Pengertian Persamaan linear satu variabel.docx

of 49 /49
Pengertian Persamaan linear satu variabel Persamaan linear satu variabel merupakan sebuah konsep kalimat terbuka yang hanya memiliki sebuah variabel berpangkat satu. Kalimat terbuka tersebut biasanya dihubungkan sengan sebuah tanda sama dengan (=). Contoh persamaan linear satu variabel adalah: x - 3 = 0 3x + 2 = 8 PENTING: Kalimat terbuka merupakan sebuah kalimat yang di dalamnya terkandung satu atau lebih variabel yang nilai kebenarannya belum diketahui. Contoh kalimat terbuka adalah" x+ 3 = 5 p + 2 = 7 x dan p disebut sebagai sebuah variabel. Contoh soal dan cara menyelesaikan soal persamaan linear satu variabel Pertama: Cara menyelesaikan persamaan linear yang pertama adalah dengan menambahkan atauoun mengurangkan masing-masing ruas (kanan dan kiri) dengan menggunakan bilangan yang sama. Contohnya:

Embed Size (px)

Transcript of Pengertian Persamaan linear satu variabel.docx

Pengertian Persamaan linear satu variabelPersamaan linear satu variabel merupakan sebuah konsep kalimat terbuka yang hanya memiliki sebuah variabel berpangkat satu. Kalimat terbuka tersebut biasanya dihubungkan sengan sebuah tanda sama dengan (=).

Contoh persamaan linear satu variabel adalah:

x - 3 = 03x + 2 = 8

PENTING:Kalimat terbuka merupakan sebuah kalimat yang di dalamnya terkandung satu atau lebih variabel yang nilai kebenarannya belum diketahui. Contoh kalimat terbuka adalah"

x+ 3 = 5p + 2 = 7

x dan p disebut sebagai sebuah variabel.

Contoh soal dan cara menyelesaikan soal persamaan linear satu variabel

Pertama:Cara menyelesaikan persamaan linear yang pertama adalah dengan menambahkan atauoun mengurangkan masing-masing ruas (kanan dan kiri) dengan menggunakan bilangan yang sama. Contohnya:

Carilah penyelesaian dari x + 8 = 4

Cara menjawabnya:Kita harus menghilangkan angka 8 agar tersisa variabel x saja, karena angka 8 di dalam persamaan tersebut bernilai positif maka kita harus menyisipkan angka negatif pada ruas kanan dan kiri menjadi:

x + 8 - 8 = 4-8 x = -4 (sangat mudah)

Kedua:Cara kedua yang bisa kalian gunakan dalam menyelesaikan soal persamaan linear satu variabel adalah dengan membagi masing-masing ruas (kanan dan kiri) dengan bilangan yang sama. Contohnya:

Carilah penyelesaian dari 3x/4 = 3

Cara menjawabnya:Pertama, kalikan persamaan tersebut dengan penyebutnya:

3x/4 . 4 = 6 . 4 3x = 24

Setelah itu, bagi kedua ruas tersebut dengan koefisien dari x , dalam soal tersebut adalah 3

3x/3 = 24/3 x = 8

Cukup panjang tapi tidak begitu sulit untuk diselesaikan.

Pertidakasamaan Linear Satu VariabelPertidaksamaan linear satu variabel merupakan sebuah bentuk kalimat terbuka yang dinyatakan dengan lambang-lambang yang menunjukkan pertidaksamaan seperti:

> = Lebih dari< = Kurang dari>= Lebih dari atau sama dengan 5

Cara menjawabnya:

Kita aka menghilangkan angka 3 agar menyisakan x saja:

x + 3 -3>5 - 3x>2

Mudah, bukan?

KeduaCara kedua adalah dengan mengalikan/membagikan masing-masing ruas (kanan dan kiri) dengan bilangan yang sama. Contohnya:

Carilah penyelesaian dari 3x - 6 < 12

Cara menjawabnya:

3x - 6 + 6 < 12 + 6 3x < 18 3x/3 < 18/3x < 6

Demikianlah pembahasan materi yang bisa disampaikan di dalam artikel ini mengenaiPersamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel Kelas 7 SMP.Kalian harus terus belajar dan berlatih agar lebih menguasai materi-materi yang telah saya sampaikan di atas. Cobalah untuk berlatih dengan mengerjakan soal-soal seputar persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel. Itu akan semakin mengasah kemampuan kalian dalam menjawab berbagai jenis soal matematika.

Kalimat terbukaadalah suatu kalimat yang belum dikatakan benar atau salah.Contoh:

Jika variabeldiganti dengan angka 7, maka hasilnya salah. Sebaliknya, jika variabeldiganti dengan angka 8, maka hasilnya benar.Telah dijelaskan bahwapersamaan linear satu variabeladalah persamaan yang terdiri dari satu variabel dan pangkat terbesar dari variabel tersebut adalah satu.Contoh:

Kedua kalimat di atas disebutpersamaan.Persamaanadalah kalimat terbuka yang menyatakan hubungan = (sama dengan).Contoh: Tentukan persamaan dari. 2x - 1 = 5 2x=5+1 2x= 6 x=3 Tentukan persamaan dari. 2 + 5 = 5 - 10 2 + 5 - 5 = 5 - 10 - 5 2 = 5 - 15 15 = 5 - 2 15 = 3 3.1/3 = 15.1/3 = 5

Pertidaksamaan linear satu variabeladalah pertidaksamaan yang memuat satu variabel dan pangkat terbesarnya adalah satu.Pertidaksamaan linear satu variabel menggunakan tanda,, dan.Keterangan: lebih dari kurang dari sama dengan lebih dari sama denganContoh: Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan dari. 5x + 2 > 8 5x + 2 - 2 > 8-2 5x > 6 5x/5 > 6/5 x > 1,2T

Persamaan Linear Satu Variabel1.Kalimat Terbuka, Variabel, dan Konstantaa.Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat diketahui nilai kebenarannya.b.Variable (peubah) adalah lambang (symbol) pada kalimat terbuka yang dapat diganti oleh sembarang anggota himpunan yang telah ditentukanc.Konstanta adalah lambang yang menyatakan suatu bilangan tertentuPada kalimat berikut x + 5 = 12Belum dapat mengatakan kalimat itu benar atau salah, sebab nilai (x) belum diketahui. Bila lambang (x) diganti dengan lambang bilangan cacah, barulah itu dapat dikatakan kalimat itu benar atau salah. Jika (x) diganti dengan 3 , kalimat itu bernilai salah ; tetapi bila (x) diganti dengan 7 , kalimat itu bernilai benar. Lambang (x) dapat pula diganti menggunaan huruf-huruf kecil dalam abjad lainnya, yaitu ; a, b,c, x,y,z dari bentuk diatasx+5 +12 (kalimat terbuka)3+ 5 = 12 (kalimat Salah )7+5 = 12 (kalimat benar)Huruf x pada x + 5 = 12 disebut variable (peubah), sedangkan 5 dan 12 disebut konstantaContoh :Kalimat TerbukaPeubahKonstanta

x + 13 + 17x13 dan 17

7 y = 12y7 dan 12

4z 1 = 11z-1 dan 11

Catatan :Kalimat terbuka adalah kalimat yang mengandung satu atau lebih variabel dan belum diketahui nilai kebenarannya.contoh:x + 2 =5

2.Pengertian Persamaan Linier Satu VariabelPersamaan Linier Satu Variabel adalah kalimat terbuka yang dihubungkan tanda sama dengan ( =) dan hanya mempunyai satu variable berpangkat 1 . bentuk umum persamaan linier satu variable adalahax + b = 0contoh :1.x + 3 72.3a + 4 = 193.= 10Pada contoh diatas x, a, b adalah variable (peubah) yang dapat diganti dengan sembarang bilangan yang memenuhi .

3.Menyelesaikan Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV)Himpuana Penyelesaian (HP) adalah himpunan dari penyelesaian-penyelesaian suatu persamaan .Ada dua cara untuk menentukan penyelesaian dan himpunan penyelesaian dari suatu persamaan linier satu variable , yaitu :a.Subtitusi ;b.Mencari persamaan-persamaan yang ekuivalenSuatu persamaan dapat dinyatakan ke dalam persamaan yang ekuivalen, dengan cara :a.Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang samab.Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan bukan nol yang sama.

Contoh :1.Dengan menggunakan kode cara diatas , selesaikan persamaan 3x-1=14; jika x Merupakan anggota himpunan P = ( 3,4,5,6) !Jawab :3x-1+14 x P = (3,4,5,6)a.Cara subtitusi :3x-1= 14; jika x = 3 = maka 3(3) 1 = 8 (salah)3x-1= 14; jika x = 4 = maka 3(4) 1 = 11 (salah)3x-1= 14; jika x = 5 = maka 3(5) 1 = 14 (benar)3x-1= 14; jika x = 6 = maka 3(6) 1 = 17 (salah)Jadi , penyelesaian dari 3x-1+14 adalah 5b.Mencari persamaan-persamaan yang ekuivalenPersamaanOperasi HitungHasil

A

b.

c.3x-1=14 (i)Kedua ruas ditambah 13x-1+1 = 14 + 1 3x = 15 (ii)

3x = 15Kedua ruas dikalikan 1/33x =15x = 5 (iii)

X =5

Dari table diatas, bila x = 5, disubtituskan pada (a),(b) dan (c) maka persamaan tersebut menjadi suatu kesamaan .(a)3x-1=14 3 (5) 1 = 14 14 = 14 (ekuivalen)(b). 3x =15 15 = 15 (ekuivalen)(c) x = 5 5 = 5 (ekuivalen)Berarti 3x 1 = 14 dan 3x = 15 merupakan persamaan yang ekuivalen .4.Persamaan yang ekuivalenPersamaan yang ekuivalen adalah persamaan-persamaan yang memiliki himpunan penyelesaian sama jika pada persamaan tersebut dilakukan operasi tertentu suatu persamaan yang ekuivalen dinotasikan dengan tanda

Contoh :1.Menyelesaikan PLSV dengan menggunakan lawan dan kebalikan bilangan contoh : Carilah penyelesaian dari : 3 (3x + 4) = 6 ( x -2) jawab :9x + 12 = 6x 129x 6x = -12-123x = -24x =24/3= -8 Jadi , HP = {-8}

2.Perhatikan persamaan 6x 3 = 2x + 1 dengan x variable pada himpunan bilangan bulat. Untuk menentukan penyelesaian dari persamaan tersebut, dapat dilakukan dengan menyatakannya ke dalam persamaan yang ekuivalen, yaitu sebagai berikut :Jawab :6x 3 = 2x + 16x 3 + 3 = 2x + 1+36x = 2x + 46x 2x = 44x = 4x = 1jadi himpunan pnyelesaiannya adalah 1dalam garis bilangan , grafik hipunan pnyelesaian suatu persamaan dengan satu variable dinyatakan dengan sebuah noktah (titik) yang ditebalkan. Jadi grafik himpunan penyelesaian dari 6x 3 = 2x + 1 adalah :

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Contohnya :Gambarlah grafik penyelesaian persamaan berikut1.P + 2 = 14Jawab :P + 2 = 14-p = 14 2-p = 12Grafik :

-14 -13 -12 -11 -10 Titik pada -12 ditebalkan

2.2a + 3 = 62a = 6 32a = 3a =grafik :

Titik padaditebalkan .

B. Pertidaksamaan Linier Satu Variabel (PLSV)1.Pertidaksamaan Linier Satu Variabel Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan lambing , , dan . Contohnya bentuk pertidaksamaan : y + 7 < 7 dan 2y + 1 > y + 4 Pertidaksamaan linier dengan satu variable adalah suatu kalimat terbuka yang hanya memuat satu variable dengan derajad satu, yang dihubungkan oleh lambang , , dan . Variablenya hanya satu yaitu y dan berderajad satu. Pertidaksamaan yang demikian disebut pertidaksamaan linier dengan satu variable (peubah).

2.Menentukan Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linier Satu variable Sifat- sifat pertidaksamaan adalah :1.Jika pada suatu pertidaksamaan kedua ruasnya ditambah atau dikurang dengan bilangan yang sama, maka akan diperoleh pertidaksamaan baru yang ekuivalen dengan pertidaksamaan semula2.Jika pada suatu pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan positif , maka akan diperoleh pertidaksamaan baru yang ekuivalen dengan pertidaksamaan semula3.Jika pada suatu pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan negatif , maka akan diperoleh pertidaksamaan baru yang ekuivalen dengan pertidaksamaan semula bila arah dari tanda ketidaksamaan dibalik 4.Jika pertidaksamaannya mengandung pecahan, cara menyelesaikannya adalah mengalikan kedua ruasnya dengan KPK penyebut-penyebutnya sehingga penyebutnya hilang .

Contoh 1 :1.Tentukan himpunan penyelesaian 3x 7 > 2x + 2 jika x merupakan anggota {1,2,3,4, ,15}Jawab :3x 7 > 2x + 2; x {1, 2, 3, 4 15}3x 2x 7 > 2x - 2x + 2 ( kedua ruas dikurangi 2x)x 7 > 2x 7 + 7 > 2 + 7 ( kedua ruas dikurangi7 )x > 9jadi himpunan penyelesaiannya adalah {x | x > 9 ; x bilangan asli 15}HP = {10, 11, 12, 13, 14, 15}

Contoh 2 :Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3x 1 < x + 3 dengan x variable pada himpunan bilangan cacah.Jawab :3x 1 < x + 33x 1+ 1 < x + 3 + 1 (kedua ruas ditambah 1 )3x < x + 43x + (-x) < x + (-x) +4 (kedua ruas ditambah x)2x < 4X < 2Karena x anggota bilangan cacah maka yang memenuhi x < 2 adalah x = 0 atau x = 1Jadi himpunan pnyelesaiannya adalah { 0,1 } .Dalam garis bilangan, grafik himpunan penyelesaiannya adalah sebagai berikut

-1 0 1 2 3 4 5

PenyelesaianContoh :

x + < 6 +x 13

Jawab : 5z - 2 > 13 5z > 13+2 5z > 15 z > 3

Pada postingan sebelumnya Mafia Online sudah membahas tentang cara menyelesaikan persamaan linear satu variabel. Ada tiga cara yang bisa digunakan untuk menyelesaikan persamaan linear satu variabel yakni dengan carasubstitusi,persamaan ekuivalendanpindah ruas. Ketiga cara di atas juga berlaku pada pertidaksamaan linear satu variabel.

Cara SubstitusiUntuk menyelesaikan pertidaksamaan linear satu variabel dengan cara substitusi hampir sama caranya seperti menyelesaikan persamaan linear satu variabel dengan cara substitusi. Untuk memahami hal tersebut sekarang perhatikan pertidaksamaan 10 3x > 2, dengan x variabel pada himpunan bilangan asli. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan tersebut Anda harus mensubstitusi x dengan sembarang bilangan asli.Jika x = 1 maka:10 3 . 1 > 27 > 2 (pernyataan benar)Jika x = 2 maka:10 3 . 2 > 24 > 2 (pernyataan benar)Jika x = 2 maka:10 3 . 3 > 21 > 2 (pernyataan salah)Jika x = 4 maka:10 3 . 4 > 2 2 > 2 (pernyataan benar)Ternyata untuk x = 1 dan x = 2, pertidaksamaan 10 3x > 2 menjadi kalimat yang benar. Jadi, himpunan penyelesaian dari 10 3x > 2 adalah {1, 2}.

Secara umum dapat dituliskan bahwa penyelesaian dari pertidaksamaan linear satu variabel adalah pengganti variabel dari suatu pertidaksamaan, sehingga menjadi pernyataan yang benar.

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang cara penyelesaian pertidaksamaan linear satu variabel dengan cara substitusi, silahkan perhatikan contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal 1Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan p + 59 jika peubah pada himpunan bilangan cacah.

Penyelesaian:Untuk menyelesaikan pertidaksamaan tersebut Anda harus mensubstitusi x dengan sembarang bilangan cacah.Jika x = 0 maka: p + 590 + 5959 (pernyataan salah)Jika x = 1 maka: p + 591 + 5969 (pernyataan salah)Jika x = 2 maka: p + 592 + 5979 (pernyataan salah)Jika x = 3 maka: p + 593 + 5989 (pernyataan salah)Jika x = 4 maka: p + 594 + 5999 (pernyataan benar)Jika x = 5 maka: p + 595 + 59109 (pernyataan benar)Jika x = 6 maka: p + 596 + 59119 (pernyataan benar)Ternyata untuk x = 4, 5, 6, . . . pertidaksamaan p + 59 menjadi kalimat yang benar. Jadi, himpunan penyelesaian dari p + 59 adalah {4, 5, 6, . . }.

Penyelesaian pertidaksamaan linear dengan cara substitusi agak sulit dilakukan karena kita harus main terka terhadap bilangan yang akan kita masukan. Kita tahu bahwa bilangan ada tak terhingga banyaknya. Jadi kita gunakan alternatif yang kedua untuk menyelesaikan persamaan linear satu variabel yaitu dengan menggunakan persamaan ekuivalen.

Persamaan EkuivalenSuatu pertidaksamaan dapat dinyatakan ke dalam pertidaksamaan yang ekuivalen dengan cara sebagai berikut: a). Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama tanpa mengubah tanda ketidaksamaan; b). Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan positif yang sama tanpa mengubah tanda ketidaksamaan; c). Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan negatif yang sama, tetapi tanda ketidaksamaan berubah, dimana> menjadi , menjadi , dan menjadi .

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang cara penyelesaian suatu pertidaksamaan linear satu variabel dengan persamaan ekuivalen, silahkan simak contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal 2Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 3(2t 1)2t + 9 jikapeubah pada himpunan bilangan cacah.

Penyelesaian: 3(2t 1)2t + 9 6t 3 2t + 9 6t 3 + 3 2t + 9 + 3 (ditambah 3) 6t 2t + 12 6t 2t 2t 2t + 12 (dikurangi 2t) 4t 12 ()4t ()12 (dikali ) t 3

Contoh Soal 3Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2(x 30) < 4(x 2) jikapeubah pada himpunan bilangan cacah.

Penyelesaian: 2(x 30) < 4(x 2) 2x 60 < 4x 8 2x 60 + 60 < 4x 8 + 60(ditambah 60) 2x < 4x + 52 2x 4x < 4x 4x + 52(dikurangi 4x) 2x 52 () .2x () . 52 (dikali dantandanya berubah karena dikalikan dengan bilangan negatif dari menjadi ) x 26

Bagaimana? Mudah bukan? Cara di atas terlalu banyak menyita waktu dan terlalu panjang, maka ada alternatif yang boleh dibilang paling mudah yakni dengan pindah ruas.

Pindah RuasUntuk mengerjakan pertidaksamaan linear satu variabel caranya sama seperti mengerjakan persamaan linear satu variabel dengan pindah ruas. Cara ini pada dasarnya sama seperti menyelesaikan pertidaksamaan dengan persamaan ekuivalen. Oke, kita langsung saja ke contoh soal agar Anda lebih mudah memahaminya.

Contoh Soal 4Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 6 2(y 3)3(2y 4) jika peubah pada himpunan bilangan cacah.

Penyelesaian: 6 2(y 3) 3(2y 4) 6 2y + 6 6y 12 2y 6y 12 6 6 8y 24 y 24/ 8 y 3

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABELA.KALIMAT TERBUKA1.PernyataanDalam kehidupan sehari-hari sering kita menjumpai berbagai macam kalimat berikuta.Jakarta adalah ibukota Indonesiab.Gunung Merapi terletak di Jawa Tengahc.8 > -5Ketiga kalimat diatas merupakan kalimat yang bernilai benar, karena setiap orang mengakui kebenaran kalimat tersebut. Selanjutnya perhatikan kalimat-kalimat berikut.a.Tugu Monas terletak di Yogyakartab.2 + 5 < -2c.Matahari terbenam diarah timurKetiga kalimat tersebut merupakan kalimat yang bernilai salah, karena setiap orang tidak sependapat dengan kalimat tersebut.Kalimat yang dapat ditentukan nilai kebenarannya(bernilai benar atau salah) disebut pernyataan.2.Kalimat terbuka dan Himpunan penyelesaian kalimat terbukaDapatkah kalian menjawab kalimat pernyataan Indonesia terletak di benuax. Jikaxdiganti Asia maka kalimat itu bernilai benar. Adapun jikaxdiganti Eropa maka kalimat tersebut bernilai salah. Kalimat Indonesia terletak di benuax disebutkalimat terbuka.Contoh:a.3 -x= 6, xanggota bilangan bulatb.12 y= 7,yanggota himpunan bilangan cacahc.z 5 = 15, zanggota himpunan bilangan asliKalimat 3 x= 6,xanggota bilangan bulat akan bernilai benar jikaxdiganti dengan 3. Selanjutnyaxdisebut variabel, sedangkan 3 dan 6 disebut konstantaKalimat terbuka adalah kalimat yang memuat variabel dan belum ditentukan nilai kebenarannyaVariabeladalah lambang(simbol) pada kalimat terbuka yang dapat diganti oleh sebarang anggota himpunan yang telah ditentukan.Konstantaadalah nilai tetap (tertentu) yang terdapat pada kalimat terbuka.Sekarang perhatikan kalimat9. Jika variabel x diganti -3 atau 3 maka kalimat= 9 bernilai benar. Dalam hal inix= -3 ataux= 3 adalah penyelesaian dari kalimat terbuka9. Jadi himpunan penyelesaian= 9 adalah {-3, 3}.

Himpunan penyelesaian dari kalimat terbukaadalah himpunan dari semua pengganti dari variabel-variabel pada kalimat terbuka sehingga kalimat tersebut bernilai benar.

UJI KOMPETENSI 11.Tentukan nilai kebenaran kalimat berikut.a.Jumlah dua bilangan ganjil selalu merupakan bilangan genapb.18 + 6 = 6 + 18 merupakan sifat asosiatif penjumlahanc.Hasil kali 3 dan 9 adalah 21d.Arti 45 adalah 5 + 5 + 5 + 5e.Jika p dan q adalah bilangan prima maka pq adalah bilangan ganjil2.Jika x adalah variabel pada bilangan 3,6,9,12 dan 15, tentukan penyelesaian kalimat terbuka dibawah ini.a.xhabis dibagi 3b.xadalah bilangan ganjilc.xadalah faktor dari 30d.x 3 = 6e.xadalah bilangan prima3.Tentukan himpunan penyelesaian dari kalimat berikut jika variabel pada himunan bilanan bulat.a.x+ 8 = 17b.y: 5 = - 12c.15 p= 42d.9 m= 108e.n+ n+ n+ n= 52f.a a= 814.Tentukan himpunan penyelesaian kalimat terbuka berikut jikaxadalah variabel pada himpunan A = {1,2,3,25}a.xadalah faktor dari 25b.xadalah bilangan primac.xadalah bilangan ganjil kurang dari 15d.xadalah kelipatan 2

B.PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL1.Pengertian persamaan dan himpunan penyelesaian persamaan linear satu variabelPerhatikan kalimat terbukax+ 1 = 5Kalimat terbuka tersebut dihubungkan oleh tanda sama dengan (=). Selanjutnya,kalimat terbuka dihubungkan oleh tanda sama dengan (=) disebutpersamaan.Persamaan dengan satu variabel berpangkat satu atau berderajat satu disebutpersamaan linear satu variabelJikaxpada persamaanx+ 1 = 5 diganti denganx= 4 maka persamaan tersebut bernilai benar. Adapun jikaxdiganti bilangan selain 4 maka persamaanx+ 1 = 5 bernilai salah. Dalam hal inix= 4 disebut penyelesaian dari persamaan linearx+ 1 = 5. Selanjutnya himpunan penyelesaian darix+ 1 = 5 adalah {4}.Pengganti variabelxyang mengakibatkan persamaan bernilai benar disebutpenyelesaian persamaan linear.Himpunan semua penyelesaian persamaan linear disebuthimpunan penyelesaian persamaan linear.Persamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang dihubungkan oleh tanda sama dengan (=) dan hanya mempunyai variabel berangkat satu. Bentuk umum persamaan liear satu variabel adalahax+ b = 0 dengana 0.Contoh:1.Dari kalimat berikut tentukan yang mana merupakan persamaan linear satu variabela.2x 3 = 5b.- x= 2c.x= 5d.2x+ 3y= 6Penyelesaian:a.2 x 3 = 5Variabel pada 2x 3 = 5 adalah x dan berpangkat 1,sehingga persamaan2 x 3 = 5 merupakan ersamaan linear satu variabelb.-x= 2Variabel pada persamaanx= 2 adalahxberpangkat 1 dan 2. Karena terdapatxberpangkat 2 maka persamaan-x= 2 bukan merupakan persamaan linear satu variabel.

c.x= 5Karena variabel pada persamaanx= 5 adalahxdan berpangkat 1,makax= 5 merupakan persamaan linear satu variabel.d.2 x+ 3y= 6Variabel pada persamaan2 x + 3 y= 6 ada dua yaituxdany, sehingga 2x+ 3y= 6 bukan merupakan persamaan linear satu variabel.2.Himpunan penyelesaian persamaan linear satu variabel dengan SubstitusiPenyelesaian persamaan linear satu variabel dapat diperoleh dengan cara subtitusi, yaitu mengganti variabel dengan bilangan yang sesuai sehingga persamaan tersebut menjadi kalimat yang bernilai benar.Contoh:Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaanx+ 4 = 7, jikaxpada himpunan bilangan cacahPenyelesaian:Jikaxdiganti bilangan,diperolehSubstitusix= 0, maka 0 + 4 = 7 (kalimat salah)Substitusix= 1, maka 1 + 4 = 7 (kalimat salah)Substitusix= 2, maka 2 + 4 = 7 (kalimat salah)Substitusix= 3, maka 3 + 4 = 7 (kalimat benar)Substitusix= 4, maka 4 + 4 = 7 (kalimat salah)Ternyata untukx= 3, persamaanx+ 4 = 7 menjadi kalimat yang benar. Jadi himpuna penyelesaian persamaanx+ 4 = 7 adalah {3}

UJI KOMPETENSI 21.Tentukan yang merupakan persamaan linear satu variabel dan berikan alasannya.a.x+y+z= 20b.+ 2x 5 = 0c.d.3x 2 = 7e.+= 16f.

2.Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan-persamaan dibawah ini dengan cara substitusi, jika peubah (variabelnya) pada himpunan bilangan bulat.a.4 +p= 3 g.b.q 2 = 6 h.c.2a+ 3 = 6 i. 2 z=z- 3d.9 3r= 6 j. 3a 2 = -a+ 18e.18 = 10 2m k.(4x+ 2) = 3f.1 = 9+ x l. 2a 1 = 3a 5

3.Persamaan-persamaan yang ekuivalenPerhatikan uraian berikut.a.x 3 = 5jikaxdiganti bilangan 8, maka 8 3 = 5 (benar)jadi, penyelesaianx 3 = 5 adalahx= 8b.2x 6 = 10 (kedua ruas pada persamaan a dikalikan 2)Jikaxdiganti bilangan 8 maka 2(8) 6 = 1016 6 = 10 (benar) Jadi, penyelesaian persamaan 2x 6 = 10 adalahx= 8c.x+ 4 = 12 (kedua ruas pada persamaan a ditambah 7)jika x diganti bilangan 8, maka 8 + 4 = 12 (benar)jadi, penyelesaian persamaanx+ 4 = 12 adalahx= 8Berdasarkan uraian diatas tampak bahwa ketiga persamaan mempunyai penyelesaian yang sama, yaitux= 8. Persamaan-persamaan diatas disebut persamaan yangekuivalen.Suatu persamaan yang ekuivalen dapat dinotasikan dengan .Dengan demikian bentukx 3 = 5; 2x 6 = 10;danx+ 4 = 12 dapat dituliskan sebagaix 3 = 52x 6 = 10x+ 4 = 12. Jadi dapat dikatakan seperti berikut.Dua persamaan atau lebih dikatakanekuivalenjika mempunyai himpunan penyelesaian yang sama dan dinotasikan dengan tanda .

Amatilah uraian berikut.Pada persamaanx 5 = 4, jikaxdiganti 9 maka akan bernilai benar, sehingga himpunan penyelesaian darix 5 = 4 adalah {9}. Perhatikan jika kedua ruas masing-masing ditambahkan dengan bilangan 5 makax 5 = 4x 5 + 5 = 4 + 5 x= 9Jadi, himpunan penyelesaian persamaanx 5 = 4 adalah {9}. Dengan kata lain, persamaanx 5 = 4 ekuivalen dengan persamaanx= 9, atau ditulisx 5 = 4x= 9Suatu persamaan dapat dinyatakan ke dalam persamaan yang ekuivalen dengan caraa.menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama;b.mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama.Contoh:1.Tentukan himpunan penyelesaian persamaan 4x 3 = 3x+ 5 jikaxvariabel padahimpunan bilangan bulat.Penyelesaian:4x 3 = 3x+ 54x 3 + 3 = 3x+ 5 + 3 (kedua ruas ditambah 3) 4x = 3x+ 8 4x 3x= 3x 3x+ 8 (kedua ruas dikurangi 3x) x= 8Jadi, himpunan penyelesaian persamaan 4x 3 = 3x+ 5 adalahx= {8}.2.Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 3x+ 13 =5 x, untukxvariabel pada himpunan bilangan bulat.Penyelesaian:3x+ 13 = 5 x3x+ 13 13 = 5 x 13 (kedua ruas dikurangi 13)3x = 8 x3x+x= 8 x+x(kedua ruas ditambahx)4x= 8x4x =x(-8)(kedua ruas dikalikan)x = (-2) Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan 3x+ 13 = 5 xadalahx= {2}.

UJI KOMPETENSI 31.Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut dengan menambahatau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama, jika variabel pada himpunan bilangan bulat.a. m 9 = 13b. 11 +x= 3c. 2a+ 1 =a 3d. 12 + 3a= 5 + 2ae. 3(x+ 1) = 2(x+ 4)f. 5(y 1) = 4yg. 4(3 2y) = 15 7yh. 3(2y 3) = 5(y 2)i. 8 2(3 4y) = 7y 1j. 5x+ 7(3x+ 2) = 6(4x+ 1) 2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut dengan mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama, jika variabel pada himpunan bilangan bulat.a. 2x+ 3 = 11b. 7x= 8 + 3xc. 3p+ 5 = 17 pd. 7q= 5q 12e. 6 5y= 9 4yf. 7n+ 4 = 4n 17g. 2(5 2x) = 3(5 x)h. 2x+ 5 = (x+ 9)i. 18 + 7x= 2(3x 4)j. 3(2x 3) 2(1 x) (x+ 3) = 0

C.PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABELDalam kehidupan sehari-hari, tentu kalian pernah menjumpai atau menemukankalimat-kalimat seperti berikut.a. Berat badan Asti lebih dari 52 kg.b. Tinggi badan Amri 7 cm kurang dari tinggi badanku.c. Salah satu syarat menjadi anggota TNI adalah tinggi badannya tidak kurang dari 165 cm.d. Sebuah bus dapat mengangkut tidak lebih dari 55 orang.Bagaimana menyatakan kalimat-kalimat tersebut dalam bentuk kalimat matematika?Untuk dapat menjawabnya pelajari uraian berikut.1. Pengertian KetidaksamaanAgar kalian memahami pengertian ketidaksamaan, coba ingatkembali materi di sekolah dasar mengenai penulisan notasi , , , dan .a. 3 kurang dari 5 ditulis 3 < 5.b. 8 lebih dari 4 ditulis 8 > 4.c.xtidak lebih dari 9 ditulisx 9.d. Dua kali y tidak kurang dari 16 ditulis 2y16. Kalimat-kalimat 3 < 5, 8 > 4,x 9, dan 2y 16 disebut ketidaksamaan.Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut.Suatu ketidaksamaan selalu ditandai dengan salah satu tanda hubung berikut. untuk menyatakan lebih dari. untuk menyatakan tidak lebih dari atau kurang dariatau sama dengan. untuk menyatakan tidak kurang dari atau lebih dari atau sama dengan.

2. Pertidaksamaan Linear Satu VariabelDi bagian depan telah kalian pelajari bahwa suatu persamaanselalu ditandai dengan tanda hubung =. Pada bagian ini kalian akan mempelajari cirisuatu pertidaksamaan.

Perhatikan kalimat terbuka berikut.a. 6x< 18 c.p+ 2 5b. 3p 2 >p d. 3x 1 2x+ 4Kalimat terbuka di atas menyatakan hubungan ketidaksamaan.Hal ini ditunjukkanadanya tanda hubung , , atau . Kalimat terbuka yang menyatakanhubungan ketidaksamaan (, , atau ) disebut pertidaksamaan.Pada kalimat (a) dan (d) di atas masing-masing mempunyai satu variabel yaituxyang berpangkat satu (linear). Adapun pada kalimat (b) dan (c) mempunyai satuvariabel berpangkat satu, yaitup. Jadi, kalimat terbuka di atas menyatakansuatu pertidaksamaan yang mempunyai satu variabel dan berpangkat satu.Pertidaksamaan linear satu variabel adalah pertidaksamaan yang hanya mempunyaisatu variabel dan berpangkat satu (linear).Dari bentuk-bentuk berikut, tentukan yang merupakan pertidaksamaan linear dengansatu variabel.a.x 3 < 5b.a 1 2bc. 3x 4Penyelesaian:a. x 3 < 5Pertidaksamaanx 3 < 5 mempunyai satu variabel,yaituxdan berpangkat 1, sehinggax 3 < 5 merupakan pertidaksamaan linear satu variabel.b.a 1 2bPertidaksamaana 1 2bmempunyai dua variabel,yaituadanbyang masing-masing berpangkat 1.Dengan demikiana 1 2bbukan suatu pertidaksamaan linearsatu variabel.c. 3x 4Karena pertidaksamaan 3x 4 mempunyai variabelxdan, maka 3x 4 bukan merupakan pertidaksamaan linear satu variabel.

UJI KOMPETENSI 4

1.Sisipkan lambang >, =, atau < di antara pasangan bilangan di bawah ini sehinggamenjadi pernyataan yang benar.a. 3 8 d. 2 4b. 16 42 e.c. 0,1 0,52. Tulislah kalimat berikut dalam bentuk ketidaksamaan. a. 9 kurang dari 13 b. 3 terletak antara 2 dan 5 c. mlebih dari 4 d.ytidak kurang dari 50 e.ntidak lebih dari 45 f. lpaling sedikit 723. Nyatakan bentuk-bentuk berikut menjadi satu ketidaksamaan. a. 3 < 5 dan 5 < 8 b. 0 > 1 dan 1 > 5 c. 10 > 4 dan 10 < 15 d. 2 < 6 dan 2 > 3 e. 3 > 6 dan 3 < 10 f. 5 < 0 dan 5 > 74. Tulislah kalimat berikut dalam bentuk ketidaksamaan. a. Jumlahxdan 4 kurang dari 6. b. Hasil penguranganpdari 9 lebih dari 6. c. 3 dikurangkan dariyhasilnya tidak kurang dari 2. d. Hasil kali 5 danxkurang dari atau sama dengan 12.5. Dari bentuk-bentuk berikut, manakah yang merupakan pertidaksamaan linear satu variabel? Jelaskan jawabanmu.a.x+ 6 < 9b. 8 > 1c.m+n 4d.- - 3e. 4 2x 0

f. 3(x 5) < 2(8 x)g. 2 4pq + 3> 0h. 4x 4 3y+ 83. Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Satu VariabelPada bagian depan telah kalian pelajari cara menyelesaikan persamaan linear satu variabel, salah satunya dengan substitusi (penggantian). Hal ini juga berlaku pada pertidaksamaan linear satu variabel.Perhatikan pertidaksamaan 10 3x> 2, denganxvariabel pada himpunan bilangan asli.Jika x diganti 1 maka 10 3x> 210 3 1 > 27 > 2 (pernyataan benar)Jika x diganti 2 maka 10 3x> 210 3 2 > 24 > 2 (pernyataan benar)Jika x diganti 3 maka 10 3x> 210 3 3 > 21 > 2 (pernyataan salah)Jika x diganti 4 maka 10 3x> 210 3 4 > 22 > 2 (pernyataan salah)Ternyata untukx= 1 danx= 2, pertidaksamaan 10 3x> menjadi kalimat yang benar. Jadi, himpunan penyelesaian dari 10 3x> 2 adalah {1, 2}.Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut.Pengganti variabel dari suatu pertidaksamaan, sehingga menjadi pernyataan yangbenar disebut penyelesaian dari pertidaksamaan linear satu variabel.Contoh:Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 4x 2 > 3x+ 5 denganxvariabel pada himpunan bilangan cacah.Penyelesaian:Cara 1Dengan mengganti tanda > dengan = diperoleh persamaan 4x 2 = 3x+ 5.Dengan cara menyelesaikan persamaan tersebut diperoleh penyelesaiannya adalah

x= 7. Selanjutnya ambillah satu bilangan cacah yang kurang dari 7 dan lebih dari 7.Periksalah nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 4x 2 > 3x+ 5.Jika x diganti 6 maka 4 6 2 > 3 6 + 522 > 23 (bernilai salah)Jika x diganti 8 maka 4 8 2 > 3 8 + 530 > 29 (bernilai benar)Karena nilai x yang memenuhi adalah lebih besar dari 7, maka himpunan penyelesaiandari 4x 2 > 3x+ 5 adalah {8, 9, 10, ...}.

Cara 24x 2 > 3x+ 5 4x 2 + 2 > 3x+ 5 + 2 (kedua ruas ditambah 2)4x> 3x+ 74x+ (3x) > 3x+ (3x) + 7 (kedua ruas ditambah 3x)x> 7Karenaxvariabel pada himpunan bilangan cacah maka himpunanpenyelesaiannya adalah {8, 9, 10, ...}.

Cara 34x 2 > 3x+ 54x 2 5 > 3x+ 5 5 (kedua ruas dikurangi 5)4x 7 > 3x4x+ (4x) 7 > 3x+ (4x) (kedua ruas ditambah 4x)7 > x7 : (1) < x: (1) (kedua ruas dibagi dengan 1 tetapi tanda ketidaksamaan berubah menjadi menjadi ;2) menjadi ; 4) menjadi .

UJI KOMPETENSI 5Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut jika peubah padahimpunan bilangan cacah.1. 2x 1 < 72.p+ 5 93. 4 3q 104. 4x 2 > 2x+ 55. 2(x 3) < 3(2x+ 1)6. 12 6y 6

D.MEMBUAT MODEL MATEMATIKA DAN MENYELESAIKAN SOAL CERITA YANG BERKAITAN DENGAN PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABELPermasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan persamaan linear satu variabel biasanya disajikan dalam bentuk soal cerita. Untuk menyelesaikannya, buatlah terlebih dahulu model matematika berdasarkan soal cerita tersebut.Kemudian,selesaikanlah.Untuk lebih jelasnya, pelajari contoh berikut.

Contoh:1. Seorang petani mempunyai sebidang tanah berbentuk persegi panjang. Lebar tanahtersebut 6 m lebih pendek daripada panjangnya. Jika keliling tanah 60 m, tentukan luastanah petani tersebut.Penyelesaian:Misalkan panjang tanah =xmaka lebar tanah =x 6.Model matematika dari soal di samping adalahp=xdanl=x 6, sehinggaK = 2(p+l)60 = 2(x+x 6)x- 6 xPenyelesaian model matematika di atas sebagai berikut.K= 2(p+ l)60 = 2(x+x 6)60 = 2(2x 6)60 = 4x 1260 + 12 = 4x 12 + 1272 = 4x =18 =xLuas =p l=x(x 6)= 18(18 6)= 18 12 = 216Jadi, luas tanah petani tersebut adalah 216

2. Diketahui harga sepasang sepatu dua kali harga sepasang sandal. Seorang pedagangmembeli 4 pasang sepatu dan 3 pasang sandal. Pedagang tersebut harus membayar Rp275.000,00.a. Buatlah model matematika dari keterangan di atas.b. Selesaikanlah model matematika tersebut. Kemudian, tentukan harga 3 pasangsepatu dan 5 pasang sandal.

Penyelesaian:a.Misalkan harga sepasang sepatu =xdan harga sepasang sandal =y. Modelmatematika berdasarkan keterangan di atas adalahx= 2ydan 4x+ 3y= 275.000.b.Dari model matematika diketahuix= 2ydan 4x+ 3y= 275.000. Digunakanmotode substitusi, sehingga diperoleh 4x+ 3y = 275.0004 (2y) + 3y= 275.0008y+ 3y = 275.00011y = 275.000y = 25.000Karenax= 2ydany= 25.000, makax= 2 25.000x= 50.000Jadi, harga sepasang sepatu adalah Rp50.000,00 dan harga sepasang sandal Rp25.000,00.Harga 3 pasang sepatu dan 5 pasang sandal dapat ditulis sebagai 3x+ 5y, sehingga 3x+ 5y = (3 50.000) + (5 25.000)= 150.000 + 125.000= 275.000Jadi, harga 3 pasang sepatu dan 5 pasang sandal adalah Rp275.000,00.

UJI KOMPETENSI 61. Diketahui harga 1 kg buah anggur tiga kali harga 1 kg buah salak. Jika ibu mem beli 2 kg buah anggur dan 5 kg buah salak maka ibu harus membayar Rp38.500,00.a. Buatlah kalimat matematika dari keterangan di atas, kemudian selesaikanlah.b. Berapakah harga 1 kg buah anggur dan 1 kg buah salak?c. Jika seseorang membeli 3 kg buah anggur dan 4 kg buah salak, berapakah ia harus membayar?2.Model kerangka sebuah balok dibuat dari seutas kawat berukuran panjang(x+ 6) cm, lebarxcm, dan tinggi (x 5) cm.a.Berdasarkan keterangan tersebut, nyatakan rumus panjang kawat yang dibutuhkandalamx.b. Jika panjang kawat yang diperlukan 100 cm, tentukan ukuran balok tersebut.c. Hitunglah volume balok tersebut.

3. Jumlah tiga bilangan genap yang berurutan adalah 108. Tentukan bilangan-bilangan itu.4. Umur Vera 4 tahun kurangnya dari umur Togar. Jika jumlah umur mereka 24 tahun, tentukan umur mereka masing-masing.5. Sebuah persegi panjang mempunyai ukuran panjang (3x 4) cm dan lebar (x+ 1) cm.a. Tulislah rumus kelilingnya dan nyatakan dalam bentuk yang paling sederhana.b. Jika kelilingnya 34 cm, tentukan luas persegi panjang tersebut.

E.MEMBUAT MODEL MATEMATIKA DAN MENYELESAIKAN SOAL CERITA YANG BERKAITAN DENGAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL1. Suatu model kerangka balok terbuat dari kawat dengan ukuran panjang (x+ 5) cm, lebar (x 2) cm, dan tinggixcm.a. Tentukan model matematika dari persamaan panjang kawat yang diperlukan dalamx.b. Jika panjang kawat yang digunakan seluruhnya tidak lebih dari 132 cm, tentukan ukuran maksimum balok tersebut.Penyelesaian:a. Misalkan panjang kawat yang diperlukan = K, maka model matematikanya sebagai berikut.K = 4p+ 4l+ 4t= 4(x+ 5) + 4(x 2) + 4 x xcm= 4x+ 20 + 4x 8 + 4x= 12x+ 12 (x 2) cm (x+ 5) cmb.Panjang kawat tidak lebih dari 132 cm dapat ditulis K = 12x+ 12 132 cm,sehingga diperoleh 12x+ 12 13212x+ 12 12 132 1212x 120 12x 120 xx= 10Nilai maksimumx= 10 cm, sehingga diperolehp= (x+ 5) cm = 15 cml= (x 2) cm = 8 cmt=x= 10 cm.Jadi, ukuran maksimum balok adalah (15 8 10) cm.

3.Permukaan sebuah meja berbentuk persegi panjang dengan panjang 16xcm dan lebar10xcm. Jika luasnya tidak kurang dari 40, tentukan ukuran minimum permukaan meja tersebut.Penyelesaian:Diketahui panjang permukaan meja (p) = 16x, lebar (l) =10x, dan luas = L.Model matematika dari luas persegi panjang adalahL = pl= 16x 10x= 160 Luas tidak kurang dari 40= 4.000dapat ditulis L = 160 4.000, sehingga diperoleh160 4.000 25 x 5 Nilai minimum x = 5 cm, sehingga diperoleh p= 16xcm = 16 5 cm = 80 cm l= 10xcm = 10 5 cm = 50 cm. Jadi, ukuran minimum permukaan meja tersebut adalah (80 50) cm.

UJI KOMPETENSI 71.Persegi panjang mempunyai panjang (x+ 7) cm dan lebar (x 2) cm. Jikakelilingnya tidak lebih dari 50 cm, tentukan luas maksimum persegi panjang tersebut.2. Panjang diagonal-diagonal suatu layang-layang adalah (2x 3) cm dan (x+ 7) cm. Jika diagonal pertama lebih panjang dari diagonal kedua, tentukan luas minimum layang-layang tersebut.3. Model kerangka kubus dibuat dari kawat yang panjang rusuknya (x+ 2) cm. Jika panjang kawat yang diperlukan tidak melebihi 180 cm, tentukan panjang rusuk kubus tersebut.4.Panjang diagonal-diagonal suatu jajargenjang diketahui berturut-turut (3x 5) cm dan(x+ 7) cm. Jika diagonal pertama lebih panjang dari diagonal kedua, susunlah pertidaksamaan yang memenuhi dan selesaikanlah.5.Suatu lempeng logam berbentuk segitiga dengan panjang sisi-sisinya 3acm, 4acm,dan 5acm. Jika kelilingnya tidak kurang dari 72 cm, tentukan ukuran minimum segitiga tersebut.EVALUASI1.Penyelesaian dari persamaan 6 2x= 5x+ 20 denganxvariabel pada himpunanbilangan bulat adalah ....a.x= 1 c.x= 2b. x= 2 d.x= 12. Diketahui persamaan-persamaan berikut. (i)- 3 = 1 (iii)x 15 = 5 (ii)x 5 = 5 (iv) 3x 45 = 15 Dari persamaan di atas yang merupakan persamaan ekuivalen adalah .... a. (i), (ii), dan (iii) b. (i), (iii), dan (iv) c. (i), (ii), dan (iv) d. (ii), (iii), dan (iv)3. Panjang sisi-sisi sebuah segitiga diketahui 2xcm, (2x+ 2) cm, dan (3x+ 1) cm. Jika kelilingnya 24 cm, panjang sisi yang terpanjang adalah .... a. 6 cm c. 10 cm b. 8 cm d. 12 cm4. Harga sebuah buku sama dengan dua kali harga pensil. Jika 6 buku dan 15 pensil harganya Rp21.600,00, harga satu buku adalah .... a. Rp1.600,00 c. Rp800,00 b. Rp1.500,00 d. Rp750,005. Tiga bilangan genap yang berurutan jumlahnya 108. Bilangan yang terbesar adalah .... a. 36 c. 40 b. 38 d. 446. Jika pengurangan 2x dari 3 hasilnya tidak kurang dari 5 maka nilaixadalah.... a.x 4 c.x 4 b.x 1 d. x 1