PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan...

72
PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH PEMOTONGAN KAYU DI PT. INDO VENEER UTAMA SURAKARTA oleh SWARGADI RIFKY HABIBI M0101048 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2009

Transcript of PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan...

Page 1: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

i

PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT

UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH

PEMOTONGAN KAYU

DI PT. INDO VENEER UTAMA SURAKARTA

oleh

SWARGADI RIFKY HABIBI

M0101048

SKRIPSI

ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan

memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2009

Page 2: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

ii

SKRIPSI

PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT

UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH PEMOTONGAN KAYU

DI PT. INDO VENEER UTAMA SURAKARTA

yang disiapkan dan disusun oleh

SWARGADI RIFKY HABIBI

M0101048

dibimbing oleh

Pembimbing I,

Dra. Diari Indriati, M.Si NIP 19610112 198811 2 001

Pembimbing II,

Drs. Tri Atmojo K, M.Sc, Ph.D NIP 19630826 198803 1 002

Telah dipertahankan di depan Dewan Penguji

pada hari Rabu, tanggal 22 Juli 2009

dan dinyatakan telah memenuhi syarat.

Anggota Tim Penguji Tanda Tangan

1. Drs. Siswanto, M.Si

NIP 19670813 199203 1 002 1. ......................

2. Dra. Sri Sulistijowati H, M.Si

NIP 19690116 199402 2 001 2. ......................

3. Drs. Kartiko, M.Si

NIP 19500715 198601 1 001 3. ......................

Surakarta, ..... Juli 2009

Disahkan oleh

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Dekan, Ketua Jurusan Matematika,

Prof. Drs. Sutarno, M.Sc., Ph.D Drs. Kartiko, M.Si NIP 19600809 198612 1 001 NIP 19500715 198601 1 001

Page 3: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

iii

ABSTRAK

Swargadi R, 2009. PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT

UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH PEMOTONGAN KAYU DI PT.

INDO VENEER UTAMA SURAKARTA, Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret

Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) adalah dengan merumuskan masalah dari informasi yang tersedia, kemudian menterjemahkannya ke dalam bentuk model matematika. Salah satu penggunaan pemrograman bilangan bulat dalam bidang industri yaitu masalah optimalisasi produksi, yang membutuhkan variabel bernilai bulat. Pada permasalahan pemotongan kayu di PT. Indo Veneer Utama terdapat variasi panjang kayu dan jumlah persediaan kayu yang terbatas. Tujuan dari penulisan ini adalah menyelesaikan permasalahan program linear bilangan bulat yaitu meminimumkan sisa potongan kayu dengan menggunakan metode cabang dan batas. Berdasarkan pembahasan, diperoleh solusi optimal untuk diameter 50-79 cm yaitu x1 = 1; x2 = 13; x5 = 1; x8 = 24; x9 = 4, sedangkan untuk diameter ≥ 80 cm diperoleh hasil x9 = 9; x11 = 3; x14 = 1; x17 = 1; x18 = 2; x22 = 3, dengan xj adalah banyaknya kayu dengan panjang standar yang dipotong menurut pola j. Kata kunci: Pemrograman Bilangan Bulat, Metode Cabang dan Batas.

Page 4: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

iv

ABSTRACT

Swargadi R, 2009. THE USAGE OF INTEGER PROGRAMMING TO

SOLVE THE PROBLEM OF CUTTING WOOD IN PT. INDO VENEER

UTAMA SURAKARTA, Faculty of Mathematics and Natural Sciences,

Sebelas Maret University

The main idea used in the integer linear programming is by formulating

the problem from available information, then transforming it into mathematical model. One of using the integer programming in the field of industry that is problem optimalization production, which requiring integer variable. Problems of cutting wood in PT. Indo Veneer Utama are long wood variation and limited wood supply. The objective of this paper is to solve the integer linear programming problem that is minimizing the rest of wood cutting by using branch and bound method. Based on the result of research, it is obtained that the optimal solution for diameter 50-79 cm is x1 = 1; x2 = 13; x5 = 1; x8 = 24; x9 = 4, while for diameter ≥ 80 cm is x9 = 9; x11 = 3; x14 = 1; x17 = 1; x18 = 2; x22 = 3, where xj is the number of wood with crosscut standard length according pattern j.

Key words: Integer Programming, Branch and Bound Method.

Page 5: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

v

MOTTO

“Allah SWT tidak membebani seseorang melainkan sesuai dengan

kesanggupannya ”

( QS. Al Baqarah: 286 )

“Sesungguhnya Allah SWT beserta orang – orang yang yang sabar”

( QS. Al Anfaal: 46 )

“Apa saja nikmat yang kamu peroleh adalah dari Allah SWT, dan apa saja

bencana yang menimpamu, maka dari (kesalahan) dirimu sendiri”

( QS. Al Nisaa’: 79 )

“Jangan pernah berhenti berjuang, karena setiap langkah perjuangan kita ada

harapan dari orang-orang tercinta kita demi masa depan kita”

“Suatu keputusan yang Bijaksana adalah fokus dalam mencari solusi dari

masalah bukan fokus pada masalah”

You Can, if You Think You Can

( Dr Norman V Peal )

Page 6: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

vi

PERSEMBAHAN

Karya sederhana ini kupersembahkan untuk :

v Bapak, Ibu & Seluruh Keluarga

v Seseorang yang benar – benar menginginkan

saya bisa lulus kuliah

Page 7: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

vii

KATA PENGANTAR

Puja dan puji syukur penulis panjatkan kehadirat ALLAH SWT yang telah

melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan

penulisan skripsi ini. Shalawat serta salam semoga tercurah kepada suri teladan

kita, Rasulullah Muhammad SAW.

Skripsi ini tidak akan dapat tersusun tanpa adanya bimbingan, petunjuk,

saran, dan dukungan dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini penulis ingin

menyampaikan ucapan terima kasih kepada pihak yang telah membantu penulis

dalam penyusunan skripsi ini, terutama kepada :

1. Ibu Dra. Diari Indriati, M.Si, dan Bapak Drs. Tri Atmojo K, M.Sc, Ph.D,

selaku Dosen Pembimbing I dan Dosen Pembimbing II yang dengan sabar

mengarahkan dan membimbing penulis dalam penyusunan skripsi ini,

2. Ibu Dra. Respatiwulan, M.Si, selaku Pembimbing Akademis yang telah

memberikan bimbingan, masukan dan dorongan semangat untuk lebih baik,

3. Seluruh staf dosen dan karyawan, khususnya di Jurusan Matematika dan

umumnya di Fakultas MIPA,

4. Bapak Yadi, atas bantuan dan kemudahan dalam pengambilan data,

5. Teman – teman seperjuangan angkatan 2001, Suparno, Guritna, Intan,

Priyanto dan Tezar atas bantuan, semangat, ilmu serta dukungannya,

6. Sri Mulyani, seseorang yang selalu sabar dalam memberi semangat, dukungan

serta do’anya,

7. Semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu.

Semua pihak yang telah membantu penulisan skripsi ini, yang tidak dapat

penulis sebutkan satu persatu.

Terlepas dari kekurangan yang ada dalam skripsi ini, semoga memberikan

manfaat bagi para pembaca.

Surakarta, Juni 2009

Penulis

Page 8: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

viii

DAFTAR ISI

JUDUL ………………………………………………………………………..... i

PENGESAHAN ...……………………………………………………………… ii

ABSTRAK ...…………………………………………………………………… iii

ABSTRACT …………………………………………………………………....... iv

MOTTO ...………………………………………………………………………. v

PERSEMBAHAN ...…………………………………………………………..... vi

KATA PENGANTAR ...……………………………………………………….. vii

DAFTAR ISI ...………………………………………………………………… viii

DAFTAR TABEL ...…………………………………………………………… x

DAFTAR GAMBAR...………………………………………………………… xi

DAFTAR LAMPIRAN ...……………………………………………………… xii

I. PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang Masalah ...…………………………………………….. 1

1.2 Perumusan Masalah ...…………………………………………………. 3

1.3 Batasan Masalah ...…………………………………………………….. 3

1.4 Tujuan Penulisan ……...……………………………………………….. 3

1.5 Manfaat Penulisan ...…………………………………………………… 3

II. LANDASAN TEORI 4

2.1 Tinjauan Pustaka ...…………………………………………………….. 4

2.1.1 Pemrograman Bilangan Bulat ...……………………………….... 4

2.1.2 Bentuk Umum Program Bilangan Bulat ……………...………… 4

2.1.3 Metode Cabang dan Batas .....................……………...………… 5

2.1.3.1 Pencabangan .................................................................... 5

2.1.3.2 Pembatasan ...................................................................... 7

Page 9: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

ix

2.1.3.3 Penghentian ..................................................................... 8

2.1.3.4 Uji Keoptimuman............................................................. 8

2.1.4 Metode Simpleks ...................................……………...………… 9

2.2 Kerangka Pemikiran ...………………………………………………..... 11

III. METODE PENELITIAN 12

IV. PEMBAHASAN 13

4.1 Deskripsi Lokasi………....…………………………………………....... 13

4.2 Bahan Baku…………………………………..…………....…………… 13

4.3 Peralatan…………..……………………………………………………. 13

4.4 Sistem Kerja….......……....………………………………………….......13

4.5 Data Hasil Penelitian .………………………..…………....…………… 14

4.6 Pembuatan Model....……………………………………………………. 14

4.6.1 Asumsi-asumsi...….........................………..………………….... 14

4.6.2 Pembuatan Model Matematika .………………………..………..15

4.6.2.1 Model Matematika Pemotongan Kayu

Diameter 50 – 79 cm .................................................18

4.6.2.2 Model Matematika Pemotongan Kayu

Diameter ≥ 80 cm ......................................................18

4.7 Penyelesaian Model Menggunakan Metode Cabang dan Batas

dan Analisis Hasil Penyelesaian …………..…………………………… 19

V. PENUTUP 31

5.1 Kesimpulan ...………………………………………………………….. 31

5.2 Saran ...………………………………………………………………… 32

DAFTAR PUSTAKA ………………………………………………………… 33

LAMPIRAN ……………………………………………………………………. 34

Page 10: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

x

DAFTAR TABEL

4.1 Pola Pemotongan untuk Diameter 50 - 79 cm dengan Panjang Standar

10,24 m.................................………………………………………….......... 15

4.2 Pola Pemotongan untuk Diameter > 80 cm dengan Panjang Standar

11,3 m............................................................................................................. 16

Page 11: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

xi

DAFTAR GAMBAR

4.1 Contoh Pencabangan ..................................................................................... 6

4.2 Iterasi Pertama Pencabangan Kayu dengan Diameter 50 – 79 cm ................ 21

4.3 Iterasi Kedua Pencabangan Kayu dengan Diameter 50 – 79 cm .................. 21

4.4 Iterasi Ketiga Pencabangan Kayu dengan Diameter 50 – 79 cm .................. 22

4.5 Iterasi Pertama Pencabangan Kayu dengan Diameter ≥ 80 cm..................... 26

4.6 Iterasi Kedua Pencabangan Kayu dengan Diameter ≥ 80 cm........................ 27

4.7 Iterasi Ketiga Pencabangan Kayu dengan Diameter ≥ 80 cm........................ 28

Page 12: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

xii

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1. Tabel Kayu Logs Merbau dengan Diameter 50-79 cm...............… 34

Lampiran 2. Tabel Kayu Logs Merbau dengan Diameter ≥ 80 cm...........…….. 36

Lampiran 3. Penyelesaian Metode 2 Tahap untuk Kayu Logs Merbau

dengan Diameter 50-79 cm ………............................................… 38

Lampiran 4. Pohon Penyelesaian Kayu Logs Merbau

dengan Diameter 50-79 cm...................................................…….. 41

Lampiran 5. Nilai-nilai Hasil Penerapan Metode Pencabangan

dan Pembatasan untuk Kayu Logs Merbau

dengan Diameter 50-79 cm..……….................………………...... 42

Lampiran 6. Penyelesaian Metode 2 Tahap untuk Kayu Logs Merbau

dengan Diameter ≥ 80 cm ……..…............................................… 51

Lampiran 7. Pohon Penyelesaian Kayu Logs Merbau

dengan Diameter ≥ 80 cm...................................................……… 57

Lampiran 8. Nilai-nilai Hasil Penerapan Metode Pencabangan

dan Pembatasan untuk Kayu Logs Merbau

dengan Diameter ≥ 80 cm..……….................………………........ 61

Page 13: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

xiii

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Dalam kehidupan sehari-hari banyak dijumpai permasalahan dengan

tujuan untuk mendapatkan suatu penyelesaian secara optimal, hal ini dapat dilihat

dari usaha untuk memaksimalkan atau meminimalkan sumber-sumber yang

terbatas. Sumber-sumber tersebut antara lain mesin, tenaga kerja, bahan baku,

peralatan, dan lain sebagainya. Dengan alasan itulah, diperkenalkan riset operasi

(operation research) yang pada prinsipnya berisi teknik kuantitatif yang banyak

dipakai dalam pengambilan keputusan.

Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan atau

merumuskan permasalahan sehari-hari ke dalam pemodelan matematika untuk

mendapatkan penyelesaian yang optimal (Bustani, 2005). Salah satu alat riset

operasi yang efektif untuk menyelesaikan masalah optimalisasi adalah

pemrograman linear. Pokok pikiran dalam menggunakan program linear adalah

dengan merumuskan masalah dari informasi yang tersedia, kemudian

menterjemahkannya ke dalam bentuk model matematika. Sifat linear di sini

memberi arti bahwa seluruh fungsi matematis dalam model ini merupakan fungsi

linear, sedangkan kata pemrograman merupakan sinonim dari perencanaan.

Pemrograman linear dapat digunakan pada berbagai permasalahan dalam berbagai

bidang kegiatan. Permasalahan-permasalahan ini dapat dimodelkan menjadi

bermacam-macam model, seperti model transportasi, model penugasan, dan lain-

lain sebagainya.

Pada penelitian ini, mengkhususkan pembahasan mengenai penggunaan

pemrograman linear dalam bidang industri yaitu masalah optimalisasi produksi.

Hampir semua perusahaan komersial mempunyai tujuan yaitu pencapaian

keuntungan hingga semaksimal mungkin dan penekanan kerugian hingga

seminimal mungkin. Salah satu faktor yang mempengaruhi pendapatan adalah

penanganan persediaan bahan. Penanganan persediaan bahan yang tepat dapat

1

Page 14: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

xiv

membantu perusahaan meraih keuntungan. Sebaliknya, penanganan persediaan

bahan yang tidak tepat dapat menyebabkan kerugian bagi perusahaan.

Masalah produksi ini kadang mengharuskan beberapa atau semua

variabelnya bernilai bulat. Seperti pada industri mebel, yang optimalisasi

produksinya adalah menentukan jumlah produk-produk yang akan dibuat. Produk

seperti kayu untuk bahan membuat meja, kursi dan lemari harus dibuat dalam

keadaan utuh atau bernilai bulat, sehingga diperlukan suatu pemrograman lain

untuk mengoptimalkan.

Permasalahan pemrograman linear yang membutuhkan variabel bernilai

bulat dapat menggunakan pemrograman bilangan bulat (integer programming)

(Gamal, 2003). Pemrograman bilangan bulat ini dikatakan linear jika fungsi

obyektif dan kendalanya berbentuk linear, sehingga pemrograman ini disebut

pemrograman linear bilangan bulat (integer linear programming). Pada

pemrograman linear bilangan bulat, fungsi-fungsinya hampir sama dengan

pemrograman linear, hanya ditambahkan syarat bilangan bulat pada kendala

nonnegativitas.

PT. Indo Veneer Utama, salah satu industri perkayuan yang ada di

Surakarta. PT. Indo Veneer Utama memproduksi batangan-batangan kayu

menjadi persediaan kayu dalam potongan-potongan yang lebih kecil. Tetapi

selama ini penggunaan bahan baku kurang optimal sehingga menyebabkan

banyaknya sisa hasil produksi yang tidak bisa digunakan lagi.

Pada penulisan ini dikaji penyelesaian permasalahan pemotongan kayu di

PT. Indo Veneer Utama dimana terdapat variasi panjang kayu dan mempunyai

jumlah persediaan yang terbatas. Setiap potongan kayu yang diperoleh dari kayu

batangan yang dipotong menurut ukuran yang dikehendaki, dimana sebatang kayu

dapat dipotong menurut berbagai pola potong sesuai ukuran permintaan

(Linawati, 2005). Oleh karena itu, perlu dibangun suatu model yang dapat

meminimalkan nilai total sisa pemotongan kayu. Berdasarkan model yang

diperoleh, meminimalkan penggunaan kayu berarti juga meminimalkan nilai total

sisa pemotongan kayu.

Page 15: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

xv

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah, permasalahan yang dibahas dalam

penulisan skripsi ini adalah

1. bagaimana membuat model matematika untuk meminimalkan nilai total sisa

pemotongan kayu?

2. bagaimana menentukan penyelesaian dari model matematika tersebut sehingga

tercapai keoptimalan dan menganalisisnya?

1.3 Batasan Masalah

Pembahasan masalah dalam skripsi ini dibatasi oleh hal-hal sebagai

berikut

1. persediaan bahan homogen berbentuk kayu batangan lurus tanpa cacat,

2. serpihan bahan yang terbuang pada proses pemotongan diabaikan (dianggap

tidak ada),

3. pola pemotongan satu dimensi.

1.4 Tujuan Penulisan

Tujuan dalam penulisan skripsi ini adalah

1. dapat membuat model matematika untuk meminimalkan nilai total sisa

pemotongan kayu,

2. dapat menentukan penyelesaian dari model matematika tersebut sehingga

tercapai keoptimalan dan menganalisisnya.

1.5 Manfaat Penulisan

Manfaat dari penulisan skripsi ini adalah

1. menambah wawasan dan memperluas penerapan matematika khususnya

bidang riset operasi pada industri dan perusahaan,

2. perusahaan PT. Indo Veneer Utama yang mempunyai permasalahan

pemotongan kayu bisa menyelesaikan permasalahannya sehingga bisa

meningkatkan keuntungan perusahaan.

Page 16: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

xvi

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Tinjauan Pustaka

2.1.1 Pemrograman Bilangan Bulat

Menurut Hillier dan Lieberman (1994), model matematika untuk

pemrograman bilangan bulat sama dengan model pemrograman linear, dengan

penambahan satu batasan yaitu batasan bahwa semua atau sebagian nilai

variabelnya berupa bilangan bulat. Jika semua nilai variabelnya bilangan bulat,

maka pemrograman ini disebut pemrograman bilangan bulat murni, tetapi jika

hanya beberapa variabel berupa bilangan bulat, maka disebut pemrograman

bilangan bulat campuran.

2.1.2 Bentuk Umum Program Bilangan Bulat

Menurut Mulyono (1991), bentuk umum program bilangan bulat adalah :

Maksimalkan / Minimalkan å=

=n

jjj xcZ

1

Kendala :

å= ÷

÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

³=£

n

jijij bxa

1

(2.1)

xj ≥ 0

xj bilangan bulat

untuk i = 1, 2, ..., m;

j = 1, 2, ..., n.

Z : fungsi tujuan

cj : koefisien fungsi tujuan

xj : variabel yang tidak diketahui

aij : koefisien kendala

bi : nilai ruas kanan kendala

4

Page 17: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

xvii

Bentuk umum program tersebut harus berada pada bentuk standar.

Perubahan ke bentuk standar dengan cara sebagai berikut

1. Menambahkan variabel slack pada setiap persamaan kendala yang

mengandung hubungan fungsional (≤).

2. Mengurangkan variabel surplus pada setiap persamaan kendala yang

mengandung hubungan fungsional (≥).

3. Menambahkan variabel buatan pada setiap persamaan yang mengandung

hubungan fungsional (≥ atau =).

2.1.3 Metode Cabang dan Batas

Salah satu metode untuk menyelesaikan program bilangan bulat adalah

metode pencabangan dan pembatasan (Hillier dan Lieberman, 1994). Dalam

metode pencabangan dan pembatasan didefinisikan program linear relaksasi yaitu

program bilangan bulat yang dihilangkan batas bilangan bulatnya. Pada dasarnya

metode pencabangan dan pembatasan mengandung 3 langkah dasar, yaitu

pencabangan, pembatasan, dan penghentian.

2.1.3.1 Pencabangan

Variabel yang dibatasi bilangan bulat dengan nilai bukan bilangan bulat

pada penyelesaian program linear relaksasi dipilih sebagai variabel pencabangan.

Misal kx = *kx , dimana kx adalah variabel yang dibatasi bilangan bulat,

sedangkan *kx adalah bilangan bukan bilangan bulat, maka kx dapat dipilih

sebagai variabel pencabangan. Dengan memilih kx sebagai variabel pencabangan

diperoleh 2 submasalah, yaitu :

Submasalah 1.

Submasalah 1 dibuat dengan cara menambahkan kendala kx < [ *kx ] pada

bentuk umum, sehingga bentuknya menjadi seperti berikut

Maksimalkan / Minimalkan å=

=n

jjj xcZ

1

Page 18: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

xviii

1 2

Awal

Kendala :

å= ÷

÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

³=£

n

jijij bxa

1

kx < [ *kx ]

xj ≥ 0

xj bilangan bulat

untuk i = 1, 2, ..., m;

j = 1, 2, ..., n.

Submasalah 2.

Submasalah 2 dibuat dengan cara menambahkan kendala kx > [ *kx ] + 1 pada

bentuk umum, sehingga bentuknya menjadi seperti berikut

Maksimalkan / Minimalkan å=

=n

jjj xcZ

1

Kendala :

å= ÷

÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

³=£

n

jijij bxa

1

kx > [ *kx ] + 1

xj ≥ 0

xj bilangan bulat

untuk i = 1, 2, ..., m;

j = 1, 2, ..., n.

Dengan [ *kx ] adalah bilangan bulat terbesar yang kurang dari *

kx , dan

[ *kx ] + 1 adalah bilangan bulat terkecil yang lebih dari *

kx .

Pencabangan tersebut diilustrasikan seperti tampak dalam Gambar 2.1 kx < [ *

kx ] kx > [ *kx ] + 1

Gambar 2.1 Contoh Pencabangan

Page 19: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

xix

Menurut Bronson (1996), biasanya pencabangan dilakukan pada program

yang mendekati optimal. Apabila terdapat lebih dari satu program yang menjadi

calon untuk pencabangan selanjutnya, dipilih program yang memiliki harga Z

terbesar jika fungsi objektifnya hendak dimaksimalkan, atau yang memiliki harga

Z terkecil jika fungsi objektifnya hendak diminimalkan.

Pada tiap pencabangan ditambahkan sebuah kendala tambahan. Jika suatu

aproksimasi pertama mengandung lebih dari satu variabel tak bulat, maka

kendala-kendala yang baru ini hanya diperkenalkan pada variabel yang

menyimpang paling jauh dari bilangan bulat, yakni variabel yang bagian

pecahannya mendekati 0,5. Dalam hal berakhir seri, maka dapat dipilih secara

sembarang salah satu variabelnya.

Seandainya suatu program bilangan bulat memiliki lebih dari satu

pemecahan, maka dapat dipilih secara sembarang salah satu pemecahannya

sebagai yang optimal dan mengabaikan yang sisanya.

Pencabangan dilakukan setahap demi setahap sampai diperoleh

penyelesaian bilangan bulat optimal. Seluruh tahapan pencabangan digambarkan

sebagai pohon penyelesaian.

2.1.3.2 Pembatasan

Untuk setiap submasalah diperlukan suatu batas untuk penyelesaian fisibel

terbaiknya, yaitu dengan menyelesaikan program linear relaksasi dari submasalah

tersebut menggunakan metode simpleks.

Proses pencabangan akan terus dilakukan hingga diperoleh sebuah

pemecahan bilangan bulat yang pertama. Nilai obyektif dari pemecahan bilangan

bulat yang pertama harus disimpan sebagai incumbent (penyelesaian terbaik

sementara) dan menjadi suatu batas terbawah untuk masalah memaksimalkan atau

sebagai batas teratas untuk masalah meminimalkan.

Proses pencabangan ini terus berlanjut dari nilai obyektif pemecahan

bilangan tak bulat yang memberikan nilai-nilai fungsi obyektif dan lebih kecil

daripada batas teratas (untuk masalah meminimalkan). Jika dalam proses

pencabangan ditemukan sebuah pemecahan bilangan bulat baru, yang nilai fungsi

obyektifnya lebih kecil daripada batas teratas maka nilai dari fungsi obyektif

Page 20: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

xx

tersebut menjadi batas atas yang baru. Nilai fungsi obyektif yang menghasilkan

nilai yang sama dengan batas teratas atau lebih besar dari batas teratas yang

terbaru (meminimalkan) selanjutnya akan diabaikan (pencabangan dihentikan).

2.1.3.3 Penghentian

Suatu submasalah dengan variabel keputusan yang dibatasi bilangan bulat

pada program linear relaksasinya mempunyai nilai yang bilangan bulat, maka

penyelesaian tersebut merupakan penyelesaian optimal submasalah itu sendiri dan

disimpan sebagai incumbent. Nilai ini dinyatakan sebagai Z* sama dengan nilai

untuk incumbent sementara.

Selanjutnya suatu submasalah dapat dihentikan atau dihapuskan apabila

memenuhi salah satu dari uji penghentian berikut

Uji 1. Batas submasalah > Z*

Suatu submasalah dengan Z > Z* harus dihentikan karena apabila

dilakukan pencabangan untuk submasalah ini maka tidak akan diperoleh

penyelesaian yang lebih baik dari Z* atau incumbent.

Uji 2. Penghentian langsung

Jika dengan metode simpleks program linear relaksasinya tidak

mempunyai penyelesaian fisibel, maka submasalah tersebut dihilangkan /dihapus.

Uji 3. Penyelesaian optimal program linear relaksasinya berupa

penyelesaian bilangan bulat.

Jika penyelesaian ini lebih baik (lebih kecil) dari incumbent yang ada

maka penyelesaian ini menjadi incumbent yang baru, dan uji 1 digunakan kembali

untuk submasalah yang belum dihentikan dengan nilai Z* baru yang lebih kecil.

2.1.3.4 Uji Keoptimalan

Penyelesaian program (2.1) optimal jika tidak ada lagi submasalah yang

masih harus dicabangkan. Penyelesaian optimal dari masalah (2.1) adalah

penyelesaian yang menjadi incumbent terakhir. Jika tidak ada penyelesaian yang

menjadi incumbent, maka disimpulkan bahwa masalah (2.1) tidak mempunyai

penyelesaian fisibel.

Page 21: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

xxi

2.1.4 Metode Simpleks

Metode simpleks adalah suatu prosedur berulang-ulang yang bergerak dari

satu penyelesaian dasar fisibel ke arah penyelesaian fisibel berikutnya sedemikian

sehingga fungsi tujuan ke arah optimal. Penyelesaian dasar fisibel diperoleh jika

semua variabel dasar tidak negatif. Suatu penyelesaian dasar fisibel yang

mengoptimalkan fungsi tujuan disebut penyelesaian dasar fisibel optimal.

Berikut diberikan definisi-definisi yang dikutip dari buku Taha (1996)

Definisi 2.1.1 Variabel dasar adalah variabel yang nilainya tidak nol dalam tabel

simpleks. Sebaliknya, variabel tidak dasar adalah variabel yang bernilai nol

dalam tabel simpleks.

Definisi 2.1.2 Entering variabel (ev) adalah variabel tidak dasar yang akan

menjadi variabel dasar pada iterasi berikutnya.

Definisi 2.1.3 Leaving variabel (lv) adalah variabel dasar yang akan keluar

menjadi variabel tidak dasar pada iterasi berikutnya.

Definisi 2.1.4 Elemen Pivot adalah elemen yang merupakan irisan antara kolom

masuk dan persamaan pivot.

Definisi 2.1.5 Kondisi Optimalitas : variabel masuk dalam maksimisasi

(minimisasi) adalah variabel nondasar dengan koefisien yang paling negatif

(positif) dalam persamaan tujuan Z.

Definisi 2.1.6 Kondisi Kelayakan : untuk masalah maksimisasi maupun

minimisasi, variabel keluar adalah variabel dasar saat ini yang memiliki titik

potong terkecil (rasio minimal dengan penyebut yang positif secara ketat) dalam

arah variabel masuk.

Langkah-langkah dalam metode simpleks sebagai berikut

Langkah 0 :

Dengan menggunakan bentuk standar, ditentukan pemecahan dasar awal yang

fisibel.

Langkah 1 :

Dipilih ev diantara variabel nondasar dengan menggunakan kondisi

optimalitas.

Page 22: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

xxii

Langkah 2 :

Dipilih lv dari variabel dasar dengan menggunakan kondisi kelayakan.

Langkah 3 :

Ditentukan nilai variabel dasar yang baru dengan membuat ev tersebut sebagai

variabel dasar dan lv sebagai variabel nondasar. Kembali ke Langkah 1.

Setelah ev dan lv ditemukan, iterasi berikutnya dilakukan dengan

metode Gauss-Jordan. Metode ini menyebabkan adanya perubahan dalam

variabel dasar dengan menggunakan dua jenis perhitungan :

Tipe I (persamaan pivot)

persamaan pivot baru = persamaan pivot lama dibagi elemen pivot

Tipe II (untuk semua persamaan)

persamaan baru = persamaan lama dikurangi (koefisien kolom masuk

dikalikan persamaan pivot baru)

Dalam metode simpleks terkadang muncul suatu kejadian khusus sehingga

tidak diperoleh suatu keputusan yang jelas (Taha, 1996). Kejadian-kejadian

khusus tersebut adalah sebagai berikut

1. Degenerasi.

Degenerasi merupakan suatu kondisi di mana variabel dasar bernilai nol pada

iterasi selanjutnya dan nilainya tujuannya tidak berubah.

Degenerasi mempunyai 2 implikasi, implikasi pertama berkaitan dengan

fenomena perputaran (cycling) yang nantinya akan mengulang urutan iterasi

yang sama tanpa pernah memperbaiki nilai tujuan dan tidak pernah

mengakhiri perhitungan, implikasi kedua timbul argumen untuk kemungkinan

menghentikan perhitungan meski pemecahan tidak optimal.

2. Optimal alternatif.

Hal ini terjadi bila suatu masalah mempunyai lebih dari satu penyelesaian

fisibel dasar yang optimal. Suatu penyelesaian dengan metode simpleks

mempunyai penyelesaian alternatif bila sekurang-kurangnya satu di antara

variabel-variabel tidak dasar memiliki koefisien nol pada fungsi tujuan.

Apabila variabel ini dipilih sebagai ev maka tidak akan mengubah nilai Z.

Page 23: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

xxiii

3. Penyelesaian tidak dibatasi.

Hal ini terjadi apabila ruang penyelesaian tidak dibatasi sehingga tujuan dapat

meningkat secara pesat.

4. Penyelesaian tidak fisibel.

Pemecahan tidak fisibel terjadi bila kendala tidak dipenuhi secara simultan.

2.2 Kerangka Pemikiran

Model Matematika dari permasalahan pemotongan kayu dapat diturunkan

dengan terlebih dulu mendefinisikan variabel-variabel dan tujuannya. Selanjutnya,

dapat dibangun kendala dan fungsi tujuan model matematika dari permasalahan

pemotongan kayu. Model matematika dari permasalahan pemotongan kayu

diselesaikan dengan metode simpleks. Apabila salah satu nilai optimal variabel

keputusan yang diperoleh dari metode simpleks tidak bilangan bulat maka

penyelesaian optimal bilangan bulat dicari dengan pemrograman bilangan bulat.

Page 24: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

xxiv

BAB III

METODE PENELITIAN

Metode yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah gabungan studi

literatur dan studi kasus. Langkah-langkah yang dilakukan adalah

1. Mengkaji tentang program linear, metode simpleks, program bilangan

bulat.

2. Mengambil data-data yang diperlukan di PT. Indo Veneer Utama.

3. Membuat model matematika untuk meminimalkan nilai total sisa

pemotongan kayu.

4. Menyelesaikan model matematika tersebut dengan metode simpleks

program bilangan bulat.

5. Aplikasi menggunakan paket software TORA.

6. Menganalisis hasil penyelesaian model matematika tesebut.

7. Menarik kesimpulan.

12

Page 25: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

xxv

BAB IV

PEMBAHASAN

4.1. Deskripsi Lokasi

Penelitian dilakukan di PT. Indo Veneer Utama yang merupakan salah satu

perusahaan besar yang bergerak di bidang usaha perkayuan yang ada di Surakarta,

Jawa Tengah. Lokasi perusahaannya berada di jalan Adi Sucipto, desa Blulukan,

Kecamatan Colomadu, Kabupaten Karanganyar, Jawa Tengah. Luas area

perusahaan adalah 3.820 m3.

4.2. Bahan Baku

Bahan baku utama yang digunakan PT. Indo Veneer Utama untuk

pembuatan furniture adalah kayu logs merbau. Yang disebut logs adalah kayu

hasil penebangan dan dari sini proses pembuatan furniture berawal. Bahan baku

ini dipasok dari Surabaya menggunakan trailer.

4.3. Peralatan

1. Sawmilling

Alat untuk memotong kayu hasil penebangan (logs).

2. Traktor Pengangkut

Kendaraan untuk mengangkut kayu hasil penebangan (logs) ke tempat

penggergajian.

3. Meteran

Alat untuk mengukur panjang kayu.

4.4. Sistem Kerja

Sistem kerja di PT. Indo Veneer Utama sampai dengan proses

penggergajian adalah sebagai berikut

1. Kayu hasil penebangan (logs) yang datang langsung masuk PT. Indo Veneer

Utama dan didata di bagian logistik.

2. Logs dikelompokkan sesuai dengan kelompok diameter.

13

Page 26: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

xxvi

3. Masuk ke proses penggergajian sesuai dengan kelompok diameter.

4. Proses penggergajian menggunakan sawmilling.

4.5. Data Hasil Penelitian

Dari penelitian yang penulis lakukan di PT. Indo Veneer Utama diperoleh

data-data mengenai bahan baku produksi, jenis produksi, dan laporan hasil

produksi selama bulan Januari 2009. Perincian data bahan baku produksi PT. Indo

Veneer Utama sebagai berikut

Bahan Baku Utama Produksi di PT. Indo Veneer Utama adalah kayu logs

merbau yang diambil dari Surabaya. Data bahan baku untuk kayu diameter

50-79 cm dan untuk kayu dengan diameter > 80 cm diberikan pada Lampiran 1

dan Lampiran 2.

Berdasarkan data, diperoleh panjang standar untuk kayu dengan diameter

50-79 cm adalah 10,24 m dan panjang standar untuk kayu dengan diameter

> 80 cm adalah 11,3 m, dimana panjang standar adalah panjang rata-rata kayu.

4.6. Pembuatan Model

4.6.1 Asumsi-asumsi

Asumsi-asumsi yang digunakan dalam pembuatan model matematika dari

formulasi persoalan pemotongan kayu di PT. Indo Veneer Utama adalah :

1. agar kayu dapat selalu diproduksi setiap waktu produksi, diasumsikan bahan

berupa kayu logs merbau selalu tersedia untuk proses produksi, artinya

persediaan kayu logs merbau selalu ada tidak dipengaruhi oleh keadaan alam.

2. pembuatan model setiap bulan tidak dipengaruhi oleh sisa produksi bulan

sebelumnya.

3. persediaan bahan homogen berbentuk kayu batangan panjang lurus tanpa

cacat.

4. perusahaan hanya menerima pemotongan kayu dengan panjang minimalnya

adalah panjang standar. Panjang standar adalah panjang rata-rata logs. Panjang

standar untuk pemotongan kayu dengan diameter 50-79 cm adalah 10,24

Page 27: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

xxvii

meter dan panjang standar untuk pemotongan kayu dengan diameter > 80 cm

adalah 11,3 meter.

4.6.2 Pembuatan Model Matematika

Tabel 4.1. Pola Pemotongan untuk Diameter 50-79 cm

dengan panjang standar 10,24 m

Pola (j) Jumlah Panjang

100cm (Batang)

Jumlah Panjang

220 cm (Batang)

Jumlah Panjang

440 cm (Batang)

Sisa (cm)

1 10 0 0 24

2 8 1 0 4

3 5 2 0 84

4 5 0 1 84

5 3 3 0 64

6 3 1 1 64

7 1 4 0 44

8 1 2 1 44

9 1 0 2 44

Keterangan :

Cara menentukan pola yaitu kayu dengan panjang standar 10,24 m

dipotong–potong sesuai dengan panjang yang diinginkan, dengan segala

kemungkinan cara pemotongan. Untuk membuat GF (Garden Furniture)

diperlukan kayu-kayu dengan ukuran panjang 100 cm, 220 cm, dan 440 cm.

Pola 1, dari panjang standar 10,24 m dipotong–potong untuk panjang 100

cm diperoleh 10 potongan kayu dan masih mempunyai sisa 24 cm.

Pola 2, dari panjang standar 10,24 m dipotong–potong untuk panjang 100

cm diperoleh 8 potongan kayu, untuk panjang 220 cm diperoleh 1 potongan kayu

dan masih mempunyai sisa 4 cm.

Pola 3 s/d pola 9 diperoleh dengan cara yang sama.

Page 28: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

xxviii

Tabel 4.2. Pola Pemotongan untuk Diameter > 80 cm

dengan panjang standar 11,3 m

Pola (j) Jumlah

Panjang 100

cm (Batang)

Jumlah

Panjang 220

cm (Batang)

Jumlah

Panjang 285

cm (Batang)

Jumlah

Panjang 440

cm (Batang)

Sisa (cm)

1 11 0 0 0 30

2 9 1 0 0 10

3 8 0 1 0 45

4 6 2 0 0 90

5 6 1 1 0 25

6 6 0 0 1 90

7 5 0 2 0 60

8 4 3 0 0 70

9 4 2 1 0 5

10 4 1 0 1 70

11 4 0 1 1 5

12 3 1 2 0 40

13 2 4 0 0 50

14 2 2 0 1 50

15 2 0 0 2 50

16 2 0 3 0 75

17 1 2 2 0 20

18 1 0 2 1 20

19 0 5 0 0 30

20 0 3 0 1 30

21 0 1 3 0 55

22 0 1 0 2 30

Keterangan :

Cara menentukan pola yaitu kayu dengan panjang standar 11,3 m

dipotong–potong sesuai dengan panjang yang diinginkan, dengan segala

Page 29: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

xxix

kemungkinan cara pemotongan. Untuk membuat SD (Solid Door) diperlukan

kayu-kayu dengan ukuran panjang 100 cm, 220 cm, 285 cm, dan 440 cm.

Pola 1, dari panjang standar 11,3 m dipotong–potong untuk panjang 100

cm diperoleh 11 potongan kayu dan masih mempunyai sisa 30 cm.

Pola 2, dari panjang standar 11,3 m dipotong–potong untuk panjang 100

cm diperoleh 9 potongan kayu, untuk panjang 220 cm diperoleh 1 potongan kayu

dan masih mempunyai sisa 10 cm.

Pola 3 s/d pola 21 diperoleh dengan cara yang sama.

Permintaan :

1. Untuk membuat GF (Garden Furniture) diperlukan kayu-kayu dengan ukuran

panjang 100 cm sebanyak 140 buah, 220 cm sebanyak 64 buah, dan 440 cm

sebanyak 32 buah.

2. Untuk membuat SD (Solid Door) diperlukan kayu-kayu dengan ukuran

panjang 100 cm sebanyak 52 buah, 220 cm sebanyak 24 buah, 285 cm

sebanyak 18 buah, dan 440 cm sebanyak 12 buah.

Merumuskan persoalan Program Linear sebagai berikut

Minimalkan : å=

=n

jjj xcZ

1

Kendala :

å= ÷

÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

³=£

n

jijij bxa

1

xj ≥ 0

xj bilangan bulat

untuk i = 1, 2, ..., m

j = 1, 2, ..., n

Z : fungsi tujuan

cj : koefisien fungsi tujuan

xj : banyaknya kayu dengan panjang standar yang dipotong menurut pola j.

Page 30: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

xxx

aij : jumlah potongan untuk panjang i dengan pola j

bi : banyaknya pesanan untuk panjang i

m : banyaknya pesanan

n : banyaknya pola pemotongan yang mungkin.

4.6.2.1 Model Matematika Pemotongan Kayu Diameter 50–79 cm

Sisa pemotongan + total permintaan = total panjang kayu yang di potong.

Total permintaan pelanggan (m) = 140 (1) + 64 (2,2) + 32 (4,4) = 421,6

Total panjang kayu yang dipotong (m) = 10,24 (x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6

+ x7 + x8 + x9)

Sisa pemotongan (m) = 10,24x1 + 10,24x2 + 10,24x3 + 10,24x4 + 10,24x5 +

10,24x6 + 10,24x7 + 10,24x8 + 10,24x9 – 421,6

Fungsi tujuannya adalah meminimalkan sisa pemotongan, yaitu

z = 10,24 x1 + 10,24 x2 + 10,24 x3 + 10,24 x4 + 10,24 x5 + 10,24 x6 + 10,24 x7

+ 10,24 x8 + 10,24 x9 – 421,6

Tanpa mempengaruhi optimasi, fungsi tujuan dapat ditulis sebagai berikut

Minimalkan : Z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9

kendala :

10x1 + 8x2 + 5x3 + 5x4 + 3x5 + 3x6 + x7 + x8 + x9 > 140

x2 + 2x3 + 3x5 + x6 + 4x7 + 2x8 > 64

x4 + x6 + x8 + 2x9 > 32

x1, x2, ..., x9 ≥ 0 dan bilangan bulat. ( 4.1 )

4.6.2.2 Model Matematika Pemotongan Kayu Diameter ≥ 80 cm

Sisa pemotongan + total permintaan = total panjang kayu yang di potong.

Total permintaan pelanggan (m) = 52 (1) + 24 (2,2) + 18 (2,85) + 12 (4,4) = 208.9

Total panjang kayu yang dipotong (m) = 11,3(x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8

+ x9 + x10 + x11 + x12 + x13 + x14 + x15 +

x16 + x17 + x18 + x19 + x20 + x21 + x22)

Sisa pemotongan (m) = 11,3x1 + 11,3x2 + 11,3x3 + 11,3x4 + 11,3x5 + 11,3x6 +

11,3x7 + 11,3x8 + 11,3x9 + 11,3x10 + 11,3x11 + 11,3x12 +

Page 31: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

xxxi

11,3x13 + 11,3x14 + 11,3x15 + 11,3x16 + 11,3x17 + 11,3x18

+ 11,3x19 + 11,3x20 + 11,3x21 + 11,3x22 – 208.9

Fungsi tujuannya adalah meminimalkan sisa pemotongan, yaitu

z = 11,3 x1 + 11,3 x2 + 11,3 x3 + 11,3 x4 + 11,3 x5 + 11,3 x6 + 11,3 x7 + 11,3 x8

+ 11,3 x9 + 11,3 x10 + 11,3 x11 + 11,3 x12 + 11,3 x13 + 11,3 x14 + 11,3 x15

+ 11,3 x16 + 11,3 x17 + 11,3 x18 + 11,3 x19 + 11,3 x20 + 11,3 x21 + 11,3 x22

– 208.9

Tanpa mempengaruhi optimasi, fungsi tujuan dapat ditulis sebagai berikut

Minimalkan : Z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10 + x11 + x12 + x13

+ x14 + x15 + x16 + x17 + x18 + x19 + x20 + x21 + x22

kendala :

11x1 + 9x2 + 8x3 + 6x4 + 6x5 + 6x6 + 5x7 + 4x8 + 4x9 + 4x10 + 4x11 + 3x12 +

2x13 + 2x14 + 2x15 + 2x16 + x17 + x18 > 52

x2 + 2x4 + x5 + 3x8 + 2x9 + x10 + x12 + 4x13 + 2x14 + 2x17 + 5x19 + 3x20 + x21

+ x22 > 24

x3 + x5 + 2x7 + x9 + x11 + 2x12 + 3x16 + 2x17 + 2x18 + 3x21 > 18

x6 + x10 + x11 + x14 + 2x15 + x18 + x20 + 2x22 > 12

x1, x2 , ..., x22 ≥ 0 dan bilangan bulat ( 4.2 )

4.7. Penyelesaian Model Menggunakan Metode Cabang dan Batas

dan Analisis Hasil Penyelesaian

4.7.1 Pola Pemotongan untuk Diameter 50-79 cm

Penyelesaian optimal menggunakan Teknik 2 Tahap (Two Phase)

Minimalkan

r = R1 + R2 + R3

= 236 - 10x1 - 9x2 - 7x3 - 6x4 - 6x5 - 5x6 - 5x7 - 4x8 - 3x9 + x10 + x11 + x12

kendala :

10x1 + 8x2 + 5x3 + 5x4 + 3x5 + 3x6 + x7 + x8 + x9 - x10 + R1 = 140

x2 + 2x3 + 3x5 + x6 + 4x7 + 2x8 - x11 + R2 = 64

x4 + x6 + x8 + 2x9 - x12 + R3 = 32

x1, x2, ..., x12, R1, R2, R3 > 0 dan bilangan bulat.

Page 32: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

xxxii

Langkah-langkah penyelesaian dengan menggunakan teknik 2 tahap diberikan

pada Lampiran 3.

Penyelesaian optimal untuk persoalan pemotongan kayu dengan diameter

50–79 cm adalah x2 = 13,94; x7 = 12,52; x9 = 16; Z = 42,45.

Karena penyelesaian optimal belum bilangan bulat, selanjutnya digunakan metode

pencabangan dan pembatasan.

Ditetapkan Z* = ∞

Iterasi 1

Pada penyelesaian optimal untuk program linear (4.1), variabel yang

dibatasi bilangan bulat dengan nilai bukan bilangan bulat pertama adalah

x7 = 12,52; sehingga x7 menjadi variabel pencabangan. Variabel pencabangan ini

membuat dua submasalah baru, yaitu :

Submasalah 1 : masalah (4.1) ditambah dengan kendala tambahan x7 < 12.

Minimalkan : Z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9

kendala :

10x1 + 8x2 + 5x3 + 5x4 + 3x5 + 3x6 + x7 + x8 + x9 > 140

x2 + 2x3 + 3x5 + x6 + 4x7 + 2x8 > 64

x4 + x6 + x8 + 2x9 > 32

x7 < 12

x1, x2, ..., x9 > 0 dan bilangan bulat.

Submasalah 2 : masalah (4.1) ditambah dengan kendala tambahan x7 > 13.

Minimalkan : Z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9

kendala :

10x1 + 8x2 + 5x3 + 5x4 + 3x5 + 3x6 + x7 + x8 + x9 ≥ 140

x2 + 2x3 + 3x5 + x6 + 4x7 + 2x8 ≥ 64

x4 + x6 + x8 + 2x9 ≥ 32

x7 ≥ 13

x1, x2, ..., x9 ≥ 0 dan bilangan bulat.

Page 33: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

xxxiii

0

2 1

4 3

1

Proses pencabangan untuk iterasi 1 dapat dilihat pada Gambar 4.1

127 £x 137 ³x

Gambar 4.1 Iterasi pertama

Penyelesaian optimal untuk submasalah 1 adalah

( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9 ) = (0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 12; 1,03; 15.48); dengan

nilai Z = 42,45.

Penyelesaian optimal untuk submasalah 2 adalah

( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9 ) = (1,50; 12; 0; 0; 0; 0; 13; 0; 16); dengan nilai

Z = 42,50.

Karena nilai Z pada submasalah 1 ≤ submasalah 2, submasalah 1 harus

dicabangkan lagi.

Iterasi 2

Mencabangkan submasalah 1, variabel yang dibatasi bilangan bulat

dengan nilai bukan bilangan bulat pada penyelesaian optimal submasalah 1 adalah

x9 = 15,48; sehingga x9 menjadi variabel pencabangan.

Variabel pencabangan submasalah 1 membuat dua submasalah baru, yaitu :

Submasalah 3 : submasalah 1 ditambah dengan kendala x9 < 15

Submasalah 4 : submasalah 1 ditambah dengan kendala x9 > 16

Proses pencabangan untuk iterasi 2 dapat dilihat pada Gambar 4.2

159 £x 169 ³x

Gambar 4.2 Iterasi kedua

Page 34: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

xxxiv

6 5

3

Penyelesaian optimal untuk submasalah 3 adalah

( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9 ) = (0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 11,52; 12; 15); dengan

nilai Z = 42,45.

Penyelesaian optimal untuk submasalah 4 adalah

( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9 ) = (0; 13,71; 0; 0; 0,76; 0; 12; 0; 16); dengan

nilai Z = 42,48.

Karena nilai Z pada submasalah 3 ≤ submasalah 4, submasalah 3 harus

dicabangkan lagi.

Iterasi 3

Mencabangkan submasalah 3, variabel yang dibatasi bilangan bulat

dengan nilai bukan bilangan bulat pada penyelesaian optimal submasalah 3 adalah

x7 = 11,52; sehingga x7 menjadi variabel pencabangan.

Variabel pencabangan submasalah 3 membuat dua submasalah baru, yaitu :

Submasalah 5 : submasalah 3 ditambah dengan kendala x7 < 11

Submasalah 6 : submasalah 3 ditambah dengan kendala x7 > 12

Proses pencabangan untuk iterasi 3 dapat dilihat pada Gambar 4.3

117 £x 12x 7 ³

Gambar 4.3 Iterasi ketiga

Penyelesaian optimal untuk submasalah 5 adalah

( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9 ) = (0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 11; 3,03; 14,48); dengan

nilai Z = 42,45.

Penyelesaian optimal untuk submasalah 6 adalah

( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9 ) = (1,50; 12; 0; 0; 0; 0; 12; 2; 15); dengan nilai

Z = 42,48.

Page 35: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

xxxv

Karena nilai Z pada submasalah 5 ≤ submasalah 6, submasalah 5 harus

dicabangkan lagi.

Iterasi selanjutnya

Iterasi 3 memberikan sisa 2 submasalah yaitu submasalah 5 dan 6. Karena

nilai Z pada submasalah 5 ≤ submasalah 6, submasalah 5 harus dicabangkan lagi.

Submasalah 5 harus dicabangkan dalam iterasi 4, menggunakan metode

pencabangan dan pembatasan diteruskan hingga diperoleh penyelesaian optimal

bilangan bulat untuk masalah (4.1). Hasil penerapan metode pencabangan dan

pembatasan pada masalah (4.1) diringkas dalam bentuk pohon penyelesaian. Pada

pohon penyelesaian, angka yang berada di dalam lingkaran menunjukkan nomor

submasalah. Lingkaran yang berwarna terang menunjukkan bahwa submasalah

dengan nomor di dalam lingkaran tersebut masih harus dicabangkan. Sedangkan

lingkaran yang berwarna gelap menunjukkan bahwa submasalah dengan nomor di

dalam lingkaran telah memenuhi syarat penghentian sehingga sudah tidak

dicabangkan.

Pohon penyelesaian dan nilai-nilai hasil penerapan metode pencabangan dan

pembatasan untuk kayu dengan diameter 50–79 cm (ada sebanyak 41 iterasi)

diberikan pada Lampiran 4 dan Lampiran 5.

Berdasarkan hasil pada Lampiran 4 dan Lampiran 5, Incumbent 1 (Z* baru)

diperoleh dari submasalah 58 dalam iterasi 29 dan tidak ada incumbent yang baru

(yang lebih baik lagi). Pada hasil diperoleh 3 penyelesaian optimal, yaitu pada

submasalah 58 dalam iterasi 29, submasalah 75 dalam iterasi 38 dan submasalah

81 dalam iterasi 41. Selanjutnya akan diuji pada ketiga penyelesaian optimal

tersebut manakah yang menghasilkan sisa pemotongan kayu diameter 50–79 cm

yang paling minimal.

Pengujian penyelesaian optimal untuk kayu dengan diameter 50-79 cm yang

menghasilkan sisa pemotongan kayu yang paling minimal adalah

NILAI Submasalah Variabel keputusan ( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9 )

Nilai Z Keterangan

58 ( 1; 13; 0; 0; 1; 0; 0; 24; 4 ) 43 Integer,Incumbent 1 (Z* = 43)

Page 36: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

xxxvi

Nilai total sisa pemotongan kayu diameter 50–79 cm adalah 1(24 cm) + 13(4 cm)

+ 1(64 cm) + 24(44 cm) + 4(44 cm) = ( 24 + 52 + 64 + 1056 + 176 ) cm

= 1372 cm = 13,72 m.

NILAI Submasalah Variabel keputusan ( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9 )

Nilai Z Keterangan

75 ( 1; 10; 3; 0; 1; 2; 0; 22; 4 ) 43 Integer

Nilai total sisa pemotongan kayu diameter 50–79 cm adalah 1(24 cm) + 10(4 cm)

+ 3(84 cm) + 1(64 cm) + 2(64 cm) + 22(44 cm) + 4(44 cm) = ( 24 + 40 + 252

+ 64 + 128 + 968 + 176 ) cm = 1652 cm = 16,52 cm.

NILAI Submasalah Variabel keputusan ( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9 )

Nilai Z Keterangan

81 ( 1; 8; 5; 0; 1; 5; 0; 19; 4 ) 43 Integer

Nilai total sisa pemotongan kayu diameter 50–79 cm adalah 1(24 cm) + 8(4 cm)

+ 5(84 cm) + 1(64 cm) + 5(64 cm) + 19(44 cm) + 4(44 cm) = ( 24 + 32 + 420

+ 64 + 320 + 836 + 176 ) cm = 1872 cm = 18,72 cm.

Berdasarkan hasil pembahasan nilai yang menghasilkan sisa pemotongan kayu

diameter 50–79 cm paling minimal diperoleh dari dari submasalah 59. Jadi untuk

meminimalkan nilai total sisa pemotongan kayu diameter 50–79 cm diperoleh dari

melakukan pemotongan kayu dengan pola pemotongan 1 sebanyak 1 buah, pola

pemotongan 2 sebanyak 13 buah, pola pemotongan 5 sebanyak 1 buah, pola

pemotongan 8 sebanyak 24 buah dan pola pemotongan 9 sebanyak 4 buah.

4.7.2 Pola Pemotongan untuk Diameter ≥ 80 cm

Penyelesaian optimal menggunakan Teknik 2 Tahap (Two Phase)

Minimalkan

r = R1 + R2 + R3 + R4

= 106 - 11x1 - 10x2 - 9x3 - 8x4 - 8x5 - 7x6 - 7x7 - 7x8 - 7x9 - 6x10 - 6x11 - 6x12

- 6x13 - 5x14 - 4x15 - 5x16 - 5x17 - 4x18 - 5x19 - 4x20 - 4x21 - 3x22 + x23 + 5x24

+ x25 + x26

Page 37: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

xxxvii

kendala :

11x1 + 9x2 + 8x3 + 6x4 + 6x5 + 6x6 + 5x7 + 4x8 + 4x9 + 4x10 + 4x11 + 3x12 +

2x13 + 2x14 + 2x15 + 2x16 + x17 + x18 - x23 + R1 = 52

x2 + 2x4 + x5 + 3x8 + 2x9 + x10 + x12 + 4x13 + 2x14 + 2x17 + 5x19 + 3x20 + x21

+ x22 - x24 + R2 = 24

x3 + x5 + 2x7 + x9 + x11 + 2x12 + 3x16 + 2x17 + 2x18 + 3x21 - x25 + R3 = 18

x6 + x10 + x11 + x14 + 2x15 + x18 + x20 + 2x22 - x26 + R4 = 12

x1, x2 , ..., x26, R1, R2, R3, R4 ≥ 0 dan bilangan bulat

Langkah-langkah penyelesaian dengan menggunakan teknik 2 tahap diberikan

pada Lampiran 6.

Penyelesaian optimal untuk persoalan pemotongan kayu dengan diameter ≥ 80 cm

adalah x9 = 0,29; x11 = 12; x17 = 2,86; x19 = 3,54; Z = 18,69.

Karena penyelesaian optimal belum bilangan bulat, selanjutnya digunakan metode

pencabangan dan pembatasan.

Ditetapkan Z* = ∞

Iterasi 1

Pada penyelesaian optimal untuk program linear (4.2), variabel yang

dibatasi bilangan bulat dengan nilai bukan bilangan bulat pertama adalah

x19 = 3,54; sehingga x19 menjadi variabel pencabangan. Variabel pencabangan ini

membuat dua submasalah baru,yaitu :

Submasalah 1 : masalah (4.2) ditambah dengan kendala tambahan x19 < 3.

Minimalkan : Z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10 + x11 + x12 + x13

+ x14 + x15 + x16 + x17 + x18 + x19 + x20 + x21 + x22

kendala :

11x1 + 9x2 + 8x3 + 6x4 + 6x5 + 6x6 + 5x7 + 4x8 + 4x9 + 4x10 + 4x11 + 3x12 +

2x13 + 2x14 + 2x15 + 2x16 + x17 + x18 > 52

x2 + 2x4 + x5 + 3x8 + 2x9 + x10 + x12 + 4x13 + 2x14 + 2x17 + 5x19 + 3x20 + x21

+ x22 > 24

x3 + x5 + 2x7 + x9 + x11 + 2x12 + 3x16 + 2x17 + 2x18 + 3x21 > 18

x6 + x10 + x11 + x14 + 2x15 + x18 + x20 + 2x22 > 12

Page 38: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

xxxviii

2 1

0

x19 < 3

x1, x2 , ..., x22 ≥ 0 dan bilangan bulat

Submasalah 2 : masalah (4.2) ditambah dengan kendala tambahan x19 > 4.

Minimalkan : Z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10 + x11 + x12 + x13

+ x14 + x15 + x16 + x17 + x18 + x19 + x20 + x21 + x22

kendala :

11x1 + 9x2 + 8x3 + 6x4 + 6x5 + 6x6 + 5x7 + 4x8 + 4x9 + 4x10 + 4x11 + 3x12 +

2x13 + 2x14 + 2x15 + 2x16 + x17 + x18 > 52

x2 + 2x4 + x5 + 3x8 + 2x9 + x10 + x12 + 4x13 + 2x14 + 2x17 + 5x19 + 3x20 + x21

+ x22 > 24

x3 + x5 + 2x7 + x9 + x11 + 2x12 + 3x16 + 2x17 + 2x18 + 3x21 > 18

x6 + x10 + x11 + x14 + 2x15 + x18 + x20 + 2x22 > 12

x19 > 4

x1, x2, ..., x22 > 0 dan bilangan bulat.

Proses pencabangan untuk iterasi 1 dapat dilihat pada Gambar 4.4

39 £x 49 ³x

Gambar 4.4 Iterasi pertama

Penyelesaian optimal untuk submasalah 1 adalah

( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11, x12, x13, x14, x15, x16, x17, x18, x19, x20, x21,

x22 ) = ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 10,23; 0; 2,06; 0; 0; 0; 0; 0; 2,86; 0; 0; 0; 0; 3,54);

dengan nilai Z = 18,69.

Penyelesaian optimal untuk submasalah 2 adalah

( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11, x12, x13, x14, x15, x16, x17, x18, x19, x20, x21,

x22 ) = ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0,18; 0; 12; 0; 0; 0; 0; 0,73; 1,82; 0; 0; 0; 0; 0 );

dengan nilai Z = 18,73.

Page 39: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

xxxix

4 3

1

Karena nilai Z pada submasalah 1 ≤ submasalah 2, submasalah 1 harus

dicabangkan lagi.

Iterasi 2

Mencabangkan submasalah 1, variabel yang dibatasi bilangan bulat

dengan nilai bukan bilangan bulat pada penyelesaian optimal submasalah 1 adalah

x22 = 3,54; sehingga x22 menjadi variabel pencabangan.

Variabel pencabangan submasalah 1 membuat dua submasalah baru, yaitu :

Submasalah 3 : submasalah 1 ditambah dengan kendala x22 < 3

Submasalah 4 : submasalah 1 ditambah dengan kendala x22 > 4

Proses pencabangan untuk iterasi 2 dapat dilihat pada Gambar 4.5

322 £x 422 ³x

Gambar 4.5 Iterasi kedua

Penyelesaian optimal untuk submasalah 3 adalah

( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11, x12, x13, x14, x15, x16, x17, x18, x19, x20, x21,

x22 ) = ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 9,14; 0; 3,14; 0; 0; 0; 0; 0; 2,86; 0; 0,54; 0; 0; 3 );

dengan nilai Z = 18,69.

Penyelesaian optimal untuk submasalah 4 adalah

( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11, x12, x13, x14, x15, x16, x17, x18, x19, x20, x21,

x22 ) = ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 8,18; 0; 4; 0; 0; 0; 0; 0,73; 1,82; 0; 0; 0; 0; 4 );

dengan nilai Z = 18,73.

Karena nilai Z pada submasalah 3 ≤ submasalah 4, submasalah 3 harus

dicabangkan lagi.

Iterasi 3

Mencabangkan submasalah 3, variabel yang dibatasi bilangan bulat

dengan nilai bukan bilangan bulat pada penyelesaian optimal submasalah 3 adalah

x19 = 0,54; sehingga x19 menjadi variabel pencabangan.

Page 40: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

xl

6 5

3

Variabel pencabangan submasalah 3 membuat dua submasalah baru, yaitu :

Submasalah 5 : submasalah 3 ditambah dengan kendala x19 < 0

Submasalah 6 : submasalah 3 ditambah dengan kendala x19 > 1

Proses pencabangan untuk iterasi 3 dapat dilihat pada Gambar 4.6

019 £x 119 ³x

Gambar 4.6 Iterasi ketiga

Penyelesaian optimal untuk submasalah 5 adalah

( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11, x12, x13, x14, x15, x16, x17, x18, x19, x20, x21,

x22 ) = ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 6,69; 0; 5,6; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 2,86; 0; 3,54; 0; 0 );

dengan nilai Z = 18,69.

Penyelesaian optimal untuk submasalah 6 adalah

( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11, x12, x13, x14, x15, x16, x17, x18, x19, x20, x21,

x22 ) = ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 5,69; 0; 6,6; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 2,86; 1; 2,54; 0; 0 );

dengan nilai Z = 18,73.

Karena nilai Z pada submasalah 5 ≤ submasalah 6, submasalah 5 harus

dicabangkan lagi.

Iterasi selanjutnya

Iterasi 3 memberikan sisa 2 submasalah yaitu submasalah 5 dan 6. Karena

nilai Z pada submasalah 5 ≤ submasalah 6, submasalah 5 harus dicabangkan lagi.

Submasalah 5 harus dicabangkan dalam iterasi 4, menggunakan metode

pencabangan dan pembatasan diteruskan hingga diperoleh penyelesaian optimal

bilangan bulat untuk masalah (4.2). Hasil penerapan metode pencabangan dan

pembatasan pada masalah (4.2) diringkas dalam bentuk pohon penyelesaian. Pada

pohon penyelesaian, angka yang berada di dalam lingkaran menunjukkan nomor

submasalah. Lingkaran yang berwarna terang menunjukkan bahwa submasalah

dengan nomor di dalam lingkaran tersebut masih harus dicabangkan. Sedangkan

Page 41: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

xli

lingkaran yang berwarna gelap menunjukkan bahwa submasalah dengan nomor di

dalam lingkaran telah memenuhi syarat penghentian sehingga sudah tidak

dicabangkan.

Pohon penyelesaian dan nilai-nilai hasil penerapan metode pencabangan dan

pembatasan untuk kayu dengan diameter ≥ 80 cm (ada sebanyak 31 iterasi)

diberikan pada Lampiran 7 dan Lampiran 8.

Berdasarkan hasil pada Lampiran 7 dan Lampiran 8, Incumbent 1 (Z* baru)

diperoleh dari submasalah 48 dalam iterasi 24 dan tidak ada incumbent yang baru

(yang lebih baik lagi). Pada hasil diperoleh 4 penyelesaian optimal, yaitu pada

submasalah 48 dalam iterasi 24, submasalah 50 dalam iterasi 25, submasalah 56

dalam iterasi 28 dan submasalah 59 dalam iterasi 30. Selanjutnya akan diuji pada

ketiga penyelesaian optimal tersebut manakah yang menghasilkan sisa

pemotongan kayu diameter ≥ 80 cm yang paling minimal.

Pengujian penyelesaian optimal untuk kayu dengan diameter ≥ 80 cm yang

menghasilkan sisa pemotongan kayu yang paling minimal adalah

NILAI Submasalah Variabel keputusan ( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11, x12, x13, x14, x15, x16, x17, x18, x19, x20, x21, x22 )

Nilai Z Keterangan

48 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 9; 0; 3; 0; 0; 1; 0; 0; 1; 2; 0; 0; 0; 3 )

19 Integer,Incumbent 1 (Z* = 19)

Nilai total sisa pemotongan kayu diameter ≥ 80 cm adalah 9(5 cm) + 3(5 cm)

+ 1(50 cm) + 1(20 cm) + 2(20 cm) + 3(30 cm) = ( 45 + 15 + 50 + 20 + 40 + 90 )

cm = 260 cm = 2,6 m.

NILAI Submasalah Variabel keputusan ( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11, x12, x13, x14, x15, x16, x17, x18, x19, x20, x21, x22 )

Nilai Z Keterangan

50 ( 0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 8; 0; 2; 0; 0; 1; 0; 0; 2; 2; 0; 0; 0; 3 )

19 Integer

Nilai total sisa pemotongan kayu diameter ≥ 80 cm adalah 1(90 cm) + 8(5 cm)

+ 2(5 cm) + 1(50 cm) + 2(20 cm) + 2(20 cm) + 3(30 cm) = ( 90 + 40 + 10 + 50

+ 40 + 40 + 90 ) cm = 360 cm = 3,6 m.

Page 42: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

xlii

NILAI Submasalah Variabel keputusan ( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11, x12, x13, x14, x15, x16, x17, x18, x19, x20, x21, x22 )

Nilai Z Keterangan

56 ( 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 8; 0; 3; 0; 0; 1; 0; 0; 1; 2; 0; 0; 0; 3 )

19 Integer

Nilai total sisa pemotongan kayu diameter ≥ 80 cm adalah 1(25 cm) + 8(5 cm)

+ 3(5 cm) + 1(50 cm) + 1(20 cm) + 2(20 cm) + 3(30 cm) = ( 25 + 40 + 15 + 50

+ 20 + 40 + 90 ) cm = 280 cm = 2,8 m.

NILAI Submasalah Variabel keputusan ( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11, x12, x13, x14, x15, x16, x17, x18, x19, x20, x21, x22 )

Nilai Z Keterangan

59 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 8; 0; 2; 0; 0; 2; 0; 0; 1; 2; 0; 0; 0; 3 )

19 Integer

Nilai total sisa pemotongan kayu diameter ≥ 80 cm adalah 1(60 cm) + 8(5 cm)

+ 2(5 cm) + 2(50 cm) + 1(20 cm) + 2(20 cm) + 3(30 cm) = ( 60 + 40 + 10 + 100

+ 20 + 40 + 90 ) cm = 360 cm = 3,6 m.

Berdasarkan hasil pembahasan nilai yang menghasilkan sisa pemotongan kayu

diameter ≥ 80 cm paling minimal diperoleh dari submasalah 48. Jadi untuk

meminimalkan nilai total sisa pemotongan kayu diameter ≥ 80 cm diperoleh dari

melakukan pemotongan kayu dengan pola pemotongan 9 sebanyak 9 buah, pola

pemotongan 11 sebanyak 3 buah, pola pemotongan 14 sebanyak 1 buah, pola

pemotongan 17 sebanyak 1 buah, pola pemotongan 18 sebanyak 2 buah dan pola

pemotongan 22 sebanyak 3 buah.

Page 43: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

xliii

BAB V

PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan, diperoleh kesimpulan sebagai berikut

1. Model matematika berbentuk program bilangan bulat untuk meminimalkan

nilai total sisa pemotongan kayu adalah

a. Kayu berdiameter 50–79 cm

Minimalkan : Z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9

kendala :

10x1 + 8x2 + 5x3 + 5x4 + 3x5 + 3x6 + x7 + x8 + x9 > 140

x2 + 2x3 + 3x5 + x6 + 4x7 + 2x8 > 64

x4 + x6 + x8 + 2x9 > 32

x1, x2, ..., x9 ≥ 0 dan bilangan bulat.

b. Kayu berdiameter ≥ 80 cm

Minimalkan : Z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10 + x11 +

x12 + x13 + x14 + x15 + x16 + x17 + x18 + x19 + x20 + x21 + x22

kendala :

11x1 + 9x2 + 8x3 + 6x4 + 6x5 + 6x6 + 5x7 + 4x8 + 4x9 + 4x10 + 4x11

+ 3x12 + 2x13 + 2x14 + 2x15 + 2x16 + x17 + x18 > 52

x2 + 2x4 + x5 + 3x8 + 2x9 + x10 + x12 + 4x13 + 2x14 + 2x17 + 5x19 +

3x20 + x21 + x22 > 24

x3 + x5 + 2x7 + x9 + x11 + 2x12 + 3x16 + 2x17 + 2x18 + 3x21 > 18

x6 + x10 + x11 + x14 + 2x15 + x18 + x20 + 2x22 > 12

x1, x2 , ..., x22 ≥ 0 dan bilangan bulat

31

Page 44: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

xliv

2. Untuk meminimalkan nilai total sisa pemotongan kayu dilakukan pemotongan

kayu dengan cara

a. Pada pemotongan kayu berdiameter 50–79 cm dilakukan pemotongan

dengan menggunakan pola pemotongan 1 sebanyak 1 buah, pola

pemotongan 2 sebanyak 13 buah, pola pemotongan 5 sebanyak 1 buah,

pola pemotongan 8 sebanyak 24 buah dan pola pemotongan 9 sebanyak

4 buah.

b. Pada pemotongan kayu berdiameter ≥ 80 cm dilakukan pemotongan

dengan menggunakan pola pemotongan 9 sebanyak 9 buah, pola

pemotongan 11 sebanyak 3 buah, pola pemotongan 14 sebanyak 1 buah,

pola pemotongan 17 sebanyak 1 buah, pola pemotongan 18 sebanyak

2 buah dan pola pemotongan 22 sebanyak 3 buah.

5.2 Saran

Penulis menyarankan kepada para pembaca, khususnya yang tertarik pada

bidang Riset Operasi, agar dapat menindaklanjuti hasil penelitian penulis ini. Pada

penulisan ini, dibahas pola pemotongan satu dimensi. Selanjutnya dapat dibahas

pola pemotongan dua dimensi.

Page 45: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

xlv

DAFTAR PUSTAKA

Bronson, R. Alih Bahasa : Hans J. Waspakrik. (1996). Teori dan Soal-Soal

Operations Research. Erlangga. Jakarta.

Bustani, H. (2005). Fundamental Operation Research. PT Gramedia

Pustaka Utama. Jakarta.

Hiller, F.S, and Lieberman, G.J (1994). Pengantar Riset Operasi. Penerbit

Erlangga, Jakarta.

Linawati, L. (2005). Model Pemrograman Multi Tujuan untuk

Permasalahan Cutting Stock Berdimensi-satu dengan Panjang

Bahan Bervariasi dan Persediaan Terbatas, Prosiding Seminar

Nasional Matematika dan Informatika, Jurusan Matematika UNS.

MDH Gamal, Z.B. (2003). Pendekatan Program Linear Untuk Persoalan

Pemotongan Stok (Pola Pemotongan Satu Dimensi), Jurnal Natur

Indonesia 5(2): 113-118.

Mulyono, S. (1991). Operations Research. Lembaga Penerbit Fakultas

Ekonomi Universitas Indonesia. Jakarta.

Taha, H.A. (1996). Riset Operasi : Suatu Pengantar. Binapura Aksara.

Jakarta.

33

Page 46: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

xlvi

LAMPIRAN 1

Tabel Kayu Logs Merbau dengan Diameter 50-79 cm

No Panjang dalam (cm)

Diameter dalam (cm)

Luas penampang (cm2)

Isi Logs (m3)

1 800 52 2122,64 1,7

2 630 55 2374,625 1,5

3 640 56 2461,76 1,58

4 1540 56 2461,76 3,79

5 1010 57 2550,465 2,58

6 670 58 2640,74 1,77

7 800 58 2640,74 2,11

8 800 58 2640,74 2,11

9 1000 58 2640,74 2,64

10 1270 58 2640,74 3,36

11 1470 59 2732,585 4,02

12 800 60 2826 2,26

13 670 62 3017,54 2,02

14 920 62 3017,54 2,78

15 1140 62 3017,54 3,44

16 740 63 3115,665 2,31

17 1070 63 3115,665 3,34

18 830 64 3215,36 2,67

19 1400 64 3215,36 4,5

20 790 65 3316,625 2,62

21 780 66 3419,46 2,67

22 790 66 3419,46 2,7

23 1010 66 3419,46 3,46

24 1340 66 3419,46 4,58

25 1450 66 3419,46 4,96

26 1610 66 3419,46 5,51

27 1090 67 3523,865 3,84

28 1000 67 3523,865 3,53

29 970 68 3629,84 3,52

30 1010 68 3629,84 3,67

31 1060 68 3629,84 3,85

Page 47: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

xlvii

lanjutan Tabel Kayu Logs Merbau dengan Diameter 50-79 cm

32 800 69 3737,385 2,99

33 1570 69 3737,385 5,87

34 1100 70 3846,5 4,23

35 890 71 3957,185 3,52

36 1190 71 3957,185 4,71

37 820 71 3957,185 3,25

38 1470 72 4069,44 5,99

39 800 73 4183,265 3,35

40 820 73 4183,265 3,43

41 1000 73 4183,265 4,19

42 1030 73 4183,265 4,31

43 1170 74 4298,66 5,03

44 1010 75 4415,625 4,46

45 1230 75 4415,625 5,43

46 800 77 4654,265 3,73

47 1140 77 4654,265 5,31

48 1420 77 4654,265 6,61

49 1190 78 4775,94 5,69

50 810 78 4775,94 3,87

51 1170 79 4899,185 5,73

52 800 79 4899,185 3,92

53 940 79 4899,185 4,61

Σ 54270 189556,3 195,62

x 1023.962 3576,534

Sumber : Data sekunder pada PT. Indo Veneer Utama

Page 48: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

xlviii

LAMPIRAN 2

Tabel Kayu Logs Merbau dengan Diameter ≥ 80 cm

No Panjang dalam (cm)

Diameter dalam (cm)

Luas penampang (cm2)

Isi Logs (m3)

1 1090 80 5024 5,48

2 800 81 5150,385 4,12

3 800 81 5150,385 4,12

4 1250 81 5150,385 6,44

5 1490 81 5150,385 7,68

6 1660 81 5150,385 8,55

7 700 82 5278,34 3,7

8 1010 82 5278,34 5,33

9 1040 82 5278,34 5,49

10 1480 82 5278,34 7,82

11 860 84 5538,96 4,77

12 1370 84 5538,96 7,59

13 1420 84 5538,96 7,87

14 800 86 5805,86 4,65

15 820 86 5805,86 4,76

16 1520 86 5805,86 8,83

17 970 90 6358,5 6,17

18 800 92 6644,24 5,32

19 810 92 6644,24 5,38

20 1040 92 6644,24 6,91

21 1470 92 6644,24 9,77

22 800 93 6789,465 5,43

23 1180 93 6789,465 8,02

24 1200 93 6789,465 8,15

25 1490 94 6936,26 10,34

26 1460 96 7234,56 10,57

27 1010 100 7850 7,93

28 1420 101 8007,785 11,38

29 800 102 8167,14 6,54

30 800 103 8328,065 6,67

31 840 103 8328,065 7

Page 49: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

xlix

lanjutan Tabel Kayu Logs Merbau dengan Diameter ≥ 80 cm

32 1560 104 8490,56 13,25

33 1600 105 8654,625 13,85

34 990 106 8820,26 8,74

35 1200 106 8820,26 10,59

36 800 108 9156,24 7,33

37 1270 111 9671,985 12,29

38 1560 115 10381,63 16,2

39 890 117 10745,87 9,57

Σ 44070 268820,9 304,6

x 1130 6892,843

Sumber : Data sekunder pada PT. Indo Veneer Utama

Page 50: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

l

LAMPIRAN 3

Metode 2 Tahap

Tahap I

Tabel awal untuk Tahap I untuk kayu dengan diameter 50-79 cm

V

B

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x1

0

x1

1

x1

2

R1 R2 R3 Sol

usi

Ra

tio

r 10,

00

9,

00

7,

00

6,

00

6,

00

5,

00

5,

00

4,

00

3,

00

-

1,

00

-

1,

00

-

1,

00

0,

00

0,

00

0,

00

236

,00

R

1

10,

00

8,

00

5,

00

5,

00

3,

00

3,

00

1,

00

1,

00

1,

00

-

1,

00

0,

00

0,

00

1,

00

0,

00

0,

00

140

,00

14

*

R

2

0,0

0

1,

00

2,

00

0,

00

3,

00

1,

00

4,

00

2,

00

0,

00

0,

00

-

1,

00

0,

00

0,

00

1,

00

0,

00

64,

00

-

R

3

0,0

0

0,

00

0,

00

1,

00

0,

00

1,

00

0,

00

1,

00

2,

00

0,

00

0,

00

-

1,

00

0,

00

0,

00

1,

00

32,

00

-

Tabel Iterasi I untuk Tahap I untuk kayu dengan diameter 50-79 cm

VB x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 R1

r 0,00 1,00 2,00 1,00 3,00 2,00 4,00 3,00 2,00 0,00 -1,00 -1,00 -1,00

x1 1,00 0,80 0,50 0,50 0,30 0,30 0,10 0,10 0,10 -0,10 0,00 0,00 0,10

R2 0,00 1,00 2,00 0,00 3,00 1,00 4,00 2,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00

R3 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 1,00 0,00 1,00 2,00 0,00 0,00 -1,00 0,00

Tabel Iterasi II untuk Tahap I untuk kayu dengan diameter 50-79 cm

VB x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12

r 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 1,00 0,00 1,00 2,00 0,00 0,00 -1,00

x1 1,00 0,78 0,45 0,50 0,23 0,28 0,00 0,05 0,10 -0.1 0.03 0,00

x7 0,00 0,25 0,50 0,00 0,75 0,25 1,00 0,50 0,00 0,00 -0.25 0,00

R3 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 1,00 0,00 1,00 2,00 0,00 0,00 -1,00

Tabel Iterasi III untuk Tahap I untuk kayu dengan diameter 50-79 cm

VB x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12

r 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

Page 51: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

li

x1 1,00 0,78 0,45 0,45 0,23 0,23 0,00 0,00 0,00 -0,10 0,03 0,05

x7 0,00 0,25 0,50 0,00 0,75 0,25 1,00 0,50 0,00 0,00 -0,25 0,00

x9 0,00 0,00 0,00 0,50 0,00 0,50 0,00 0,50 1,00 0,00 0,00 -0,50

Tahap II

Minimalkan Z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9

x1 + 0,78x2 + 0,45x3 + 0,45x4 + 0,23x5 + 0,23x6 – 0,1x10 + 0,03x11 + 0,05x12 =

10,8

0,25x2 + 0,5x3 + 0,75x5 + 0,25x6 + x7 + 0,5x8 – 0,25x11 = 16

0,5x4 + 0,5x6 + 0,5x8 + x9 – 0,5x12 = 16

Minimalkan Z = - 0,025x2 + 0,05x3 + 0,5x4 + 0,025x5 + 0,025x6 + 0,1x10 +

0,225x11 + 0,45x12 + 42,8

Tabel Tabel awal untuk Tahap II untuk kayu dengan diameter 50-79 cm

VB x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11

Z 0,00 0,025 - 0,05 - 0,50 - 0,025 - 0,025 0,00 0,00 0,00 - 0,10 - 0,025

x1 1,00 0,78 0,45 0,45 0,23 0,23 0,00 0,00 0,00 -0,10 0,03

x7 0,00 0,25 0,50 0,00 0,75 0,25 1,00 0,50 0,00 0,00 -0,

x9 0,00 0,00 0,00 0,50 0,00 0,5 0,00 0,50 1,00 0,00 0,00

Tabel Iterasi I untuk Tahap II untuk kayu dengan diameter 50-79 cm

VB x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10

Z - 0,03 0,00 - 0,06 - 0,06 - 0,03 - 0,03 0,00 0,00 0,00 - 0,

x2 1,29 1,00 0,58 0,58 0,29 0,29 0,00 0,00 0,00 -0,1

x7 - 0,32 0,00 0,35 - 0,15 0,68 0,18 1,00 0,50 0,00 0,03

x9 0,00 0,00 0,00 0,50 0,00 0,50 0,00 0,50 1,00 0,00

Page 52: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

lii

LAMPIRAN 4

Gambar Pohon Penyelesaian Kayu dengan Diameter 50–79 cm

Keterangan : simbol X menunjukkan bahwa submasalah tersebut tidak

dicabangkan lagi.

lanjutan Gambar Pohon Penyelesaian Kayu dengan Diameter 50–79 cm

0

Z = 42,45 1

2

Z = 42,45

Z = 42,5

3

4

Z = 42,45

Z = 42,48

5

6

Z = 42,45

Z = 42,5

7

8

Z = 42,45

Z = 42,48

x7 < 12

9

10

Z = 42,45

Z = 42,5

x7 > 13

x9 < 15

x7 < 11

x9 < 14

x7 < 10

x9 > 16

x7 > 12

x9 > 15

x7 > 11

11

12

Z = 42,48

x9 < 13

x9 > 14

X

X

X

X

X

Z = 42,45

19

Z = 42,45 21

Z = 42,45 23

24

Z = 42,45

x7 < 7

x9 < 10

x9 > 11

25

26

Z = 42,

x7 < 6

x7 > 7

X

Z = 42,45

Page 53: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

liii

lanjutan Gambar Pohon Penyelesaian Kayu dengan Diameter 50–79 cm

27

Z = 42,45 29

30

Z = 42,45 31

32

Z = 42,45

Z = 42,48

33

34

Z = 42,45

Z = 42,5

35

36

Z = 42,45

Z = 42,48

x7 < 5

37

38

Z = 42,45

Z = 42,5

x7 > 6

x9 < 8

x7 < 4

x9 < 7

x7 < 3

x9 > 9

x7 > 5

x9 > 8

x7 > 4

39

40

Z = 42,48

x9 < 6

x9 > 7

X

X

X

X

X

Z = 42,45

Page 54: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

liv

lanjutan Gambar Pohon Penyelesaian Kayu dengan Diameter 50–79 cm lanjutan Gambar Pohon Penyelesaian Kayu dengan Diameter 50–79 cm

41

Z = 42,45 43

44

Z = 42,45

Z = 42,48

45

46

Z = 42,45

Z = 42,5

47

48

Z = 42,45

Z = 42,48

49

50

Z = 42,45

Z = 42,5

x9 < 5

51

52

Z = 42,5

Z = 42,48

x9 > 6

x7 < 1

x9 < 4

x7 < 0

x9 < 3

x7 > 2

x9 > 5

x7 > 1

x9 > 4 53

54

Z = 42,67

x2 < 13

x2 > 14

X

X

X

X

X Z = 42,5

Z = 42,55 61

Z = 42,75

Z = 42,64 Z = 42,67 x < 0

69

x < 0

X

Z = 42,

Page 55: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

lv

lanjutan Gambar Pohon Penyelesaian Kayu dengan Diameter 50–79 cm

73

Z = 42,78 75

76

Z = 43

Z = 42,82

77

78

Z = 42,89

Z = 43

79

80

Z = 43,2

Z = 42,91

Z = 43x6 < 2

x6 > 3 x2 < 9

x6 < 3

x2 < 8

x2 > 10

x6 > 4

x2 > 9

Page 56: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

lvi

LAMPIRAN 5

Tabel Nilai-nilai Hasil Penerapan Metode Pencabangan dan Pembatasan untuk

Pemotongan Kayu Diameter 50–79 cm

NILAI Submasalah

Variabel keputusan

( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9 )

Nilai Z

Keterangan

0 ( 0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 12,54; 0; 16 ) 42,45 Z* = ∞

1 ( 0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 12; 1,03;

15,48 )

42,45

2 ( 1,5; 12; 0; 0; 0; 0; 13; 0; 16 ) 42,5

3 ( 0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 11,52; 2; 15 ) 42,45

4 ( 0; 13,71; 0; 0; 0,76; 0; 12; 0; 16 ) 42,48

5 ( 0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 11; 3,03;

14,48 )

42,45

6 ( 1,5; 12; 0; 0; 0; 0; 12; 2; 15 ) 42,5

7 ( 0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 10,52; 4; 14 ) 42,45

8 ( 0; 13,71; 0; 0; 0,76; 0; 11; 2; 15 ) 42,48

9 ( 0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 10; 5,03;

13,48 )

42,45

10 ( 1,5; 12; 0; 0; 0; 0; 11; 4; 14 ) 42,5

11 ( 0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 9,52; 6; 13 ) 42,45

12 ( 0; 13,71; 0; 0; 0,76; 0; 10; 4; 14 ) 42,48

13 ( 0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 9; 7,03;

12,48 )

42,45

14 ( 1,5; 12; 0; 0; 0; 0; 10; 6; 13 ) 42,5

15 ( 0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 8,52; 8; 12 ) 42,45

16 ( 0; 13,71; 0; 0; 0,76; 0; 9; 6; 13 ) 42,48

17 ( 0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 8; 9,03;

11,48 )

42,45

18 ( 1,5; 12; 0; 0; 0; 0; 9; 8; 12 ) 42,5

Page 57: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

lvii

19 ( 0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 7,52; 10; 11 ) 42,45

20 ( 0; 13,71; 0; 0; 0,76; 0; 8; 8; 12 ) 42,48

21 (0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 7; 11,03;

10,48)

42,45

22 ( 1,5; 12; 0; 0; 0; 0; 8; 10; 11 ) 42,5

23 ( 0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 6,52; 12; 10 ) 42,45

24 ( 0; 13,71; 0; 0; 0,76; 0; 7; 10; 11 ) 42,48

25 ( 0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 6; 13,03;

9,48 )

42,45

26 ( 1,5; 12; 0; 0; 0; 0; 7; 12; 10 ) 42,5

27 ( 0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 5,52; 14; 9 ) 42,45

28 ( 0; 13,71; 0; 0; 0,76; 0; 6; 12; 10 ) 42,48

29 ( 0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 5; 15,03;

8,48 )

42,45

30 ( 1,5; 12; 0; 0; 0; 7; 14; 9; 0 ) 42,5

31 ( 0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 4,52; 16; 8 ) 42,45

32 ( 0; 13,71; 0; 0; 0,76; 0; 5; 14; 9 ) 42,48

33 ( 0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 4; 17,03;

7,48 )

42,45

34 ( 1,5; 12; 0; 0; 0; 0; 5; 16; 8 ) 42,5

35 ( 0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 3,52; 18; 7 ) 42,45

36 ( 0; 13,94; 0; 0; 0,76; 0; 4; 16; 8 ) 42,48

37 ( 0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 3; 19,03;

6,48 )

42,45

38 ( 1,5; 12; 0; 0; 0; 0; 4; 18; 7 ) 42,5

39 ( 0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 2,52; 20; 6 ) 42,45

40 ( 0; 13,71; 0; 0; 0,76; 0; 3; 18; 7 ) 42,48

41 ( 0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 2; 21,03;

5,48 )

42,45

42 ( 1,5; 12; 0; 0; 0; 0; 3; 20; 6 ) 42,5

Page 58: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

lviii

43 ( 0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 1,51; 22; 5 ) 42,45

44 ( 0; 13,71; 0; 0; 0,76; 0; 2; 20; 6 ) 42,48

45 ( 0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 1; 23,03;

4,48 )

42,45

46 ( 1,5; 12; 0; 0; 0; 0; 2; 22; 5 ) 42,5

47 ( 0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 0,52; 24; 4 ) 42,45

48 ( 0; 13,94; 0; 0; 0,76; 0; 1; 22; 5 ) 42,48

49 ( 0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 0; 25,03;

3,48 )

42,45

50 ( 1,5; 12; 0; 0; 0; 0; 1; 24; 4 ) 42,5

51 ( 1,5; 12; 0; 0; 0; 0; 0; 26; 3 ) 42,5

52 ( 0; 13,71; 0; 0; 0,76; 0; 0; 24; 4 ) 42,48

53 ( 0,5; 13; 0; 0; 1; 0; 0; 24; 4 ) 42,5

54 ( 0; 14; 0; 0; 0,67; 0; 0; 24; 4 ) 42,67

55 ( 0; 13; 1,56; 0,06; 0; 0; 0; 23,94;

4 )

42,56

56 ( 1; 12,29; 0; 0; 1,24; 0; 0; 24; 4 ) 42,52

57 ( 1,2; 12; 0; 0; 1,33; 0; 0; 24; 4 ) 42,53

58 ( 1; 13; 0; 0; 1; 0; 0; 24; 4 ) 43 Integer, Incumbent 1

(Z* = 43)

59 ( 1,05; 12; 0,5; 0; 1; 0; 0; 24; 4 ) 42,55

60 ( 2,6; 10; 0; 0; 2; 0; 0; 24; 4 ) 42,6

61 ( 1,25; 12; 0; 0; 1; 0; 0; 24,5; 4 ) 42,75

62 ( 1; 11,86; 1; 0; 0,71; 0; 0; 24; 4 ) 42,57

63 ( 1; 11,27; 2,36; 0; 0; 0; 0; 24; 4 ) 42,64

64 ( 1,6; 11; 1; 0; 0; 0; 0; 24; 4 ) 42,6

65 ( 1; 11,6; 1; 0,3; 1; 0; 0; 23,7; 4 ) 42,6

66 ( 2; 10,27; 1,36; 0; 0; 1; 0; 24; 4 ) 42,64

67 ( 1; 11; 1,67; 0,67; 1; 0; 0; 23,33;

4 )

42,67

Page 59: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

lix

68 ( 1; 12; 1; 0,5; 1; 0; 0; 23,5; 4 ) 43 Z > Z*

69 ( 1; 11; 1,67; 0; 1; 1,33; 0; 22,67;

4 )

42,67

70 ( 1; 10,45; 2,27; 1; 1; 0; 0; 23; 4 ) 42,73

71 ( 1; 11; 1; 0; 1; 2,4; 0; 22,8; 4 ) 43,2 Z > Z*

72 ( 1; 10,7; 2; 0; 1; 1,7; 0; 22,3; 4 ) 42,7

73 ( 1; 10; 2,78; 0; 1; 2,56; 0; 21,44;

4 )

42,78

74 ( 1; 11; 2; 0; 1; 0,5; 0; 23,5; 4 ) 43 Z > Z*

75 ( 1; 10; 3; 0; 1; 2; 0; 22; 4 ) 43 Integer (Z* = 43)

76 ( 1; 9,64; 3,18; 0; 1; 3; 0; 21; 4 ) 42,82

77 ( 1; 9; 3,89; 0; 1; 3,78; 0; 20,22; 4

)

42,89

78 ( 1; 10; 2,5; 0; 1; 3; 0; 21,5; 4 ) 43 Z > Z*

79 ( 1; 9; 4,2; 0; 1; 3; 0; 21; 4 ) 43,2 Z > Z*

80 ( 1; 8,82; 4,09; 0; 1; 4; 0; 20; 4 ) 42,91

81 ( 1; 8; 5; 0; 1; 5; 0; 19; 4 ) 43 Integer (Z* = 43)

82 ( 1; 9; 3,75; 0; 1; 4; 0; 20,25; 4 ) 43 Z > Z*

Page 60: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

lx

LAMPIRAN 6

Metode 2 Tahap

Tahap I

Tabel Iterasi Awal untuk Tahap I untuk kayu dengan

diameter ≥ 80 cm

VD x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14

r 11,00 10,00 9,00 8,00 8,00 7,00 7,00 7,00 7,00 6,00 6,00 6,00 6,00 5,00

R1 11,00 9,00 8,00 6,00 6,00 6,00 5,00 4,00 4,00 4,00 4,00 3,00 2,00 2,00

R2 0,00 1,00 0,00 2,00 1,00 0,00 0,00 3,00 2,00 1,00 0,00 1,00 4,00 2,00

R3 0,00 0,00 1,00 0,00 1,00 0,00 2,00 0,00 1,00 0,00 1,00 2,00 0,00 0,00

R4 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 1,00 lanjutan Tabel Iterasi Awal

x19 x20 x21 x22 x23 x24 x25 x26 R1 R2 R3 R4 5,00 4,00 4,00 3,00 -1,00 -1,00 -1,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 5,00 3,00 1,00 1,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 1,00 0,00 2,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 1,00

Tabel Iterasi I untuk Tahap I untuk kayu dengan

diameter ≥ 80 cm

VD x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 r 0,00 1,00 1,00 2,00 2,00 1,00 2,00 3,00 3,00 2,00 2,00 3,00 4,00 3,00x1 1,00 0,82 0,73 0,55 0,55 0,55 0,45 0,36 0,36 0,36 0,36 0,27 0,18 0,18R2 0,00 1,00 0,00 2,00 1,00 0,00 0,00 3,00 2,00 1,00 0,00 1,00 4.00 2,00R3 0,00 0,00 1,00 0,00 1,00 0,00 2,00 0,00 1.00 0,00 1,00 2,00 0,00 0,00R4 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 1,00

lanjutan Tabel Iterasi I

x19 x20 x21 x22 x23 x24 x25 x26 R1 R2 R3 R4 5,00 4,00 4,00 3,00 0,00 -1,00 -1,00 -1,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,09 0,00 0,00 0,00 0,09 0,00 0,00 0,00 5,00 3,00 1,00 1,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 1,00 0,00 2,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 1,00

Page 61: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

lxi

Tabel Iterasi II untuk Tahap I untuk kayu dengan

diameter ≥ 80 cm

VD x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 xr 0,00 0,00 1,00 0,00 1,00 1,00 2,00 0,00 1,00 1,00 2,00 2,00 0,00 1,00 2x1 1,00 0,82 0,73 0,55 0,55 0,55 0,45 0,36 0,36 0,36 0,36 0,27 0,18 0,18 0x19 0,00 0,20 0,00 0,40 0,20 0,00 0,00 0,60 0,40 0,20 0,00 0,20 0,80 0,40 0R3 0,00 0,00 1,00 0,00 1,00 0,00 2,00 0,00 1,00 0,00 1,00 2,00 0,00 0,00 0R4 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 1,00 2

lanjutan Tabel Iterasi II

x19 x20 x21 x22 x23 x24 x25 x26 R1 R2 R3 R4 Solusi0,00 1,00 3,00 2,00 0,00 0,00 -1,00 -1,00 -1,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,09 0,00 0,00 0,00 0,09 0,00 0,00 0,00 1,00 0,60 0,20 0,20 0,00 -0,20 0,00 0,00 0,00 0,20 0,00 0,00 0,00 0,00 3,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 1,00 0,00 2,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 1,00

Tabel Iterasi III untuk Tahap I untuk kayu dengan

diameter ≥ 80 cm

VD x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 xr 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 1,00 2x1 1,00 0,82 0,67 0,55 0,49 0,55 0,33 0,36 0,30 0,36 0,30 0,15 0,18 0,18 0x19 0,00 0,20 0,00 0,40 0,20 0,00 0,00 0,60 0,40 0,20 0,00 0,20 0,80 0,40 0x16 0,00 0,00 0,33 0,00 0,33 0,00 0,67 0,00 0,33 0,00 0,33 0,67 0,00 0,00 0R4 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 1,00 2

lanjutan Tabel Iterasi III

x19 x20 x21 x22 x23 x24 x25 x26 R1 R2 R3 R4 Solusi 0,00 1,00 0,00 2,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 -1,00 -1,00 -1,00 0,00 12,00 0,00 0,00 -0,18 0,00 -0,09 0,00 0,06 0,00 0,09 0,00 -0,06 0,00 3,65 1,00 0,60 0,20 0,20 0,00 -0,20 0,00 0,00 0,00 0,20 0,00 0,00 4,80 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 -0,33 0,00 0,00 0,00 0,33 0,00 6,00 0,00 1,00 0,00 2,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 1,00 12,00

Tabel Iterasi IV untuk Tahap I untuk kayu dengan

diameter ≥ 80 cm

VD x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 x15

r 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,x1 1,00 0,82 0,67 0,55 0,49 0,46 0,33 0,36 0,30 0,27 0,21 0,15 0,18 0,09 0,x19 0,00 0,20 0,00 0,40 0,20 0,00 0,00 0,60 0,40 0,20 0,00 0,20 0,80 0,40 0,x16 0,00 0,00 0,33 0,00 0,33 0,00 0,67 0,00 0,33 0,00 0,33 0,67 0,00 0,00 0,x15 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,50 0,00 0,00 0,00 0,50 0,50 0,00 0,00 0,50 1,

Page 62: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

lxii

lanjutan Tabel Iterasi IV

x19 x20 x21 x22 x23 x24 x25 x26 R1 R2 R3 R4 Solusi0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 -1,00 -1,00 -1,00 0,00 -0,09 -0,18 -0,18 -0,09 0,00 0,06 0,09 0,09 0,00 -0,06 -0,09 1,00 0,60 0,20 0,20 0,00 -0,20 0,00 0,00 0,00 0,20 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 -0,33 0,00 0,00 0,00 0,33 0,00 0,00 0,50 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 -0,50 0,00 0,00 0,00 0,50

Tahap II

Minimalkan Z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10 + x11 + x12 +

x13 + x14 + x15 + x16 + x17 + x18 + x19 + x20 + x21 + x22

x1 + 0,82x2 + 0,67x3 + 0,55x4 + 0,49x5 + 0,46x6 + 0,33x7 + 0,36x8 + 0,3x9 +

0,27x10 + 0,21x11 + 0,15x12 + 0,18x13 + 0,09x14 – 0,03x17 – 0,12x18 – 0,09x20 –

0,18x21 – 0,09x22 = 2,57

0,2x2 + 0,4x4 + 0,2x5 + 0,6x8 + 0,4x9 + 0,2x10 + 0,2x12 + 0,8x13 + 0,4x14 + 0,4x17

+ x19 – 0,6x20 – 0,2x21 – 0,2x22 = 4,8

0,33x3 + 0,33x5 + 0,67x7 + 0,33x9 + 0,33x11 + 0,67x12 + x16 + 0,67x17 + 0,67x18 +

x21 = 6

0,25x6 + 0,25x10 + 0,25x11 + 0,25x14 + 0,5x15 + 0,25x18 + 0,25x20 + 0,5x22 = 3

Minimalkan Z = – 0,02x2 + 0,05x4 – 0,02x5 + 0,04x6 + 0,04x8 – 0,04x9 + 0,03x10

– 0,05x11 – 0,02x12 + 0,02x13 + 0,01x14 – 0,04x17 – 0,05x18 +

0,14x20 + 0,18x21 + 0,27x22 + 19,37

Tabel Iterasi Awal untuk Tahap II untuk kayu dengan

diameter ≥ 80 cm

VD x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 x15

Z 0,00 0,02 0,00 -0,05 0,02 -0,04 0,00 -0,04 0,04 -0,03 0,05 0,02 -0,02 -0,01 0,x1 1,00 0,82 0,67 0,55 0,49 0,41 0,33 0,36 0,30 0,23 0,17 0,15 0,18 0,05 -0.09x19 0,00 0,20 0,00 0,40 0,20 0,00 0,00 0,60 0,40 0,20 0,00 0,20 0,80 0,40 0,x16 0,00 0,00 0,33 0,00 0,33 0,00 0,67 0,00 0,33 0,00 0,33 0,67 0,00 0,00 0,x15 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,25 0,00 0,00 0,00 0,25 0,25 0,00 0,00 0,25 0,

lanjutan Tabel Iterasi Awal

x19 x20 x21 x22 x23 x24 x25 x26 0,00 0,01 0,02 0,02 -0,09 -0,20 -0,27 -0,41

Page 63: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

lxiii

0,00 -0,14 -0,18 -0,27 -0,09 0,00 0,06 0,14 1,00 0,60 0,20 0,20 0,00 -0,20 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 -0,33 0,00 0,00 0,25 0,00 0,50 0.00 0,00 0,00 -0,25

Tabel Iterasi I untuk Tahap II untuk kayu dengan diameter

≥ 80 cm

VD x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 Z 0,00 0,02 0,00 -0,05 0,02 -0,09 0,00 -0,04 0,04 -0,07 0,00 0,02 -0,02 -0,06 x1 1,00 0,82 0,67 0,55 0,49 0,24 0,33 0,36 0,30 0,06 0,00 0,15 0,18 -0,12 x19 0,00 0,20 0,00 0,40 0,20 0,00 0,00 0,60 0,40 0,20 0,00 0,20 0,80 0,40 x16 0,00 0,00 0,33 0,00 0,33 -0,33 0,67 0,00 0,33 -0,33 0,00 0,67 0,00 -0,33 x11 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 1,00

lanjutan Tabel Iterasi I

x19 x20 x21 x22 x23 x24 x25 x26 0,00 -0,04 0,02 -0,07 -0,09 -0,20 -0,27 -0,36 0,00 -0,30 -0,18 -0,61 -0,09 0,00 0,06 0,30 1,00 0,60 0,20 0,20 0,00 -0,20 0,00 0,00 0,00 -0,33 1,00 -0,67 0,00 0,00 -0,33 0,33 0,00 1,00 0,00 2,00 0,00 0,00 0,00 -1,00

Tabel Iterasi II untuk Tahap II untuk kayu dengan diameter

≥ 80 cm

VD x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 x15

Z -0,12 -0,08 -0,08 -0,12 -0,04 -0,12 -0,04 -0,08 0,00 -0,08 0,00 0,00 -0,04 -0,04 -0x9 3,29 2,69 2,20 1,80 1,60 0,80 1,10 1,20 1,00 0,20 0,00 0,50 0,60 -0,40 -1x19 -1,32 -0,88 -0,88 -0,32 -0,44 -0,32 -0,44 0,12 0,00 0,12 0,00 0,00 0,56 0,56 0,x16 -1,10 -0,90 -0,40 -0,60 -0,20 -0,60 0,30 -0,40 0,00 -0,40 0,00 0,50 -0,20 -0,20 -0x11 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 1,00 2,

lanjutan Tabel Iterasi II

x19 x20 x21 x22 x23 x24 x25 x26 0,00 0,00 0,04 0,00 -0,08 -0,20 -0,28 -0,40 0,00 -1,00 -0,59 -2,00 -0,30 0,00 0,20 1,00 1,00 1,00 0,44 1,00 0,12 -0,20 -0,08 -0,40 0,00 0,00 1,20 0,00 0,10 0,00 -0,40 0,00 0,00 1,00 0,00 2,00 0,00 0,00 0,00 -1,00

Tabel Iterasi III untuk Tahap II untuk kayu dengan diameter

≥ 80 cm

Page 64: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

lxiv

VD x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 x15

Z -0,06 -0,03 -0,06 -0,09 -0,03 -0,09 -0,06 -0,06 0,00 -0,06 0,00 -0,03 -0,03 -0,03 -0x9 3,14 2,57 2,14 1,71 1,57 0,71 1,14 1,14 1,00 0,14 0,00 0,57 0,57 -0,43 -1x19 -0,63 -0,31 -0,63 0,06 -0,31 0,06 -0,63 0,37 0,00 0,37 0,00 -0,31 0,69 0,69 0,x17 -1,57 -1,29 -0,57 -0,86 -0,29 -0,86 0,43 -0,57 0,00 -0,57 0,00 0,71 -0,29 -0,29 -0x11 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 1,00 2,

lanjutan Tabel Iterasi III

x19 x20 x21 x22 x23 x24 x25 x26 Solusi0,00 0,00 -0,03 0,00 -0,09 -0,20 -0,26 -0,40 18,690,00 -1,00 -0,43 -2,00 -0,29 0,00 0,14 1,00 0,29 1,00 1,00 -0,31 1,00 0,06 -0,20 0,17 -0,40 3,54 0,00 0,00 1,71 0,00 0,14 0,00 -0,57 0,00 2,86 0,00 1,00 0,00 2,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 12,00

Page 65: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

lxv

LAMPIRAN 7

Gambar Pohon Penyelesaian Kayu dengan Diameter > 80 cm

Keterangan : simbol X menunjukkan bahwa submasalah tersebut tidak

dicabangkan lagi.

lanjutan Gambar Pohon Penyelesaian Kayu dengan Diameter > 80 cm

0

1

2

Z = 18,69

Z = 18,73

3

4

Z = 18,69

Z = 18,73

5

6

Z = 18,69

Z = 18,69

7

8

Z = 18,69

Z = 18,73

x19 < 3

9

10

Z = 18,71

Z = 18,69

x19 > 4

x22 < 3

x19 < 0

x20 < 3

x22 < 0

x22 > 4

x19 > 1

x20 > 4

x22 > 1 11

12

Z = 18,

x20 < 2

x20 > 3

X

X

X

X

X Z = 18,69

Z = 18,69

15

Z = 18,69 17

Z = 18,71

19

Z = 18,71 21

Z = 18,71 23

24

Z = 18,71

x22 < 2 x9 < 10

x11 < 4

x11 > 5

25

26

Z = 18,

x18 < 0

x18 > 1

X

Z = 18,

Page 66: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

lxvi

lanjutan Gambar Pohon Penyelesaian Kayu dengan Diameter > 80 cm

30

Z = 18,71 31

32

Z = 18,71

Z = 18,71

33

34

Z = 18,71

Z = 18,73

35

36

Z = 18,71

Z = 18,73

37

38

Z = 18,77

Z = 18,73

x9 < 9

39

40

Z = 18,74

Z = 18,73

x9 > 10

x15 < 0

x13 < 0

x14 < 0

x9 < 7

x15 > 1

x13 > 1

x14 > 1

x9 > 8 41

42

Z = 18,7

x18 < 3

x18 > 4

X

X

X

X

X Z = 18,7

Page 67: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

lxvii

lanjutan Gambar Pohon Penyelesaian Kayu dengan Diameter > 80 cm

45

Z = 18,73 47

48

Z = 18,73

Z = 19 = Z*

49

50

Z = 18,74

Z = 19

51

52

Z = 18,74

Z = 19

53

54

Z = 18,75

Z = 19

x9 < 8

55

56

Z = 18,75

Z = 19

x9 > 9

x17 < 1

x21 < 0

x12 < 0

x5 < 0

x17 > 2

x21 > 1

x12 > 1

x5 > 1

57

58

Z =

x16 < 0

x16 > 1

Z = 18,7

Page 68: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

lxviii

LAMPIRAN 8

Tabel Nilai-nilai Hasil Penerapan Metode Pencabangan dan Pembatasan untuk

Pemotongan Kayu Diameter ≥ 80 Cm

NILAI Submasalah

Variabel keputusan

( x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11,

x12, x13, x14, x15, x16, x17, x18, x19, x20,

x21, x22 )

Nilai Z

Keterangan

0 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0,29; 0; 12; 0;

0; 0; 0; 0; 2,86; 0; 3,54; 0; 0; 0 )

18,69 Z* = ∞

1 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 10,23; 0; 2,06;

0; 0; 0; 0; 0; 2,86; 0; 0; 0; 0; 3,54 )

18,69

2 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0,18; 0; 12; 0;

0; 0; 0; 0,73; 1,82; 0; 0; 0; 0; 0 )

18,73

3 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 9,14; 0; 3,14;

0; 0; 0; 0; 0; 2,86; 0; 0,54; 0; 0; 3 )

18,69

4 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 8,18; 0; 4; 0; 0;

0; 0; 0,73; 1,82; 0; 0; 0; 0; 4 )

18,73

5 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 6,69; 0; 5,6; 0;

0; 0; 0; 0; 0; 2,86; 0; 3,54; 0; 0 )

18,69

6 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 5,69; 0; 6,6; 0;

0; 0; 0; 0; 0; 2,86; 1; 2,54; 0; 0 )

18,69

7 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 7,23; 0; 5,06;

0; 0; 0; 0; 0; 0; 2,86; 0; 3; 0; 0,54 )

18,69

8 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 4,18; 0; 8; 0; 0;

0; 0; 0,73; 1,82; 0; 0; 4; 0; 0 )

18,73

9 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 7,5; 0; 4,33; 0;

0; 0; 0,79; 0; 0; 3,08; 0; 3; 0; 0 )

18,71

10 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 7,69; 0; 4,6; 0;

0; 0; 0; 0; 0; 2,86; 0; 2,54; 0; 1)

18,69

Page 69: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

lxix

11 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 8,23; 0; 4,06;

0; 0; 0; 0; 0; 0; 2,86; 0; 2; 0; 1,54)

18,69

12 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 5,18; 0; 7; 0; 0;

0; 0; 0,73; 1,82; 0; 0; 3; 0; 1 )

18,73

13 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 8,5; 0; 3,33; 0;

0; 0; 0,79; 0; 0; 3,08; 0; 2; 0; 1 )

18,71

14 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 8,69; 0; 3,6; 0;

0; 0; 0; 0; 0; 2,86; 0; 1,54; 0; 2)

18,69

15 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 9,23; 0; 3,06;

0; 0; 0; 0; 0; 0; 2,86; 0; 1; 0; 2,54)

18,69

16 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 6,18; 0; 6; 0; 0;

0; 0; 0,73; 1,82; 0; 0; 2; 0; 2 )

18,73

17 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 9,5; 0; 2,33; 0;

0; 0; 0,79; 0; 0; 3,08; 0; 1; 0; 2 )

18,71

18 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 9,69; 0; 2,6; 0;

0; 0; 0; 0; 0; 2,86; 0; 0,54; 0; 3)

18,69

19 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 10,5; 0; 1,33;

0; 0; 0; 0,79; 0; 0; 3,08; 0; 0; 0; 3 )

18,71

20 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 7,18; 0; 5; 0; 0;

0; 0; 0,73; 1,82; 0; 0; 1; 0; 3 )

18,73

21 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 7,42; 0; 4,42;

0; 0; 0; 0,79; 0; 3,08; 0; 0; 0; 0; 3 )

18,71

22 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 11; 0; 0,67; 0;

0; 0; 1,08; 0; 0; 3,17; 0; 0; 0; 3 )

18,92

23 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 7,83; 0; 4; 0; 0;

0; 0,79; 0; 2,67; 0,42; 0; 0; 0; 3 )

18,71

24 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 6,83; 0; 5; 0;

0,79; 0; 0; 0; 2,08; 1; 0; 0; 0; 3 )

18,71

25 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 7,68; 0; 4; 0; 0;

0; 1; 0,23; 2,82; 0; 0; 0; 0; 3 )

18,73

Page 70: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

lxx

26 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 8,42; 0; 3,42;

0; 0; 0; 0,79; 0; 2,08; 1; 0; 0; 0; 3 )

18,71

27 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 8,83; 0; 3; 0; 0;

0; 0,79; 0; 1,67; 1,42; 0; 0; 0; 3 )

18,71

28 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 7,83; 0; 4; 0;

0,79; 0; 0; 0; 1,08; 2; 0; 0; 0; 3 )

18,71

29 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 8,68; 0; 3; 0; 0;

0; 1; 0,23; 1,82; 1; 0; 0; 0; 3 )

18,73

30 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 9,42; 0; 2,42;

0; 0; 0; 0,79; 0; 1,08; 2; 0; 0; 0; 3 )

18,71

31 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 9; 0; 2,83; 0;

0,21; 0; 0,58; 0; 1,08; 2; 0; 0; 0; 3 )

18,71

32 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 10; 0; 1,83; 0;

0; 0; 0,79; 0; 0,5; 2,58; 0; 0; 0; 3 )

18,71

33 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 8,83; 0; 3; 0;

0,79; 0; 0,08; 0; 0; 3; 0; 0; 0; 3 )

18,71

34 ( 0,23; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 9; 0; 2; 0; 0;

0; 1; 0; 1,5; 2; 0; 0; 0; 3 )

18,73

35 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 8,83; 0; 3; 0; 0;

0,79; 0; 0; 0,88; 2,21; 0; 0; 0; 3 )

18,71

36 ( 0,06; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 8,5; 0; 3; 0;

1; 0; 0; 0,17; 0; 3; 0; 0; 0; 3 )

18,73

37 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0,46; 7,62; 1; 3;

0; 0; 0; 0; 0; 1,69; 2; 0; 0; 0; 3 )

18,77

38 ( 0; 0,45; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 7,55; 0; 3;

0; 0; 1; 0; 0; 1,73; 2; 0; 0; 0; 3 )

18,73

39 ( 0; 0,68; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 7; 0; 2,89;

0; 0; 1,11; 0; 0; 2,05; 2; 0; 0; 0; 3 )

18,74

40 ( 0; 0,45; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1,55;

0; 0; 1; 0; 0; 0,27; 3,45; 0; 0; 0; 3 )

18,73

Page 71: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

lxxi

41 ( 0; 0,23; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 9; 0; 2; 0; 0;

1; 0; 0; 0,5; 3; 0; 0; 0; 3 )

18,73

42 ( 0; 0,68; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 9; 0; 0,89;

0; 0; 1,11; 0; 0; 0,05; 4; 0; 0; 0; 3 )

18,74

43 ( 0; 0,03; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 9; 0; 2,87;

0; 0; 1,13; 0; 0; 0; 2; 0; 0; 0,71; 3 )

18,74

44 ( 0,23; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 8,5; 0; 2,5;

0; 0; 1; 0; 0; 1; 2,5; 0; 0; 0; 3 )

18,73

45 ( 0,06; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 8,5; 0; 3; 0;

0; 1; 0; 0,17; 1; 2; 0; 0; 0; 3 )

18,73

46 ( 0; 0,65; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 8,09; 0;

1,91; 0; 0; 1,09; 0; 0; 1; 3; 0; 0; 0; 3 )

18,74

47 ( 0,23; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 8; 0; 3; 0; 0;

1; 0; 0; 1,5; 2; 0; 0; 0; 3 )

18,73

48 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 9; 0; 3; 0; 0; 1;

0; 0; 1; 2; 0; 0; 0; 3 )

19 Integer,Incumbent1

(Z* = 19)

49 ( 0; 0,36; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 8; 0; 2,87;

0; 0; 1,13; 0; 0; 1; 2; 0; 0; 0,38; 3 )

18,74

50 ( 0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 8; 0; 2; 0; 0; 1;

0; 0; 2; 2; 0; 0; 0; 3 )

19 Integer (Z* = 19)

51 ( 0; 0,17; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 8; 0; 2,87;

0,57; 0; 1,13; 0; 0; 1; 2; 0; 0; 0; 3 )

18,74

52 ( 0; 0; 0; 0; 0; 1,75; 0; 0; 8; 0; 1; 0; 0;

1,25; 0; 0; 1; 2; 0; 0; 1; 3 )

19 Z > Z*

53 ( 0; 0; 0; 0; 0,5; 0; 0; 0; 8; 0; 2,75; 0;

0; 1,25; 0; 0,25; 1; 2; 0; 0; 0; 3 )

18,75

54 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0,5; 0; 0; 8; 0; 2; 1; 0;

1,5; 0; 0; 1; 2; 0; 0; 0; 3 )

19 Z > Z*

55 ( 0; 0,13; 0; 0; 0; 0; 0; 0,29; 8; 0; 3;

0; 0; 1; 0; 0,33; 1; 2; 0; 0; 0; 3 )

18,75

Page 72: PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK …... · Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) ... Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan

lxxii

56 ( 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 8; 0; 3; 0; 0; 1;

0; 0; 1; 2; 0; 0; 0; 3 )

19 Integer (Z* = 19)

57 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0,69; 0,08; 8; 0;

2,62; 0; 0; 1,38; 0; 0; 1; 2; 0; 0; 0; 3 )

18,77

58 ( 0; 0; 0; 0; 0; 1,25; 0; 0; 8; 0; 1; 0; 0;

1,75; 0; 1; 1; 2; 0; 0; 0; 3 )

19 Z > Z*

59 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 8; 0; 2; 0; 0; 2;

0; 0; 1; 2; 0; 0; 0; 3 )

19 Integer (Z* = 19)

60 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0,5; 0,33; 8; 0; 3; 0;

0; 1; 0; 0; 1; 2; 0; 0; 0; 3 )

18,83

61 ( 0; 0; 1; 0; 0; 0; 0; 0,33; 8; 0; 3; 0; 0;

1; 0; 0; 1; 2; 0; 0; 0; 3 )

19,33 Z > Z*

62 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 0,33; 8; 0; 3; 0; 0;

1; 0; 0; 1; 2; 0; 0; 0; 3 )

19,33 Z > Z*