PENGGUNAAN METODE TITIK TENGAH (MIDPOINT), METODE ...digilib.unila.ac.id/56580/3/3. SKRIPSI FULL...
Transcript of PENGGUNAAN METODE TITIK TENGAH (MIDPOINT), METODE ...digilib.unila.ac.id/56580/3/3. SKRIPSI FULL...
PENGGUNAAN METODE TITIK TENGAH (MIDPOINT), METODE
TRAPESIUM, METODE SIMPSON DAN METODE GAUSS UNTUK
MENGHITUNG INTEGRASI NUMERIK FUNGSI-FUNGSI TERTENTU
TANPA ERROR.
(Skripsi)
Oleh
DINDA SUCI RAMADANTI
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2019
ABSTRAK
PENGGUNAAN METODE TITIK TENGAH (MIDPOINT), METODE
TRAPESIUM, METODE SIMPSON DAN METODE GAUSS UNTUK
MENGHITUNG INTEGRASI NUMERIK FUNGSI-FUNGSI TERTENTU
TANPA ERROR
Oleh
DINDA SUCI RAMADANTI
Integrasi numerik adalah suatu metode yang digunakan untuk mendapatkan nilai-
nilai hampiran dari beberapa integral tentu yang memerlukan penyelesaian
numeric sebagai hampirannya. Penelitian ini membahas teknik integrasi yang
didasarkan kepada kelakuan integran fungsi tertentu yang kelakuan fungsinya
memenuhi kesimetrisan, nilai integral yang didapat adalah eksaks walaupun
menggunakan metode titik tengah, metode trapesium, metode Simpson, dan
aturan kuadratur Gauss untuk dua titik.
Kata Kunci : Metode titik tengah, metode trapesium, aturan Simpson, aturan
kuadratur Gauss.
ABSTRACT
USE OF CENTRAL POINT (MIDPOINT) METHOD, TRAPEZOIDAL
METHOD, SIMPSON'S RULE AND GAUSS METHOD TO CALCULATE
NUMERICAL INTEGRATION CERTAIN FUNCTIONS WITHOUT
ERROR
By
DINDA SUCI RAMADANTI
Numerical integration is a method that is used to obtain approximate value from
several integrals which require a numerical solution as an approximation. This
study discusses integration techniques that are based on integrated behavior of
certain functions whose behaviors fulfill symmetry, the integral value obtained is
extract even though using the midpoint method, trapezoidal method, Simpson
method, and Gauss quadratic rule for two points.
Keywords : Midpoint method, trapezoidal method, Simpson rule, Gauss
quadrature rule.
PENGGUNAAN METODE TITIK TENGAH (MIDPOINT), METODE
TRAPESIUM, METODE SIMPSON DAN METODE GAUSS UNTUK
MENGHITUNG INTEGRASI NUMERIK FUNGSI-FUNGSI TERTENTU
TANPA ERROR
Oleh
DINDA SUCI RAMADANTI
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar
SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Lampung
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2019
RIWAYAT HIDUP
Penulis bernama lengkap Dinda Suci Ramadanti, anak kedua dari empat
bersaudara yang dilahirkan di Liwa pada tanggal 21 Januari 1998 oleh pasangan
Bapak Rusdana dan Ibu Haryati.
Menempuh pendidikan di Taman Kanak-Kanak (TK) Pertiwi pada tahun 2002-
2003, Sekolah Dasar (SD) diselesaikan di SD N 2 Liwa pada tahun 2003-2009,
kemudian bersekolah di SMP N 1 Liwa pada tahun 2009-2012, dan bersekolah di
SMA N 1 Liwa pada tahun 2012-2015. Pada tahun 2015 penulis terdaftar sebagai
mahasiswi S1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Lampung melalui Jalur SNMPTN. Selama menjadi mahasiswi,
penulis ikut serta dalam organisasi Himpunan Mahasiswa Jurusan Matematika
(HIMATIKA) FMIPA Unila.
Pada tahun 2018 penulis melaksanakan Kerja Praktik (KP) di Badan Pusat
STatistika Liwa Lampung Barat dan pada tahun yang sama penulis melakukan
Kuliah Kerja Nyata (KKN) di Desa Kebon Damar Kecamatan Mataram Baru,
Kabupaten Lampung Timur, Provinsi Lampung.
KATA INSPIRASI
“Karena sesungguhnya bersama kesulitan itu ada kemudahan”
[QS. Al-Insyirah : 5-6]
“Kesabaran itu ada dua macam: sabar atas sesuatu yang tidak kau
ingin dan sabar menahan diri dari sesuatu yang kau ingini”
[Ali bin Abi Thalib]
“Menuju tak terbatas dan melampauinya”
[Buzz Lightyear]
“Hargailah orang lain jika kamu ingin dihargai”
[Dinda Suci Ramdanti]
PERSEMBAHAN
Puji syukur kepada Allah Subhanahuwata’ala atas berkat dan kasih karunia-Nya yang
telah memberikan rezeki, keyakinan serta kekuatan dalam setiap urusan dan langkahku,
kesehatan dan kesabaran untukku dalam menyelesaikan skripsi ini.
Aku persembahkan karya kecil ku ini untuk:
kedua orang tua, kakak, adik, serta keluarga besar ku yang telah menjadi penyemangat
serta motivasi dan inspirasi yang selalu memberikan doa terbaik.
Seluruh dosen, terkhusus dosen pembimbing yang tak pernah lelah dan dengan sabar
selalu memberikan motivasi serta bimbingan kepadaku.
Untuk sahabat-sahabat seperjuangan dan seseorang yang selalu mendampingi, yang
telah memberikan cerita, dukungan serta kebahagiaan disetiap hariku. Selalu bersyukur
dikelilingi dan mememiliki orang-orang yang baik seperti kalian.
Aku selalu berusaha dan berdoa untuk mencapai titik kesuksesan, dan menjadikannya
suatu pembelajaran hingga aku berhasil
. Terimakasih.
SANWACANA
Puji syukur kepada Allah Tuhan Yang Maha Esa atas berkat dan kasih karunia-
Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi yang berjudul
“Penggunaan Metode Titik Tengah (Midpoint), Metode Trapesium, Metode
Simpson Dan Metode Gauss Untuk Menghitung Integrasi Numerik Fungsi-Fungsi
Tertentu Tanpa Error”. Skripsi ini disusun sebagai syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Komputer di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
Proses penulisan skripsi ini tidak akan berjalan lancar jika tanpa ada pihak yang
membantu. Oleh karena itu penulis mengucapkan terima kasih sebesar-besarnya
kepada :
1. Ibu Dra. Dorrah Aziz, M.Si., selaku Dosen Pembimbing I, terima kasih untuk
bimbingan dan kesedian waktunya selama penyusunan skripsi ini.
2. Bapak Agus Sutrisno, S.Si., M.Si., selaku Dosen Pembimbing II, terima kasih
untuk bantuan dan masukannya selama penyusunan skripsi.
3. Bapak Tiryono, M.Sc., PH.D., selaku Dosen Penguji, terima kasih atas
kesediannya untuk menguji, memberikan saran dan kritik yang membangun
dalam penyelesaian skripsi ini.
4. Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Si. selaku Pembimbing Akademik,
terima kasih atas bimbingan dan pembelajarannya dalam menjalani
perkuliahan.
5. Ibu Prof. Dra. Wamiliana, MA., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
6. Bapak Prof. Sutopo Hadi, M.Sc., Ph.D., selaku Dekan FMIPA Universitas
Lampung.
7. Seluruh Dosen dan Staff Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
8. Kedua Orang Tua tercinta, yang selalu mendoakan, memberikan dukungan
dan semangat serta membantu dalam bentuk moril maupun materil.
9. Terkhusus untuk Alm. Ayah Tiriku terimakasih untuk semua yang sudah
pernah kau berikan dan rasa kasih sayang yang kau beri padaku sedari aku
kecil.
10. Teteh DaSilva, Alm Aa’ Reza, Zaky, Zahra dan keluarga besarku yang selalu
menyemangati, menemani dan memberi motivasi kepada penulis.
11. Teruntuk sahabat, teman, kakak, motivator dan pendamping terbaik yang
selalu menemani, mengingatkan, dan memberi dukungan, Rahmat Purnama.
12. Para sahabat terbaik, Ayu, Yuli, Leli, Endah, Fitri, Nanda, Sekar, Rahma, Rima,
Resti, Pipin, dan Loves terima kasih atas bantuan, dukungan dan motivasinya.
13. Teman-Teman seperjuangan Diana, Mira, Indraswari, Bang Rahmat, Anita,
Aul, yang selalu mendukung dan memberi nasihat kepada penulis untuk
menulis skripsi ini.
14. Rekan-rekan Pimpinan HIMATIKA 2017 dan rekan-rekan pengurus Minat
dan Bakat 2016 dan Minat dan Bakat 2017.
15. Teman-teman KKN Periode II Tahun 2018 Desa Kebon Damar, Mba Siska,
Adel, Dyna, Erdi, Reza dan RM.
16. Teman-teman angkatan 2015 jurusan matematika.
17. Almamater tercinta Universitas Lampung.
Bandar Lampung, 01 April 2019
Penulis
Dinda Suci Ramadanti
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR ......................................................................................... viii
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah .................................................................... 1
1.2 Tujuan Penelitian ...................................................................................... 2
1.3 Manfaat Penelitian .................................................................................... 3
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Integral ........................................................................................................... 4
2.2 Integral Tentu ................................................................................................ 5
2.3 Definisi Turunan ........................................................................................... 6
2.4 Fungsi ........................................................................................................... 7
2.5 Integrasi Numerik ......................................................................................... 7
2.6 Metode Numerik ........................................................................................... 8
2.7 Metode Titik Tengah .................................................................................... 9
2.8 Metode Trapesium ...................................................................................... 11
2.9 Metode Simpson ......................................................................................... 14
2.10 Metode Aturan Gauss ............................................................................... 17
2.11 Deret Taylor .............................................................................................. 21
2.12 Deret Mc Laurin ........................................................................................ 24
2.13 Galat .......................................................................................................... 26
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Tempat dan Waktu Penelitian ..................................................................... 28
3.2 Metode Penelitian............................................................................................ 28
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Hasil Penelitian ........................................................................................... 30
V. KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1. Deskripsi bentuk integral .................................................................................... 8
2. Grafis aturan titik tengah ................................................................................... 10
3. Deskripsi secara grafis aturan trapesium........................................................... 14
4. Grafik fungsi Antisimetris................................................................................. 31
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Integrasi numerik adalah suatu metode yang digunakan untuk mendapatkan nilai-nilai
hampiran dari beberapa integral tentu yang memerlukan penyelesaian numeric
sebagai hampirannya. Suatu integral dapat diselesaikan dengan 2 cara, yaitu secara
analitik dan secara numerik. Banyak permasalahan yang dihadapi dapat dimodelkan
ke dalam suatu persamaan integral. Namun persamaan integral ini terkadang
bentuknya rumit sehingga sulit untuk diselesaikan dengan menggunakan kaidah-
kaidah kalkulus secara analitik. Untuk itu diperlukan bantuan komputer dan metode
pendekatan yang tepat untuk dapat menyelesaikan persamaan tersebut secara efisien
dan tepat. Untuk menangani pesamaan yang rumit dapat menggunakan metode
numerik.
Metode numerik merupakan teknik dimana masalah matematika diformulasikan
sedemikian rupa sehingga dapat diselesaikan oleh pengoperasian matematika, dimana
penggunaan metode ini menghasilkan solusi hampiran yang memang tidak persis
sama dengan solusi yang sebenarnya (sejati) tetapi tingkat keakuratannya dapat
2
dilihat dari galat sekecil mungkin. Akan tetapi pada penelitian ini akan dibahas
integrasi numerik yang hasil pendekatannya sama dengan hasil eksak, sehingga tidak
memiliki error. Penyelesaian dengan cara analitik menghasilkan hasil eksak,
sedangkan dengan cara numerik diperoleh nilai integral tentu 𝐼(𝑓) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏
𝑎
dengan ketelitian tertentu. Fungsi yang dapat diintegrasikan secara eksak adalah
fungsi-fungsi tertentu, yaitu fungsi yang kelakuan fungsinya memenuhi kesimetrisan
nilai integral. Metode pengintegralan secara numerik yang digunakan pada penelitian
ini adalah , Metode Titik Tengah (Midpoint), Metode Trapezium, Metode Simpson
dan Metode Gauss.
Dengan latar belakang tersebut, penulis bermaksud untuk menyusun skripsi dengan
judul Penggunaan Metode Titik Tengah (Midpoint), Metode Trapesium, Metode
Simpson dan Metode Gauss untuk Menghitung Integrasi Numerik fungsi-fungsi
tertentu Tanpa error.
1.2 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menghitung integrasi numerik yang hasil
pendekatannya sama dengan hasil eksak, sehingga tidak memiliki error.
3
1.3 Manfaat Penelitian
Manfaat yang didapat dari penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Mengetahui integrasi numerik tanpa error untuk fungsi-fungsi tertentu..
2. Mengetahui syarat yang harus dipenuhi untuk mendapatkan hasil eksak yang
telah diintegrasikan sehingga tidak memiliki error.
3. Mengetahui metode yang dapat digunakan untuk mengintegrasikan fungsi
tertentu.
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Integral
Integral merupakan invers arau kebalikan dari defferensial. Integral terdiri dari dua
macam yakni integral tentu dan integral tak tertentu. Integral tentu merupakan suatu
integral yang dibatasi oleh suatu nilai tertentu yang sering disebut batas atas dan batas
bawah. Sedangkan integral tak tentu digunakan untuk mencari fungsi asal dari
turunan suatu fungsi (Varberg, et al., 2010).
Dalam notasi ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥, 𝑓(𝑥)𝑏
𝑎 disebut integran serta a dan b disebut batas
pengintegralan, a adalah batas bawah dan b adalah batas atas. Lambang dx tidak
mempunyai makna resmi, ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏
𝑎adalah kesemuanya satu lambang. Prosedur
perhitungan suatu integral disebut pengintegralan.
Integral tentu dinyatakan seperti pada persamaan (2.1).
𝐼(𝑓) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏
𝑎 (2.1)
5
Integral tertentu biasanya dipakai untuk mencari volume benda putar dan luas.
Integrasi tentu sama dengan menghitung luas daerah yang dibatasi kurva y = f(x),
dengan batas x=a dan x=b
Integral ganda merupakan perhitungan volume ruang di bawah pemukaan kurva
𝑓(𝑥, 𝑦) yang alasnya berupa bidang yang dibatasi oleh garis 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏, 𝑦 = 𝑐,
𝑦 = 𝑑. Volume benda berdimensi tiga dihitung seperti pada persamaan (2.2).
𝐼 = ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 = ∫ [∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑏
𝑎] 𝑑𝑦
𝑑
𝑐
𝑐
𝑑
𝑏
𝑎 (2.2)
Volume = Luas Alas x Tinggi
Soulusi integral ganda adalah dengan melakukan integrasi dua kali dalam arah x
menghitung luas alas, dan arah y menghitung tinggi (Munir, 2015).
2.2 Integral Tentu
Jika f fungsi kontinu yang didefinisikan untuk 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, dibagi selang [a,b] menjadi
n selang bagian berlebar sama ∆𝑥 =𝑏−𝑎
𝑛. Misalkan 𝑥0(= 𝑎), 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛(= 𝑏)
berupa titik ujung selang-bagian ini dan dipilih titik sampel 𝑥1∗, 𝑥2
∗, … , 𝑥𝑛∗ di dalam
selang-bagian ini, sehingga 𝑥𝑖∗ terletak dalam selang-bagian ke-i, [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖]. Maka
definisi integral tentu f dari a sampai b adalah
6
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim𝑛→∞
∑ 𝑓(𝑥𝑖∗)∆𝑥
𝑛
𝑖=1
𝑏
𝑎
Integral tentu ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏
𝑎 adalah sebuah bilangan yang tidak tergantung pada x.
faktanya dapat menggunakan sebarang di tempat x tanpa mengubah nilai integral.
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏
𝑎
= ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 =𝑏
𝑎
∫ 𝑓(𝑟)𝑑𝑟𝑏
𝑎
(Stewart,2001).
2.3 Definisi Turunan
Turunan fungsi f adalah fungsi yang nilainya di setiap bilangan sebarang x di dalam
daerah asal f diberikan oleh persamaan berikut
𝑓′(𝑥) = limℎ→0
𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)
ℎ (2.3)
Jika limit ada turunan fungsi f dilambangkan oleh f’ (Leithold, 1986).
Jika dituliskan 𝑥 = 𝑎 + ℎ, maka ℎ = 𝑥 − 𝑎 dan h mendekati 0 jika dan hanya jika x
mendekati a. Karena itu, cara setara menyatakan definisi turunan, seperti dilihat
dalam pencarian garis singgung, adalah
𝑓′(𝑎) = lim𝑥→0
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎
(Stewart,2001).
7
2.4 Fungsi
Suatu fungsi adalah suatu himpunan pasangan terurut bilangan (𝑥, 𝑦) dimana tidak
terdapat dua pasangan berbeda yang bilangan pertamanya sama. Himpunan semua
nilai x yang mungkin dinamakan daerah asal (domain) fungsi dan himpunan semua
nilai y yang dihasilkan dinamakan daerah nilai fungsi (Leithold, 1986).
Untuk mendefinisakan fungsi dapat digunakan notasi 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵. Dengan demikian
kita telah mendefinisikan fungsi f yang memetakan setiap elemen setiap elemen
himpunan A kepada B. Notasi ini hanya mengatakan bahwa ada sebuah fungsi f
yang memetakan dua himpunan, A kepada B. Tetapi bagaimana tepatnya pemetaan
tersebut tidaklah terungkapkan dengan baik. Maka dapat digunakan notasi lain.
𝑥 ∈ 𝐴
𝑓 ∶ 𝑥 → 𝑥2
Atau
𝑓(𝑥) = 𝑥2
(Purcell & Dale, 1993).
2.5 Integrasi Numerik
Integrasi Numerik merupakan cara perhitungan yang digunakan apabila kondisi
dalam perhitungan analitik dirasa sulit atau bahkan tidak mungkin untuk memperoleh
8
hasil integral. Dengan kata lain, integrasi numerik dilakukan ketika perhitungan
integral secara eksak sulit dilakukan (Munir, 2015). Hasil penyelesaian metode
numerik berupa nilai hampiran (approximation), sehingga timbul kesalahan (error).
Pada penyelesaian secara numerik diusahakan menghasilkan error sekecil mungkin
untuk memperoleh hasil yang lebih baik.
Gambar 1. Deskripsi bentuk integral
(Munir, 2015)
2.6 Metode Numerik
Metode numerik merupakan salah satu cabang atau bidang ilmu matematika. Metode
numerik adalah teknik untuk menyelesaikan permasalahan- permasalahan yang
diformulasikan secara matematis dengan cara operasi hitungan (Triatmodjo, 1992).
Pada dasarnya metode numerik merupakan metode untuk menentukan penyelesaian
numeris, dalam hal ini dilakukan operasi hitungan yang berulang-ulang untuk
9
menyelesaikan penyelesaian numeriknya. Penyelesaian numerik ditentukan dengan
melakukan prosedur perulangan (iterasi) tertentu, sehingga setiap hasil akan lebih
teliti dari perkiraan sebelumnya. Dengan melakukan prosedur pengulangan yang
dianggap cukup akhirnya diperoleh hasil perkiraan yang mendekati nilai eksak. Nilai
eksak tersebut hanya dapat diketahui apabila suatu fungsi 𝑓(𝑥) bisa diselesaikan
secara analitis (Santoso, 2011).
Pada umumnya metode numerik tidak mengutamakan diperolehnya nilai yang eksak
(tepat), tetapi mengusahakan perumusan metode yang menghasilkan nilai pendekatan
yang berbeda dari nilai yang eksak sebesar suatu nilai yang dapat diterima
berdasarkan pertimbangan praktis, tetapi cukup dapat memberikan penghayatan pada
persoalan yang dihadapi. Banyak cara dalam metode numerik yang dapat digunakan
untuk menyelesaikan suatu persamaan metematika. Setiap metode memiliki prosedur
yang berbeda dalam menentukan nilai pendekatannya (Santoso, 2011)
2.7 Metode Titik Tengah
Aturan titik tengah (Midpoint Rule) hampir mirip dengan aturan trapezoida tapi
aturan titik tengah menggunakan pendekatan luas persegi panjang. Kurva yang
dipartisi sedemikian sehingga setiap partisi yang berbentuk kurva lengkung
didekatkan dengan suatu garis singgung, dimana garis singgung yang digunakan
melalui titik tengah dari lengkungan kurva pada setiap partisi. Untuk menghitung luas
10
di bawah kurva didekatkan dengan luas persegi panjang. Untuk lebih jelasnya, grafis
aturan titik tengah ditunjukkan pada Gambar 2.
Gambar 2. Grafis aturan titik tengah
Jika dimiliki sebuah partisi kurva seperti di atas dengan titik koordinat awal 𝑥0 = 𝑎
dan titik koordinat ujung 𝑥1 = 𝑏 = 𝑎 + ℎ maka koordinat titik tengahnya 𝑥𝑚1 = 𝑎 +
1
2 ℎ dengan ℎ = 𝑏 – 𝑎. Maka luas di bawah kurvanya
∫ 𝑓 (𝑥) = ℎ. 𝑓(𝑎 +𝑏
𝑎
1
2 ℎ) = 𝑀1(𝑓) (2.4)
Kesalahan pada metode integrasi titik tengah dapat diperoleh sebagai berikut.
Pertama, ekspansi deret Taylor untuk ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑥0−ℎ
𝑥0diperoleh
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = −ℎ𝑓′(𝑥0) + + ℎ2
2𝑓′′(𝑥0) −
ℎ3
6𝑓′′′(𝑥0) + ⋯
𝑥0−ℎ
𝑥0 (2.5)
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ℎ𝑓′(𝑥0) + + ℎ2
2𝑓′′(𝑥0) −
ℎ3
6𝑓′′′(𝑥0) + ⋯
𝑥0−ℎ
𝑥0 (2.6)
Kemudian dengan menggunakan (2.5) terhadap (2.6) diperoleh
11
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 −
𝑥0−ℎ
𝑥0
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
𝑥0−ℎ
𝑥0
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 +
𝑥0−ℎ
𝑥0
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
𝑥0
𝑥0−ℎ
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑥0−ℎ
𝑥0−ℎ
= 2 ℎ𝑓(𝑥0) + 2ℎ3
3!𝑓′′(𝑥0) +
2ℎ5
5!𝑓𝐼𝑉(𝑥0) + ⋯
Sehingga
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ℎ𝑓(𝑥0) + ℎ3
3!𝑓′′(𝑥0) +
2ℎ5
5!𝑓𝐼𝑉(𝑥0) + ⋯
𝑥0−ℎ
𝑥0−ℎ
Dengan mengambil 𝑥𝑚𝑘 =𝑥0+𝑥0+ℎ
2= 𝑥0 +
1
2 , maka
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − ℎ𝑓 (
𝑥0−ℎ
𝑥0
𝑥𝑚𝑘) = 2ℎ3
3! (2)3𝑓′′(𝑥0) +
2ℎ5
5!𝑓𝐼𝑉(𝑥0) + ⋯
Atau kesalahan untuk metode integrasi titik tengah
𝐸 ≈ℎ3
24𝑓′′(𝑥𝑚𝑘)
(Munir&Rinaldi,2003).
2.8 Metode Trapesium
Metode trapesium merupakan metode integrasi numerik yang didasarkan pada
penjumlahan segmen-segmen berbentuk trapesium. Apabila sebuah integral didekati
dengan metode trapesium dengan satu segmen saja, maka dapat dituliskan sebagai
persamaan (2.7) berikut :
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑏
𝑎
𝑏−𝑎
2 [𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏)] + 𝐸 (2.7)
12
Suku pertama pada ruas kanan adalah aturan trapesium yang dimaksudkan,
sedangkan suku kedua yang dinyatakan dengan E adalah kesalahan yang dimiliki oleh
metode ini.
Untuk memperoleh pernyataan metode trapesium (2.7) dan untuk mengetahui
seberapa besar kesalahan yang dimiliki oleh metode ini, maka perlu dilakukan
ekspansi deret luasan Taylor 𝐴(𝑥) yang didefinisikan sebagai
𝐴(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑥
𝑥0 (2.8)
Ekspansi deret Taylor untuk luasan 𝐴(𝑥) selanjutnya adalah
𝐴(𝑥) = 𝐴(𝑥0) + (𝑥 − 𝑥0)𝐴′(𝑥0) +(𝑥 − 𝑥0)2
2𝐴′′(𝑥0) +
(𝑥 − 𝑥0)3
6𝐴′′′(𝑥0) + ⋯
dengan definisi (2.8) maka diperoleh
𝐴′(𝑥) = 𝑓(𝑥), 𝐴′′(𝑥), 𝐴′′′(𝑥) = 𝑓′′(𝑥)
Selajutnya, ungkapan (2.8) untuk batas bawah integrasi 𝑥0 dan batas atas 𝑥0 + ℎ
menjadi
𝐴(𝑥) = 𝐴(𝑥0) + (𝑥 − 𝑥0)𝐴′(𝑥0) +ℎ2
2𝐴′′(𝑥0) +
ℎ3
6𝐴′′′(𝑥0) + ⋯
= ℎ 𝑓 (𝑥0) +ℎ2
2𝑓′(𝑥0) +
ℎ3
6𝑓′′(𝑥0) + ⋯
Dengan mendekati pernyataan turunan pertama dengan beda hingga maju (forward
difference)
𝑓′( 𝑥0) =𝑓( 𝑥0+ℎ)−𝑓( 𝑥0)
ℎ (2.9)
maka persamaan (9) akan mengambil bentuk
13
𝐼 = ℎ𝑓( 𝑥0) +ℎ2
2
𝑓( 𝑥0+ℎ)−𝑓( 𝑥0)
ℎ+ 𝑂(ℎ3) (2.10)
Dengan demikian diperoleh pendekatan integral dengan teknik integrasi trapesium
adalah
∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 ≈ℎ
2[𝑓( 𝑥0) + 𝑓( 𝑥0 + ℎ)]
𝑥0+ℎ
𝑥0
Dari pernyataan (2.9) dapat diketahui bahwa pendekatan integrasi dengan aturan
trapesium memiliki kesalahan yang sebanding dengan (ℎ)3. Oleh sebab itu, jika di
bagi dua terhadap h maka kesalahan hasil integrasi akan tereduksi hingga 1/8 nya.
Akan tetapi, ukuran domainnya juga terbagi menjadi dua, sehingga dibutuhkan aturan
trapesium lagi untuk mengevaluasinya, selanjutnya sumbangan hasil integrasi tiap
domain dijumlahkan. Hasil akhirnya memiliki kesalahan 1/4 nya bukan lagi 1/8 nya.
Untuk memperoleh ungkapan yang lebih teliti mengenai kesalahan pada metode ini,
maka dilakukan perhitungan lebih teliti lagi. Jika kesalahan pendekatan dinyatakan
sebagai E, maka
𝐸 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 −ℎ
2[𝑓( 𝑥0) + 𝑓( 𝑥0 + ℎ)]
𝑥0+ℎ
𝑥0
= [ ℎ 𝑓 (𝑥0) +ℎ2
2𝑓′(𝑥0) +
ℎ3
6𝑓′′(𝑥0) + ⋯ ] −
ℎ
2
| 𝑓(𝑥0) + 𝑓(𝑥0) + ℎ 𝑓′(𝑥0) + ℎ2
2𝑓′(𝑥0) +
ℎ3
6𝑓′′′(𝑥0) + ⋯ |
14
≈ −1
12ℎ3 𝑓′′(𝑥0)
Secara grafis persamaan di atas dapat digambarkan sebagai berikut :
Gambar 3. Deskripsi secara grafis aturan trapesium
Pernyataan di atas adalah aturan trapesium untuk satu segmen (Munir&Rinaldi,2003).
2.9 Metode Simpson
Metode Simpson merupakan sebuah metode alternatif pendekatan integral disamping
metode trapesium dan titik tengah. Dengan menggunakan metode Simpson ini
diharapkan meskipun lebar segmen h pada integrasi diambil cukup lebar, namun
diharapkan akan diperoleh ketelitian yang lebih tinggi dari metode sebelumnya.
Dengan mengintegralkan deret Taylor sepanjang interval 2ℎ dan mengurangkannya
dengan
15
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 2𝑓(𝑥0)ℎ + 2𝑓′(𝑥0)ℎ2 +4
3
𝑥0−2ℎ
𝑥0
𝑓′′(𝑥0)ℎ3 +2
3𝑓′′′(𝑥0)ℎ4 +
4
15𝑓𝐼𝑉(𝑥0)
+ ⋯
=ℎ
3[ 𝑓(𝑥0) + 4 (𝑓(𝑥0 + 𝑓′(𝑥0)ℎ +
1
2𝑓′′(𝑥0)ℎ2 +
1
6𝑓′′′(𝑥0)
ℎ31
24𝑓𝑖𝑣(𝑥0)ℎ4
+ ⋯ ) (𝑓(𝑥0) + 2𝑓′(𝑥0)ℎ + 2𝑓′′(𝑥0)ℎ2 +4
3𝑓′′′(𝑥0)ℎ3
+2
3𝑓𝑖𝑣(𝑥0)ℎ4 −
17
30𝑓𝐼𝑉(𝑥0) + ⋯ )]
=ℎ
3[𝑓(𝑥0) + 4𝑓(𝑥0 + ℎ) + 𝑓(𝑥0 + 2ℎ)] + 𝑂(ℎ5)
Dari pernyataan di atas terlihat bahwa kesalahan pendekatan integrasi Simpson 1/3
adalah 𝑂(ℎ5), sedangkan kesalahan pada aturan trapezium dan titik tengah adalah
𝑂(ℎ5), ini berarti bahwa aturan Simpson 1/3 memiliki ketelitian dua orde lebih tinggi
dibandingkan metode trapesium dan titik tengah.
Tetapi,akan dihitung lebih teliti lagi seberapa kesalahan yang dialami metode
Simpson 1/3 ini. Untuk tujuan ini, harus dilakukan ekspansi deret Taylor untuk
ungkapan pendekatan integrasi Simpson dua segmen.
ℎ
3[𝑓(𝑥𝑘−1) + 4𝑓(𝑥𝑘) + 𝑓(𝑥𝑘−1)]
=ℎ
3[𝑓(𝑥𝑘) + 4𝑓(𝑥𝑘) + 𝑓(𝑥𝑘) +
2ℎ2
2𝑓′′(𝑥𝑘) +
2ℎ4
4!𝑓𝑖𝑣(𝑥𝑘) + ⋯ ]
2ℎ𝑓(𝑥𝑘) +ℎ3
3𝑓′′(𝑥𝑘) + ⋯ (2.11)
16
Ekspansi deret Taylor untuk
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 2ℎ𝑓 (𝑥𝑘+1
𝑥𝑘−1𝑥𝑘) +
2ℎ3
3!𝑓′′(𝑥𝑘) +
2ℎ5
5!𝑓𝐼𝑉(𝑥𝑘) + ⋯ (2.12)
Dengan mengurangkan (2.12) dari (2.11) diperoleh kesalahan untuk metode Simpson
1/3 sebesar
𝐸 ≈ℎ5
60𝑓𝑖𝑣(𝑥𝑘)
Untuk meningkatkan ketelitian saat mengintegralkan seluruh interval yang lebih
lebar, maka interval antara 𝑥0 dan 𝑥1 dapat di bagi menjadi 𝑛 langkah. Evaluasi
pada tiga titik untuk setiap subinterval memerlukan jumlah yang genap. Jumlah
interval genap ini merupakan syarat yang harus dipernuhi saat diterapkan metode ini.
Oleh sebab itu, harus dinyatakan jumlah interval menjadi 𝑛 = 2𝑚. Aturan Simpson
1/3 kemudian menjadi
∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈
ℎ
3[𝑓(𝑥0) + 4𝑓(𝑥0 + ℎ) + 2𝑓(𝑥0 + 2ℎ) + 4𝑓(𝑥0 + 3ℎ) + ⋯
+2 𝑓 (𝑥0 + (𝑁 − 2)ℎ) + 4 𝑓(𝑥0 + (𝑁 − 1)ℎ) + 𝑓(𝑥0 + 𝑁ℎ)]
𝑥0+𝑁ℎ
𝑥0
Atau secara umum
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ℎ
3
𝑏
𝑎
[𝑓(𝑎) + 4 ∑ 𝑓(𝑥2𝑖+1
𝑁
2−1
𝑖=0
) ∑ 𝑓(𝑥2𝑖) + 𝑓(𝑏)]
𝑁
2−1
𝑖=𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝
(Munir&Rinaldi,2003)
17
2.10 Metode Aturan Gauss
Metode Gaus Kuadratur adalah metode integrasi numerik yang menggunakan
interval-interval yang ditentukan dan interval-interval tersebut tidak harus sama
panjang. Hal ini untuk mendapatkan error sekecil mungkin. Untuk mendapatkan
rumus Gaus Kuadratur menggunakan n titik, terlebih dahulu dianalogikan cara
mendapatkan rumus Gaus Kuadratur menggunakan 2 titik sebagai berikut.
Misalkan digunakan rumus Gaus Kuadratur-2 titik untuk menghitung
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥,1
−1 (2.13)
maka daerah integrasi dalam selang [-1,1] didekati dengan sebuah trapezium yang
luasnya adalah
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈ 𝑤1𝑓(𝑥1) + 𝑤2𝑓(𝑥2)1
−1 (2.14)
dimana :
𝑤1, 𝑤2 ∶ panjang interval yang akan ditentukan
𝑥1, 𝑥2 ∶ titik yang akan ditentukan
Persamaan (2.14) mengandung empat variable yang tidak diketahui, yaitu
𝑥1, 𝑥2, 𝑤1 𝑑𝑎𝑛 𝑤2. Permasalahan dari persamaan (2.14) adalah menentukan
𝑥1, 𝑥2, 𝑤1 𝑑𝑎𝑛 𝑤2 sehingga error integrasinya minimum. Karena ada empat buah
persamaan simltan yang mengandung 𝑥1, 𝑥2, 𝑤1 𝑑𝑎𝑛 𝑤2.
Dapat ditentukan rumus integrasi numeric yang memberikan kesalahan 0 untuk 𝑓(𝑥)
derajat 3 yang diintegrasikan pada interval [-1,1]. Jika yang ditentukan rumus
18
aproksimasi integrasi yang kesalahan=0 maka persamaan (2.14) menjadi :
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈ 𝑤1𝑓(𝑥1) + 𝑤2𝑓(𝑥2)1
−1 (2.15)
dengan
𝑓(𝑥) ∶ polynomial yang berderajat ≤ 3.
Untuk mendapatkan rumus yang diinginkan, yang pertama dicari dulu nilai
𝑥1, 𝑥2, 𝑤1 𝑑𝑎𝑛 𝑤2. Dengan menganggap rumus eksak untuk fungsi-fungsi 𝑓(𝑥) =
1, 𝑓(𝑥) = 𝑥, 𝑓(𝑥) = 𝑥2, 𝑑𝑎𝑛 𝑓(𝑥) = 𝑥3 maka diperoleh :
Untuk 𝑓(𝑥) = 1,
𝑤1𝑓(𝑥1) + 𝑤2𝑓(𝑥2) = ∫ 1 𝑑𝑥 = 𝑥|−11
1
−1
= 1 − (−1) = 2
𝑤1 + 𝑤2 = 2
Untuk 𝑓(𝑥) = 𝑥,
𝑤1𝑓(𝑥1) + 𝑤2𝑓(𝑥2) = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 =1
2𝑥2|−1
11
−1
=1
2(12 − (−12)) = 0
𝑤1𝑥1 + 𝑤2𝑥2 = 0
Untuk 𝑓(𝑥) = 𝑥2
𝑤1𝑓(𝑥1) + 𝑤2𝑓(𝑥2) = ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 =1
3𝑥3|−1
11
−1
=1
3(13 − (−13)) =
2
3
𝑤1𝑥12 + 𝑤2𝑥2
2 =2
3
Untuk 𝑓(𝑥) = 𝑥3
𝑤1𝑓(𝑥1) + 𝑤2𝑓(𝑥2) = ∫ 𝑥3 𝑑𝑥 =1
4𝑥3|−1
11
−1
=1
4(14 − (−14)) = 0
𝑤1𝑥13 + 𝑤2𝑥2
3 = 0
19
Selanjutnya,telah memperoleh empat persamaan simultan yaitu
𝑤1 + 𝑤2 = 2
𝑤1𝑥1 + 𝑤2𝑥2 = 0
𝑤1𝑥12 + 𝑤2𝑥2
2 =2
3
𝑤1𝑥13 + 𝑤2𝑥2
3 = 0
Jika empat persamaan simultan tersebut diselesaikan maka akan diperoleh
𝑤1 + 𝑤2 = 2
𝑤1 = 𝑤2 = 1
𝑤1𝑥1 + 𝑤2𝑥2 = 0
𝑥1 + 𝑥2 = 0
𝑥1 = −𝑥2
𝑤1𝑥12 + 𝑤2𝑥2
2 =2
3
𝑥12 + 𝑥2
2 =2
3
(−𝑥2)2 + 𝑥22 =
2
3
𝑥22 + 𝑥2
2 =2
3
2𝑥22 =
2
3
𝑥22 =
2
3×
1
2
𝑥22 =
1
3
20
𝑥2 =1
√3
𝑥1 = −𝑥2
𝑥1 = −1
√3
Sehingga diperoleh
𝑤1 = 𝑤2 = 1 𝑑𝑎𝑛 − 𝑥1 = 𝑥2 =1
√3 .
Sehingga rumus aturan Gauss untuk dua titik adalah
𝐺2 = 𝑓 (1
√3) + 𝑓 (−
1
√3)
Untuk menerapkan rumus aturan Gauss untuk dua titik untuk menyelesaikan
integrasi ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏
𝑎 harus terlebih dahulu dilakukan transformasi dari interval [a,b],
ke [-1,1] yang dapat dinyatakan
𝑥 − 𝑎
𝑏 − 𝑎=
𝑢 − 1
2
(𝑢 + 1)(𝑏 − 𝑎) = 2(𝑥 − 𝑎)
𝑢𝑏 − 𝑢𝑎 + 𝑏 − 𝑎 = 2𝑥 − 2𝑎
𝑢𝑏 − 𝑢𝑎 = 2𝑥 − 2𝑎 + 𝑎 − 𝑏
𝑢(𝑏 − 𝑎) = 2𝑥 − 𝑎 − 𝑏
𝑢(𝑏 − 𝑎) = 2𝑥 − (𝑎 + 𝑏)
𝑢 =2𝑥 − (𝑎 + 𝑏)
(𝑏 − 𝑎)
21
Diperoleh
𝑢 =2𝑥 − (𝑎 + 𝑏)
(𝑏 − 𝑎)𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 =
1
2(𝑏 − 𝑎)𝑢 +
1
2(𝑏 − 𝑎)
Sehingga diperoleh
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏
𝑎
=1
2(𝑏 − 𝑎)𝑓 [
1
2(𝑏 − 𝑎)𝑥 +
1
2(𝑏 − 𝑎)]
Sehingga bentuk integral dapat ditulis menjadi :
𝐼 = ∫ 𝑔(𝑢)𝑑𝑢𝑏
𝑎
Dimana :
𝑢 =2𝑥 − (𝑎 + 𝑏)
(𝑏 − 𝑎)
𝑑𝑢
𝑑𝑥=
2
𝑏 − 𝑎
2𝑑𝑥 = (𝑏 − 𝑎)𝑑𝑢
𝑑𝑥 =1
2(𝑏 − 𝑎)𝑑𝑢
Sehingga diperoleh :
𝑔(𝑢) =1
2(𝑏 − 𝑎)𝑓 (
1
2(𝑏 − 𝑎)𝑢 +
1
2(𝑏 − 𝑎))
(Sutrisno&Heri,2019).
2.11 Deret Taylor
Deret Taylor dinamai berdasarkan seorang matematikawan Inggris, Brook Taylor
(1685-1731) dan deret Maclaurin dinamai berdasarkan matematikawan
22
Skotlandia, Colin Maclaurin (1698-1746), meskipun pada kenyataannya deret
Maclaurin hanya kasus khusus dari deret Taylor. Akan tetapi, gagasan
mempresentasikan fungsi-fungsi tertentu sebagai jumlah dari deret pangkat
berasal dari Newton, dan deret Taylor yang umum diperkenalkan oleh
matematikawan Skotlandia James Gregory di tahun 1668 dan oleh
matematikawan Swiss John Bernoulli di tahun 1690-an. Deret Taylor ini penting
karena deret Taylor memungkinkan untuk mengintegralkan fungsi-fungsi yang
tidak dapat diselesaikan sebelumnya dengan cara menyatakannya sebagai
deret pangkat terlebih dahulu, kemudian mengintegralkan deretnya suku demi
suku.
Teorema 2.11.1
Misal f memenuhi 𝑓(𝑥) = 𝑐0 + 𝑐1(𝑥 − 𝑎) + 𝑐2(𝑥 − 𝑎)2 + 𝑐3(𝑥 − 𝑎)3 + ⋯
Untuk semua 𝑥 ∈ (𝑥 − 𝑎, 𝑥 + 𝑎). Maka
𝑐𝑛 =𝑓𝑛(𝑎)
𝑛!
Deret tersebut dinamakan deret Taylor.
Teorema 2.11.2
Misalkan f fungsi yang turunan ke (n+1), yaitu 𝑓(𝑛+1)(𝑥) ada untuk masing-masing x
dalam interval terbuka I yang mengandung a. Maka untuk masing-masing x dalam I,
23
𝑓(𝑥) = 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) +𝑓′′(𝑎)
2!𝑓(𝑎) + (𝑥 − 𝑎)2 + ⋯ +
𝑓(𝑛)𝑎
𝑛!(𝑥 − 𝑎)𝑛 + 𝑅𝑛(𝑥)
Dengan sisa (galat) 𝑅𝑛(𝑥) diberikan oleh rumus
𝑅𝑛(𝑥) =𝑓(𝑛+1)(𝑐)
(𝑛 + 1)!(𝑥 − 𝑎)𝑛+1
dan c suatu titik diantara x dan a.
Teorema di atas menunjukkan bahwa galat seperti apa yang akan terjadi ketika
mengaproksimasi fungsi dengan sejumlah berhingga suku dari deret Taylornya.
Teorema 2.11.3
Misalkan f adalah fungsi dengan turunan semua tingkat dalam interval (𝑎 − 𝑟, 𝑎 + 𝑟).
Deret Taylor
𝑓(𝑎) + 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) +𝑓′′(𝑎)
2!𝑓(𝑎) + (𝑥 − 𝑎)2 +
𝑓′′′(𝑎)
3!+ (𝑥 − 𝑎)3 + ⋯
Menyatakan fungsi f pada interval (𝑎 − 𝑟, 𝑎 + 𝑟) jika dan hanya jika
lim𝑛→∞
𝑅𝑛(𝑥) = 0
dimana
𝑅𝑛(𝑥) =𝑓(𝑛+1)(𝑐)
(𝑛 + 1)!(𝑥 − 1)𝑛+1
dan c suatu titik di dalam (𝑎 − 𝑟, 𝑎 + 𝑟).
Deret taylor tersebut tidak dapat digunakan secara langsung untuk mengaproksimasi
fungsi seperti 𝑒𝑥 atau x. Namun pemenggalan deret Taylor, yaitu memenggal deret
24
setelah berhingga suku, menuju ke polynomial yang dapat digunakan untuk
mengaproksimasi suatu fungsi. Polynomial seperti ini disebut polynomial Taylor.
Polinomial Taylor Orde 1. Suatu fungsi f dapat diaproksimasi dekat dengan titik a
oleh garis singgungnya yang melalui titik (a,f(a)). Garis singgung tersebut dapat
disebut sebagai aproksimasi linear terhadap f dekat dengan a dan akan diperoleh
𝑃1(𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎)
Polynomial Taylor Orde n. Penjumlahan sampai suku-suku yang berorde lebih
tinggi dalam deret Taylor biasanya akan memberikan apksimasi yang lebih baik. Jadi,
polynomial kuadrat
𝑃2(𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓′′(𝑎)
2!(𝑥 − 𝑎)2
Akan memberikan aproksimasi yang lebih baik terhadap f. polynomial Taylor orde n
yang akan terletak di a adalah
𝑃2(𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓′′(𝑎)
2!(𝑥 − 𝑎)2 + ⋯ +
𝑓(𝑛)(𝑎)
𝑛!(𝑥 − 𝑎)𝑛
(Azizah, 2015).
2.12 Deret Mc Laurin
Untuk membentuk fungsi umum deret Mclaurin biasanya menggunakan fungsi umum
𝑓(𝑥) turunan pertama dari 𝑓(𝑥) dapat dituliskan 𝑓(𝑥)′dan turunan kedua 𝑓(𝑥)′′ dan
25
turunan ketiga 𝑓(𝑥)′′′ dan seterusnya.
Berikut adalah prosesnya
Misalkan 𝑓(𝑥) = 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥2 + 𝑑𝑥3 + 𝑒𝑥4 + 𝑓𝑥5 + ⋯
Subtitusikan 𝑥 = 0, maka
𝑓(0) = 𝑎 + 0 + 0 + 0 …
∴ 𝑎 = 𝑓(0)
Maka a= nilai dari fungsi untuk 𝑥 sama dengan 0
Diferensiasikan 𝑓′(𝑥) = 𝑏 + 𝑐. 2𝑥 + 𝑑. 3𝑥2 + 𝑒. 4𝑥3 + 𝑓. 5𝑥4 + ⋯
Subtitusikan 𝑥 = 0, maka
𝑓′(0) = 𝑏 + 0 + 0 + ⋯
∴ 𝑏 = 𝑓′(0)
Diferensiasikan 𝑓′′(𝑥) = 𝑐. 2.1 + 𝑑. 3.2𝑥 + 𝑒. 4.3𝑥2 + 𝑓. 5.4𝑥3 + ⋯
Subtitusikan 𝑥 = 0, maka
𝑓′′(0) = 𝑐. 2! + 0 + 0 + ⋯
∴ 𝑐 =𝑓′′(0)
2!
Dapat dilanjutkan mencari d dan e dengan 𝑑
𝑑𝑥{𝑓"(𝑥)} dengan 𝑓′′′(𝑥) dan
𝑑
𝑑𝑥{𝑓"(𝑥)}
dengan 𝑓𝑖𝑣(𝑥).
Jadi d dan e adalah
𝑑 =𝑓′′′(0)
3! ; 𝑒 =
𝑓𝑖𝑣
4!
Berikut ini adalah hasil yang telah diperoleh
26
𝑓′(𝑥) = 𝑐. 2.1 + 𝑑. 3.2𝑥 + 𝑒. 4.3𝑥2 + 𝑓. 5.4𝑥3 + ⋯
{𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑠𝑖𝑎𝑠𝑖𝑘𝑎𝑛 ∴ 𝑓′′′(𝑥) = 𝑑. 3.2.1 + 𝑒. 4.3.2𝑥 + 𝑓. 5.4.3𝑥2 + ⋯
𝑠𝑢𝑏𝑡𝑖𝑡𝑢𝑠𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑥 = 0 ∴ 𝑓′′′(0) = 𝑑. 3! + 0 + 0 + ⋯ ∴ 𝑑 =𝑓′′′(0)
3!
{
𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑠𝑖𝑎𝑠𝑖𝑘𝑎𝑛 ∴ 𝑓𝑖𝑣(𝑥) = 𝑒. 4.3.2.1 + 𝑓. 5.4.3 + ⋯
𝑠𝑢𝑏𝑡𝑖𝑡𝑢𝑠𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑥 = 0 ∴ 𝑓𝑖𝑣(𝑥) = 𝑒. 4! + 0 + 0 + ⋯ ∴ 𝑒 =𝑓𝑖𝑣(0)
4!
𝑎 = 𝑓(0); 𝑏 = 𝑓′(0); 𝑐 =𝑓′(0)
2!; 𝑑 =
𝑓′′′(0)
3!; 𝑒 =
𝑓𝑖𝑣(0)
4!
Dan seterusnya, jadi subtitusikan pernyataan-pernyataan untuk 𝑎, 𝑏, 𝑐dan seterusnya
ke dalam deret semula dan kita akan memperoleh
𝑓(𝑥) = 𝑓(0) + 𝑓′(0) +𝑓′(0)
2!+
𝑓′′′(0)
3!+ ⋯
Dan bisa ditulis sebagai
𝑓(𝑥) = 𝑓(0) + 𝑓′(0) +𝑥2
2!𝑓′(0) +
𝑥3
3!𝑓′′′(0) + ⋯
Ini adalah deret Mclaurin.
2.13 Galat
Galat (error) numerik muncul dari penggunaan aproksimasi untuk mewakili operasi
matematika eksak dan jumlah. Ini termasuk galat pemotongan, di mana hasil
saat approksimasi digunakan untuk mewakili prosedur matematika eksak, dan
galat pembulatan, di mana hasil saat angka memiliki angka penting terbatas
27
yang digunakan untuk mewakili angka eksak. Untuk beberapa tipe, hubungan
antara nilai eksak atau nilai sebenarnya, hasil dan aproksimasi dapat
diformulasikan sebagai
𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑠𝑒𝑗𝑎𝑡𝑖 = 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑘𝑠𝑖𝑚𝑎𝑠𝑖 + 𝑔𝑎𝑙𝑎𝑡
Berdasarkan persamaan di atas, didapat bahwa nilai galat itu sama dengan
ketidakcocokan antara nilai sebenarnya dengan nilai aproksimasi, yaitu
𝐸𝑡 = nilai sejati – nilai aproksimasi
di mana 𝐸𝑡 digunakan untuk menandakan nilai galat dari nilai eksak. Nilai titu
dimasukkan untuk menandakan bahwa itu adalah nilai galat sejati.
Kekurangan dari definisi ini adalah definisi tersebut tidak memperhitungkan urutan
besarnya dari nilai di bawah pemeriksaan. Salah satu cara untuk
menghitung besarnya jumlah yang ditaksir adalah untuk menormalisasi error dari
nilai sebenarnya, yaitu
𝐺𝑎𝑙𝑎𝑡 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑓 =𝐺𝑎𝑙𝑎𝑡 𝑠𝑒𝑗𝑎𝑡𝑖
𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑠𝑒𝑗𝑎𝑡𝑖
di mana seperti pada yang telah ditentukan pada persamaan tersebut, Galat relatif
dapat pula dikalikan dengan 100 persen yang ditunjukkan sebagai berikut
𝜀𝑡 =𝑔𝑎𝑙𝑎𝑡 𝑠𝑒𝑗𝑎𝑡𝑖
𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑠𝑒𝑗𝑎𝑡𝑖 𝑥 100%
di mana εt adalah besarnya persen galat relatif (Azizah, 2015).
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Tempat dan Waktu Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun akademik 2018/2019, bertempat
di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Lampung.
3.2 Metode Penelitian
Langkah-langkah yang digunakan dalam menyelesaikan penelitian ini adalah sebagai
berikut :
1. Diberikan integral tentu ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏
𝑎 dengan fungsi 𝑓 kontinu pada interval [𝑎, 𝑏].
2. Melakukan transformasi variable pada integral dengan permisalan.
3. Mengintegrasi secara eksak dengan menggunakan Metode Titik Tengah, Metode
Trapesium dan Metode Simpson.
4. Membuktikan fungsi yang diintegrasikan memenuhi syarat yaitu fungsi yang
kelakuan fungsinya memenuhi kesimetrisan nilai integral.
29
5. Memberi contoh untuk membuktikan integrasi tanpa error.
6. Menentukan nilai integral secara analitik.
7. Menentukan nilai numeric menggunakan Aplikasi Matlab.
8. Mengurangkan hasil analitik dan numeric untuk menentukan galat (𝜀) sehingga
terbukti bahwa nilai integral tidak memiliki error.
V. KESIMPULAN
5.1 Kesimpulan
Adapun kesimpulan yang dapat di ambil dari hasil uraian yang telah dibahas dari
laporan penelitian ini adalah nilai integral yang hasil pendekatannya sama dengan
hasil eksak, sehingga tidak memiliki error dengan fungsi tertentu yang kelakuan
fungsinya memenuhi kesimetrisan dengan cara mencari nilai analitik dan nilai
numeric (menggunakan MATLAB) lalu mencari galat yaitu mengurangkan nilai
keduanya menggunakan Metode Titik Tengah (Midpoint Rule), Metode Trapesium,
Metode Simpson dan Metode Gauss.
5.2 Saran
Laporan penelitian ini merupakan penyelesaian untuk menghitung integrasi numerik
yang hasil pendekatannya sama dengan hasil eksak, sehingga tidak memiliki error.
Mengenai hasil diatas penulis menggunakan Metode Titik Tengah (Midpoint Rule),
Metode Trapesium, Metode Simpson dan Metode Gauss, maka disarankan untuk
41
pembaca yang tertarik pada penilitian ini agar menggunakan metode lain seperti
Metode Newton Raphson dan Metode Beda Hingga.
42
DAFTAR PUSTAKA
Azizah, E. 2015. Analisis Kompleksitas Integral Numerik Metode Simpson 1/3 dan
Simpson 3/8. Skripsi. Jurusan FMIPA Universitas Islam Bandung, Bandung.
Heri, S. R. 2009. Integrasi Numerik Menggunakan Metode Gauss Kuadratur dengan
Pendekatan Interpolasi Hermit dan Polinomial Legendre. Jurnal Matematika.
Universitas Diponegoro. 12(3): 138-144.
Leithold, L 1986. Kalkulus dan Ilmu Ulkur Analitik Edisi ke-5. Erlangga, Jakarta..
Munir, R. 2003. Metode Numerik. Edisi ke-5. Gramedia, Jakarta.
Purcell, E.J., dan Dale, E.V. 1993. Kalkulus dan Analisis Geometri.. Edisi ke-5.
Erlangga, Jakarta.
Santoso, F.G.I. 2011. Analisis Perbandingan Metode Numerik dalam Menyelesaikan
Persamaan-Persamaan Serentak. Gramedia, Jakarta.
Silpa, I., Syamsudhuha, M., dan Musraini. 2014. Integrasi Numerik Tanpa Eror
untuk Fungsi-Fungsi Tertentu. Junal OM FMIPA. 1(2): 484-491.
Stewart, J. 2001. Kalkulus Edisi ke-4. Erlangga, Jakarta.
Triatmodjo, B. 1992. Metode Numerik. Edisi ke-5. Beta Offset, Yogyakarta.