Pengembangan Grafik-p Menggunakan Ekspansi...
Transcript of Pengembangan Grafik-p Menggunakan Ekspansi...
O L E H :
A N I S Y K U R R O F I Q O H ( 1 2 1 2 1 0 0 0 0 6 )
D O S E N P E M B I M B I N G :
D R A . N U R I WA H Y U N I N G S I H , M . K E S
Pengembangan Grafik-p Menggunakan Ekspansi Cornish-Fisher
1
Sidang Tugas Akhir 29 Juni 2016 Jurusan Matematika
PENDAHULUAN 2
Latar Belakang
Rumusan Masalah
Batasan Masalah
Tujuan
Manfaat
PENDAHULUAN
TINJAUAN PUSTAKA
METODOLOGI PENELITIAN
HASIL DAN PEMBAHASAN
KESIMPULAN DAN SARAN
Sidang Tugas Akhir 29 Juni 2016 Jurusan Matematika
Latar Belakang 3
Perusahaan dengan kualitas produk yang
baik
Tujuan
Memenangkan persaingan di pasar yang semakin ketat
Melakukan perbaikan produk secara berkala
Teknik Pengendalian Kualitas Statistik
Sidang Tugas Akhir 29 Juni 2016 Jurusan Matematika
Latar Belakang 4
Teknik Pengendalian Kualitas Statistik
Grafik Pengendali Shewhart
Menurut jenis karakteristik kualitas
Grafik Pengendali Atribut
Grafik Pengendali
Variabel
Sidang Tugas Akhir 29 Juni 2016 Jurusan Matematika
Latar Belakang 5
Grafik-p (distribusi binomial)
untuk mengendalikan produk
cacat dari hasil produksi
berdasarkan pendekatan
normal
fungsi gambar
Contoh Grafik Atribut
Pada grafik-p, ketika tingkat cacat produk sangat rendah dan ukuran sampel kecil maka distribusi binomial memiliki kemiringan (skewness) yang menyebabkan distribusi binomial menjadi asimetri. Karena asimetris, peluang false-alarm menjadi sangat tinggi sehingga dapat menyebabkan tingkat akurasi yang rendah pada garis batas grafik.
Sidang Tugas Akhir 29 Juni 2016 Jurusan Matematika
Latar Belakang
Oleh karena itu, pengembangan batas kontrol grafik-p sangat dibutuhkan untuk meningkatkan akurasi.
Salah satu metode yang baik memperbaiki kemiringan pada distribusi binomial adalah ekspansi Cornish-Fisher dimana kuantil dalam metode tersebut untuk memperoleh pendekatan normal yang lebih baik.
6
Sidang Tugas Akhir 29 Juni 2016 Jurusan Matematika
Rumusan Masalah
Bagaimana cara menerapkan ekspansi Cornish-Fisher dengan satu koreksi untuk mendapatkan garis batas grafik-p yang baru?
Bagaimana cara menerapkan ekspansi Cornish-Fisher dengan dua koreksi untuk mendapatkan garis batas grafik-p yang baru?
7
Sidang Tugas Akhir 29 Juni 2016 Jurusan Matematika
Batasan Masalah
Grafik pengendalian kualitas atribut yang akan dibahas adalah grafik-p
Koreksi yang dilakukan hanya sampai 2 koreksi
Data yang digunakan untuk contoh penerapan adalah data yang diperoleh dari email pembuat jurnal yang berjudul βAn Improved Attribute Control Chart for Monitoring Non-Conforming Proportion in High Quality Processesβ yaitu [email protected], yang diakses pada tanggal 13 Mei 2016
Software yang digunakan adalah software Minitab
8
Sidang Tugas Akhir 29 Juni 2016 Jurusan Matematika
Tujuan Penelitian
Menerapkan ekspansi Cornish-Fisher dengan satu dan dua koreksi pada grafik-p.
9
Sidang Tugas Akhir 29 Juni 2016 Jurusan Matematika
Manfaat Penelitian
Mendapatkan grafik-p baru dengan koreksi yang sederhana pada batas kontrol grafik yang dapat mendeteksi walaupun nilai p sangat kecil dan ukuran sampel tidak besar.
10
Sidang Tugas Akhir 29 Juni 2016 Jurusan Matematika
TINJAUAN PUSTAKA 11
Distribusi Binomial
Variabel Acak Diskrit
Distribusi Normal Standart
Distribusi Bernoulli
Distribusi Normal
Penelitian Terdahulu
PENDAHULUAN
TINJAUAN PUSTAKA
METODOLOGI PENELITIAN
HASIL DAN PEMBAHASAN
KESIMPULAN DAN SARAN Fungsi
Pembangkit Momen
Pengendalian Kualitas Statistik
Ekspansi Cornish-
Fisher
(grafik-p)
Peluang Resiko False Alarm
Momen
Sidang Tugas Akhir 29 Juni 2016 Jurusan Matematika
Penelitian Terdahulu
Alan Winterbottom (1993) yang berjudul βSimple Adjustments to Improve Control Limits on Atrribute Chartsβ. sistematika untuk mengembangkan peluang akurasi dari batas kontrol untuk grafik pengendali atribut dengan koreksi menggunakan ekspansi Cornish-Fisher.
Gemai Chen (1998) yang berjudul βAn Improved p Chart Through Simple Adjustmentsβ. Dua alternatif grafik kendali berdasarkan transformasi integral peluang diskrit dan transformasi arcsine.
Silvia Joekes dan Emanuel Pimentel Barbosa (2013) yang berjudul βAn Improved Attribute Control Chart for Monitoring Non-Conforming Proportion in High Quality Processesβ. Pengembangan grafik pengendali atribut untuk memperbaiki batas kontrol pada grafik dengan nilai p yang kecil dan ukuran sampel yang kecil dengan menerapkan koreksi berdasarkan
metode ekspansi Cornish-Fisher.
12
II
Sidang Tugas Akhir 29 Juni 2016 Jurusan Matematika
Variabel Acak Diskrit 13
Variabel Acak Diskrit adalah variabel acak yang dapat digunakan untuk data yang berupa cacahan.
Misalkan π adalah variabel acak diskrit, maka fungsi kepadatan peluang (PDF) dapat didefinisikan sebagai π π₯ = π π = π₯ , dimana π(π₯) adalah fungsi distribusi peluang dari π untuk variabel acak diskrit.
Mean dari variabel acak diskrit π adalah π = πΈ π = π₯ππ(π
π=1 π₯π).
Variansi dari variabel acak diskrit π adalah π2 = πΈ π β π 2 = π₯π β π 2π
π=1 π(π₯π)
Sidang Tugas Akhir 29 Juni 2016 Jurusan Matematika
Distribusi Bernoulli 14
Distribusi Bernoulli adalah distribusi peluang yang dihasilkan dari 2 kejadian dalam suatu percobaan yaitu sukses (π₯ = 1) dan gagal dengan (π₯ = 0) dengan peluang jika sukses adalah π dan jika gagal π = 1 β π.
PDF dari variabel acak π Bernoulli adalah
π~π΅ 1, π
π π₯ = π π = π₯ = ππ₯π 1βπ₯ = ππ₯ 1 β π 1βπ₯ ; dengan π₯ = 0,1
Sidang Tugas Akhir 29 Juni 2016 Jurusan Matematika
Distribusi Binomial 15
Distribusi Binomial adalah distribusi peluang dari banyaknya kejadian sukses pada π percobaan Bernoulli.
PDF dari variabel acak π Binomial adalah
π~π΅ π, π
π π₯ = π π = π₯
= πΆπ₯πππ₯π πβπ₯
=π!
πβπ₯ !π₯!ππ₯ 1 β π πβπ₯ ; dengan π₯ = 0,1,2, β¦ , π
=ππ₯
ππ₯ 1 β π πβπ₯
Sidang Tugas Akhir 29 Juni 2016 Jurusan Matematika
Distribusi Normal 16
Distribusi Normal memiliki karakteristik dari fungsi kepadatannya yang berbentuk kurva simetris menyerupai lonceng, sehingga kurva Normal ini disebut sebagai kurva berbentuk lonceng.
Fungsi kepadatan peluang (PDF) dari variabel acak π Normal adalah
π~π(π, π2)
ππ π₯ =1
π 2πππ₯π β
π₯βπ 2
2π2 dengan ββ < π < β ; π > 0 ;
β β < π₯ < β ; π β 227 ; π β 2,718281828β¦
Sidang Tugas Akhir 29 Juni 2016 Jurusan Matematika
Distribusi Normal Standart 17
Misalkan diberikan variabel acak π berdistribusi Normal dengan parameter mean π dan varian π2, maka variabel acak π yang berdistribusi Normal Standart dengan parameter π = 0 dan π2 = 1, akan menghasilkan fungsi kepadatan peluang (PDF) yaitu
ππ π§ =1
2πππ₯π β
π§2
2 dengan ββ < π§ < β
MGF dari distribusi normal standart adalah
ππ§ π‘ = ππ‘2
2
Sidang Tugas Akhir 29 Juni 2016 Jurusan Matematika
Momen 18
Momen di sekitar 0 adalah persamaan untuk menghitung nilai ekspektasi dari peubah acak π.
Definisi (2.1)
Jika π adalah variabel acak, maka momen ke-π di sekitar 0 yang dinotasikan ππ
β² didefinisikan sebagai
ππβ² = πΈ ππ ; dengan π = 1,2,3, β¦
Momen disekitar rataan adalah persamaan untuk menghitung nilai ekspektasi dari pangkat π untuk penyimpangan sebuah peubah acak terhadap rataannya.
Definisi (2.2)
Jika π adalah peubah acak, maka momen sekitar rataan ke-π yang dinotasikan dengan ππ didefinisikan sebagai
ππ = πΈ(π β π)π dengan π = 0,1,2,3,β¦
Sidang Tugas Akhir 29 Juni 2016 Jurusan Matematika
Fungsi Pembangkit Momen (MGF)
19
Momen bisa juga diperoleh melalui besaran lainnya, yang dinamakan fungsi pembangkit momen (MGF). Oleh karena itu MGF merupakan sebuah fungsi yang dapat menghasilkan momen-momen.
Definisi (2.3) Jika π adalah peubah acak, maka MGF dari π yang dinotasikan dengan ππ₯ π‘ adalah ππ₯ π‘ = ππ‘π
π₯ π(π₯) Definisi (2.4)
Jika π adalah peubah acak dan ππ₯ π‘ adalah fungsi pembangkit momennya, maka penurunan momen berdasarkan MGF dapat didefinisikan sebagai ππ₯
π(π‘)π‘=0 = ππβ² ; dengan π = 1,2,3, β¦
Sidang Tugas Akhir 29 Juni 2016 Jurusan Matematika
Pengendalian Kualitas Statistik
Pengendalian Kualitas Statistik merupakan Ilmu yang mempelajari tentang teknik/metode pengendalian kualitas berdasarkan prinsip/konsep statistik.
Pengendalian kualitas statistik adalah alat yang sangat berguna dalam membuat produk sesuai dengan spesifikasi sejak dari awal proses hingga akhir proses.
13
II
Sidang Tugas Akhir 29 Juni 2016 Jurusan Matematika
Grafik Pengendali Atribut (Grafik-p)
Grafik pengendali p atau p-chart (pengendali proporsi kesalahan) merupakan salah satu grafik pengendali atribut yang digunakan untuk mengendalikan bagian produk cacat dari hasil produksi.
Menghitung batas pada grafik βp:
ππΆπΏ = π + 3π (1βπ )
π
πΆπΏ = π
πΏπΆπΏ = π β 3π (1βπ )
π
Grafik-p berdasarkan 3 sigma adalah berdasarkan pendekatan normal dari distribusi aktual karakteristik proses. Ketika batas pengendali 3 sigma digunakan, peluang jatuhnya plot keluar dari garis batas pengendali ketika proses tersebut terkendali (peluang false alarm) adalah bernilai 0,0027[2].
14
II
Sidang Tugas Akhir 29 Juni 2016 Jurusan Matematika
Peluang Resiko False Alarm atas Reaksi Sinyal pada Grafik-p
22
Jika menggunakan batas 3 sigma, peluang
bahwa sinyal seperti ini tidak benar
adalah 0,0027
Salah jenis I pada grafik-p adalah peluang sebuah proses sebenarnya terkendali, tetapi sinyal tak terkendali muncul, artinya peluang π tidak jatuh antara batas UCL dan LCL grafik-p, ilustrasi dapat dilihat pada gambar 2.1. Peluang salah jenis I dilambangkan dengan πΌ, dimana nilai ketetapan πΌ untuk standart Amerika adalah 0,0027[1].
Gambar 2.1 Grafik Pengendali
dengan peluang salah jenis I
Sidang Tugas Akhir 29 Juni 2016 Jurusan Matematika
Peluang Resiko False Alarm atas Reaksi Sinyal pada Grafik-p
23
Pergeseran rata-rata
proses
Salah jenis II adalah peluang suatu proses sebenarnya tidak dalam keadaan terkendali, tetapi grafik pengendali tidak memberikan sinyalnya, ilustrasi dapat dilihat pada gambar 2.2. Pergeseran rata-rata proses. Besarnya peluang harus dihitung untuk setiap plot.
Gambar 2.2 Grafik Pengendali
dengan peluang salah jenis II
Sidang Tugas Akhir 29 Juni 2016 Jurusan Matematika
Ekspansi Cornish-Fisher
Ekspansi Cornish-Fisher adalah sifat asimtotik yang digunakan untuk pendekatan normal kuantil dari beberapa distribusi, diberikan kuantil dari distribusi normal standart dan ππ’ππ’ππππ‘ distribusi.
Prinsip dasar dari ekspansi Cornish-Fisher adalah ketika momen dari distribusi terdefinisi, maka kuantil dari distribusi tersebut dapat dianggap sebagai pendekatan kuantil dari distribusi sebenarnya.
Pada kasus ekspansi Cornish-Fisher, kuantil dari distribusi dinyatakan sebagai sifat asimtotik yaitu fungsi kuantil yang sesuai dari distribusi standart normal.
Ekspansi Cornish-Fisher digunakan untuk mengembangkan pendekatan normal. Bentuk dari ekspansi adalah fungsi polinomial dari kuantil dari distribusi standart normal, dan koefisien adalah fungsi dari momen atau cumulant yang ditunjukkan pada persamaan (2.1).
π₯π = π +1
2π2 + 1 π§πΌ +
1
6π§πΌ
2 β 1 π 3 +1
24π§πΌ
3 β 3π§πΌ π 4 β1
36(2π§πΌ
3 β 5π§πΌ) π 32
Persamaan (2.1) adalah versi ekspansi yang terpotong. π§πΌ adalah kuantil πΌ dari
distribusi standart normal, π 3 dan π 4 adalah cumulant ketiga dan keempat dari distribusi, π adalah standart deviasi, π adalah rata-rata, dan π₯π adalah pendekatan dari kuantil πΌ.
15
(2.1)
Sidang Tugas Akhir 29 Juni 2016 Jurusan Matematika
METODE PENELITIAN 25
PENDAHULUAN
TINJAUAN PUSTAKA
METODOLOGI PENELITIAN
HASIL DAN PEMBAHASAN
KESIMPULAN DAN SARAN
Mulai
Studi Literatur
Pengumpulan Data
Pembahasan dan Penyelesaian Masalah:
1. Menentukan distribusi pada grafik-p, momen, dan dan cumulant
distribusi pada grafik-p berdasarkan 3 sigma.
2. Mendeskripsikan grafik-p berdasarkan batas 3 sigma. 3. Mendefinisikan dan mengidentifikasi kelemahan grafik-p
berdasarkan 3 sigma.
4. Mengkaji model batas kontrol grafik-p menggunakan metode
ekspansi Cornish-Fisher dengan satu dan dua koreksi.
5. Menerapkan model batas kontrol grafik-p berdasarkan 3 sigma
dengan contoh data.
6. Mengaplikasikan contoh ke dalam software Minitab dan Matlab.
Melakukan Studi Kasus atau
Implementasi Data
Menarik Simpulan dan Saran
Penyusunan Laporan Tugas Akhir
Sidang Tugas Akhir 29 Juni 2016 Jurusan Matematika
HASIL DAN PEMBAHASAN 26
PENDAHULUAN
TINJAUAN PUSTAKA
METODOLOGI PENELITIAN
HASIL DAN PEMBAHASAN
KESIMPULAN DAN SARAN
Mean dan Variansi Distribusi Binomial
Momen dan Cumulant Distribusi
Binomial
Batas Pengendali Grafik-p
Berdasarkan 3 Sigma
Kendala Grafik-p Berdasarkan
Batas 3 Sigma
Modifikasi Batas Grafik-p dengan Koreksi Ekspansi
Cornish-Fisher
Contoh Penerapan Batas
Grafik-p Berdasarkan Koreksi Ekspansi Cornish-
Fisher
Sidang Tugas Akhir 29 Juni 2016 Jurusan Matematika
Mean dan Variansi Distribusi Binomial
27
Pandang suatu proses yang terdiri dari sederetan π percobaan yang independen, dengan hasil setiap percobaan dapat berbentuk βsuksesβ atau βgagalβ. Percobaan semacam ini dinamakan percobaan Bernoulli. Apabila percobaan sukses (π₯ = 1) memiliki probabilitas sukses π dan apabila percobaan gagal (π₯ = 0) dengan probabilitas gagal π = 1 β π, maka fungsi peluang π adalah
π π = π ; π = 11 β π ; π = 0
Pada percobaan Bernoulli, dilakukan perulangan percobaan acak yaitu misalnya percobaan πΌ yang dilakukan sebanyak π kali, sehingga dapat ditulis πΌ1, πΌ2, β¦ , πΌπ, dimana pengulangan tersebut bersifat independen dan peluang sukses bernilai sama untuk setiap pengulangan, disebut juga distribusi binomial. Oleh karena itu, percobaan yang dilakukan sebanyak π kali dengan nilai peluang sukses yang sama dapat ditulis dengan π = πΌ1 + πΌ2 + β― .+πΌπ.
Nilai mean dari setiap πΌπ percobaan adalah π = πΈ π = π₯ππ(π
π=1 π₯π)
ππΌπ = πΈ πΌπ
= πΌππ(1π=0 πΌπ)
πΈ πΌπ = 0. π 0 + 1. π 1 = 0 1 β π + 1 π = π
Nilai mean untuk π distribusi binomial adalah ππ = πΈ πΌπ
ππ=1
= πΈ πΌ1 + πΈ πΌ2 + β―+ πΈ(πΌπ) = π + π + β―+ π
π suku
= ππ
Sidang Tugas Akhir 29 Juni 2016 Jurusan Matematika
Mean dan Variansi Distribusi Binomial
28
Variansi untuk setiap πΌπ percobaan adalah π2 = πΈ π β π 2
ππΌπ2 = πΈ π β ππΌπ
2
= πΈ πΌ2π
1π=0 π(πΌπ) β π2
πΌπ
= 0 2π + 1 2π β π2 = π(1 β π) = ππ
Variansi π distribusi binomial adalah
ππ2 = ππΌπ
2ππ=1
= ππΌ12 + ππΌ2
2 + β―+ ππΌπ2
= ππ + ππ + β―+ ππ
π suku = πππ
Sidang Tugas Akhir 29 Juni 2016 Jurusan Matematika
Momen dan Cumulant Distribusi Binomial
29
1. Momen di Sekitar Titik Asal (Momen ke-π di Sekitar 0) Berdasarkan definisi (2.1), maka momen ke-π di sekitar 0 untuk 4 nilai π adalah
ππβ² = πΈ ππ
π1β² = πΈ π1
π2β² = πΈ π2
π3β² = πΈ π3
π4β² = πΈ π4
Nilai dari πΈ ππ dapat diperoleh melalui besaran lainnya, yang dinamakan MGF. Momen di sekitar 0 bisa diperoleh dengan menggunakan penurunan momen berdasarkan MGF. Jika π adalah variabel acak binomial, maka PDF dari variabel acak π Binomial adalah
π π₯ =ππ₯
ππ₯π πβπ₯ , π₯ = 0,1,2,β¦ , π
Sehingga, diperoleh MGF distribusi Binomial adalah ππ₯ π‘ = πΈ ππ‘π
= ππ‘πππ ππππ=0
= ππ‘π₯ ππ₯
ππ₯π πβπ₯ππ₯=0
= πππ‘ + π π Momen di sekitar titik asal memiliki π‘ = 0, dapat ditulis ππ
β² = ππ₯π(π‘)π‘=0 dengan π = 1,2,3,β¦ Berikut adalah beberapa momen ke-π di sekitar
titik asal: ππ
β² = πΈ ππ = ππ₯
π(π‘)π‘=0
=ππ
ππ‘πππ₯ π‘
π1β² = πΈ π = ππ
π2β² = πΈ π2 = π2π2 + ππ(1 β π)
π3β² = πΈ π3 = ππ 1 β π 1 β 2π + 3π2π2 1 β π + π3π3
π4β² = πΈ π4 = ππ 1 β π 1 β 6π + 6π2 + 6π2π2 1 β π 1 β 2π + ππ + π2π2(1 β π2 + π2π2)
Sidang Tugas Akhir 29 Juni 2016 Jurusan Matematika
Momen dan Cumulant Distribusi Binomial
30
2. Momen di Sekitar Rata-rata (Momen Tengah) Berikut adalah persamaan momen sekitar rata-rata
πβ = πΈ π β π β
= πΈ βπ
βπ=0 ππ βπ ββπ
= βπ
βπ=0 βπ ββπ ππ
β²
π1 =np
π2 = 2π
2
π=0
βπ 2βπ ππβ²
= ππ 1 β π
π3 = 3π
3
π=0
βπ 3βπ ππβ²
= ππ 1 β π 1 β 2π
π4 = 4π
4
π=0
βπ 4βπ ππβ²
= ππ 1 β π 1 β 6π 1 β π + 3π2π2(1 β π)2
Sidang Tugas Akhir 29 Juni 2016 Jurusan Matematika
Momen dan Cumulant Distribusi Binomial
31
3. Cumulant
Cumulant diperoleh dari fungsi pembangkit cumulant, dengan momen tengah yang telah distandarisasi[1], diperoleh:
π 1 =πΈ π β π 1
π1
=ππ
ππ 1 β π
π 2 =πΈ π β π 2
π2
= 1
π 3 =πΈ π β π 3
π3
=1 β 2π
ππ 1 β π
π 4 =πΈ π β π 4
π4β 3 π 2
2
=1 β 6π + 6π2
ππ 1 β π
Sidang Tugas Akhir 29 Juni 2016 Jurusan Matematika
Batas Pengendali Grafik-p Berdasarkan 3 Sigma
32
Apabila sampel random dengan π unit produk dipilih, dan π· adalah banyak unit produk yang tidak sesuai, maka π· berdistribusi binomial dengan parameter π dan π, yaitu
π π· = π₯ =ππ₯
ππ₯π πβπ₯ , π₯ = 0,1,2, β¦ , π
Nilai mean atau rata-rata dari distribusi binomial adalah ππ dan variansi ππ(1 β π) Misalkan π adalah jumlah cacat produk dari π unit produk, maka dengan asumsi terkontrol, π menjadi
variabel acak binomial dengan parameter π dan π. Jika π =π
π adalah fraksi dari subgrup yang cacat, mean dan
variansi dari π adalah,
πΈ π = πΈπ
π
=1
ππΈ π
=ππ
π
= π Jika mean π adalah ππ dan variansinya adalah π2
π, maka model umum batas grafik pengendali berdasarkan 3 sigma adalah sebagai berikut: ππΆπΏ = ππ + ππΌππ
= π + 3π 1βπ
π
πΆπΏ = ππ = π πΏπΆπΏ = ππ β ππΌππ
= π β 3π 1βπ
π
Sidang Tugas Akhir 29 Juni 2016 Jurusan Matematika
Kendala Grafik-p Berdasarkan Batas 3 Sigma
33
Grafik-p berdasarkan 3 sigma adalah grafik pengendali yang berdasarkan pendekatan normal. Ketika nilai π kecil dan ukuran sampel tidak terlalu besar, peluang false alarm menjadi sangat tinggi. Untuk menghitung nilai peluang false alarm adalah sebagai berikut,
π πΉπππ π πππππ = 1 β π(πΏπΆπΏ β€ π β€ ππΆπΏ)
dengan asumsi π berdasarkan distribusi binomial dengan parameter n dan p.
Sidang Tugas Akhir 29 Juni 2016 Jurusan Matematika
Modifikasi Batas Grafik-p Berdasarkan Koreksi Ekspansi Cornish-Fisher
34
Sistematika pendekatan untuk pengembangan akurasi peluang dari grafik-p terdiri dalam menentukan koreksi dengan ekspansi Cornish-Fisher. Ekspansi Cornish-Fisher adalah persamaan untuk pendekatan kuantil dari variabel acak yang berdasarkan cumulant dari distribusi.
Diketahui bahwa grafik-p adalah berdasarkan distribusi binomial dan apabila π di luar nilai tabel dan nilai π sangat kecil, maka distribusi binomial dapat didekati oleh distribusi normal. Bukti bahwa distribusi binomial bisa didekatkan dengan distribusi normal dapat diketahui melalui rumus MGF.
PDF distribusi binomial adalah π~π΅ π, π π π₯ =ππ₯
ππ₯1 β π πβπ₯ ; dengan π₯ = 0,1,2, β¦ , π. Sehingga MGF dari
distribusi binomial adalah ππ₯ππ‘ = πππ‘ + π π. Jika π =
π
π, maka MGF dari π adalah,
ππ π‘ = ππ
π
π‘
= ππ₯π‘
π
= πππ‘π + π
π
Rata-rata dari π adalah πΈ π = π dan variansi dari π adalah π2π =
π 1βπ
π. Dengan menggunakan hampiran normal yaitu
π =π₯βπ
π, maka nilai statistik π baru jika π =
π
π adalah,
π =πβπΈ π₯
πππ π₯
=π
πβπ
π 1βπ
π
Sidang Tugas Akhir 29 Juni 2016 Jurusan Matematika
Modifikasi Batas Grafik-p Berdasarkan Koreksi Ekspansi Cornish-Fisher
35
Persamaan MGF dari statistik π baru jika π =π
π adalah,
ππ π‘ = πΈ ππ‘π
= πΈ ππ₯π π‘π
πβπ
ππ 1βπ
π
= π
βπ‘π
π 1βππ . ππ
π‘
ππ 1 β π
π
= 1 +π‘2
2π+
π‘3 π β π
6 π(1 β π)+ β―
π
Limπββ
ππ π‘ = limπββ
1 +π‘2
2π+
π‘3 π β π
6 π(1 β π)+ β―
π
= limπββ
1 +π‘2
2π
π
= ππ‘2
2
Sidang Tugas Akhir 29 Juni 2016 Jurusan Matematika
Modifikasi Batas Grafik-p Berdasarkan Koreksi Ekspansi Cornish-Fisher
36
Grafik-p dengan Satu Koreksi Koreksi pertama pada ekspansi asimtotik Cornish-Fisher adalah koreksi untuk kemiringan distribusi pada grafik-p. Jika π adalah variabel acak distribusi binomial dengan ukuran sampel π dan parameter π, maka π =
π
π adalah proporsi distribusi binomial dengan nilai π = πΈ π = π dan momen tengah dari π yaitu
π2 = πππ π =π(1βπ)
π. π§πΌ dilambangkan sebagai kuantil ke-πΌ dari distribusi normal standart, sehingga
untuk mengaplikasikan pada grafik-p, teorema ekspansi Cornish-Fisher untuk satu koreksi untuk kuantil ke-πΌ dari distribusi π adalah[7]
π₯π 1 = π +1
2π2 + 1 π§πΌ +
1
6π§πΌ
2 β 1 π 3
Karena πΌ berdasarkan distribusi normal standart, maka akan digunakan transformasi Z untuk pendekatan normal dengan π~π 0,1 sehingga,
π₯π 1 = 0 +1
21 + 1 π§πΌ +
1
6π§πΌ
2 β 1 π 3
ππΌ β π₯π(1)
ππΌ β π§πΌ +1
6π§πΌ
2 β 1 π 3
ππΌ adalah rumus transformasi Z yaitu
π =π₯βπ
π
dengan, π₯: satu koreksi untuk kuantil ke-πΌ (ππΌ(1)) π: momen tengah dari π π: standart deviasi dari π
Sidang Tugas Akhir 29 Juni 2016 Jurusan Matematika
Modifikasi Batas Grafik-p Berdasarkan Koreksi Ekspansi Cornish-Fisher
37
Sehingga, π =ππΌ(1)βπ
π(1βπ)
π
ππΆπΏ1 β ππΌ 1 πΏπΆπΏ1 β ππΌ 1 ππΌ 1 βπ
π(1βπ)
π
β π§πΌ +1
6π§πΌ
2 β 1 π 3
ππΌ 1 βπ
π 1βπ
π
β π§πΌ +1
6π§πΌ
2 β 11β2π
ππ 1βπ
ππΌ 1 β π + π§πΌπ 1βπ
π+
1
6ππ§πΌ
2 β 1 1 β 2π
Sidang Tugas Akhir 29 Juni 2016 Jurusan Matematika
Modifikasi Batas Grafik-p Berdasarkan Koreksi Ekspansi Cornish-Fisher
38
Karena πΌ = 0,0027 sehingga nilai resiko π§0,0027 = Β±3
1. Untuk UCL dengan batas satu koreksi berdasarkan ekspansi Cornish-Fisher disimbolkan ππΆπΏ1 = π0,0027 1
ππΌ 1 β π + 3π 1 β π
π+
1
6π32 β 1 1 β 2π
ππΆπΏ1 = π + 3π 1 β π
π+
4
3π1 β 2π
2. Untuk LCL dengan batas satu koreksi berdasarkan ekspansi Cornish-Fisher disimbolkan πΏπΆπΏ1 = π0,0027 1
ππΌ 1 β π β 3π 1 β π
π+
1
6πβ3 2 β 1 1 β 2π
πΏπΆπΏ1 = π β 3π 1 β π
π+
4
3π1 β 2π
Sidang Tugas Akhir 29 Juni 2016 Jurusan Matematika
Modifikasi Batas Grafik-p Berdasarkan Koreksi Ekspansi Cornish-Fisher
39
Grafik-p dengan Dua Koreksi Koreksi kedua pada ekspansi asimtotik Cornish-Fisher adalah koreksi untuk kemiringan dan kurtosis distribusi pada grafik-p. Teorema ekspansi Cornish-Fisher untuk satu koreksi untuk kuantil ke-πΌ dari distribusi π adalah,
π₯π(2) = π +1
2π2 + 1 π§πΌ +
1
6π§πΌ
2 β 1 π 3 +1
24π§πΌ
3 β 3π§πΌ π 4 β1
36(2π§πΌ
3 β 5π§πΌ) π 32
Karena πΌ berdasarkan distribusi normal standart, maka akan digunakan transformasi Z untuk pendekatan normal dengan π~π 0,1 sehingga,
π₯π(2) = 0 +1
21 + 1 π§πΌ +
1
6π§πΌ
2 β 1 π 3 +1
24π§πΌ
3 β 3π§πΌ π 4 β1
36(2π§πΌ
3 β 5π§πΌ) π 32
ππΌ β π₯π(2)
ππΌ β π§πΌ +1
6π§πΌ
2 β 1 π 3 +1
24π§πΌ
3 β 3π§πΌ π 4 β1
36(2π§πΌ
3 β 5π§πΌ) π 32
ππΌ adalah rumus transformasi Z yaitu
π =π₯ β π
π
π =ππΌ(2) β π
π(1 β π)π
ππΆπΏ2 β ππΌ 2 πΏπΆπΏ2 β ππΌ 2 ππΌ 2 βπ
π(1βπ)
π
β π§πΌ +1
6π§πΌ
2 β 1 π 3 +1
24π§πΌ
3 β 3π§πΌ π 4 β1
362π§πΌ
3 β 5π§πΌ π 32
ππΌ 2 β ππΌ 1 +1
24π2π§πΌ
3 β 3π§πΌ
1 β 6π + 6π2
π 1 β ππ
β1
36π22π§πΌ
3 β 5π§πΌ
1 β 2π 2
π 1 β ππ
Sidang Tugas Akhir 29 Juni 2016 Jurusan Matematika
Modifikasi Batas Grafik-p Berdasarkan Koreksi Ekspansi Cornish-Fisher
40
Karena πΌ = 0,0027 sehingga nilai resiko π§0,0027 = Β±3 1. Untuk UCL dengan batas dua koreksi berdasarkan ekspansi Cornish-Fisher disimbolkanππΆπΏ2 =
π0,0027 2
ππΌ 2 β π + 3π 1 β π
π+
4
3π1 β 2π +
1
24π233 β 3(3)
1 β 6π + 6π2
π 1 β ππ
β1
36π22(3)2β5(3)
1 β 2π 2
π 1 β ππ
ππΆπΏ2 = ππΆπΏ1 βπ 1 β π + 2
6π2 π 1 β ππ
2. Untuk LCL dengan batas dua koreksi berdasarkan ekspansi Cornish-Fisher disimbolkan πΏπΆπΏ2 = π0,0027 2
ππΌ 2 β π β 3π 1 β π
π+
4
3π1 β 2π +
1
24π233 β 3(3)
1 β 6π + 6π2
π 1 β ππ
β1
36π22(3)2β5(3)
1 β 2π 2
π 1 β ππ
πΏπΆπΏ2 = πΏπΆπΏ1 βπ 1 β π + 2
6π2 π 1 β ππ
Sidang Tugas Akhir 29 Juni 2016 Jurusan Matematika
Contoh Penerapan Modifikasi Batas Grafik-p
41
Misalkan cacat produk rem tangan kendaraan dilambangkan π dimana π berdasarkan distribusi binomial. Ukuran sampel pada produk rem tangan dilambangkan π. Produksi rem tangan dilakukan sebanyak π kali. Oleh karena itu proporsi cacat dirumuskan
π = ππ
150π=1
π. Diketahui dari data bahwa
ππ150π=1 = 45
π = 20 π = 150
π =π
π
=45
3000
= 0,015
Nilai proporsi pada produk rem tangan kendaran yang cacat adalah 0,015. Sehingga, jika dimasukkan pada rumus batas grafik-p yang berdasarkan 3 sigma, maka
ππΆπΏ = π + 3π 1βπ
π
= 0,015 + 30,015 1 β 0,015
20
= 0,096539867 πΆπΏ = π
= 0,015
πΏπΆπΏ = π β 3π 1βπ
π
= 0,015 β 30,015 1 β 0,015
20
= β0,066539865 π πΉπππ π πππππ = 1 β π πΏπΆπΏ β€ π β€ ππΆπΏ
= 1 β π(β0,066539865 β€ π β€ 0,096539867) = 1 β 0,964254 = 0,035746
Sidang Tugas Akhir 29 Juni 2016 Jurusan Matematika
Contoh Penerapan Modifikasi Batas Grafik-p
42
Berikut perhitungan batas grafik-p baru dengan menggunakan satu koreksi ekspansi Cornish-Fisher,
ππΆπΏ1 = ππΆπΏ +4
3π1 β 2π
= 0,096539867 +4
3 201 β 2 0,015
= 0,161206533
πΏπΆπΏ1 = πΏπΆπΏ +4
3π1 β 2π
= β0,066539865 +4
3 201 β 2 0,015
= β0,001873205 π πΉπππ π πππππ = 1 β π πΏπΆπΏ1 β€ π β€ ππΆπΏ1
= 1 β π(β0,001873205 β€ π β€ 0,161206533) = 1 β 0,999798 = 0,000202
Berikut perhitungan batas grafik-p baru dengan menggunakan dua koreksi ekspansi Cornish-Fisher,
ππΆπΏ2 = ππΆπΏ1 βπ 1βπ +2
6π2 π 1βπ
π
= 0,161206533 β0,015 1 β 0,015 + 2
6(20)2 0,015 1 β 0,01520
= 0,130320183
πΏπΆπΏ2 = πΏπΆπΏ1 βπ 1βπ +2
6π2 π 1βπ
π
= β0,001873205 β0,015 1β0,015 +2
6(20)20,015 1β0,015
20
= β0,032759554 π πΉπππ π πππππ = 1 β π πΏπΆπΏ2 β€ π β€ ππΆπΏ2
= 1 β π(β0,032759554 β€ π β€ 0,130320183) = 1 β 0,996822 = 0,003178
Sidang Tugas Akhir 29 Juni 2016 Jurusan Matematika
SIMULASI 43
Gambar 4.1 Grafik-p
Berdasarkan Batas 3 Sigma
Gambar 4.2 Perbandingan Garis
Batas pada Grafik-p
Dapat dilihat dari perhitungan peluang false alarm, batas grafik-p dengan peluang false alarm yang terkecil memiliki tingkat akurasi yang tinggi. Plot-plot proporsi produk cacat dengan rumus batas yang berdasarkan 3 sigma yang awalnya ada yang keluar garis batas, tetapi saat plot-plot proporsi produk cacat tersebut di implementasikan pada rumus ekspansi Cornish-Fisher, plot-plot yang awalnya keluar garis batas menjadi berada dalam batas pengendali.
Sidang Tugas Akhir 29 Juni 2016 Jurusan Matematika
KESIMPULAN 44
Berdasarkan keseluruhan hasil analisa dan pembahasan yang telah dilakukan, dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut: Penerapan ekspansi Cornish-Fisher dengan satu koreksi adalah dengan
menerapkan koreksi kemiringan distribusi binomial pada ekspansi Cornish-Fisher, sehingga menghasilkan persamaan baru pada batas pengendali grafik-p yaitu
ππΆπΏ1 = π + 3π 1βπ
π+
4
3π1 β 2π
πΏπΆπΏ1 = π β 3π 1βπ
π+
4
3π1 β 2π
Penerapan ekspansi Cornish-Fisher dengan dua koreksi adalah dengan menerapkan koreksi kurtosis distribusi binomial pada ekspansi Cornish-Fisher, sehingga menghasilkan persamaan baru pada batas pengendali grafik-p yaitu
ππΆπΏ2 = ππΆπΏ1 βπ 1βπ +2
6π2 π 1βπ
π
πΏπΆπΏ2 = πΏπΆπΏ1 βπ 1βπ +2
6π2 π 1βπ
π
Berdasarkan contoh penerapan pada data cacat produk rem tangan kendaraan, batas pengendali grafik-p yang baru yaitu dengan koreksi ekspansi Cornish-Fisher dapat memperkecil peluang ππππ π πππππ , sehingga tingkat akurasi semakin tinggi.
PENDAHULUAN
TINJAUAN PUSTAKA
METODOLOGI PENELITIAN
HASIL DAN PEMBAHASAN
KESIMPULAN DAN SARAN
Sidang Tugas Akhir 29 Juni 2016 Jurusan Matematika
SARAN 45
Berdasarkan hasil analisis, pembahasan, dan kesimpulan yang telah dilakukan, saran untuk tugas akhir ini adalah jauh lebih baik jika dilakukan koreksi yang lebih dari dua koreksi agar lebih banyak perbandingan dan bisa memilih batas pengendali yang lebih tinggi tingkat akurasinya untuk mengendalikan tingkat cacat produk yang rendah.
PENDAHULUAN
TINJAUAN PUSTAKA
METODOLOGI PENELITIAN
HASIL DAN PEMBAHASAN
KESIMPULAN DAN SARAN
Sidang Tugas Akhir 29 Juni 2016 Jurusan Matematika
DAFTAR PUSTAKA 46
[1] Joekes, Silvia and Barbosa, Emanuel Pimentel (2013). An Improved Attribute Control Chart for Monitoring Non-Conforming Proportion in High Quality Processes . Control Engineering Practice, Vol. 21, 407-412.
[2] Xie, M., Goh, T. N.& Kuralmani, V.(2002). Statistical Models and Control Charts for High Quality Processes. Massachusetts: Kluwer Academic Publication.
[3] Lefebvre, M.(2006).Applied Probability and Statistics. New York:Springer. [4] Montgeomery, Douglas C. 1993. Pengantar Pengendalian Kualitas Statistik.
Yogyakarta: Gadjah Mada University Press. Hal.119-160. [5] Cornish, E. A.; Fisher, Ronald A. (1938). Moments and Cumulants in the
Specification of Distributions. International Statistical Institute, 5 (4):307-320.
[6] Walpole, E.R. 1992. Pengantar Statistika Edisi ke-3. Jakarta: PT. Gramedia Pustaka Utama.
[7] Winterbottom, A. (1993). Simple Adjustments to Improve Control Limits on Attribute Charts. Quality and Reliability Engineering International, Vol. 9 No. 2, 105β109.
[8] Bluman, A.G. (2012). Elementary Statistics: A Step by Sttep Approach. Eighth Edition. New York: McGraw-Hill.
Sidang Tugas Akhir 29 Juni 2016 Jurusan Matematika
47
TERIMA KASIH
Sidang Tugas Akhir 29 Juni 2016 Jurusan Matematika