Pembahasan semifinal omits 2013

of 15 /15
218 Pembahasan Semifinal Omits 2013 PEMBAHASAN SEMIFINAL OMITS 2013 ISIAN SINGKAT 1. Jawaban : 0 Gunakan formulasi . . . . . 2. Jawaban : (lihat sifat-sifat logaritma halaman 45). . . . . Misalkan maka diperoleh , sehingga : . . Dengan Vieta’s Formulas (halaman 15) maka diperoleh . 3. Jawaban : 30 Diketahui . Untuk bilangan asli dan bilangan asli, maka berlaku . . . selanjutnya difaktorkan menjadi :

Embed Size (px)

Transcript of Pembahasan semifinal omits 2013

  • 218

    Pembahasan Semifinal Omits 2013

    PEMBAHASAN SEMIFINAL OMITS 2013

    ISIAN SINGKAT

    1. Jawaban : 0

    Gunakan formulasi .

    .

    .

    .

    .

    2. Jawaban :

    (lihat sifat-sifat logaritma halaman 45).

    .

    .

    .

    .

    Misalkan maka

    diperoleh , sehingga :

    .

    .

    Dengan Vietas Formulas (halaman 15) maka diperoleh .

    3. Jawaban : 30

    Diketahui .

    Untuk bilangan asli dan bilangan asli, maka berlaku

    .

    .

    .

    selanjutnya difaktorkan menjadi :

  • 219

    Buku Panduan Jawara Omits SMP

    diperoleh atau .

    Untuk (tidak mungkin, sebab dan bilangan asli).

    Untuk , karena 29 bilangan prima maka pasangan terurut yang

    memenuhi hanyalah atau .

    Jadi, nilai dari .

    4. Jawaban :

    Misalkan bilangan 3 angka tersebut adalah .

    (lihat catatan halaman 110)

    , persamaan ini disubtitusikan ke persamaan (1) dan (2) diperoleh :

    .

    .

    .

    Diperoleh

    Jadi, gaji minimum PNS adalah

    5. Jawaban :

    .

    Perhatikan bahwa :

    .

    sehingga untuk , maka

    .

    .

    .

    .

    6. Jawaban : 81

    dengan dan bilangan asli.

  • 220

    Pembahasan Semifinal Omits 2013

    Karena bilangan asli maka haruslah faktor positif dari 6137 dan

    habis dibagi 4 sehingga kemungkinannya adalah

    .

    Ingat bahwa bilangan asli, sehingga jika kemungkinan-kemungkinan di

    atas dicek satu persatu maka yang memenuhi hanyalah ,

    diperoleh dan

    Nilai dari

    7. Jawaban : 3

    Dari data yang diketahui, banyaknya peserta semifinal OMITS 2013 :

    .

    Sedangkan peserta laki-laki sebanyak 30 siswa terdiri dari 12 siswa kelas VII

    dan 13 siswa kelas VIII.

    Dari data tersebut di atas, dapat dibuat tabel berikut :

    Kelas VII Kelas VIII Kelas IX Total

    Laki-Laki 12 13 30

    Perempuan

    Total 20 20 10 50

    .

    Sedangkan banyaknya peserta final OMITS 2013 :

    .

    Peserta laki-laki ada sebanyak 3 siswa dari kelas VII dan 4 siswa dari kelas 8.

    Peserta perempuan sebanyak 7 siswa.

    Dari data tersebut, dapat dibuat tabel berikut :

    Kelas VII Kelas VIII Kelas IX Total

    Laki-Laki 3 4

    Perempuan 7

    Total 5 7 15

  • 221

    Buku Panduan Jawara Omits SMP

    .

    Jadi, banyaknya peserta perempuan kelas IX yang tidak masuk semifinal

    adalah siswa.

    8. Jawaban : 2013

    Perhatikan bahwa :

    merupakan deret geometri tak hingga dengan

    dan

    .

    merupakan deret geometri tak hingga dengan

    dan

    .

    merupakan deret geometri tak hingga dengan

    dan

    .

    Jumlah tak hingga dari deret geometri di atas adalah

    .

    Sehingga

    Deret geometri tak hingga dengan dan

    , maka

  • 222

    Pembahasan Semifinal Omits 2013

    Jadi, nilai dari

    .

    9. Jawaban : 7

    .

    .

    Perhatikan bahwa :

    Ini berarti 23! merupakan kelipatan 13 sehingga

    .

    .

    Dengan menggunakan Teorema Wilson bahwa jika bilangan prima, maka

    , diperoleh :

    .

    .

    .

    .

    Jadi, dibagi 13 bersisa 7.

    10. Jawaban :

    Perhatikan gambar di bawah ini !

    Garis dan garis keduanya membagi persegi panjang

    menjadi 2 bagian yang memiliki luas yang sama, maka

    Luas Luas Luas , akibatnya

  • 223

    Buku Panduan Jawara Omits SMP

    Luas Luas .

    Luas Luas Luas Luas .

    Luas Luas .

    Perhatikan bahwa :

    dan , akibatnya

    sebangun dengan sehingga berlaku

    .

    Misalkan dan , dengan bilangan riil positif.

    Karena , maka

    Luas Luas .

    .

    diperoleh

    .

    Jadi, panjang

    .

    11. Jawaban : 0

    Diketahui 2 sistem persamaan : dan .

    Jika kedua ruas dari dikuadratkan maka diperoleh

    .

    Kedua sistem persamaan dan mempunyai

    penyelesaian

    diperoleh dan

    diperoleh dan

    12. Jawaban :

    .

    .

    Perhatikan bahwa :

  • 224

    Pembahasan Semifinal Omits 2013

    Sehingga diperoleh

    Jadi, nilai dari

    13. Jawaban : -2013!

    Diberikan

    .

    Misalkan

    dan .

    Karena ,

    maka dan merupakan akar-akar dari

    .

    Berdasarkan Vietas Formulas (halaman 15) :

    .

    14. Jawaban :

    Perhatikan gambar berikut !

    keliling .

    Luas

    adalah jari-jari lingkaran dalam .

    .

  • 225

    Buku Panduan Jawara Omits SMP

    Karena dan sejajar, maka sebangun dengan sehingga

    berlaku

    .

    Misalkan

    , dengan adalah suatu bilangan riil positif.

    diperoleh dan .

    .

    Lingkaran pada gambar di atas merupakan lingkaran singgung luar segitiga

    sehingga berlaku :

    , dengan

    keliling .

    Jari-jari lingkaran dalam

    Luas lingkaran dalam

    15. Jawaban :

    dan adalah akar-akar dari persamaan kuadrat

    Berdasarkan Vietas Formulas (halaman 15) :

    dan .

    .

    Nilai dari

    .

    16. Jawaban :

    Misalkan bilangan bulat positif 7 digit tersebut berbentuk dengan

    dan bilangan berbeda yang diambil dari dan .

    Banyaknya cara memilih dan adalah

    cara.

  • 226

    Pembahasan Semifinal Omits 2013

    Banyaknya cara memilih dari bilangan dan sebagai bilangan yang

    muncul satu kali pada bilangan adalah .

    Banyaknya cara mengubah susunan digit-digit adalah

    .

    Jadi, banyaknya bilangan bulat positif 7 digit yang memenuhi adalah

    .

    17. Jawaban :

    Perhatikan gambar berikut !

    akibatnya dan kongruen,

    sehingga .

    Demikian juga karena akibatnya dan

    kongruen, sehingga .

    dan

    .

    .

    sehingga

    .

    .

    .

    .

    .

    Jadi, jari-jari lingkaran adalah

    .

  • 227

    Buku Panduan Jawara Omits SMP

    18. Jawaban :

    Diketahui

    dan dengan dan

    bilangan riil.

    Perhatikan bahwa :

    .

    .

    .

    .

    19. Jawaban : 17

    Loker yang terbuka adalah loker dengan nomor suatu bilangan yang

    banyaknya faktor ganjil merupakan bilangan ganjil.

    Contoh. Loker yang bernomor 9. Karena 9 memiliki faktor ganjil 1, 3, dan 9,

    sedangkan banyaknya faktor ganjil dari 9 adalah 3 (bilangan ganjil) maka

    loker yang bernomor 9 akan terbuka (dibuka oleh siswa 1, ditutup oleh siswa

    3 dan dibuka lagi oleh siswa 9).

    Bilangan-bilangan yang banyaknya faktor ganjil merupakan bilangan ganjil

    tersebut adalah

    dan ada 7

    dan ada 5

    dan ada 3

    dan ada 2

    Jadi banyaknya loker yang terbuka adalah

    20. Jawaban :

    Diketahui dan .

    .

    Persamaan karakteristik dari relasi rekurensi linier homogen ini adalah

    selanjutnya difaktorkan menjadi :

    , diperoleh dan .

    Karena dan berbeda maka solusi homogennya adalah

    .

    .

  • 228

    Pembahasan Semifinal Omits 2013

    .

    .

    Jika maka

    .

    Jika maka

    .

    Jika persamaan (1) dan (2) dijumlahkan maka diperoleh :

    .

    Jadi, nilai dari

    .

    Catatan : Bentuk umum relasi rekurensi linier homogen adalah

    ,

    dengan adalah konstanta.

    Contoh.

    .

    .

    Persamaan karakteristik dari relasi rekurensi linier homogen

    yang berbentuk

    adalah

    .

    1) Jika adalah akar-akar persamaan

    karakteristik maka solusinya adalah

    2) Jika adalah akar-akar persamaan

    karakteristik maka solusinya adalah

    3) Jika persamaan karakteristik memiliki akar yang sama

    ( ) dan akar yang berbeda

    ( maka solusinya adalah

  • 229

    Buku Panduan Jawara Omits SMP

    Contoh.

    Selesaikan relasi rekurensi berikut !

    a)

    b)

    c) .

    Penyelesaian :

    a) persamaan karakteristik dari

    relasi rekurensi ini adalah

    , diperoleh

    ,

    Karena maka digunakan rumus pada point (1), yaitu

    b) persamaan karakteristik dari relasi

    rekurensi ini adalah

    , diperoleh .

    Karena , maka digunakan rumus pada point (2),

    yaitu

    c) persamaan

    karakteristik dari relasi rekurensi ini adalah

    diperoleh

    , .

    Karena

    dan maka digunakan rumus pada

    point (3), yaitu

    Nilai dari ataupun dapat dicari dengan menggunakan

    syarat awal atau yang biasanya sudah diberikan pada

    soal seperti pada soal no. 20 diatas.

  • 230

    Pembahasan Semifinal Omits 2013

    PEMBAHASAN SEMIFINAL OMITS 2013

    URAIAN

    1. Jawaban :

    Jika persamaan (1) dikurangi dengan persamaan (2) maka diperoleh :

    Dari persamaan (3) dan (4) :

    Jika disubtitusikan ke persamaan (3) maka diperoleh :

    dan .

    2. Jawaban : 10

    Perhatikan gambar berikut !

    Diketahui dan . Misalkan

    l .

  • 231

    Buku Panduan Jawara Omits SMP

    dan .

    dan .

    dan .

    .

    dan .

    Dengan menggunakan Pythagoras, maka panjang segmen :

    (bukan bilangan bulat)

    (bukan bilangan bulat)

    (bilangan bulat)

    (bukan bilangan bulat)

    Jadi, satu-satunya segmen yang panjangnya berupa bilangan bulat adalah

    segmen , yaitu panjang .

    3. Jawaban :

    Nilai dari

    .

    4. Jawaban :

    dan

    Diketahui dan .

    selanjutnya difaktorkan menjadi

    sehingga diperoleh atau atau .

    Jika maka .

  • 232

    Pembahasan Semifinal Omits 2013

    Jika maka

    .

    Dari diketahui .

    Jika dan maka

    .

    selanjutnya difaktorkan menjadi

    diperoleh atau .

    Jika maka .

    Jika maka .

    Jadi, pasangan yang memenuhi adalah

    dan