Modul ke:

Fakultas

Program Studi

MATEMATIKA BISNISPendahuluan

M.SOBRON YAMIN LUBIS, M.Sc.,Ph.DEkonomi

Manajemen

Bagian Isi

• Penjelasan kontrak perkuliahan dan system perkuliahan

• Gambaran umum mata kuliah MatematikaBisnis

• Himpunan• Keterkaitan mata kuliah ini dengan mata kuliah

lain.

Materi perkuliahan

1.Himpunan2.Deret 3.Penerapan deret (Model bunga majemuk,

model pertumbuhan penduduk)4.Fungsi Linier (Keseimbangan pasar, Pajak dan

Subsidi)5.Penerapan Fungsi Linier (Analisa Break Event

Point, Fungsi Konsumsi

Sistim Evaluasi

• Ujian Tengah Semester 25 %• Ujian Akhir Semester 35 %• Tugas 30 %• Kehadiran 10 %

• Komponen Tugas :• Tugas rumah/quiz/soal mandiri 30 %

HIMPUNAN

• Himpunan adalah suatu kumpulan atau gugusan dari sejumlahobjek. Objek-objek yang mengisi atau membentuk sebuahhimpunan disebut anggota, atau elemen, atau unsur. Objek-0bjek suatu himpunan sangat bervariasi; bias berupa manusia,hewan, tanam-tanaman tertentu, benda-benda tertentu,angka-angka tertetu dan sebagainya.

• Dalam penyajian secara umum himpunan dilambangkandengan huruf-huruf besar seperti :A,B,C,P,Q,R,X,Y atau Z.sedangkan objek-objek yang menjadi anggota suatu himpunandilambangkan dengan huruf-huruf kecil seperti a,b,c,d,p,q,r,x,y,z. didaftarkan dalam tanda kurung kurawa { },anggota / elemen elemennya dipisahkan dengan tanda koma.

• Ada dua cara untuk menulis suatu himpunan, yaitu :• Dengan cara mendaftarkan satu persatu• Contoh : S adalah himpunan dari 5 bilangan bulat positif dari 1

sampai 5, maka dapat ditulis dengan:• S = {1,2,3,4,5 }• Dengan cara deskriptif• Contoh : B adalah suatu himpunan dari semua bilangan bulat

positif, maka untuk menulis satu persatu anggota/elemenyasangat sulit. Oleh karena itu cara terbaik untuk menuliskannyaadalah :

• B={ x | x bilangan bulat positif }

• Pernyataan diatas dibaca “B adalah himpunanseluruh bilangan x, sedemikain rupa sehingga xadalah bilangan bulat positif”. Pada penulisandeskriptif ini tanda garis vertical kadang-kadang boleh diganti dengan tanda titi dua ( :). Tanda ini disisipkan untuk memisahkanantara symbol anggota/elemen dengan symboluraian/deskriptif anggota/elemen. Sedangkanhuruf x disini menyatakan sembaranganggota/elemen dari himpunan.

• Suatu himpunan yang anggota atau elemennyadapat di jelaskan/disebutkan/diurutkan satupersatu disebut himpunan terbatas (finite set)seperti pada contoh himpunan S diatas.Sedangkan jika suatu himpunananggota/elemen-elemennya tidak dapatdijelaskan/disebutkan/diurutkan satu persatudisebut himpunan tak terbatas (infinite set)seperti contoh himpunan B diatas.

• Himpunan yang terbataspun dapat dituliskan secara deskriptif,misalnya D adalah himpunan seluruh bilangan bulat positifyang lebih besar dari 3 dan lebih kecil dari 9, maka dapatditulis menjadi :

• D = { x | 3 < x < 9}• Anggota dalam suatu himpunan dinyatakan dengan symbol ∈

(epsilon) dan dibaca “suatu elemen dari atau suatu anggotadari “, sehingga untuk menunjukkan suatu anggota /elementertentu x adalah anggota suatu himpunan S dapat ditulis :

• x∈S• Dan jika suatu anggota elemen y bukan anggota/elemen dari

suatu himpunan S, maka dapat ditulis :• y∉S

Hubungan antara Himpunan

• Dua himpunan adalah sama jika setiap elemendari dua himpunan adalah sama

• Contoh : A = {3,4,5,6} dan B = {3,4,5,6}• Maka A dan B dikatakan sama ( A = B ). Perlu

diingat bahwa letak elemen tidak mesti sama,tetapi jika salah satu atau lebih elemenyaberbeda maka kedua himpunan tersebut tidaksama.

• Himpunan bagian (subset) dilambangkan dengan notasi ⊂(dibaca “himpunan bagian dari “). Suatu himpunan dinyatakansebagai himpunan bagian dari himpunan yang lain jika danhanya jika setiap elemen dari himpunan tersebut adalah jugaelemen dari himpunan yang lain tersebut.

• Contoh : A = {1,2,3,4,5} dan B = {3,4,5}, maka• B ⊂ A ( dibaca : B himpunan bagian A) dapat juga ditulis

dengan cara yang lain yaitu, A ⊃ B ( dibaca : A termasuk B ).• Banyaknya himpunan bagian yang dapat dibentuk dari n

elemen dalam suatu himpunan adalah sebanyak 2n himpunanbagian.

Himpunan khusus

• Himpunan semesta (universal) adalah suatu himpunan yangberisikan semua elemen yang sesuai untuk suatu masalahtertentu. Himpunan universal ini biasanya dilambangkandengan U.

•• Komplemen (complement) dari suatu himpunan adalah

himpunan dari seluruh elemen dalam himpunan universalyang bukan anggota/elemen dari suatu himpunan tertentuyang sudah didefinisikan. Komplemen dari suatu himpunan A(misalnya) dilambangkan dengan Ac atau Ā.

• Himpunan kosong ( empty set ) atau himpunankosong ( null set ) adalah suatu himpunan yangtidak memiliki satupun anggota /elemen. Jugatidak berupa angka 0 ( nol ). Himpunan inidilambangkan dengan ∅ atau { }, jangandituliskan { 0 } karena ini berarti himpunantersebut mempunyai anggota 0 (nol).Himpunan kosong ini adalah istimewa karenaia merupakan subset himpunan yang mungkin.

Pengoperasian Himpunan

• Operasi himpuan berbeda dengan pengoperasian bilangan biasa. Pada himpunan kita mengenal istilah gabungan (union), irisan (intersection), komplemen (complement) dan selisih.

• 1.Gabungan (union) dilambangkan dengan ∪. Himpunan yang berisikan elemen hasil gabungan terdiri dari semua anggota atau elemen himpunan-himpunan yang dioperasikan.

•• Contoh : A= {2,4,6,8} dan B = {1,3,5,7}•• Maka, A ∪ B = { 1,2,3,4,5,6,7,8}

• Dalam diagram Venn hubungan tersebut diatasdapat digambar sebagai berikut :

U

BA

2.Irisan (Intersection) dilambangakan dengan ∩.Himpunan yang berisikan elemen hasil irisanterdiri dari anggota/elemen yang hanyaterdapat pada himpunan-himpunan yangdioperasikan.

• Contoh : 1) A = {1,3,5,7} dan B = {3,5,6,8}• Maka, A ∩ B = { 3,5 }

U

BA

• 2 A = {-1, -3. -5, -7} dam B = {2, 4, 6}• Maka, A ∩ B = ∅ = { }

• Dalam hal A ∩ B = ∅, yakni jika A dan B tidak mempunyai satupun anggota yang dimiliki bersama, maka A dan B dikatakan disjoin (disjoint).

U

BA

• 3.Komplemen (complement) dilambangkan dengan tanda ckecil atau garis diatas nama suatu himpunan (bar) adalahseluruh anggota/elemen yang bukan anggota/komplemensuatu himpunan.

• Contoh : A = { 1,2,3,4,5 }• Maka Ac = {x | x ∈ U dan x ∉ A }

U

BA

• Sedangkan gambar untuk Bc atau bukan B adalah :

U

BA

• 4.Selisih dilambangkan dengan tanda negativ ( - ), selisih darihimpunan A dan himpunan B, dituliskan dengan A – B atauA/B, adalah himpunan yang beranggotakan obyek-obyek milikA yang bukan obyek milik B.

• Contoh: A =- {1,3,5,7 } dan B = {3,5,6,8 }•• Maka, A – B = { 1, 7 }

• Berikut adalah gambar diagram Venn.

U

BA

• Berikut sedikit berkenaan dengan aturan main dalampengoperasian himpunan.

• Anggaplah kita memiliki himpunan-himpunan berikut :• U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9 } Q = { 4, 5, 6, 7, 8 }• P = { 1, 2, 3, 4, 5 } R = { 6, 7, 8, 9 }• Maka :• P ∪ Q = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } P ∩ Q = { 4, 5 }• P ∪ R = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } = U P ∩ R = { }• Q ∪ R = { 4, 5, 6, 7, 8, 9 } Q ∩ R = { 6, 7, 8 }• P – Q = { 1, 2, 3 } Pc = { 6, 7, 8,9 } = U -

P• P – R = { 1, 2, 3, 4, 5 } Qc= { 1, 2, 3, 9 } = U –

Q• Q – R = { 4, 5 } Rc = { 1, 2, 3, 4, 5 } =

U - R•

Kaidah-kaidah Matematika dalam Pengoperasian Himpunan• Dalam pengoperasi lebih lanjut teori

himpunan, berlaku beberapa kaidahmatematika sebagaimana terinci dalam daftarberikut :

• Kaidah Idempoten• A ∪ A = A• A ∩ A – A• Kaidah Asosiatif

– ( A ∪ B ) ∪ c = A ∪ ( B ∪ C )– ( A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C)

• Kaidah Komutatif– A ∪ B = B ∪ A– A ∩ B = B ∩ A

• Kaidah Distributif– A ∪ ( B ∩ C ) = (A ∪ B } ∩ ( A ∪ C )– A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C )

• Kaidah Identitas– A ∪ ∅ = A– A ∩ ∅ = A– A ∪ U = U– A ∩ U = U

• Kaedah Kelengkapan– A ∪ Ac = U– ( Ac )c = A– A ∩ Ac = ∅– Uc = ∅, ∅c = U

• Kaidah De Morgan– ( A ∪ B )c = Ac ∩ Bc

– ( A ∩ B )c = Ac ∪Bc

Selanjutnya daftar dibawah ini menampilkan kembali berbagailambing yang digunakan dalam teori himpunan beserta artinya.

No Lambang Arti Penggunaan

1 ∈ Anggota (element) x ∈ A ; obyek x adalah anggota dari himpunan A

2 ⊂ Himpunan bagian (subset) A ⊂ B : A adalah himpunan bagian dari B

3 ∪ Gabungan (union) A ∪ B : gabungan antara A dan B

4 ∩ Irusan (Intersection) A ∩ B : Irisan antara A dan B

5 - Selisih A – B : selisih antara A dikurangi B

6 Āa) Pelengkap A A = bilangan positif maka,

Ā = bilangan negatif

7 Ub) Himpunan universal

8 ∅c) Himpunan kosong

• Catatan : • a) sering juga ditulis dengan notasi Ac

b) adapula yang melambangkan dengan Sc) sering juga dituliskan dengan notasi { }

Terima KasihDr.Ir.M.Sobron Yamin Lubis, M.Sc