Pembahasan semifinal omits 2013

218

Pembahasan Semifinal Omits 2013

PEMBAHASAN SEMIFINAL OMITS 2013

ISIAN SINGKAT

1. Jawaban : 0

Gunakan formulasi .

.

.

.

.

2. Jawaban :

(lihat sifat-sifat logaritma halaman 45).

.

.

.

.

Misalkan maka

diperoleh , sehingga :

.

.

Dengan Vieta’s Formulas (halaman 15) maka diperoleh .

3. Jawaban : 30

Diketahui .

Untuk bilangan asli dan bilangan asli, maka berlaku

.

.

.

selanjutnya difaktorkan menjadi :

219

Buku Panduan Jawara Omits SMP

diperoleh atau .

Untuk (tidak mungkin, sebab dan bilangan asli).

Untuk , karena 29 bilangan prima maka pasangan terurut yang

memenuhi hanyalah atau .

Jadi, nilai dari .

4. Jawaban :

Misalkan bilangan 3 angka tersebut adalah .

(lihat catatan halaman 110)

, persamaan ini disubtitusikan ke persamaan (1) dan (2) diperoleh :

.

.

.

Diperoleh

Jadi, gaji minimum PNS adalah

5. Jawaban :

.

Perhatikan bahwa :

.

sehingga untuk , maka

.

.

.

.

6. Jawaban : 81

dengan dan bilangan asli.

220


Karena bilangan asli maka haruslah faktor positif dari 6137 dan

habis dibagi 4 sehingga kemungkinannya adalah

.

Ingat bahwa bilangan asli, sehingga jika kemungkinan-kemungkinan di

atas dicek satu persatu maka yang memenuhi hanyalah ,

diperoleh dan

Nilai dari

7. Jawaban : 3

Dari data yang diketahui, banyaknya peserta semifinal OMITS 2013 :

.

Sedangkan peserta laki-laki sebanyak 30 siswa terdiri dari 12 siswa kelas VII

dan 13 siswa kelas VIII.

Dari data tersebut di atas, dapat dibuat tabel berikut :

Kelas VII Kelas VIII Kelas IX Total

Laki-Laki 12 13 30

Perempuan

Total 20 20 10 50

.

Sedangkan banyaknya peserta final OMITS 2013 :

.

Peserta laki-laki ada sebanyak 3 siswa dari kelas VII dan 4 siswa dari kelas 8.

Peserta perempuan sebanyak 7 siswa.

Dari data tersebut, dapat dibuat tabel berikut :

Kelas VII Kelas VIII Kelas IX Total

Laki-Laki 3 4

Perempuan 7

Total 5 7 15

221


.

Jadi, banyaknya peserta perempuan kelas IX yang tidak masuk semifinal

adalah siswa.

8. Jawaban : 2013

Perhatikan bahwa :

merupakan deret geometri tak hingga dengan

dan

.


dan

.


dan

.

Jumlah tak hingga dari deret geometri di atas adalah

.

Sehingga

Deret geometri tak hingga dengan dan

, maka

222


Jadi, nilai dari

.

9. Jawaban : 7

.

.

Perhatikan bahwa :

Ini berarti 23! merupakan kelipatan 13 sehingga

.

.

Dengan menggunakan Teorema Wilson bahwa jika bilangan prima, maka

, diperoleh :

.

.

.

.

Jadi, dibagi 13 bersisa 7.

10. Jawaban :

Perhatikan gambar di bawah ini !

Garis dan garis keduanya membagi persegi panjang

menjadi 2 bagian yang memiliki luas yang sama, maka

Luas Luas Luas , akibatnya

223


Luas Luas .

Luas Luas Luas Luas .

Luas Luas .

Perhatikan bahwa :

dan , akibatnya

sebangun dengan sehingga berlaku

.

Misalkan dan , dengan bilangan riil positif.

Karena , maka

Luas Luas .

.

diperoleh

.

Jadi, panjang

.

11. Jawaban : 0

Diketahui 2 sistem persamaan : dan .

Jika kedua ruas dari dikuadratkan maka diperoleh

.

Kedua sistem persamaan dan mempunyai

penyelesaian

diperoleh dan

diperoleh dan

12. Jawaban :

.

.

Perhatikan bahwa :

224


Sehingga diperoleh

Jadi, nilai dari

13. Jawaban : -2013!

Diberikan

.

Misalkan

dan .

Karena ,

maka dan merupakan akar-akar dari

.

Berdasarkan Vieta’s Formulas (halaman 15) :

.

14. Jawaban :

Perhatikan gambar berikut !

keliling .

Luas

adalah jari-jari lingkaran dalam .

.

225


Karena dan sejajar, maka sebangun dengan sehingga

berlaku

.

Misalkan

, dengan adalah suatu bilangan riil positif.

diperoleh dan .

.

Lingkaran pada gambar di atas merupakan lingkaran singgung luar segitiga

sehingga berlaku :

, dengan

keliling .

Jari-jari lingkaran dalam

Luas lingkaran dalam

15. Jawaban :

dan adalah akar-akar dari persamaan kuadrat

Berdasarkan Vieta’s Formulas (halaman 15) :

dan .

–

.

Nilai dari

.

16. Jawaban :

Misalkan bilangan bulat positif 7 digit tersebut berbentuk dengan

dan bilangan berbeda yang diambil dari dan .

Banyaknya cara memilih dan adalah

cara.

226


Banyaknya cara memilih dari bilangan dan sebagai bilangan yang

muncul satu kali pada bilangan adalah .

Banyaknya cara mengubah susunan digit-digit adalah

.

Jadi, banyaknya bilangan bulat positif 7 digit yang memenuhi adalah

.

17. Jawaban :


akibatnya dan kongruen,

sehingga .

Demikian juga karena akibatnya dan

kongruen, sehingga .

dan

.

.

sehingga

.

.

.

.

.

Jadi, jari-jari lingkaran adalah

.

227


18. Jawaban :

Diketahui

dan dengan dan

bilangan riil.

Perhatikan bahwa :

.

.

.

.

19. Jawaban : 17

Loker yang terbuka adalah loker dengan nomor suatu bilangan yang

banyaknya faktor ganjil merupakan bilangan ganjil.

Contoh. Loker yang bernomor 9. Karena 9 memiliki faktor ganjil 1, 3, dan 9,

sedangkan banyaknya faktor ganjil dari 9 adalah 3 (bilangan ganjil) maka

loker yang bernomor 9 akan terbuka (dibuka oleh siswa 1, ditutup oleh siswa

3 dan dibuka lagi oleh siswa 9).

Bilangan-bilangan yang banyaknya faktor ganjil merupakan bilangan ganjil

tersebut adalah

dan ada 7

dan ada 5

dan ada 3

dan ada 2

Jadi banyaknya loker yang terbuka adalah

20. Jawaban :

Diketahui dan .

.

Persamaan karakteristik dari relasi rekurensi linier homogen ini adalah

selanjutnya difaktorkan menjadi :

, diperoleh dan .

Karena dan berbeda maka solusi homogennya adalah

.

.

228


.

.

Jika maka

.

Jika maka

.

Jika persamaan (1) dan (2) dijumlahkan maka diperoleh :

.

Jadi, nilai dari

.

Catatan : Bentuk umum relasi rekurensi linier homogen adalah

,

dengan adalah konstanta.

Contoh.

.

.

Persamaan karakteristik dari relasi rekurensi linier homogen

yang berbentuk

adalah

.

1) Jika adalah akar-akar persamaan

karakteristik maka solusinya adalah

2) Jika adalah akar-akar persamaan

karakteristik maka solusinya adalah

3) Jika persamaan karakteristik memiliki akar yang sama

( ) dan akar yang berbeda

( maka solusinya adalah

229


Contoh.

Selesaikan relasi rekurensi berikut !

a)

b)

c) .

Penyelesaian :

a) persamaan karakteristik dari

relasi rekurensi ini adalah

, diperoleh

,

Karena maka digunakan rumus pada point (1), yaitu

b) persamaan karakteristik dari relasi

rekurensi ini adalah

, diperoleh .

Karena , maka digunakan rumus pada point (2),

yaitu

c) persamaan

karakteristik dari relasi rekurensi ini adalah

diperoleh

, .

Karena

dan maka digunakan rumus pada

point (3), yaitu

Nilai dari ataupun dapat dicari dengan menggunakan

syarat awal atau yang biasanya sudah diberikan pada

soal seperti pada soal no. 20 diatas.

230


PEMBAHASAN SEMIFINAL OMITS 2013

URAIAN

1. Jawaban :

Jika persamaan (1) dikurangi dengan persamaan (2) maka diperoleh :

Dari persamaan (3) dan (4) :

Jika disubtitusikan ke persamaan (3) maka diperoleh :

dan .

2. Jawaban : 10


Diketahui dan . Misalkan

l .

231


dan .

dan .

dan .

.

dan .

Dengan menggunakan Pythagoras, maka panjang segmen :

(bukan bilangan bulat)


(bilangan bulat)


Jadi, satu-satunya segmen yang panjangnya berupa bilangan bulat adalah

segmen , yaitu panjang .

3. Jawaban :

Nilai dari

.

4. Jawaban :

dan

Diketahui dan .

selanjutnya difaktorkan menjadi

sehingga diperoleh atau atau .

Jika maka .

232


Jika maka

.

Dari diketahui .

Jika dan maka

.

selanjutnya difaktorkan menjadi

diperoleh atau .

Jika maka .

Jika maka .

Jadi, pasangan yang memenuhi adalah

dan

Pembahasan semifinal omits 2013

Education

Transcript of Pembahasan semifinal omits 2013