PENGENDALIAN PROSES VARIABILITAS MULTIVARIATE MELALUI VEKTOR VARIANSI

CONTROL ON MULTIVARIATE VARIABILITY PROCESS THROUGH VARIANCE VECTOR

Sahabuddin, Erna Herdiani, Armin Lawi

Bagian Matematika Terapan, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Hasanuddin.

Alamat Korespondensi: Sahabuddin Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin Makassar, HP: 085242033556 Email: sahabuddinbudiani@gmail.com

ABSTRAK Pengendalian proses variabilitas dimana melibatkan lebih dari dua karakteristik kualitas proses yang saling berhubungan yang disebut Pengendalian Proses Multivariate. Penelitian ini bertujuan melakukan pengkajian tentang vektor variansi dalam pengendalian variabilitas dalam proses multivariate. Jenis penelitian yang dilakukan dalah studi kepustakaan. Sumber data yang digunakan merupakan data sekunder dari Badan Meteorologi dan Geofisika Kota Semarang dengan melibatkan 4 variabel yakni Curah hujan (X1), Suhu Udara (X2), kelembaban udara (X3) dan kecepatan angin (X4). Pengendalian variabilitas proses melalui Vektor Variansi dapat dinyatakan dalam bentuk Tr(S) = (vec(S)) (vec(S)).Selanjutnya pembentukan bagan kendali dapat ditentukan dengan menggunakan statistik vektor variansi tersebut. Dari analisis data diperoleh vektor variansi BKA=7,22x108, BKB=-2,47x108 , dan GT= 2,37 108. Kata kunci : Multivariate, Vektor Variansi, Penaksiran Parameter, Bagan Kendali

ABSTRACT

The variablity process control involved more than two process quality characteristics which were to each other called the variability control. The research aimed at conducting the variance vector in the variability control in the multivariate process. This was a library study research by collecting the literature in the forms of the relevant books and journals. The data resources used as the samples in the research were the secondary data from the board of Metorology and Geophsics of Semarang City by involving 4 variables i.e: rainfall (X1), temperature (X2 ), humidity (X3), wind velocity (X4 ). The research result indicates that the process variability control through the variance vector can be stated in the ofTr(S) = (vec(S)) (vec(S)). Then the controling chart formation is determine by using the variance vector statistics. The weather data analysis in Semarang through the variance vector statistics is found that BKA is: 7,22x108, BKB=-2,47x108 , and GT= 2,37 108.

Keywords: Multivariate, Variance Vector,Parameter Interpretation, Controling Chart.

PENDAHULUAN

Pengendalian proses variabilitas merupakan salah satu dasar yang digunakan dalam

industri untuk meningkatkan kualitas proses produksi. Dalam prakteknya pengendalian

proses menggunakan peta kendali, merupakan salah satu alat atau cara untuk peningkatan

kualitas produces, (Anderson, 2003).

Peta kendali berdasarkan variabel yang terlibat terbagi atas peta kendali satu variabel

(univariat) dan peta kendali lebih dari satu variabel (multivariate) (Djauhari, dkk. 2010).

Pengendalian proses multivariat merupakan salah satu bagian yang cepat berkembang karena

ada banyak situasi real yang melibatkan lebih dari dua karakteristik kualitas proses yang

saling berhubungan. Pengendalian proses multivariate ini selanjutnya dikenal sebagai

Multivariate Statistic Proses Control (MSPC), (Djauhari, 2011).

Peta kendali Shewhort pada umumnya disamakan untuk pengendalian mean proses

dan variabilitas proses. Pada tesis ini penulis akan membahas tentang peta kendali untuk

variabilitas proses. Pada pengendalian variabilitas proses berdasarkan satu variabel, praktisi

banyak menggunakan peta kendali Standar Deviasi (SD) dan Range (R), sedangkan untuk

kasus multivariate pengendalian variabilitas proses menggunakan peta kendali |푆|, dimana S

adalah matriks variasi kovariansi sampel atau disebut sebagai matriks dispersi,(Rencer, 2002).

Pada penelitian univariate dimana sebuah teknik statistik yang digunakan untuk memastika

bahwa proses memenuhi standar, membuat pengukuran dan mengambil tindakan selagi

sebuah produk sedang diproduksi, (Render 2005). Untuk data yang cukup besar akan

memiliki kendala dalam perhitungannya oleh karena itu, Herwindiati dkk (2009) mengatakan

Tr (S2) sebagai ukuran dispersi multivariate. Pada proses ini penulis tertarik untuk mengkaji

lebih dalam tentang Tr (S2) yang digunakan untuk masalah statistik pengendalian proses

multivariate, dimana Tr (S2) pertama kali dikembangkan oleh, ( Djauhari 2007).

Dengan demikian maka pada tesis ini akan dikaji tentang pembentukan peta kendali

dari Variabilitas Proses melalui Statistik Vektor Variansi dan akan diaplikasikan pada data

curah hujan, suhu udara, kelembaban udara dan kecepatan angin yang merupakan data

sekunder BMG Semarang. Tujuan dalam penelitian ini adalah melakukan pengkajian tentang

vektor variansi dalam pengendalian variabilitas dalam proses multivariate yang selanjutnya

akan diaplikasikan pada data Sekunder dari Badan Meteorologi dan Geofisika Kota

Semarang.

BAHAN DAN METODE

Jenis penelitian ini merupakan studi kepustakaan dengan mengumpulkan literatur

berupa buku dan jurnal yang berhubungan dengan pengendalian proses variabilitas

multivariate. Sumber data yang akan digunakan sebagai contoh pada penelitian merupakan

data Sekunder dari Badan Meteorologi dan Geofisika Kota Semarang. Dalam penelitian ini

merupakan penelitian multivariat dengan melibatkan beberapa peubah yakni pada curah

hujan, suhu udara, kelembaban udara dan kecepatan angin. Adapun metode atau langkah-

langkah dalam menentukan bagan kendali dari data tersebut adalah menentukan variabel-

variabel penelitian dan jumlah sampel, menentukan matriks varians-kovariansi sampel,

menentukan variansi vektor (VV), menaksir parameter dari variansi vektor, menentukan

batas-batas kendali (BKA dan BKB) yang dibangun berdasarkan variansi vektor, diperoleh

batas kendali atas dan bawah untuk semua data berada dalam pengontrolan dan memonitoring

data selanjutnya.

HASIL

Berdasarkan analisis data tersebut dan dari tabel 1 dan 2 serta gambar 1 dan 2

terindikasi bahwa seluruh data pendahuluan berada di dalam pengendalian, sehingga batas

kendali yang diperoleh dapat digunakan untuk memonitoring data selanjutnya yaitu data tahun

2004 dan 2005 sebagai fase ke II (Fase monitoring) dimana memiliki nilai yang masih berada

dalam batas pengendalian. Jadi dapat disimpulkan bahwa keragaman data cuaca masih dalam

pengendalian. Adapun analisis statistik dari aplikasi tersebut adalah sebagai berikut:

Misalkan X⃗ , X⃗ ,⋯ , X⃗ adalah vektor-vektor acak yang saling bebas dan memiliki

distribusi identik, sehingga vektor acak 푋⃗ berdistribusi normal p variat dengan vektor mean 흁⃗

dan matriks kovariansi 횺 atau dituliskan dalam lambang:

푋⃗~N (흁⃗,횺) (1)

dimana 푁 = jumlah(ukuran)sampel

푝 = banyaknyapeubah dan

푋⃗ =

XX⋮

X

Pada kasus univariat , jika 푋 ,푋 ,⋯ ,푋 adalah sampel acak dengan 푋~푁(휇,휎 ) .

Misalkan 횺 adalah matriks varian kovarians dari 푋⃗ , maka matriks variansi kovariansi

sampel dari 푋⃗ adalah S, dimana

횺×

=

휎 휎 ⋯ 휎휎 휎 ⋯ 휎⋮휎

⋯휎

⋱⋯

⋮휎

; 퐒×

=

푠 푠 ⋯ 푠푠 푠 ⋯ 푠⋮푠

⋯푠

⋱⋯

⋮푠

dengan

푠 = ∑ 푋 − 푋 푋 − 푋 , 푖 = 1,2,⋯ , 푝, 푘 = 1,2,⋯ , 푝

maka 푣푒푐(푆) dapat ditulis sebagai

푣푒푐(푆) =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡푠푠⋮푠푠푠⋮푠⋮푠푠⋮푠 ⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

(2)

Selanjutnya, dapat dituliskan bahwa

(vec(퐒)) (vec(퐒)) = s s ⋯ s s s ⋯ s ⋯ s s ⋯ s

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡ss⋮

sss⋮

s⋮

ss⋮

s ⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

= s + s + ⋯+ s +s + s + ⋯+ s + ⋯+ s +s + ⋯+ s

Adapun SSTrSTr 2

pppp

p

p

pppp

p

p

sss

ssssss

sss

ssssss

Tr

21

22221

11211

21

22221

11211

2221122221211212111

22221212222212211221221121

12121112122121211112112211

.........

.........

.........

pppppppppppppppp

ppppppppp

ppppppppp

sssssssssssssssss

ssssssssssssssssssssssssssssssssss

Tr

= 112112211 ... ppsssss + 22

2221221 ... ppsssss +…+ 2

2211 ... pppppp sssss ,

Karena S merupakan matriks simetri maka sij = sji untuk setiap i,j = 1, 2, …, p, maka berlaku

2STr = 21

221

211 ... psss + 2

2222

212 ... psss +…+ 22

221 ... pppp sss , (3)

Dengan demikian Vektor Variansi sampel 2STr = (vec(퐒)) (vec(퐒)) merupakan

jumlah elemen-elemen diagonal dari matriks 푺 , yaitu

T푟(푺 ) = ∑ ∑ 푠 (4)

Vektor Variansi dapat digunakan untuk pengendalian variabilitas proses. Salah satu

caranya adalah dengan membentuk bagan kendali dengan menggunakan statistik variansi

vektor tersebut.

Kasus 1

Misalkan suatu sub grup ke 1, 2 ,...m memiliki jumlah sampel yang berbeda,

selanjutnya jumlah sampel dari setiap sub grup itu disebut dengan n1 ≠ 푛 ≠ 푛 … . .≠ 푛 .

Statistik yang akan digunakan adalah :

푇푟(푺 )~N(푻풓(횺ퟐ), 푇푟(횺ퟒ)) (5)

adapun mean dari Tr(퐒 ) adalah Tr (횺ퟐ) dan variansi dariTr(퐒 ) adalah 푇푟(횺ퟒ) .

Adapun nilai taksiran adalah :

1

2 221gab gabE Tr S Tr Sn m

(5a)

12 4

2

8 12 12var 11

gab gabTr S Tr Sn n m n m

(5b)

Jadi bagan kendali dari 푇푟(푺 ) adalah sebagai berikut :

Batas kendali atas (BKA):

BKA = 1 + Tr S + 3 1 + +( )

Tr S (5c)

Garis tengah :

퐺푇 = 1 + Tr S (5d)

Batas kendali bawah (BKB) :

퐵퐾퐵 = 1 + Tr S − 3 1 + +( )

Tr S (5e)

1

1

1

11 1

1

m

i i mi

gab i imi

ii

n SS n S

n mn

(5d)

dimana 1

m

ii

n n

Kasus 2

Misalkan suatu sub grup ke 1, 2 ,...m memiliki jumlah sampel yang sama, selanjutnya

jumlah sampel dari setiap sub grup itu disebut dengan n1=푛 = 푛 … . . = 푛 = 푛 . Statistik

yang akan digunakan adalah :

푇푟(푺 )~N(푻풓(횺ퟐ), 푇푟(횺ퟒ)) (6)

adapun mean dari Tr(퐒 ) adalah Tr (횺ퟐ) dan variansi dari Tr(퐒 ) adalah 푇푟(횺ퟒ) .

Adapun nilai taksirannya adalah

1

2 2

0

211

E Tr S Tr Sm n

, (6a)

1

2 4

20 0 0

8 12 12var 11 1 1

Tr S Tr Sn m n m n

(6b)

dimana :

1 2, ,..., mn n n menyatakan jumlah sampel pada sub grup ke-1, 2, ….,m

Jadi bagan kendali dari 푇푟(푺 ) adalah sebagai berikut:

Batas kendali atas (BKA):

퐵퐾퐴 = 1 +( )

푇푟 푆̅ + 3 1 +( )

+( ( ))

푇푟 푆̅ (6c)

Garis tengah:

퐺푇 = 1 +( )

푇푟 푆̅ (6d)

Batas kendali bawah (BKB):

퐵퐾퐵 = 1 +( )

푇푟 푆̅ − 33 1 +( )

+( ( ))

푇푟 푆̅ (6e)

Berdasarkan batas batas inilah akan dilakukan pengendalian proses multivariate dari

data cuaca di Kota Semarang.

PEMBAHASAN

Penelitian ini menunjukkan bahwa keragaman data cuaca masih dalam pengendalian

dengan menggunakan statistik vektor variansi 푇푟(푺 ). Pada Peneliti sebelumnya salah

satunya adalah Sinderal (2007) mendalami pada statistik determinan matriks S, R, G, dan W,

demikian pula Cleroux (1987) mengukur pada hubungan linear antara dua vektor 푋 dan 푋

sedangkan pada penelitian Nasrah (2010) mengatakan bahwa ada kesamaan signifikan

matriks kovariansi melalui variansi vektor untuk beberapa sampel. berdasarkan batas kendali

yang diperoleh maka statistik pengendalian multivariate melalui vektor variansi akan

diaplikasikan dari data sekunder yang diambil berdasarkan curah hujan, suhu bulanan,

kelembaban udara, dan kecepatan angin. Pada analisis tersebut penulis membagi dalam 2 fase

yakni fase 1 sebagai data pendahuluan dan fase 2 sebagai monitoring. Analisis data tersebut

adalah sebagai berikut :

Untuk 푚 = 3 dan ukuran sampel 푛 = 12, maka diperoleh

Batas kendali atas (BKA):

퐵퐾퐴 = 1 +( )

푇푟 푆̅ + 3 1 +( )

+ ( ( )) 푇푟 푆̅

퐵퐾퐴 = 1 +( )

(223907980,2) + 3 1 +( )

+ ( ( ))(5,01310 )

퐵퐾퐴 = 1 +2

3(11)(223907980,2) + 3

811

1 +12

3(11)+

12(3(11))

(5,01310 )

퐵퐾퐴 = 1 +2

33(223907980,2) + 3

811

1 +1233

+12

363(5,01310 )

퐵퐾퐴 = (1 + 0,061)(223907980,2) + 3 0,727{1 + 0,364 + 0,033} (5,01310 )

퐵퐾퐴 = (1,061)(223907980,2) + 3 0,727{1,397} (5,01310 )

퐵퐾퐴 = (1,061)(223907980,2) + 3 0,52(5,01310 )

퐵퐾퐴 =237,566,366,992 + 3 26087,69510

퐵퐾퐴 =237,566,366,992 + 3(161,52.10 )

퐵퐾퐴 =237,57 10 + 484,56 10

퐵퐾퐴 =722,13 10

퐵퐾퐴 =7,22 10

Garis tengah (GT):

퐺푇 = 1 + ( ) 푇푟 푆̅

퐺푇 = 1 +2

3(12 − 1)(223907980,2)

퐺푇 = 1 +2

3(11)(223907980,2)

퐺푇 = 1 +2

33(223907980,2)

퐺푇 = (1,061)(223907980,2)

퐺푇 =237,566,366

퐺푇 =2,37 10

Batas kendali bawah (BKB):

퐵퐾퐵 = 1 +( )

푇푟 푆̅ − 3 1 +( )

+ ( ( )) 푇푟 푆̅

퐵퐾퐵 = 1 +( )

(223907980,2) − 3 1 +( )

+ ( ( ))(5,01310 )

퐵퐾퐵 = 1 +2

3(11)(223907980,2) − 3

811

1 +12

3(11)+

12(3(11))

(5,01310 )

퐵퐾퐵 = 1 +2

33(223907980,2) − 3

811

1 +1233

+12

363(5,01310 )

퐵퐾퐵 = (1 + 0,061)(223907980,2) − 3 0,727{1 + 0,364 + 0,033} (5,01310 )

퐵퐾퐵 = (1,061)(223907980,2) − 3 0,727{1,397} (5,01310 )

퐵퐾퐵 = (1,061)(223907980,2) − 3 0,52(5,01310 )

퐵퐾퐵 =237,566,366,992 - 3 26087,69510

퐵퐾퐵 =237,566,366,992 – 3(161,52.10 )

퐵퐾퐵 =237,57 10 - 484,56 10

퐵퐾퐵 =-246,99 10

퐵퐾퐵 =-2,47 10

KESIMPULAN DAN SARAN

Pengendalian variabilitas proses melalui Vektor Variansi dapat dinyatakan dalam

bentuk 2STr = (푣푒푐(푺)) (푣푒푐(푺)) , Selanjutnya pembentukan bagan kendali dapat

ditentukan dengan menggunakan statistik vektor variansi tersebut. Batas kendali dari variansi

vektor berdasarkan jenis dari data dibagi menjadi 2 yakni: jumlah sampel yang berbeda, n1

≠ 푛 ≠ 푛 … . .≠ 푛 dan jumlah sampel yang sama n1=푛 = 푛 … . . = 푛 = 푛 . Dari hasil

Analisis data cuaca di Semarang melalui statistik vektor variansi diperoleh bahwa kondisi

cuaca di kota tersebut masih dalam pengendalian.

Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan, disarankan agar para peneliti selanjutnya

menstandarkan data cuaca ini, karena keragaman pengukuran membuat nilai dari setiap

peubah bernilai besar. Selain itu, perlu adanya perbandingan dengan statistic lain agar dapat

diperoleh manakah yang lebih efektif dan efisien, statistik variansi vektor atau determinan

dari matriks kovariansi untuk data cuaca ini.

DAFTAR PUSTAKA

Anderson, T.W. (2003). An Introduction to Multivariate Statistical Analysis. John Wiley & Sons Inc. New York.

Cleroux (1987), Multivariate Quality Control. In: Kotz, S, Johnson, N. eds.Encyclopedia of Statistical Sciences. 6. New York, N. Y.: John Wiley & Sons, hal. 110-122.

Djauhari, Maman A. (2011). Geometric Interpretation of Vector Variance. Universiti Teknologi Malaysia. Jurnal Matematika, Volume 27, Number 1, 51–57.

_________________. (2008). A Robust Estimation of Location and Scatter. Malaysian Journal of Mathematical Sciences 2(1), 1-24.

_________________. (2007). A measure of Data Concentration. Journal of Applied Probalility & Statistics. 2(2). Hal 139-155.

Djauhari, Maman A., dkk. (2010). How to Control Process Variability more Effectively: the

case of a b-complex Vitamin production process, (Online), (http:sajie,journals,ac.za, diakses 10 Maret 2013 jam 11.00)

_____________________. (2008). Multivariate Process Variability Monitoring,

Communications in Statistics. Herwindiati, dkk. (2009). The Robust Distance for Similarity Measure Of Content Based

Image Retrieval. Journal. Vol II:1-5 Montgomery, D. C. (2001). Introduction to Statistical Quality Control 4th edition. John

Wiley & Sons Inc. New York. Sirajang, Nasrah. (2010). Pengujian Hipotesis kesamaan Matriks Kovariansi Melalui

Variansi Vektor Untuk Beberapa Sampel. Tesis. Universitas Hasanuddin Makassar. Rencher. (2002). Methods of Multivariate Analysis. John Wiley & Sons Inc. New York. Render. ( 2005). Optimal monitoring of multivariate data for fault patterns. Journal of Quality

Technology, 39(2), 159-172. Sinderal (2007). Matrix Analysis for Statistics. John Wiley & Sons Inc. New York.

Tabel 1. Matriks Kovariansi sampel tahun 2001-2003

Tahun Matriks 푇푟(푺 )

2001 12680,984−25,809

−25,8090,367

428,752 −3,932−1,503 −0,114

428,752 −1,503 25.639 1,422−3932 −0,114 1,422 1,037

161177038,1

2002 13899,416−44,175

−44,175046,222

518,105 −32.169−2,514 0,253

518,105 −2,514 27,409 −3,017−32,169 0,253 −3,017 1,386

193737388,4

2003 18238,105−43,330

−43,3300,437

846,652 6,743−3,817 −0,039

846,652 −3,817 60,656 −1,456,743 −0,039 −1,45 0,956

1477675,5

Rata-rata 12258,495−48,025

−48,0250,462

504,49 −61,233−2,727 0,345

504,49 −2,727 28,373 −3911−61,233 0,345 −3911 1,063

223907980,2

Tabel 2. Matriks Kovariansi sampel tahun 2004-2005

Tahun Matriks 푇푟(푺 )

2003

12258,495−48,025

−48,0250,462

504,49 −61,233−2,727 0,345

504,49 −2,727 28,373 −3911−61,233 0,345 −3911 1,063

15079268,2

2004

7702,719−18,663

−18,6630,289

315,790 607,472−1,513 −3,148

315,790 −1,513 20,354 24181607,472 −3,148 24181 257,059

60337756,6

Rata-rata

9980,607 −33,344 410,14 273,119−33,344 0,376 −2,12 −1,401410,14

273,119−2,12−1,401

24,36410,135

10,135129,061

100117826,2

Gambar 1. Grafik bagan kendali vektor variansi pada data pendahuluan cuaca di Kota Semarang

Gambar 2. Grafik bagan kendali vektor variansi pada data memonitoring cuaca di

Kota Semarang

-2.5E+08

-50000000

150000000

350000000

550000000

750000000

2000.5 2001 2001.5 2002 2002.5 2003 2003.5

BKA = 7,22 10^8

GT =2,37 10^8

BKB =-2,47 10^8

-2.5E+08

-50000000

150000000

350000000

550000000

750000000

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

BKA = 7,22 10^8

GT =2,37 10^8

BKB = -2,47 10^8