PENGAYAAN MATEMATIKA KURTILAS SMA SOLUSI GEOMETRI · 5 | jejakseribupena.com, Pengayaan Geometri,...

1 | jejakseribupena.com, Pengayaan Geometri, 2018

PENGAYAAN MATEMATIKA KURTILAS SMA

SOLUSI GEOMETRI

1. COMC, 2000

Solusi:

2sin 6sin4 16 2x x

22 4sin 6sin2 2 2x x

22 4sin 6sin2 2x x 22 4sin 6sinx x

22sin 3sin 1 0x x

2sin 1 sin 1 0x x

1sin atau sin 1

2x x

Jadi, 5

, ,atau6 6 2

x x x

2. COMC, 2000

Solusi:

Karena ABC sama sisi, maka sudutnya adalah 60 .

O adalah titik pusat lingkaran dalam dengan jari-jari 1OP ,

sehingga OB bertindak sebagai garis bagi sudut B.

13

1tan 303

3

OPBP

2 2 3AB BP

tan 60 3 3 3CP BP

3AE BD CP

2

22 3 3 21BE

Jadi, diameter lingkaran terbesar adalah 21 .

A B

C

P

O 30

A B

D E

2 3

3


3. COMC, 2000

Solusi:

(a) Koordinat titik B adalah 0, 2 .

Gradien garis RB : 2 0 2

0 9 9RBm

Persamaan garis RB: 2

29

y x

(b) Koordinat titik P adalah 3,0 .

Gradien garis PC : 6 0

20 3

PCm

Persamaan garis PC: 2 6y x

(c) Koordinat titik X adalah perpotongan garis 2

29

RB y x dan 2 6PC y x .

2

2 2 69

x x

164

9x

9

4x

9 32 6

4 2y

Koordinat titik X adalah9 3

,4 2

Gradien garis QC : 6 0

10 6

QCm

Persamaan garis QC: 6y x

Gradien garis SB : 4 0 4

0 9 9SBm

Persamaan garis SB: 4

49

y x

Koordinat titik Y adalah perpotongan garis 6QC y x dan 4

49

SB y x .

4

4 69

x x

52

9x

18

5x

X

Q x

y

9,0B

Y

P

0,6C

0,0A

S

R


18 126

5 5y

Koordinat titik Y adalah 18 12

,5 5

.

Persamaan garis yang melalui titik-titik 0,0 dan 9 3

,4 2

adalah 2

3y x .

Titik 18 12

,5 5

Y

harus dilalui garis 2

3y x , sehingga

12 2 18

5 3 5 (pernyataan yang bernilai benar)

Jadi, terbukti bahwa titik-titik A, X, dan Y terletak pada sebuah garis.

4. COMC, 2000

Solusi:

(a) Misalnya AFE BFD x , BDF CDE y , dan

CED AEF z .

180ACB y z

180ABC x y

180 180 180 180BAC y z x y x z

2 180 180BAC x y z x z

2 2 2 360x y z

180x y z

180y x z BAC

Jadi, BDF BAC (QED)

(b) Dari butir (a) diperoleh , ,danA y B z C x

Dengan sudut-sudut yang sama diperoleh bahwa

ABC DBF DEC AEF , sehingga

5

8

BD BA

BF BC ,

7

8

CD CA

CE CB ,

5

7

AE AB

AF AC

Misalnya 5 dan 8BD k BF k , 7 dan 8CD l CE l , 5 dan 7AE m AF m .

7 8 5m k .... (1)

5 7 8k l .... (2)

5 8 7m l .... (3)

8 Persamaan (2) – 7 Persamaan (3) menghasilkan

40 35 15k m .... (4)

5 Persamaan (1) + Persamaan (4) menghasilkan

80 40k

A

F

E

B D C

x z

x

y y

z

A

F

E

B D C

x z

x

y y

z

x z

y 7m 5m

8k

5k

m

7l

8l


1

2k

Jadi, panjang 5

52

BD k .

5. COMC, 2001

Solusi:

180 3 4 180 7DCE x x x

180 2 6 180 8DEC x x x

180 7 180 8 5 180DCE DEC CDE x x x 10 180x

18x

6. COMC, 2001

Solusi:

Titik P dan Q terletak pada sisi-sisi segi enam

beraturan.

Jarak maksimum ruas garis PQ adalah 2.

7. COMC, 2001

Solusi:

Menurut Pythagoras:

2 214 48 2500 50PR 50

252

PM MR MQ

Karena PMQ sama kaki, dengan PM MQ , maka

P

Q R

M

25

25 14

48

A B

C

D E

F

1

1

1

2

1

1 3


MQP MPQ 14 7

cos cos50 25

MQP MPQ

8. COMC, 2001

Solusi:

(a) Koordinat titik potong garis 2x

dan 1y adalah 2,1 .

Koordinat titik potong garis 2x

dan 2 12x y adalah 2,5 .

Koordinat titik potong garis 1y

dan 2 12x y adalah 10,1 .

(b) Garis 8x y memotong garis 1y

di titik 7,1 .

Garis 8x y memotong garis 2x di titik 2,6 .

Garis 8x y memotong garis 2 12x y di titik 4, 4 .

(c) Luas segi empat Q Luasdaerah LuasdaerahT R 1 1 9 23

5 1 10 2 10 7 3 162 2 2 2

9. COMC, 2001

6

1y

X

Y

12O

2 12x y

2x

2,5

2,1 10,1

6

1y

X

Y

12O

2 12x y

2x

2,5

2,1 10,1

2,6

7,1

4, 4

Q R


Solusi 1:

Misalnya ABP BCP dan PCA .

Karena ABC sama kaki, maka CBD .

Dalam APC siku-siku di P, 90CAP .

2BDA (sudut luar dari BDC ).

Dalam BPC , 180BPC , sehingga

360 180 90 90APB .

Misalnya AP k .

Dalam APC , sin5

k atau 5sink .... (1) 2

Menurut aturan Sinus dalam ABP ,

sin sin

AB AP

APB ABP

5

sin 90 sin

k

5

cos sin

k

5

cos sin

k

ABC

5

3 sin

5

k

25

sin 3

k

.... (2)

Catatan:

Karena ABC sama kaki, 5AB AC dan 6BC , maka 3

cos5

ABC dan 4

sin5

ABC .

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh

5sin 25

sin 3

3sin 5sin

3sin 5sin ABC

3sin 5sin cos 5cos sinABC ABC

4 3

3sin 5 cos 5 sin5 5

3sin 4cos 3sin

6sin 4cos

2tan

3

Untuk menentukan perbandingan AD terhadap DC, kita menggunakan system koordinat Kartesis.

Misalnya titik B berkoordinat 0,0 dan titik C berkoordinat 6,0 . Selanjutnya, koordinat titik A

adalah 3, 4 .

A

B C

P

D

5

6

5

2

90

90

k


Gradien garis BD adalah 2

tan3

BDm , sehingga persamaan garisnya adalah 2

3y x .

Gradien garis AC adalah 0 4 4

6 3 3ACm

, sehingga persamaan garis AC adalah

46

3y x .

Untuk menemukan koordinat titik D dengan cara menentukan titik potong garis 2

3y x dan

4

63

y x .

2 4

63 3

x x

2 12x x 3 12x

4x 2 8

43 3

y

Koordinat titik D adalah 8

4,3

8 8 4 8: 4 : : 1: 2

3 3 3 3AD DC

Solusi 2: Menggunakan Sifat Kesebangunan

Tarik dari titik A ke sisi BC garis tegak lurus di M.

Karena ABC sama kaki dengan 5AB AC , maka

3BM CM , sehingga 4AM .

Misalnya ABP BCP dan PCA .

Karena ABC sama kaki, maka CBD .

Lingkaran dengan diameter AC tepat melalui

Titik-titik P dan M , karena 90APC AMC .

Karena menghadap busur PM yang sama, maka PAM PCM , sehingga

AMP .

Perhatikan MPA BPC , sehingga

4 2

6 3

PA MA

PC MC

2tan

3

PA

PC

Kita dapat menghitung panjang DC menggunakan aturan Sinus pada DBC

sin sin

DC BC

BDC

sin

sin 180

BCDC

DCB

6sin

sin DCB

6sin

sin cos cos sinDCB DCB

6

cos cot sinDCB DCB

6

3 3 4

5 2 5

60 60 10

6 12 18 3

A

B C

P

D

5

3

5

M 3


160 55

3 3AD

Jadi, 5 10

: : 1: 23 3

AD DC

10. COMC, 2002

Solusi:

Menurut Pythagoras:

2 213 5 169 25 144 12PF

2 212 9 144 81 225 15PQ

Jadi, keliling PQR 13 14 15 42

PENGAYAAN MATEMATIKA KURTILAS SMA SOLUSI GEOMETRI · 5 | jejakseribupena.com, Pengayaan Geometri,...

Documents

Transcript of PENGAYAAN MATEMATIKA KURTILAS SMA SOLUSI GEOMETRI · 5 | jejakseribupena.com, Pengayaan Geometri,...