PENGOPTIMUMAN PADA MASALAH PEMROGRAMAN LINEAR … · Kata kunci: pemrograman linear, koefisien...
-
Upload
truongphuc -
Category
Documents
-
view
241 -
download
0
Transcript of PENGOPTIMUMAN PADA MASALAH PEMROGRAMAN LINEAR … · Kata kunci: pemrograman linear, koefisien...
i
PENGOPTIMUMAN PADA MASALAH PEMROGRAMAN LINEAR
DENGAN KOEFISIEN INTERVAL
ANA FARIDA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2011
i
ABSTRAK
ANA FARIDA. Pengoptimuman pada Masalah Pemrograman Linear dengan Koefisien Interval.
Dib imbing o leh PRAPTO TRI SUPRIYO dan NUR ALIATININGTYAS.
Pada beberapa masalah aplikasi pemrograman linear (PL), koefisien pada model seringkali
tidak bisa ditentukan secara tepat. Salah satu metode dalam menyelesaikan masalah PL in i adalah
dengan menggunakan pendekatan interval, dimana koefisien tak tentu tersebut diubah menjadi
bentuk interval. Bentuk PL in i dinamakan Linear Programming with Interval Coefficient (LPIC).
Koefisien berbentuk interval menandakan perluasan toleransi (atau daerah) dimana parameter
konstanta bisa diterima dan memenuhi model LPIC. Pada karya ilmiah in i akan dibahas salah satu
metode dalam menyelesaikan LPIC yang telah dikembangkan oleh JW Chinneck dan K Ramadan
(2000). Masalah LPIC memiliki fungsi objektif dan kendala persamaan atau pertidaksamaan yang
berkoefisien interval. Solusi optimum dibagi menjad i dua, yaitu best optimum dan worst optimum.
Dalam kasus minimisasi, best optimum adalah solusi yang memiliki nilai fungsi objektif terkecil,
sedangkan worst optimum adalah solusi yang memiliki n ilai fungsi objektif terbesar. Solusi
optimum pada LPIC didapatkan dengan mencari versi khusus dari fungsi objektif dan kendala
yang mengoptimumkan model, yaitu dipilih suatu nilai spesifik (nilai ekstrim) pada koefisien
interval yang membuat model LPIC tersebut optimum, sehingga pemecahan masalah LPIC
diperoleh dengan menyelesaikan PL yang mengoptimumkan model LPIC.
Kata kunci: pemrograman linear, koefisien interval, optimisasi.
ii
ii
ABSTRACT
ANA FARIDA. Optimization in Linear Programming with Interval Coefficients Problems.
Supervised by PRAPTO TRI SUPRIYO and NUR ALIATININGTYAS.
On some applications of linear programming problems (LP), the coefficient on the model
often can not be determined precisely. One method to solve this LP problem is to use an interval
approach, where uncertain coefficients are transformed into the form of intervals. LP form is
called Linear Programming with Interval Coefficient (LPIC). Interval coefficient indicates shaped
expansion of tolerance (or regions) where the constant parameters can be accepted and fulfilled the
LPIC model. One of the methods in solving LPIC has been developed by JW Chinneck and K
Ramadan (2000). LPIC prob lems have objective functions and equations or inequalities constraints
which their coefficients are intervals. The optimum solutions are divided into two solutions, best
optimum solution and worst optimum solution. In the case of minimizat ion, best optimum is the
solution that has the smallest objective function value, while the worst optimum is the solution that
has the largest objective function value. The optimum solution to the LPIC obtained by seeking a
special version of the objective function and constraints that optimize model, which is selected a
specific value (extreme value) on the interval coefficients that make LPIC model is optimum.
Therefore, solution is obtained by solving LP that optimize LPIC model.
Keywords: linear programming, interval coefficient, optimizat ion.
iii
iii
PENGOPTIMUMAN PADA MASALAH PEMROGRAMAN LINEAR
DENGAN KOEFISIEN INTERVAL
ANA FARIDA
Skripsi
sabagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2011
iv
iv
Judul Skripsi : Pengoptimuman pada Masalah Pemrograman Linear dengan
Koefisien Interval Nama : Ana Farida
NIM : G54053213
Menyetujui,
Pembimbing I Pembimbing II
Drs.Prapto Tri Supriyo, M.Kom. Dra. Nur Aliatiningtyas, MS.
NIP. 19630715 199002 1 002 NIP. 19610104 198803 2 002
Mengetahui,
Ketua Departemen Matematika
Dr. Berlian Setiawaty, MS.
NIP 19650505 198903 2 004
Tanggal Lulus:
v
v
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah Subhanallahu ta’ala atas segala nikmat,
petunjuk, dan pertolongan-Nya sehingga penulisan skripsi in i berhasil diselesaikan.
Tema yang dipilih penulis adalah Riset Operasi dengan judul Pengoptimuman pada Masalah
Pemrograman Linear dengan Koefisien Interval. Skripsi ini merupakan syarat untuk
menyelesaikan studi pada Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam, Institut Pertanian Bogor. Penulis mengucapkan terima kasih kepada:
1. Bapak Drs.Prapto Tri Supriyo, M.Kom. dan Ibu Dra. Nur Aliatin ingtyas, MS selaku dosen
pembimbing skripsi atas bimbingan, arahan, waktu, kesabaran dan ilmu pengetahuan yang
telah diberikan selama penyusunan skrips i in i.
2. Bapak Dr.Ir. Amril Aman, Msc. selaku dosen penguji skripsi atas saran dan masukan yang
diberikan kepada penulis.
3. Keluargaku tercinta: bapak, Ibu, kakak, adik dan seluruh keluarga besar yang telah
memberikan doa, dukungan dan kasih sayangnya.
4. Seluruh dosen Matematika FMIPA IPB yang telah memberikan ilmu yang bermanfaat bagi
penulis.
5. Staf TU Matematika, Pak Yono, Bu Ade, Mas Heri, Bu Susi yang telah mengurusi segala
administrasi.
6. Rizky, Nurus dan Fani selaku pembahas yang telah memberikan bantuan, saran dan kritik
kepada penulis.
7. Salma, Fitri, Manda dan Lia atas persahabatan, doa, nasihat, semangat dan dukungannya
selama ini.
6. Penghuni Nexuz House: Fety, Kak Sirri, Lusi, Devi, Sarah, Indah, Widy, Saly, Citra, Tyas
dan Mutia atas kebersamaan, dukungan dan semangat yang diberikan.
7. Teman-teman Math 42: Novi, Mira, Lina, Yuni, Zil, Lela dan seluruh teman-teman lainnya
yang tidak bisa disebutkan satu-persatu.
8. Adik-adik Math 43 dan 44 atas segala kebersamaan dan bantuannya.
9. Kak Sri, Sofi, Weni, Era, Mia dan Novy yang telah memberi semangat dan dukungan kepada
penulis.
Penulis menyadari bahwa dalam tulisan ini masih terdapat kekurangan dan jauh dari
kesempurnaan. Oleh karena itu, dibutuhkan krit ik dan saran yang membangun dari pemb aca.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya matematika
dan menjad i inspirasi bagi penelit ian-penelit ian selanjutnya.
Bogor, Oktober 2011
Ana Farida
vi
vi
RIWAYAT HIDUP
Penulis merupakan anak keempat dari lima bersaudara, puteri dari pasangan Bapak Abdul
Ghofar dan Ibu Mahmudah. Penulis dilahirkan di Malang pada tanggal 19 Juli 1987. Pendidikan
TK ditempuh pada tahun 1991 di TK Salafiyah Gondanglegi. Pada tahun1993 penulis melanjutkan
sekolah di SDI Salafiyah Gondanglegi dan menyelesaikannya pada tahun 1999. Setelah
menyelesaikan pendidikan sekolah dasar, penulis melan jutkan pendidikan d i MTsN 3 Malang pada
tahun 1999 sampai 2002. Pada tahun 2002 penulis melanjutkan pendidikan menengah atas di
MAN 3 Malang.
Pada tahun 2005, penulis melan jutkan pendidikan di Institut Pertanian Bogor. Penulis
diterima d i Tingkat Persiapan Bersama (TPB) Institut Pertanian Bogor melalu i jalur Seleksi
Penerimaan Mahasiswa Baru (SPMB). Pada tahun 2006 penulis diterima di Departemen Geofisika
dan Meteorologi, setahun kemudian pindah jurusan ke Departemen Matematika, Fakultas Ilmu
Pengetahuan Alam dan Matematika.
Selama mengikuti kegiatan perku liahan, penulis menjadi pengajar di b imbingan belajar d i
Bogor. Pada tahun 2009 dan 2010 penulis memperoleh beasiswa Bantuan Belajar Mahasiswa
(BBM).
vii
vii
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL …………………………………………………………………………. viii
DAFTAR GAMBAR ……………………………………………………………………… viii
DAFTAR LAMPIRAN …………………………………………………………………...... viii
I PENDAHULUAN ……………………………………………………………………… 1
1.1 Latar Belakang …………………………………………………………………… 1
1.2 Tujuan ………………………………………………………………………………. 1
II LANDASAN TEORI ………………………………………………………………… 1
III PEMBAHASAN ………………………………………………………………………... 5
3.1 LPIC dengan kendala pertidaksamaan interval ……………………………………… 7
3.2 LPIC dengan kendala persamaan interval …………………………………………… 13
IV STUDI KASUS DAN PENYELESAIANNYA ………………………………………… 18
V SIMPULAN DAN SARAN ……………………………………………………………… 23
5.1 Simpulan ……………………………………………………………………………… 23
5.2 Saran ………………………………………………………………………………… 23
DAFTAR PUSTAKA ……………………………………………………………………….. 24
LAMPIRAN ………………………………………………………………………………… 25
viii
viii
DAFTAR TABEL
Halaman
1 Susunan Zat Gizi pada Pakan Ayam dan Kadar Min imum Zat Gizi ………………… 19
2 Batasan Pakan dalam Ransum dan Harga Pakan Ayam .............................................. 19 3 Pemecahan Masalah Pembelian Pakan Ternak Ayam ................................................. 23
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1 Ilustrasi himpunan konveks dan bukan himpunan konveks .......................................... 3
2 IS pada Contoh 3 ......................................................................................................... 5
3 IIS pada Contoh 3 ........................................................................................................ 6
4 Daerah fisibel C pada Contoh 3 .................................................................................... 6
5 IS pada Contoh 4 ......................................................................................................... 6
6 IIS pada Contoh 4 ........................................................................................................ 6
7 Daerah fisibel III SS pada Contoh 4 ........................................................................ 6
8 IS dan IIS pada Contoh 5 ............................................................................................ 7
9 Ilustrasi irisan himpunan solusi dua pertidaksamaan ( S ) .............................................. 8
10 Ilustrasi gabungan himpunan solusi dua pertidaksamaan ( S ) ....................................... 8
11 S pada Contoh 6 ................................................................ ........................................... 8
12 S pada Contoh 6 ............................................................................................................ 8
13 Daerah fisibel solusi best optimum pada Contoh 7 ........................................................ 11
14 Daerah fisibel solusi worst optimum pada Contoh 7 ...................................................... 11
15 Daerah fisibel LPIC pada Contoh 7 ....................................................... ........................ 12
16 Daerah fisibel pada Contoh 10 ..................................................................................... 13
17 Daerah fisibel pada Contoh 11 ..................................................................................... 13
18 Daerah fisibel solusi best optimum pada Contoh 12 ...................................................... 16
19 Daerah fisibel solusi worst optimum pada Contoh 12 .................................................... 18
20 Daerah fisibel LPIC pada Contoh 12 ............................................................................ 18
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1 Syntax Program LINGO 8.0 untuk Menyelesaikan Masalah LPIC dengan Kendala
berbentuk Pertidaksamaan Interval …………………………………………………… 26
2 Syntax Program LINGO 8.0 untuk Menyelesaikan Masalah LPIC dengan Kendala
berbentuk Persamaan interval ……………………………………………………… 28
3 Syntax Program LINGO 8.0 untuk Menyelesaikan Studi Kasus Masalah LPIC …… 29
1
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Pada beberapa masalah aplikasi
pemrograman linear (PL), koefisien pada
model seringkali t idak bisa ditentukan secara
tepat sehingga biasanya dibuat dalam
perkiraan. Salah satu metode dalam
menyelesaikan masalah PL in i adalah dengan
menggunakan pendekatan interval, dimana
koefisien tak tentu tersebut diubah menjadi
bentuk interval. Bentuk PL ini dinamakan
Linear Programming with Interval Coefficient
(LPIC). Koefisien berbentuk interval
menandakan perluasan toleransi (atau daerah)
dimana parameter konstanta bisa diterima dan
memenuhi model LPIC.
Pada awalnya, LPIC tidak banyak
dibahas, penelitian sebelumnya lebih
memusatkan pada kasus khusus tertentu,
misalkan variabel 0-1 atau kasus PL dengan
koefisien interval pada fungsi objektif saja.
Topik LPIC ini d iperkenalkan secara luas
pada tahun 1960-1980, dimulai dari model
kendala berbentuk upper-bound dan lower-
bound ( unn cxaxaxac ...22111 ).
Meskipun tidak berhubungan dengan LPIC,
model in i memiliki kesamaan yaitu model
kendala tersebut dibatasi titik ekstrim.
Shaocheng (1994) mentransformasikan
LPIC menjad i dua PL yang memiliki
karakteristik khusus. Salah satu PL memiliki
daerah fisibel terbesar (largest possible
feasible region) dan versi terbaik pada fungsi
objektif (most favourable version of objective
function ) untuk menemukan solusi optimum
terbaik yang mungkin (best possible optimum
solution). Sedangkan PL lainnya memiliki
daerah fisibel terkecil (smallest possible
feasible region) dan versi baik yang terendah
pada fungsi objektif (least favourable version
of objective function) untuk menemukan
solusi optimum terburuk yang mungkin (worst
possible optimum solution). Metode
Shaocheng ini mengatasi masalah LPIC
dengan syarat: (1) dibatasi variabel tak negatif
saja, dan (2) hanya mengatasi kendala
pertidaksamaan saja.
Pada karya ilmiah in i akan dibahas salah
satu metode dalam menyelesaikan LPIC yang
telah dikembangkan oleh JW Chinneck dan K
Ramadan (2000). Metode in i merupakan
generalisasi dari metode Shaocheng, yaitu
dengan menambahkan kendala persamaan
interval dan serta variabel tak positif pada
model LPIC.
1.2 Tujuan
Tujuan dari karya ilmiah in i adalah
mengkaji metode pemecahan masalah LPIC
secara teoritis dan mengimplementasikannya
dalam kasus nyata.
II LANDASAN TEORI Definisi 1 (Fungsi Linear)
Misalkan ),....,,( 21 nxxxf adalah fungsi
dalam variabel-variabel nxxx ,....,, 21. Fungsi
),....,,( 21 nxxxf dinamakan fungsi linear jika
dan hanya jika ada konstanta nccc ,...,, 21 ,
nnn xcxcxcxxxf ....),....,,( 221121 .
(Winston, 1995)
Sebagai contoh, 2121 2),( xxxxf
adalah fungsi linear, sedangkan 22121 ),( xxxxf bukan fungsi linear.
Definisi 2 (Persamaan dan Pertidaksamaan
Linear)
Untuk sembarang fungsi linear
),....,,( 21 nxxxf dan sembarang bilangan b,
suatu persamaan bxxxf n ),....,,( 21 disebut
persamaan linear dan bxxxf n ),....,,( 21 atau
bxxxf n ),....,,( 21disebut pertidaksamaan
linear.
(Winston, 1995)
Pemrograman Linear
Pemrograman linear (PL) adalah masalah
optimisasi yang memiliki karakteristik sebagai
berikut:
1. Tujuan masalah tersebut adalah
memaksimumkan atau memin imumkan
fungsi linear dari sejumlah variabel
keputusan. Fungsi tersebut dinamakan
fungsi objektif.
2. Nilai variabel-variabel keputusan harus
memenuhi kendala, yang berupa
persamaan linear atau pertidaksamaan
linear.
2
3. Ada batasan tanda pada tiap variabel.
Untuk sembarang variabel ix ,
pembatasan tanda menentukan ix harus
tak negatif 0ix atau tidak dibatasi
tandanya (unrestricted in sign).
(Winston, 1995)
Definisi 3 (Bentuk Standar PL)
Suatu PL memiliki bentuk standar
sebagai berikut:
min xcTz
terhadap kendala bAx (1 )
0b dan 0x
dimana x dan c adalah vektor berukuran n,
vektor b berukuran m dan A berupa matriks
berukuran m x n yang disebut juga matriks
kendala dengan nm .
(Nash dan Sofer, 1996)
Contoh 1
Misalkan diberikan PL standar sebagai
berikut:
Min 21 2xxz
terhadap kendala:
10282
32
51
421
321
xxxxx
xxx (2)
dengan 0,,,, 54321 xxxxx
Fungsi objektif adalah 21 2xxz
Variabel keputusan adalah 54321 ,,,, xxxxx
1083
,
10002
01021
00121
0
00
21
,
5
4
3
2
1
bA
cx
x
x
x
x
x
Solusi Pemrograman Linear
Suatu masalah PL dapat diselesaikan
dalam berbagai tekn ik, salah satunya adalah
metode simpleks. Metode ini dapat
menghasilkan suatu solusi optimum bagi
masalah PL dan telah dikembangkan Dantzig
sejak tahun 1947, dan dalam
perkembangannya merupakan metode yang
paling umum digunakan untuk menyelesaikan
PL. Metode ini berupa metode iteratif untuk
menyelesaikan PL berbentuk standar.
Pada masalah PL (1), vektor x yang
memenuhi kendala bAx disebut solusi PL
(1). Misalkan matriks A dapat dinyatakan
sebagai NBA , dengan B adalah
matriks taksingular berukuran m x m yang
elemennya berupa koefisien variabel basis dan N adalah matriks berukuran m x (n-m) yang
elemennya berupa koefisien variabel nonbasis
pada matriks kendala. Matriks B disebut
matriks basis untuk PL (1).
Misalkan x d inyatakan dengan vektor
N
B
x
xx , dengan Bx adalah vektor variabel
basis dan Nx adalah vektor variabel nonbasis,
maka bAx dapat dinyatakan sebagai
bNxBx
x
xNBAx
NB
N
B
(3 )
Karena matriks B adalah matriks taksingular,
maka B memiliki invers, sehingga Bx dapat
dinyatakan sebagai:
N11
B NxBbBx (4)
Kemudian, fungsi objektifnya berubah
menjadi:
min NT
NBT
B xcxcz
Definisi 4 (Solusi Basis) Solusi dimana (n-m) variabel bern ilai nol
disebut solusi basis. Variabel yang tidak
bernilai nol disebut variabel basis dan variabel
yang bernilai nol disebut variabel nonbasis.
(Rao,1984)
Solusi dari suatu PL disebut solusi basis
jika memenuhi syarat berikut:
i. solusi tersebut memenuhi kendala PL;
ii. kolom-kolom dari matriks kendala yang
berpadanan dengan komponen tak nol
dari solusi tersebut adalah bebas linear.
(Nash dan Sofer, 1996)
Definisi 5 (Solusi Fisibel)
Sembarang solusi yang memenuhi
kendala bAx dan 0x disebut solusi
fisibel.
(Rao,1984)
Definisi 6 (Solusi Fisibel Basis)
Vektor x disebut solusi fisibel basis jika x
merupakan solusi basis dan 0x .
(Nash dan Sofer, 1996)
Ilustrasi solusi basis dan solusi fisibel basis
diberikan dalam Contoh 2.
3
Contoh 2
Misalkan diberi PL berikut:
Min 21 xxz
terhadap kendala:
10
83
32
51
421
321
xx
xxx
xxx
(5 )
dengan 0,,,, 54321 xxxxx ,
maka d iperoleh:
1083
,
10001
01031
00121
bA
Misalkan dip ilih T
543 xxxBx dan
T21 xxNx , maka matriks basisnya
adalah
100010001
B
0
32
1
11
N
TT011Bc ,
TT00Nc
Dengan menggunakan matriks basis di atas,
maka d iperoleh T
00Nx
T1083bBx
1B (6 )
11bBc1T
Bz
Solusi (6) merupakan solusi basis, karena
memenuhi kendala pada PL (5) dan kolom-
kolom pada matriks kendala yang berpadanan
dengan komponen tak nol dari (6) yaitu B,
bebas linear (kolom yang satu bukan
merupakan kelipatan dari kolom yang lain).
Solusi (6) juga merupakan solusi fisibel basis,
karena nilai-nilai variabelnya leb ih dari atau
sama dengan nol.
Definisi 7( Daerah Fisibel)
Daerah fisibel suatu PL adalah himpunan
semua titik yang memenuhi seluruh kendala
PL dan batasan tanda PL .
(Winston, 1995)
Definisi 8 (Solusi Optimum)
Solusi optimum suatu PL adalah solusi
fisibel yang mengoptimumkan fungsi objektif.
(Rao,1984)
Definisi 9 ( Himpunan Konveks)
Misalkan S adalah himpunan titik.
Himpunan S disebut himpunan konveks jika
segmen garis yang menghubungkan
sembarang titik-t itik dalam S seluruhnya
termuat dalam S. Dengan kata lain, himpunan nRS disebut himpunan konveks, jika
untuk tiap Sxx 21, berlaku
Sxx 21 )1( dengan 1,0 .
(Winston, 1995)
Ilustrasi himpunan konveks dan bukan
himpunan konveks diberikan pada gambar
dibawah in i.
(i) (ii)
(iii) (iv)
Gambar 1. Ilustrasi himpunan konveks dan
bukan himpunan konveks.
Pada Gambar 1, lingkaran (i) dan persegi
(ii) merupakan himpunan konveks, sedangkan
bidang (iii) dan cincin (iv) bukan himpunan
konveks.
Teorema 1
Daerah fisibel dari PL adalah konveks.
(Rao,1984)
Bukt i:
Daerah fisibel S dari PL standar
didefinisikan sebagai }0,|{ xbAxxS .
Misalkan t itik 1x dan 2x termasuk dalam
himpunan S, maka
0, 11 xbAx (1)
0, 22 xbAx (2)
Jika persamaan (1) dikalikan dengan
dan persamaan (2) dikalikan dengan 1 ,
10 dan kemudian keduanya
dijumlahkan, maka didapat:
(3) ])1([
))1((])1([
)1(])[1( ][
)1( ])[1(
][
21
21
21
2
1
bxxA
bxxA
bbAxAx
bAx
bAx
Misalkan 21 )1( xxx
4
Persamaan (3) dapat ditulis sebagai bAx .
Berdasarkan defin isi, maka Sx atau
Sxx 21 )1( .
Jadi }0,|{ xbAxxS adalah konveks.
Teorema 1 terbukti.
Definisi 10 (Titik Ekstrim)
Titik dari himpunan konveks yang tidak
berada di dalam segmen garis yang
menghubungkan dua titik lain di dalam
himpunan tersebut dinamakan t itik ekstrim.
Jika Sx adalah titik ekstrim, maka tidak
ada Sxx 21, sehingga Sxx 21 )1(
untuk )1,0( . Dengan kata lain, jika x
titik ekstrim dan Sxx 21 )1( untuk
)1,0( maka 21 xxx .
(Rao, 1984)
Teorema 2
Semua solusi fisibel basis adalah titik ekstrim
dari himpunan konveks dari solusi fisibel.
(Rao, 1984)
Bukt i:
Misalkan ]0,..,0,,,....,,[ 121 mm bbbbx
adalah suatu solusi fisibel basis untuk PL.
Dari Teorema 1 diketahui bahwa daerah
fisibel adalah himpunan konveks.
Misalkan Sx bukan tit ik ekstrim, maka
ada Szy, dimana zy sedemikian
sehingga zyx )1( , 10 (4)
Diketahui bahwa
]0,..,0,,,....,,[ 121 mm bbbbx
],..,,,....,,[ 121 nmm yyyyyy
],..,,,....,,[ 121 nmm zzzzzz
untuk 1mj diketahui 0jx dan dari
persamaan (4)
jjj zyx )1(
dimana 0,0,0λ jj zy . Hal ini hanya
akan terjadi jika 0jy dan 0jz . Selain itu
karena x, y dan z fisibel maka
bAx
bAy (5)
bAz
Misalkan ja kolom ke-j dari matriks A
maka persamaan (5) dapat ditulis sebagai
berikut:
ba j j
n
j
x
1
ba j j
n
j
y
1
(6)
ba j j
n
j
z
1
karena untuk 1mj , elemen 0jx ,
0jy dan 0jz maka persamaan (6)
secara individu dapat ditulis
ba j j
m
j
x
1
(7.a)
ba j j
m
j
y
1
(7.b )
ba j j
m
j
z
1
(7.c)
Jika persamaan (7.b) dikurangi oleh
persamaan (7.c) menghasilkan
0)(
0
1
11
jj
m
j
j
m
j
j
m
j
zy
zy
j
jj
a
aa
Karena untuk mj , ja adalah kolom
dari matriks A yang bersesuaian dengan
variabel basis maka ja ( mj ,...,1 ) saling
bebas linear (Definisi 4).
Karena ja saling bebas linear, maka
0)(
1
jj
m
j
zyja menyebabkan 0jj zy
untuk mjj ,...,1, . Akibatnya jj zy ,
mj1 .
Seperti telah diketahui sebelumnya
0jj zy untuk njm 1 , maka
zy . Hal ini kontradiksi dengan fakta yang
diasumsikan bahwa zy . Karena itu x
haruslah titik ekstrim. Terbukti.
5
Definisi 11 (Bilangan Interval)
Bilangan interval pada garis bilangan
adalah himpunan seluruh titik (bilangan) di
antara dua titik u jung tertentu pada garis
bilangan .
(Jeffrey, 2005)
Definisi 12 (Interval tertutup)
Misalkan ),( ba dan ba . Interval
tertutup ],[ ba dari a ke b adalah
}|{ bxax .
(Fraleigh,1969)
III PEMBAHASAN
Masalah LPIC memiliki koefisien
interval, baik pada fungsi objektif maupun
kendala. Salah satu cara untuk menyelesaikan
masalah LPIC ini adalah dengan
menggunakan metode yang dikembangkan
oleh JW Chinneck dan K Ramadan (2000).
Metode ini merupakan generalisasi dari
metode Shaocheng (1994), yaitu diperluas
dengan: (i) memasukkan variabel yang tidak
memiliki batasan tanda atau variabel urs
(unrestricted in sign) pada x0
(variabel yang
tidak terkait koefisien interval); (ii)
memasukkan variabel tak positif, baik yang
terkait dalam interval atau tidak; dan (iii)
memasukkan kendala berbentuk persamaan.
Tujuan LPIC adalah menentukan solusi
best optimum dan worst optimum.
Permasalahan LPIC yang akan dibahas hanya
masalah min imisasi. Jika model berupa kasus
maksimisasi, maka model tersebut diubah
menjadi kasus min imisasi dengan cara
mengalikan fungsi objektif dengan (-1). Pada
kasus min imisasi, best optimum adalah solusi
optimum dengan nilai fungsi objektif terkecil
dan worst optimum adalah solusi optimum
dengan nilai fungsi objekt if terbesar.
Solusi optimum pada LPIC didapatkan
dengan mencari versi khusus dari fungsi
objektif dan kendala yang mengoptimumkan
model, yaitu dipilih suatu nilai spesifik (nilai
ekstrim) pada koefisien interval yang
membuat model LPIC tersebut optimum.
Suatu kendala berkoefisien interval akan
memiliki kendala spesifik (kendala dengan
koefisien tentu) berjumlah tak hingga. Jadi
untuk memperoleh solusi optimum, dipilih
versi ekstrim kendala yang koefisiennya
berupa kombinasi batas bawah dan batas atas
koefisien interval.
Metode LPIC menyandarkan hubungan
antar daerah fisibel dari kendala-kendala
spesifik. Misalkan C adalah himpunan
kendala dengan koefisien interval, IC dan
IIC adalah dua himpunan kendala berbeda
yang dibangkitkan dari C dengan
menggunakan versi ekstrim C . Daerah fisibel
yang memenuhi kendala IC disebut IS ,
sedangkan daerah fisibel yang memenuhi
kendala IIC disebut IIS . Daerah fisibel
tersebut memiliki hubungan sebagai berikut:
1. III SS atau III SS , yaitu suatu
daerah fisibel seluruhnya termuat
dalam daerah fisibel lainnya.
2. III SS dan III SS , yaitu
suatu daerah fisibel memotong
sebagian daerah fisibel lainnya.
3. III SS , yaitu tidak ada tumpang
tindih (overlap) pada daerah-daerah
fisibel.
Contoh 3:
Misalkan C adalah himpunan kendala
sebagai berikut:
0,
]3,2[
]2,1[22
21
21
21
xx
xxb
xxa
C .
Jadi dapat diambil kendala spesifik IC dan
IIC sebagai berikut:
0,
2
222
21
21
21
xx
xxb
xxa
C I
I
I
0,
3
122
21
21
21
xx
xxb
xxa
C II
II
II
Gambar 2. IS pada Contoh 3.
6
Gambar 3. IIS pada Contoh 3.
maka III SS , sebagaimana diilustrasikan
oleh Gambar 4.
Gambar 4. Daerah fisibel C pada Contoh 3.
Contoh 4:
Misalkan C adalah himpunan kendala
sebagai berikut:
0,
4]4,3[
2]2,1[
21
21
21
xx
xxb
xxa
C .
Jadi dapat diambil kendala spesifik IC dan
IIC sebagai berikut:
0,
43
22
21
21
21
xx
xxb
xxa
C I
I
I
0,
44
2
21
21
21
xx
xxb
xxa
C II
II
II
Gambar 5. IS pada Contoh 4.
Gambar 6. IIS pada Contoh 4.
maka III SS dan III SS sebagaimana
diilustrasikan oleh Gambar 7.
Gambar 7. Daerah fisibel III SS pada
Contoh 4.
Contoh 5:
Misalkan himpunan kendala C sebagai
berikut:
2
2
1]1,1[]1,1[
2
1
21
xc
xb
xxa
C .
Jadi dapat diambil kendala spesifik IC dan
IIC sebagai berikut:
2
2
1
2
1
21
xc
xb
xxa
CI
I
7
2
2
1
2
1
21
xc
xb
xxa
CII
II
maka III SS sebagaimana
diilustrasikan pada Gambar 8.
Gambar 8. IS dan IIS pada Contoh 5.
Permasalahan model LPIC dibagi
menjadi dua, yaitu menyelesaikan LPIC
dengan kendala berupa pertidaksamaan
interval dan menyelesaikan LPIC dengan
kendala persamaan interval.
3.1 LPIC dengan kendala pertidaksamaan
interval
Bentuk umum model LPIC dengan
kendala berupa pertidaksamaan interval
adalah sebagai berikut:
Min
n
j
jjj xccZ
1
,
terhadap: n
j
iijijij bbxaa
1
, , , (1)
untuk mi ,...,1
,jsi0 xxjx
dan 0jx
untuk
sixjx . )(,,,,, Ibbaacc iiijijjj dimana )(I adalah himpunan seluruh
bilangan interval pada .
Keterangan:
x = ),....,,,( 321 nxxxx , dimana jx adalah
variabel ke-j.
x0
= variabel-variabel yang yang tidak
terkait dengan koefisien interval,
baik variabel tak negatif ( 0jx )
atau variabel tak positif ( 0jx )
maupun variabel urs (unrestricted in
sign).
xsi
= variabel-variabel yang terkait dengan
koefisien interval, berupa variabel
tak negatif atau variabel tak positif.
ija = batas atas koefisien interval dari
variabel ke-j pada kendala ke-i.
ija = batas bawah koefisien interval dari
variabel ke-j pada kendala ke-i.
ib = batas bawah koefisien interval dari
nilai ruas kanan/RHS (Right Hand Side)
pada kendala ke-i.
ib = batas bawah koefisien interval dari
nilai ruas kanan/RHS pada kendala
ke-i.
jc = batas atas koefisien interval variabel
ke-j pada fungsi objektif.
jc = batas bawah koefisien interval
variabel ke-j pada fungsi objekt if.
Tiap pertidaksamaan i pada (1) yang
memiliki p koefisien interval dapat
ditransformasikan menjadi p2
pertidaksamaan ekstrim yang berbeda.
Pertidaksamaan tersebut diperoleh dengan
cara mengombinasikan nilai batas atas dan
batas bawah koefisien. Solusi optimum
diperoleh dengan memilih satu versi
pertidaksamaan ekstrim dari p2
pertidaksamaan ekstrim yang
mengoptimumkan fungsi objektif. Formula
pertidaksamaan khusus yang diperoleh dari
pengaturan tiap batas bawah atau batas atas
koefisien interval dinamakan formula
karakteristik.
Pandang satu pertidaksamaan ke-i pada
(1) dan kS adalah himpunan solusi
pertidaksamaan ekstrim ke-k diantara p2
pertidaksamaan ekstrim yang berbeda dari i.
Misalkan p
kkSS
2
1 adalah gabungan dari
seluruh himpunan solusi pertidaksamaan
ekstrim dan p
kkSS
2
1adalah irisan dari
seluruh himpunan solusi pertidaksamaan
ekstrim. Ilustrasi dari pengertian tersebut pada
dua
pertidaksamaan adalah sebagai berikut:
8
Gambar 9. Ilustrasi irisan himpunan solusi
dua pertidaksamaan ( S ).
Gambar10. Ilustrasi gabungan himpunan
solusi dua pertidaksamaan ( S ).
Definisi 1
Untuk setiap pertidaksamaan kendala pada
(1), jika ada suatu versi ekstrim pada formula
karakteristik sedemikiran rupa sehingga
himpunan solusinya sama dengan S , maka
versi in i disebut dengan pertidaksamaan range
nilai maksimum. Sedangkan jika suatu versi
ekstrim pada formula karakteristik
sedemikiran rupa sehingga himpunan
solusinya sama dengan S , maka versi ini
disebut dengan disebut pertidaksamaan range
nilai min imum.
Contoh 6:
]6,4[]5,2[3,1 21 xx , dimana 0, 21 xx .
Pertidaksamaan interval ini memiliki 3
koefisien interval sehingga dapat dipecah
menjadi 823 pertidaksamaan ekstrim :
(a) 42 21 xx (e) 423 21 xx
(b) 62 21 xx (f) 623 21 xx
(c) 45 21 xx (g) 453 21 xx
(d) 65 21 xx (h) 653 21 xx
Gambar 11. S pada Contoh 6.
Gambar 12. S pada Contoh 6.
Dapat dilihat dari Gambar 11 dan Gambar 12
bahwa 453| 212 xxxS , sehingga
pertidaksamaan 453 21 xx (g) disebut
pertidaksamaan range nilai maksimum.
Sedangkan 62| 212 xxxS
sehingga
pertidaksamaan 62 21 xx (b) disebut
pertidaksamaan range nilai minimum.
Teorema 1
Jika ada pertidaksamaan interval
bbxaa j
n
j
jj , ,
1
dimana si0
xxjx ,
0jx untuk
sixjx , maka bxa j
n
j
j
1
adalah pertidaksamaan range nilai maksimum
dan
n
j
jj bxa
1
adalah pertidaksamaan
range nilai minimum.
9
Bukt i:
Misalkan
n
j
jj bxa
1
adalah sembarang
versi khusus pertidaksamaan interval. Maka
untuk sembarang solusi khusus 0jx
dimana sixjx , kita mempunyai
n
j
n
j
jjjj xaxa
1 1
. Misalkan x memenuhi
n
j
jj bxa
1
, maka x memenuhi
n
j
jj bbxa
1
. Akibatnya x juga
memenuhi
n
j
jj bxa
1
,untuk
bbbb, .
Jadi terdapat sebuah titik x yang harus
memenuhi seluruh versi pertidaksamaan
interval lain secara bersamaan. Akibatnya,
berdasarkan Defin isi 1,
n
j
jj bxa
1
adalah
pertidaksamaan range nilai minimum.
Untuk sembarang solusi khusus 0jx
dimana sixjx , kita juga memiliki
n
j
n
j
jjjj bbxaxa
1 1
. Misalkan x
memenuhi
n
j
jj bxa
1
, maka x juga
memenuhi
n
j
jj bxa
1
. Akibatnya x
memenuhi
n
j
jj bxa
1
, untuk
bbbb, . Oleh karena itu, solusi x yang
memenuhi sembarang versi pertidaksamaan
interval juga akan dipenuhi oleh n
j
jj bxa
1
. Jadi berdasarkan Defin isi 1,
n
j
jj bxa
1
adalah pertidaksamaan range
nilai maksimum.
Akibat 1
Untuk 0jx
dimana sixjx , maka
bxa j
n
j
j
1
adalah pertidaksamaan range
nilai maksimum dan
n
j
jj bxa
1
adalah
pertidaksamaan range nilai minimum.
Bukt i:
Misalkan
n
j
jj bxa
1
adalah sembarang
versi khusus pertidaksamaan interval. Maka
untuk sembarang solusi khusus 0jx
dimana sixjx , kita mempunyai
n
j
n
j
jjjj xaxa
1 1
. Misalkan x memenuhi
n
j
jj bxa
1
, maka x juga memenuhi
n
j
jj bbxa
1
. Akibatnya x juga
memenuhi
n
j
jj bxa
1
,untuk
bbbb, .
Jadi terdapat sebuah titik x yang harus
memenuhi seluruh versi pertidaksamaan
interval lain secara bersamaan. Akibatnya,
berdasarkan Defin isi 1,
n
j
jj bxa
1
adalah
pertidaksamaan range nilai minimum.
Untuk sembarang solusi khusus 0jx
dimana sixjx , kita juga memiliki
n
j
n
j
jjjj bbxaxa
1 1
. Misalkan x
memenuhi
n
j
jj bxa
1
, maka x juga
memenuhi
n
j
jj bxa
1
. Akibatnya x
memenuhi
n
j
jj bxa
1
, untuk
bbbb, . Oleh karena itu, solusi x yang
memenuhi sembarang versi pertidaksamaan
interval juga akan dipenuhi oleh
10
n
j
jj bxa
1
. Jadi berdasarkan Defin isi 1,
n
j
jj bxa
1
adalah pertidaksamaan range
nilai maksimum.
Teorema 2
Jika j
n
j
jj xccZ
1
, adalah fungsi objektif
untuk 0jx dimana sixjx , maka
n
j
n
j
jjjj xcxc
1 1
untuk solusi x yang
diberikan.
Bukt i:
Diketahuti cc
dan 0jx dimana
sixjx , maka
jj xcxc . Untuk
nj ,...,2,1 dapat ditulis:
n
j
n
j
jjjj
nn
xcxc
xcxc
xcxc
xcxc
1 1
22
11
....
....
Jadi
n
j
n
j
jjjj xcxc
1 1
berlaku untuk solusi
x yang diberikan.
Akibat 2
Untuk 0jx , dimana sixjx , maka
n
j
n
j
jjjj xcxc
1 1
Bukt i:
Diketahuti cc
dan 0jx dimana
sixjx , maka
jj xcxc . Untuk
nj ,...,2,1 dapat ditulis:
n
j
n
j
jjjj
nn
xcxc
xcxc
xcxc
xcxc
1 1
22
11
....
....
Jadi
n
j
n
j
jjjj xcxc
1 1
berlaku untuk solusi
x yang diberikan.
Definisi 2
Untuk masalah min imisasi dengan 0jx
dimana sixjx
,
n
j
jj xc
1
dinamakan
fungsi objektif terbaik (most favourable
objective function) dan
n
j
jj xc
1
dinamakan
fungsi objektif terburuk (least favourable
objective function) .
Teorema 1 dan Teorema 2 menyediakan
perhitungan dalam mencari solusi best
optimum dan worst optimum LPIC, yaitu
dengan mengubah masalah LPIC asli menjadi
dua PL. Pemecahan masalah LPIC adalah
dengan menggunakan fungsi objektif terbaik
dan pertidaksamaan range nilai maksimum
untuk menentukan solusi best optimum.
Sedangkan untuk menentukan solusi worst
optimum, digunakan fungsi objektif terburuk
dan pertidaksamaan range nilai min imum
Algoritma 1: Penyelesaian LPIC dengan
kendala berupa pertidaksamaan interval.
Diberikan : min n
jjjj xccZ
1 , dengan
kendala n
jiijijij bbxaa
1,, , dimana
mi ,...,1 dan jx , )xx( 0 sijx .
1. Bentuk LPIC menjadi PL:
Min
n
j
jj xcz
1
', dimana
sixjx
Berdasarkan Teorema 2 cukup dipilih:
0,
0,'
jj
jj
jxc
xcc
terhadap:
11
n
j
iijij bxa
1
' , , dimana sixjx
Berdasarkan Teorema 1 cukup dipilih:
0,
0,'
jij
jij
ijxa
xaa
Dicari best optimum dengan
menyelesaikan PL diatas.
2. Bentuk LPIC menjadi PL:
Min
n
j
jj xcz
1
" , dimana sixjx
Berdasarkan Teorema 2 cukup dipilih:
0,
0,"
jj
jj
jxc
xcc
terhadap:
n
j
iijij bxa
1
," , dimana sixjx
Berdasarkan Teorema 1 cukup dipilih:
0,
0,"
jij
jij
ijxa
xaa
Dicari worst optimum dengan
menyelesaikan PL diatas.
Algoritma 1 menggambarkan metode
umum untuk mengatasi kasus min imisasi pada
LPIC dengan kendala yang memiliki batasan
saja. Jika kendala memiliki batasan
maka kendala tersebut dikalikan dengan (-1).
Contoh 7:
Selesaikan LPIC dengan kendala
pertidaksamaan interval berikut:
Min 21 ]4,2[]3,1[ xxZ
terhadap:
0,
4:
]7,6[]5,3[:
]1,2[:
5]4,2[:
]9,6[]6,4[]3,2[:
21
25
214
213
212
211
xx
xC
xxC
xxC
xxC
xxC
Dengan menggunakan Algoritma 1, maka
akan didapatkan solusi best optimum dari PL
sebagai berikut:
Min 21 2xxz
terhadap:
0,
4:
65:
2:
54:
663:
21
25
214
213
212
211
xx
xC
xxC
xxC
xxC
xxC
a
a
a
a
Kemudian diselesaikan menggunakan
softwere LINGO 8.0 sehingga diperoleh solusi
optimum 1,1 21 xx dan Z = 3.
Gambar 13. Daerah fisibel solusi best
optimum pada Contoh 7.
Sedangkan untuk solusi worst optimum, LPIC
tersebut diubah menjadi PL sebagai berikut:
Min 21 43 xxz
terhadap:
0,
4:
73:
1:
52:
942:
21
25
214
213
212
211
xx
xC
xxC
xxC
xxC
xxC
b
b
b
b
Kemudian diselesaikan menggunakan
softwere LINGO 8.0 sehingga diperoleh solusi
optimum 6.1,8.1 21 xx dan Z = 11.8.
Gambar 14. Daerah fisibel solusi worst
optimum pada Contoh 7.
Daerah fisibel untuk masalah LPIC di atas
diperlihatkan pada gambar berikut:
12
Gambar 15. Daerah fisibel LPIC pada
Contoh 7.
Sebagaimana PL b iasa, PL pada
Algoritma 1 memiliki 3 hasil yang mungkin,
yaitu: (i) t itik optimum finite bounded; (ii)
unboundedness; atau (iii) infeasibility,
akibatnya LPIC memiliki beberapa
kemungkinan berikut :
Jika solusi best optimum infeasible, maka
seluruh LPIC infeasible.
Contoh 8:
Min 21 3,1 xxZ
terhadap:
0,
]7,5[]2,1[:
]1,2[:
21
212
211
xx
xxC
xxC
Solusi best optimum pada masalah
LPIC d i atas adalah sebagai berikut:
Min 21 xxZ
terhadap:
0,
52:
2:
21
212
211
xx
xxC
xxC
a
a
Dengan menggunakan softwere LINGO
8.0, solusi PL tersebut adalah infeasible,
maka seluruh PL dari masalah LPIC di
atas juga akan menghasilkan solusi
infeasible.
Jika solusi worst optimum unbounded,
maka seluruh LPIC unbounded.
Contoh 9:
Min 21]2,1[ xxZ
terhadap:
0,
]8,5[]3,1[:
1]4,2[:
21
212
211
xx
xxC
xxC
Solusi worst optimum pada masalah
LPIC d i atas adalah sebagai berikut:
Min 212 xxZ
terhadap:
0,
8:
12:
21
212
211
xx
xxC
xxC
b
b
Dengan menggunakan softwere LINGO
8.0, solusi PL tersebut adalah
unbounded, maka seluruh PL dari
masalah LPIC di atas juga akan
menghasilkan solusi unbounded.
Jika solusi best optimum feasible dengan
nilai z dan worst optimum infeasible,
maka LPIC yang optimum memiliki
range antara z dan infeasibility.
Contoh 10:
Min 21 3,1 xxZ
terhadap:
0,
]7,2[]2,1[:
]1,3[]2,1[:
21
212
211
xx
xxC
xxC
Pada kendala 1C , koefisien interval
pada 2x bertanda negatif. Oleh karena itu,
kendala in i diubah terlebih dahulu
menjadi:
]1,3[]1,2[: 211 xxC
Solusi best optimum pada masalah
LPIC d i atas adalah sebagai berikut:
Min 21 xxZ
terhadap:
0,
22:
3:
21
212
211
xx
xxC
xxC
a
a
Dengan menggunakan softwere LINGO
8.0, solusi dari PL tersebut adalah
0,1 21 xx dan 1z .
Sedangkan solusi worst optimum
pada masalah LPIC di atas adalah sebagai
berikut:
Min 21 3xxZ
terhadap:
0,
7:
12:
21
212
211
xx
xxC
xxC
b
b
13
Dengan menggunakan softwere LINGO
8.0, solusi dari PL tersebut adalah
infeasible.
Jadi masalah LPIC tersebut memiliki
nilai optimum yang berada antara 1z
dan infeasibility. Daerah fisibel pada
solusi best optimum digambarkan sebagai
berikut:
Gambar 16. Daerah fisibel pada Contoh
10.
Jika solusi worst optimum feasible
dengan nilai z dan best optimum
unbounded, maka LPIC yang optimum
memiliki range antara dan z .
Contoh 11:
Min 21]3,1[ xxZ
terhadap:
0,
]7,5[]1,1[3:
14]1,2[:
21
212
211
xx
xxC
xxC
Solusi best optimum pada masalah
LPIC d i atas adalah sebagai berikut:
Min 21 xxZ
terhadap:
0,
53:
14:
21
212
211
xx
xxC
xxC
a
a
Dengan menggunakan softwere LINGO
8.0, solusi dari PL tersebut adalah
unbounded. Sedangkan solusi worst
optimum pada masalah LPIC d i atas
adalah sebagai berikut:
Min 213 xxZ
terhadap:
0,
73:
142:
21
212
211
xx
xxC
xxC
b
b
Dengan menggunakan softwere LINGO
8.0, solusi dari PL tersebut adalah
1.1,7.2 21 xx dan 7z .
Jadi masalah LPIC tersebut memiliki
nilai optimum yang berada antara
dan 7z . Daerah fisibel pada solusi
worst optimum digambarkan sebagai
berikut:
Gambar 17. Daerah fisibel pada
Contoh 11.
3.2 LPIC dengan kendala persamaan
interval
Bentuk umum model ini adalah sebagai
berikut:
Min
n
j
jjj xccZ
1
,
Dengan kendala n
j
iijijij bbxaa1
, , ,
(1)
untuk mi ,...,1
,jsi0 xxjx
dan 0jx
untuk
sixjx . )(,,,,, Ibbaacc iiijijjj dimana )(I adalah himpunan seluruh
bilangan interval pada .
Pencarian solusi best optimum dapat
diperoleh dengan menggunakan Teorema 3.
Sedangkan untuk mencari versi khusus
kendala persamaan interval yang memiliki
solusi best optimum digunakan Algoritma 2.
Pada Teorema 4 menjelaskan metode untuk
mencari solusi worst optimum.
14
Teorema 3
Pada kendala persamaan berbentuk interval
n
j
jjj bbxaa
1
,, (2)
maka sepasang kendala pertidaksamaan
berikut:
n
j
jj bxa
1
' , sixjx
0,
0,'
jj
jj
j xa
xaa (3)
.
n
j
jj bxa
1
"
, sixjx
0,
0,"
jj
jj
jxa
xaa (4)
mendefinisikan daerah konveks dimana tiap
titiknya memenuhi sembarang versi khusus
kendala persamaan interval.
Bukt i:
Misalkan x adalah suatu titik yang memenuhi
sembarang versi khusus persamaan interval
n
j
jj bxa
1
.
Untuk
0jx dimana sixjx , maka
n
j
n
j
n
j
jjjjjj xabxaxa
1 1 1
)(
dan
bbb .
Oleh karena itu, n
j
n
j
jjjj bbxaxa
1 1
)( , maka x juga
memenuhi
n
j
jj bxa
1
. Selain itu,
n
j
n
j
jjjj xabxab
1 1
)( , maka x juga
memenuhi
n
j
jj xab
1
atau
n
j
jj bxa
1
.
Jadi x memenuhi pertidaksamaan n
j
jj bxa
1
dan
n
j
jj bxa
1
.
Misalkan }0,|{
1
1 j
n
j
jj xbxaS x dan
S21 x,x dimana ),...,,( ''2
'1 nxxx1x ,
),...,,( ""2
"1 nxxx2x , maka:
n
j
jj bxa
1
' , dimana 0'jx (a)
n
j
jj bxa
1
" , dimana 0"jx (b)
Jika persamaan (a) dikalikan dengan dan
persamaan (b) dikalikan dengan 1 ,
10 dan kemudian keduanya
dijumlahkan, maka didapat:
))1((
)1()1(
)1()1(
1
"'
1 1
"'
1
"
1
'
bxxa
bbxaxa
bxa
bxa
n
j
jjj
n
j
n
j
jjjj
n
j
jj
n
j
jj
1"'"
1'1 ))1(,....,)1(( Sxxxx nn
1""
1''
1 ),....,)(1(),....,( Sxxxx nn
1)1( S21 xx
Jadi }0,|{
1
1 j
n
j
jj xbxaS x adalah
daerah konveks.
Misalkan }0,|{
1
2 j
n
j
jj xbxaS x dan
S21 x,x dimana ),...,,( ''2
'1 nxxx1x ,
),...,,( ""2
"1 nxxx2x , maka:
n
j
jj bxa
1
' , dimana 0'jx (d)
n
j
jj bxa
1
" , dimana 0"jx (e)
Jika persamaan (d) dikalikan dengan dan
persamaan (e) d ikalikan dengan 1 ,
10 dan kemudian keduanya
dijumlahkan, maka didapat:
15
))1((
)1()1(
)1()1(
1
"'
1 1
"'
1
"
1
'
bxxa
bbxaxa
bxa
bxa
n
j
jjj
n
j
n
j
jjjj
n
j
jj
n
j
jj
1"'"
1'1 ))1(,....,)1(( Sxxxx nn
1""
1''
1 ),....,)(1(),....,( Sxxxx nn
1)1( S21 xx
Jadi }0,|{
1
2 j
n
j
jj xbxaS x adalah
daerah konveks.
Jadi pertidaksamaan (3) dan (4)
merupakan daerah konveks dimana tiap
titiknya memenuhi sembarang versi khusus
kendala persamaan interval.
Pembuktian in i analog untuk 0jx dimana
sixjx .
Berdasarkan Teorema 3, jika model LPIC
memiliki kendala persamaan interval maka
kendala persamaan tersebut diubah menjadi
bentuk pertidaksamaan (3) dan (4). So lusi
pada model PL ini menghasilkan nilai fungsi
objektif terbaik.
Algoritma 2 : menentuk an setting koefisien
best optimum untuk kendala persamaan
interval.
Diberikan k kendala persamaan interval dari
bentuk
n
j
jjj bbxaa
1
,, dan titik best
optimum *x yang telah diperoleh melalui
Torema 3. Dicari ija dan ib yang
mengoptimumkan model.
Selesaikan Phase I dari PL untuk himpunan
kendala berikut:
Maks
k
i
n
j
k
i
iij ba
1 1 1
terhadap :
n
j
iijj bax
1
0 , untuk
ki ,....,1
iii
ijijij
bbb
aaa ,
untuk njki ,...,1,,....,1 .
Pemecahan Algoritma 2 menghasilkan
versi khusus kendala persamaan interval yang
memiliki solusi best optimum.
Teorema 4
Pada saat kendala persamaan interval dari
bentuk (2) dimasukkan pada model, maka
solusi worst optimum akan terjadi pada salah
satu kendala berikut : n
j
ijij bxa1
' , dimana
0,
0,'
jij
jij
ij xa
xaa (5)
atau n
j
ijij bxa1
" , dimana
0,
0,"
jij
jij
ijxa
xaa (6)
Bukt i:
Andaikan titik worst optimum x memenuhi
sembarang versi khusus kendala persamaan
interval
n
j
jj bxa
1
dan memiliki nilai
fungsi objektif z . Berdasarkan Teorema 3,
titik ini akan berada pada daerah konveks dari
solusi yang mungkin, didefinisikan oleh (3)
dan (4). Persamaan (5) dan (6) merupakan
versi persamaan ekstrim dari (3) dan (4).
Misalkan 'z adalah nilai fungsi objektif yang
ditentukan saat PL yang sama dipecahkan
dengan cara mengganti
n
j
jj bxa
1
dengan
(5), dan "z adalah fungsi objektif yang
ditentukan saat PL yang sama dipecahkan
dengan cara mengganti
n
j
jj bxa
1
dengan
(6). Berdasarkan asumsi bahwa tit ik worst
optimum x memiliki nilai fungsi objektif z ,
maka 'zz dan "zz . Namun, dikarenakan
konveksitas dari daerah (3) dan (4), d imana
(5) dan (6) merupakan versi persamaan
ekstrim dari (3) dan (4), maka
][ ",' maks zzz . Hal ini menimbulkan
kontradiksi. Jadi pengandaian bahwa titik
16
worst optimum terjadi ketika sembarang versi
khusus kendala persamaan
n
j
jj bxa
1
dimasukkan pada PL t idak terbukt i. Oleh
karena itu, tit ik worst optimum ditemukan
hanya pada saat kendala yang bersesuaian
dengan (5) atau (6) d imasukkan pada PL.
Teorema 4 menjelaskan bahwa solusi
worst optimum akan terjad i pada persamaan
(5) atau (6). Sayangnya, diantara kedua
persamaan tersebut tidak diketahui mana
yang akan menghasilkan worst optimum pada
nilai fungsi objektif. Jadi solusi algoritmanya
adalah memasukkan masing-masing
persamaan (5) dan (6) kedalam model
sehingga menghasilkan dua model PL yang
berbeda, selanjutnya dipilih nilai yang
terburuk pada fungsi objektif tersebut. Secara
umum, jika ada k kendala persamaan interval,
maka ada k2 PL yang harus dipecahkan untuk
menemukan solusi worst optimum.
Contoh 12:
Selesaikan LPIC dengan kendala berkoefisien
interval berikut :
Min 21 xxZ
terhadap:
0,
3:
]2,1[:
]3,1[]2,1[:
]4,3[]3,2[:
21
24
213
212
211
xx
xC
xxC
xxC
xxC
Dengan menggunakan Teorema 3, maka
masing-masing kendala persamaan interval
1C dan 2C diubah menjadi sepasang kendala
pertidaksamaan interval, yaitu:
3:
12:
42:
33:
212
212
211
211
xxC
xxC
xxC
xxC
b
a
b
a
Berdasarkan langkah 1 Algoritma 1, kendala
pertidaksamaan interval 3C diubah menjadi:
1: 213 xxC a
Jadi model best optimum pada LPIC d iatas
adalah:
Min 21 xxZ
terhadap:
0,
3:
1:
3:
12:
42:
33:
21
24
213
212
212
211
211
xx
xC
xxC
xxC
xxC
xxC
xxC
a
b
a
b
a
Kemudian diselesaikan menggunakan
softwere LINGO 8.0 sehingga diperoleh solusi
optimum 0,1 21 xx dan Z = 1.
Gambar 18. Daerah fisibel solusi best
optimum pada Contoh 12.
Dengan menggunakan Algoritma 2, maka
akan didapatkan bentuk umum dari best
optimum persamaan interval tersebut, yaitu:
Maks 212211 bbaa
terhadap:
222
111
222222
111111
2222211
1122111
0
0
bbb
bbb
aaa
aaa
baxax
baxax
Keterangan:
11a = koefisien interval dari variabel 1x
pada kendala 1C
12a = koefisien dari variabel 2x pada
kendala 1C
21a = koefisien dari variabel 1x pada
kendala 2C
22a = koefisien interval dari variabel 2x
pada kendala 2C
1b = RHS berbentuk interval pada kendala
1C
17
2b = RHS berbentuk interval pada kendala
2C
11a = batas bawah koefisien interval 11a
11a = batas atas koefisien interval 11a
22a = batas bawah koefisien interval 22a
22a = batas atas koefisien interval 22a
1b = batas bawah RHS 1b
1b = batas atas RHS 1b
2b = batas bawah RHS 2b
2b = batas atas RHS 2b
Diketahui 2112 , aa adalah nilai tentu,
yaitu 1 ,1 2112 aa dan solusi optimum
0,1 21 xx . Nilai-nilai tersebut dimasukkan
pada bentuk umum di atas:
Maks 212211 bbaa
terhadap:
31
43
21
32
0.01.1
0)1.(0.1
2
1
22
11
222
111
b
b
a
a
ba
ba
Dengan menggunakan softwere LINGO 8.0,
solusinya adalah 1 ,3 ,2 ,3 212211 bbaa
sehingga susunan best optimum pada 1C
adalah 33: 211 xxC a dan susunan
best optimum pada 2C adalah
12: 212 xxC a .
Berdasarkan Teorema 4, untuk mempero leh
worst optimum maka 2 kendala persamaan
interval menghasilkan 22 model.
Pada kendala 1C , solusi worst optimum terjadi
pada 33: 211 xxC a atau 42: 211 xxC b .
Pada kendala 2C , solusi worst optimum terjad i
pada 12: 212 xxC a atau 3: 212 xxC b .
Kendala 1C dikombinasikan dengan
2C
sehingga menghasilkan 4 model worst
optimum.
Untuk kendala pertidaksamaan interval 3C ,
berdasarkan langkah 2 Algoritma 1 diubah
menjadi:
2: 213 xxC b
Jadi 4 model worst optimum adalah sebagai
berikut:
Model 1:
Min 21 xxZ
terhadap:
0,
3:
2:
12:
33:
21
24
213
212
211
xx
xC
xxC
xxC
xxC
b
a
a
Dengan menggunakan softwere LINGO 8.0,
solusi PL d i atas adalah infeasible.
Model 2:
Min 21 xxZ
terhadap:
0,
3:
2:
3:
33:
21
24
213
212
211
xx
xC
xxC
xxC
xxC
b
b
a
Dengan menggunakan softwere LINGO 8.0,
solusi PL di atas adalah 3,0 21 xx dan
Z = 3.
Model 3:
Min 21 xxZ
terhadap:
0,
3:
2:
12:
42:
21
24
213
212
211
xx
xC
xxC
xxC
xxC
b
a
b
Dengan menggunakan softwere LINGO 8.0,
solusi PL d i atas adalah infeasible.
Model 4:
Min 21 xxZ
terhadap:
0,
3:
2:
3:
42:
21
24
213
212
211
xx
xC
xxC
xxC
xxC
b
b
b
Dengan menggunakan softwere LINGO 8.0,
solusi PL d i atas adalah infeasible.
Jadi model yang menghasilkan worst optimum
adalah model 2 dengan 3,0 21 xx dan Z = 3.
18
Gambar 19. Daerah fisibel solusi worst
optimum pada Contoh 12.
Daerah fisibel untuk masalah LPIC di atas
diperlihatkan pada gambar berikut:
Gambar 20. Daerah fisibel LPIC pada
Contoh 12.
Berikut ini adalah algoritma untuk
menyelesaikan LPIC d imana kendala berupa
persamaan dan pertidaksamaan interval.
Algoritma ini merupakan gabungan dari
algoritma dan teorema sebelumnya.
Algoritma 3 : Algori tma lengkap untuk
menyelesaikan LPIC
Diberikan k kendala persamaan interval.
1. Cari best optimum sebagaimana berikut:
1.1 Ubah k kendala persamaan interval
menjadi sepasang pertidaksamaan tak
interval dengan menggunakan
Teorema 3.
1.2 Buat model terbaik dengan
menggunakan langkah 1 Algoritma
1.
1.3 Untuk mempero leh solusi:
1.3.1 Z dan x dipero leh dari solusi
model terbaik .
1.3.2 Nilai tentu dari koefisien interval
pada kendala pertidaksamaan
interval dipero leh melalui
langkah 1 Algoritma 1.
1.3.3 Nilai tentu dari koefisien interval
pada kendala persamaan interval
diberikan melalu i Algoritma 2.
2. Cari worst optimum sebagaimana berikut:
2.1 Untuk setiap model diantara k2
model yang diperoleh melalui
Teorema 4:
2.1.1 Ubah kendala persamaan
interval menjadi persamaan
tentu berdasarkan Teorema 4.
2.1.2 Selesaikan dengan membangun
model terburuk melalu i langkah
2 Algoritma 1, cari Z dan x.
2.2 Untuk mempero leh solusi:
2.2.1 Cari model yang menyediakan Z
terburuk.
2.2.2 Nilai tentu dari koefisien interval
pada model diperoleh dari model
terburuk pada langkah 2.2.1.
IV STUDI KASUS DAN PENYELESAIANNYA
Permasalahan berikut merupakan
modifikasi dari contoh pada jurnal Linear
Programming Problem with Interval
Coefficients and An Interpretation for Its
Constraints (Molai and Khorram, 2007).
Suatu peternakan ayam petelur produktif
diberikan ransum berupa campuran enam
pakan ternak, yaitu jagung, tepung ikan,
kacang hijau, bungkil kedelai, bekatul dan
dedak padi. Berdasarkan kandungan gizi,
kebutuhan dasar pakan ayam dibedakan
menjadi lima komponen, yaitu karbohidrat,
lemak, protein kalsium dan fosfor.
Berikut model umum LPIC yang
berfungsi meminimumkan biaya pembelian
pakan ternak:
Min 6
1,
jjjj xccZ
terhadap 6
1,,
jiijijij bbxaa .
19
Keterangan:
jc = biaya pada jenis pakan ternak ke -j
(Rp/ kg).
ija = kandungan zat gizi pada jenis pakan
ternak ke-j pada kendala ke-i (kg).
ib = batasan zat gizi ke-i yang diperlukan
dalam ransum (kg).
jx = banyaknya jenis pakan ternak ke-j yang
dibutuhkan dalam ransum (kg).
Misalkan peternak memiliki 100 ayam.
Tiap ayam mengkonsumsi ransum sebesar 3-
3.5 kg/minggu. Untuk memperoleh bobot
ayam yang seimbang diperlukan ransum yang
memiliki batasan-batasan sebagaimana
ditunjukkan pada Tabel 1 dan Tabel 2.
Tabel 1. Susunan Zat Gizi pada Pakan Ayam dan Kadar Min imum Zat Gizi
j Jenis Pakan Ayam ke-j
Susunan zat pakan ayam/ ija (per kg)
Karbohidrat
( ja1 )
Lemak
( ja2 )
Protein
( ja3 )
Kalsium
( ja4 )
Fosfor
( ja5 )
1 Jagung 69-74% 3.7-4.1% 8.5-11% 0.02% 0.25-0.3%
2 Tepung ikan 62-65% 7.8-10% 55-62% 3.8-5% 2.8-3.8%
3 Kacang hijau 55-57% 1.1-1.3% 20-25% 0.2% 1.7%
4 Bungkil kedelai 30% 4% 41-50% 0.2-0.3% 0.6-0.68%
5 Bekatul 51-55% 2.9% 11-12% 0.05% 1.27%
6 Dedak padi 29% 4.9-8.2% 6.8-12% 0.1-0.2% 1-1.7%
Kadar Min imum Zat Gizi 43-48% 3-5% 15-18% 3-3.5% 0.55%
Sumber: Suprijatna et al. (2005)
Tabel 2. Batasan Pakan dalam Ransum dan Harga Pakan Ayam
j Jenis Pakan Ayam
ke-j
Batasan Pakan
Minimum per kg (%)
Batasan Pakan dalam
3-3.5 kg (kg)
Harga/ jc
(Rp/kg)
1 Jagung 20% 0.6-0.7 3000
2 Tepung ikan 5% 0.15-0.175 2800-4400
3 Kacang hijau 7.50% 0.225-0.2625 7000
4 Bungkil kedelai 20% 0.6-0.7 5000-6000
5 Bekatul 15% 0.45-0.525 1400-2200
6 Dedak padi 5% 0.15-0.175 1300-1600
Sumber: Nawawi dan Nurrohmah (1996)
Berikut model optimisasi LPIC pada masalah minimisasi biaya pakan ternak diatas:
Min 654321 ]1600,1300[]2200,1400[]6000,5000[7000]4400,2800[3000 xxxxxxZ
Terhadap:
100]5.3,3[654321 xxxxxx
100]48.0,43.0[29.0]55.0,51.0[3.0]57.0,55.0[]65.0,62.0[]74.0,69.0[ 654321 xxxxxx
100]05.0,03.0[]082.0,049.0[029.004.0]013.0,011.0[]1.0,078.0[]041.0,037.0[ 654321 xxxxxx
100]18.0,15.0[]12,0,068.0[]12.0,11.0[]5.0,41.0[]25.0,2.0[]62.0,55.0[]11.0,085.0[ 654321 xxxxxx
100]035.0,03.0[]002.0,001.0[0005.0]003.0,002.0[002.0]05.0,038.0[0002.0 654321 xxxxxx
1000055.0]017.0,01.0[0127.0]0068.0,006.0[017.0]038.0,028.0[]003.0,0025.0[ 654321 xxxxxx
100]175.0,15.0[,100]525.0,45.0[
100]7.0,6.0[,100]2625.0,225.0[,100]175.0,15.0[,100]7.0,6.0[
65
4321
xx
xxxx
20
Penyederhanaan dari bentuk LPIC diatas, yaitu:
Min 654321 ]1600,1300[]2200,1400[]6000,5000[7000]4400,2800[3000 xxxxxxZ
Terhadap:
]350,300[: 6543211 xxxxxxC
]48,43[29.0]55.0,51.0[3.0]57.0,55.0[]65.0,62.0[]74.0,69.0[: 6543212 xxxxxxC
]5,3[]082.0,049.0[029.004.0]013.0,011.0[]1.0,078.0[]041.0,037.0[: 6543213 xxxxxxC
]18,15[]12,0,068.0[]12.0,11.0[]5.0,41.0[]25.0,2.0[]62.0,55.0[]11.0,085.0[: 6543214 xxxxxxC
]5.3,3[]002.0,001.0[0005.0]003.0,002.0[002.0]05.0,038.0[0002.0: 6543215 xxxxxxC
55.0]017.0,01.0[0127.0]0068.0,006.0[017.0]038.0,028.0[]003.0,0025.0[: 6543216 xxxxxxC
]5.17,15[:],5.52,45[:
]70,60[:],25.26,5.22[:],5.17,15[:],70,60[:
612511
410392817
xCxC
xCxCxCxC
Untuk menyelesaikan bentuk LPIC d i atas digunakan Algoritma 3.
Langkah 1.1
1C diubah menjadi dua kendala pertidaksamaan berdasarkan Teorema 3, yaitu:
300: 6543211 xxxxxxC a
350: 6543211 xxxxxxC b
Langkah 1.2
Model LPIC diubah menjadi model PL yang memiliki solusi best optimum melalu i langkah 1
Algoritma 1.
Min 654321 130014005000700028003000 xxxxxxZ
Terhadap:
300: 6543211 xxxxxxC a
350: 6543211 xxxxxxC b
4329.055.03.057.065.074.0: 6543212 xxxxxxC
3082.0029.004.0013.01.0041.0: 6543213 xxxxxxC
1512,012.05.025.062.011.0: 6543214 xxxxxxC
3002.00005.0003.0002.005.00002.0: 6543215 xxxxxxC
55.0017.00127.00068.0017.0038.0003.0: 6543216 xxxxxxC
15:,45:
60:,5.22:,15:,60:
612511
410392817
xCxC
xCxCxCxC
Langkah 1.3
1.3.1 Model pada langkah 1.2 diselesaikan dengan menggunakan LINGO 8.0. Nilai best optimum
berada pada 601x , 4.522x , 5.223x , 604x , 455x , 1.606x dan 925359.4Z .
1.3.2 Bentuk best optimum pada kendala pertidaksamaan interval 2C ,
3C ,54 ,CC ,
11109876 ,,,,, CCCCCC dan 12C diberikan pada langkah 1.2, yaitu:
4329.055.03.057.065.074.0: 6543212 xxxxxxC
3082.0029.004.0013.01.0041.0: 6543213 xxxxxxC
1512,012.05.025.062.011.0: 6543214 xxxxxxC
3002.00005.0003.0002.005.00002.0: 6543215 xxxxxxC
55.0017.00127.00068.0017.0038.0003.0: 6543216 xxxxxxC
15:,45:
60:,5.22:,15:,60:
612511
410392817
xCxC
xCxCxCxC
1.3.3 Bentuk best optimum pada kendala persamaan interval 1C diberikan melalu i Algoritma 2.
Maksimumkan b
terhadap:
21
0665544332211 baxaxaxaxaxax
bbb 1
Dari model diketahui bahwa kendala persamaan ]350,300[: 6543211 xxxxxxC
memiliki koefisien 1654321 aaaaaa . Sedangkan dari perhitungan langkah
1 Algoritma 1 dipero leh 601x , 4.522x , 5.223x , 604x , 455x , 1.606x . Nilai-
nilai tersebut dimasukkan pada PL diatas.
Maksimumkan b
terhadap:
0)11.60()145()160()15.22()14.52()160( b
350300 b
Dengan menggunakan softwere LINGO 8.0, solusi LP d iatas adalah 300b .
Jadi versi khusus kendala persamaan interval yang memiliki solusi best optimum adalah
300654321 xxxxxx .
Langkah 2.1
2.1.1 Berdasarkan Teorema 4, tit ik worst optimum dari kendala persamaan interval
]350,300[: 6543211 xxxxxxC akan terjadi pada salah satu dari dua kendala
spesifik berikut:
300: 6543211 xxxxxxC a
350: 6543211 xxxxxxC b
Kendala 1C diubah menjadi dua versi kendala yaitu
aC1dan
bC1 yang akan menghasilkan
dua model PL baru. Model LPIC yang dimasukkan kendala aC1
dinamakan Model A dan
model LPIC yang dimasukkan kendala bC1
dinamakan Model B.
Berikut bentuk LPIC yang diperbaharui :
Model A:
Min 654321 ]1600,1300[]2200,1400[]6000,5000[7000]4400,2800[3000 xxxxxxZ
Terhadap:
300: 6543211 xxxxxxC
]48,43[29.0]55.0,51.0[3.0]57.0,55.0[]65.0,62.0[]74.0,69.0[: 6543212 xxxxxxC
]5,3[]082.0,049.0[029.004.0]013.0,011.0[]1.0,078.0[]041.0,037.0[: 6543213 xxxxxxC
]18,15[]12,0,068.0[]12.0,11.0[]5.0,41.0[]25.0,2.0[]62.0,55.0[]11.0,085.0[: 6543214 xxxxxxC
]5.3,3[]002.0,001.0[0005.0]003.0,002.0[002.0]05.0,038.0[0002.0: 6543215 xxxxxxC
55.0]017.0,01.0[0127.0]0068.0,006.0[017.0]038.0,028.0[]003.0,0025.0[: 6543216 xxxxxxC
]5.17,15[:],5.52,45[:
]70,60[:],25.26,5.22[:],5.17,15[:],70,60[:
612511
410392817
xCxC
xCxCxCxC
Model B
Min 654321 ]1600,1300[]2200,1400[]6000,5000[7000]4400,2800[3000 xxxxxxZ
Terhadap:
350: 6543211 xxxxxxC
]48,43[29.0]55.0,51.0[3.0]57.0,55.0[]65.0,62.0[]74.0,69.0[: 6543212 xxxxxxC
]5,3[]082.0,049.0[029.004.0]013.0,011.0[]1.0,078.0[]041.0,037.0[: 6543213 xxxxxxC
]18,15[]12,0,068.0[]12.0,11.0[]5.0,41.0[]25.0,2.0[]62.0,55.0[]11.0,085.0[: 6543214 xxxxxxC
]5.3,3[]002.0,001.0[0005.0]003.0,002.0[002.0]05.0,038.0[0002.0: 6543215 xxxxxxC
22
55.0]017.0,01.0[0127.0]0068.0,006.0[017.0]038.0,028.0[]003.0,0025.0[: 6543216 xxxxxxC
]5.17,15[:],5.52,45[:
]70,60[:],25.26,5.22[:],5.17,15[:],70,60[:
612511
410392817
xCxC
xCxCxCxC
2.1.2 Model A dan model B dipecahkan menggunakan langkah 2 A lgoritma 1.
Model A:
Min 654321 160022006000700044003000 xxxxxxZ
Terhadap:
300: 6543211 xxxxxxC
4829.055.03.057.065.069.0: 6543212 xxxxxxC
5049.0029.004.0011.0078.0037.0: 6543213 xxxxxxC
18068.011.041.02.055.0085.0: 6543214 xxxxxxC
5.3001.00005.0002.0002.0038.00002.0: 6543215 xxxxxxC
55.001.00127.0006.0017.0028.00025.0: 6543216 xxxxxxC
5.17:,5.52:
70:,25.26:,5.17:,70:
612511
410392817
xCxC
xCxCxCxC
Dengan menggunakan softwere LINGO 8.0, solusi PL d iatas adalah infeasible.
Model B:
Min 654321 160022006000700044003000 xxxxxxZ
Terhadap:
350: 6543211 xxxxxxC
4829.055.03.057.065.069.0: 6543212 xxxxxxC
5049.0029.004.0011.0078.0037.0: 6543213 xxxxxxC
18068.011.041.02.055.0085.0: 6543214 xxxxxxC
5.3001.00005.0002.0002.0038.00002.0: 6543215 xxxxxxC
55.001.00127.0006.0017.0028.00025.0: 6543216 xxxxxxC
5.17:,5.52:
70:,25.26:,5.17:,70:
612511
410392817
xCxC
xCxCxCxC
Dengan menggunakan softwere LINGO 8.0, solusi PL diatas adalah
,3.26,8.84,70 321 xxx 704x , 5.525x , 5.466x dan 1376569Z .
Langkah 2.2
2.2.1 Model A memiliki solusi infeasible dan Model B memiliki solusi sebesar 1376569Z .
Jadi model yang memberikan solusi worst optimum adalah Model B.
2.2.2 Versi khusus kendala persamaan dan pertidaksamaan interval yang memiliki solusi worst
optimum diberikan pada Model B.
23
Jadi pemecahan masalah pembelian pakan ternak untuk 100 ayam dalam seminggu adalah
dengan membeli bahan pakan sebagai berikut:
Tabel 3. Pemecahan Masalah Pembelian Pakan Ternak Ayam
j Jenis Pakan Ayam
ke-j
Pembelian Pakan Ternak/minggu (kg)
Best optimum (A) Worst optimum (B)
1 Jagung 60 70
2 Tepung ikan 52.4 84.8
3 Kacang hijau 22.5 26.3
4 Bungkil kedelai 60 70
5 Bekatul 45 52.5
6 Dedak padi 60.1 46.5
Biaya yang dibutuhkan
/minggu (Rp) Rp.925.359,00 Rp1.376.569,00
Peternak akan membutuhkan biaya minimum dalam pembelian pakan ternak jika peternak
memilih kombinasi A dengan biaya sebesar Rp.925.359,00. Sedangkan jika peternak memilih
kombinasi B maka d iperlukan biaya maksimum, yaitu Rp1.376.569,00
V SIMPULAN DAN SARAN
5.1 Simpulan PL yang memiliki informasi tak pasti atau
data yang kurang tepat mengharuskan
pembuat model membuatnya dalam perkiraan.
Salah satu cara mengatasinya yaitu digunakan
pendekatan interval. Masalah PL ini
dinamakan LPIC (Linear programming with
Interval Coefficients).
Masalah LPIC dapat diselesaikan dengan
menggunakan metode Chinneck dan K
Ramadan. Metode ini merupakan perluasan
dari metode Shaocheng, yaitu dengan
menambahkan variabel tak positif dan kendala
persamaan interval.
Dalam kasus min imisasi, best optimum
adalah solusi yang memiliki nilai fungsi
objektif terkecil, sedangkan worst optimum
adalah solusi yang memiliki nilai fungsi
objektif terbesar.
Pada kendala pertidaksamaan interval,
solusi best optimum dipero leh melalu i langkah
1 Algoritma 1 (Teorema 1 dan Teorema 2).
Sedangkan jika kendala berupa persamaan
interval, tiap kendala tersebut diubah menjadi
dua pertidaksamaan yang membentuk daerah
konveks (Teorema 3). Algoritma 2 digunakan
untuk mempero leh versi khusus persamaan
interval yang memiliki solusi best optimum.
Pada kendala pertidaksamaan interval,
solusi worst optimum diperoleh melalui
langkah 2 A lgoritma 1 (Teorema 1 dan
Teorema 2). Sedangkan jika kendala berupa
persamaan interval sebanyak k , maka dapat
dibentuk 2k
model berdasarkan Teorema 4.
Solusi worst optimum adalah nilai fungsi
objektif terbesar dari 2k
model.
Metode Chinneck dan K Ramadan dapat
diterapkan dalam pemecahan masalah
optimisasi model PL yang memiliki informasi
berupa kisaran. Pengambil keputusan dapat
mengetahui solusi terbaik atau solusi terburuk
yang terjadi pada model tersebut.
5.2 Saran
Pada karya ilmiah in i telah dibahas
penyelesaian masalah LPIC dengan
menggunakan metode Chinneck dan K
Ramadan. Penulis menyarankan untuk
selanjutnya dilakukan penyelesaian masalah
LPIC dengan metode yang lain.
24
DAFTAR PUSTAKA
Chinneck JW, Ramadan K. 2000. Linear
programming with interval coefficients.
Operational Research Society.51(2):209-
216.
Fraleigh JB. 1969. Probability and Calculus.
Philippines: Addison-Wesley.
Jeffrey A. 2005. Essential of Engineering
Mathematics. Ed ke-2. New York:
Chapman&Hall.
Molai AA, Khorram E. 2007. Linear
programming with interval coefficients
and an interpretation for its constraints.
Iranian Journal of Science and Technology.
31(A4):369-390.
Nash SG, Sofer A. 1996. Linear and Non
linear Programming. New York: McGraw-
Hill.
Nawawi NT, Nurrohmah S. 1996. Ransum
Ayam Kampung. Jakarta: Penebar Swadaya.
Rao SS. 1984. Optimization: Theory and
Application. Ed ke-2. New Delhi: Wiley
Eastern Limited.
Suprijatna E, Atmomarsono U, Kartasudjana
R. 2008. Ilmu Dasar Ternak Unggas. Jakarta:
Penebar Swadaya.
Winston WL. 1995. Introduction to
Mathematical Programming. Ed ke-2.
New York: Duxbury.
LAMPIRAN
26
Lampiran 1
Syntax Program LINGO 8.0 untuk Menyelesaikan Masalah LPIC dengan Kendala
berbentuk Pertidaksamaan Interval
Contoh 7
Min 21 ]4,2[]3,1[ xxZ
terhadap:
0,
4:
]7,6[]5,3[:
]1,2[:
5]4,2[:
]9,6[]6,4[]3,2[:
21
25
214
213
212
211
xx
xC
xxC
xxC
xxC
xxC
Syntax program LINGO 8.0 untuk mencari
LPIC yang memiliki solusi best optimum :
min=x1+2*x2;
3*x1+6*x2>=6;
x1+4*x2>=5;
-x1+x2>=-2;
5*x1+x2>=6;
x2<=4;
x1>=0;x2>=0;
end
Hasil yang dipero leh:
Global optimal solution found
at iteration: 0
Objective value:
3.000000
Variable Value Reduced Cost
X1 1.000000 0.000000
X2 1.000000 0.000000
Row Slack or Surplus
Dual Price
1 3.000000 -1.000000
2 3.000000 0.000000
3 0.000000 -0.4736842
4 2.000000 0.000000
5 0.000000 -0.1052632
6 3.000000 0.000000
7 1.000000 0.000000
8 1.000000 0.000000
Syntax program LINGO 8.0 untuk mencari
LPIC yang memiliki solusi worst optimum : min=3*x1+4*x2;
2*x1+4*x2>=9;
x1+2*x2>=5;
-x1+x2>=-1;
3*x1+x2>=7;
x2<=4;
x1>=0;x2>=0;
end
Hasil yang dipero leh:
Global optimal solution found
at iteration: 4
Objective value:
11.80000
Variable Value Reduced
Cost
X1 1.800000 0.000000
X2 1.600000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual
Price
1 11.80000 -1.000000
2 1.000000 0.000000
3 0.000000 -1.800000
4 0.8000000 0.000000
5 0.000000 -0.4000000
6 2.400000 0.000000
7 1.800000 0.000000
8 1.600000 0.000000
Contoh 8:
Min 21 3,1 xxZ
Terhadap:
0,
]7,5[]2,1[:
]1,2[:
21
212
211
xx
xxC
xxC
Syntax program LINGO 8.0 untuk mencari
LPIC yang memiliki solusi best optimum: min=x1+x2;
-x1-x2>=-2;
2*x1+x2>=5;
x1>=0;x2>=0;
end
Hasil yang diperoleh adalah LP memiliki
solusi infeasible.
Contoh 9:
Min 21]2,1[ xxZ
Terhadap:
27
0,
]8,5[]3,1[:
1]4,2[:
21
212
211
xx
xxC
xxC
Syntax program LINGO 8.0 untuk mencari
LPIC yang memiliki solusi worst optimum :
min=2*x1-x2;
-x1+2*x2>=-1;
x1+x2>=8;
x1>=0;x2>=0;
end
Hasil yang diperoleh adalah LP memiliki
solusi unbounded.
Contoh 10:
Min 21 3,1 xxZ
Terhadap:
0,
]7,2[]2,1[:
]1,3[]2,1[:
21
212
211
xx
xxC
xxC
Syntax program LINGO 8.0 untuk mencari
LPIC yang memiliki solusi best optimum : min=x1+x2;
-x1-x2>=-3;
2*x1+x2>=2;
x1>=0;x2>=0;
Hasil yang dipero leh: Global optimal solution found
at iteration: 2
Objective value:
1.000000
Variable Value Reduced
Cost
X1 1.000000 0.000000
X2 0.000000 0.5000000
Row Slack or Surplus Dual
Price
1 1.000000 -1.000000
2 2.000000 0.000000
3 0.000000 -0.5000000
4 1.000000 0.000000
5 0.000000 0.000000
Syntax program LINGO 8.0 untuk mencari
LPIC yang memiliki solusi worst optimum :
min=x1+3*x2;
-x1-2*x2>=-1;
x1+x2>=7;
x1>=0;x2>=0;
Hasil yang diperoleh adalah LP memiliki
solusi infeasible.
Jadi LPIC memiliki solusi antara 1z dan
infeasible.
Contoh 11:
Min 21]3,1[ xxZ
Terhadap:
0,
]7,5[]1,1[3:
14]1,2[:
21
212
211
xx
xxC
xxC
Syntax program LINGO 8.0 untuk mencari
LPIC yang memiliki solusi best optimum :
min=x1-x2;
-x1+4*x2>=-1;
3*x1+x2>=5;
x1>=0;x2>=0;
end
Hasil yang diperoleh adalah LP memiliki
solusi unbounded.
Syntax program LINGO 8.0 untuk mencari
LPIC yang memiliki solusi worst optimum :
min=3*x1-x2;
-2*x1+4*x2>=-1;
3*x1-x2>=7;
x1>=0;x2>=0;
end
Hasil yang dipero leh: Global optimal solution found
at iteration: 2
Objective value:
7.000000
28
Variable Value Reduced
Cost
X1 2.700000 0.000000
X2 1.100000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual
Price
1 7.000000 -1.000000
2 0.000000 0.000000
3 0.000000 -1.000000
4 2.700000 0.000000
5 1.100000 0.000000
Jadi LPIC memiliki solusi antara antara
dan 7z .
Lampiran 2 Syntax Program LINGO 8.0 untuk Menyelesaikan Masalah LPIC dengan Kendala
berbentuk Persamaan interval.
Contoh 12:
Min 21 xxZ
terhadap:
0,
3:
]2,1[:
]3,1[]2,1[:
]4,3[]3,2[:
21
24
213
212
211
xx
xC
xxC
xxC
xxC
Syntax program LINGO 8.0 untuk mencari
LPIC yang memiliki solusi best optimum :
min=x1+x2;
3*x1+x2>=3;
2*x1+x2<=4;
x1+2*x2>=1;
x1+x2<=3;
-x1+x2>=-1;
x2<=3;
x1>=0;x2>=0;
end
Hasil yang dipero leh: Global optimal solution found
at iteration: 6
Objective value:
1.000000
Variable Value Reduced
Cost
X1 1.000000 0.000000
X2 0.000000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual
Price
1 1.000000 -1.000000
2 0.000000 -0.2000000
3 2.000000 0.000000
4 0.000000 -0.4000000
5 2.000000 0.000000
6 0.000000 0.000000
7 3.000000 0.000000
8 1.000000 0.000000
9 0.000000 0.000000
Syntax program LINGO 8.0 untuk mencari
LPIC yang memiliki solusi worst optimum :
a) Model 1
min=x1+x2;
3*x1+x2=3;
x1+2*x2=1;
-x1+x2>=2;
x2<=3;
x1>=0;x2>=0;
end
Hasil yang diperoleh: So lusi pada Model 1
adalah infeasible.
b) Model 2
min=x1+x2;
3*x1+x2=3;
x1+x2=3;
-x1+x2>=2;
x2<=3;
x1>=0;x2>=0;
end
Hasil yang dipero leh: Global optimal solution found
at iteration: 3
Objective value:
3.000000
Variable Value Reduced
Cost
X1 0.000000 0.000000
X2 3.000000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual
Price
1 3.000000 -1.000000
2 0.000000 0.000000
29
3 0.000000 -1.000000
4 1.000000 0.000000
5 0.000000 0.000000
6 0.000000 0.000000
7 3.000000 0.000000
c) Model 3
min=x1+x2;
2*x1+x2=4;
x1+2*x2=1;
-x1+x2>=2;
x2<=3;
x1>=0;x2>=0;
end
Hasil yang diperoleh: So lusi pada Model 3
adalah infeasible.
d) Model 4 min=x1+x2;
2*x1+x2=4;
x1+x2=3;
-x1+x2>=2;
x2<=3;
x1>=0;x2>=0;
end
Hasil yang diperoleh: So lusi pada Model 4
adalah infeasible.
Lampiran 3. Syntax Program LINGO 8.0 untuk Menyelesaikan Studi Kasus Masalah LPIC.
Syntax program LINGO 8.0 untuk mencari LPIC yang memiliki solusi best optimum :
min=3000*x1+2800*x2+7000*x3+5000*x4+1400*x5+1300*x6;
x1+x2+x3+x4+x5+x6>=300;
x1+x2+x3+x4+x5+x6<=350;
0.74*x1+0.65*x2+0.57*x3+0.3*x4+0.55*x5+0.29*x6>=43;
0.041*x1+0.1*x2+0.013*x3+0.04*x4+0.029*x5+0.082*x6>=3;
0.11*x1+0.62*x2+0.25*x3+0.5*x4+0.12*x5+0.12*x6>=15;
0.0002*x1+0.05*x2+0.002*x3+0.003*x4+0.0005*x5+0.002*x6>=3;
0.003*x1+0.038*x2+0.017*x3+0.0068*x4+0.0127*x5+0.017*x6>=0.55;
x1>=60;
x2>=15;
x3>=22.5;
x4>=60;
x5>=45;
x6>=15;
end
Hasil yang dipero leh: Global optimal solution found at iteration: 10
Objective value: 925359.4
Variable Value Reduced Cost
X1 60.00000 0.000000
X2 52.40625 0.000000
X3 22.50000 0.000000
X4 60.00000 0.000000
X5 45.00000 0.000000
X6 60.09375 0.000000
30
Row Slack or Surplus Dual Price
1 925359.4 1.000000
2 0.000000 1237.500
3 50.00000 0.000000
4 108.4663 0.000000
5 13.62581 0.000000
6 72.32812 0.000000
7 0.000000 31250.00
8 4.005031 0.000000
9 0.000000 -1756.250
10 37.40625 0.000000
11 0.000000 -5700.000
12 0.000000 -3668.750
13 0.000000 -146.8750
14 45.09375 0.000000
Syntax program LINGO 8.0 untuk mencari LPIC yang memiliki solusi worst optimum :
a) Model A
min=3000*x1+4400*x2+7000*x3+6000*x4+2200*x5+1600*x6;
x1+x2+x3+x4+x5+x6=300;
0.69*x1+0.65*x2+0.57*x3+0.3*x4+0.55*x5+0.29*x6>=48;
0.037*x1+0.078*x2+0.011*x3+0.04*x4+0.029*x5+0.049*x6>=5;
0.085*x1+0.55*x2+0.2*x3+0.41*x4+0.11*x5+0.068*x6>=18;
0.0002*x1+0.038*x2+0.002*x3+0.002*x4+0.0005*x5+0.001*x6>=3.5;
0.0025*x1+0.028*x2+0.017*x3+0.006*x4+0.0127*x5+0.01*x6>=0.55;
x1>=70;
x2>=17.5;
x3>=26.25;
x4>=70;
x5>=52.5;
x6>=17.5;
end
Hasil yang dipero leh adalah LP memiliki solusi infeasible.
b) Model B
min=3000*x1+4400*x2+7000*x3+6000*x4+2200*x5+1600*x6;
x1+x2+x3+x4+x5+x6=350;
0.69*x1+0.65*x2+0.57*x3+0.3*x4+0.55*x5+0.29*x6>=48;
0.037*x1+0.078*x2+0.011*x3+0.04*x4+0.029*x5+0.049*x6>=5;
0.085*x1+0.55*x2+0.2*x3+0.41*x4+0.11*x5+0.068*x6>=18;
0.0002*x1+0.038*x2+0.002*x3+0.002*x4+0.0005*x5+0.001*x6>=3.5;
0.0025*x1+0.028*x2+0.017*x3+0.006*x4+0.0127*x5+0.01*x6>=0.55;
x1>=70;
x2>=17.5;
x3>=26.25;
31
x4>=70;
x5>=52.5;
x6>=17.5;
end
Hasil yang dipero leh: Global optimal solution found at iteration: 6
Objective value: 1376569.
Variable Value Reduced
Cost
X1 70.00000
0.000000
X2 84.75676
0.000000
X3 26.25000
0.000000
X4 70.00000
0.000000
X5 52.50000
0.000000
X6 46.49324
0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 1376569. -1.000000
2 0.000000 -1524.324
3 133.7124 0.000000
4 11.09045 0.000000
5 77.45276 0.000000
6 0.000000 -75675.68
7 3.996122 0.000000
8 0.000000 -1460.541
9 67.25676 0.000000
10 0.000000 -5324.324
11 0.000000 -4324.324
12 0.000000 -637.8378
13 28.99324 0.000000
32