PEMODELAN : OSILASI BEBAS

Persamaan diferensial homogen linear dengan koefisien konstanta mempunyai terapan penting dalam rekayasa. Di dalam bab ini akan dibahas terapan semacam itu, yang memang sangat penting. Terapan ini diambil dari mekanika. Pemodelan yaitu pembentukan model matematis bagi berbagai sistem fisik.

Pembentukan Model Pegas biasanya bersifat melawan tekanan maupun regangan. Pegas digantung secara vertical (gambar 34). Di ujung bawah digantung sebuah benda dengan massa m. dibandingkan dengan massa benda, massa pegas diasumsikan dapat diabaikan. Kalau benda itu ditarik sampai jarak tertentu dan kemuadian dilepaskan, maka akan mengalami suatu gerakan. Diasumsikan bahwa benda itu bergerak dalam arah vertical sempurna. Untuk menentukan gerakan sistem mekanis maka perhatikan gaya-gaya yang bekerja pada benda itu selama geraknya. Ini akan membawa pada sebuah persamaan diferensial, dan dengan memecahkan persamaan ini maka akan diperoleh pergeseran (displacement) benda itu sebagai fungsi waktu.

Untuk itu dapat mengambil arah ke bawah sebagai arah positif dan menetapkan gaya-gaya yang bekerja ke bawah sebagai bernilai positif sedangkan yang bekerja ke atas sebagai bernilai negatif. Gaya paling jelas yang bekerja pada benda itu adalah gaya tarik gravitasi.

.................................................. (1) Dimana m adalah massa benda dan g (= 980 cm/det ) adalah percepatan gravitasi. Selanjutnya diperhatikan gaya pegas F2 yang bekerja pada benda tersebut. Percobaan menunjukan bahwa dalam batas-batas tertentu. Besarnya gaya itu sebanding dengan perubahan panjang pegas. Arah gaya itu keatas jika pegas tersebut ditarik ke bawah dan ke bawah jika pegas itu ditekan ke atas. Jadi,2

(Hukum Hooke) ........................................... (2) Dimana s menyatakan pergeseran benda itu (ingat bahwa ujung atas pegas selalu tetap), konstanta kesebandingan k disebut modulus pegas, dan tanda minus membuat F 2 negatif (ke atas) untuk semua s positif (pegas ditarik) dan positif (ke bawah) untuk s negatif (ditekan). Jikas s = 1, maka F2 = - k. semakin kuat pegas itu, semakin besar nilai k. Ketika benda itu diam tidak bergerak, gaya gravitasi dan gaya pegas berada dalam kesetimbangan, resultantenya nol. .......................................... (3) Dimana s0 adalah perpanjangan pegas pada posisi ini, yang disebut posisi kesetimbangan static (static equilibrium position). Pergeseran benda dari posisi kesetimbangan static (y = 0) dilambangkan dengan y = y(t)[t waktu], dengan ke bawah sebagai arah positif (gambar 34). Pergeseran ini, menurut hokum hooke, menimbulkan suatu gaya tambahan sebesar ky pada benda tersebut. Dengan demikian, resultante gaya-gaya yang bekerja pada benda itu pada posisi y(t) adalah [bandingkan dengan (3)] .................................................... (4)

Sistem Tak Teredam: Persamaan dan Solusinya Jika peredaman sistem itu begitu kecil sehingga dapat diabaikan, maka (4) merupakan resultante semua gaya yang bekerja pada benda itu. Persamaan diferensialnya sekarang dapat diperoleh bedasarkan hukum kedua newton :

Yang dimaksud dengan gaya ialah resultante semua gaya yang bekerja pada benda tersebut. Didalam kasu ini, perceptan adalah sedangkan resultante gaya itu diberikan oleh (4). Jadi,

Ini berarti gerak sistem ini mengikuti persamaan diferensial linear dengan koefisien konstanta. ................................................ (5)

Dengan motode pada bab 2.4, diperoleh solusi umum ...................... (6)

Gerak yang mengikuti persamaan ini disebut osilasi selaras (harmonik osillation). Gambar 35 menggambarkan bentuk tipikal persamaan (6) untuk pergeseran awal positif tertentu y(0) [sehingga A = y(0) didalam (6)] dan beberapa kecepatan awal y = 0 yang berbeda [masing-masing menentukan satu nilai B di dalam (6), sebab ].

Dengan menerapkan rumus kosinus, maka dapat memverivikasi bahwa (6) dapat ditulis sebagai [lihat juga (13) didalam apendiks 3].

.................... (6*)

Karena periode fungsi trigonometri didalam (6) adalah 2/0, benda itu mengalami 0/2 siklus atau getaran per detik. Nama lain dari siklus/detik adalah hertz (Hz).

Teladan 1. Sistem Tak Teredam. Osilasi Selaras Contoh : Jika sebuah bola besi dengan berat W = 89.00 newton (sekitar 9 kg) meregangkan sebuah pegas 10.00 cm. berapa siklus per menitkah getaran yang dialami oleh sistem massa-pegas tersebut? Tentukan persamaan geraknya bila sistem itu kita ditarik ke bawah sejauh 15.00 cm lagi? Penyelesaian Dari (2) diperoleh nilai k = 89.00/0.1000 = 890.0 newton/meter. Massa benda itu m = W/g = 89.00/9.8000 = 9.082 kg. ini menghasilkan frekuensi

Atau 94.5 siklus per menit. Dari (6) dan kondisi awal, y(0) = A = 0.1500 m dan y(0) = 0B = 0. Jadi, persamaan geraknya adalah :

Sistem Teredam: Persamaan dan Solusinya Jika menghubungkan massa dengan suatu peredam (Gambar 36) maka harus memperhitungkan pengaruh redaman tersebut. Gaya peredam ini mempunyai arah yang berlawanan dengan gerak saat itu, dan diasumsikan bahwa besar sebanding dengan kecepatan y = dy/dt benda itu. Hampiran ini biasanya sudah baik, setidaknya untuk kecepatan rendah. Jadi, gaya peredam ini berbentuk Akan ditunjukan bahwa konstanta peredaman c adalah positif. Jika y positif, benda itu bergerak ke bawah (dalam arah-y positif), sehingga - cy merupakan gaya ke atas, karena menurut kesepakatan - cy < 0 sehingga c > 0. Jika y negatif, benda itu bergerak ke atas, sehingga - cy merupakan gaya ke bawah, jadi - cy > 0, yang berimlikasi c > 0.

Resultante gaya-gaya yang bekerja pada benda tersebut sekarang adalah [bandingkan dengan (4)].

Jadi, berdasarkan hokum kedua newton, , Dan dilihat bahwa gerak sistem mekanis teredam ditentukan oleh persamaan diferensial linear yang memiliki koefisien konstan.

............................................. (7)

Persamaan cirinya adalah

Dengan akar-akarnya

Jika digunakan lambang .. ........................ (8)

Maka

Bentuk solusi bagi (7) akan bergantung pada peredamannya, dan, seperti halnya dalam bab 2.2 dan 2.4, sekarang berhadapan dengan tiga kemungkinan kasus : c2 > 4mk. Dua akar nyata 1, 2 yang berbeda (Peredaman Lebih) c2 < 4mk. Dua akar konjugat kompleks. (Peredaman Kurang) c2 = 4mk. Dua akarKembar. (Peredaman Kritis)

Kasus I. Kasus II. Kasus III.

Kasus I. Peredaman Lebih Bila konstanta peredaman c begitu besarnya sehingga c2 > 4mk, maka 1 dan 2 merupakan akar-akar nyata yang berbeda. Dengan demikian, solusi umum bagi (7) adalah ..................................... (9)

Yang berarti bahwa dalam kasus ini benda ini tidak berosilasi. Untuk t > 0, kedua eksponen di dalam (9) bernilai negative sebab > 0, > 0, dan 2 = 2 k/m < 2. Dengan demikian, kedua suku didalam (9) mendekati nol jika t menuju tak hingga. Secara praktis, setelah waktu yang cukup lama massa itu akan berhenti pada posisi kesetimbangan static (y = 0). Ini dapat dimengerti sebab peredaman itu menyerap energi dari sistem tersebut dan tidak ada gaya luar yang membuat benda itu bergerak. Gambar 37 memperlihatkan (9) untuk beberapa kondisi awal yang tipikal.

Kasus II. Peredaman Kurang Kasus inilah yang paling menarik. Jika konstanta peredam c begitu kecilnya sehingga c2 < 4mk, maka didalam (8) merupakan bilangan khayal murni, misalnya : dengan ........................ (10)

(kita gunakan *, sebab dicadangkan untuk bab 2.13) akar-akar persamaan cirinya merupakan konjugat kompleks.

(dengan seperti diberikan di dalam (8) dan solusi umumnya adalah ..................... (11) Dengan dalam hal ini C2 = A2 + B2 dengan tan = B/A [seperti 6*]. Solusi ini menggambarkan osilasi teredam. Karena cos (*t ) terletak antara -1 dan 1, berarti kurva solusinya terletak antara kurva y = Ce-t dan kurva y = - Ce-t dalam gambar 38, menyinggung kedua kurva itu bila *t merupakan kelipatan . Frekuensi adalah */2 siklus per detik. Dari (10) kita lihat bahwa semakin kecil c (> 0), semakin besar * dan semakin cepat osilasinya. Sementara c mendekati nol, * semakin mendekati nilai osilasi selaras (6). pada

Kasus III. Peredaman Kritis Jika c2 = 4mk, maka = 0, 1 = 2 = - , dan solusi umumnya adalah ................................................. (12)

Karena fungi eksponensial tidak pernah nol dan c1 + c2t mempunyai sebanyak-banyaknya satu nilai nol yang positif, maka gerak itu mempunyai sebanyak-banyaknya satu jalur melalui posisi kesetimbangan (y = 0). Jika kondisi awalnya membuat c1 dan c2 bertanda sama, maka jalur semacam itu tidak ada sama sekali. Ini serupa dengan kasus I. gambar 39 menunjukan bentuk (12) yang tipikal.

Teladan 2. Ketiga Kasus Gerak Teredam. Bagaimana gerak di dalam teldan 1 akan berubah bila sistem tersebut mengalami peredaman yang diberikan oleh :

(I) (II) (III) jawab

c = 200.0 kg/det, c = 100.0 kg/det, c = 179.8 kg/det ?

ada baiknya mempelajari dan membandingkan kasus-kasus itu dengan perilaku sistem dan teladan 1.

(I) Masalah tersebut adalah Persamaan cirinya mempunyai akar-akar 1,2 = - = - 11.01 4.822, jadi 1 = - 6.190 dan 2 = - 15.83. dari (9) dan kondisi awal di atas, diperoleh c1 + c2 = 0.1500, 1c1 + 2 c2 = 0. Jadi, solusinya adalah

Solusi ini mendekati 0 jika t. Proses pendekatan ini sangat cepat. Praktis, hanya dalam beberapa detik saja ia sudah menjadi 0; artinya bola itu berhenti. (II) Masalah tetap seperti diatas, namun kali ini c = 100, bukan 200. Akar-akarnya berupa sepasang konjugat kompleks 1,2 = - i* = - 5.506 8.227i,

Dari (11) dan kondisi awal diperoleh A = 0.1500, - A + * = 0 atau = 0.1004. Ini menghasilkan solusi

Osilasi teredam ini lebih lambat daripada osilasi selaras pada teladan 1 sekitar 17%. (III) Masalahnya tetap seperti diatas, dengan c = 179.8. Karena c2 = 4mk, maka memperbolehkan akar kembar = - 9.899. Dari (12) dan kondisi awalnya, diperoleh c1 = 0.1500, c2 + c1 = 0, c2 = 1.485. Jadi, solusinya adalah

Nilai y turun dengan cepat ke nol secara monoton.