๐ ๐กcos at โa2
๐ 2 ๐ฆ
๐ฆ +a2
๐ 2 ๐ฆ = โ๐
๐ 2 ๐โ๐ ๐กcos at
๐ 2+a2
๐ 2 ๐ฆ = โ๐
๐ 2 ๐โ๐ ๐กcos at |0
โ
๐ 2+a2
๐ 2 ๐ฆ = โ๐
๐ 2 ๐โ๐ โcos aโ +๐
๐ 2 ๐โ๐ 0cos a0
๐ 2+a2
๐ 2 ๐ฆ =๐
๐ 2
๐ฆ =๐ (๐ 2)
๐ 2(๐ 2+a2)
๐ฆ =๐
(๐ 2+a2)
โ(๐ ๐๐ ๐๐ก) =๐
(๐ 2+a2)
C. Invers Laplace
Definisi 2.
Misal persamaan A merupakan transformasi Laplace dari fungsi kontinu a,
sehingga
โ(๐) = A (s) (4.6)
Maka invers transformasi Laplace fungsi A, ditulis โ(๐ด)โ1 adalah fungsi a,
sehingga
โ(๐ด)โ1 = ๐(๐ก) (4.7)
Contoh 4.
Selesaikanlah masalah nilai awal berikut dengan menggunakan transformasi
Laplace.
66
qโ + kq = e-3t, q(0) = 4
Penyelesaian:
โ(๐โฒ + ๐๐) = โ(๐โ3๐ก)
โ(๐โฒ) + ๐โ(๐) = โ(๐โ3๐ก) โฆ (i)
Berdasarkan definisi dari transformasi Laplace dari derivatif fungsi yaitu
โ(๐โฒ(๐ก)) = ๐ โ(๐(๐ก)) โ ๐(0)
Sehingga,
โ(๐โฒ) = ๐ โ(๐) โ ๐ฆ(0)
โ(๐โฒ) = ๐ โ(๐) โ 4
Dan berdasarkan definisi dasar transformasi Laplace yaitu
โ(๐) = โซ ๐(๐ก)๐โ๐ ๐ก๐๐กโ
0= lim
๐โโโซ ๐(๐ก)๐โ๐ ๐ก๐๐ก
โ
0
Sehingga,
โ(๐โ3๐ก) = โซ ๐โ3๐ก๐โ๐ ๐ก๐๐กโ
0= lim
๐โโโซ ๐โ3๐ก๐โ๐ ๐ก๐๐ก
โ
0
= lim๐โโ
โซ ๐โ3๐กโ๐ ๐ก๐๐กโ
0 = lim
๐โโโซ ๐(โ3โ๐ )๐ก๐๐ก
โ
0
Misal:
q = ๐๐ฅ2, qโ = 2๐ฅ๐๐ฅ2
โซ ๐๐ฅ2๐๐ฅ =
๐๐ฅ2
2๐ฅ+ ๐
= lim๐โโ
(๐(โ3โ๐ )๐ก
โ3โ๐ |
0
โ
)
= lim๐โโ
(๐(โ3โ๐ )โ
โ3โ๐ โ
๐(โ3โ๐ )0
โ3โ๐ )
= 0 โ1
โ(3+๐ )
=1
3+๐
Substitusikan ke (i)
โ(๐โฒ) + ๐โ(๐) = โ(๐โ3๐ก) โฆ (๐)
๐ โ(๐) โ 4 + ๐โ(๐) = 1
3+๐
(๐ + ๐)โ(๐) = 1
3+๐ + 4
67
โ(๐) = 1
3+๐ + 4
(๐ +๐)
โ(๐) = 1
(3+๐ )(๐ +๐)+
4
๐ +๐ โฆ (ii)
Untuk menyederhanakan pencarian invers Laplace, kita ubah
pecahan1
(3+๐ )(๐ +๐) menjadi pecahan parsial berbentuk
๐ด
๐ +๐ dan
๐ต
๐ +3 sehingga
1
(3+๐ )(๐ +๐)=
๐ด
๐ +๐+
๐ต
๐ +3 โฆ (iii)
Diperoleh bahwa
1
(3 + ๐ )(๐ + ๐)=
๐ด(๐ + 3) + ๐ต(๐ + ๐)
(๐ + ๐)(๐ + 3)
Menjadi
1 = ๐ด(๐ + 3) + ๐ต(๐ + ๐)
Jabarkan ruas kanan, diperoleh
1 = ๐ด๐ + 3๐ด + ๐ต๐ + ๐ต๐
0๐ + 1 = (๐ด + ๐ต)๐ + 3๐ด + ๐ต๐
Samakan nilai ruas kanan dan ruas kiri
A + B = 0 jadi B = - A โฆ(a)
dan 3A + Bk = 1
Substitusikan (a) menjadi 3๐ด โ ๐ด๐ = 1, ๐ด(3 โ ๐) = 1
Jadi, ๐ด =1
(3โ๐) dan B = -A sehingga ๐ต = โ
1
(3โ๐)
Substitusikan ke (iii) diperoleh
1
(3+๐ )(๐ +๐)=
1
(3โ๐)
๐ +๐+
โ1
(3โ๐)
๐ +3
Karena masing-masing suku pada ruas kanan mempunyai nilai 1
(3โ๐)
sehingga
1
(3+๐ )(๐ +๐)=
1
3โ๐(
1
๐ +๐โ
1
๐ +3)
Selanjutnya substitusikan ke (ii), didapat
โ(๐ฆ) = 1
3โ๐(
1
๐ +๐โ
1
๐ +3) +
4
๐ +๐
68
Setelah memperoleh nilai โ(๐ฆ) invers kan transformasi Laplace untuk
memperoleh nilai y.
๐ฆ = 1
3โ๐(โโ1 (
1
๐ +๐) โ โโ1 (
1
๐ +3)) +โโ1 (
4
๐ +๐)
Berdasarkan definisi dasar transformasi Laplace diketahui bahwa
โ(๐ฆ) = โ(๐๐๐ก) = โโ1 (1
๐ โ๐) , ๐ > ๐
โ(๐ด)โ1 = ๐(๐ก)
โ(๐โ๐๐ก) =1
๐ โ(โ๐)=
1
๐ +๐
โ(๐โ3๐ก) =1
๐ โ(โ3)=
1
๐ +3
โ(4๐โ๐๐ก) =4
๐ โ(โ๐)=
1
๐ +๐
๐ฆ = 1
3โ๐(โโ1 (
1
๐ +๐) โ โโ1 (
1
๐ +3)) +โโ1 (
4
๐ +๐)
Jadi, diperoleh bahwa
๐ฆ = 1
3โ๐(๐โ๐๐ก โ ๐โ3๐ก) +4๐โ๐๐ก
Operasikan dengan menyamakan penyebutnya, menjadi
๐ฆ = ๐โ๐๐กโ๐โ3๐ก
3โ๐+4๐โ๐๐ก
Misal: 1
3+4 =
1+4(3)
3
๐ฆ = ๐โ๐๐กโ๐โ3๐ก+4๐โ๐๐ก(3โ๐)
3โ๐
๐ฆ = ๐โ๐๐กโ๐โ3๐ก+12๐โ๐๐กโ 4๐๐โ๐๐ก
3โ๐
๐ฆ = โ๐โ3๐ก+13๐โ๐๐กโ 4๐๐โ๐๐ก
3โ๐
Masing-masing suku yang memiliki nilai ๐โ๐๐ก difaktorkan menjadi
๐ = ๐โ๐๐(๐๐ โ ๐๐) โ ๐โ๐๐
๐ โ ๐
69
D. Persamaan Diferensial dengan Suku Tak Homogen
Diskontinu
Bentuk umum
๐0๐ฆ" + ๐1๐ฆโฒ + ๐2๐ฆ = ๐(๐ก) (4.8)
Dimana a0, a1, dan a2 merupakan fungsi kontinu, tapi suku tak homogen g(t)
merupakan fungsi tak kontinu.
Derivatif Fungsi
๐(๐โฒ(๐)) = ๐๐(๐(๐)) โ ๐(๐)
๐(๐"(๐)) = ๐๐๐(๐(๐)) โ ๐๐(๐) โ ๐โฒ(๐)
Contoh 5.
Tentukan penyelesaian persamaan yโ + y = sin 2t dimana y(0) = 2 dan
yโ (0) = 1 .
Penyelesaian:
โ(๐ฆ") = ๐ 2โ(๐ฆ) โ ๐ ๐ฆ(0) โ ๐ฆโฒ(0)
= ๐ 2โ(๐ฆ) โ 2๐ โ 1
Misal: โ(๐ฆ) = ๐(๐ )
๐ 2๐(๐ ) โ 2๐ โ 1 + ๐(๐ ) = 2
๐ 2 + 4
(๐ 2 + 1)๐(๐ ) โ 2๐ โ 1 = 2
๐ 2 + 4
(๐ 2 + 1)๐(๐ ) = 2
๐ 2 + 4+ 2๐ + 1
๐(๐ ) = 2
(๐ 2 + 4)(๐ 2 + 1)+
2๐
(๐ 2 + 1)+
1
(๐ 2 + 1)
70
Gunakan pecahan parsial untuk menyederhanakan suku pertama.
2
(๐ 2 + 4)(๐ 2 + 1)=
๐ด๐ + ๐ต
๐ 2 + 4+
๐ถ๐ + ๐ท
๐ 2 + 1 โฆ (๐)
Karena pangkatnya 2 maka pemisalan pembilangnya menjadi pangkat satu
atau turunannya yaitu As + B dan Cs + D
2
(๐ 2 + 4)(๐ 2 + 1)=
(๐ด๐ + ๐ต)(๐ 2 + 1) + (๐ถ๐ + ๐ท)(๐ 2 + 4)
(๐ 2 + 4)(๐ 2 + 1)
2
(๐ 2 + 4)(๐ 2 + 1)=
๐ด๐ 3 + ๐ด๐ + ๐ต๐ 2 + ๐ต + ๐ถ๐ 3 + 4๐ถ๐ + ๐ท๐ 2 + 4๐ท
(๐ 2 + 4)(๐ 2 + 1)
2
(๐ 2 + 4)(๐ 2 + 1)=
(๐ด + ๐ถ)๐ 3 + (๐ต + ๐ท)๐ 2 + (๐ด + 4๐ถ)๐ + ๐ต + 4๐ท
(๐ 2 + 4)(๐ 2 + 1)
A + C = 0
A = - C โฆ (ii)
B + D = 0
D = - B โฆ (iii)
A + 4C = 0
Substitusikan persamaan (ii)
- C + 4C = 0
3C = 0
C = 0 dan A = 0
B + 4D = 2 โฆ (iv)
Eliminasi dan Substitusi persamaan (iii) dan (iv)
B + D = 0
B + 4D = 2 โ
-3 D = -2
๐ท =2
3, ๐ต = โ
2
3
71
Substitusikan nilai A, B, C, dan D ke persamaan (i)
2
(๐ 2 + 4)(๐ 2 + 1)=
๐ด๐ + ๐ต
๐ 2 + 4+
๐ถ๐ + ๐ท
๐ 2 + 1
2
(๐ 2 + 4)(๐ 2 + 1)=
0๐ + โ2
3
๐ 2 + 4+
0๐ +2
3
๐ 2 + 1
๐(๐ก) = โ1
3sin 2๐ก +
2
3sin ๐ก + 2 cos ๐ก + sin ๐ก
Jadi,
๐(๐ก) = โ1
3sin 2๐ก +
5
3sin ๐ก + 2 cos ๐ก
E. Latihan Soal
Tentukanlah penyelesaian dari persamaan transformasi laplace di bawah ini.
1. โ(๐โฒ(๐ก)) = โ(sin 2๐ก).
2. โ(๐โฒ(๐ก)) = โ(cos ๐๐ก).
3. โ(๐โฒ(๐ก)) = โ(cos 2๐ก).
4. yโ + 4y = 0, y(0) = 2 dan yโ(0) = -1
5. yโ + 4yโ + 40 y = 0, y(0) = 3 dan yโ(0) = 12
6. yโ + 4y = sin (3t), y(0) = 2
72
โKecantikan yang abadi terletak pada keelokan adab dan ketinggian ilmu
seseorang. Bukan terletak pada wajah dan pakaiannya.โ
Hamka
73
APLIKASI PERSAMAAN DIFERENSIAL
A. Persamaan Diferensial Orde Satu
1. Pertumbuhan dan Peluruhan
Persamaan Pertumbuhan
๐๐ฆ
๐๐ก= ๐๐ฆ, ๐ > 0 โ ๐ฆ(๐ก) = ๐ถ๐๐๐ก (5.1)
Masalah nilai awal:
๐๐ฆ
๐๐ก= ๐๐ฆ
๐ฆ(0) = ๐ฆ0
} โ ๐ฆ(๐ก) = ๐ฆ0๐๐๐ก (5.2)
Persamaan Peluruhan:
๐๐ฆ
๐๐ก= โ๐๐ฆ, ๐ > 0 โ ๐ฆ(๐ก) = ๐ถ๐โ๐๐ก (5.3)
Masalah nilai awal:
๐๐ฆ
๐๐ก= โ๐๐ฆ
๐ฆ(0) = ๐ฆ0
} โ ๐ฆ(๐ก) = ๐ฆ0๐โ๐๐ก (5.4)
Contoh 1. Pertumbuhan Bakteri
Suatu kultura bakteri diketahui berkembang dengan laju yang
proporsional dengan jumlah yang ada. Setelah satu jam, 1000 untai
bakteri teramati dalam kultur tersebut dan setelah 4 jam menjadi 3000
untai. Cariah ekspresi matematika perkiraan jumlah untaian bakteri yang
BAB 5
Pada Al-Quran, Allah menyuruh manusia untuk senantiasa meneliti dengan
mengaplikasikan ilmu-ilmu yang telah diperolehnya dan memperhatikan alam sekitarnya.
Seperti yang tertulis pada surat Al-Alaq ayat 1-5, yaitu โBacalah dengan (menyebut
nama Tuhanmu yang Menciptakan, Dia telah menciptakan manusia dari segumpal darah.
Bacalah, dan Tuhanmulah yang Maha Pemurah, yang mengajar (manusia) dengan
perantara kalam, Dia mengajar kepada manusia apa yang tidak diketahuinya.โ
74
ada dalam kultura tersebut pada setiap saat dan perkirakan jumlah awal
untai bakteri dalam kultur tersebut!
Penyelesaian:
Ekspresi matematika perkiraan jumlah untaian bakteri yang ada dalam
kultura pada setiap saat.
Misalkan:
๐(๐ก) = Jumlah untai bakteri dalam kultural waktu ๐ก
๐๐
๐๐ก= Laju perubahan jumlah bakteri setiap waktu
Bentuk model matematika dari masalah di atas adalah
๐๐
๐๐ก= ๐ ๐(๐ก)
Dalam hal ini konstanta perbandingan adalah ๐. Penyelesaian umum
dari persamaan diferensial di atas adalah
๐๐(๐ก)
๐๐ก= ๐๐
โซ๐๐(๐ก)
๐(๐ก)= โซ ๐ ๐๐ก
๐๐|๐(๐ก)| = ๐๐|๐๐๐ก| + ๐๐|๐|
๐(๐ก) = ๐ ๐๐๐ก
Syarat yang diberikan adalah ๐ก(1) = 1000 maka 1000 = ๐ ๐๐
๐ก(4) = 3000 maka 3000 = ๐ ๐4๐
sehingga didapat,
๐ ๐4๐ = 3000
๐ ๐๐ . ๐3๐ = 3000
1000 ๐3๐ = 3000
3๐ = ๐๐|3| sehingga ๐ = 0.366
Subsitusikan nilai ๐, pada syarat ๐ก(1) = 1000 sehingga diperoleh,
1000 = ๐ ๐0.366 didapat ๐ = 694
Maka diperoleh solusi,
75
๐(๐ก) = 694 ๐0.366๐ก
Jadi, model matematika untuk jumlah bakteri yang ada pada waktu t
adalah
๐(๐ก) = 694 ๐0.366๐ก
Contoh 2. Peluruhan Radioaktif
Unsur radioaktif C-14 diketahui memiliki waktu paruh sekitar 5600 tahun
serta memenuhi persamaan peluruhan ๐๐
๐๐ก= โ๐๐
a. Tentukan konstanta peluruhan
b. Tentukan kuantitas unsur radioaktif tersebut pada sembarang waktu
๐ก jika diketahui kuantitas awal adalah ๐(0) = ๐0
c. Bila diketahui bahwa residu unsur yang didapat pada saat ini adalah
15% dari kuantitas awal, berapakah umur bahan yang mengandung
unsur radioaktif tersebut?
Penyelesaian:
a. ๐ =๐๐2
5600
b. ๐(๐ก) = ๐0๐โ๐๐2
5600๐ก
c. ๐ก โ 15 336 tahun
2. Compound Interest
Deposito awal di bank sejumlah ๐0, tingkat bunga ๐. Deposito tidak
ditambah atau dikurangi selama keseluruhan periode.
a. Bila bunga dibayarkan tahunan
Deposito
awal
๐0
Setelah 1 tahun ๐(1) = ๐0 + ๐๐0 = ๐0(1 + ๐)
Setelah 2 tahun ๐(2) = ๐0(1 + ๐) + ๐๐0(1 + ๐) = ๐0(1 + ๐)2
... ...
Setelah ๐ก tahun ๐(๐ก) = ๐0(1 + ๐)๐ก
76
b. Bila bunga dibayarkan ๐ kali dalam setahun
Deposito awal ๐0
Setelah 1 tahun ๐(1) = ๐0 (1 +
๐
๐)
๐
Setelah 2 tahun ๐(2) = ๐0 (1 +
๐
๐)
2๐
... ...
Setelah ๐ก tahun ๐(2) = ๐0 (1 +
๐
๐)
๐๐ก
c. Bila bunga dibayarkan secara kontinu:
๐(๐ก) = lim๐โโ
๐0 (1 +๐
๐)
๐๐ก
= ๐0๐๐๐ก
Merupakan solusi masalah nilai awal:
๐๐
๐๐ก= ๐๐, ๐(0) = ๐0
Anuitas
Pada Masalah Compound Interest, bila bunga dibayarkan secara
kontinu, serta ada tambahan tabungan sebesar ๐ setiap tahun:
๐๐
๐๐ก= ๐๐ + ๐, ๐(0) = ๐0
Solusi:
๐(๐ก) = ๐0๐๐๐ก +๐
๐(๐๐๐ก โ 1)
Contoh 4.
Jena memutuskan untuk berhenti merokok dan menabung uang yang
biasa ia belanjakan untuk rokok sebesar Rp. 30.000 per minggu. Bila
bank memberikan bunga 10% per tahun dan dibayarkan secara
kontinu, maka berapa besarkah tabungan Jena dalam 1 tahun? 10
tahun? 50 tahun?
77
Penyelesaian:
Tabungan setelah ๐ก tahun (dalam ribu rupiah)
๐(๐ก) = 15.600(๐0,1๐ก โ 1)
๐(1) = Rp. 1.641.000, โ
๐(10) = Rp. 26.805.000, โ
๐(50) = Rp. 2.299.645.000, โ
Contoh 5.
Sebuah kendi mampu menampung 100 liter air. Tetapi suatu kesalahan
terjadi yakni Bapak menaburkan 300 kg garam ke dalam kendi padahal
banyaknya garam yang diperlukan hanya 200 kg. Solusi yang dilakukan
adalah dengan membuang air yang sudah tercampur air garam secara
teratur 3 liter/menit. Di waktu yang sama kendi juga diisi dengan 3 liter
air murni. Jika dijaga agar kondisi garam dalam kendi merata setiap saat
dengan dilakukan pengadukan, berapakah waktu yang diperlukan agar
banyaknya garam pada kendi sesuai dengan yang diharapkan, yaitu 200
kg.
Penyelesaian:
๐บ(๐ก) = Jumlah garam yang terdapat dalam bak
๐๐บ
๐๐ก= Laju perubahan jumlah garam
๐๐บ
๐๐ก= Laju jumlah garam yang masuk โ laju jumlah garam yang keluar
Laju garam yang masuk = 0
Laju garam yang keluar = ๐บ
100 ๐ฟร 3 ๐ฟ/๐๐๐ก =
3
100๐บ/๐๐๐ก
Sehingga,
๐๐บ
๐๐ก= โ
3 ๐บ
100, ๐ก(0) = 300
Solusi,
78
๐๐บ
๐๐ก= โ
3 ๐บ
100, sehingga
๐๐บ
โ3 ๐บ
100๐ก
= ๐๐ก
โ100
3๐๐|๐บ| = ๐ก + ๐๐|๐|
๐บโ100
3 = ๐ ๐๐ก maka ๐บ(๐ก) = (๐ ๐๐ก)โ3
100atau
๐บ(๐ก) = ๐ถ ๐โ3๐ก
100
Pada saat ๐ก = 0 kita punya ๐บ = 300 sehingga
300 = ๐ถ ๐0 โ ๐ถ = 300
Sehingga solusi menjadi ๐บ(๐ก) = 300 ๐โ3๐ก
100
Karena kita ingin garam di bak hanya 200 kg, maka,
200 = 300 ๐โ3๐ก
100
2
3= ๐โ
3๐ก
100sehingga ๐๐ |2
3| = โ
3๐ก
100
Maka,
โ0.4055 = โ3๐ก
100
๐ก = ๐๐.5 menit
Jadi, air garam dalam kendi akan sesuai dengan yang diharapkan dalam
waktu 13.5 menit.
3. Pendinginan dan Pemanasan
Hukum Pendinginan Newton
Laju perubahan suhu suatu benda, ๐(๐ก) yang ditempatkan pada medium
dengan suhu M (konstan) adalah proporsional terhadap selisih suhu
benda dan suhu medium.
๐๐
๐๐ก= โ๐(๐ โ ๐), nilai awal T(0) = T0
solusi: T(t) = T0๐โ๐๐ก + M(1 โ ๐โ๐๐ก)
79
Contoh 6.
Sebuah tembaga berbentuk bola dipanaskan sampai dengan suhu 100o
๐ถ. Kemudian pada saat ๐ก = 0 bola tersebut direndam pada air yang
memiliki suhu tetap 30o ๐ถ. Setelah 3 menit ternyata suhu bola menjadi
70o ๐ถ. Tentukan saat ketika suhu bola menjadi 31o ๐ถ. Berdasarkann
hukum pendinginan Newton diketahui bahwa laju perubahan suhu benda
๐ sebanding dengan perbedaan antara ๐ dengan suhu medium.
Penyelesaian:
Bentuk model matematika dari masalah di atas adalah
๐๐
๐๐ก= โ๐(๐ โ 30)
Dalam hal ini konstanta perbandingan adalah โ ๐. Penyelesaian umum
dari persamaan diferensial di atas adalah
โซ๐๐
(๐ โ 30)= โซ โ๐๐๐ก
๐๐(๐ โ 30) = โ๐๐ก
(๐ โ 30) = ๐ถ๐โ๐๐ก
๐(๐ก) = 30 + ๐ถ๐โ๐๐ก
Kondisi awal yang diberikan ๐(0) = 100, sehingga penyelesaian
khususnya menjadi
T(0) = 100
100 = 30 + C
C = 70
๐(๐ก) = 30 + 70๐โ๐๐ก
Konstanta ๐ dapat diperoleh dengan memasukkan ๐(3) = 70.
Selanjutnya akan diperoleh
๐(3) = 30 + 70๐โ๐(3)
70 = 30 + 70๐โ3๐
40 = 70๐โ3๐
80
ln4
7= ln ๐โ3๐
ln4
7= โ3๐
๐ =1
3๐๐
7
4= 0,1865
Dengan informasi ini kita akan dapat menentukan saat suhu benda ๐ =
31๐ ๐ถ
31 = 30 + 70๐โ0,1865๐ก
1 = 70๐โ0,1865๐ก
๐๐ 1
70= ๐๐๐โ0,1865๐ก
๐๐ 1
70= โ0,1865๐ก
Jadi ๐ก =ln 70
0,1865= 22,78, yaitu setelah mendekati 23 menit.
4. Masalah Benda Jatuh
Asumsikan suatu benda dengan massa m yang jatuh secara vertical
dipengaruhi hanya oleh gravitasi dan suatu hambatan uara yang
proporsional terhadap kecepatan benda tersebut. Anggaplah bahwa
gravitasi dan massa tetap konstan dan untuk memudahkan, tentukan
arah kebawah sebagai arah positif.
Hukum Gerak Kedua Newton:
Gaya netto yang bekerja pada benda sebanding dengan laju perubahan
momentum benda tersebut atau untuk massa konstan.
๐น = ๐๐๐ฃ
๐๐ก
Untuk soal yang dihadapi ini, ada dua gaya yang beraksi pada benda :
1. Gaya gravitasi karena bobot benda ๐ค, yang sama dengan ๐๐โ dan
2. Gaya karena hambatan udara โ ๐๐ฃ, dimana k โฅ 0 adalah suatu
konstanta proporsionalitas.
81
Tanda minus diperlukan karena gaya ini melawan kecepatan, artinya
gaya ini bekerja kearah atas, atau negative. Dengan demikian gaya netto
๐น pada benda adalah ๐น = ๐๐ โ ๐๐ฃ. Dengan memasukkan hasil ini ke
dalam bentuk terakhir, sehingga
๐๐ โ ๐๐ฃ = ๐๐๐ฃ
๐๐ก
Atau ๐๐ฃ
๐๐ก+
๐
๐๐ฃ = ๐
Sebagai persamaan gerak benda.
Jika hambatan udara dapat diabaikan atau tidak ada, maka k=0 sehingga
menjadi,
๐๐ฃ
๐๐ก= ๐
Ketika k > 0, ๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐ ๐๐๐๐๐ก ๐ฃ1 =๐๐
๐
Contoh 7.
Suatu benda yang memiliki massa 5 kg dijatuhkan dari ketinggian 100 m
dengan kecepatan = 0. Diasumsikan tidak ada hambatan udara.
Tentukanlah:
a. Model matematika untuk kecepatan benda pada setiap waktu t
b. Model matematika untuk posisi pada tiap waktu t
c. Lamanya waktu untuk mencapai permukaan tanah
Penyelesaian:
a. Pada kondisi awal (๐ก = 0 ๐๐๐ ๐ฃ = 0) dimana tidak ada hambatan
udara, maka ๐ = 0
Sehingga,
0 = ๐(0) + ๐
๐ = 0
Diperoleh,
๐ฃ = ๐๐ก dimana ๐ = 32 ๐/๐ 2
Jadi, kecepatan benda pada tiap waktu adalah ๐(๐) = ๐๐๐
82
b. Karena kecepatan adalah laju perubahan perpindahan terhadap
waktu maka,
๐ฃ =๐๐ฅ
๐๐ก
32๐ก =๐๐ฅ
๐๐ก
sehingga diperoleh,
๐ฅ = 16๐ก2 + ๐
Karena pada kondisi awal (๐ก = 0 ๐๐๐ ๐ฅ = 0) maka,
0 = 16(0)2 + ๐
๐ = 0
Diperoleh,
๐ฅ = 16๐ก2
Jadi, posisi benda pada tiap waktu t adalah ๐(๐) = ๐๐๐๐.
c. Akan dicari waktu yang dibutuhkan benda untuk mencapai
permukaan tanah
Jarak awal benda terhadap permukaan tanah100 ft.
Sehingga,
๐ฅ = 16๐ก2
100 = 16๐ก2diperoleh ๐ก = 2.5 s
Jadi, waktu yang diperlukan untuk mencapai permukaan tanah adalah
๐. ๐ ๐ฌ.
5. MASALAH RANGKAIAN LISTRIK
83
Contoh 8.
Sebuah rangkaian memiliki emf 5 volt, reisitensi 50 ohm induktansi 1
henry, dan tanpa arus awal. Carilah arus dalam rangkaian ini pada setiap
waktu ๐ก.
Penyelesaian:
Diketahui:
๐ธ = 5 ๐ = 50 ๐ฟ = 1
Subsitusikan, ke persamaan
๐๐ผ
๐๐ก+
๐
๐ฟ๐ผ =
๐ธ
๐ฟ
Sehingga menjadi,
๐๐ผ
๐๐ก+ 50๐ผ = 5 ๐. ๐ท ๐๐๐๐ โ 1
Faktor Integra๐ ๐ โถ ๐โซ 50 ๐๐ก = ๐50๐ก
Kalikan FI terhadap P. D
๐50๐ก (๐๐ผ
๐๐ก+ 50๐ผ) = 5 ๐50๐ก
๐50๐ก ๐๐ผ + 50๐ผ ๐50๐ก ๐๐ก = 5 ๐50๐ก ๐๐ก
๐[๐50๐ก ๐ผ] = 5 ๐50๐ก ๐๐ก
Integralkan kedua ruas, sehingga diperoleh,
๐50๐ก๐ผ =1
10๐50๐ก + ๐
๐ผ = ๐ ๐โ50๐ก +1
10
Pada saat (๐ก = 0 ๐๐๐ ๐ผ = 0)maka,
0 = ๐ ๐0 +1
10 =โซ ๐ = โ
1
10
Jadi, arus dalam rangkaian ini pada setiap waktu t adalah
๐ผ = โ1
10 ๐โ50๐ก +
1
10
84
Kuantitas โ1
10 ๐โ50๐ก
disebut Arus Transien, karena kuantitas ini menuju nol (menghilang)
ketika ๐ก โ โ
Kuantitas 1
10 dalam (I) disebut Arus Tunak (steady โ state), ketika ๐ก โ โ
B. Persamaan Diferensial Orde Dua
1. Sistem Gerak
Penggunaan sistem gerak dapat dilihat dengan benda bermassa m yang
tergantung pada suatu pegas. Pemodelan sistem gerak, didasari oleh
Hukum Newton II, sehingga:
F = m.๐ผ
Dengan:
F = gaya benda
m = massa benda
๐ผ= percepatan benda
Gaya pada benda yang tergantung pada pegas:
a. Fg = m.g dimana Fg merupakan gaya tarik gravitasi benda, m = massa
benda dan g = gravitasi.
b. Fs = โk (y + โL), Fs = adalah gaya pegas, k = konstanta pegas, y =
posisi benda, โL = perubahan panjang pegas. Arah gaya pegas ke
atas dan ke bawah. Jika pegas ditarik Fs negatif, arah gaya ke atas
dan jika pegas ditekan FS positif, arah gaya kebawah.
c. Fd = โd. ๐๐ฆ
๐๐ก, Fd = gaya redam, arah gaya berlawanan dengan gerak
benda. d = konstanta redaman, ๐๐ฆ
๐๐ก= kecepatan benda. Jika d > 0
sistem disebut Sistem Teredam (Damped Systems), jika d = 0 sistem
disebut Sistem Tak-teredam (Undamped Systems).
d. ๐น๐= F(t), ๐น๐= gaya eksternal, arah gaya dapat ke atas atau ke bawah.
Penerapan gaya ini langsung pada benda atau pegas.
85
Gambar 1. Sistem Gerak Benda pada Pegas
Gambar 2. Sistem Gerak dengan Peredam
2. Sistem Gerak dengan Peredam dan Gaya Luar F(t)
Diketahui dari Hukum Newton II yaitu
F = m.๐ผ
F adalah gaya benda, ๐ผ = ๐2๐ฆ
๐๐ก2adalah percepatan benda sehingga:
Fg+ Fs + Fd + Fe = m.๐2๐ฆ
๐๐ก2
atau
m.g + โk(y + โL) โ d .๐๐ฆ
๐๐ก + F(t) = m.
๐2๐ฆ
๐๐ก2
untuk system dalam kesetimbangan m.g = kโL , sehingga persamaan
menjadi:
86
โky โ d.๐๐ฆ
๐๐ก + F(t) = m.
๐2๐ฆ
๐๐ก2
atau
m.๐2๐ฆ
๐๐ก2 + d.๐๐ฆ
๐๐ก + ky = F(t)
PD orde-2 tersebut mengilustrasikan sistem gerak benda pada pegas.
Jika F(t) = 0 (tanpa gaya eksternal) sistem disebut gerak bebas
(unforced), jika F(t) โ 0 disebut gerak paksa (forced). Jika d = 0 maka
system disebut tak teredam (undamped) dan jika d > 0 maka system
disebut teredam (damped).
3. Sistem Gerak Bebas Tak Teredam (F(t) = 0 , d = 0
Model system gerak harmonic bebas tak teredam:๐.๐2๐ฆ
๐๐ก2 + ๐๐ฆ = 0
Gerak benda didapatkan dengan menyelesaikan PD di atas. Jika
persamaan dibagi dengan m, maka PD menjadi:
๐2๐ฆ
๐๐ก2 + ๐
๐y = 0
๐2๐ฆ
๐๐ก2 + ๐๐2๐ฆ = 0, ๐๐ = โ๐
๐
Persamaan karakteristik PD di atas: ๐2 + ๐๐2 = 0
akar-akarpersamaankarakteristik: r1,2 = ยฑ ๐๐๐
Sehingga penyelesaian umum PD gerak benda:
๐ฆ(๐ก) = ๐1 cos ๐0t + ๐2 sin ๐0t
Maka persamaan menjadi:
๐ฆ(๐ก) = ๐ [๐os๐cos ๐0t + sin ๐sin๐0t]
๐๐ก๐๐ข
๐ฆ(๐ก) = ๐ ๐os (๐0t โ ๐)
Dengan R =โ๐12 + ๐1
2
87
Keterangan:
R = amplitude system gerak harmonic
๐ =sudut fasa
๐0 =frekuensi= โ๐
๐
Jika satu siklus gerak harmonik yang terjadi digambarkan dalam unit
waktu 2ฯ, maka frekuensi didefinisikan menjadi:
๐ =๐0
2๐, , maka periode gerak harmonik T = 1/ ๐=
๐0
2๐ = 2ฯโ
๐
๐
Gambar 3 Ilustrasi Gerak Harmonik ๐ฆ(๐ก) = ๐ ๐os (๐0t โ ๐)
Contoh 9.
Sistem gerak harmonik benda yang tergantung pada pegas. Diketahui
bahwa massa benda m = 1
4 kg, konstanta pegas k = 16 N/m, dan
redaman=0. Ketika suatu pegas ditarik benda maka akan bertambah
panjang 1 m dan mulai bergerak ke atas dengan kecepatan 8meter per
detik. Sistem tidak diberi gaya luar.
a. Carilah ekspresi persamaan yang mengilustrasikan sistem gerak
harmonik pada permasalah di atas.
b. Hitunglah fungsi gerak benda tersebut.
c. Hitunglah amplitudo, sudut fasa, frekuensi dan periode gerak benda.
88
Penyelesaian:
a. Ekspresi persamaan pada pegas dapat dituliskan dengan
m.๐2๐ฆ
๐๐ก2 + d.๐๐ฆ
๐๐ก + ky = F(t)
pada contoh permasalahan di awat diketahui redaman d = 0, gaya
luar = 0 , massa m = ยผ kg , konstanta pegas k = 16 N/m, sehingga
diperoleh ekspresi persamaan sistem gerak harmonik yaitu
1
4 .
๐2๐ฆ
๐๐ก2+ 16๐ฆ = 0
Dengan kondisi awal:
Posisi awal benda y(0) = 1 dan
Kecepatan awal benda๐๐ฆ
๐๐ก (0) = โ8.
b. Persamaan gerak benda.
Persamaan gerak benda dapat diselesaikan dengan menggunakan
model PD (a), yaitu:
1
4 .
๐2๐ฆ
๐๐ก2 + 16๐ฆ = 0 โ ๐2๐ฆ
๐๐ก2 + 64๐ฆ = 0
๐ฆ (0) = 0,1; ๐๐ฆ
๐๐ก(0) = โ8
Langkah-langkah penyelesaiaa persamaan gerak tersebut adalah.
โข Persamaan karakteristik dari PD di atas๐2+ 64 = 0
โข Akar-akar persamaan karakteristik ๐ = ยฑ๐8
โข Solusi umum PD: ๐ฆ(๐ก) = ๐1 cos t + ๐2 sin t
โข ๐ฆ(0) = ๐1 = 1
โข ๐ฆโฒ(0)= 8c2 = -8
c2 = -1
sehingga gerak benda: ๐ฆ(๐ก) = cos t - sin t
c. Dalam mencari nilai dari amplitudo, sudut fasa, frekuensi dan periode
dapat diselesaikan dengan membentuk fungsi sinus/cosinus. Bentuk
umum persamaan satu sin/cos sistem gerak harmonic yaitu.
89
๐ฆ(๐ก) = ๐ ๐os (๐0t โ ๐)
=๐ ๐๐๐ (8t โ ๐)
Dengan:
R =โ๐12 + ๐1
2
tan๐ =๐2
๐1
๐ =๐0
2๐
T = 1/ ๐ = ๐0
2๐ = 2ฯโ
๐
๐
Sehingga:
Amplitudo R =โ12 + (โ1)2 =โ2
Frekuensi๐ =8
2๐=
4
๐
Periode T =4
๐
tan๐ = -1 (kuadran IV)
sudut fasa๐ = 7๐
4
๐ฆ(๐ก) = ๐ ๐os (๐0t โ ๐)
=๐ ๐๐๐ (8t โ ๐)
= โ2 ๐๐๐ (8t - 7๐
4)
Gambar 4 Ilustrasi Sudut Fasa pada Contoh Kasu
90
Gambar 5 Harmonik Benda pada Pegas, R =โ2, ๐ = 4
๐, ๐ =
7๐
4
4. Sistem Teredam Kurang (under damped), (๐ ๐ โ ๐๐๐ < ๐)
Solusi persamaan gerak benda pada system teredam kurang (under
damped) didapatkan jika ๐2 โ 4๐๐ < 0 dimana akar-akar persamaan
karakteristik adalah:
๐1,2 = โ๐ ยฑ ๐โ4๐๐ + ๐2
2๐
Persamaan solusinya adalah:
๐ฆ = ๐1๐(๐ผ+๐๐ฝ)๐ก + ๐2๐(๐ผโ๐๐ฝ)๐ก ๐๐๐๐๐๐ ๐ผ = โ๐
2๐, ๐ฝ =
โ(4๐๐ + ๐2
2๐
= ๐(โ๐+2๐)๐ก(๐ด๐๐๐ ๐ฝ๐ก + ๐ต๐ ๐๐๐ฝ๐ก)
Bentuk satu sinus/cosinus:
๐ฆ = ๐ ๐(โ๐/ 2๐) cos(๐ฝ๐ก โ ๐)
๐ = โ๐ด2 + ๐ต2
๐ก๐๐๐ =๐ต
๐ด
91
Gambar 6 Osilasi pada Gerak Benda BebasTeredam Kurang
Faktor kosinuscos(๐ฝ๐ก โ ๐) menyebabkan osilasi bernilai antara +1 dan -
1. Perioda osilasi jika bukan perioda asli atau sering disebut sebagai
perioda bayangan (quasi-period) atau perioda teredam (damped-period),
didefinisikan sebagai
๐๐ =2๐
๐ฝ=
2๐
โ(4๐๐โ๐2)
2๐
= 4๐๐
โ(4๐๐ โ ๐2)
Frekuensi dinyatakan sebagai frekuensi bayangan (quasi frequency) atau
teredam (damped-frequency), yaitu ๐๐ =๐ฝ
2๐. Sedangkan ๐ ๐(โ๐ /2๐)๐ก
disebut amplitude teredam (damped-amplitude).
5. Sistem Teredam Kritis (critically damped) (๐ ๐ = ๐๐๐)
Pada system teredam kritis๐2 = 4๐๐ sehingga akar-akar persamaan
karakteristik sama yaitu
๐1,2 = โ๐
2๐
92
Persamaan solusinya:
๐ฆ = (๐1 + ๐2๐ก)๐(โ
๐
2๐)๐ก
Gambar 7 Gerak Benda pada Sistem Gerak Bebas Terendam Kritis
(๐1, ๐2 ๐๐๐ ๐๐ก๐๐)
Gambar 8 Gerak Benda pada Sistem Gerak Bebas Terendam (๐2 ๐๐๐๐๐ก๐๐)
93
C. Latihan Soal
1. Tentukan lintasan orthogonal dari setiap keluarga kurva yang diberikan.
Dalam setiap kasus, sket salah beberapa anggota keluarga dan beberapa
lintasan orthogonal pada sumbu yang sama.๐๐ = ๐๐๐
2. Sebuah tangki berisi 20 kg garam yang dilarutkan dalam 5000 L air.
Larutan garam yang mengandung 0.03 kg garam per liter air memasuki
tangki dengan laju 25 L/menit. Larutan tetap teraduk rata dan dialirkan
keluar dari tangki dengan laju yang sama. Berapa banyak garam yang
terdapat dalam tangki setelah setengah jam?
3. Populasi penduduk di Amerika diketahui meningkat dengan laju yang
porposional dengan jumlah penduduk yang sekarang hidup. Dalam tahun
1790 jumlah penduduk Amerika 3.93 juta penduduk kemudian pada tahun
1890 jumlah penduduknya menjadi 62.95 juta jiwa. Perkirakan
pertumbuhan penduduk Amerika sebagai fungsi dari waktu!
4. Sebuah rangkaian listrik dihubungkan seri terdiri dari sumber tegangan V
volt, tahanan R ohm, dan inductor L henry. L, V, dan R konstanta. Berapa
besar arus i(t) jika diketahui pada t=0, i=0.
5. Diketahui suhu udara 450K, zat tertentu mendingin dari 370K ke 230K
dalam 10 menit! Cariah suhu zat tersebut setelah 40 menit!
6. Bila sebuah benda 5 kg diikat pada sebuah pegas yang tergantung
vertical dititik yang paling rendah P dan pegas itu bertambah panjang 6
cm. Benda 5 kg itu diganti dengan benda 20 kg. Selanjutnya, sistem ini
dibiarkan hingga titik seimbang. Jika benda 20 kg itu ditarik ke bawah
94
sejauh 1 kaki dan kemudian dilepaskan, Ilustrasikan titik paling rendah P
pada pegas itu (andaikan tidak ada hambatan dan gesekan lain).
7. Perhatikan suatu system pegas-massa tanpa gaya redam yang mana
gerakannya diberikan oleh:
๐2๐ฅ
๐๐ก2 + ๐02๐ฅ = ๐น0๐๐๐ ๐๐ก,
๐ฅ(0) = 0 , ๐ = ๐0
๐๐ฅ
๐๐ก(0) = 0
8. Suatu system pegas-massa yang mana gerakannya diberikan oleh ๐2๐ฅ
๐๐ก2 +
3๐๐ฅ
๐๐ก+ 2๐ฅ = 10 sin ๐ก. Ekspresikan jawaban anda dalam bentuk ๐๐ =
๐ด0 sin(๐ก โ โ ) untuk suatu konstanta A0 dan โ
95
โCinta itu adalah perasaan yang mesti ada pada tiap-tiap diri manusia, ia
laksana setitis embun yang turun dari langit, bersih, dan suci. Jika ia jatuh
pada tanah yang subur, di sana akan tumbuh kesucian hati, keikhlasan,
setia, budi pekerti yang tinggi dan lain-lain perangai terpuji.โ
Hamka
96
DAFTAR PUSTAKA
Agarwal, P., Baltaeva, U., & Alikulov, Y. (2020). Solvability of the boundary-
value problem for a linear loaded integro-differential equation in an infinite three-dimensional domain. Chaos, Solitons and Fractals, 140, 110108. https://doi.org/10.1016/j.chaos.2020.110108
Akรงa, H., Benbourenane, J., & Eleuch, H. (2019). The q-derivative and
differential equation. Journal of Physics: Conference Series, 1411(1). https://doi.org/10.1088/1742-6596/1411/1/012002
Bronson, Richard. Gabriel B Costa. (2007). Schaumโs Outlines: Persamaan
Diferensial. Jakarta:PT Gelora Aksara Pratama. Cortรฉs, J. C., Villafuerte, L., & Burgos, C. (2017). A Mean Square Chain Rule
and its Application in Solving the Random Chebyshev Differential Equation. Mediterranean Journal of Mathematics, 14(1), 1โ14. https://doi.org/10.1007/s00009-017-0853-6
Darmawijoyo. (2019). Persamaan Diferensial Biasa Suatu Pengantar.
Jakarta: Erlangga. Faradillah, A. (2016). Profil Berpikir Matematis Mahasiswa Calon Guru dalam
Menyelesaikan Masalah Persamaan Diferensial. 249โ252. Goode, S. W. (2000). Differential Equations and Linear Algebra. New Jersey:
Prentice Hall. Hadi, A. N., Djauhari, E., Supriatna, A. K., & Johansyah, M. D. (2019). Teknik
Penentuan Solusi Sistem Persamaan Diferensial Linear Non-Homogen Orde Satu. Matematika, 18(1), 29โ40. https://doi.org/10.29313/jmtm.v18i1.5079
Khan, H., Jarad, F., Abdeljawad, T., & Khan, A. (2019). A singular ABC-
fractional differential equation with p-Laplacian operator. Chaos, Solitons and Fractals, 129, 56โ61. https://doi.org/10.1016/j.chaos.2019.08.017
Nababan. (1987). Pendahuluan Persamaan Differensial Biasa. Jakarta.
Karunika Jakarta Universitas terbuka. Rahmat, B. (2015). Persamaan Diferensial Eksak, Universitas
Muhammadiyah Malang. Ross, S. L. (1998). Introduction to Differential Equations. New York: John
97
Wiley & Sons. Inc. Waluya, S. B. (2006). Persamaan Diferensial. Yogyakarta. Graha Ilmu. Wartono, W., & Suryani, I. (2020). The solution of nonlinear parabolic
equation using variational iteration method. Jurnal Matematika, Statistika Dan Komputasi, 16(3), 287. https://doi.org/10.20956/jmsk.v16i3.8468
Xu, Q., & Xu, Y. (2018). Extremely low order time-fractional differential
equation and application in combustion process. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 64, 135โ148. https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2018.04.021
98
Pengantar Persamaan Diferensial. Penulisan buku ini bertujuan untuk
membantu mahasiswa memahami materi-materi persamaan diferensial melalui
pembahasan di buku maupun di video pembelajaran yang tersedia pada
barcode. Buku ini juga akan memberikan informasi mengenai Persamaan
Diferensial Implisit dan Eksplisit, Persamaan Diferensial Orde Satu, Persamaan
Diferesial Orde Dua, Transformasi Laplace, dan Aplikasi Persamaan Diferensial
pada Kehidupan Sehari-hari.