PEMBAHASAN SOAL OSN 2013

12
A. PILIHAN GANDA 3. Nilai rata-rata kelas A adalah 73, sedangkan nilai rata-rata kelas B adalah 88. Jika jumlah siswa kedua kelas tersebut adalah 75 dan nilai rata-rata kedua kelas adalah 80, maka banyak siswa kelas A adalah … orang A. 35 B. 38 C. 40 D. 42 E. 45 2. Jika a, b, c, dan d adalah bilangan bulat positip dibagi 13 berturut-turut bersisa 12, 9, 11, dan 7, maka 3a + 4b 3c + 2d dibagi 13 akan bersisa … . A. 0 B. 1 C. 7 D. 9 E. 11 Jawab : B = (3 x 12 + 4 x 9 -3 x 11 + 2 x 7 ) : 13 = 53 : 13 = 4 sisa 1 www.e51mb.blogspot.com// [email protected] ( E. SIMBOLON) 1 1. Bentuk x 4 1 mempunyai faktor sebanyak … . A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 E. 7 Jawab : A x 4 1 = (x 2 ) 2 1 2 = (x 2 1)(x 2 + 1) = (x + 1)(x 1)(x 2 + 1) Karena (x 2 + 1) tidak difaktorkan lagi, maka banyak faktornya sebanyak 3 PEMBAHASAN OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT KOTA/KABUPATEN 2013 ( E. SIMBOLON)

Transcript of PEMBAHASAN SOAL OSN 2013

Page 1: PEMBAHASAN SOAL OSN 2013

A. PILIHAN GANDA

3. Nilai rata-rata kelas A adalah 73, sedangkan nilai rata-rata kelas B adalah 88. Jika

jumlah siswa kedua kelas tersebut adalah 75 dan nilai rata-rata kedua kelas

adalah 80, maka banyak siswa kelas A adalah … orang

A. 35

B. 38

C. 40

D. 42

E. 45

2. Jika a, b, c, dan d adalah bilangan bulat positip dibagi 13 berturut-turut

bersisa 12, 9, 11, dan 7, maka 3a + 4b – 3c + 2d dibagi 13 akan bersisa … .

A. 0

B. 1

C. 7

D. 9

E. 11

Jawab : B

= (3 x 12 + 4 x 9 -3 x 11 + 2 x 7 ) : 13= 53 : 13= 4 sisa 1

www.e51mb.blogspot.com// [email protected] ( E. SIMBOLON) 1

1. Bentuk x4 – 1 mempunyai faktor sebanyak … .

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

E. 7

Jawab : A

x4 – 1 = (x2)2 – 12 = (x2 – 1)(x2 + 1)

= (x + 1)(x – 1)(x2 + 1)

Karena (x2 + 1) tidak difaktorkan lagi, maka banyak faktornya sebanyak 3

PEMBAHASAN OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT

KOTA/KABUPATEN 2013

( E. SIMBOLON)

corp
Typewritten text
Maka A = 8/15 x 75 = 40
corp
Typewritten text
JAWAB ; C A = 73 Mean = 80 B = 88 jumlah = 75
corp
Typewritten text
selisih A dan M = 7 selisih B dan M = 8 jumlah A dan B = 15
corp
Rectangle
Page 2: PEMBAHASAN SOAL OSN 2013

4. Suatu hari perbandingan jumlah uang Netty dan Agit adalah 2 : 1. Sehari

kemudian Netty memberikan uangnya sejumlah Rp100.000,00 kepada Agit.

Sekarang perbandingan uang Netty dan Agit adalah 1 : 3. Jumlah uang Netty

sekarang adalah Rp… .

A. 240.000,00

B. 180.000,00

C. 120.000,00

D. 100.000,00

E. 60.000,00

5. Jika f adalah fungsi linier, f (1) = 2000, dan f (x + 1) + 12 = f(x), maka nilai f (100) =

A. 762

B. 812

C. 832

D. 912

E. 1012

Jawab : B

Jawab : E Uang Netty mula-mula = N, dan uang Agit mula-mula adalah A Maka N : A = 2 : 1 atau N = 2A Setelah Netty memberikan Rp100.000,00 kepada Adit, (N – 100.000) : (A + 100.000) = 1 : 3 Atau A + 100.000 = 3(N – 100.000) = 3N – 300.000 Sehingga 3N – A = 400.000 Karena N = 2A atau A = ½ N, maka 3N – A = 3N – ½ N = 400.000 ⇨ 5N = 800.000 ⇨N = 160.000 Sehingga uang Netty sekarang adalah 60.000

www.e51mb.blogspot.com// [email protected] ( E. SIMBOLON) 2

f (1) = 2000 dan f (x + 1) + 12 = f(x)

ganti x = 1f(2) +12 = f(1) f(2) + 12 = 2000f(2) = 2000 - 12 = 1988f(x) = -12x + 2012maka f(100) = - 12 x 100 + 2012 = - 1200 + 2012 = 812

corp
Typewritten text
Page 3: PEMBAHASAN SOAL OSN 2013

6. Diketahui H = {k | x2 - 1 < x

2 + k < 2(x + 1), dengan x dan k bilangan bulat}.

Banyaknya himpunan bagian dari himpunan H adalah … .

A. 4

B. 8

C. 16

D. 32

E. 64

Jawab : A

7. Tiga orang A, B, dan C pinjam meminjam kelereng. Pada awalnya ketiga orang

tersebut memiliki sejumlah kelereng tertentu dan selama pinjam meminjam

mereka tidak melakukan penambahan kelereng selain melalui pinjam

meminjam diantara ketiga orang tersebut. Pada suatu hari A meminjami

sejumlah kelereng kepada B dan C sehingga jumlah kelereng B dan C masing-

masing menjadi dua kali lipat jumlah kelereng sebelumnya. Hari berikutnya B

meminjami sejumlah kelereng kepada A dan C sehingga jumlah kelereng A dan

C masing-masing menjadi dua kali lipat jumlah kelereng sebelumnya. Hari

terakhir C meminjami sejumlah kelereng kepada A dan B sehingga jumlah

kelereng A dan B masing-masing menjadi dua kali lipat jumlah kelereng

sebelumnya. Setelah dihitung akhirnya masing-masing memiliki 16 kelereng.

Banyak kelereng A mula-mula adalah ….

A. 8

B. 14

C. 26

D. 28

E. 32

Jawab : C

Hitung mundur :A : 16 => 8 => 4 => 4+22 = 26B : 16 => 8 => 8 => 28 => 14C : 16 => 32 => 16 => 16 => 8

www.e51mb.blogspot.com// [email protected] ( E. SIMBOLON) 3

Sehingga H = {0,1} dengan banyak himpunan bagian 4

Untuk x bilangan bulat > -1, (x – 1)(x + 1) < 2(x + 1) atau x – 1 < 2, dengan x yang

memenuhi adalah 0, 1, dan 2 dengan nilai k yang memenuhi 0 dan 1

Untuk x bilangan bulat < -1, (x – 1)(x + 1) > 2(x + 1) atau x – 1 > 2, tidak ada nilai x

yang memenuhi

Karena x2 - 1 < 2(x + 1) maka

Page 4: PEMBAHASAN SOAL OSN 2013

9. Jika 2013

7000 ditulis dalam bentuk desimal, maka angka ke-2013 di belakang koma

adalah …

A. 1

B. 2

C. 4

D. 5

E. 8

Jawab : D

2013

7000 = 0, 2875714

2013

7 bersisa 4, maka angka ke-2013 adalah 5

10. Diberikan angka disusun sebagai berikut: 987654321. Berapa banyak tanda

operasi penjumlahan harus disisipkan di antara angka-angka tersebut agar

menghasilkan jumlah 99?

A. 3

B. 4

C. 5

D. 7

E. 8

8. Jika jumlah dua bilangan positip adalah 24, maka nilai terkecil dari jumlah

kebalikan bilangan-bilangan tersebut adalah … .

A. 1

B. 1/2

C. 1/3

D. 1/4

E. 1/6

Jawab : E

Karena

Jawab : D

9 + 8 + 7 + 65 + 4 + 3 + 2 + 1 = 99

banyak operasi + = 7

www.e51mb.blogspot.com// [email protected] ( E. SIMBOLON) 4

Agar jumlah kebalikannya paling kecil : 1/a + 1/b = terkecil , maka a dan b sama yaitu 12 dan 12,

sehingga jumlah kebalikannya adalah 1/12 + 1/12 = 1/6

Page 5: PEMBAHASAN SOAL OSN 2013

12. Jika rata-rata 51 bilangan bulat berurutan adalah 10, maka bilangan terkecil dari

semua bilangan tersebut adalah … .

A. 5

B. 0

C. –5

D. –13

E. –15

rata-ratanya adalah 10 = 51𝑎+25×51

51

dan bilangan terbesar = 35

11. Jika barisan berikut adalah barisan bilangan bulat positip berurutan yang

dihilangkan semua bilangan kelipatan tiga: 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, …., maka

suku ke-67 barisan tersebut adalah … .

A. 59

B. 62

C. 86

D. 92

E. 100

Jawab : E

Dari barisan bilangan asli mulai 1 sampai 100 terdapat 100 bilangan

Pada barisan tersebut terdapat bilangan kelipatan 3 mulai 3 sampai 99 (33

bilangan)

Sisa bilangannya adalah 100 – 33 = 67

jawab : E

misalkan bilangan pertamanya adalah a

maka jumlah ke-51 bilangan itu adalah a + a + 1 + a + 2 + .... + a + 50 = 51a + 1275

maka bilangan terkecil adalah a = 10 – 25 = - 15

www.e51mb.blogspot.com// [email protected] ( E. SIMBOLON) 5

Page 6: PEMBAHASAN SOAL OSN 2013

15. Jika diketahui panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 1 satuan, maka jarak

titik E ke bidang datar AFH adalah … . satuan

A. 1

2

B. 2

2

C. 1

3

D. 3

3

E. 3

4

14. Lima orang anak akan naik mobil dengan kapasitas enam tempat duduk, yakni

dua di depan termasuk pengemudi (Sopir), dua di tengah, dan dua di belakang.

Jika hanya ada dua orang yang bisa mengemudi, banyak cara mengatur tempat

duduk mereka adalah … .

A. 120

B. 200

C. 220

D. 240

E. 280

Jawab : D

13. Sebuah kantong berisi 15 bola merah, 12 bola biru, dan 3 bola hijau. Diambil

sebuah bola secara acak sebanyak 2 kali tanpa pengembalian. Peluang bola yang

terambil merah pada pengambilan pertama dan hijau pada pengambilan kedua

adalah … .

A. 1/20

B. 3/58

C. 1/5

D. 3/29

E. 6/29

Jawab : B

Cara I : 2 x 5 x 4! = 10 x 24 = 240

Peluang bola merah pada pengambilan pertama = 15/30 = ½

Peluang bola hijau pada pengambilan kedua = 3/29

Sehingga peluangnya adalah ½ x 3/29 = 3/58

Cara II:Jika Si A sebagai sopir, maka ada 5! = 120 cara menempatkan yang lain

Jika si B sebagai sopir, maka ada 120 cara juga menempatkan yang lain Sehingga

total ada 240 cara

www.e51mb.blogspot.com// [email protected] ( E. SIMBOLON) 6

Page 7: PEMBAHASAN SOAL OSN 2013

Jawab : D

Perhatikan gambar di samping!

jarak E ke AFH adalah merupakan tinggi ΔAIE

dengan alas AI

EG = 2 sehingga EI = ½ 2

AI = 12 + 2

2

2

= 3

2=

1

2 6

Perhatikan gambar ΔAIE berikut!

Dengan teorema phytagoras, EJ2 = 1

2 – (1/2 6 – x)

2 = 1 – 3/2 + x 6 – x

2

Dengan teori kesebangunan, EJ2 = (1/2 6 – x)(x) = ½ x 6 – x

2

Dari kedua persamaan itu diperoleh, - ½ + x 6 – x2 = ½ x 6 – x

2 atau x( 6 – ½ 6) = ½

Sehingga diperoleh nilai x = 1

6=

1

6 6

16. Diketahui sekelompok data memiliki sifat-sifat berikut:

i. Terdiri dari 5 data bilangan bulat positip dengan rataan = 7

ii. Median = modus = 9

A B

C D

E F

G H I

A

E

I

½ 2

½ 6 – x

1

J x

Jika jangkauan didefinisikan sebagai selisih data terbesar dengan data terkecil,

maka jangkauan terbesar yang mungkin adalah … .

A. 11

B. 12

C. 13

D. 14

E. 15

Jawab : B

Karena rata-ratanya 7, maka jumlah ke-5 bilangan adalah 35

Karena modusnya 9, maka 9 paling banyak muncul

Karena mediannya 9, maka bilangan yang ditengah = 9

Bilangan bilangan itu adalah : 1, 2, 9, 9 , 13maka jangkauan = 13 -1 = 12

www.e51mb.blogspot.com// [email protected] ( E. SIMBOLON) 7

EJ2 = ( ½ 2)2 – (⅙ 6)2

= ½ - ⅙ = ⅓

EJ = ⅓ 3

⅓ 3

corp
Typewritten text
Cara cepat : 1/3 dari panjang diagonal ruang = 1/3 dari akar 3 =
Page 8: PEMBAHASAN SOAL OSN 2013

17. Di dalam suatu keranjang terdapat 12 apel Malang, dua diantaranya diketahui

busuk. Jika diambil 3 apel secara acak (random), maka peluang tepat satu di

antaranya busuk adalah … .

A. 9/22

B. 5/11

C. 4/11

D. 9/44

E. 5/22

Peluangnya = 10×9

2×11×10 =

9

22

18. Sebuah silinder tegak diletakkan di dalam kubus ABCD.EFGH dengan panjang

sisi kubus 2m. Selanjutnya silinder dipancung oleh bidang miring yang melalui

titik A, B, dan T dimana T adalah titik perpotongan diagonal bidang CDHG.

Volume terbesar silinder terpancung ini adalah … m3.

A. 3𝜋

2

B. 4𝜋

3

C. 5𝜋

4

D. 5𝜋

3

E. 7𝜋

5

Jawab : A

Perhatikan gambar berikut !

A B

C D

E F

G H

T

Silinder dengan volume terbesar adalah silinder yang

menyinggung semua sisi kubus, dengan jari-jari 1m.

Volumenya = 2π

Setelah dipancung, tinggi silinder pada T adalah 1m

Volume silinder terbesar dengan tinggi 1m adalah π.

Dan volume bagian bawah setelah terpancung ½ π

Sementara volume bagian atas = 2π - ½ π = 3

2

J I

Jawab : A

Banyak cara pengambilan 3 apel = 12C3 = 2 x 11 x 10 Banyak cara memilih 2 apel baik = 10C2 = 5 x 9 Banyak cara memilih 1 apel busuk = 2 Sehingga banyak cara memilih 2 apel baik dan 1 apel busuk = 10 x 9

𝜋

www.e51mb.blogspot.com// [email protected] ( E. SIMBOLON) 8

Page 9: PEMBAHASAN SOAL OSN 2013

19. Jika gambar di bawah ini adalah segi delapan

beraturan, maka perbandingan luas antara

daerah yang diarsir dan luas segi delapan

beraturan adalah … .

A. 1 : 3

B. 1 : 4

C. 2 : 5

D. 3 : 8

E. 3 : 7

Jawab : B

Perhatikan pemisahan bagian segi-8 beraturan pada gambar berikut

Jika panjang sisi segi-8 itu adalah a, maka b2 + b2 = a2 atau 2b2 = a2

Sehingga b = 1

2 2 a

Luas trapesium yang diarsir

= ½ x 1

2 2a x (a + a +

1

2 2a +

1

2 2a)

= ½ x 1

2 2a x (2a + 2a)

= 1

2 2a2 + ½ a2 = ½ a2(1 + 2)

Luas persegi panjang merah

= a x (a + 1

2 2a +

1

2 2a) = a2(1 + 2)

Luas segi-8 = ½ a2(1 + 2) + ½ a2(1 + 2) + a2(1 + 2)

= 2a2(1 + 2)

Sehingga luas bagian yang diarsir berbanding luas segi delapan adalah

½ a2(1 + 2) : 2a2(1 + 2)

1 : 4

20. Beberapa bilangan empat angka memiliki angka-angka penyusun tak nol yang

a

a b

b

saling berbeda dan berjumlah 10. Banyak bilangan yang dimaksud adalah … .

A. 24

B. 22

C. 20

D. 18

E. 16

Jawab : A

angka-angka penyusunnya 1, 2, 3, 4

maka banyaknya : 4! = 24 bilangan

www.e51mb.blogspot.com// [email protected] ( E. SIMBOLON) 9

Page 10: PEMBAHASAN SOAL OSN 2013

B. ISIAN SINGKAT

3. Banyak bilangan positip n sehingga 2013

𝑛2−3 berupa bilangan bulat positip adalah …

1. Tino sedang memanjat tangga dan sekarang dia berada tepat di tengah tangga.

Jika ia naik 3 anak tangga ke atas, kemudian turun 5 anak tangga, serta naik

kembali 10 anak tangga, maka Tino akan sampai di puncak tangga. Banyak anak

tangga yang dimiliki tangga tersebut adalah ….

Jawab :

soal ini adalah MedianKarena 3 – 5 + 10 = 8, diatas ada 8 dan di bawah ada 8maka 2 x 8 + 1 = 17

2. Ani mempunyai uang Rp16.500,00. Sejumlah uang itu akan dihabiskan untuk

membeli 6 buah peralatan sekolah. Ia membeli beberapa pensil dengan harga

Rp2.000,00 per pensil. Ia membeli beberapa buku dengan harga Rp2.500,00 per

buku, dan ia juga membeli beberapa kotak pensil dengan harga Rp4.000,00 per

kotak pensil. Banyak buku yang dibeli Ani adalah … .

Jawab :

Misalkan banyak pensil yang dibeli adalah p, banyak buku = b, dan banyak

kotak pensil adalah k (p, b, k adalah bilangan asli)

Maka persamaan matematika dari soal tersebut adalah

2000p + 2500b + 4000k = 16500

Disederhanakan menjadi 4p + 5b + 8k = 33 dimana p + b + k = 6

4p + 5b + 8k = 33

4p + 4b + 4k = 24

B + 4k = 9

Nilai b yang memenuhi adalah 1 dengan k = 2 atau b = 5 dengan k = 1

Karena p + b + k = 6, maka nilai yang memenuhi adalah p = 3, b = 1, dan k = 2 Jadi

banyak buku yang dibeli adalah 1

Jawab :

Karena 2013 = 3 x 11 x 61

Maka pembaginya haruslah 1, 3, 11, 33, 61, 183, 671, dan 2013

n2 – 3 = 1 ⇨ n = 2 (diambil yang positif saja)

n2 – 3 = 3 ⇨ n = 6 (diambil yang positif saja)

n2 – 3 = 11 ⇨ n = 14 (diambil yang positif saja)

n2 – 3 = 33 ⇨ n = 6 (diambil yang positif saja)

n2 – 3 = 61 ⇨ n = 8 (diambil yang positif saja)

n2 – 3 = 183 ⇨ n = 186 (diambil yang positif saja)

n2 – 3 = 671 ⇨ n = 674 (diambil yang positif saja)

n2 – 3 = 2013 ⇨ n = 2016 (diambil yang positif saja)

Jadi banyaknya n yang memenuhi adalah 8 buah

www.e51mb.blogspot.com// [email protected] ( E. SIMBOLON) 10

Page 11: PEMBAHASAN SOAL OSN 2013

4. Diberikan tabel bilangan berikut:

- 7 x - 8

2y - 5 - 4

x – 2 - 10 y

5. Jika himpunan A mempunyai anggota sebanyak x dan himpunan B mempunyai

anggota sebanyak y, x ≤ y, maka himpunan A ∪ B mempunyai anggota

Supaya anggota-anggota A ∪ B maksimum, maka anggota-anggota A dan B

semuanya berbeda dan banyak anggotanya sama. Sehingga banyak anggota dari

6. Semua bilangan asli n yang memenuhi sifat bahwa 6n2 + 5n – 4 adalah bilangan

Karena 6n2 + 5n – 4 = 6n2 – 3n + 8n – 4 = 3n(2n – 1) + 4(2n – 1) = (2n – 1)(3n + 4)

Maka salah satu dari (2n – 1)(3n + 4) harus bernilai 1 dan yang mungkin hanyalah

(2n – 1) = 1, dengan n = 1 dan 3n + 4 = 7

Sehingga n yang memenuhi hanyalah 1

7. Jika S1 = 1, S2 = S1 – 3, S3 = S2 + 5, S4 = S3 – 7, S5 = S4 + 9,... adalah suku-suku

A ∪ B adalah x + y atau 2x atau 2y

Jika diketahui bahwa jumlah masing-masing baris, kolom, dan diagonal adalah

sama, maka nilai x + y adalah … .

Jawab :

nilai tengah = -5, kebawah -5 maka ke atas + 5x = -5 + 5 = 0ke kanan + 1 maka ke kiri -12y = -5 - 1 = -6y = -3maka x + y = 0 -3 = -3

(maksimum) sebanyak … .

Jawab :

prima adalah… .

Jawab :

suatu barisan bilangan, maka S2013 = ....

Jawab :

S1 = 1

S2 = - 2

S3 = 3

S4 = - 4

S5 = 5

S6 = - 6

Demikian seterusnya, Bilangan ganjil positif dan bilangan genap negatifsehingga diperoleh : S2013 = 2013

www.e51mb.blogspot.com// [email protected] ( E. SIMBOLON) 11

Page 12: PEMBAHASAN SOAL OSN 2013

8. Pada ΔABC terdapat titik D pada BC sehingga BD : DC = 1 : 3. Titik L pada AD

sehingga AL : LD = 1 : 4. Perbandingan luas ΔACL dan ΔBDL adalah ….

A B

C

D

luas ABC = 1

Luas ABD = 1/4 dan ADC = 3/4

Luas ACL = 1/5 x 3/4 = 3/20

Luas BDL = 4/5 X 1/4 = 1/5

Maka pebandingan Luas segitiga ACL dengan BDL

= 3/20 : 1/5

= 3/20 : 4/20

= 3 : 4

9. Suatu string terdiri dari 10 angka 0, 1, atau 2. Bobot string didefinisikan sebagai

jumlah angkaangka dalam string tersebut. Sebagai contoh, string 0002002001

mempunyai bobot 5. Banyak string dengan bobot 4 adalah … .

Jawab :

10. Tita memiliki tetangga baru yang memiliki 2 anak. Jika salah satu anak tetangga

baru tersebut adalah perempuan, maka besar peluang anak yang lain adalah

laki-laki adalah … .

Jawab :

Karena anak yang satunya adalah perempuan, maka anak yang lainnya adalah

mungkin perempuan atau laki-laki. Sehingga peluang laki-laki dari anak yang

lain tersebut adalah ½

Jawab : cukup menggunakan perbandingan

www.e51mb.blogspot.com// [email protected] ( E. SIMBOLON) 12

corp
Typewritten text
I) 1111000000 => 10! / 4!.6! = 210 II) 1120000000 => 10! / 3!.7! = 120 III) 2200000000 => 10! / 2!.8! = 45 JUMLAH = 375