Pembahasan Soal OSK SMA 2017 Pembahasan Soal OSK SMA 2017 OLIMPIADE SAINS KABUPATEN SMA 2017 OSK...

download Pembahasan Soal OSK SMA 2017 Pembahasan Soal OSK SMA 2017 OLIMPIADE SAINS KABUPATEN SMA 2017 OSK Matematika

of 37

  • date post

    22-Jul-2020
  • Category

    Documents

  • view

    36
  • download

    4

Embed Size (px)

Transcript of Pembahasan Soal OSK SMA 2017 Pembahasan Soal OSK SMA 2017 OLIMPIADE SAINS KABUPATEN SMA 2017 OSK...

  • Pembahasan Soal

    OSK SMA 2017 OLIMPIADE SAINS KABUPATEN SMA 2017

    OSK Matematika SMA (Olimpiade Sains Kabupaten Matematika SMA)

    Disusun oleh:

    Pak Anang

  • Halaman 2 dari 37

    Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

    PEMBAHASAN SOAL OLIMPIADE SAINS MATEMATIKA SMA

    TINGKAT KABUPATEN 14 MARET 2017

    By Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

    1. Diketahui dan . Nilai dari adalah …. Pembahasan: Perhatikan untuk mencari bentuk jalur yang kita tempuh adalah mencari terlebih dahulu bentuk . Perhatikan karena , maka , sehingga

    Padahal karena , maka , sehingga

    P

    ak A

    na ng

    ht tp

    :// pa

    k- an

    an g.

    bl og

    sp ot

    .co m

    http://pak-anang.blogspot.com/ http://pak-anang.blogspot.com

  • Halaman 3 dari 37

    Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

    2. Empat siswa Adi, Budi, Cokro, dan Dion bertanding balap sepeda. Kita hanya diberikan sebagian informasi sebagai berikut: (a) setiap siswa sampai di garis finish pada waktu yang berlainan (b) Adi bukan juara pertama (c) Cokro kalah dari Budi Dengan hanya mengetahui informasi ini saja, banyaknya susunan juara pertama, kedua, ketiga, dan keempat adalah …. Pembahasan: Perhatikan informasi yang diberikan pada soal adalah sebagai berikut: (a) setiap siswa sampai di garis finish pada waktu yang belainan, artinya setiap posisi juara

    ditempati oleh satu orang saja. (b) Adi bukan juara pertama, artinya juara pertama tidak mungkin ditempati oleh Adi. Adi hanya

    bisa menempati posisi pada juara kedua, ketiga, atau keempat. (c) Cokro kalah dari Budi, artinya jika Cokro menjadi juara pertama, maka kemungkinan Budi

    adalah juara kedua, ketiga, atau keempat. Sedangkan jika Cokro juara kedua, maka kemungkinan Budi hanya menjadi juara ketiga atau keempat saja. Sedang jika Cokro juara ketiga, maka Budi pastilah menjadi juara keempat. Syarat ini tidak memungkinkan untuk Cokro menjadi juara keempat.

    Sehingga, dari informasi tersebut, kita misalkan posisi masing-masing juara sebagai berikut: 1. Posisi Adi.

    Kemungkinan posisi Adi adalah memilih satu tempat dari 3, sehingga . 2. Posisi Cokro dan Budi

    Kemungkinan posisi Cokro dan Budi adalah memilih dua tempat dari 3 tempat secara kombinasi, karena posisinya sudah pasti Cokro kalah dari Budi, sehingga .

    3. Posisi Dion. Posisi Dion sudah tidak perlu ditentukan karena hanya tersisa satu tempat lagi, sehingga .

    Jadi, banyaknya cara menentukan susunan juara pertama, kedua, ketiga, dan keempat adalah:

    Cara Alternatif: Manual dengan meletakkan masing-masing orang sesuai dengan informasi pada soal. Sehingga diperoleh 9 kemungkinan, yaitu:

    No Juara 1 Juara 2 Juara 3 Juara 4 1. Cokro Adi Budi Dion 2. Cokro Adi Dion Budi 3. Dion Adi Cokro Budi 4. Cokro Budi Adi Dion 5. Cokro Dion Adi Budi 6. Dion Cokro Adi Budi 7. Cokro Budi Dion Adi 8. Cokro Dion Budi Adi 9. Dion Cokro Budi Adi

    P

    ak A

    na ng

    ht tp

    :// pa

    k- an

    an g.

    bl og

    sp ot

    .co m

    http://pak-anang.blogspot.com

  • Halaman 4 dari 37

    Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

    3. Banyaknya bilangan asli yang memenuhi untuk semua bilangan asli adalah …. Pembahasan: Perhatikan , maksudnya adalah faktor dari dimana adalah bilangan asli. Pemfaktoran dari bentuk , diperoleh:

    Mudah diperiksa bahwa bentuk memuat bentuk perkalian dari 3 bilangan asli berurutan, dimana 3 bilangan asli berurutan pasti habis dibagi 6. Sehingga , untuk semua bilangan asli pasti juga habis dibagi oleh 6. Namun, setelah diperiksa lebih lanjut, ternyata 7 juga menjadi faktor dari . Misal , maka dan . Kedua nilai dan adalah juga kelipatan 7 karena . Misal adalah kelipatan 7, maka akan dibuktikan adalah juga kelipatan 7. Perhatikan,

    Jadi jelas bahwa 7 adalah salah satu faktor dari . Jadi, karena faktor adalah 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, dan 42, maka terdapat 8 buah bilangan asli yang merupakan faktor dari . Atau menggunakan rumus banyak faktor bulat positif, maka karena , sehingga banyak faktor bulat positif dari 42 adalah buah.

    P

    ak A

    na ng

    ht tp

    :// pa

    k- an

    an g.

    bl og

    sp ot

    .co m

    http://pak-anang.blogspot.com

  • Halaman 5 dari 37

    Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

    4. Pada sebuah lingkaran dengan pusat , talibusur berjarak 5 dari titik dan talibusur

    berjarak dari titik . Jika panjang jari-jari lingkaran 10, maka adalah …. Pembahasan: Ilustrasi soal terlihat pada gambar berikut:

    (i) (ii)

    Ternyata tali busur AC ada dua buah yang sesuai kriteria pada soal, yaitu berjarak dari titik . Sehingga, titik kita beri indeks masing-masing untuk membedakannya, yaitu dan . Kasus 1. Pada gambar (i), titik kita pilih berada “di atas” B. Perhatikan , misal , maka:

    sin

    sin

    sin

    Perhatikan , misal , maka:

    sin

    sin

    sin

    Padahal, sudut keliling . Sehingga sudut pusat . Jadi, dengan menggunakan aturan cosinus, diperoleh:

    s

    P

    ak A

    na ng

    ht tp

    :// pa

    k- an

    an g.

    bl og

    sp ot

    .co m

    http://pak-anang.blogspot.com

  • Halaman 6 dari 37

    Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

    Kasus 2. Pada gambar (ii), titik kita pilih berada “di bawah” B. Perhatikan , misal , maka:

    sin

    sin

    sin

    Perhatikan , misal , maka:

    sin

    sin

    sin

    Padahal, sudut keliling . Sehingga sudut pusat . Jadi, dengan menggunakan aturan cosinus, diperoleh:

    s

    Komentar terhadap soal: Menurut pandangan saya, soal ini multitafsir dan cenderung ambigu, karena memiliki dua

    penyelesaian….. Menurut kabar yang beredar kun inya adalah , yang artinya jawabannya tunggal. Padahal, dari hasil pengamatan pada soal dan ilustrasi soal pada gambar, dapat ditemukan dua nilai panjang yang dimaksud pada s al…. Jadi sebaiknya soal perlu diberi keterangan lebih lanjut agar jawaban benar tunggal dan tidak bias atau ambigu…..

    P

    ak A

    na ng

    ht tp

    :// pa

    k- an

    an g.

    bl og

    sp ot

    .co m

    http://pak-anang.blogspot.com

  • Halaman 7 dari 37

    Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

    5. Jika

    , maka nilai dari

    adalah ….

    Pembahasan: Misal, Maka, Sehingga diperoleh, Apabila kedua persamaan dikuadratkan, maka

    dan,

    Jadi, diperoleh,

    Cara Alternatif: Perhatikan,

    tambah kedua ruas dengan

    P

    ak A

    na ng

    ht tp

    :// pa

    k- an

    an g.

    bl og

    sp ot

    .co m

    http://pak-anang.blogspot.com

  • Halaman 8 dari 37

    Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

    6. Pada suatu kotak ada sekumpulan bola berwarna merah dan hitam yang secara keseluruhannya kurang dari 1000 bola. Misalkan diambil dua bola. Peluang terambilnya dua bola merah adalah

    dan peluang terambilnya dua bola hitam adalah dengan

    . Selisih terbesar yang

    mungkin dari banyaknya b la merah dan hitam adalah …. Pembahasan: Misal, banyaknya bola merah banyaknya bola hitam Sehingga, apabila banyak bola merah dan bola hitam secara keseluruhan dimisalkan dan banyak keseluruhan kurang dari 1000, maka Peluang terambil dua bola merah dan dua bola hitam adalah

    Perhatikan, pada soal diketahui

    , sehingga:

    Padahal, , sehingga:

    Jadi, nilai terbesar adalah , Sedangkan karena , jadi jumlah terbesar , maka diperoleh . Sehingga selisih terbesar yang mungkin dari banyaknya bola merah dan hitam adalah

    P

    ak A

    na ng

    ht tp

    :// pa

    k- an

    an g.

    bl og

    sp