PEMBAHASAN SOAL SESUAI KISI-KISI MATEMATIKA · PDF filePembahasan soal sesuai qcqc uas mat...

19
Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa Hal. 1 PEMBAHASAN SOAL SESUAI KISI-KISI UAS MATEMATIKA PEMINATAN XI - IPA SOAL 1 Perhatikan segitiga di bawah ini! Tentukan nilai cot cosec sec Jawab: INGAT definisi: miring depan sin depan miring sin 1 cosec miring samping cos samping miring cos 1 sec samping depan tan depan samping tan 1 cot Pada soal di atas, sisi depan = 15 cm, sisi miring = 17 cm. Sisi samping dicari dengan rumus Pythagoras. 2 2 15 17 225 289 cm 8 64

Transcript of PEMBAHASAN SOAL SESUAI KISI-KISI MATEMATIKA · PDF filePembahasan soal sesuai qcqc uas mat...

Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa Hal. 1

PEMBAHASAN SOAL SESUAI KISI-KISI UAS

MATEMATIKA PEMINATAN XI - IPA

SOAL 1

Perhatikan segitiga di bawah ini!

Tentukan nilai

cot

cosecsec

Jawab:

INGAT definisi:

miring

depansin

depan

miring

sin

1cosec

miring

sampingcos

samping

miring

cos

1sec

samping

depantan

depan

samping

tan

1cot

Pada soal di atas, sisi depan = 15 cm, sisi miring = 17 cm. Sisi samping dicari dengan rumus

Pythagoras.

22 1517

225289

cm 864

Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa Hal. 2

Maka 8

17sec ,

15

17cosec dan

15

8cot

Sehingga 64

391

8

15

120

391

15

8120

391

15

8120

136

120

255

15

815

17

8

17

cot

cosecsec

.

(Hitung-hitungan mengenai pecahan mengingatkan kenangan indah waktu sd….)

SOAL 2

Nilai dari ....4

tan3

cos)2

(sin 2

Jawab:

Ingat tabel ini aaahhhh…..!!

O ya, untuk mengubah satuan radian ke satuan derajat, gunakan konversi:

Kembali pada soal,

2

11

2

11

45tan60cos)90(sin

4

180tan

3

180cos90sin

4tan

3cos

2sin

4tan

3cos)

2(sin

2

2

2

2

2

1

8

Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa Hal. 3

SOAL 3

Jika 330cosap , dan 120tanaq serta 36 qp maka nilai dari a = ….

Jawab:

Untuk sudut yang lebih besar dari 90o, ingat kuadran-kuadran:

INGAT!! Acuan sudut adalah terhadap sumbu X bukan sumbu Y…!!

INGAT….. INGAT!!!

Untuk menghitung 330cos , perhatikan bahwa sudut kecil yang terbentuk dengan sumbu X

(BUKAN sumbu Y!!!!) adalah 30o. Sudut 330

o ada di kuadran IV, nilai cos adalah positif.

Jadi, cos 330o = cos 30

o = 3

2

1.

Untuk menghitung tan 120o, perhatikan sudut kecil yang terbentuk dengan sumbu X adalah 60

o.

Sudut 120o ada di kuadran II, nilai tan adalah negatif.

Jadi, tan 120o

= – tan 60o = 3

Dari soal, 36 qp

36120tan330cos aa

36)3(32

1 aa

Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa Hal. 4

36)332

1( a

36)32

1( a

12

32

1

36

a

SOAL 4

Diketahui 5

2sin

px dengan x sudut lancip. Maka nilai dari tan x = ….

Jawab:

Buat segitiga bantu. Ingat, sin = depan/miring.

Maka nilai tan x adalah:

2425

2tan

p

p

samping

depanx

.

SOAL 5

Himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri 32

13cos x untuk 3600 x

adalah….

Jawab: INGAT! Penyelesaian AX coscos adalah 360.kAX atau 360.kAX .

Pada soal, 32

13cos x

60cos3cos x

360.603 kx atau 360.603 kx

120.20 kx 120.20 kx

2

22

425

)2(5

p

p

Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa Hal. 5

22

1sin x

120.20 kx atau 120.20 kx

200 xk 200 xk (di luar batas)

1401 xk 1001 xk

2602 xk 2202 xk

3803 xk (di luar batas 0–360) 3403 xk

Jadi, HP = {20, 100, 140, 220, 260, 340} Solusinya ada 6 buah. SOAL 6

Himpunan penyelesaian dari persamaan 0)2)(sin1sin2( xx untuk 20 x adalah….

Jawab:

0)2)(sin1sin2( xx

01sin2 x atau 02sin x

2

1sin x 2sin x

[Tidak ada penyelesaian

sebab batas nilai sin x adalah

45sinsin x 1sin1 x ]

360.45 kx 360.)45180( kx (lihat pengumuman di bawah!)

450 xk 360.135 kx

4051 xk (di luar batas) 1350 xk

4851 xk (di luar batas)

Jadi , HP = {45O, 135O}

=

4

3 ,

4

SOAL 7

Banyaknya penyelesaian x dari persamaan 042tan4 x dengan 3600 x ada berapa buah?

Jawab:

042tan4 x

42tan4 x

12tan x

Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa Hal. 6

45tan2tan x

180.452 kx

90.5,22 kx

5,220 xk

5,1121 xk

5,2022 xk

5,2923 xk

5,3824 xk (di luar batas)

HP = {22,5 ; 112,5 ; 202,5 ; 292,5}

Banyak penyelesaian ada 4 buah!

CARA CEPAT:

Banyak penyelesaian x dari cbx tan pada selang 3600 x adalah 2b (asalkan )0c

Pada soal, b = 2. Maka banyak penyelesaiannya = 2b = 2 x 2 = 4 buah.

SOAL 8

Nilai dari cos 105o = ….

Jawab:

INGAT RUMUS:

sincoscossin)sin(

sincoscossin)sin(

sinsincoscos)cos(

sinsincoscos)cos(

)4560cos()105cos(

45sin60sin45cos60cos

22

13

2

12

2

1

2

1

64

12

4

1

(Catatan: Perhatikan tanda plus-minus pada rumus sinsincoscos)cos( )

Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa Hal. 7

SOAL 9

Diketahui 15tan x , maka ....2tan x

Jawab:

Gunakan rumus:

x

xx

2tan1

tan22tan

112

15

224

30

2251

30

151

1522

SOAL 10

Jika diubah ke bentuk penjumlahan, maka bentuk 20sin84cos2 = ….

Jawab:

Hafalkan rumuz berikut:

)cos()cos(sinsin2

)cos()cos(coscos2

)sin()sin(sincos2

)sin()sin(cossin2

BABABA

BABABA

BABABA

BABABA

Maka )2084sin()2084sin(20sin84cos2

)64sin()104sin(

SOAL 11

Jika diubah ke bentuk perkalian, maka ....cos8cos

Jawab:

Hafalkan rumuz berikut:

Udah hafal belum 4 rumuz ini? Kalau belum ….. hafalkan ya…!

2sin

2sin2coscos

2cos

2cos2coscos

2sin

2cos2sinsin

2cos

2sin2sinsin

BABABA

BABABA

BABABA

BABABA

Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa Hal. 8

Maka

2

8sin

2

8sin2cos8cos

2

7sin

2

9sin2 .

SOAL 12

Nilai ....12sin78sin

12cos78cos

Jawab:

45sin

45cos

33cos45sin2

33cos.45cos2

2

1278cos

2

1278sin2

2

1278cos

2

1278cos2

12sin78sin

12cos78cos00

00

12

2

21

21

.

SOAL 13

Jika xx cossin3 diubah menjadi bentuk )cos(xk , tentukan nilai k dan .

Jawab:

INGAT!

)cos(cossin xkxbxa

22 bak dan b

atan dengan sudut sesuai dengan tanda positif negatif

koefisien dari sin x dan cos x.

Pada soal, 3a dan 1b .

Maka 2413)1(3 2222 bak .

dan 31

3tan

b

a .

Nilai dengan 3tan ada 2 macam, yaitu 120 dan 300 .

Yang mana yang benerr?? Lihatlah pada koefisien sin (yaitu 3a ) bernilai positif, sedangkan

koefisien cos (yaitu 1b ) bernilai negatif.

Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa Hal. 9

Naahhh… sudut dengan sin positif dan cos negatif ada di kuadran berapa hayoooo…??

Di kuadran II. Sehingga, 120 (karena di kuadran II).

Jadi, k = 2 dan 120 .

SOAL 14

Nilai maksimum dari fungsi xxxf 4cos64sin5)( adalah….

Jawab:

Yuk jadikan bentuk xxxf 4cos64sin5)( ke bentuk )4cos( xk ,

dengan 61362565 22 k .

Maka )4cos(614cos64sin5)( xxxxf

Jelas nilai maksimum fungsi ini adalah ketika 1cos . Jadi 61maksf .

SOAL 15

Sederhanakan bentuk xx

x

x

xcos

sin

cos

cos

sin

.

Jawab:

Samakan dulu penyebut pecahan yang ada di dalam kurung. Maka:

xxx

xx

xx

xxx

x

x

x

xcos

sincos

coscos

sincos

sinsincos

sin

cos

cos

sin

xxx

xxcos

sincos

cossin 22

xsin

1

x cosec

Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa Hal. 10

SOAL 16

Tuliskan rumus-rumus sudut ganda dong!

Jawab:

Boleh..

Ini:

cossin22sin

22 sincos2cos

1cos2 2

2sin21

2tan1

tan22tan

SOAL 17

Hitunglah nilai-nilai limit berikut ini!

a) ....3

5sin

0

x

xLimx

b) ....4tan5

7sin 2

0

xx

xLimx

c) ....2sin

9tan.8

0

x

xxLimx

Jawab:

Gunakan rumuz-rumuz berikut:

b

a

bx

axLim

bx

axLim

bx

axLim

bx

axLim

bx

axLim

bx

axLim

xxxxxx

sin

tan

tan

sin

tan

tan

sin

sin

000000

a) .3

5

3

5sin

0

x

xLimx

(Mudah …. Alhamdulillah….)

b) 20

49

4

7

5

7

4tan5

7sin.7sin

4tan5

7sin

0

2

0

xx

xxLim

xx

xLim

xx

.

c) 0040tan.2

89tan

2sin

8

2sin

9tan.8

00

x

x

xLim

x

xxLim

xx

.

INGAT! Pada soal c) tan 9x tidak ada pasangannya, jadi dimasukkan saja x = 0 ke tan 9x.

Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa Hal. 11

SOAL 18

Hitunglah nilai-nilai limit berikut ini!

a) ....3

1)6(cos20

x

xLimx

b) ....)3(

)62cos(3323

x

xLimx

Jawab:

a) Rumus 2sin212cos sering digunakan dalam menghitung limit trigonometri yang

mengandung fungsi cos.

Dengan mengambil x3 , maka ).3(sin21)3(2cos6cos 2 xxx

Sehingga xx

xxLim

x

xLim

x

xLim

xxx

3

)3sin()3sin(2

3

1)3(sin21

3

1)6(cos

02

2

020

61

3

3

32

b) Untuk limit x tidak mendekati nol (0), maka buat variabel baru yang mendekati nol.

Misalkan 3 xu . Jika 3x maka 0u .

Maka:

2323 )3(

)]3(2cos[33

)3(

)62cos(33

x

xLim

x

xLim

xx

20

2cos33

u

uLimu

2

2

0

)sin21(33

u

uLimu

2

2

0

sin633

u

uLimu

uu

uuLimu

sinsin6

0

6

1

1

1

16

SOAL 19

....coscos

22

qx

qxLim

qx

Jawab:

Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa Hal. 12

Gunakan rumus selisih cos:

2sin

2sin2coscos

BABABA

Maka ))((

2sin

2sin2

coscos22 qxqx

qxqx

Limqx

qxLim

qxqx

)(

2.

)(

2sin2

qx

qx

Limqx

qx

Limqxqx

)1(

2

1

.)(

2sin2

qq

qq

2

1.

2

sin2

q

q

.2

sin

q

q

Perhatikan jawabannya dalam q.

CARA CEPAT:

Gunakan teorema l’Hopital dengan turunan

)(

)(

)(

)(

xg

xfLim

xg

xfLim

axax

Pada soal, .2

sin

2

sincoscos22 q

q

x

xLim

qx

qxLim

qxqx

INGAT TURUNAN FUNGSI TRIGONO:

y = sin x y’ = cos x

y = cos x y’ = – sin x

SOAL 20

Jika 43

cos220

bx

xaLimx

, maka nilai a + b = ….

Jawab:

Coba masukkan x = 0, maka 0

12

0.3

0cos2

3

cos222

a

b

a

bx

xa .

Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa Hal. 13

Karena 43

cos220

bx

xaLimx

, maka

40

12

a .

Hal ini mengharuskan 012 a sehingga bentuknya menjadi .0

0

(Jika 012 a maka

0

12a . Kontradiksi dengan 40

12

a . Sedangkan jika 012 a , maka

persamaan 40

0 masih memungkinkan).

Jadi,

012 a

2

1a

Masukkan 2

1a ke dalam limit, maka:

43

cos220

bx

xaLimx

43

cos120

bx

xLimx

43

)(2cos1

2

21

0

bx

xLimx

43

))(sin21(1

2

212

0

bx

xLimx

43

)(sin2

2

212

0

bx

xLimx

43

)sin()sin(221

21

0

xbx

xxLimx

4113

221

21

b

b1221

b241

Jadi, .2413

241

2412

241

21 ba

Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa Hal. 14

SOAL 21

Perhatikan busur lingkaran berikut ini!

Jika jari-jari r = 8 cm dan panjang busur s = 10 cm, maka besar sudut ... radian.

Jawab:

Besar sudut dalam radian didefinisikan sebagai perbandingan antara panjang

busur lingkaran (s) di hadapan sudut dengan jari-jari lingkaran (r).

Rumusnye:

r

s

Pada soal, 25,18

10

r

s radian.

Ternyata soal mengenai radian tidak sesulit

membuka tutup botol dengan peniti!!

SOAL 22

Tentukan persamaan grafik fungsi trigonometri berikut ini!

Jawab:

Sebelum menjawab soal, mari kita ingat-ingat grafik fungsi dasar sin dan cos !

Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa Hal. 15

gelombang 1 gelombang 1 gelombang 1

Bentuk umum fungsi sinus dan cosinus adalah:

dcxbay )(sin

dcxbay )(cos

Dimana: a = amplitudo b = banyaknya gelombang pada rentang 0o – 360o (atau 0 – 2) c = digeCer grafik dasar ke kiri (+) atau ke kanan (-)

d = diangkat grafik dasar ke atas (+) atau ke bawah (-)

Grafik pada soal:

Terlihat bahwa fungsi ini adalah fungsi cos karena mulainya dari puncak.

Nilai a = 6

b = 3 (ada 3 gelombang pada rentang 0 – 2)

c = 0

d = 0

Jadi, persamaan fungsinya y = 6 cos 3x.

Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa Hal. 16

SOAL 23

Dari gambar grafik menawan berikut ini,

tentukan himpunan penyelesaian: 24sin8 x .

Jawab:

Karena yang ditanya daerah 8 sin xo yang lebih kecil sama dengan 24 ,

lihat aje bagian grafik y = 8 sin x0 yang berada di bawah garis y = 24 . Lalu arsir deh!

Jawabannye: HP = }360135atau 450 { xxx

Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa Hal. 17

SOAL 24

Perhatikan grafik fungsi y = 10 sin (x – 40)o berikut ini!

Tentukan koordinat P, Q dan R!

Jawab:

Titik P dan Q adalah titik-titik ketika y = 0 Karena )40sin(10 xy

Maka )40sin(100 x

)40sin(0 x

0sin)40sin(x

360.040 kx atau 360.18040 kx

360.40 kx atau 360.220 kx

400 xk 2200 xk 4001 xk

Perhatikan grafik, untuk titik P nilai x

yang sesuai adalah x = 40, sedangkan untuk

titik Q, nilai x = 400

Jadi, koordinat titik P(40, 0) dan

Q(400, 0)

Titik R adalah perpotongan grafik dengan sumbu Y, maka nilai x = 0 . Sehingga 40sin10)400sin(10)40sin(10 xy .

Jadi, koordinat titik R(0, –10 sin40o).

Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa Hal. 18

SOAL 25

Gambarkan grafik fungsi: (a) xy 2sin1

(b) )30sin(4 xy

(c) xy sin

(d) xy 2sin

Jawab:

(a)

xy 2sin1

Keterangan: Perhatikan bahwa grafiknya naik 1 satuan ke atas, dan ada 2 gelombang pada rentang 0 – 360o .

(b)

)30sin(4 xy

Keterangan: Perhatikan bahwa grafiknya mempunyai amplitudo 4 dan posisinya geser 30 satuan ke kiri.

Pembahasan soal sesuai qcqc uas mat minat xi ipa Hal. 19

(c)

Keterangan: Perhatikan bahwa grafik y = – sin x dapat diperoleh dari mencerminkan grafik

y = x terhadap sumbu X.

(Komen: biasanya anak perempuan ahli deh dalam hal cermin-bercermin)

(d)

Keterangan: Perhatikan bahwa grafik y = sin2

x selalu berada di atas sumbu X (karena

bentuknya kuadrat sehingga nilainya selalu positif atau nol). Grafik y = sin2

x lebih ramping

daripada grafik y = sin x.

Pembahasan selesai…. Alhamdulillah…..

xy sin

xy sin

xy 2sin

xy sin