PEMBAHASAN

GARIS SINGGUNG PADA KURVA

1. Gradien garis singgung

Apabila garis ABdiputar pada titik A maka titik B akan bergerak mendekati titik A (h0) maka tali busur ABmenjadi garis singgung (g) pada kurva y = f(x) di titik A (a,f(a))dengan gradient

Sehingga persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) di titik A (a,f(a)) atau A (x1,y1) adalah

y y1 = m (x x1)Contoh :

Diketahui kurva y = x2 3x + 4 dan titik A (3,4)

a. Tentukan gradient garis singgung di titik A.

b. Tentukan persamaan garis singgung di titik A.

Jawab:

y = x2 3x + 4

y = 2x 3

a. Gradien di titik A (3,4)

m = yx=3 = 2.3 3 = 6 3 = 3

b. Persamaan garis singgung di titik A (3,4)

y y1 = m (x x1)

y 4 = 3 (x 3 )

y 4 = 3x 9

y = 3x 5 (1)Selanjutnya andaikan kurva disamping adalah grafik dari persamaan y = f(x). Maka P koordinat (c+h, f(c+h)). Dan talibusur yang melalui P dan Q mempunyai kemiringan* msec yang diberikan (gambar 4).

Maka, msec Akibatnya, gais singgung jika tidak tegak lurus adalah garis yang melalui P dengan kemiringan msec yang memenuhi

CONTOH 1 Cari kemiringan garis singgung pada kurva y = f (x) = x2 di titik (2,4).

Penyelesaian garis yang kemiringannya kita cari diperlihatkan pada gambar 5. Jelas ia mempunyai suatu kemiringan positif yang besar.

=

=

=

=

= 4(2)ATURAN PENCARIAN TURUNANTurunan suatu fungsi adalah fungsi lain . Jika adalah rumus untuk , maka adalah rumus untuk . Ketika kita menurunkan artinya kita mendiferensiasikan Turunan mengoperasikan untuk menghasilkan . Kita biasanya menggunakan simbol untuk menandakan operasi diferensiasi. Simbol menyatakan bahwa kita mengambil turunan (terhadap peubah ). Maka, kita menuliskan atau Aturan Konstanta dan Aturan Pangkat

Teorema A : Aturan Fungsi Konstanta

Jika dengan suatu konstanta, maka untuk sebarang yakni

Bukti

Teorema B : Aturan Fungsi Identitas

Jika maka ; yakni

Bukti

Teorema C : Aturan Pangkat

Jika , dengan bilangan bulat positif, maka ; yakni

Bukti

Di dalam kurung, semua suku kecuali yang pertama mempunyai sebagai faktor, sehingga masing-masing suku ini mempunyai limit nol bila mendekati nol. Jadi

Sebagai ilustrasi Teorema C, perhatikan bahwa :

Teorema D : Aturan Kelipatan Konstanta

Jika suatu konstanta dan suatu fungsi yang terdiferensial maka yakni,

Jika dinyatakan dalam kata-kata, suatu pengali konstanta k dapat dikeluarkan dari operator Dx.

Bukti

Andaikan Maka

Contoh-contoh yang mengilustrasikan hasil ini adalah

dan

Teorema E : Aturan Jumlah

Jika dan adalah fungsi-fungsi yang terdiferensial, maka yakni,

Jika dinyatakan dalam kata-kata, turunan dari suatu jumlah adalah jumlah dari turunan-turunan.

Bukti

Andaikan Maka

Teorema F : Aturan selisih

Jika dan adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka ; yakni,

Bukti

Andaikan Maka

Contoh:

Tentukan turunan dari dan Penyelesaian

(Teorema F)

(Teorema E)

(Teorema D)

(Teorema C,B,A)

Untuk mencari turunan-turunan berikutnya, kita perhatikan bahwa teorema-teorema pada jumlah dan selisih diperluas sampai sejumlah suku-suku yang berhingga. Jadi,

1. Turunan Hasilkali dan Hasilbagi

Teorema G : Aturan Hasilkali

Jika dan adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka

Yakni,

Aturan ini dihafalkan dalam kata-kata sebagai berikut : Turunan hasil kali dua fungsi adalah fungsi pertama dikalikan turunan fungsi yang kedua ditambah fungsi kedua dikalikan fungsi pertama.

Bukti

Andaikan Maka

Contoh :

Carilah turunan dengan menggunakan aturan hasil kali. Periksalah jawaban dengan menggunakan soal itu dengan cara lain.

Penyelesaian :

Untuk memeriksanya, pertama kita kalikan kemudian menurunkannya.

Jadi,

Teorema H : Aturan Hasilbagi

Andaikan dan adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan dengan . Maka

Yakni,

= Aturan ini dihafalkan dalam kata-kata sebagai berikut : Turunan suatu hasilbagi adalah sama dengan penyebut dikalikan dengan turunan pembilang dikurangi pembilang dikalikan turunan penyebut, seluruhnya dibagi dengan kuadrat penyebut.

Bukti

Andaikan . Maka

Contoh:

a. Carilah turunan .

Penyelesaian:

b. Carilah jika Penyelesaian

c. Tunjukkan bahwa aturan pangkat berlaku untuk pangkat bulat negatif; yakni,

Penyelesaian

Kita melihat sebagai bagian dari contoh sebelumnya bahwa Maka dengan rumus aturan pangkat bulat negatif didapat

.

Perhatikan gambar di samping

Gradien garis AB adalah

m EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3

= EMBED Equation.3

= EMBED Equation.3

y=f(x)

y

x

B(a+h),f(a+h)

x=a

x=a+h

A(a,f(a)

g

QUOTE = QUOTE = QUOTE

(1) Abidin, M Zainal. 2014. Modul Matematika Kelas VII Turunan Fungsi. Dalam HYPERLINK "http://meetabied.wordpress.com" http://meetabied.wordpress.com

(2) Purcell J. E & Varberg D. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitis. Jakarta. Erlangga.

_1294637450.unknown

_1294637667.unknown

_1294638124.unknown

_1294637556.unknown

_1294637415.unknown