Pendugaan interval

42
@FEUI, 2003 1 PENDUGAAN INTERVAL

Transcript of Pendugaan interval

Page 1: Pendugaan interval

@FEUI, 2003 1

PENDUGAAN INTERVAL

Page 2: Pendugaan interval

@FEUI, 2003 2

Kemampuan Yang Dihasilkan:

1. Menjelaskan pengertian pendugaan interval parameter

2. Melakukan pendugaan interval rerata populasi populasi terbatas dan populasi tak terbatas

3. Melakukan pendugaan interval proporsi populasi4.4. Melakukan Melakukan pendugaan interval pendugaan interval selisih rerata selisih rerata

populasipopulasi5.5. Melakukan Melakukan pendugaan interval pendugaan interval selisih proporsi selisih proporsi

populasipopulasi

Page 3: Pendugaan interval

@FEUI, 2003 3

Pengertian

Inferens: kegiatan penarikan kesimpulan tentang parameter populasi berdasarkan hasil sampel.

Pada pendugaan interval kita menyatakan kemungkinan besarnya parameter populasi dalam suatu interval tertentu

Interval kemungkinan besarnya parameter disebut confidence interval; umumnya 95% dan 99%.

Confidence interval 95%: penerapan cara itu untuk sembarang sampel berpeluang benar sebesar 95%.

Page 4: Pendugaan interval

@FEUI, 2003 4

Ciri-ciri penduga yang baik

Unbiassed: expected value nilai distribusi sampling penduga sama dengan nilai yang diduga. Penduga yang unbiassed untuk adalah .

Efisien: nilai persebaran dari distribusi sampling tentang variabel penduganya adalah yang terkecil. merupakan penduga yang efisien untuk karena distribusi samplingnya mempunyai ukuran persebaran yang terkecil.

X

X X

X

Page 5: Pendugaan interval

@FEUI, 2003 5

Ciri-ciri penduga yang baik

Konsisten: dengan semakin besarnya sampel maka nilai penduganya akan semakin mendekati nilai parameter yang diduga. merupakan penduga yang baik bagi karena bila sampel diperbesar maka nilainya akan semakin mendekati nilai .

X X

X

Page 6: Pendugaan interval

@FEUI, 2003 6

Penalaran penduga interval

Pertimbangkan sebuah sampel random dari populasi normal dengan = 160 dan = 50 serta n = 25. Atribut distribusi samplingnya: = 160 dan =10.

Bila ditetapkan 95% dari keseluruhan alternatif sampel di kiri dan kanan nilai sentralnya, akan didapatkan batas–batas antara 140,4 dan 179,6. (Gambar 2.1).

X X

X

X

Page 7: Pendugaan interval

@FEUI, 2003 7

Penalaran penduga interval

Dapat dinyatakan: 95% dari keseluruhan kemungkinan sampel akan menghasilkan yang nilainya terletak pada interval

Bila 95% itu disebut 1–, maka = 0,05.

Nilai 1,96 adalah nilai Z/2 = Z0,025, yaitu Z yang

luas di ujungnya sebesar 0,025.

XX 96,1X

Page 8: Pendugaan interval

@FEUI, 2003 8

Penalaran penduga interval

Gambar 2.1.

Page 9: Pendugaan interval

@FEUI, 2003 9

Penalaran penduga interval

Gambar 2.2.

140,4 179,6160

X1=150130,4 169,6

X2=170 189,6150,4

X3=139119,4 158,6

95%

Page 10: Pendugaan interval

@FEUI, 2003 10

Penalaran penduga interval

Secara lebih umum dapat dinyatakan:

Dengan: parameter populasi yang diduga statistik sampel penduga yang sesuai deviasi standar distribusi sampling yang

sesuai

1ˆˆ ˆ2ˆ2 ZZp

ˆ

Page 11: Pendugaan interval

@FEUI, 2003 11

Contoh pendugaan interval rerata populasi, diketahui

Sebuah sampel random sebanyak 25 dilakukan terhadap populasi normal untuk menduga rerata populasi tersebut. Populasi tersebut mempunyai = 15. Sampelnya menghasilkan = 40. Dengan tingkat keyakinan 0,95, bagaimana dugaan interval tentang rerata hitung populasinya?

X

X

X

Page 12: Pendugaan interval

@FEUI, 2003 12

Contoh pendugaan interval rerata populasi dengan diketahui

Jawab:

= 5% sehingga

sedangkan

Maka:

96,1025,02 ZZ

325

15

95,0)396,140 396,140( Xp

95,0)88,45 12,34( Xp

X

Page 13: Pendugaan interval

@FEUI, 2003 13

Pendugaan interval rerata populasi, dengan tidak diketahui

Pendugaan harus dilakukan dengan distribusi t

Distribusi t adalah distribusi normal yang kelancipannya tergantung pada derajat bebas (degree of freedom) yang besarnya adalah n – k: (Gambar 2.3) n adalah sample size k adalah banyaknya parameter populasi

yang seharusnya diketahui.

X

Page 14: Pendugaan interval

@FEUI, 2003 14

Pendugaan interval rerata populasi, dengan tidak diketahui

Dengan tidak diketahui maka Dan formula duga menjadi:

n

sXX

X

X

1ˆˆ ,2,2 XdfXXdf tXtXp

Page 15: Pendugaan interval

@FEUI, 2003 15

Distribusi t Gambar 2.3

Z

t, df 1

t, df 2

t, df 3

df 1 >df 2 >df 3

Page 16: Pendugaan interval

@FEUI, 2003 16

Cara membaca distribusi t

Ada banyak sekali distribusi t. Untuk keperluan praktis, tabel distribusi t hanya

memuat untuk luas tertentu pada ujung kurva, yaitu: 0,005; 0,01; 0,025; 0,05; dan 0,10.

Margin kiri menunjukkan degrees of freedom, sedangkan margin atas adalah luas di ujung kurva; sebagian buku menunjukkan luas pada kedua ujung kurva. (Tabel 2.1).

Page 17: Pendugaan interval

@FEUI, 2003 17

Cara membaca distribusi t

df

0,1 0,05 0,025 0,001 0,005

1 3,0777 6.3137 12.7062 31.8210 63.6559

2 1.8856 2.9200 4.3027 6.9645 9.9250

3 1.6377 2.3534 3.1824 4.5407 5.8408

15 1.3406 1.7531 2.1315 2.6025 2.9467

30 1.3104 1.6973 2.0423 2.4573 2.7500

120 1.2886 1.6576 1.9799 2.3578 2.6174

0 t1

Page 18: Pendugaan interval

@FEUI, 2003 18

Contoh pendugaan interval rerata populasi, dengan tidak diketahui

Sebuah usaha percetakan sedang mempertimbangkan penggunaan jenis huruf arial sebagai pengganti yang biasa digunakan. Ia mempertimbangkan rerata jumlah kata per lembar hasil cetakannya. Untuk itu ia melakukan sampel random terhadap 12 halaman, yang hasilnya adalah:

Bila distribusi jumlah huruf per lembar normal, bagaimana dugaan interval rerata jumlah huruf per lembar? 1=0,95

X

Lembar ke 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Jumlah kata 220 230 225 200 240 250 245 230 215 225 205 210

Page 19: Pendugaan interval

@FEUI, 2003 19

Contoh pendugaan interval rerata populasi,dengan tidak diketahui

Jawab:

Df = n–1 = 11 terlalu kecil untuk digantikan oleh Z.

1– = 0,95 maka t/2,df t0.025,11 = 2,201.

= 224,58333; = 15,58821;

X

X Xs

49993,412

58821,15ˆ X

95,0)4999,4201,2583,224 4999,4201,2583,224( Xp

95,0)62819,233 53847,215( Xp

Page 20: Pendugaan interval

@FEUI, 2003 20

Formula umum penduga interval

Telah diketahui bahwa formula umum pendugaan interval:

Variasi parameter yang diduga dan statistik penduga:Parameter Statistik

1ˆˆ ˆ2ˆ2 ZZp

X X

p p

21 XX 21 XX

21 pp 21 pp

D D

Page 21: Pendugaan interval

@FEUI, 2003 21

Daftar deviasi standar distribusi sampling

Distribusi Sampling Devisi Standar Distribusi dan DF

Rerata Hitung:

– diketahui Z

– tidak diketahui tdf; df = n-1

Proporsi:Z ; karena n sangat besar

Selisih proporsi:

Z ; karena n sangat besar

Rerata Selisih: tdf; df = n-1

nX

X

nsX

X

nnx

nx

p

1

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1 11

ˆ21 n

nx

nx

n

nx

nx

pp

X

X

nsD

D

Page 22: Pendugaan interval

@FEUI, 2003 22

Daftar deviasi standar distribusi sampling

Distribusi Sampling Devisi Standar Distribusi dan DF

Selisih Rerata Hitung:

– diketahui Z

Z

– tidak diketahui tdf ; df = n1 + n2 – 2

tdf ; df =

21

1121 nnXX

2

2

1

221

21 nnXX

XX

21

11ˆ

21 nnspXX

X

X

2

2

1

221

21ˆ

n

s

n

s XXXX

2

11

21

22

212 21

nn

snsns

XXp

sn

sn

sn

n

sn

n

12

1

22

2

2

12

1

2

1

22

2

2

21 1

Page 23: Pendugaan interval

@FEUI, 2003 23

Pendugaan interval proporsi populasi

Pembahasan ini berasumsi sampelnya sangat besar sehingga memungkinkan digunakannya distribusi normal. (Apabila sampelnya tidak cukup besar, harus digunakan distribusi binomial)

Pendekatan normal di sini memerlukan ukuran sampel sangat besar agar diperoleh interval duga yang tidak terlalu lebar. (Ukuran sampel sebesar 75 masih menghasilkan lebar duga mencapai 22,17% bila proporsi sampel 0,4).

Page 24: Pendugaan interval

@FEUI, 2003 24

Contoh pendugaan interval proporsi populasi

Seorang peneliti di bidang politik ingin mengetahui popularitas dari presiden dua tahun setelah pengangkatannya dimata para mahasiswa. Untuk itu ia mengambil sampel random sebesar 200 mahasiswa. Hasilnya adalah bahwa 75 mahasiswa menyatakan tetap memberikan dukungan pada presiden terpilih. Dengan tingkat keyakinan 95%, bagaimana hasil dugaan proporsi mahasiswa yang masih mendukung presiden tersebut?

Page 25: Pendugaan interval

@FEUI, 2003 25

Contoh pendugaan interval proporsi populasi

Jawab:

= 5% sehingga

Peristiwa sukses sampel 75 sehingga:

dan:

Maka:

96,1025,02 ZZ375,0

200

75 p

03423,0

200

375,01375,0 p

05,01)03423,096,10,375 03423,096,1375,0( pp

95,0)00,4421 30790,0( pp

Page 26: Pendugaan interval

@FEUI, 2003 26

Contoh pendugaan interval selisih proporsi populasi

Seorang peneliti di bidang periklanan ingin mengetahui selisih proporsi pemirsa sebuah acara TV antara kota A dan kota B. Untuk itu ia mengambil sampel random independen sebesar 300 pemirsa kota A dan 200 pemira kota B. Hasil dari sampel tersebut adalah bahwa penonton acara tersebut di kota A ada sebanyak 90 orang, sedangkan di kota B ada sebanyak 40 orang. Dengan tingkat keyakinan 95%, bagaimana hasil dugaan selisih proporsi pemirsa acara TV tersebut antara kota A dan kota B?

Page 27: Pendugaan interval

@FEUI, 2003 27

Contoh pendugaan interval selisih proporsi populasi

= 5% makaPeristiwa–peristiwa sukses dalam sampel adalah 90 di antara 300 dan 40 di antara 200, sehingga:

Maka:

96,1025,02 ZZ

20,0200

40dan 30,0

300

9021 pp

03873,0

200

2,012,0

300

3,013,021

pp

05,01)03873,096,12,00,3 03873,096,12,03,0( 21 ppp

95,0)07591,00,1 07591,01,0( 21 ppp

95,0)75910,1 02409,0( 21 ppp

Page 28: Pendugaan interval

@FEUI, 2003 28

Contoh pendugaan interval selisih rerata populasi, dengan diketahui

Andi, seorang pimpinan pabrik ingin mengetahui perbedaan rerata umur bola lampu yang dihasilkan dengan rerata umur bola lampu yang dihasilkan pesaing. Untuk itu diambil dua sampel random independen sebanyak 10 (dari yang dihasilkannya) dan 12 bola lampu (dari pesaing). Dari sampel diperoleh rerata umur bola lampu sendiri adalah 1.000 jam dan pesaing adalah 800 jam. Bila umur bola lampu kedua produk didistribusikan normal dengan deviasi standar 125 jam dan 110 jam, bagaimana hasil pendugaan interval selisih rerata umur bola lampu keduanya? Gunakan tingkat keyakinan 95%.

X

Page 29: Pendugaan interval

@FEUI, 2003 29

Contoh pendugaan interval selisih rerata populasi dengan diketahui

= 5% sehingga

sedangkan

Maka:

96,1025,02 ZZ

X

70339,5012

110

10

125 22

21 XX

95,0)70339,5096,18001000 70339,5096,18001000(21

XXp

95,0)37864,99200 37864,99200(21

XXp

95,0)37864,929 62136,100(21

XXp

Page 30: Pendugaan interval

@FEUI, 2003 30

Contoh pendugaan interval selisih rerata populasi dengan diketahui

Badut, pengusaha angkutan umum ingin mengetahui, dengan tingkat keyakinan 95%, beda rerata daya kerja ban merek A dan merek B. Diambilnya sampel random ban dari kedua merek. Hasilnya disajikan pada tabel di bawah ini. Daya kerja ban dalam ribuan kilometer jelajah. Spesifikasi dari pabrik menyebut deviasi standar masing2 sama, yaitu: = 2,7.

Bagaimana hasil dugaan interval untuk selisih rerata keduanya?

21 XX

X

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Merek A 26 28 30 32 30 35 34 31 31 30 27 26

Merek B 33 34 35 37 38 40 40 39 38 36 35 33

Page 31: Pendugaan interval

@FEUI, 2003 31

Contoh pendugaan interval selisih rerata populasi dengan diketahui

Misalkan Merek A adalah X1 dan Merek B adalah X2.

= 5% sehingga

dansedangkan

Maka:

96,1025,02 ZZ

X

301 X 5,362 X

10227,112

1

12

17,2

21 XX

95,0)10227,196,15,3630 10227,196,15,3630(21

XXp

95,0)16045,25,6 16045,25,6(21

XXp

95,0)33955,4 66045,8(21

XXp

Page 32: Pendugaan interval

@FEUI, 2003 32

Contoh pendugaan interval selisih rerata populasi dengan tidak diketahui

Misalkan untuk contoh daya kerja ban deviasi standar populasi tidak diketahui namun diyakini mempunyai nilai yang sama. Bagaimana 95% confidence interval-nya?

X

Page 33: Pendugaan interval

@FEUI, 2003 33

Contoh pendugaan interval selisih rerata populasi dengan diketahui

= 5% ; df = 12+12–2 = 22 maka

Maka:

07,222,025,0,2 tt df

X

40910,7

21212

45455,611236366,81122

ps

89200,21Xs 54058,2

2Xs

72197,2ps

95,0)11124,107,25,3630 11124,107,25,3630(21

XXp

11124,112

1

12

172197,2ˆ

21 XX

95,0)30026,25,6 30026,25,6(21

XXp 95,0)19974,4 80026,8(

21 XXp

Page 34: Pendugaan interval

@FEUI, 2003 34

Contoh pendugaan interval selisih rerata populasi dengan tidak diketahui

Sebuah perusahaan peternakan penghasil telur ayam ingin membandingkan rerata berat telur dari dua jenis ayam. Diambilnya sampel random independen masing2 sebanyak 26 telur dari jenis 1 dan 20 butir dari jenis 2. Hasil sampel tersebut

serta

Dengan 1– α = 95%, bagaimana hasil dugaan interval selisih rerata populasi berat telur kedua jenis ayam tersebut? Asumsikan bahwa deviasi standar populasi berat telur keduanya adalah berbeda.

X

13dan 8011 XsX 11dan 71 22 XsX

Page 35: Pendugaan interval

@FEUI, 2003 35

Contoh pendugaan interval rerata populasi, dengan tidak diketahui

1– = 0,95 sehingga t/2,df t0.025,44 = 2,02.

Maka:

X

552,43

120

2011

126

2613

2011

2613

2222

222

df 54260,320

11

26

13ˆ

22

21 XX

95,0)54260,302,27180 54260,302,27180(21

XXp

95,0)13964,79 13964,79(21

XXp 95,0)16,13964 86036,1(

21 XXp

Page 36: Pendugaan interval

@FEUI, 2003 36

Contoh pendugaan interval rerata selisih populasi

Untuk mengetahui manfaat sebuah pelatihan kerja bagi buruh, dilakukan sampel random terhadap 35 buruh. Kepada mereka diamati produktivitas bulanan sebelum (Xi) dan sesudah (Yi)

mengikuti pelatihan. Hasilnya tertera pada tabel. Bagaimana dugaan interval rerata selisih produktivitas tersebut? =0,05 X Y X Y X Y X Y X Y90 98 60 67 88 91 70 82 75 8585 92 62 65 85 91 80 84 72 7965 79 70 78 75 76 72 75 77 8080 82 65 66 80 78 75 87 80 9085 95 80 89 70 70 70 71 82 8570 76 75 83 60 62 62 69 75 7572 76 90 92 65 72 65 69 72 70

Page 37: Pendugaan interval

@FEUI, 2003 37

Contoh pendugaan interval rerata selisih populasi

Nilai–nilai variabel Di = (Yi – Xi) = {8, 7, , 0, –2} dengan

n = 35, sehingga df = 34. maka ta/2,df t0,025,34 = 2,032.

Atribut D:

Maka:

07390,4dan 14286,5 DsD

68861,035

07390,4ˆ D

95,0)68861,0032,214286,5 68861,0032,214286,5( D p

95,0)6,54229 74343,3( D p

Page 38: Pendugaan interval

@FEUI, 2003 38

Penentuan sample size pada pendugaan interval rerata populasi

Dimaksudkan untuk menghasilkan lebar duga tertentu pada suatu tingkat keyakinan yang tertentu pula

Lebar duga adalah Separuh lebar duga, atau sampling error, Maka:

Bila tidak diketahui: lakukan sampel pendahuluan untuk dapatkan sebagai estimator

XZ 2/2 XZe 2/

nZe X 2/

eZ

n X 2/

22/

eZ

n X

XXs X

Page 39: Pendugaan interval

@FEUI, 2003 39

Contoh penentuan sample size pada pendugaan interval rerata populasi

Dari sebuah populasi normal dengan = 20, berapa besarnya sampel yang dibutuhkan untuk pendugaan interval bila sampling error yang diinginkan adalah 10 dan tingkat keyakinan sebesar 95%?

Jawab: e = 10 ; 1– = 0,95 sehingga: Z/2 = 1,96

X

20X2

102096,1

n

3664,1592,3 2 n

15n

Page 40: Pendugaan interval

@FEUI, 2003 40

Penentuan sample size pada pendugaan interval proporsi populasi

Dengan cara yang sama diperoleh:

Formulanya melibatkan p yang justru akan diduga sehingga dilakukan upaya mendapatkan n maksimum

Maka:

pZe 2/

n

ppZe

12/

e

ppZn

12/

2

22/ 1

e

ppZn

2

22/

2

22/ 5,05,05,015,0

e

Z

e

Zn

22/5,0

e

Zn

Page 41: Pendugaan interval

@FEUI, 2003 41

Contoh penentuan sample size pada pendugaan interval proporsi populasi

Sebuah usaha reparasi mesin cetak menyatakan bahwa produk yang sudah direparasinya akan menghasilkan proporsi gagal cetak sebesar–besarnya 2%. Berapa besarnya sampel untuk pendugaan interval proporsi produk yang cacat bila sampling errornya adalah 0,005 dan tingkat keyakinan 95%?

e = 0,005. Perkiraan p maksimum 0,02 sehingga digunakan p = 0,02. Maka:

3012n

3.011,814

005,0

98,002,096,12

2n

Page 42: Pendugaan interval

@FEUI, 2003 42

Contoh penentuan sample size pada pendugaan interval proporsi populasi Pendapat para ahli menyebutkan bahwa popularitas

presiden saat ini berkisar pada 45% hingga 60% dari para pemilihnya. Berapa besarnya sampel untuk pendugaan interval proporsi popularitas presiden di mata para pemilihnya dengan sampling error 0,05 dan 1 – = 95%?

Jawab: e = 0,05. Perkiraan p: 0,45 – 0,6 sehingga p = 0,5 karena interval tersebut dapat mencakupi nilai 0,5. Maka:

384n

384,1605,0

96,15,02

n