Hani Nurbiantoro Santosa, PhD +62-812-8344-5598

PELATIHAN OSN JAKARTA 2016

LISTRIK MAGNET (BASIC LEVEL)

1. Partikel deuterium (1 proton, 1 neutron) dan partikel tritium (1 proton, 2 neutron) saling

mendekat dari jarak yang sangat jauh dengan energi kinetik masing-masing partikel adalah 𝐸𝐾0 = 1 keV (kilo elektronvolt). Selama pergerakannya, kedua partikel saling tolak sehingga mereka akan mencapai jarak minimum tertentu sebelum berbalik arah. Berapa jarak minimum tersebut? 𝒓𝒎𝒊𝒏 = (𝒌𝒒𝑫𝒒𝑻(𝒎𝑫 + 𝒎𝑻) (𝑬𝑲𝟎(√𝒎𝑻 + √𝒎𝑫)𝟐)⁄ ) = 7,28 ×𝟏𝟎−𝟏𝟑 m

2. Perhatikan gambar di bawah. Sebuah elektron ditembakkan dari lantai sebuah ruangan

dengan kecepatan 𝑣0 = 106 m s⁄ membentuk sudut 𝜃 = 37° terhadap lantai. Langit-langit ruangan berjarak ℎ = 2 meter dari lantai. Di dalam ruangan, terdapat medan listrik yang besarnya 1 N C⁄ dan mengarah ke atas. a. Apakah elektron akan manabrak langit-langit? Tidak (𝒉𝒎𝒂𝒌𝒔 = 1,024 meter) b. Jika elektron menabrak langit-langit, tentukan kapan hal itu terjadi. Jika tidak, tentukan

kapan elektron menabrak lantai. 6,82 × 𝟏𝟎−𝟔 detik

3. Pada model atom Bohr, atom hidrogen dianggap terdiri dari satu proton yang dikelilingi

oleh satu elektron dalam orbit lingkaran. Energi atom hidrogen terdiri dari energi kinetik elektron dalam mengelilingi inti (proton), ditambah dengan energi potensial listrik elektron-proton. Selain itu, berlaku postulat Bohr: momentum sudut elektron tidak bisa memiliki sembarang nilai, tetapi terkuantisasi:

𝐿𝑛 = 𝑛ℎ

2𝜋 ; 𝑛 = 1,2,3, …

dimana ℎ adalah konstanta Planck yang bernilai:

ℎ = 6,626 × 10−34 J.s Dengan menggunakan semua informasi di atas, buktikan bahwa tingkat-tingkat energi atom hidrogen sama dengan:

𝐸𝑛 = −𝑚𝑒𝑒4

8ℎ2𝜀02𝑛2

= −13,6

𝑛2 eV ; 𝑛 = 1,2,3, …

4. Sebuah cakram berjari-jari 𝑅 dan memiliki muatan per satuan luas 𝜎. Buktikan bahwa

medan listrik pada jarak 𝑧 dari pusat cakram adalah:

𝑇 D 𝐸𝐾0 𝐸𝐾0

Lantai

ℎ

Langit-langit

𝑣0

𝜃

𝐸

Hani Nurbiantoro Santosa, PhD +62-812-8344-5598

𝐸 =𝜎

2𝜀0(1 −

𝑧

√𝑧2 + 𝑅2)

a. Tunjukkan untuk 𝑧 ≪ 𝑅, medan listrik akibat cakram ini mirip dengan medan listrik akibat pelat infinite.

b. Tunjukkan untuk 𝑧 ≫ 𝑅, medan listriknya mirip akibat muatan titik. 5. Perhatikan gambar di bawah. Sebuah kabel silinder infinite pejal berjari-jari 𝑅 memiliki

rapat muatan konstan 𝜌. Buktikan bahwa besar medan listrik bisa ditulis sebagai:

𝐸(𝑟) =

{

𝜌𝑟

2𝜀0, untuk 𝑟 ≤ 𝑅 (di dalam kabel)

𝜌𝑅2

2𝜀0𝑟, untuk 𝑟 > 𝑅 (di luar kabel)

6. Perhatikan gambar di atas. Sebuah proton berada pada jarak 𝑑 2⁄ di atas pusat bujur

sangkar yang panjang sisinya 𝑑. Berapakah fluks medan listrik yang melewati bujur sangkar tersebut? 𝒒 (𝟔𝜺𝟎)⁄

7. Sebuah bola pejal berjari-jari 𝑅 memiliki rapat muatan yang tidak konstan:

𝜌(𝑟) = {𝜌0(𝑟2 𝑅2⁄ ), untuk 𝑟 ≤ 𝑅

0, untuk 𝑟 > 𝑅

Hitunglah medan listrik pada jarak 𝑟 dari pusat bola, untuk: a. 𝑟 ≤ 𝑅 (di dalam bola) 𝑬 = 𝝆𝟎𝒓𝟑 (𝟓𝜺𝟎𝑹𝟐)⁄ b. 𝑟 > 𝑅 (di luar bola) 𝑬 = 𝝆𝟎𝑹𝟑 (𝟓𝜺𝟎𝒓𝟐)⁄

8. Sebuah bola konduktor pejal dan netral

diletakkan pada sebuah ruangan yang memiliki medan listrik konstan (lihat gambar di samping). Sesaat kemudian, tercapai kesetimbangan dan tidak ada lagi aliran muatan pada konduktor tersebut. a. Tentukan konfigurasi (kualitatif) muatan

induksi di permukaan bola. b. Gambarkan garis medan listrik di sekitar bola.

9. Lihat gambar di bawah. Sebuah bola konduktor berongga memiliki jari-jari dalam 𝑎 dan

jari-jari luar 𝑏. Bola tersebut memiliki muatan −3𝑄, dan di tengah rongga terdapat muatan titik +2𝑄. a. Ketika kesetimbangan sudah tercapai, tentukan distribusi muatan di permukaan dalam

dan luar konduktor. Total muatan dalam −𝟐𝑸, total muatan luar −𝑸 b. Kemudian, tentukan medan listrik dan potensial sebagai fungsi 𝑟 (jarak dari pusat

rongga).

𝑅

𝐸

Hani Nurbiantoro Santosa, PhD +62-812-8344-5598

𝒓 > 𝒃 𝒃 > 𝒓 > 𝒂 𝒂 > 𝒓

𝑬(𝒓) −𝑘𝑄

𝑟2 0

2𝑘𝑄

𝑟2

𝑽(𝒓) −𝑘𝑄

𝑟 −

𝑘𝑄

𝑏

2𝑘𝑄

𝑟−

2𝑘𝑄

𝑎−

𝑘𝑄

𝑏

10. Perhatikan gambar rangkaian listrik di atas! Dua buah kapasitor, 𝐶1 = 40 μF dan 𝐶2 = 60 μF

dihubungkan secara seri, dan kemudian dihubungkan ke baterai dengan tegangan 𝑉𝑏 =10 volt. a. Ketika kesetimbangan sudah tercapai, berapa muatan dan tegangan pada masing-

masing kapasitor? 𝑽𝟏 = 𝟔 volt dan 𝑽𝟐 = 𝟒 volt b. Kemudian, pada celah kapasitor 𝐶1 disisipkan dielektrik dengan konstanta 𝜅 = 3,5

(dielektrik mengisi penuh celah di antara kedua pelat). Hitunglah muatan dan tegangan akhir pada masing-masing kapasitor! 𝑽𝟏

′ = 𝟑 volt dan 𝑽𝟐′ = 𝟕 volt

c. Berapa banyak elektron yang mengalir melewati titik 𝐴 selama proses penyisipan dielektrik? Ke arah mana elektron-elektron tersebut mengalir? Muatan satu elektron sama dengan −1,602 × 10−19 C (ingat muatannya negatif!). Sebanyak 1,12 × 𝟏𝟎𝟏𝟓 elektron mengalir dari pelat kiri 𝑪𝟐 ke pelat kanan 𝑪𝟏.

11. Kita akan menurunkan bahwa kapasitas kapasitor 𝐶 yang celahnya diisi penuh dengan

dielektrik berkonstanta 𝜅 akan menjadi 𝐶′ = 𝜅𝐶. Sebuah kapasitor pelat sejajar berkapasitas 𝐶 dihubungkan dengan baterai bertegangan 𝑉𝑏. Berapa muatan yang ada pada kapasitor ketika sudah penuh? Kemudian, baterai dilepas, dan bahan dielektrik dengan konstanta 𝜅 disisipkan pada celah di antara kedua pelat. Tentukan tegangan, muatan, dan kapasitas akhir pada kapasitor! Buktikan bahwa kapasitas akhir adalah 𝐶′ = 𝜅𝐶. 𝑽′ = 𝑽𝒃 𝜿⁄ dan 𝑸′ = 𝑸 = 𝑽𝒃𝑪

12. Kita akan menurunkan bahwa kapasitas kapasitor 𝐶 yang celahnya diisi penuh dengan

dielektrik berkonstanta 𝜅 akan menjadi 𝐶′ = 𝜅𝐶. Sebuah kapasitor pelat sejajar berkapasitas 𝐶 dihubungkan dengan baterai bertegangan 𝑉𝑏. Berapa muatan yang ada pada kapasitor ketika sudah penuh? Kemudian, tanpa melepas baterai, bahan dielektrik dengan konstanta 𝜅 disisipkan pada celah di antara kedua pelat. Tentukan tegangan, muatan, dan kapasitas akhir pada kapasitor! Buktikan bahwa kapasitas akhir adalah 𝐶′ =𝜅𝐶. 𝑽′ = 𝑽𝒃 dan 𝑸′ = 𝜿𝑸 = 𝜿𝑽𝒃𝑪

𝐶1 𝐶2

𝑉𝑏

𝐴

𝑎

𝑏

+ +2𝑄

Hani Nurbiantoro Santosa, PhD +62-812-8344-5598

13. Perhatikan gambar di bawah. Sebuah kapasitor pelat sejajar memiliki luas pelat 𝐴 dan lebar celah 𝑑. Sepotong besi selebar ℓ kemudian disisipkan dalam celah. Berapa kapasitas kapasitor tersebut? 𝑪 = 𝜺𝟎𝑨 (𝒅 − 𝓵)⁄

14. Perhatikan gambar di samping. Dua pelat isolator sejajar memiliki muatan per satuan luas +𝜎 dan – 𝜎. Jarak antar kedua pelat adalah 𝑑. Sebuah bola isolator kecil bermassa 𝑚 dan bermuatan +𝑞 diikat dengan benang sepanjang 𝑑 ke pelat positif. Awalnya bola ditahan diam dan tali pada kondisi lurus vertikal. Pada soal ini, jangan abaikan gravitasi (jadi ada percepatan gravitasi 𝑔 = 10 m s2⁄ ke bawah). a. Berapa beda potensial antara pelat positif dan

negatif akibat kedua pelat itu sendiri? (Tidak usah memperhitungkan beda potensial akibat bola 𝑞.) 𝚫𝑽 = 𝝈𝒅 𝜺𝟎⁄

b. Ketika bola dilepaskan, bola akan berayun menuju pelat negatif. Berapa kecepatan bola ketika menyentuh pelat negatif?

𝒗 = √𝟐𝝈𝒅𝒒 (𝜺𝟎𝒎)⁄ − 𝟐𝒈𝒅 15. Sebuah kapasitor pelat sejajar memiliki rapat muatan ±𝜎, luas pelat 𝐴, dan jarak antar pelat

𝑑. Berapa gaya tarik antar pelat? Berapa usaha yang diperlukan untuk menjauhkan kedua pelat sampai jaraknya menjadi 2𝑑? 𝑾 = 𝝈𝟐𝑨𝒅 (𝟐𝜺𝟎)⁄

16. Sebuah kapasitor pelat sejajar memiliki rapat muatan ±𝜎, luas pelat 𝐴, dan jarak antar pelat

𝑑. Celah di antara kedua pelat terisi penuh dengan dielektrik berkonstanta 𝜅. Berapa usaha yang diperlukan untuk mengeluarkan dielektrik tersebut dari celah?

𝑾 = 𝝈𝟐𝑨𝒅(𝜿 − 𝟏) (𝟐𝜿𝜺𝟎)⁄ 17. Perhatikan rangkaian resistor infinite pada gambar di bawah. Berapa hambatan pengganti

antara titik A dan D? 𝑹′ = (𝟑 + √𝟏𝟕)𝑹 𝟒⁄

𝑑 ℓ

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

besi

𝑑

+ + + + + + + + + + + + + + + +

– –

– –

– –

– –

– –

– –

– – – –

𝑑

+

+

+𝜎 −𝜎

𝑚, 𝑞

𝑚, 𝑞

Hani Nurbiantoro Santosa, PhD +62-812-8344-5598

18. Perhatikan rangkaian di kiri bawah. Carilah tegangan yang ada pada tiap resistor. Selain itu, berapa beda potensial antara titik A dan B? Titik mana yang lebih tinggi potensialnya? 𝑰𝒌𝒊 = 𝟏 A, 𝑰𝒌𝒂 = 𝟐 A, 𝑰𝒕𝒆 = 3 A, 𝑽𝑨 − 𝑽𝑩 = 𝟔 volt

19. Perhatikan rangkaian resistor berbentuk kubus di kanan atas. Semua resistor memiliki

hambatan yang sama, yaitu 𝑅. Berapa hambatan pengganti antara titik A dan C? 𝟑𝑹 𝟒⁄ Antara titik A dan B? 𝟕𝑹 𝟏𝟐⁄ Antara titik A dan G? 𝟓𝑹 𝟔⁄

20. Perhatikan gambar di samping. Ketiga resistor tersebut

merupakan bagian dari rangkaian lain yang lebih besar. Potensial ketiga titik ujung adalah: 𝑉𝐴 = 10 volt, 𝑉𝐵 = 3 volt, dan 𝑉𝐶 = 6 volt. Hambatan ketiga resistor adalah: 𝑅𝐴 = 1 Ω, 𝑅𝐵 = 2 Ω, dan 𝑅𝐶 = 1 Ω. a. Tentukan besar dan arah arus yang mengalir pada

masing-masing resistor. Contoh cara menjawab: Arus yang mengalir pada 𝑅𝐴 adalah 1 ampere dan mengalir dari titik 𝐴 ke 𝐷. 𝑰𝑨 = 𝟑 A; 𝑰𝑩 = 𝟐 A; 𝑰𝑪 = 𝟏 A

b. Tentukan potensial titik 𝐷. 𝑽𝑫 = 𝟕 volt 21. Perhatikan gambar di samping. Sebuah kapasitor 𝐶

bermuatan 𝑄0 dihubungkan dengan resistor 𝑅. Pada saat 𝑡 = 0, saklar 𝑆 ditutup dan arus mulai mengalir pada rangkaian. a. Turunkan muatan pada kapasitor sebagai fungsi

waktu, 𝑄(𝑡). 𝑸(𝒕) = 𝑸𝟎𝒆−𝒕 𝑹𝑪⁄ b. Berapa lama waktu yang diperlukan sampai muatan

kapasitor menjadi 0,5𝑄0? 𝒕 = 𝑹𝑪 𝐥𝐧 𝟐 c. Turunkan arus listrik yang mengalir pada rangkaian

sebagai fungsi waktu, 𝐼(𝑡). (𝑸𝟎 (𝑹𝑪)⁄ )𝒆−𝒕 𝑹𝑪⁄ d. Turunkan daya panas di resistor sebagai fungsi

waktu, 𝑃𝑅(𝑡). (𝑸𝟎𝟐 (𝑹𝑪𝟐)⁄ )𝒆−𝟐𝒕 𝑹𝑪⁄

22. Perhatikan gambar di kiri bawah. Sebuah partikel bermassa 𝑚 dan bermuatan 𝑞 memasuki

daerah bermedan magnet konstan 𝐵. Kecepatan partikel tersebut adalah 𝑣, dan membentuk sudut 𝜙 terhadap medan magnet. Berapakah jari-jari spiral 𝑟? Berapakah jarak 𝑝 antara dua spiral berurutan? 𝒓 = 𝒎𝒗 𝐬𝐢𝐧 𝝓 (𝑩𝒒)⁄ dan 𝒑 = 𝟐𝝅𝒎𝒗 𝐜𝐨𝐬 𝝓 (𝑩𝒒)⁄

20 V 25 V

𝐵 𝐴

A

B

C

D

E

F

G

H

𝐴

𝐶 𝐵

𝐷

𝑅𝐴

𝑅𝐶

𝑅𝐵

𝑅 𝐶

𝑆

+ + + +

− − − −

𝑄0

Hani Nurbiantoro Santosa, PhD +62-812-8344-5598

23. Perhatikan gambar di kanan atas. Sebuah pelat tembaga dengan tebal 𝑡, lebar 𝑤, dan

panjang 𝑙 dialiri arus 𝐼 (ingat, dalam tembaga, yang mengalir adalah elektron yang bermuatan negatif). Banyaknya elektron bebas per satuan volume dalam tembaga sama dengan 𝑛. Medan magnet dengan besar 𝐵 mengarah tegak lurus pelat tersebut. a. Berapa besar kecepatan hanyut (drift velocity) elektron-elektron dalam tembaga? 𝒗 =

𝑰 (𝒏𝒆𝒘𝒕)⁄ b. Berapa tegangan Hall Δ𝑉𝐻 antara sisi kiri dan kanan pelat tersebut? Sisi mana yang

potensialnya lebih tinggi: kiri atau kanan? Potensial sisi kanan lebih rendah sebesar 𝚫𝑽𝑯 = 𝑩𝑰 (𝒏𝒆𝒕)⁄ dari sisi kiri

24. Perhatikan gambar di samping. Turunkan rumus

medan magnet di tengah solenoida berjari-jari 𝑅, panjang 𝐿, dan berarus listrik 𝐼. Banyak lilitan per satuan panjang adalah 𝑛. Buktikan juga untuk 𝐿 →∞ (solenoida infinite), medan magnetnya menjadi 𝐵 = 𝜇0𝑛𝐼, seperti yang sudah diturunkan di kelas menggunakan Hukum Ampere.

𝑩 = 𝝁𝟎𝒏𝑰 𝑳 √𝟒𝑹𝟐 + 𝑳𝟐⁄ 25. Gambar di samping menunjukkan penampang melintang

kabel panjang infinite berongga dengan jari-jari luar 𝜌 = 𝑏 dan jari-jari dalam 𝜌 = 𝑎. Kabel tersebut memiliki rapat arus konstan 𝐽 (keluar bidang gambar) pada jari-jari 𝑎 ≤ 𝜌 ≤ 𝑏. a. Tentukan 𝐼𝑖𝑛(𝜌) (arus total yang terdapat di dalam loop

Ampere berjari-jari 𝜌); untuk 𝜌 < 𝑎 (di dalam rongga), 𝑎 ≤ 𝜌 ≤ 𝑏 (di dalam kabel), dan 𝜌 > 𝑏 (di luar kabel).

b. Sesudah Anda mendapatkan rumus 𝐼𝑖𝑛(𝜌) dari bagian a, tentukan medan magnet sebagai fungsi 𝜌 di semua daerah.

untuk 𝝆 < 𝒂 untuk 𝒂 ≤ 𝝆 ≤ 𝒃 untuk 𝝆 > 𝒃 𝑰𝒊𝒏(𝝆) 0 𝐽𝜋(𝜌2 − 𝑎2) 𝐽𝜋(𝑏2 − 𝑎2) 𝑩(𝝆) 0 𝜇0𝐽(𝜌2 − 𝑎2) (2𝜌)⁄ 𝜇0𝐽(𝑏2 − 𝑎2) (2𝜌)⁄

𝐼

𝑡 𝑤

𝑙

𝐵 Δ𝑉𝐻

𝐵

𝐿

𝑅 𝐼

𝑎

𝑏

𝐽

Hani Nurbiantoro Santosa, PhD +62-812-8344-5598

26. Sebuah kawat infinite berjari-jari 𝑅 membawa rapat arus yang tidak konstan:

𝐽(𝜌) = 𝐽0𝜌

𝑅

dengan 𝜌 adalah jarak dari sumbu pusat kawat. a. Untuk suatu loop Ampere dengan jari-jari 𝜌, carilah 𝐼𝑖𝑛 sebagai fungsi 𝜌, dimana 𝐼𝑖𝑛

adalah arus yang terlingkupi oleh loop tersebut. 𝑰𝒊𝒏 = 𝟐𝝅𝑱𝟎𝝆𝟑 (𝟑𝑹)⁄ b. Carilah medan magnet sebagai fungsi 𝜌, untuk 𝜌 ≤ 𝑅 (di dalam kawat) dan 𝜌 > 𝑅 (di

luar kawat). 𝑩 (𝝆) = (𝝁𝟎𝑱𝟎𝝆𝟐) (𝟑𝑹)⁄ �̂� untuk 𝝆 ≤ 𝑹 dan 𝑩 (𝝆) = (𝝁𝟎𝑱𝟎𝑹𝟐) (𝟑𝝆)⁄ �̂� untuk 𝝆 > 𝑹

27. Perhatikan gambar di bawah. Sebuah toroida yang terdiri dari 𝑁 lilitan dialiri arus listrik 𝐼.

Tunjukkan bahwa medan magnet dalam toroida tersebut sama dengan:

𝐵(𝑟) =𝜇0𝐼𝑁

2𝜋𝑟

dimana 𝑟 adalah jarak dari pusat toroida.

28. Partikel-partikel 𝛼 (terdiri dari 2 proton dan 2 neutron) ditembakkan dengan kecepatan

berbeda-beda secara horisontal di sebuah ruangan yang memiliki medan listrik ke bawah sebesar 𝐸 = 106 N/C dan medan magnet masuk bidang gambar sebesar 𝐵 = 1 tesla. Dalam soal ini, abaikan efek gravitasi.

a. Partikel-partikel 𝛼 dengan kecepatan tertentu bisa berjalan lurus (tidak dilengkungkan

oleh medan listrik atau magnet) sehingga bisa keluar dari celah sempit di dinding. Berapakah kecepatan itu? 𝒗 = 𝟏𝟎𝟔 m/s

b. Sesudah keluar dari celah, partikel-partikel tersebut tidak merasakan medan listrik lagi. Di mana partikel-partikel tersebut menabrak dinding? 4,2 cm di atas celah

𝑰

𝑣

𝛼

𝐵

𝐵

celah

dinding

𝐸