TUGAS PEMICU IV

KOMPUTASI PROSES TEKNIK KIMIA

OLEH:

KELOMPOK VII

1. MELVHA HUTAPEA / 080405058

2. RETNO DIAN PURBA / 100405040

3. NOFRIKO PRATAMA / 100405046

4. ANDA PUTRA / 100405052

5. FELICIA / 100405055

6. AGNES SARTIKA D P / 100405071

DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2012

METODE EULER

1. Metode Euler Eksplisit

Metode Euler merupakan metode yang paling sederhana untuk

mengintegrasikan PDB orde satu secara numerik. Kondisi atau syarat atau nilai

awal (xo, yo) digunakan untuk menghitung besarnya slope (atau tangen arah) y(x)

pada x = xo:

Dengan menganggap bahwa slope (dy/dx) pada interval x bernilai tetap, maka

nilai y(xo+x) dapat diperkirakan sebesar:

y(xo +x ) = y(xo )+x f (xo , yo )

Selanjutnya, nilai-nilai x dan y ini (yakni x = x0+x dan y = y(x0+x)) digunakan

untuk memperkirakan besarnya slope pada titik yang baru. Atau, nilai y(x0+2x)

dapat dihitung sbb:

y(xo + 2x ) = y(xo + x ) + x f (xo +x, y(xo +x ))

Demikian seterusnya.

Pola perhitungan yang beruntun ini digambarkan sebagai bentuk umum metode

Euler Eksplisit:

atau: yi+1 = yi +x . f ( xi , yi )

atau: yi+1 = yi + h . f ( xi , yi )

dengan: x = h menyatakan lebar langkah (step size)

f (xi , yi) merupakan bentuk persamaan diferensial seperti pada persamaan

diferensial

, sehingga:

atau

Perhatikan bahwa formula metode Euler ini juga dapat dijabarkan dari

ekspansi deret Taylor untuk yi+1 di sekitar yi:

dengan mengabaikan suku-suku berorde x2 (=h2) dan yang lebih tinggi.

Dengan kata lain, metode Euler ini mempunyai tingkat ketelitian yang dinyatakan

dengan local truncation error sebesar:

ei = (x2) atau: ei = (h

2)

Metode ini mempunyai global truncation error sebesar:

Ei = nilai eksak yi nilai pendekatan numerik yi

Gambar 1.1 Representasi Metode Euler Eksplisit

Contoh Soal

Gunakan metode Euler untuk menghitung nilai y pada x = 1 jika:

=

2 dengan nilai awal: y = 1 pada x = 0

Penyelesaian:

Formula metode Euler untuk kasus ini dapat dituliskan sebagai: yi+1 = yi

+x 2

Jika diambil step size x = 0,1, maka:

pada xo = 0 dan yo = 1 dapat dihitung:

y1 = 1 + (0,1) (0)2 (1) = 1

Selanjutnya, pada x1 = xo + x = 0 + 0,1 = 0,1 dan y1 = 1 dapat dihitung:

y2 = 1 + (0,1) (0,1)2 (1) = 1,001

Selanjutnya, pada x2 = x1 + x = 0,1 + 0,1 = 0,2 dan y2 = 1,001 dapat dihitung:

y3 = 1,001 + (0,1) (0,2)2 (1,001) = 1,005

Demikian seterusnya, hingga diperoleh y pada x = 1.

Sebagai perbandingan, dapat diambil nilai step size yang lain, misalnya: x = 0,05

x = 0,02, dan x = 0,2. Dengan cara yang sama, maka dapat diperoleh hasil-

hasil perhitungan sebagai berikut:

Tabel 2.1 Hasil Perhitungan Dengan Variasi Step Size

Dan apabila diplotkan nilai x dan y, akan diperoleh grafik sebagai berikut:

Gambar 2.1 Hasil Perhitungan Dengan Variasi Step Size

2. Metode Euler Implisit

Seperti yang ditunjukkan sebelumnya, ada batasan pada langkah metode

Euler untuk persamaan diferensial. Batasan ini terkhusus untuk disebut sistem

kaku. Untuk menggambarkan apa yang dimaksud dengan sistem kaku

berdasarkan:

2

2 + 1001

+ 1000y = 0

Solusi umumnya adalah:

y Ae-t + Be

-1000t

dimana A dan B adalah konstanta. Persamaan pertama lebih lambat

penyelesaiannya dibandingkan dengan persamaan kedua. Sehingga, setelah saat t:

Penerapan dari metode Euler, kita dapat mengurangi persamaan orde kedua untuk

dua persamaan orde pertama oleh:

z =

sehingga:

= -1001z 1000y

= z

Langkah dasar Euler:

Dalam prakteknya kita tidak tahu nilai yn +1. Jadi kita perlu mulai dari y0. Dasar

langkah untuk bentuk persamaannya adalah:

= f(x,y)

xn+1 = xn + x

yn+1 = yn + f(xn+1,yn+1)x

Karena secara umum f (x, y) adalah, fungsi non-linear dari y, diperlukan

iterasi untuk memecahkan persamaan terakhir untuk yn +1. Karena yn +1 tidak

secara eksplisit diberikan, metode ini disebut implisitEuler metode.

Hasil penyelesaian stiff equation dengan metode Euler eksplisit dan implicit

ditunjukkan dibawah ini. Dimana t = 0,1 untuk kedua metode.

Catatan: metode eksplisit menjadi tidak stabil pada t yang besar.

Contoh Soal:

Gunakan metode Euler, untuk menyelesaikan persamaan differensial

y = -y; dengan syarat y(0) = 1

Misalkan h yang akan digunakan adalah 0.01 untuk x dalam interval [0,04].

Penggunaan persamaan terakhir dengan h(x) = 0,01 memberikan hasil berikut :

y(0,01) = 1 + (0,01)(-1) = 0,99

y(0,02) = 0,99 + (0,01)(-0,99) = 0,9801

y(0,03) = 0,9801 + (0,01)(-0,9801) = 0,9703

y(0,04) = 0,9703 + (0,01)(-0,9703) = 0,9606

Solusi eksak dari persamaan differensial di atas adaalah y = e-x

, dan dari nilai x =

0,04 diperoleh nilai y = 0,9606.

METODE RUNGE-KUTTA

Ada dua alasan utama mengapa metode Euler umumnya tidak digunakan

dalam komputasi ilmiah. Pertama, kesalahan pemotongan per langkah terkait dengan

metode ini jauh lebih besar daripada yang terkait dengan lainnya, lebih maju, metode

(untuk nilai tertentu h). Kedua, metode Euler terlalu rentan terhadap ketidakstabilan

numerik.

Alasan utama bahwa metode Euler memiliki seperti kesalahan pemotongan

besar per langkah adalah bahwa dalam mengembangkan solusi dari xn untuk x{n +1}

metode hanya mengevaluasi derivatif pada awal interval: yaitu, pada xn. Metode ini,

oleh karena itu, sangat asimetris sehubungan dengan awal dan akhir interval. Kita

dapat membuat metode integrasi yang lebih simetris dengan membuat langkah

percobaan Euler-seperti untuk titik tengah dari interval, dan kemudian menggunakan

nilai dari kedua x dan y pada titik tengah untuk membuat langkah nyata di interval.

Untuk lebih tepatnya,

Sebagaimana ditunjukkan dalam jangka kesalahan, simetrisasi ini

membatalkan kesalahan orde pertama, dengan membuat metode orde kedua. Bahkan,

metode di atas umumnya dikenal sebagai metode orde kedua Runge-Kutta. Metode

Euler dapat dianggap sebagai metode orde pertama Runge-Kutta.

Salah satu anggota keluarga Runge-Kutta metode begitu umum digunakan

sehingga sering disebut sebagai "RK4", "klasik Runge-Kutta metode" atau hanya

sebagai "metode Runge-Kutta". Biarkan masalah nilai awal ditetapkan sebagai

berikut.

Di sini, y adalah fungsi yang tidak diketahui (skalar atau vektor) dari waktu t

yang kita ingin perkiraan, kita diberitahu bahwa , tingkat di mana y perubahan,

merupakan fungsi dari t dan y sendiri. Pada saat awal , nilai y yang sesuai adalah

. Fungsi f dan data , diberikan. Sekarang memilih langkah h> 0 dan

mendefinisikan

untuk n=0,1,2,3,... , dengan

Berikut adalah pendekatan RK4 dari , dan nilai berikutnya (

) ditentukan oleh nilai sekarang ( ) ditambah rata-rata tertimbang dari empat

kenaikan , di mana kenaikan masing-masing adalah produk dari ukuran interval, h,

dan kemiringan diperkirakan ditentukan oleh fungsi f di sisi kanan dari persamaan

diferensial.

adalah kenaikan berdasarkan lereng di awal interval, menggunakan ,

(metode Euler);

adalah kenaikan didasarkan pada kemiringan pada titik tengah dari

interval, menggunakan + ;

lagi kenaikan berdasarkan kemiringan pada titik tengah, tapi sekarang

menggunakan + ;

adalah kenaikan berdasarkan lereng pada akhir interval, menggunakan

+ .

Dalam rata-rata empat bertahap, bobot yang lebih besar diberikan kepada

peningkatan pada titik tengah. Bobot yang dipilih sedemikian rupa sehingga jika f

adalah independen dari y, sehingga persamaan diferensial setara dengan terpisahkan

sederhana, maka RK4 adalah aturan Simpson.

Metode Runge-Kutta Orde 2 diberikan dalam skema berikut

yn+1 = yn + (k1 + k2)/2

dengan

k1 = hf (xn,yn), k2 = hf (xn,yn + k1)

Metode Runge-Kutta orde empat diberikan dalam rumus berikut ini:

yn+1 = yn + 1/6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)

dengan

k1 = f (xn,yn), k2 = f (xn + h/2 , yn + k1/2), k3 = f (xn + h/2,yn +k2), k4 = f(xn + h/2,yn +k3)

h = step size

Contoh

Diberikan MNA dalam bentuk

= y-x, dengan y (0) = 2 .

Tentukan y (0,1) dan y (0,2) teliti hingga empat tempat desimal:

Penyelesaian:

(i) Metode Runge-Kutta Orde Dua

Pilih h = 0,1 , f(x,y) = y-x, dan y (0) = 2. Kemudian tentukan nilai-nilai koefisien k1

dan k2 dengan cara berikut:

k1 = hf0 (x0,y0) = 0,1f (0,2) = 0,1 (2-0) = 0,2

k2 = hf (x0 + h,y0 + k1) = 0,1 [f ( 0 + 0,1 , 2 + 0,2)]

k2 = 0,1 [f(0,1 ; 2,2)]

k2 = 0,1 (2,2 0,1) = 0,21

Kemudian dihitung nilai y pertama yaitu

y1 = (0,1)

= y0 + (k1 +k2)

= 2 + (0,2 + 0,21)

= 2,2050

Guna mendapatkan nilai fungsi y2

= y(0,2), diperlukan x0 = 0,1 dan y

0 = 2,2050.

Dengan cara yang sama diperoleh:

k1 = hf0 (x0,y0)

= 0,1f (0,1 ; 2,2050)

= 0,1f (2,2050 0,1) = 0,2105

k2 = hf (x0 + h,y0 + k1)

= 0,1 f (0,2 , 2,4155)

= 0,1 f (2,4155 0,2)

= 0,22155

sehingga

y2 = y0 + (k1+k2)

= 2,20050 + (0,2105 + 0,22155)

= 2,4210

Analog, akan diperoleh pula

y3

= y (0,3) = 2,6492

dan

y4

= y (0,4) = 2,8909

Untuk keperluan pembanding, dapat diperlihatkan bahwa ketika pilihan h = 0,2

diperoleh

y (0,2) = 2,4200 dan y (0,4) = 2,8880.

Dari hasil numerik ini, memperlihatkan betapa pilihan h memainkan peranan dalam

hal keakuratan aproksimasi.

Sementara itu, solusi secara analitik MNA dalam Contoh adalah fungsi. Solusi

analitik untuk nilai-nilai y (0,2) dan y (0,4) berturut-turut adalah 2,4214 dan 2,8918

Berikut ini rekapitulasi nilai-nilai fungsi solusi Contoh yang telah dikemukakan.

x y hitung y eksak Selisih Rasio

0,2 h = 0,1 : 2,4210

2,4214 0,0004

3,5 h = 0,2 : 2,4200 0,0014

0,3 h = 0,1 : 2,8909

2,4918 0,0009

4,2 h = 0,2 : 2,8880 0,0038

Dari tabel di atas terlihat bahwa metode Runge-Kutta orde dua konvergen

(ii) Metode Runge-Kutta Orde Empat

Analog dengan langkah-langkah penyelesai MNA dengan metode Runge-Kutta orde

dua, Metode Runge-Kutta orde empat memberikan untuk h = 0,1:

k1 = h f(x0,y0) = 0,1 (0,2)

= 0,1 f (2-0) = 0,2

k2 = h f(x0 + h, y0 + k1)

= 0,1f (0,05 , 2,1)

= 0,1 (2,1-0,05)

= 0,205

k3 = hf(x0 + h, y0 + k2)

= 0,1f (0,05 , 2 + 0,1025)

= 0,1 (2,1025 0,05)

= 0,20525

k4 = hf (x0 + h , y0 + k3)

= 0,1f ( 0,1 , 2,20525)

= 0,1 (2,20525 0,1)

= 0,21053

Dari nilai-nilai tersebut diperoleh :

y1 = y(0,1)

= y0 + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)

= 2 + (0,2 + 0,410 + 0,4105 + 0,21043)

= 2,2052

Dengan cara yang sama didapat juga y (0,2) = 2,4214

PROGRAM MATLAB

Matlab merupakan salah satu paket aplikasi matematika yang sangat cepat

dan menyenangkan untuk digunakan sebagai ala pemecahan masalah matematika

secara numerik. Masalah-masalah komputasi yang ditemui di dalam matematika

dapat diselesaikan secara jauh lebih cepat dengan Matlab. Matlab sangat cocok dan

cepat untuk melakukan perhitungan-perhitungan yang melibatkan matriks. Hal ini

sesuai dengan nama Matlab yang merupakan singkatan dari Matrix Laboratory.

Matlab dapat digunakan untuk melakukan komputasi numerik, simbolik, visualisasi,

serta pemrograman.

Contoh aplikasi dari Matlab adalah penyelesaian persamaan diferensial.

Matlab menyediakan beberapa perintah untuk menyelesaikan persamaan diferensial

biasa (PDB) maupun persamaan diferensial parsial (PDP), baik tingkat rendah

maupun tingkat tinggi.

PERSAMAAN DIFERENSIAL

1. Persamaan Diferensial Biasa Orde 1 Tunggal

Bentuk umum :

a. Metoda Euler Eksplisit

Bentuk umum :

Contoh :

Dengan menggunakan metoda euler eksplisit, tentukanlah nilai y pada x =1 jika

dy/dx = x2y, dimana y = 1 pada x = 0.

Penyelesaian:

Dari bentuk umum, maka:

Bila dipilih x = 0,1

maka:

b. Metoda Runge-Kutta

Bentuk umum:

c. Metoda Euler Implisit

Bentuk umum:

d. Fungsi Built-in Matlab

Contoh : Program untuk persamaan differensial dy/dx = x2y

Program: disimpan dalam file diferensial.m

Hasil yang diperoleh dengan fungsi built-in ode45 ini sama dengan hasil perhitungan

secara analitik.

2. Sistem Persamaan Diferensial Biasa Orde 1

Sistem persamaan diferensial biasa orde 1 melibatkan lebih dari satu PDB dengan

bentuk umum sebagai berikut:

dimana dan untuk x yang tertentu, maka yi diketahui.

Metoda yang digunakan juga sama seperti penyelesaian PDB orde 1 yang tunggal.

a. Metoda Euler Eksplisit

Karena masing-masing persamaan dyi/dx bergantung secara umum terhadap semua

nilai yi, maka masing-masing fi(x,y) harus dihitung terlebih dahulu. Maka algoritma

untuk metoda ini adalah:

dimana Sebagai contoh, yi,j merupakan nilai yi

pada nilai x yang ke-j (yaitu, jika kondisi awal ditentukan pada x = 0, maka nilai x

yang ke-j adalah j. x

b. Metoda Runge-Kutta

Bentuk umum:

3. Persamaan Diferensial Parsial

Bentuk umum:

Penyelesaian yang paling sederhana adalah dengan menggunakan Metoda Eksplisit

dengan pendekatan beda maju:

SOLUSI PROGRAM MATLAB

Euler

Menghasilkan penyelesaian: