Pemodelan Matematika

Bidang matematika yang berusaha utk

merepresentasi dan menjelaskan masalah

pada dunia real dalam pernyataan matematik

Resepresentasi

matematika

Model Matematika

Model Matematika

Fisika

Biologi & Kedokteran

Teknik

Ekonomi

dsb

Jenis-jenis Model

Matematika

Model Empiris

data

Model Simulasi Model

Deterministik Model Stokastik

komputer Persamaan, variasi

random diabaikan Persamaan, menggunakan

variasi random

PROSES PEMODELAN

1. SISTEM MASSA PEGAS HORISONTAL

Gerakan massa m

secara horisontal m

k

Asumsi: massa hanya bergerak dlm satu arah, katakanlah dlm

arah x

Hukum Newton II

= jumlahan vektor seluruh gaya yang bekerja pada titik massa

benda

Gaya adalah laju perubahan momentum m , dimana

kecepatan massa

Jika adalah (vektor) posisi massa maka

Asumsikan massa m konstan maka

Sehingga pd sistem massa pegas

Tidak ada gaya yang dilakukan oleh pegas

Pegas pada posisi setimbang (x = 0)

F dikatakan sbg gaya

pemulih (restoring force)

• Jika tdk ada gaya luar maka gaya yg bekerja pd massa m

hanya gaya pegas.

• Gaya ini bergantung pd elastisitas pegas & dinyatakan scr

linier oleh posisi massa thd posisi setimbang

Hukum Hooke

k = konstanta pegas

x = posisi massa thd posisi setimbang

Hukum Hooke & Hukum Newton II

Model matematika plg sederhana ttg sistem massa pegas

Atau

PD linier homogen orde dua dgn koefisien konstan

Bentuk eksponensial

Solusi ??

Substitusikan ke pers.

diperoleh

Diperoleh dua akar imajiner

Solusi umum : kombinasi linier dr dan

Dgn deret Taylor diperoleh

sehingga

Solusi yg diinginkan adlh

dengan

Solusi umum tsb merupakan kombinasi linier dari dua fungsi

berosilasi, yaitu cosinus dan sinus.

Solusi tsb ekivalen dgn:

dimana

atau

A adlh amplitudo osilasi dan adlh fase osilasi

adlh fase pd saat t = 0

Secara matematis suatu fungsi f(t) dikatakan periodik dgn

periode T jika f (t + T)= f (t)

Periode dr fungsi sinus adlh 2π, jika T adlh periode osilasi maka

berlaku

Sehingga diperoleh

dan

ω disebut frekuensi sirkuler, yaitu jumlah periode dlm 2π

satuan waktu

Jumlah osilasi dlm satu satuan waktu disebut sbg frekuensi f

yg dirumuskan sbg