Pembuktian dengan Induksi Matematik - tbakhtiar.staff.ipb...

Pembuktian dengan Induksi MatematikContoh Soal

Toni Bakhtiar

Departemen Matematika IPB

September 2012

Toni Bakhtiar (m@thipb) PIM September 2012 1 / 24

Example

Dengan induksi matematik, buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli nberlaku

(1× 2) +(2× 22

)+(3× 23

)+ · · ·+ (n× 2n) = (n− 1) 2n+1 + 2.

JawabDefinisikan semesta dan predikat berikut: S = N,

P(n) : (1× 2) +(2× 22

)+ · · ·+ (n× 2n) = (n− 1) 2n+1 + 2.

Basis induksi: untuk n = 1 berlaku

P(1) : 1× 21 = (1− 1)21+1 + 2⇔ P(1) : 2 = 2.

P(1) benar.Hipotesis induksi: untuk k ≥ 1, anggap P(k) benar, yaitu berlaku

(1× 2) +(2× 22

)+(3× 23

)+ · · ·+

(k × 2k

)= (k − 1) 2k+1 + 2.


Langkah induksi: Akan dibuktikan P(k + 1) benar, yaitu berlaku

(1× 2) +(2× 22

)+ · · ·+

((k + 1)× 2k+1

)= ((k + 1)− 1) 2(k+1)+1 + 2= k · 2k+2 + 2.

Bukti

Ruas kiri = (1× 2) +(2× 22

)+ · · ·+

(k × 2k

)+((k + 1)× 2k+1

)= (k − 1) 2k+1 + 2+

((k + 1)× 2k+1

)= 2k+1 [(k − 1) + (k + 1)] + 2= 2k+1 (2k) + 2

= k · 2 · 2k+1 + 2= k · 2k+2 + 2 = ruas kanan.

Terbukti. �Toni Bakhtiar (m@thipb) PIM September 2012 3 / 24

Example

Buktikan n3 − n habis dibagi 3 untuk setiap n bilangan asli.

Misalkan P(n) : n3 − n habis dibagi 3. Akan dibuktikan bahwa:

(∀n ∈N)P(n).

Basis induksi: untuk n = 1 diperoleh 13 − 1 = 0 habis dibagi 3. P(1)benar.Hipotesis induksi: untuk n = k dan k ≥ 1 andaikan P(k) benar, yaituberlaku

k3 − k habis dibagi 3⇔ k3 − k = 3m, m ∈ Z.

Langkah induksi: untuk n = k + 1 akan dibuktikan P(k + 1) benar, yaitu

(k + 1)3 − (k + 1) habis dibagi 3⇔ (k + 1)3 − (k + 1) = 3r , r ∈ Z.


Bukti

(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + 1− (k + 1)= (k3 − k) + 3k2 + 3k= 3m+ 3(k2 + k)

= 3(m+ k2 + k)

= 3r , r := m+ k2 + k .

Karena m ∈ Z maka r := m+ k2 + k ∈ Z, sehingga terbukti.


Example

Misalkan x ≥ −1. Gunakan induksi matematik untuk membuktikan bahwa

(1+ x)n ≥ 1+ nx ,

untuk setiap bilangan asli n.

JawabDefinisikan semesta dan predikat berikut: S = N,

P(n) : (1+ x)n ≥ 1+ nx , x ≥ 1.

Basis induksi: untuk n = 1 berlakuRuas kiri: 1+ xRuas kanan: 1+ x

}Benar bahwa 1+ x ≥ 1+ x

Dengan demikian P(1) benar.Hipotesis induksi: untuk k ≥ 1, anggap P(k) benar, yaitu berlaku

(1+ x)k ≥ 1+ kx .


Langkah induksi: akan dibuktikan P(k + 1) benar, yaitu berlaku

(1+ x)k+1 ≥ 1+ (k + 1)x .

Bukti Dari hipotesis induksi dan karena x ≥ −1 maka

(1+ x)k ≥ 1+ kx ⇔ (1+ x)k (1+ x) ≥ (1+ kx) (1+ x)⇔ (1+ x)k (1+ x) ≥ 1+ x + kx + kx2.

Karena k bilangan asli, maka kx2 ≥ 0, sehingga

1+ x + kx + kx2 ≥ 1+ x + kx .

Ini berarti

(1+ x)k (1+ x) ≥ 1+ x + kx ⇔ (1+ x)k+1 ≥ 1+ (k + 1) x .

Terbukti. �


Example

Diberikan barisan bilangan real x1, x2, x3, . . . yang didefinisikan oleh

x1 = 2,

xn+1 = 2− 1xn, n = 1, 2, 3, . . . .

Dengan pembuktian induksi matematik, buktikan bahwa

xn =n+ 1n

, n ≥ 2.

JawabDidefinisikan predikat:

P(n) : xn =n+ 1n

.

Akan dibuktikan dengan induksi matematik bahwa

(∀n ≥ 2)P(n).


Basis induksi: untuk n = 2, dari definisi diperoleh

x2 = 2−1x1= 2− 1

2=32.

Di lain pihak, dari rumus analitik diperoleh

x2 =2+ 12

=32

(benar).

Hipotesis induksi: untuk n = k andaikan benar bahwa

xk =k + 1k

.

Langkah induksi: untuk n = k + 1 akan dibuktikan bahwa

xk+1 =(k + 1) + 1k + 1

=k + 2k + 1

.


Bukti

xk+1 = 2− 1xk

(dari definisi)

= 2− 1k+1k

(dari hipotesis)

= 2− kk + 1

=k + 2k + 1

.

Terbukti. �


Example

Gobang adalah mata uang resmi Negeri Artamaya denganpecahan-pecahan yang berlaku adalah suku (= 2 gobang), benggol (= 5gobang), ketip (= 7 gobang), dan kawung (= 10 gobang). Di suatukejadian aneh, seorang penjual barang kelontong yang hanya memilikisejumlah pecahan benggol sebagai uang kembalian kedatangan seorangpembeli yang hanya memiliki sejumlah pecahan ketip. Buktikan bahwasetiap transaksi atas barang kelontong seharga n gobang, dengan n ≥ 25dan n bilangan asli, selalu dapat dilakukan dengan hanya menggunakanpecahan-pecahan benggol dan ketip tanpa menimbulkan utang-piutangantara penjual dan pembeli. Ilustrasi: Jika harga barang 50 gobang makapembeli membayar dengan 10 keping uang ketip dan mendapat kembalian4 keping uang benggol.

Petunjuk: Buktikan dengan induksi matematik bahwa setiap bilangan aslin, dengan n ≥ 25, selalu dapat dituliskan sebagai n = 7x − 5y ,dengan xdan y adalah suatu bilangan bulat positif.


JawabMasalah di atas ekuivalen dengan masalah berikut: dengan induksimatematik, buktikan bahwa setiap bilangan asli n, dengan n ≥ 25, selaludapat dituliskan sebagai

nharga

= 7xbayar− 5ykembalian

,

dengan x dan y adalah bilangan-bilangan bulat positif.Basis induksi: untuk n = 25 diperoleh

25 = 7 · 5− 5 · 2

sehingga diperoleh x = 5 dan y = 2 (Benar).Hipotesis induksi: untuk n = k anggap benar bahwa

k = 7a− 5b

dengan a dan b suatu bilangan bulat positif.


Langkah induksi: untuk n = k + 1 akan dibuktikan bahwa

k + 1 = 7p − 5q

dengan p dan q suatu bilangan bulat positif.Bukti

k + 1 = (7a− 5b) + 1 (dari hipotesis induksi)

= 7a− 5b+ (7 · 3− 5 · 4)= 7(a+ 3)− 5(b+ 4)= 7p − 5q, dengan p := a+ 3 dan q := b+ 4.

Karena a dan b bilangan bulat positif maka p := a+ 3 dan q := b+ 4bilangan bulat positif. Terbukti. �


Example

Buktikan untuk setiap bilangan asli n berlaku

12 + 22 + · · ·+ (n− 1)2 < n3

3.


P(n) : 12 + 22 + · · ·+ (n− 1)2 < n3

3.


(∀n ∈N)P(n).


Basis induksi: untuk n = 1 diperoleh P(1) : (1− 1)2 < 133 ⇔ 0 < 1

3 .P(1) benar.Hipotesis induksi: untuk n = k dan k ≥ 1 andaikan P(k) benar, yaituberlaku

12 + 22 + · · ·+ (k − 1)2 < k3

3.


12 + 22 + · · ·+ (k − 1)2 + k2 < (k + 1)3

3.


Bukti:

12 + 22 + · · ·+ (k − 1)2 + k2 <k3

3+ k2

=k3

3+3k2

3

<k3

3+3k2

3+3k3+13

=k3 + 3k2 + 3k + 1

3

=(k + 1)3

3.


Example

Buktikan untuk setiap bilangan asli n ≥ 10 berlaku

2n > n3.


P(n) : 2n > n3.


(∀n ≥ 10)P(n).


Basis induksi: untuk n = 10 diperolehP(10) : 210 > 103 ⇔ 1024 > 1000. P(10) benar.Hipotesis induksi: untuk n = k dan k ≥ 10 andaikan P(k) benar, yaituberlaku

2k > k3.


2k+1 > (k + 1)3.


Bukti:

2k+1 = 2 · 2k

> 2 · k3

= k3 + k3

≥ k3 + 10k2 (k ≥ 10⇔ k3 ≥ 10k2)= k3 + 3k2 + 7k2

≥ k3 + 3k2 + 70k (k ≥ 10⇔ k2 ≥ 10k ⇔ 7k2 ≥ 70k)> k3 + 3k2 + 3k + 1

= (k + 1)3.


ProblemDidefinisikan barisan bilangan a1, a2, a3, . . . dengan

a1 = 1,

a2 = 1+ 12 ,

a3 = 1+ 12 +

13 ,

...

an = 1+ 12 + · · ·+

1n , untuk semua bilangan asli n.

Buktikan untuk semua bilangan asli n berlaku

a1 + a2 + · · ·+ an = (n+ 1)an − n.


ProblemDiketahui barisan bilangan y1, y2, y3, . . . dengan

y1 = 1,

yn+1 = 14 (2yn + 3) , untuk n = 1, 2, . . . .

Dengan menggunakan induksi matematik, tunjukkan bahwa yn ≤ 2 untuksetiap bilangan asli n.

ProblemDiketahui barisan bilangan x1, x2, x3, . . . dengan

x1 = 1

xn+1 =√2√xn, untuk n = 1, 2, 3, . . . .

Dengan menggunakan induksi matematik buktikan bahwa xn ≤ xn+1untuk setiap bilangan asli n.


ProblemDiketahui barisan bilangan bulat x1, x2, x3, . . . yang didefinisikan oleh

x1 = 2,

xn = xn−1 + 2n, (untuk n ≥ 2).

Tunjukkan dengan induksi matematik bahwa untuk semua bilangan asli n,berlaku:

xn = n(n+ 1).

ProblemDengan menggunakan induksi matematik, buktikan bahwa

13 + 23 + 33 + · · ·+ n3 > n4

4.

adalah benar untuk setiap bilangan asli n. (Diketahui:(a+ b)4 = a4 + 4a3b+ 6a2b2 + 4ab3 + b4.)


ProblemDengan induksi matematik, buktikan bahwa untuk bilangan asli n berlaku

42n+1 + 3n+2 habis dibagi 13.

ProblemDengan menggunakan induksi matematik buktikan bahwa untuk setiapbilangan asli n berlaku:

3+ 11+ · · ·+ (8n− 5) = 4n2 − n.

Problem

Misalkan a bilangan real dan a 6= 1. Dengan induksi matematik, tunjukkanbahwa

1+ a+ a2 + · · ·+ an−1 = 1− an1− a

untuk setiap bilangan asli n.


ProblemPerhatikan deret berikut:

Sn =n

∑i=1

i(i + 1)!

.

1 Hitung S1, S2, dan S3. Dengan memerhatikan pola yang terbentuk,tebaklah bentuk dari Sn.

2 Dengan menggunakan induksi matematik, buktikan tebakan Anda.


Pembuktian dengan Induksi Matematik - tbakhtiar.staff.ipb...

Documents

Transcript of Pembuktian dengan Induksi Matematik - tbakhtiar.staff.ipb...