Pendugaan Parameter - debrina.lecture.ub.ac.id · • Pendugaan = Penaksiran ... SELANG Penduga...

Pendugaan Parameter

Debrina Puspita Andriani www.debrina.lecture.ub.ac.id E-mail : [email protected] / [email protected]

7

Outline

Pendahuluan

Pendugaan Titik

Pendugaan Interval

Pendugaan Parameter: Kasus 1 Sampel Rataan Populasi

Pendugaan Parameter: Kasus 1 Sampel Proporsi

Pendugaan Parameter: Kasus 2 sampel saling bebas & berpasangan selisih rataan dua populasi

Pendugaan Parameter: Kasus 2 Sampel Selisih 2 Proporsi

25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id

2

Pendahuluan (1) 25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id

3

Pendahuluan (2)


4

•  Pendugaan adalah proses yang menggunakan sampel statistik

untuk menduga atau menaksir hubungan parameter populasi

yang tidak diketahui.

•  Pendugaan merupakan suatu pernyataan mengenai parameter

populasi yang diketahui berdasarkan informasi dari sampel

random yang diambil dari populasi bersangkutan.

•  Pendugaan = Penaksiran

•  Penduga adalah suatu statistik (harga sampel) yang digunakan

untuk menduga suatu parameter. Dengan penduga, dapat

diketahui seberapa jauh suatu parameter populasi yang tidak

diketahui berada di sekitar sampel (statistik sampel)

•  Secara umum, parameter diberi lambang θ dan penduga diberi

lambang xxx

Pendahuluan (3)


5

Kriteria penduga yang baik

� Tidak bias

�  Efisien

�  Konsisten

Populasi : Parameter

Sampel : Statistik

Statistik merupakan PENDUGA bagi parameter populasi

PENDUGA à TAK BIAS DAN MEMPUNYAI RAGAM

MINIMUM

STATISTIK merupakan PENDUGA bagi PARAMETER

TARGET PENDUGA TITIK

PENDUGA SELANG

Penduga titik tidak selalu tepat menduga parameter populasi maka digunakan pendugaan dalam bentuk selang interval

Dalam setiap pendugaan mengandung PELUANG kesalahan

penduga selang à konsep probability à SELANG KEPERCAYAAN (CONFIDENCE INTERVAL)

6 Pendahuluan (4)

Dua jenis pendugaan parameter


Pendugaan Titik (1)

¡  Pendugaan tunggal atau titik (point estimate) ialah pendugaan yang terdiri dari satu nilai saja.

¡ Memberikan nilai yang kemungkinan besar berbeda dari nilai parameter yang sebenarnya.

7



Pendugaan Titik (2) 8

x


9 Pendugaan Titik (3)

21 xx −

p

21 ˆˆ pp −

Satu Populasi Dua Populasi

x p̂

µ1 −µ2 21 pp −

22

21

ss

22

21

σσ

2s

2σµ


Pendugaan Interval (1) 10

•  Pendugaan tunggal yang terdiri dari satu angka tidak memberikan gambaran mengenai berapa jarak/selisih nilai penduga tersebut terhadap nilai sebenarnya.

•  Jika kita menginginkan suatu pengukuran yang obyektif tentang derajat kepercayaan kita terhadap ketelitian pendugaan, maka kita sebaiknya menggunakan pendugaan interval (interval estimation). Pendugaan ini akan memberikan nilai-nilai statistik dalam suatu interval dan bukan nilai tunggal sebagai penduga parameter.


PENDUGA SELANG

•  Pendugaan interval (selang) : pendugaan berupa interval, dibatasi dua nilai (batas bawah dan batas atas)

•  Pendugaan interval : interval kepercayaan atau interval keyakinan (confidence interval) yang dibatasi oleh batas keyakinan atas (upper confidence limit) dan batas keyakinan bawah (lower confidence limit)

•  Untuk membuat pendugaan interval harus ditentukan terlebih dahulu koefisien keyakinan atau tingkat keyakinan yang diberi simbol 1 - α


11 Pendugaan Interval (2)

<


Koefisien Keyakinan atau Tingkat Keyakinan (1)


12

Misalnya : 1 - α = 0,90

α = 0,10 = 10 %.

α/2 = 0,05

jadi Zα/2 = Z 0,05 = (Z⏐P = 0,5 - α/2) = Z 0,5 – 0,05 = Z0,45 = 1,645

(lihat Tabel Normal).

Misalnya : 1- α = 0,98 dan n = 25

α = 0,02

α/2 = 0,01

jadi tα/2 ; v = tα/2 ; n – 1 = t 0,01 ; 25 –1 = t 0,01 ; 24 = 2,492

( lihat tabel Distribusi t).

Koefisien Keyakinan atau Tingkat Keyakinan (2)


13

169) = 0.99

Menaksir Rataan 14

Pendugaan Titik untuk Rataan

Populasi Penduganya

µ

cenderung akan menjadi penduga µ yang amat tepat, jika n (ukuran sampel) besar

2σx

ns x

22 σ=



15


16


17

18


CONTOH

Lihat di tabel dengan nilai

1-0,025 =0,9750 à z = 1,96

19


Dari soal sebelumnya, tentukan selang kepercayaan 99% untuk rataan nilai matematika semua mahasiswa tingkat sarjana

20

sebelumnya

CONTOH


21


Pendugaan Parameter:

Kasus Satu Sampel Rataan Populasi


22

Rataan contoh merupakan PENDUGA tak bias bagi µ

s2 merupakan penduga tak bias bagi σ2

µ σ2

x s2

µ

1.96 xσ 1.96

xσ

SAMPLING ERROR

23


x

Dugaan Selang

nzx

nzx σ

µσ

αα22

+<<−

nstx

nstx nn )1()1( 22 −− +<<− αα µ

Syarat :

kondisi σ2

diketahui

Tidak

diketahui

σ2 diduga dengan s2

24


Berlaku juga untuk sampel kecil (n < 30)

25 Contoh Survei dilakukan terhadap 20 RT disuatu kota untuk menduga besarnya rata-rata biaya pendidikan (juta Rp/thn/RT). Datanya diperoleh sebagai berikut:

RT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Biaya (juta Rp)

2,30 4,50 4,00 5,00 3,80 7,20 6,25 5,75 6,70 7,80 RT 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Biaya (juta Rp) 6,80 5,30 8,00 15,10 13,20 4,50 2,00 4,70 5,75 10,10

a.  Dugalah rata-rata biaya pendidikan per RT per tahun b.  Buatlah selang kepercayaan 95%, asumsikan biaya pendidikan

mengikuti sebaran normal.


26

a.  Penduga rata-rata biaya pendidikan

b.  Selang kepercayaan 95%

44.6ˆ == xµ

093,2732407,020/275422,3/

)19;2/05,0( =

===

=db

x

tnss

Penyelesaian

970,7905,4732,0093,244,6732,0093,244,6

≤≤

+≤≤−

µ

µ xx

Nilai s Dicari dari rumus


S2= Σ(xi – xbar)2 / n-1


Kasus Satu Sampel Proporsi


27

Proporsi contoh merupakan PENDUGA tak bias bagi P

p

p̂

p

1.96 p̂σ 1.96 p̂σ

SAMPLING ERROR

28


p̂

Dugaan Selang / interval

nppzpP

nppzp )ˆ1(ˆˆ)ˆ1(ˆˆ

22

−+<<

−− αα

Selang kepercayaan (1-α)100% bagi p

29


p̂− t(α 2;n−1)p̂(1− p̂)n

< P < p̂+ t(α 2;n−1)p̂(1− p̂)n

Sampel Besar

Sampel Kecil

30 Contoh Dari sampel dengan n = 100 mahasiswa PTS “ABC”. Ternyata 25 mahasiswa memiliki IPK ≥ 3. Buatlah dugaan untuk proporsi mahasiswa PTS “ABC” yang memiliki IPK ≥ 3 dengan interval keyakinan 95%.


Interval duga: p(0,206 < P < 0,335)

Penyelesaian :


Kasus Dua sampel saling bebas

Selisih rataan dua populasi


31

µ1 - µ2 32

21 xx −

µ1-µ2

1.96 21 xx −σ

SAMPLING ERROR

1.96 21 xx −σ


Dugaan Selang

2

22

1

21

22121

2

22

1

21

221 )()(

nnzxx

nnzxx σσ

µµσσ

αα ++−<−<+−−

Syarat :

σ12 & σ2

2

diketahui

Tidak diketahui

σ12 & σ2

2

Tidak sama

sama Formula 1

Formula 2

33


a. Formula 1: Jika σ1 dan σ2 tdk diketahui dan diasumsikan sama:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−<−<⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−

21

2)(2121

21

2)(21

11)(11)(22 nn

stxxnn

stxx gabvgabv αα µµ

2dan 2

)1()1(21

21

222

2112 −+=

−+

−+−= nnv

nnsnsnsgab

34

b. Formula 2: Jika σ1 dan σ2 tdk diketahui dan diasumsikan tidak sama:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−<−<⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−

2

22

1

21

)(21212

22

1

21

)(21 22)()(

ns

nstxx

ns

nstxx vv αα µµ

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

11

2

2

2

22

1

2

1

21

2

2

22

1

21

nnsnn

s

ns

ns

v


Note: Berlaku juga untuk sampel kecil

Interval Kepercayaan Selisih Rata-Rata Populasi (σ diketahui)

Dua buah mesin A dan B dibandingkan dlm konsumsi BBM-

nya. Random sampling mesin A sejumlah 50 dan B sejumlah

75 dipakai. Ternyata rata-rata konsumsi BBM mesin A adalah

36 mil/galon dan mesin B 42 mil/galon. Carilah interval

kepercayaan 96% bagi μB- μA bilamana diketahui standard

deviasi populasi bagi A= 6 mil/galon dan B = 8 mil/galon

Contoh 35


Penyelesaian

Diket. XsA=36, XsB = 42; nA=50 dan nB =75. σA=6 dan σB=8 Interval kepercayaan 96% bagi μB- μA :

3.43 < μB- μA < 8.57 .

Jadi beda rata2 konsumsi BBM antara mesin A dan mesin B berkisar antara 3.43 sampai 8.57 mil/galon

B

B

A

AABAB

B

B

A

AAB nn

zxxnn

zxx22

02.0

22

02.0 )()()( σσµµ

σσ++−<−<+−−

5036

756405.2)3642()(

5036

756405.2)3642( ++−<−<+−− AB µµ

36



37 Latihan

Dua buah perusahaan yang saling bersaing dalam industri kertas karton saling mengklaim bahwa produknya yang lebih baik, dalam artian lebih kuat menahan beban. Untuk mengetahui produk mana yang sebenarnya lebih baik, dilakukan pengambilan data masing-masing sebanyak 10 lembar, dan diukur berapa beban yang mampu ditanggung tanpa merusak karton. Datanya adalah :

¡  Dugalah beda kekuatan karton kedua perusahaan dengan

selang kepercayaan 95%

Persh. A 30 35 50 45 60 25 45 45 50 40 Persh. B 50 60 55 40 65 60 65 65 50 55


Kasus dua sampel berpasangan

Selisih rataan dua populasi


38

Diberi pakan tertentu

Ditimbang kondisi awal : bobot kelinci

Ditimbang kondisi akhir : bobot kelinci

Setelah periode tertentu

Perubahan akibat pemberian pakan : selisih bobot akhir – bobot awal


39

µd

dnstd

nstd d

nDd

n )1()1( 22 −− +<<− αα µ

Selang kepercayaan (1-α)100% bagi µd

Dugaan Selang


40

Contoh 41


25

64

4

144

25

4

64

1

36

25

392

d2

Jumlah: - 16

Contoh


42


43 Penyelesaian


Kasus Dua sampel Selisih dua proporsi


44

p1 - p2 45

21 ˆˆ pp −

p1-p2

1.96 21 ˆˆ pp −σ

SAMPLING ERROR

1.96 21 ˆˆ pp −σ


Dugaan Selang

2

22

1

1121

2

22

1

1121

)ˆ1(ˆ)ˆ1(ˆ)ˆˆ(21)ˆ1(ˆ)ˆ1(ˆ)ˆˆ(22 n

ppnppzppPP

npp

nppzpp −

+−

+−<−<−

+−

−− αα

Selang kepercayaan (1-α)100% bagi p1 - p2

46


Sampel Besar

Sampel Kecil

( p̂1 − p̂2 )− tα 2;n1+n2−2p̂1(1− p̂1)

n1+p̂2 (1− p̂2 )

n2< P1−P2 < ( p̂1 − p̂2 )+ tα 2;n1+n2−2

p̂1(1− p̂1)n1

+p̂2 (1− p̂2 )

n2

BKKBN melakukan penelitian di dua daerah (D1 dan D2) untuk

mengetahui apakah ada perbedaan antara persentase penduduk

yang setuju KB di daerah tersebut. Kemudian akan dibuat

pendugaan interval mengenai besarnya selisih/perbedaan

persentase tersebut. Di daerah D1 dan D2 masing-masing dilakukan

wawancara terhadap 120 orang, antara lain menanyakan

apakah mereka setuju KB atau tidak.

Dari D1 ada 90 orang dan dari D2 ada 78 orang yang setuju KB.

Buatlah pendugaan interval dari perbedaan persentase tentang

pendapat penduduk yang setuju dengan KB, di kedua daerah

tersebut,dengan tingkat keyakinan sebesar 90%.

Contoh 47


Penyelesaian 48


p^

1 =X1n1=90120

= 0, 75, p^

2 =X2n2

=78120

= 0,65

p^

1− p^

2 = 0, 75− 0,65= 0,10

2

22

1

112121

2

22

1

1121

ˆˆˆˆ)ˆˆ(

ˆˆˆˆ)ˆˆ(

22 nqp

nqpzpppp

nqp

nqpzpp ++−<−<+−− αα

0,1 – 1,64 (0,059) < (P1 – P2) < 0,1 + 1,64 (0,059)

0,003 < (P1 – P2) < 0,197

0,25 0,25

Pendugaan Parameter - debrina.lecture.ub.ac.id · • Pendugaan = Penaksiran ... SELANG Penduga...

Documents

Transcript of Pendugaan Parameter - debrina.lecture.ub.ac.id · • Pendugaan = Penaksiran ... SELANG Penduga...