Pendahuluan Pengantar Metode Simpleksfile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/... · dan...

Fitriani Agustina, Math,

UPI

1

Pendahuluan

Pengantar Metode

Simpleks


UPI

2

METODE SIMPLEKS (PRIMAL)

• Masalah Program Linear

• Masalah Program Linear dalam Bentuk Matriks

• Ketentuan dalam Bentuk Standar Masalah PL

• Bentuk Standar Masalah Program Linear

• Bentuk Standar Pembatas Linear

• Bentuk Standar Peubah Keputusan

• Bentuk Standar PL dalam Bentuk Matriks

• Solusi Basis dan Solusi Basis Fisibel

• Memperbaiki Nilai Fungsi Tujuan z

• Mengakhiri Perhitungan Simpleks


UPI

3

Masalah Program Linear

• Maksimasi (Minimasi) :

dengan pembatas linear

dan pembatas tanda

nnxcxcxcz 2211

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

,,

,,

,,

2211

22222121

11212111

njx j ,,2,1,0


UPI

4

Masalah PL dalam bentuk matriks


dengan pembatas linear dan pembatas tanda

dimana:

00 xcz t

bxA 0000 x

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

0

nc

c

c

c

2

1

0

nx

x

x

x

2

1

0

mb

b

b

b

2

1


UPI

5

Ketentuan dalam Bentuk Standar

Masalah PL

• Seluruh pembatas linear harus berbentuk

persamaan dengan ruas kanan yang nonnegatif.

• Seluruh peubah keputusan harus merupakan

peubah nonnegatif.

• Fungsi tujuan merupakan maksimasi /minimasi.

Beberapa hal yang dapat dilakukan untuk memperoleh

bentuk standar masalah PL sesuai ketentuan di atas

berkaitan dengan pembatas linear dan peubah

keputusan.


UPI

6

Bentuk Standar Pembatas Linear

• Apabila pembatas linearnya bertanda ”≤”, maka

pada ruas kiri pembatas linear perlu ditambahkan

slack variable.

• Pembatas linear bertanda ”≤” berhubungan dengan

penggunaan dan ketersediaan sumber daya,

sehingga slack variable mewakili jumlah sumber

daya yang tidak dipergunakan.

• Misalkan pembatas linear ke-p bertanda ”≤”, maka

diperoleh bentuk standar:

dimana merupakan slack variable

ppnnpnpp bxxaxaxa 2211

pnx


UPI

7

• Apabila pembatas linearnya bertanda ”≥”, maka

pada ruas kiri pembatas linear perlu dikurangkan

surplus variable.

• Pembatas linear bertanda ” ≥” berhubungan

dengan persyaratan spesifikasi minimum,

sehingga surplus variable mewakili jumlah

kelebihan sesuatu dibandingkan dengan

spesifikasi minimumnya.

• Misalkan pembatas linear ke-q bertanda ” ≥”,

maka diperoleh bentuk standar:

dimana merupakan surplus variable

qqnnqnqq bxxaxaxa 2211

qnx


UPI

8

• Ruas kanan dari suatu persamaan dapat dijadikan

bilangan nonnegatif dengan cara mengalikan kedua

ruas dengan .

• Arah pertidaksamaan berubah apabila kedua ruas

dikalikan dengan .

• Pembatas linear dengan pertidaksamaan yang ruas

kirinya berada dalam tanda mutlak dapat diubah

menjadi dua pertidaksamaan.

1

1


UPI

9

Bentuk Standar Peubah Keputusan

• Suatu peubah keputusan yang tidak terbatas

dalam tanda dapat dinyatakan sebagai dua peubah

keputusan nonnegatif dengan menggunakan

substitusi:

dimana dan . Selanjutnya substitusi

ini harus dilakukan pada seluruh pembatas linear

dan fungsi tujuannya.

• Oleh karena itu bentuk standar masalah PL

dinyatakan dalam bentuk matriks adalah:

jx

21

jjj xxx

01 jx 02 jx


UPI

10

Bentuk Standar Masalah PL dalam

Bentuk Matriks

• Misalkan terdapat m pembatas linear dimana

sebanyak g pembatas linear dengan tanda "≤", dan

sebanyak h pembatas linear dengan tanda "≥",

maka dapat dinyatakan bahwa terdapat

(m – g – h ) pembatas linear dengan tanda "=".


dengan pembatas linear dan pembatas tanda

s

t

s

t xcxcz 00

bxA 0x


UPI

11

Solusi Basis dan Solusi Basis Fisibel

• Bentuk standar pembatas linear adalah

(1)

Persamaan (1) dapat dinyatakan dalam bentuk

berikut ini:

(2)

dimana adalah vektor-vektor yang

merupakan vektor kolom pada matriks A dengan

orde dimana .

• Pada pembahasan ini diasumsikan bahwa

persamaan (1) konsisten.

bxA

bxxx NN 2211

Naaa ,,, 21

Nm hgnN


UPI

12

• Persamaan (1) diasumsikan bahwa dan

serta tiap peubah secara tetap

diasosiasikan berkoresponden dengan vektor

kolom .

• Apabila dipilih m vektor kolom yang membentuk

matriks A adalah bebas linear, dan peubah

lain yang berkoresponden dengan vektor-vektor

yang tersisa pada matriks A tersebut mempunyai

nilai nol, sehingga himpunan m persamaan

simultan itu mempunyai penyelesaian tunggal yang

dinamakan penyelesaian dasar (solusi basis).

Nm

mARank jx

j

mN


UPI

13

• m peubah dari solusi basis yang berasosiasi

dengan m vektor kolom yang bebas linear

dinamakan peubah dasar (basic variable/BV),

• (N – m) peubah sisanya dinamakan peubah

nondasar (nonbasic variable/NBV) pada

umumnya ditetapkan bernilai nol.

• Apabila terdapat satu/lebih BV yang bernilai nol

maka masalah program linear tersebut dinamakan

degenerasi dan BV yang bernilai nol dinamakan

peubah degenerasi.

• Jika seluruh peubah pada suatu solusi basis

bernilai nonnegatif, maka solusi itu dinamakan

solusi basis fisibel (BFS).KLIK


UPI

14

Memperbaiki nilai fungsi tujuan z

• Misalkan diberikan z tertentu sebagai solusi basis

awal, maka pada iterasi berikutnya akan dicoba

untuk memperoleh solusi basis fisibel yang baru

dengan nilai fungsi tujuan yang berubah.

• Apabila maksimasi maka nilai z

akan ditingkatkan dengan cara memperoleh solusi

basis fisibel yang baru sampai mencapai nilai

maksimum (optimal),dan berlaku sebaliknya untuk

kasus minimasi.

nxxxfz ,,, 21


UPI

15

• Misalkan untuk bentuk standar masalah PL

diketahui solusi basis fisibel awalnya dan B

merupakan matriks dengan orde (m x m) dimana

kolom-kolom dari matriks B merupakan vektor

basis, sehingga B dinamakan matriks basis yaitu

suatu sub matriks dari matriks A yang non singular

mNnmnmmnmm

Nnnn

Nnnn

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaa

A

2121

2221222221

1211111211


UPI

16

100

010

001

21

22221

11211

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

100

010

001

21

22212

12111

mNnmnm

Nnn

Nnn

aaa

aaa

aaa

B


UPI

17

• Ambil sembarang vektor basis dan vektor harga

dari peubah basis , kemudian dari

diidentifikasi sejumlah NBV dan BV dari persamaan

awal yang merupakan solusi basis fisibel:

atau

dan fungsi tujuannya adalah

dimana

bxA

bxB B

B

t

B xcz

Bx

Bc

100

010

001

B

mb

b

b

b

2

1

Bm

B

B

B

x

x

x

x

2

1

bdxdxdxdx mBmrBrrBrB 1111

m

i

iBi bdx1


UPI

18

• Perlu diingat bahwa B merupakan matriks berorde

(m x m) dan , hal ini berarti

bahwa tiap kolom dari matriks A , yaitu

merupakan kombinasi linear dari kolom pada

matriks B. Hubungan tersebut dapat dinyatakan

sebagai berikut:

atau

dimana:

BRankmARank

j

id

m

i

ijij

mmjjj

ad

dada

1

11

jj aB

Tmjjj aaa 1


UPI

19

• Solusi basis fisibel yang baru diperoleh dengan

cara sederhana yaitu dengan hanya mengganti

satu kolom matriks B.

• Matriks basis baru yang non singular dinotasikan

dengan yang dibentuk melalui perubahan kolom

dari matriks B dan penempatan kembali kolom

( ) dari matriks A. Dalam hal ini dapat

dinyatakan sebagai kombinasi linear dari :

(3)

B

rd

k 0k k

mdd ,,1

mmkrrkkk dadada 11


UPI

20

• apabila solusi persamaan (3) untuk disubstitusi

ke persamaan akan diperoleh solusi

basis baru yaitu:

• Solusi basisnya harus fisibel, yaitu:

untuk

dimana:

rd

m

i

iBi bdx1

ba

xdx

a

ax k

rk

Brm

rii

iBr

rk

ikBi

;1

0

Br

rk

ikBiBi x

a

axx rimi dan ,,1

0rk

BrBr

a

xx 00;min

,,1

ik

ik

Bi

mirk

Br aa

x

a

x


UPI

21

• Nilai fungsi tujuan dapat ditentukan oleh , dan

untuk permasalahan memaksimumkan z, diperoleh

dan

tetapi karena , dan maka

diperoleh:

dimana dan adalah solusi

basis fisibel untuk suatu k yang diberikan karena

dan diketahui.

zz

m

i

BiBi xcz1

m

i

BiBi xcz1

BiBi cc ri kBr cc

kkkk

rk

Br czzcza

xzz

i

t

B

m

i

ikBik acacz 1

kz

Bc

ka


UPI

22

Mengakhiri perhitungan simpleks

Secara garis besar pada tiap iterasi metode simpleks,

terdapat tiga aspek yang perlu diperhatikan, yaitu:

1. Vektor (berkorespondensi dengan peubah )

adalah calon peubah untuk menjadi peubah

masuk (entering variable/EV) pada matriks basis

apabila k memenuhi syarat:

(a.1)

k kx

0;min,,1

jjjjNj

kk czczcz


UPI

23

• Penyataan jika dan hanya jika dan

menunjukkan bahwa dapat dipilih vektor

dari matriks A untuk masuk dalam matriks basis.

• Apabila terdapat lebih dari satu k yang

menunjukkan bahwa maka nilai k yang

dipilih adalah nilai k yang menunjukkan

yang paling minimum.

zz 0 kk cz

0 k

0 kk cz

0 kk cz


UPI

24

2. Vektor (berkorespondensi dengan peubah )

akan menjadi peubah keluar (leaving variable/LV)

meninggalkan matriks basis apabila r memenuhi

syarat: (a.2)

3. Fungsi tujuan dapat diperbaiki (ditingkatkan

apabila memaksimumkan) jika dan hanya jika

dan dimana θ diperoleh pada aspek

ke-2.

00;min,,1

ik

ik

Bi

mirk

Br aa

x

a

x

00 kk cz

rd Brx


UPI

25

4. Apabila tidak ada k yang menunjukkan

Dengan kata lain terdapat nilai untuk tiap

kolom vektor pada matriks A. Hal ini berarti

bahwa nilai fungsi tujuan telah mencapai

maksimum.

Untuk masalah program linear dengan maksimasi

z = ct x dengan pembatas linear Ax = b dan pembatas

tanda x ≥ 0. Misalkan solusi basis fisibel ada dan

paling sedikit untuk satu nilai k, zk – ck < 0 dan aik ≥ 0

untuk semua (i = 1, ..., m), maka masalah program

linear tersebut mempunyai nilai tak tebatas untuk

fungsi tujuannya.

0 kk cz

0 kk cz

j


UPI

26

Untuk masalah program linear dengan maksimasi

dengan pembatas linear dan

pembatas tanda . Apabila pada solusi basis

fisibel yang diperoleh terdapat untuk tiap

kolom dari matriks A yang tidak terdapat pada

matriks B maka solusi basis fisibelnya adalah

optimal.

xcz t bxA

0x

0 jj cz

j

Pendahuluan Pengantar Metode Simpleksfile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/... · dan...

Documents

Transcript of Pendahuluan Pengantar Metode Simpleksfile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/... · dan...