Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah …Karena n 50 adalah cukup besar, maka kita dapat...

25
Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah-langkahnya 1. Andaikan 1 2 , ,..., n X X X adalah contoh acak dari populasi dengan fungsi kepekatan (; ) fx , dan parameter yang tidak diketahui nilainya. Andaikan T adalah penduga titik bagi . 2. Andaikan (; ) Y gT memiliki sebaran penarikan contoh ( sampling distribution) yang tidak bergantung pada . Y dinamakan besaran atau kuantitas pivotal. 3. Maka untuk besaran 1 tertentu, 0 1 , ada 1 y dan 2 y sedemikian rupa sehingga 1 2 ( ) 1 Py Y y 4. Selanjutnya pernyataan peluang di atas diubah menjadi pernyataan peluang yang setara 1 2 () () PLT LT 1 .

Transcript of Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah …Karena n 50 adalah cukup besar, maka kita dapat...

Page 1: Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah …Karena n 50 adalah cukup besar, maka kita dapat menggunakan hampiran normal. Untuk D 0.05, dari tabel normal diperoleh zz D 2 0.025 1.96.

Pendugaan Selang: Metode Pivotal

Langkah-langkahnya

1. Andaikan 1 2, ,..., nX X X adalah contoh

acak dari populasi dengan fungsi

kepekatan ( ; )f x , dan parameter

yang tidak diketahui nilainya.

Andaikan T adalah penduga titik bagi

.

2. Andaikan ( ; )Y g T memiliki sebaran

penarikan contoh (sampling distribution) yang tidak bergantung

pada . Y dinamakan besaran atau

kuantitas pivotal.

3. Maka untuk besaran 1 tertentu,

0 1 , ada 1y dan 2y sedemikian

rupa sehingga 1 2( ) 1P y Y y

4. Selanjutnya pernyataan peluang di atas

diubah menjadi pernyataan peluang

yang setara 1 2( ) ( )P L T L T

1 .

Page 2: Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah …Karena n 50 adalah cukup besar, maka kita dapat menggunakan hampiran normal. Untuk D 0.05, dari tabel normal diperoleh zz D 2 0.025 1.96.

5. Bila T diganti dengan nilainya

berdasarkan data contoh, maka akan

diperoleh pernyataan peluang

1 2( ) ( ) 1P l t l t dengan

tingkat kepercayaan sebesar 1 . Jadi,

selang kepercayaan 100(1 )% bagi

ialah 1 2( ), ( )l t l t .

Teladan 1.

Andaikan contoh acak 1 2, ,..., nX X X diambil

dari sebaran seragam (0, ).U Buat selang

kepercayaan 90% bagi dan tafsirkan. Jawab

Telah kita peroleh bahwa max iU X

Adalah PKM bagi . Statistik U mempunyai

fungsi kepekatan peluang 1

( ) , 0n

U n

nuf u u

Page 3: Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah …Karena n 50 adalah cukup besar, maka kita dapat menggunakan hampiran normal. Untuk D 0.05, dari tabel normal diperoleh zz D 2 0.025 1.96.

Karena ini bergantung pada parameter ,

maka U bukan unsur pivot. Selanjutnya, kita

lakukan transformasi U

Y

(untuk

menghilangkan ). Dengan menggunakan

metode Jacobian, maka diperoleh fkp bagi Y, yaitu

1( ) , 0 1n

Yf y ny y

Yang tidak bergantung pada . Jadi, U

Y

dapat dijadikan unsur pivot. Sekarang kita

cari a dan b sedemikian rupa sehingga

0.90

0.90

P a Y b

UP a b

Fungsi sebaran kumulatif bagi Y ialah

( ) n

YF y y , 0 1y . Kita ambil a dan b

sehingga

( ) 0.05YF a dan ( ) 0.95YF b

Maka

Page 4: Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah …Karena n 50 adalah cukup besar, maka kita dapat menggunakan hampiran normal. Untuk D 0.05, dari tabel normal diperoleh zz D 2 0.025 1.96.

0.05na dan 0.95nb

Sehingga

0.05na dan 0.95nb

Dengan demikian,

0.05 0.95 0.90n nUP

, atau

1 10.90

0.95 0.05n nP

U

, atau

0.900.95 0.05n n

U UP

Jadi, selang kepercayaan 90% bagi ialah

,0.95 0.05n n

U U

Hasil ini dapat ditasirkan sebagai berikut:

Bila penarikan contoh di atas dilakukan

berulang-ulang, misalnya 1000 kali, dan

untuk setiap contoh yang terambil dibuat

selang kepercayaan menurut rumus di atas, maka kira-kira 90% (atau 900) selang

Page 5: Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah …Karena n 50 adalah cukup besar, maka kita dapat menggunakan hampiran normal. Untuk D 0.05, dari tabel normal diperoleh zz D 2 0.025 1.96.

kepercayaan akan mencakup nilai yang

sebenarnya.

Selang Kepercayaan Contoh Besar:

Kasus Satu Contoh Bila ukuran contoh cukup besar, maka

menurut Teorema Limit Pusat statistik

tertentu memiliki sebaran penarikan contoh

yang menghampiri normal. Artinya, bila

adalah parameter yang tidak diketahui

(misalnya , p, 1 2 , 1 2p p ), maka

ˆ

ˆZ

Menghampiri sebaran normal baku. Bila

, 30n dianggap cukup besar. Bila

adalah parameter binom p, maka n

dipandang cukup besar bila np dan (1 )n p

keduanya lebih besar dari 5.

Prosedur untuk Menghitung Selang Kepercayaan Contoh Besar bagi

Page 6: Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah …Karena n 50 adalah cukup besar, maka kita dapat menggunakan hampiran normal. Untuk D 0.05, dari tabel normal diperoleh zz D 2 0.025 1.96.

1. Carilah penduga (misalnya PKM) bagi

, andaikan itu ̂ .

2. Tentukan galat bakunya, yaitu ̂

3. Lakukan transformasi ˆ

ˆZ

. Maka

Z menghampiri sebaran normal baku.

4. Dari tabel normal baku, carilah 2z

dan 2z .

5. Selang kepercayaan (1 )100%

hampiran bagi ialah

ˆ ˆ2 2ˆ ˆ,z z

6. Kesimpulan: Kita yakin (1 )100%

bahwa parameter sebenarnya ,

tercakup di dalam selang

ˆ ˆ2 2ˆ ˆ,z z .

Teladan.

Page 7: Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah …Karena n 50 adalah cukup besar, maka kita dapat menggunakan hampiran normal. Untuk D 0.05, dari tabel normal diperoleh zz D 2 0.025 1.96.

Andaikan , ˆ ,X dan contoh yang

diambil cukup besar ( 30)n , maka selang

kepercayaan (1 )100% bagi ialah

2 2,X z X zn n

Bila tidak diketahui, ˆ S . Sehingga

selang hampirannya ialah

2 2,S S

X z X zn n

Teladan

Dari dua kelas besar metode statistik diambil

contoh acak masing-masing 50 nilai UTS

dan hasilnya sebagai berikut:

1. Kelas 1: 1 177.01, 10.32x s

2. Kelas 2: 2 272.22, 11.02x s

Hitunglah selang kepercayaan 95% bagi

rataan nilai UTS sebenarnya untuk kedua

kelas itu.

Jawab

Page 8: Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah …Karena n 50 adalah cukup besar, maka kita dapat menggunakan hampiran normal. Untuk D 0.05, dari tabel normal diperoleh zz D 2 0.025 1.96.

Karena 50n adalah cukup besar, maka

kita dapat menggunakan hampiran normal.

Untuk 0.05 , dari tabel normal diperoleh

2 0.025 1.96z z . Jadi, selang kepercayaan

yang diminta ialah:

1. Kelas 1:

11 2

10.3277.01 1.96

50

sx z

n

Yang menghasilkan selang

kepercayaan 95% (74.149, 79.871).

2. Kelas 2:

11 2

11.0272.22 1.96

50

sx z

n

Yang menghasilkan selang

kepercayaan 95% (69.165, 75.275).

Teladan.

Limabelas mobil dipilih secara acak dan

diamati kecepatan mereka di jalan raya yang

kecepatannya dibatasi 70 mil per jam.

Page 9: Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah …Karena n 50 adalah cukup besar, maka kita dapat menggunakan hampiran normal. Untuk D 0.05, dari tabel normal diperoleh zz D 2 0.025 1.96.

Ternyata rata-rata kecepatan mereka 73.3

mil per jam. Andaikan berdasarkan

pengalaman dapat diasumsikan bahwa

kecepatan menyebar normal dengan simpangan baku 3.2 . Buat selang

kepercayaan 90% bagi rataan kecepatan

sebenarnya mobil-mobil yang melaju di

jalan raya itu.

Jawab

Karena diketahui populasinya normal

dengan simpangan baku 3.2 , maka

ukuran contoh tidak perlu besar. Karena

73.3x , 3.2 , 15n , dan 0.10 ,

maka 2 0.05 1.645z z . Sehingga selang

kepercayaan 90% bagi ialah

2 2

3.2 3.273.3 1.645 73.3 1.645

15 15

x z x zn n

Atau

Page 10: Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah …Karena n 50 adalah cukup besar, maka kita dapat menggunakan hampiran normal. Untuk D 0.05, dari tabel normal diperoleh zz D 2 0.025 1.96.

71.681 74.919

Jadi, kita percaya 90% bahwa kecepatan

rata-rata kendaraan yang melalui jalan raya

itu antara 71.681 dan 74.919 mil per jam.

Selang Kepercayaan untuk Proporsi

Perhatikan sebaran binom dengan parameter

p. Andaikan X adalah banyaknya

keberhasilan dalam n tindakan. Telah

diperoleh PKM bagi p ialah ˆX

pn

. Bila n

cukup besar, dapat diperlihatkan bahwa

2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ(1 ) (1 )ˆ ˆ 1

p p p pP p z p p z

n n

Sehingga selang kepercayaan (1 )100%

bagi parameter p ialah

2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ(1 (1ˆ ˆ,

p p p pp z p z

n n

Page 11: Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah …Karena n 50 adalah cukup besar, maka kita dapat menggunakan hampiran normal. Untuk D 0.05, dari tabel normal diperoleh zz D 2 0.025 1.96.

Pertanyaan yang relevan ialah “Bagaimana

kita tahu bahwa ukuran contoh sudah

mencukupi untuk menggunakan hampiran

normal?” Ada yang menyarankan agar np

dan (1 )n p harus lebih besar dari 10. Ada

lagi yang menyarankan ˆ ˆ(1 )

ˆ 2p p

pn

tercakup di dalam selang (0, 1). Yang lain

lagi menyarankan agar (1 ) 10np p dan ada

pula yang menyarankan np dan (1 )n p

keduanya lebih besar dari 5.

Teladan.

Sebuah perusahaan elektronik memberikan

jaminan 3 tahun bagi produk barunya. Dari

contoh acak 60 produk yang terjual, ternyata

20 membutuhkan layanan perbaikan selama

masa garansi. Dugalah proporsi sebenarnya

barang elektronik itu yang membutuhkan layanan perbaikan selama masa garansi

dengan tingkat kepercayaan 95%.

Page 12: Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah …Karena n 50 adalah cukup besar, maka kita dapat menggunakan hampiran normal. Untuk D 0.05, dari tabel normal diperoleh zz D 2 0.025 1.96.

Jawab

Margin of Error dan Ukuran Contoh

Di dalam hasil survei sering dilaporkan tentang besarnya margin of error. Besaran

ini tidak lain adalah setengah lebar selang

kepercayaan maksimum pada tingkat

kepercayaan 95% dinyatakan dalam

persentase.

Andaikan b adalah lebar selang kepercayaan

95% bagi parameter p. Andaikan ˆx

pn

adalah nilai dugaan bagi p dan x adalah banyaknya keberhasilan. Maka

Page 13: Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah …Karena n 50 adalah cukup besar, maka kita dapat menggunakan hampiran normal. Untuk D 0.05, dari tabel normal diperoleh zz D 2 0.025 1.96.

1 1

1.96 1.96

11

3.92 3.924

x x x x

x xn n n nb

n n n n

x x

n n

n n

Karena 1

ˆ ˆ1 (1 )4

x xp p

n n

Jadi, margin of error bagi proporsi dugaan

dinyatakan dalam persentase ialah 100 %d

dengan

13.92

max 1.964

2 2 2

b ndn

Tentu saja bila tingkat kepercayaannya

(1 ) diganti, bilangan 1.96 juga harus

diganti dengan 2z .

Jelas terlihat dari rumus di atas bahwa

semakin besar ukuran contoh n, semakin

Page 14: Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah …Karena n 50 adalah cukup besar, maka kita dapat menggunakan hampiran normal. Untuk D 0.05, dari tabel normal diperoleh zz D 2 0.025 1.96.

kecil margin of errornya. Akan tetapi, n

yang besar berimplikasi biaya survei

menjadi semakin mahal. Pertanyaannya

sekarang ialah berapa ukuran contoh harus diambil untuk mencapai margin of error

tertentu.

Selang kepercayaan (1 )100% bagi p untuk

contoh besar ialah

2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ(1 (1ˆ ˆ,

p p p pp z p z

n n

Maka

2

2

ˆ ˆ(1 )ˆ ˆ ˆ(1 )

zp pp p z p p

n n

Itu menunjukkan bahwa, dengan peluang

1 , nilai dugaan p̂ berada dalam jarak

2ˆ ˆ(1 )z p p n dari p. Karena

1ˆ ˆ(1 )

4p p ,

maka pertidaksamaan terakhir di atas dapat

ditulis menjadi

2 21ˆ

4 2

z zp p

n n

Page 15: Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah …Karena n 50 adalah cukup besar, maka kita dapat menggunakan hampiran normal. Untuk D 0.05, dari tabel normal diperoleh zz D 2 0.025 1.96.

Kalau kita ingin menduga p pada tingkat

kepercayaan 1 sehingga nilai dugaannya

berada dalam jarak d dari nilai parameter

sebenarnya, dengan kata lain p̂ p d ,

maka ukuran contohnya harus memenuhi

syarat

2

2

zd

n

atau

2

2

24

zn

d

Kalau kita memiliki nilai dugaan awal p̂

berdasarkan survei pendahuluan, misalnya,

maka kita dapat menggunakan rumus 2

2

2

ˆ ˆ(1 )z p pn

d

Dalam hal rumus-rumus di atas tidak

menghasilkan bilangan bulat, maka lakukan

pembulatan ke bilangan bulat berikutnya. Perhitungan serupa untuk ukuran contoh

untuk pendugaan rataan populasi pada

tingkat kepercayaan (1 ) dengan margin of

error E menghasilkan

Page 16: Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah …Karena n 50 adalah cukup besar, maka kita dapat menggunakan hampiran normal. Untuk D 0.05, dari tabel normal diperoleh zz D 2 0.025 1.96.

2 2

2

2

zn

E

Walaupun di dalam praktek ragam populasi 2 pada umumnya tidak diketahui, namun

mungkin saja itu dapat diduga dari

penelitian serupa yang mungkin pernah dilakukan sebelumnya atau dari penelitian

awal (pendahuluan).

Teladan

Sebuah lembaga penelitian akan melakukan

survei untuk menduga besarnya dukungan

terhadap kebijakan presiden dalam masalah ekonomi dengan margin of error 3% pada

tingkat kepercayaan 95%.

(a) Berapa responden yang harus

diwawancarai kalau tidak ada

informasi awal yang dapat

dimanfaatkan?

(b) Kalau ada informasi awal bahwa yang

mendukung kebijakan presiden adalah

Page 17: Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah …Karena n 50 adalah cukup besar, maka kita dapat menggunakan hampiran normal. Untuk D 0.05, dari tabel normal diperoleh zz D 2 0.025 1.96.

70%, berapa responden yang harus

disurvei?

Jawab (a)

Dalam masalah ini 0.05 , 2 1.96z , dan

0.03d . Karena tidak ada informasi awal

apa-apa, maka digunakan rumus: 2 2

2

2 2

(1.96)1067.1 1068

4 4(0.03)

zn

d

Jawab (b)

Karena ada informasi awal ˆ 0.7p , maka 2

2

2

2

2

ˆ ˆ(1 )

(1.96) (0.7)(0.3)896.37 897

(0.03)

z p pn

d

Terlihat bahwa adanya informasi dapat memperkecil ukuran contoh yang berarti

memperkecil biaya.

Selang Kepercayaan Contoh Kecil bagi

Rataan Populasi

Page 18: Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah …Karena n 50 adalah cukup besar, maka kita dapat menggunakan hampiran normal. Untuk D 0.05, dari tabel normal diperoleh zz D 2 0.025 1.96.

Andaikan 1 2, ,..., nX X X adalah suatu contoh

acak dari sebuah populasi normal. Telah

diketahui bahwa X

TS n

mempunyai sebaran-t dengan 1n derajat

bebas yang tidak bergantung kepada 2 .

Jadi, T dapat digunakan sebagai unsur

pivot. Jadi, untuk n kecil ( 30)n dan 2

tidak diketahui, selang kepercayaan

(1 )100% bagi rataan populasi ialah

2; 1 2; 1,n n

S SX t X t

n n

Perlu ditekankan di sini bahwa asumsi populasi normal tidak boleh diabaikan.

Teladan

Berikut ini diberikan suatu data acak dari

sebuah populasi normal:

7.2, 5.7, 4.9, 6.2, 8.5, 2.8

Page 19: Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah …Karena n 50 adalah cukup besar, maka kita dapat menggunakan hampiran normal. Untuk D 0.05, dari tabel normal diperoleh zz D 2 0.025 1.96.

Buat selang kepercayaan 95% bagi rataan

populasi .

Jawab Perhitungan dengan kalkulator, misalnya,

menghasilkan rataan contoh 5.883x dan

simpangan baku contoh 1.959s . Untuk 5

derajat bebas dan 0.05 , dari tabel-t

diperoleh 0.025 2.571t . Jadi, selang

kepercayaan 95% bagi ialah

2; 1 2; 1,

1.959 1.9595.883 2.571 , 5.883 2.571

6 6

(3.827, 7.939)

n n

S SX t X t

n n

Selang Kepercayaan bagi Ragam

Populasi

Andaikan 1 2, ,..., nX X X masing-masing

menyebar normal dengan rataan dan

Page 20: Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah …Karena n 50 adalah cukup besar, maka kita dapat menggunakan hampiran normal. Untuk D 0.05, dari tabel normal diperoleh zz D 2 0.025 1.96.

ragam 2 . Andaikan dan

2 keduanya

tidak diketahui. Kita tahu bahwa

2

2

1

2 2

( 1)

n

i

i

X Xn S

Mempunyai sebaran 2 dengan ( 1)n

derajat bebas, tidak bergantung pada nilai 2 . Maka besaran itu dapat digunakan

sebagai pivot. Selanjutnya kita cari 2

L dan 2

U sedemikian rupa sehingga 2

2 2

2

( 1)1L U

n SP

Pernyataan peluang di atas dapat dituliskan

dalam bentuk 2 2

2

2 2

( 1) ( 1)1

U L

n S n SP

Jadi, selang kepercayaan (1 )100% bagi 2 ialah

Page 21: Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah …Karena n 50 adalah cukup besar, maka kita dapat menggunakan hampiran normal. Untuk D 0.05, dari tabel normal diperoleh zz D 2 0.025 1.96.

2 2

2 2

( 1) ( 1),

U L

n S n S

Bila diambil 2 2

2U dan 1 2

2 2

L

, maka

selang kepercayaan bagi 2 menjadi

2 2

2 2

2 1 2

( 1) ( 1),

n S n S

Teladan.

Suatu contoh acak berukuran 21 diambil dari

populasi normal dengan simpangan baku 9.

Tentukan selang kepercayaan 90% bagi 2 .

Teladan

Berikut adalah data kolesterol dari 10 pasien yang diambil secara acak di sebuah rumah

sakit besar:

360 352 294 160 146 142 318 200 142

116

Tentukan selang kepercayaan 95% bagi 2 .

Page 22: Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah …Karena n 50 adalah cukup besar, maka kita dapat menggunakan hampiran normal. Untuk D 0.05, dari tabel normal diperoleh zz D 2 0.025 1.96.

Selang Kepercayaan Dua Parameter

Populasi

Andaikan 111 1,..., nX X adalah suatu contoh

acak dari sebaran normal dengan rataan 1

dan ragam 2

1 . Andaikan 221 2,..., nX X adalah

suatu contoh acak dari sebaran normal

dengan rataan 2 dan ragam 2

2 . Andaikan

kedua contoh bebas (independent), sehingga

1X dan 2X juga bebas. Dengan demikian 2 2

1 21 2 1 2

1 2

,X X Nn n

Ada dua kemungkinan

1. Bila 1 dan 2 diketahui, maka selang

kepercayaan (1 )100% contoh besar

bagi 1 2 diberikan oleh rumus

2 2

1 21 2 2

1 2

X X zn n

Page 23: Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah …Karena n 50 adalah cukup besar, maka kita dapat menggunakan hampiran normal. Untuk D 0.05, dari tabel normal diperoleh zz D 2 0.025 1.96.

2. Bila 1 dan 2 tidak diketahui, maka

keduanya diganti oleh simpangan baku

contoh 1S dan 2S bila 30, 1,2.in i

Sehingga selang kepercayaan bagi

1 2 ialah

2 2

1 21 2 2

1 2

S SX X z

n n

Selang Kepercayaan Contoh Kecil bagi

Selisih Dua Rataan Populasi Bila ukuran contohnya kecil, pembuatan

selang kepercayaan bagi selisih dua rataan

populasi bisa menjadi sangat sulit. Akan

tetapi, bila diasumsikan kedua populasi

mempunyai ragam yang sama, walaupun

tidak diketahui nilainya, katakanlah 2 2 2

1 2 , maka kita dapat menduga

ragam itu dengan cara menggabungkan kedua ragam dugaan. Andaikan

Page 24: Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah …Karena n 50 adalah cukup besar, maka kita dapat menggunakan hampiran normal. Untuk D 0.05, dari tabel normal diperoleh zz D 2 0.025 1.96.

1 22 2

1 1 2 22 1 1

1 2

2 2

1 1 2 2

1 2

2

( 1) ( 1)

2

n n

i i

i ip

X X X X

Sn n

n S n S

n n

Bila kedua contoh itu bebas, maka

1 2 1 2

1 2

1 1p

X XT

Sn n

Mempunyai sebaran-t dengan 1 2 2n n

derajat bebas. Maka selang kepercayaan

bagi 1 2 ialah

1 21 2 2; 2

1 2

1 1n n pX X t S

n n

Soal

Berikut adalah dua contoh bebas yang

diambil dari dua populasi normal dengan

ragam yang sama

Page 25: Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah …Karena n 50 adalah cukup besar, maka kita dapat menggunakan hampiran normal. Untuk D 0.05, dari tabel normal diperoleh zz D 2 0.025 1.96.

Contoh 1: 1.2 3.1 1.7 2.8 3.0

Contoh 2: 4.2 2.7 3.6 3.9

(a) Dugalah ragam gabungannya

(b) Tentukan selang kepercayaan 90% bagi

1 2