PELUANG - · PDF filesiswa pandai untuk mewakili sekolahnya dalam kompetisi matematika. 14....

12
1 |

Transcript of PELUANG - · PDF filesiswa pandai untuk mewakili sekolahnya dalam kompetisi matematika. 14....

Page 1: PELUANG -   · PDF filesiswa pandai untuk mewakili sekolahnya dalam kompetisi matematika. 14. Dari 8 pemain basket akan dibentuk tim inti yang terdiri dari 5 pemain

1 |

Page 2: PELUANG -   · PDF filesiswa pandai untuk mewakili sekolahnya dalam kompetisi matematika. 14. Dari 8 pemain basket akan dibentuk tim inti yang terdiri dari 5 pemain

2 |

PELUANG

A. KAIDAH PENCACAHAN

Kaidah pencacahan membantu dalam menentukan banyak cara yang

mungkin terjadi dalam suatu percobaan.

Misalkan terdapat n posisi, k adalah banyak cara posisi pertama, l adalah

banyak cara posisi kedua, m adalah banyak cara untuk posisi ketiga, n

adalah banyak cara untuk posisi keempat dan seterusnya.

Standar kompetensi :

Menggunakan aturan statistika, kaidah, pencacahan, dan sifat-

sifat peluang dalam pemecahan masalah

Kompetensi Dasar :

Menggunakan aturan perkalian, permutasi dan kombinasi

dalam pemecahan masalah

Menentukan ruang sampel suatu percobaan Menentukan peluang suatu kejadian dan penafsirannya

Tujuan Pembelajaran :

Menyusun aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi. Menggunakan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi

Menentukan banyak kemungkinan kejadian dari berbagai

situasi

Menuliskan himpunan kejadian dari suatu percobaan

Menentukan peluang suatu kejadian melalui percobaan Menentukan peluang suatu kejadian secara teoritis

Banyak cara mengisi : π‘˜ Γ— 𝑙 Γ— π‘š Γ— 𝑛 Γ— β‹―

Page 3: PELUANG -   · PDF filesiswa pandai untuk mewakili sekolahnya dalam kompetisi matematika. 14. Dari 8 pemain basket akan dibentuk tim inti yang terdiri dari 5 pemain

3 |

Contoh :

1. Seorang anak memiliki 5 buah pita dan 3 buah bando. Tentukan banyak

pasangan pita dan bando yang dapat disusun.

2. Dari huruf K,E,M,I,L,A,U akan dibentuk menjadi susunan huruf dengan

syarat tidak ada huruf yang sama. Tentukan banyak cara menyusun

huruf-huruf itu apabila diawali dengan :

a. Huruf vocal

b. Huruf konsonan

3. Dalam rangka memperingati HUT kota Bandung, pemerintah kota

Bandung mengadakan sepeda ria. Panitia menetapkan 5 jalur yang

dapat dilewati oleh peserta lomba. Tentukan banyak cara seorang

peserta dapat melewati jalur itu apabila :

a. Jalur yang dilalui boleh sama

b. Jalur yang dilalui boleh berbeda

4. Dari angka-angka 1, 2, 3, 4, dan 7 akan dibentuk bilangan yang terdiri

dari tiga angka berbeda. Tentukan banyak bilangan berbeda yang dapat

dibentuk dengan nilai masing-masing kurang dari 400.

5. Tentukan banyak cara bilangan ganjil yang terdiri atas 4 angka dapat

disusun dari bilangan 3, 4, 5, 6 dan 7 apabila angka-angka itu boleh

berulang dan tidak berulang.

6. Tentukan banyak bilangan yang terdiri atas tiga angka berbeda yang

dapat disusun dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9.

Jawab :

Page 4: PELUANG -   · PDF filesiswa pandai untuk mewakili sekolahnya dalam kompetisi matematika. 14. Dari 8 pemain basket akan dibentuk tim inti yang terdiri dari 5 pemain

4 |

B. PERMUTASI

a. Faktorial

adalah hasil kali bilangan asli berurutan. Hasil kali n bilangan asli

pertama disebut n faktorial yang dinotasikan : 𝑛!

Contoh :

1. Hitunglah :

a. 12!

10! b.

8!

5! βˆ™ 3!

2. Hitunglah nilai n yang memenuhi setiap persamaan berikut ini :

a. 𝑛! βˆ™ 3!

6! (π‘›βˆ’3)! =

33

4

b. 10!

7! = 𝑛(𝑛 βˆ’ 1)(𝑛 βˆ’ 2)

Definisi faktorial

Untuk setiap bilangan asli n faktorial didefinisikan sebagai berikut :

𝑛! = 𝑛 Γ— (𝑛 βˆ’ 1) Γ— (𝑛 βˆ’ 2) Γ— β‹― Γ— 3 Γ— 2 Γ— 1

Hal khusus :

0! = 1! = 1

Jawab :

Page 5: PELUANG -   · PDF filesiswa pandai untuk mewakili sekolahnya dalam kompetisi matematika. 14. Dari 8 pemain basket akan dibentuk tim inti yang terdiri dari 5 pemain

5 |

b. Pengertian Permutasi

adalah semua urutan berbeda yang mungkin dari r unsur yang diambil

dari n unsur yang berbeda.

Contoh :

1. Hitunglah permutasi berikut ini :

a. 𝑃38

b. 𝑃213

2. Tentukan nilai m dari :

a. 𝑃2π‘š = 42

b. 2 βˆ™ 𝑃2π‘š + 50 = 𝑃2

2π‘š

3. Dalam suatu kelas yang terdiri dari 40 siswa akan dipilih seorang

ketua, sekretaris dan bendahara kelas. Tentukan banyak cara

memilih pengurus kelas.

4. Seorang siswa mempunyai pilihan 5 bahasa asing dan 4 ilmu

pengetahuan. Tentukan banyak cara untuk memilih 1 bahasa asing

dan 1 ilmu pengentahuan.

5. Dari 11 buku sastra dan 3 buku matematika akan dipilih 4 buku

sastra dan 1 buku matematika dan diatur pad arak buku sehingga

buku akuntasi selalu berada di tengah. Tentukan banyak pengaturan

yang mungkin dari buku-buku tersebut.

Banyak permutasi r unsur dari n unsur ditulis : π‘ƒπ‘Ÿπ‘› ; π‘›π‘ƒπ‘Ÿ ; 𝑃 (𝑛, π‘Ÿ)

Nilai dari : π‘ƒπ‘Ÿπ‘› =

𝑛!

(π‘›βˆ’π‘Ÿ)! , dengan (π‘Ÿ < 𝑛)

Jawab :

Page 6: PELUANG -   · PDF filesiswa pandai untuk mewakili sekolahnya dalam kompetisi matematika. 14. Dari 8 pemain basket akan dibentuk tim inti yang terdiri dari 5 pemain

6 |

c. Permutasi dengan beberapa unsur yang sama

Banyaknya permutasi n unsur yang mempunyai a unsur jenis pertama,

b unsur jenis kedua dan c unsur jenis ketiga adalah :

Contoh :

1. Hitunglah :

a. 𝑃25 βˆ’ 𝑃3,2

5

b. 𝑃4,26 + 𝑃3,1

5 βˆ’ 𝑃56

2. Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari kata

dibawah ini secara berdampingan :

a. BENCANA

b. HARAPAN

3. Berapakah banyak permutasi dari bilangan dibawah ini :

a. 2, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 4

b. 4, 4, 5, 5, 5, 6, 7

π‘ƒπ‘Ž,𝑏,𝑐𝑛 =

𝑛!

π‘Ž! βˆ™ 𝑏! βˆ™ 𝑐!

Jawab :

Page 7: PELUANG -   · PDF filesiswa pandai untuk mewakili sekolahnya dalam kompetisi matematika. 14. Dari 8 pemain basket akan dibentuk tim inti yang terdiri dari 5 pemain

7 |

d. Permutasi Siklis dan Berulang

1. Permutasi Siklis

Jika tersedia n unsur berbeda, maka banyak permutasi siklis dari n

unsur itu ditentukan oleh formula :

2. Permutasi Berulang

Jika tersedia n unsur berbeda, maka banyak permutasi berulang r

unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia ditentukan oleh

formula :

Contoh :

1. Diketahui : ada 5 orang akan menempati 5 kursi yang mengelilingi

sebuah meja bundar. Tentukan berapa banyak susunan yang dapat terjadi.

2. Diketahui angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 akan dibentuk bilangan-

bilangan yang terdiri atas 3 angka dengan angka-angka boleh

berulang. Tentukan berapa banyak bilangan yang dapat dibentuk.

C. KOMBINASI

Kombinasi adalah banyaknya susunan yang mungkin dari beberapa

unsur yang tidak memperhatikan urutan.

π‘ƒπ‘ π‘–π‘˜π‘™π‘–π‘  = (𝑛 βˆ’ 1)!

π‘ƒπ‘π‘’π‘Ÿπ‘’π‘™π‘Žπ‘›π‘” = π‘›π‘Ÿ , dengan π‘Ÿ ≀ 𝑛

Jawab :

Page 8: PELUANG -   · PDF filesiswa pandai untuk mewakili sekolahnya dalam kompetisi matematika. 14. Dari 8 pemain basket akan dibentuk tim inti yang terdiri dari 5 pemain

8 |

Contoh :

1. Hitunglah setiap kombinasi berikut ini

a. 𝐢79

b. 𝐢412

2. Hitunglah nilai n yang memenuhi setiap persamaan kombinasi berikut

ini:

a. 𝐢4𝑛 = 𝑛2 βˆ’ 2𝑛

b. 𝐢4𝑛+1 = 𝐢3

𝑛

3. Berapa banyak jabat tangan yang terjadi dalam suatu pesta yang

dihadiri oleh 20 orang ?

4. Pada sebuah perkumpulan akan dipilih perwakilan yang beranggotakan 5

orang. Calon yang tersedia adalah 4 pria dan 3 wanita. Berapa banyak

susunan perwakilan yang dapat dibentuk apabila sekurang-kurangnya

terpilih 2 wanita ?

Banyak kombinasi r unsur dari n unsur ditulis : πΆπ‘Ÿπ‘› ; π‘›πΆπ‘Ÿ ; 𝐢 (𝑛, π‘Ÿ)

Nilai dari : πΆπ‘Ÿπ‘› =

𝑛!

(π‘›βˆ’π‘Ÿ)! βˆ™ π‘Ÿ! , dengan (π‘Ÿ < 𝑛)

Jawab :

Page 9: PELUANG -   · PDF filesiswa pandai untuk mewakili sekolahnya dalam kompetisi matematika. 14. Dari 8 pemain basket akan dibentuk tim inti yang terdiri dari 5 pemain

9 |

Latihan Soal

1. Dari angka-angka 1, 2, 3, 4, dan 7 akan dibentuk bilangan yang terdiri dari

tiga angka berbeda. Tentukan banyak bilangan berbeda yang dapat dibentuk

dengan nilai masing-masing kurang dari 400.

2. Tentukan banyaknya bilangan antara 1.000 dan 4.000 yang dapat disusun

dari angka-angka 1,2,3,4,5,6 dengan tidak ada angka yang sama.

3. Suatu keluarga yang tinggal di Surabaya ingin liburan ke Eropa via Arab

Saudi. Jika rute dari Surabaya ke Arab Saudi sebanyak 5 rute penerbangan,

sedangkan Arab Saudi ke Eropa ada 6 rute, maka tentukan banyaknya

semua pilihan rute penerbangan dari Surabaya ke Eropa pergi pulang

dengan tidak boleh melalui rute yang sama.

4. Amanda memiliki 4 buah celana berbeda, 6 buah baju berbeda, dan 3

pasang sepatu berbeda, banyaknya cara berbeda untuk memakai celana,

baju, dan sepatu yang dapat dilakukan Amanda adalah …cara

5. Dari 6 orang calon pengurus termasuk Doni akan dipilih ketua, wakil, dan

bendahara. Jika Doni terpilih sebagai ketua maka banyak pilihan yang

mungkin terpilih sebagai wakil dan bendahara adalah … pilihan

6. Dalam kompetisi bola basket yang terdiri dari 10 regu akan dipilih juara 1, 2,

dan 3. Banyak cara memilih regu tersebut.

7. Tentukan banyak kata yang dapat disusun dari kata-kata berikut ini :

a. MATAHARI

b. METAMORFOSIS

c. EDITORIAL

8. Tentukan banyak cara yang dapat dilakukann oleh 7 orang yang dapat duduk

pada meja bundar

9. Tentukan banyak cara yang dapat dilakukan oleh 6 orang yang duduk pada

meja bundar dimana terdapat dua orang yang harus selalu duduk

berdampingan.

Page 10: PELUANG -   · PDF filesiswa pandai untuk mewakili sekolahnya dalam kompetisi matematika. 14. Dari 8 pemain basket akan dibentuk tim inti yang terdiri dari 5 pemain

10 |

10. Ada 5 orang tamu berbangsa Portugis, 4 orang tamu berbangsa Belanda

dan 7 orang tamu berbangsa Arab. Jika setiap tamu yang berkebangsaan

sama harus duduk berdampingan,maka tentukan banyak cara yang dapat

dilakukan tamu tersebut.

11. Tentukan banyaknya susunan 3 huruf yang dapat diambil dari kata

SEMERBAK, apabila unsur-unsur yang tersedia

a. Boleh ditulis ulang

b. Tidak boleh ditulis ulang

12. Hitunglah nilai n yang memenuhi persamaan berikut ini :

a. 5 βˆ™ 𝑃3𝑛 = 24 βˆ™ 𝐢4

𝑛

b. 𝐢12𝑛 = 𝐢8

𝑛

c. 3 βˆ™ 𝐢3𝑛+1 =

7

2 (𝑛2 + 𝑛)

13. Banyak kelompok yang terdiri atas 3 siswa berbeda dapat dipilih dari 12

siswa pandai untuk mewakili sekolahnya dalam kompetisi matematika.

14. Dari 8 pemain basket akan dibentuk tim inti yang terdiri dari 5 pemain.

Banyaknya susunan tim inti yang mungkin terbentuk adalah …

15. Kelompok tani Suka Maju terdiri dari 6 orang yang berasal dari dusun A dan

8 orang berasal dari dusun B. Jika dipilih 2 orang dari dusun A dan 3 orang

dari dusun B untuk mengikuti penelitian tingkat kabupaten, maka

banyaknya susunan kelompok yang mungkin terjadi

16. Seorang peserta ujian harus mengerjakan 6 soal dari 10 soal yang ada.

Banyak cara peserta memilih soal ujian yang harus dikerjakan

17. Seorang siswa diwajibkan mengerjakan 8 dari 10 soal, tetapi nomor 1

sampai 4 wajib dikerjakan. Banyak pilihan yang harus diambil siswa tersebut

18. Sebuah kotak berisi 4 bola putih dan 5 bola biru. Dari dalam kotak diambil 3

bola sekaligus, banyak cara pengambilan sedemikian hingga sedikitnya

terdapat 2 bola biru

Page 11: PELUANG -   · PDF filesiswa pandai untuk mewakili sekolahnya dalam kompetisi matematika. 14. Dari 8 pemain basket akan dibentuk tim inti yang terdiri dari 5 pemain

11 |

19. Dalam suatu panitia tujuh belasan yang terdiri atas 3 orang pelukis dan 5

orang penari akan dipilih 2 orang pelukis dan 3 orang penari. Tentukan

banyak cara menyusun kepanitian tersebut.

20. Dari 10 orang siswa yang terdiri atas 7 orang putra dan 3 orang putri akan

dibentuk tim yang beranggotakan 5 orang. Jika disyaratkan anggota tim

tersebut paling banyak 2 putri, tentukan banyak tim yang dapat dibentuk.

Jawab :

Page 12: PELUANG -   · PDF filesiswa pandai untuk mewakili sekolahnya dalam kompetisi matematika. 14. Dari 8 pemain basket akan dibentuk tim inti yang terdiri dari 5 pemain

12 |

Daftar Pustaka

Suwah Sembiring dkk, 2012, Matematika Berbasis Pendidikan Karakter Bangsa

untuk SMA / MA Kelas XI IPS / Bahasa, YRAMA WIDYA Bandung.

Sukino, 2004. Matematika untuk SMA Kelas XI IPS, Erlangga.

Sartono Wirodikromo,2004. Matematika untuk SMA Kelas XI IPS, Erlangga.

Enung S dkk, 2009. Evaluasi Mandiri Matematika Untuk SMA Kelas XI IPA,

Erlangga.

Rignan Wargiyanto dkk, 2008, Buku Kerja Matematika Untuk SMA Kelas XI IPA

Semester 1, Erlangga.