PEMROGRAMAN LINEAR February 16, 2006

Abu Abdirrahman 6

II. Pengantar Pemrograman Linear

Pemrograman linear adalan alat untuk pemecahan masalah optimasi. Metode

yang ditelah dikembangkan adalah yang dikenal dengan metode simpleks. Sejak

dikembangkan algoritma simpleks, LP telah digunakan untuk pemecahana

masalah optimasi dalam industri, seperti – perbankan, pendidikan, kehutanan,

perminyakan, perusahaan truk (ekspedisi).

2.1 Contoh Penyelesaian dengan Pemrograman linear

Pada bagian sebelumnya diberikan satu contoh yang berkaitan dengan Produksi

Mainan yang terbuat dari kayu oleh Giapetto. Bagaimanakah pemrograman linear

menyelesaikan masalah optimasi berkaitan dengan kasus tersebut? Berikut akan

diberikan apa dan bagaimana sebenarnya pemrograman linear tersebut.

Teladan 1: Usaha Ukiran Kayu Giapetto

Usaha Ukuran Kayu Giapetto, memproduksi dua jenis Mainan yang

terbuat dari kayu: Prajurit Mainan dan Kereta. Satu Prajurit

Mainan dijual dengan harga $27 dan proses produksi

membutuhkan $10 dari harga material. Setiap Prajurit mainan

yang dibuat meningkatkan variable buruh dan kelebihan biaya $14.

Untuk Setiap kereta mainan yang dibuat dijual dengan harga $21

dan membutuhkan $9 dari harga material. Untuk setiap pembuatan

Kereta Mainan meningkatkan variable buruh dan kelebihan biaya

$10. Pembuatan Tentara dan Kereta mainan dari kayu membutuh

dua jenis keahlian: Tukang kayu dan Finishing. Satu Prajurit

membutuh waktu pengerjaan finishing selama 2 jam dan 1 jam

untuk pengerjaan oleh tukang kayu. Untuk Kereta mainan

membutuhkan 1 jam untuk finishing dan2 jam untuk pengerjaan

oleh tukang kayu. Setiap minggu, Giapetto dapat memenuhi

seluruh kebutuhan material, akan tetapi hanya memiliki 100 jam

untuk pengerjaan finishing dan 80 jam untuk pengerjaan tukang

kayu. Permintaan untuk Kereta mainan dalam jumlah tak terbatas,

tapi hanya mencapai 40 unit tentara mainan tiap minggu. Giapetto

berkeinginan untuk memaksimumkan keuntungan perminggu

(keuntungan – biaya). Rumuskan model matematika dari

permasalah tersebut yang dapat digunakan untuk

memaksimumkan keuntungan.

Kode MK : Tahun Akademik : 2008/2009

Nama Mata Kuliah : Teknik Riset Operasi Semester : 5

Jurusan : Teknik Informatika Materi : Chapter 2

Dosen : Adnan Sauddin, S.Pd., M.Si

PEMROGRAMAN LINEAR February 16, 2006

Abu Abdirrahman 7

Solusi:

Dalam mengembangkan model dari kasus diatas, terlebih dahulu

kita harus mengetahui karakteristik dari masalah pemrograman

linear sebagaimana yang telah dituliskan pada bagian 1, yaitu:

Variabel Keputusan: Seluruh bagian dari proses pemecahan

masalah dengan menggunakan pemrograman linear, pertama

adalah mendefinisikan variable keputusan. Dalam model

pemrograman linear, variable keputusan secara lengkap harus

menjelaskan keputusan yang akan dibuat. Jelasnya, kasus di atas

harus diputuskan berapa banyak Tentara Mainan dan Kereta main

yang harus diproduksi tiap minggu. Dalam kasus ini,

1

2

: Jumlah Tentara Mainan yang harus produksi tiap minggu

: Jumlah Kereta Mainan yang harus diproduksi tiap minggu

x

x

Didefinisikan sebagai variable keputusan

Fungsi Tujuan: Dalam banyak permasalahan LP, pembuat

keputusan ingin memaksimumkan (pendapatan atau keuntungan)

atau meminimumkan (biaya) beberapa fungsi dari variable

keputusan. Fungsi yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan

disebut fungsi tujuan.

Dari kasus ini, diketahui biaya tetap (seperti: biaya sewa dan

jaminan) tidak bergantung pada nilai 1x dan 2x . Selanjutnya kita

dapat berkonsentrasi pada proses memaksimumkan

(pendapatan mingguan) – (Biaya pembelian material) – (biaya

variable lain).

Pendapatan mingguan dan biaya dapat diekspresikan dalam

terminology variable keputusan 1x dan 2x . Merupakan tindakan

yang kurang bijaksana, jika sebuah perusahaan memproduksi

sesuati dimana dia tidak mampu menjualnya, dengan demikian kita

asumsikan bahwa seluruh mainan yang diproduksi dari kasus ini

akan terjual. Maka

+

= +1 2

pendapatan perminggu = Pendapatan permgg dari prajurit mainan

+ Pendapatan permgg dari kereta mainan

dollar prajurit dollar Kereta=

prajurit minggu kereta minggu

27 21x x

Juga,

Biaya Material Perminggu = 10 1x + 9 2x

PEMROGRAMAN LINEAR February 16, 2006

Abu Abdirrahman 8

Biaya lain-lain perminggu = 14 1x + 10 2x

Selanjut, perusahaan Giapetto yang memaksimumkan

( ) ( ) ( )+ − + − + = +1 2 1 2 1 2 1 227 21 10 9 14 10 3 2x x x x x x x x

Fungsi tujuan dari kasus ini adalah:

1 2Maksimumkan 3 2z x x= + (0.1)

Kendala ketika 1x dan 2x meningkat, fungsi tujuan pun naik.

Artinya, Giapetto bebas memilih nilai untuk variable 1x dan 2x

untuk meningkatkan keuntungan. Namun, perlu diperhatikan

bahwa, nilai 1x dan 2x dibatasi oleh tiga keadaan beirkut (selanjut

disebut batasan atau konstrain):

Batasan 1 Tiap minggu, tidak lebih dari 100 jam waktu yang

digunakan untuk pekerjaan finishing

Batasan 2 Tiap minggu, tidak lebih dari 80 jam waktu yang

digunakan untuk pekerjaan Tukang Kayu

Batasan 3 Karena permintaan terbatas, maka prajurit mainan

yang harus diproduksi hanya pada kisaran 40 Prajurit mainan tiap

minggu.

Jumlah material yang dapat diperoleh diasumsikan tidak terbatas,

dengan demikian tidak ada pembatasan pada masalah ini.

Langkah selanjutnya dalam merumuskan model matematika dari

contoh ini adalah menyatakan batasan 1 – 3 dalam terminology

variable keputusan 1x dan 2x .

Batasan 1 dalam termonologi 1x dan 2x :

( )1 2

1 2

Total Jam Finishing Jam Finishing Pembuatan Praj. Mainan

Minggu Praj. mainan Minggu

Jam Finishing Pembuatan Kereta

Kereta Minggu

2( ) 1

2

x x

x x

=

+

= +

= +

Secara Lengkap, Rumusan batasan 1 adalah:

1 12 100x x+ ≤ (0.2)

Batasan 2 dalam terminology 1x dan 2x :

PEMROGRAMAN LINEAR February 16, 2006

Abu Abdirrahman 9

( )1 2

1 2

Total Jam Carpentry Jam Carpentry Pembuatan Praj. Mainan

Minggu Praj. mainan Minggu

Jam Carpentry Pembuatan Kereta

Kereta Minggu

1( ) 1x x

x x

=

+

= +

= +

Secara lengkap, Batasan 2 adalah:

1 2 80x x+ ≤ (0.3)

Terakhir, sebagaimana telah disebutkan pada kasus tersebut bahwa

jumlah yang dapat diproduksi pada setiap minggunya terbatas,

untuk Prajurit mainan terbatas pada 40, hal dapat dinyatakan

sebagai satu keterbatan (salah satu fungsi batasan), yaitu:

1 40x ≤ (0.4)

Kemudian, dari persamaan (0.2)-(0.4) dalam terminology variable

keputusan, dinyatakan sebagai batasan untuk masalah

pemrograman linear. Setiap nilai yangberkaitan dengan variable

keputusan disebut koefisien, contoh koefisien untuk 2x dalam

persamaan (0.3) adalah 1, hal ini mengindikasikan bahwa prajurit

mainan membutuhkan 1 jam pengerjaan oleh tukang kayu.

Bilangan yang terdapat pada bagian sebelah kanan dari masing-

masing batasan disebut sisi kanan (right-hand side or rhs).

Biasanya rhs batasan merepresentasikan jumlah sumber yang

dibutuhkan atau yang tersedia.

Tanda Keterbatasan, Untuk melengkapi rumusan dari masalah

pemrograman linear, pertanyaan yang harus dijawab yang

berkaitan dengan variable keputusan:

•••• Dapatkan variable keputusan dapat diasumsikan sebagai nilai

non-negatif?

•••• Apakah variable keputusan memungkinkan untuk diasumsikan

bahwa nilai positif dan negative?

Jika variable keputusan ix hanya dapat diasumsikan bernilai

nonnegative, maka kita tambahkan tanda batasan 0ix ≥ .

Setelah seluruh bagian diselesaikan, mulai dari penentuan Fungsi

Tujuan, Variabel Keputusan, Batasan, Tanda batasan, seluruh

bagian tersebut dituliskan dalam bentuk system persamaan linear

sebagai berikut:

PEMROGRAMAN LINEAR February 16, 2006

Abu Abdirrahman 10

1 2

1 2

2 2

1

max 3 2 (Fungsi Tujuan)

Fungsi Kendala:

2 100 (Batasan Finishing)

80 (Batasan Tukang Kayu)

40 (Batasan Permintaan ut. Praj. Mainan)

Batasan Non-negat

z x x

x x

x x

x

= +

+ ≤

+ ≤

≤

1 2if , 0 (Tanda Batasan)x x ≤

Fungsi Kendala memiliki makna bahwa nilai dari variable keputusan 1x

dan 2x harus memenuhi seluruh batasan dan tanda ketaksamaannya

(batasannya).

Sebelum diberikan definisi tentang masalah pemrograman linear, terlabih

dahulu akan didefinisikan konsep dari fungsi dan ketaksamaan linear.

Defenisi 1 : Suatu fungsi ( )1 2, , , nf x x x� dari 1x , 2x , � , nx merupakan fungsi

linear jika dan hanya jika untuk semua himpunan konstanta 1c , 2c ,

� nc ,

( )1 2 1 1 2 2, , n n nf x x x c x c x c x= + + +� �

Definisi 2 : Untuk sembarang fungsi ( )1 2, , , nf x x x� dan sembarang bilangan b ,

ketaksamaan ( )1 2, , , nf x x x� ≤ b dan ( )1 2, , , nf x x x� ≥ b

merupakan ketaksamaan linear.

Definisi 3 : Masalah Pemrograman Linear merupakan suatu masalah proses

optimasi yang memenuhi:

1. Kita berusaha untuk memaksimumkan (atau meminimumkan)

variable keputusan. Fungsi yang akan dimaksimumkan atau

diminimumkan disebut fungsi tujuan.

2. Nilai dari variable keputusan harus memenuhi himpunan

batasan. Masing-masing batasan harus merupakan persamaan

linear atau ketaksamaan linear.

3. Tanda keterbatasan berkaitan dengan masing-masing variable

keputusan. Untuk sembarang variable ix , tanda keterbatasan

yang menjelaskan ix harus nonnegative ( ix ≥ 0).

Asumsi Proporsional dan Aditif

Fakta bahwa fungsi tujuan untuk suatu masalah pemrograman linear harus

merupakan sebuah fungsi linear dari variable keputusan, keadaan terputusan

berimplikasi pada:

1. Kontribusi fungsi tujuan dari masing-masing variable keputusan adalah

proporsional terhadap nilai dari variable keputusan. Contoh: kontribusi fungsi

PEMROGRAMAN LINEAR February 16, 2006

Abu Abdirrahman 11

tujuan dari pembuatan empat Prajurit mainan (4 x 3 = $12) adalah secara

tepat empat kali kontribusi terhadap fungsi tujuan dari pembuatan satu

prajurit ($3).

2. Kontribusi fungsi tujuan untuk sembarang variable independen dari nilai

variable keputusan yang lain. Sebagai contoh, berapapun nilai dari 2x ,

pembuatan 1x akan selalu memberikan kontribusi terhadap fungsi tujuan

sebesar $3.

Secara analogi, bahwa tiap batasan dari pemrograman linear harus merupakan

ketaksamaan atau persamaan linear berimplikasi:

1. Kontribusi masing-masing variable terhadap sisi kiri dari masing-masing

batasan adalah proporsional terhadap nilai dari variable. Contoh, dibutuhk

tiga kali waktu penyelesaian (2 x 3 = 6 jam finishing) untuk membuat tiga

prajurit mainan.

2. Kontribusi variable terhadap sisi kanan dari masing-masing batasan adalah

bergantung dari nilai variable.

Implikasi pertama yang diberikan disebut asumsi proporsional. Implikasi

kedua dari yang pertama merupakan nilai fungsi tujuan adalah jumlah kontribusi

setiap variable secara sendiri-sendiri, dan akibat yang kedua dari daftar kontribusi

kedua bahwa sisi kanan dari masing-masing batasan merupakan jumlah

kontribusi dari masing-masing variable. Untuk alas an tersebut, implikasi yang

kedua disebut asumsi aditif .

Daerah Penyelesaian dan Solusi Optimum

Dua dari beberapa konsep dasar yang berkaitan dengan masalah pemrograman

linear adalah daerah penyelesaian dan solusi optimal. Kita gunakan terminology

titik untuk memahami spesifikasi nilai untuk masing-msing variable keputusan.

Definisi 4 : Daerah Penyelesaian (feasible Region) untuk suatu pemrograman

linear adalah himpunan semua titik-titik yang memenuhi semua

batasan dan tanda batasan dari pemgrograman linear.

Definisi 5 : Untuk masalah maksimasi, suatu solusi optimum pada suatu

pemrograman linear merupakan sautu titik dalam daerah

penyelesaian dengan nilai fungsi tujuan terbesar. Dengan cara yang

sama, untuk suatu masalah minimasi, suatu solute optimum

merupakan titik dalam daerah penyelesaian dengan nilai fungsi

tujuan terkecil.

2.2 Bentuk Umum Pemrograman Linear (PL)

Sebagaimana yang telah dijelaskan pada bagian 2.1, bahwa masalah

pemrograman linear memuat tiga hal, yaitu:

1) Fungsi tujuan

2) Fungsi kendala (keterbatasan sumber daya)

PEMROGRAMAN LINEAR February 16, 2006

Abu Abdirrahman 12

3) Batasan Nonnegatif

Ketiga hal tersebut dapat dirumus secara matematis sebagai berikut:

1 1 2 2 3 3

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

31 1 32 2 33 3 3 3

1 1 2 2 3 3

Fungsi Tujuan, max/min

Fungsi Kendala, ( )

( )

( )

( )

n n

n n

n n

n n

m m m mn n m

z c x c x c x c x

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

= + + + +

+ + + + ≤ = ≥

+ + + + ≤ = ≥

+ + + + ≤ = ≥

+ + + + ≤ = ≥

�

�

�

�

� � � � �

�

Syarat nonnegatif 0, 1,2,3, ,

, 1,2,3, ; 1,2,3, ,

i

ij

x i n

a i m j n

≥ ∀ =

∀ = =

�

� �

(0.5)

2.3 Solusi Masalah Pemrograman Linear dengan Metode Grafik

Beberapa kasus dari masalah pemrograman linear hanya dapat diselesaikan

secara grafik terbatas pada system persamaan linear dengan dua variable.

Variable pada masalah pemrograman linear selalu disimbolkan dengan 1x dan

2x (untuk masalah dua variable).

Sebelum dijelaskan bagaimana menyelesaikan masalah pemrograman linear

dengan metode ini, terlebih dahulu dijelaskan beberapa hal yang berkaitan

dengan hal tersebut, yaitu:

a. Arah tanda ketaksamaan/persamaan pada system persamaan linear

b. Menentukan daerah penyelesaian

c. Menentukan penyelesaian optimum

Berikut penjelasan berkaitan dengan ketiga hal diatas:

Arah Tanda ketaksamaan/persamaan Andaikan kita ingin menggambarkan grafik dari himpunan titik yang memenuhi

persamaan berikut:

1 22 3 6x x+ ≤ (0.6)

Himpunan titik yang memenuhi,

2 13 6 2x x≤ −

2 1

22

3x x≤ − (0.7)

PEMROGRAMAN LINEAR February 16, 2006

Abu Abdirrahman 13

Karena pergerakannya ke bawah grafik 2x (lihat gambar 1), maka himpunan titik

yang memenuhi persamaan (0.6) dan (0.7) berada dibawah 22 13

2x x= − . Himpunan

titik-titik tersebut diindikasikan dengan bagian gambar yang berwarna merah

(dibawah garis). Jika persamaannya berbentuk 1 22 3 6x x− = , maka himpunan

titik yang memenuhinya adalah tepat pada garis dari persamaan tersebut. Dan

jika bentuk tanda ketaksamaannya adalah ≥ (besar dari), 1 22 3 6x x+ ≥ , maka

himpunan titik yang memenuhi persamaan ini diindikasikan dengan daerah yang

berwarna biru (diatas garis persamaan).

Gambar 1. Grafik ketaksamaan Linear

Menentukan Daerah Penyelesaian Dengan menggunakan kasus giapeto, menentukan daerah penyelesaian suatu

system persamaan linear secara grafik dijelaskan sebagai berikut:

Diketahui:

1 2

1 2

1

2

2 100 (Batasan)

80

40 (Tanda Keterbatasan)

0

x x

x x

x

x

+ ≤

+ ≤

≥

≥

(0.8)

Catatan:

Untuk titik-titik ( 1 2,x x ) yang berada dalam daerah penyelesaian, ( 1 2,x x ) harus

memenuhi seluruh ketaksamaan (0.8).

Penyelesaian:

•••• Gambarkan 1 22 100x x+ ≤ pada bidang kartesius

� Untuk 1x =0, ⇒ 2x =100 (tempatkan kedua titik yang diperoleh pada

bidang kartesius

Secara sederhana:

- Jika tanda ketaksamaannya adalah ≤ ,

maka himpunan titik yang memenuhi

persamaan yang dimaksud berada di

bawah garis

- Jika tanda ketaksamaannya adalah ≥ ,

maka himpunan titik yang memnuhi

persamaaan yang dimaksud berada di atas

- Jika tandanya =, maka himpunan titik yang

memenuhi tepat sepanjang garis dari

persamaan yang dimaksud

PEMROGRAMAN LINEAR February 16, 2006

Abu Abdirrahman 14

� Untuk 2x =0, ⇒ 1x =50 (tempat kedua titik yang diperoleh pada

bidang kartesius)

� Tarik garis penghubung dari titik 2x =100 ke titik 1x =50

•••• Gambarkan 1 2 80x x+ ≤ pada bidang kartesius

� Untuk 1x =0, ⇒ 2x =80 (tempatkan kedua titik yang diperoleh pada

bidang kartesius

� Untuk 2x =0, ⇒ 1x =80 (tempat kedua titik yang diperoleh pada

bidang kartesius)

� Tarik garis penghubung dari titik 2x =80 ke titik 1x =80

•••• Gambarkan 1 40x ≥ pada bidang kartesius

•••• Lihat Gambar 2

Gambar 2. Grafik Masalah Giapetto

PEMROGRAMAN LINEAR February 16, 2006

Abu Abdirrahman 15

Menentukan Solusi Optimal Setelah menggambarkan daerah penyelesaian dari masalah giapetto, langkah

selanjutnya adalah menentukan titik-titik penyelesaian optimal dari kasus

tersebut, yaitu titik yang terdapat dalam daerah penyelesaian yang memberikan

nilai terbesar terhadap fungsi tujuan, 1 23 2z x x= + .

Untuk menentukan solusi optimum, yang harus kita lakukan adalah

mengambarkan sebuah garis yang disebut dengan isoprofit, , jika merupakan

permasalah maksimasi, dan garis isocost, jika merupakan permasalahan

minimasi.

Untuk kasus giapetto,

Diketahui

1 23 2z x x= +

Ambil titik (20,0), maka z = 3(20) + 2(0) = 60.

Kemudian,

1 2

2 1

3 2 60

330

2

x x

x x

+ =

= −

Sebagaimana yang telah dipelajari dalam Kalkulus, turunan pertama dari

2 1

330

2x x= − adalah '

2

3

2x = − merupakan koefisien kemiringan dari garis

1 23 2 60x x+ = . Dengan demikian, karena persamaan 1 23 2 60x x+ = memiliki

kemiringan yang sama, '

2

3

2x = − , maka sekali kita menggambarkan satu garis iso

profit, kita dapat mendapatkan seluruh garis isoprofit dengan menggeser garis

isoprofit yang pertama secara parallel.

Solusi optimumnya dapat ditentukan berdasarkan titik terluar yang

bersinggungan dengan garis isoprofit yang telah digambarkan. Dari

gambar 2, titik terluar adalah titik G, G(20,60), sehingga solusi optimum dari

kasus ini adalah:

1 23 2

3(20) 2(60) 180

x z+ =

+ =

180.

2.4 Kasus yang diselesaikan

Dalam menentukan penyelesaian dari suatu system persamaan linear, ada tiga

jenis dari masalah LP yang sering kita jumpai:

1. Masalah LP dengan jumlah solusi optimal yang tak terbatas

2. Masalah LP dengan tanpa penyelesaian

3. Masalah LP dengan penyelesaian tak terbatas

PEMROGRAMAN LINEAR February 16, 2006

Abu Abdirrahman 16

Berikut akan diberikan contoh yang berkaitan dengan hal tersebut, untuk

penentuan solusi optimum diberikan kepada mahasiswa sebagai tugas.

Kasus 1: (memiliki himpunan penyelesaian optimum yang banyak)

Suatu perusahaan otomotof memproduksi dua jenis kendaraan, mobil sedan dan

truck. Tiap komponen harus diproses dalam bengkel pengecatan dan bengkel

pemasangan body. Jika bengkel pengecatan hanya mengecat truck, maka dalam

sehari dapat menyelesaikan 40 truck. Jika bengket pengecatan hanya mengecat

mobil, maka dalam sehari dapat menyelesaikan 60 mobil sedan . Jika bengkel

pengerjaan body hanya membuat mobil sedan, maka dalam sehari dapat

menghasilkan 50 body mobil sedan. Jika bengkel pengerjaan body hanya

membuat truck, maka dalam sehari dapat menghasilkan 50 body truck. Tiap

truck yang dihasilkan memberikan keuntungan sebesar $300, dan tiap mobil

sedan yang dihasilkan memberikan keuntungan sebesar $200. Gunakan

Pemrograman linear untuk menentukan rencana produksi perhari yang akan

memaksimumkan keuntungan perusahaan.

Kasus 2: (Kasus tanpa penyelesaian)

Andaikan bahwa dealer dari pabrik ini membutuhkan jumlah produksi paling

sedikit 30 untuk truk dan 20 untuk mobil sedan. Tentukan solusi optimum untuk

pemrograman linear yang baru.

Kasus 3: (Penyelesaian tak terbatas)

PEMROGRAMAN LINEAR February 16, 2006

Abu Abdirrahman 17

Contoh

Kelompok A

Untuk soal nomor 1 – 4, tentukan yang

mana yang termasuk, solusi optimum

tunggal, banyak, tak terbatas, tanpa solusi

optimum.

1.

1 2

1 2

1 2

1 2

Maks

Kendala 4

5

, 0

z x x

x x

x x

x x

= +

+ ≤

− ≥

≥

2.

1 2

1 2

1 2

1 2

Maks 4

Kendala 8 2 16

5 2 12

, 0

z x x

x x

x x

x x

= +

+ ≤

− ≤

≥

3.

1 2

1 2

1 2

1 2

Maks 3

Kendala 4

2 4

, 0

z x x

x x

x x

x x

= − +

− ≤

+ ≥

≥

4.

1 2

1 2

1 2

1 2

Maks 3

Kendala 2 6

3 9

, 0

z x x

x x

x x

x x

= +

+ ≤

+ ≥

≥

5. Benar atau salah: Untuk suatu LP yang

penyelesaiannya akan tak terbatas,

daerah penyelesaian dari LP tersebut

harus tak terbatas.

6. Benar atau salah: Setiap LP dengan

daerah penyelesaian tak terbatas

mempunyai solusi optimum tak terbatas.

7. Tentukan semua solusi optimum

masalah LP beriktu dengan

menggunakan metode grafik:

1 2

1 2

1 2

2 1

1 2

Min

Kendala 6

0

3

, 0

z x x

x x

x x

x x

x x

= −

+ ≤

− ≥

− ≥

≥

8. Tentukan dua solusi optimum

masalah LP beriktu dengan

menggunakan metode grafik

1 2

1 2

1 2

1 2

min 3 5

Kendala 3 2 36

3 5 45

, 0

z x x

x x

x x

x x

= +

+ ≤

+ ≥

≥

Kelompok B

9. Manager keuangan Boris Milkem

telah menyetujui mata uang prancis

(frenc) dan mata uang amerika

(dollar). Pada jam 12 tengah malam,

dia dapat membeli francs dengan 0.25

dollar per franc dan dollar dengan 3

francs per dollar. Misalkan 1x

merupakan jumlah dollar yang dibeli

dan 2x merupakan jumlah francs

yang dibeli. Andaikan bahwa kedua

jenis transaksi membutuhkan tempat

secara bersamaan, dan hanya terbatas

pada jam 12.01. Boris harus

mempunyai bilangan nonnegative

dari francs dan dollars.

a. Rumuskan masalah LP dari Boris

untuk memaksimumkan jumlah

dollars yang harus dimiliki

setelah seluruh transaksi selesai

b. Tentukan solusi optimum dari LP

secara grafik dengan berikan

ulasan terhadap jawaban tersebut.