PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian...

of 71 /71
LAPORAN PENELITIAN BERSAMA DOSEN-MAHASISWA PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR Ketua Tim: ABDUSSAKIR, M.Pd FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 2010

Transcript of PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian...

Page 1: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

LAPORAN

PENELITIAN BERSAMA DOSEN-MAHASISWA

PELABELAN SUPER SISI AJAIB

PADA GRAF MULTI STAR

Ketua Tim:

ABDUSSAKIR, M.Pd

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM

MALANG

2010

Page 2: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

PENGESAHAN LAPORAN

PENELITIAN BERSAMA DOSEN-MAHASISWA

Judul Penelitian : Pelabelan Super Sisi Ajaib pada Graf Multi Star

Ketua Peneliti/NIP : Abdussakir, M.Pd/19751006 200312 1 001

Anggota/NIP/NIM : Evawati Alisah, M.Pd/10720604 199903 2 001

Liya Fitrotul Chusna/07610055

Nuril Anwar Hamdani/07610081

Malang, 29 Desember 2010

Mengetahui

Dekan Fakultas Sains dan Teknologi, Ketua Peneliti,

Prof. Drs. Sutiman B. Sumitro, SU., D.Sc Abdussakir, M.Pd

NIP. 19540311 198002 1 002 NIP 19751006 200312 1 001

Mengesahkan

Ketua Lemlitbang UIN Maliki Malang,

Dr. Hj. Ulfah Utami, M.Si

NIP. 19650509 199903 2 002

Page 3: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

iii

DAFTAR ISI

Halaman Sampul

Halaman Pengesahan

Kata Pengantar ..................................................................................................... i

Daftar Isi .............................................................................................................. iii

BAB I: PENDAHULUAN

A. Latar Belakang ................................................................................ 1

B. Rumusan Masalah ........................................................................... 3

C. Batasan Masalah .............................................................................. 3

D. Tujuan Penelitian ............................................................................. 3

E. Manfaat Penelitian ........................................................................... 3

BAB II: KAJIAN PUSTAKA

A. Graf ................................................................................................. 4

B. Derajat Titik .................................................................................... 6

C. Graf Terhubung ............................................................................... 13

D. Graf Star dan Multi Star .................................................................. 19

E. Pelabelan Total Sisi Ajaib ................................................................ 22

BAB III: METODE PENELITIAN

A. Jenis Penelitian .................................................................................. 24

B. Tahap Penelitian ................................................................................ 24

BAB IV: PEMBAHASAN

A. Pelabelan Super Sisi Ajaib pada Graf Multi Star Tipe 1 MS1(m) ........ 26

B. Pelabelan Super Sisi Ajaib pada Graf Multi Star Tipe 2 MS2(m) ........ 34

C. Pelabelan Total Sisi Ajaib pada Graf Hairy Cycle C’n ......................... 55

BAB V: PENUTUP

A. Kesimpulan ......................................................................................... 89

B. Saran ................................................................................................... 89

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 90

Page 4: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Masalah pelabelan dalam teori graf mulai dikembangkan pada pertengahan

tahun 1960-an. Pelabelan pada suatu graf muncul pertama kali dari karya Rosa pada

tahun 1967. Pelabelan pada suatu graf adalah sebarang pemetaan (fungsi) yang

memasangkan unsur-unsur graf (titik atau sisi) dengan bilangan (biasanya bilangan

bulat). Jika domain dari fungsi adalah titik, maka pelabelan disebut pelabelan titik

(vertex labeling). Jika domainnya adalah sisi, maka disebut pelabelan sisi (edge

labeling), dan jika domainnya titik dan sisi, maka disebut pelabelan total (total

labeling) (Miller, 2000:165 dan Wallis dkk., 2000:178).

Pelabelan total sisi ajaib (edge-magic total labeling) pada graf G adalah

fungsi bijektif dari V(G) E(G) pada himpunan {1, 2, 3, …, V(G) +E(G)}

sehingga untuk sebarang sisi xy di G berlaku

(x) + (xy) + (y) = k

untuk suatu konstanta k. Selanjutnya k disebut bilangan ajaib pada G dan G disebut

total sisi ajaib. Pelabelan total sisi ajaib yang memetakan V(G) ke himpunan {1, 2, 3,

…, V(G)} disebut pelabelan super sisi ajaib (super edge-magic labeling). Graf

yang dapat dikenai pelabelan super sisi ajaib disebut graf super sisi ajaib (Wallis

dkk., 2000:178 dan Park dkk. 2008:11).

Page 5: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

2

Graf ulat (caterpillar) adalah graf yang jika semua titik ujungnya dibuang

akan menghasilkan lintasan (Gallian, 2009). Titik ujung adalah titik yang berderajat

satu (Chartrand dan Lesniak, 1986). Graf bintang (star) dengan (n + 1) yang

dinotasikan dengan Sn, adalah graf bipartisi komplit K(1,n), dengan n bilangan asli.

Graf bintang Sn mempunyai sebanyak n titik ujung dan 1 titik pusat. Jika sebanyak m

graf bintang (m > 1) titik pusatnya dihubungkan langsung dengan satu sisi secara

berurutan, maka akan diperoleh graf ulat dalam bentuk umum. Dalam penelitian ini,

m graf bintang (m > 1) yang titik pusatnya dihubungkan langsung dengan satu sisi

secara berurutan disebut graf multi star.

Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf

termasuk pada beberapa bentuk grah ulat sudah banyak dilakukan. Baskoro dkk

(2005) meneliti cara mengkonstruk graf super sisi ajaib dari suatu graf. Ji Yeon Park

dkk (2008) meneliti pelabelan super sisi ajaib pada graf layang-layang. Hussain dkk

(2009) meneliti tentang pelabelan super sisi ajaib pada pohon banana (banana trees).

Rohima (2005) dan Khikmah (2005) masing-masing menunjukkan bahwa graf ulat

berekor dengan n badan dan 2 kaki pada tiap badan serta graf ulat dengan n badan

dan n kaki adalah super edge magic. Irawan (2007) menunjukkan bahwa graf ulat

model trisula dengan panjang n adalah super sisi ajaib. Williyanto dan Irawanto

(2009) menunjukkan bahwa grah ulat model T adalah super sisi ajaib. Lorentz (2009)

menunjukkan bahwa graf ulat dengan n badan dan 2n kaki adalah super sisi ajaib.

Abdussakir (2010) menunjukkan bahwa graf ulat bentuk , bentuk H, dan graf ulat

Page 6: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

3

dengan himpunan derajat D = {1, 4} dan n titik berderajat 4, dengan n bilangan asli

adalah super sisi ajaib.

Beberapa penelitian tentang pelabelan super sisi ajaib pada graf ulat ini masih

pada kasus-kasus yang khusus. Karena bentuk umum graf ulat dapat diperoleh dari

graf multi star, maka penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada graf ulat

secara umum dapat ditunjukkan melalui pelabelan super sisi ajaib pada graf multi

star. Dengan demikian, maka penelitian ini berusaha menunjukkan bahwa graf multi

star adalah super sisi ajaib.

B. Rumusan Masalah

Pertanyaan yang dirumuskan dalam penelitian ini adalah “bagaimana

pelabelan super sisi ajaib pada graf multi star?”

C. Tujuan Penelitian

Sesuai rumusan masalah, maka tujuan penelitian ini adalah untuk menjelaskan

pelabelan super sisi ajaib pada graf multi star.

D. Manfaat Penelitian

Penelitian ini diharapkan dapat memberikan bukti atau penjelasan bahwa graf

multi star adalah super sisi ajaib. Penelitian ini diharapkan dapat menjadi penambah

wawasan mengenai pelabelan super sisi ajaib dan menggugah peneliti lain untuk

melakukan penelitian lebih lanjut mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa

jenis graf lainnya.

Page 7: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

26

BAB IV

PEMBAHASAN

A. Pelabelan Super Sisi Ajaib pada Graf Multi Star Tipe 1 MS1(m)

Seperti telah dijelaskan pada kajian pustaka, misalkan 1nS ,

2nS , 3nS , ….,

mnS

adalah graf star masing-masing beroder n1, n2, n3, …, dan nm, serta iv0 adalah titik

pusat dari inS . Graf yang diperoleh dari gabungan

m

i

niS

1

ditambah sisi iv0

1

0

iv , i = 1,

2, …, m – 1, dalam penelitian ini disebut graf multi star tipe 1 dan dilambangkan

dengan MS1(m). Berikut adalah gambar graf multi star tipe 1 MS

1(m).

MS1(m) mempunyai himpunan titik dan himpunan sisi sebagai berikut:

𝑉 𝑀𝑆1(𝑚) = {𝑣11 , 𝑣2

1 ,… , 𝑣𝑛11 , 𝑣1

2 , 𝑣22 ,… , 𝑣𝑛2

2 ,… , 𝑣𝑛𝑚 ,𝑚 , 𝑣0

1 , 𝑣02,,𝑣0

3 ,… ,𝑣0𝑚 }, dan

𝐸 𝑀𝑆1(𝑚) = 𝑣0𝑖 𝑣𝑗

𝑖 , 𝑗 = 1, 2,… , 𝑛𝑖; 𝑖 = 1, 2,… ,𝑚 { 1

00

kkvv , k = 1, 2, …, m – 1}.

Jadi, MS1(m) mempunyai order

p(MS1(m)) = n1 + n2 + n3 + … + nm + m

dan mempunyai ukuran

MS1(m):

v10

v12

v13

v14 v1

n1

v11

v20

v22

v23

v24 v2

n2

v21

vm0

vm2

vm3

vm4 vm

nm

vm1

Page 8: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

27

q(MS1(m)) = n1 + n2 + n3 + … + nm + (m – 1).

Dengan demikian, maka p + q = 2(n1 + n2 + n3 + … + nm) + 2m – 1.

Untuk menentukan pelabelan super sisi ajaib, dalam penelitian ini ditetapkan

titik 𝑣11 diberi label 1. Hasil penelitian disajikan sebagai teorema.

Teorema 1.

Graf multi star MS1(2) adalah super sisi ajaib dengan bilangan ajaib

k = 3𝑛1 + 2𝑛2 + 6

Bukti

Graf MS1(2) dapat digambarkan sebagai berikut:

Diperoleh bahwa p(MS1(2)) + q(MS

1(2)) = 2(n1 + n2) + 3.

Konstruksi suatu relasi f dari

V(MS1(2)) E(MS

1(2))

ke

{1, 2, 3, …, 2(n1 + n2) + 3}

dengan aturan sebagai berikut :

𝑓 𝑣𝑖1 = 𝑖 i = 1, 2, …, n1

MS1(2):

v10

v12

v13

v14 v1

n1

v11

v20

v22

v23

v24 v2

n2

v21

Page 9: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

28

𝑓 𝑣𝑖2 = 𝑛1 + 2 + 𝑖 i = 1, 2, …, n2

𝑓 𝑣01 = 𝑛1 + 2

𝑓 𝑣02 = 𝑛1 + 1

𝑓 𝑣01𝑣𝑖

1 = 2𝑛1 + 2𝑛2 + 4 − 𝑖 i = 1, 2, …, n1

𝑓 𝑣02𝑣𝑖

2 = 𝑛1 + 2𝑛2 + 3 − 𝑖 i = 1, 2, …, n2

𝑓 𝑣01𝑣0

2 = 𝑛1 + 2𝑛2 + 3

Dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa f adalah fungsi bijektif. Selanjutnya

akan ditunjukkan bahwa f adalah pelabelan total sisi ajaib.

Untuk sisi 𝑣01𝑣𝑖

1 diperoleh

𝑓 𝑣01 + 𝑓 𝑣0

1𝑣𝑖1 + 𝑓 𝑣𝑖

1 = 𝑛1 + 2 + 2𝑛1 + 2𝑛2 + 4 − 𝑖 + 𝑖

= 3𝑛1 + 2𝑛2 + 6.

Untuk sisi 𝑣02𝑣𝑖

2 diperoleh

𝑓 𝑣02 + 𝑓 𝑣0

2𝑣𝑖2 + 𝑓 𝑣𝑖

2 = 𝑛1 + 1 + 𝑛1 + 2𝑛2 + 3 − 𝑖 + 𝑛1 + 2 + 𝑖

= 3𝑛1 + 2𝑛2 + 6.

Untuk sisi 𝑣01𝑣0

2 diperoleh

𝑓 𝑣01 + 𝑓 𝑣0

1𝑣02 + 𝑓 𝑣0

2 = 𝑛1 + 2 + 𝑛1 + 2𝑛2 + 3 + 𝑛1 + 1

= 3𝑛1 + 2𝑛2 + 6.

Diperoleh bilangan ajaib

k = 3𝑛1 + 2𝑛2 + 6

Dengan melihat peta dari V(MS1(2)) oleh f , yaitu

𝑓 𝑣𝑖1 = 𝑖 i = 1, 2, …, n1

𝑓 𝑣𝑖2 = 𝑛1 + 2 + 𝑖 i = 1, 2, …, n2

Page 10: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

29

𝑓 𝑣01 = 𝑛1 + 2

𝑓 𝑣02 = 𝑛1 + 1

maka terlihat bahwa V(MS1(2)) dipetakan ke

{1, 2, 3, …, n1 + n2 + 2} = {1, 2, 3, …, p(MS1(2))}.

Dengan demikian, terbukti bahwa MS1(2) adalah super sisi ajaib.

Teorema 2.

Graf multi star MS1(3) adalah super sisi ajaib dengan bilangan ajaib

k = 3𝑛1 + 2𝑛2 + 3𝑛3 + 8

Bukti

Graf MS1(3) dapat digambarkan sebagai berikut:

Diperoleh bahwa p(MS1(3)) + q(MS

1(3)) = 2(n1 + n2 + n3) + 5.

Konstruksi suatu relasi f dari

V(MS1(3)) E(MS

1(3))

ke

{1, 2, 3, …, 2(n1 + n2 + n3) + 5}

MS1(3):

v10

v12

v13

v14 v1

n1

v11

v20

v22

v23

v24 v2

n2

v21

v30

v32

v33

v34 v3

n3

v31

Page 11: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

30

dengan aturan sebagai berikut :

𝑓 𝑣𝑖1 = 𝑖 i = 1, 2, …, n1

𝑓 𝑣𝑖2 = 𝑛1 + 𝑛3 + 2 + 𝑖 i = 1, 2, …, n2

𝑓 𝑣𝑖3 = 𝑛1 + 1 + 𝑖 i = 1, 2, …, n3

𝑓 𝑣01 = 𝑛1 + 𝑛3 + 2

𝑓 𝑣02 = 𝑛1 + 1

𝑓 𝑣03 = 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 3

𝑓 𝑣01𝑣𝑖

1 = 2𝑛1 + 2𝑛2 + 2𝑛3 + 6 − 𝑖 i = 1, 2, …, n1

𝑓 𝑣02𝑣𝑖

2 = 𝑛1 + 2𝑛2 + 2𝑛3 + 5 − 𝑖 i = 1, 2, …, n2

𝑓 𝑣02𝑣𝑖

3 = 𝑛1 + 𝑛2 + 2𝑛3 + 4 − 𝑖 i = 1, 2, …, n3

𝑓 𝑣01𝑣0

2 = 𝑛1 + 2𝑛2 + 2𝑛3 + 5

𝑓 𝑣02𝑣0

3 = 𝑛1 + 𝑛2 + 2𝑛3 + 4

Dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa f adalah fungsi bijektif. Selanjutnya

akan ditunjukkan bahwa f adalah pelabelan total sisi ajaib.

Untuk sisi 𝑣01𝑣𝑖

1 diperoleh

𝑓 𝑣01 + 𝑓 𝑣0

1𝑣𝑖1 + 𝑓 𝑣𝑖

1 = 𝑛1 + 𝑛3 + 2 + 2𝑛1 + 2𝑛2 + 2𝑛3 + 6 − 𝑖 + 𝑖

= 3𝑛1 + 2𝑛2 + 3𝑛3 + 8.

Untuk sisi 𝑣02𝑣𝑖

2 diperoleh

𝑓 𝑣02 + 𝑓 𝑣0

2𝑣𝑖2 + 𝑓 𝑣𝑖

2

= 𝑛1 + 1 + 𝑛1 + 2𝑛2 + 2𝑛3 + 5 − 𝑖 + 𝑛1 + 𝑛3 + 2 + 𝑖

= 3𝑛1 + 2𝑛2 + 3𝑛3 + 8.

Untuk sisi 𝑣03𝑣𝑖

3 diperoleh

Page 12: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

31

𝑓 𝑣03 + 𝑓 𝑣0

3𝑣𝑖3 + 𝑓 𝑣𝑖

3

= 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 3 + 𝑛1 + 𝑛2 + 2𝑛3 + 4 − 𝑖 + 𝑛1 + 1 + 𝑖

= 3𝑛1 + 2𝑛2 + 3𝑛3 + 8.

Untuk sisi 𝑣01𝑣0

2 diperoleh

𝑓 𝑣01 + 𝑓 𝑣0

1𝑣02 + 𝑓 𝑣0

2 = 𝑛1 + 𝑛3 + 2 + 𝑛1 + 2𝑛2 + 2𝑛3 + 5 + 𝑛1 + 1

= 3𝑛1 + 2𝑛2 + 3𝑛3 + 8

Untuk sisi 𝑣02𝑣0

3 diperoleh

𝑓 𝑣02 + 𝑓 𝑣0

2𝑣03 + 𝑓 𝑣0

3

= 𝑛1 + 1 + 𝑛1 + 𝑛2 + 2𝑛3 + 4 + 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 3

= 3𝑛1 + 2𝑛2 + 3𝑛3 + 8

Diperoleh bilangan ajaib

k = 3𝑛1 + 2𝑛2 + 3𝑛3 + 8

Dengan melihat peta dari V(MS1(3)) oleh f , yaitu

𝑓 𝑣𝑖1 = 𝑖 i = 1, 2, …, n1

𝑓 𝑣𝑖2 = 𝑛1 + 𝑛3 + 2 + 𝑖 i = 1, 2, …, n2

𝑓 𝑣𝑖3 = 𝑛1 + 1 + 𝑖 i = 1, 2, …, n3

𝑓 𝑣01 = 𝑛1 + 𝑛3 + 2

𝑓 𝑣02 = 𝑛1 + 1

𝑓 𝑣03 = 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 3

maka terlihat bahwa V(MS1(3)) dipetakan ke

{1, 2, 3, …, 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 3} = {1, 2, 3, …, p(MS1(3))}.

Dengan demikian, terbukti bahwa MS1(3) adalah super sisi ajaib.

Page 13: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

32

Teorema 3.

Graf multi star tipe 1 MS1(m) adalah super sisi ajaib, untuk bilangan asli m,

dengan bilangan ajaib

Bukti

Graf multi star tipe 1 MS1(m) dapat digambar sebagai berikut.

MS1(m) mempunyai himpunan titik dan himpunan sisi sebagai berikut:

𝑉 MS1(𝑚) = {𝑣11 , 𝑣2

1 ,… , 𝑣𝑛11 , 𝑣1

2 , 𝑣22 ,… , 𝑣𝑛2

2 ,… , 𝑣𝑛𝑚 ,𝑚 , 𝑣0

1 , 𝑣02,,𝑣0

3 ,… ,𝑣0𝑚 }, dan

𝐸 MS1(𝑚) = 𝑣0𝑖 𝑣𝑗

𝑖 , 𝑗 = 1, 2,… ,𝑛𝑖 ; 𝑖 = 1, 2,… ,𝑚 { 1

00

kkvv , k = 1, 2, …, m – 1}.

Jadi, MS1(m) mempunyai order

p(MS1(m)) = n1 + n2 + n3 + … + nm + m

dan mempunyai ukuran

q(MS1(m)) = n1 + n2 + n3 + … + nm + (m – 1).

Dengan demikian, maka p + q = 2(n1 + n2 + n3 + … + nm) + 2m – 1.

Untuk m ganjil, konstruksi suatu relasi f dari

V(MS1(m)) E(MS

1(m))

ke

MS1(m):

v10

v12

v13

v14 v1

n1

v11

v20

v22

v23

v24 v2

n2

v21

vm0

vm2

vm3

vm4 vm

nm

vm1

Page 14: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

33

{1, 2, 3, …, 2(n1 + n2 + n3 + … + nm) + 2m – 1}

dengan aturan sebagai berikut :

𝑓 𝑣0𝑗 =

𝑛1 + 𝑛3 + ⋯+ 𝑛𝑗−1 +𝑗

2, 𝑗 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝

𝑛1 + 𝑛3 + ⋯+ 𝑛𝑚 +𝑚−1

2+ 𝑛2 + 𝑛4 + ⋯+ 𝑛𝑗−1 +

𝑗+1

2 , 𝑗 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙

𝑓 𝑣𝑖𝑗 =

𝑛1 + 𝑛3 + ⋯+ 𝑖 +𝑗 − 1

2, 𝑗 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙; 𝑖 = 1,2,… , 𝑛𝑗

𝑛1 + 𝑛3 + ⋯+ 𝑛𝑚 +𝑚− 1

2+ 𝑛2 + 𝑛4 + ⋯+ 𝑖 +

𝑗

2 , 𝑗 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝; 𝑖 = 1,2,… , 𝑛𝑗

𝑓 𝑣0𝑗𝑣𝑖

𝑗 =

𝑛1 + 𝑛3 +⋯+ 𝑛𝑗−1 + 2 𝑛𝑗+1 + 𝑛𝑗+3 + ⋯+ 𝑛𝑚

+𝑛2 + 𝑛4 +⋯+ 𝑛𝑗−2 + 2 𝑛𝑗 + 𝑛𝑗+2 + ⋯+ 𝑛𝑚−1 − 𝑖 − 𝑗 + 2𝑚 + 1, 𝑗 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝

𝑛1 + 𝑛3 +⋯+ 𝑛𝑗−2 + 𝑖 + 2 𝑛𝑗+2 + 𝑛𝑗+4 +⋯+ 𝑛𝑚

+𝑛2 + 𝑛4 + ⋯+ 𝑛𝑗−1 + 2 𝑛𝑗+1 + 𝑛𝑗+3 + ⋯+ 𝑛𝑚−1 − 𝑖 − 𝑗 + 2𝑚 + 1, 𝑗 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙

𝑓 𝑣0𝑗𝑣0

𝑗+1 =

𝑛1 + 𝑛3 + ⋯+ 𝑛𝑗−1 + 2 𝑛𝑗+1 + 𝑛𝑗+3 +⋯+ 𝑛𝑚

+𝑛2 + 𝑛4 + ⋯+ 𝑛𝑗 + 2 𝑛𝑗+2 + 𝑛𝑗+4 +⋯+ 𝑛𝑚−1 + 2𝑚− 𝑗, 𝑗 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝

𝑛1 + 𝑛3 +⋯+ 𝑛𝑗 + 2 𝑛𝑗+2 + 𝑛𝑗+4 + ⋯+ 𝑛𝑚

+𝑛2 + 𝑛4 +⋯+ 𝑛𝑗−1 + 2 𝑛𝑗+1 + 𝑛𝑗+3 +⋯+ 𝑛𝑚−1 + 2𝑚 − 𝑗, 𝑗 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙

Relasi f akan menghasilkan pelabelan super sisi ajaib pada graf multi star

MS1(m) dengan bilangan ajaib

𝑘 = 3 𝑛1 + 𝑛3 + ⋯+ 𝑛𝑚 + 2 𝑛2 + 𝑛4 + ⋯+ 𝑛𝑚−1 +5𝑚 + 1

2

untuk bilangan asli ganjil m.

Untuk m genap, konstruksi suatu relasi f dari

V(MS1(m)) E(MS

1(m))

ke

{1, 2, 3, …, 2(n1 + n2 + n3 + … + nm) + 2m – 1}

dengan aturan sebagai berikut :

𝑓 𝑣0𝑗 =

𝑛1 + 𝑛3 + ⋯+ 𝑛𝑗−1 +𝑗

2, 𝑗 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝

𝑛1 + 𝑛3 + ⋯+ 𝑛𝑚−1 +𝑚

2+ 𝑛2 + 𝑛4 + ⋯+ 𝑛𝑗−1 +

𝑗+1

2 , 𝑗 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙

Page 15: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

34

𝑓 𝑣𝑖𝑗 =

𝑛1 + 𝑛3 + ⋯+ 𝑖 +𝑗 − 1

2, 𝑗 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙; 𝑖 = 1,2,… , 𝑛𝑗

𝑛1 + 𝑛3 + ⋯+ 𝑛𝑚−1 +𝑚

2+ 𝑛2 + 𝑛4 + ⋯+ 𝑖 +

𝑗

2 , 𝑗 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝; 𝑖 = 1,2,… ,𝑛𝑗

𝑓 𝑣0𝑗𝑣𝑖

𝑗 =

𝑛1 + 𝑛3 +⋯+ 𝑛𝑗−1 + 2 𝑛𝑗+1 + 𝑛𝑗+3 +⋯+ 𝑛𝑚−1

+𝑛2 + 𝑛4 +⋯+ 𝑛𝑗−2 + 𝑖 + 2 𝑛𝑗+2 + 𝑛𝑗+4 + ⋯+ 𝑛𝑚 − 𝑗 + 2𝑚 + 1, 𝑗 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝

𝑛1 + 𝑛3 +⋯+ 𝑛𝑗−2 + 𝑖 + 2 𝑛𝑗+2 + 𝑛𝑗+4 + ⋯+ 𝑛𝑚−1

+𝑛2 + 𝑛4 + ⋯+ 𝑛𝑗−1 + 2 𝑛𝑗+1 + 𝑛𝑗+3 +⋯+ 𝑛𝑚 − 𝑖 − 𝑗 + 2𝑚 + 1, 𝑗 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙

𝑓 𝑣0𝑗𝑣0

𝑗+1 =

𝑛1 + 𝑛3 +⋯+ 𝑛𝑗−1 + 2 𝑛𝑗+1 + 𝑛𝑗+3 +⋯+ 𝑛𝑚−1

+𝑛2 + 𝑛4 + ⋯+ 𝑛𝑗 + 2 𝑛𝑗+2 + 𝑛𝑗+4 +⋯+ 𝑛𝑚 + 2𝑚− 𝑗, 𝑗 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝

𝑛1 + 𝑛3 +⋯+ 𝑛𝑗 + 2 𝑛𝑗+2 + 𝑛𝑗+4 +⋯+ 𝑛𝑚−1

+𝑛2 + 𝑛4 +⋯+ 𝑛𝑗−1 + 2 𝑛𝑗+1 + 𝑛𝑗+3 +⋯+ 𝑛𝑚 + 2𝑚− 𝑗, 𝑗 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙

Relasi f akan menghasilkan pelabelan super sisi ajaib pada graf multi star

MS1(m) dengan bilangan ajaib

𝑘 = 3 𝑛1 + 𝑛3 + ⋯+ 𝑛𝑚−1 + 2 𝑛2 + 𝑛4 + ⋯+ 𝑛𝑚 +5𝑚 + 2

2

untuk bilangan asli ganjil m.

B. Pelabelan Super Sisi Ajaib pada Graf Multi Star Tipe 2 MS2(m)

Graf yang diperoleh dari gabungan m

i

niS

1

ditambah titik vi (i = 1, 2, …, m – 1)

dan sisi iv0 vi serta v

i 1

0

iv (i = 1, 2, …, m – 1), dalam penelitian ini disebut graf multi

star tipe 2 dan dilambangkan dengan MS2(m). Berikut adalah gambar graf multi star

tipe 2.

MS2(m):

v10

v12

v13

v14 v1

n1

v11

v20

v22

v23

v24 v2

n2

v21

vm0

vm2

vm3

vm4 vm

nm

vm1

… v1 v1 v(m-1)

Page 16: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

35

Maka diperoleh,

𝑉 𝐺 =

𝑣11 ,𝑣2

1 ,… , 𝑣𝑛11 , 𝑣1

2 , 𝑣22 ,… , 𝑣𝑛2

2 ,… , 𝑣𝑛𝑚𝑚

𝑣01 , 𝑣0

2,,𝑣03 ,… , 𝑣0

𝑚

𝑣1 ,𝑣2 ,𝑣3 ,… ,𝑣𝑚

𝐸 𝐺 = 𝑣0

1𝑣11 , 𝑣0

1𝑣21 ,… , 𝑣0

1𝑣𝑛11 , 𝑣0

2𝑣12 , 𝑣0

2𝑣22 ,… , 𝑣0

2𝑣𝑛22 ,… , 𝑣0

𝑚𝑣, 𝑣0𝑚𝑣2

𝑚 ,… , 𝑣0𝑚𝑣𝑛𝑚

𝑚

𝑣01𝑣1 , 𝑣0

2𝑣1 , 𝑣02𝑣2 ,… , 𝑣0

𝑚−2𝑣𝑚−1 , 𝑣0𝑚𝑣𝑚−1

Jadi, MS2(m) mempunyai order

p(MS2(m)) = n1 + n2 + n3 + … + nm + 2m – 1

dan mempunyai ukuran

q(MS2(m)) = n1 + n2 + n3 + … + nm + 2(m – 1).

Dengan demikian, maka p + q = 2(n1 + n2 + n3 + … + nm) + 4m – 3.

Teorema 4:

Graf multi star MS2(2) adalah super sisi ajaib dengan konstanta ajaib

𝑘 = 3 𝑛1 + 𝑛2 + 8.

Bukti:

Misal G = MS2(2), maka G dapat digambarkan sebagai berikut:

Maka

MS2(2):

v1 v10

v12

v13

v14 v1

n1

v11

v20

v22

v23

v24 v2

n2

v21

Page 17: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

36

𝑉 𝐺 = 𝑣11 , 𝑣2

1 , 𝑣31 ,… , 𝑣𝑛1

1 ;𝑣12 , 𝑣2

2 , 𝑣32 ,… , 𝑣𝑛2

2 ; 𝑣01 , 𝑣0

2; 𝑣1

dan

𝐸 𝐺 =

𝑣01𝑣1

1 ,𝑣01𝑣2

1 ,… , 𝑣01𝑣𝑛1

1 ; 𝑣02𝑣1

2 , 𝑣02𝑣2

2 ,… , 𝑣02𝑣𝑛2

2 ; 𝑣01𝑣1 , 𝑣0

2𝑣1

Jadi akan diperoleh:

𝑝 = 𝑛1 + 𝑛2 + 3, dan 𝑞 = 𝑛1 + 𝑛2 + 2.

Sehingga 𝑝 + 𝑞 = 2(𝑛1 + 𝑛2) + 5

Misalkan dibuat pelabelan sebagai berikut:

1

3

2

1n

221 nn

11 n

321 nn

21 n 31 n

41 n121 nn

Terdapat pola pelabelan f sebagai berikut:

𝑓 𝑣𝑖𝑘 = 𝑛𝑘−1 + 𝑘 − 1 + 𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛𝑘 , 1 ≤ 𝑘 ≤ 2

𝑓 𝑣0𝑘 = 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑘 + 1 , 1 ≤ 𝑘 ≤ 2

𝑓 𝑣 𝑙 = 𝑛𝑙 + 𝑙, 𝑙 = 1

𝑓 𝑣01𝑣𝑖

1 = 2𝑛1 + 2𝑛2 + 6 − 𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛1

𝑓 𝑣02𝑣𝑖

2 = 𝑛1 + 2𝑛2 + 4 − 𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛2

𝑓 𝑣0𝑘𝑣𝑙 = 𝑛1 + 2𝑛𝑙+1 + 7 − 𝑘 + 𝑙 , 1 ≤ 𝑘 ≤ 2, 𝑙 = 1

Dapat ditunjukkan bahwa 𝑓 adalah fungsi, yang memetakan 𝑉(𝐺) ∪ 𝐸(𝐺) ke

1, 2, 3,… , 𝑝 + 𝑞 . Karena 𝑉 𝐺 ∪ 𝐸 𝐺 = 1, 2, 3,… ,𝑝 + 𝑞 dan 𝑓 dapat

Page 18: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

37

ditunjukkan injektif maka sudah pasti 𝑓 adalah surjektif. Karena 𝑓 injektif

juga sekaligus surjektif, maka 𝑓 bijektif.

Akan ditunjukkan bahwa untuk masing-masing sisi 𝑥𝑦 di 𝐺 berlaku

𝑓 𝑥 + 𝑓 𝑥𝑦 + 𝑓 𝑦 = 𝑘

a. Untuk sisi 𝑣01𝑣𝑖

1 di 𝐺 diperoleh:

𝑓 𝑣01 + 𝑓 𝑣0

1𝑣𝑖1 + 𝑓 𝑣 = 𝑛1 + 𝑛2 + 2 + 2𝑛1 + 2𝑛2 + 6 − 𝑖 + 𝑖

= 3𝑛1 + 3𝑛2 + 8

b. Untuk sisi 𝑣02𝑣𝑖

2 di 𝐺 diperoleh:

𝑓 𝑣02 + 𝑓 𝑣0

2𝑣𝑖2 + 𝑓 𝑣𝑖

2

= 𝑛1 + 𝑛2 + 3 + 𝑛1 + 2𝑛2 + 4 − 𝑖 + (𝑛1 + 1 + 𝑖)

= 3𝑛1 + 3𝑛2 + 8

c. Untuk sisi 𝑣0𝑘𝑣1 di 𝐺 diperoleh:

𝑓 𝑣0𝑘 + 𝑓 𝑣0

𝑘𝑣1 + 𝑓 𝑣1

= 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑘 + 1 + 𝑛1 + 2𝑛2 + 7 − 𝑘 + 1

+ 𝑛1 + 1

= 3𝑛1 + 3𝑛2 + 8

Jadi 𝐺 adalah super sisi ajaib dengan bilangan ajaib:

𝑘 = 3𝑛1 + 3𝑛2 + 8

Akan ditunjukkan bahwa 𝑓 memetakan 𝑉 ke 1, 2, 3,… ,𝑝 .

a) Titik 𝑣𝑖𝑘

Diketahui 𝑓 𝑣𝑖𝑘 = 𝑛𝑘−1 + 𝑘 − 1 + 𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛𝑘 , 1 ≤ 𝑘 ≤ 2

Karena 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛𝑘

Page 19: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

38

Maka 𝑛𝑘−1 + 𝑘 − 1 + 1 ≤ 𝑛𝑘−1 + 𝑘 − 1 + 𝑖 ≤ 𝑛𝑘−1 + 𝑘 − 1 + 𝑛𝑘

𝑛𝑘−1 + 𝑘 ≤ 𝑛𝑘−1 + 𝑘 − 1 + 𝑖 ≤ 𝑛𝑘−1 + 𝑘 − 1 + 𝑛𝑘

1 ≤ 𝑛𝑘−1 + 𝑘 ≤ 𝑛𝑘−1 + 𝑘 − 1 + 𝑖 ≤ 𝑛𝑘−1 + 𝑘 − 1 + 𝑛𝑘 < 𝑛1 + 𝑛2 + 3

1 ≤ 𝑛𝑘−1 + 𝑘 − 1 + 𝑖 < 𝑛1 + 𝑛2 + 3

Jadi 1 ≤ 𝑓 𝑣𝑖𝑘 < 𝑝

b) Titik 𝑣0𝑘

Diketahui 𝑓 𝑣0𝑘 = 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑘 + 1 , 1 ≤ 𝑘 ≤ 2

Karena 1 ≤ 𝑘 ≤ 2

Maka (𝑛1 + 𝑛2 + 1) + 1 ≤ (𝑛1 + 𝑛2 + 1) + 𝑘 ≤ (𝑛1 + 𝑛2 + 1) + 2

𝑛1 + 𝑛2 + 2 ≤ 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑘 + 1 ≤ 𝑛1 + 𝑛2 + 3

𝑛1 + 𝑛2 + 2 ≤ 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑘 + 1 ≤ 𝑛1 + 𝑛2 + 3

1 < 𝑛1 + 𝑛2 + 2 ≤ 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑘 + 1 ≤ 𝑛1 + 𝑛2 + 3

1 < 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑘 + 1 ≤ 𝑛1 + 𝑛2 + 3

Jadi 1 < 𝑓 𝑣0𝑘 ≤ 𝑝

c. Titik 𝑣𝑙

Diketahui 𝑓 𝑣𝑙 = 𝑛𝑙 + 𝑙, 𝑙 = 1

Dengan 𝑙 = 1, pola untuk titik 𝑣𝑙 bisa ditulis 𝑓 𝑣1 = 𝑛1 + 1.

Karena 1 < 𝑛1 + 1 < 𝑛1 + 𝑛2 + 3

Maka 1 < 𝑓 𝑣𝑙 < 𝑝

Jadi terbukti bahwa 𝑓 memetakan 𝑉 ke 1, 2, 3,… ,𝑝 .

Terbukti bahwa graf 𝐺 adalah super sisi ajaib.

Page 20: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

39

Teorema 5:

Graf multi star MS2(3) adalah super sisi ajaib dengan konstanta ajaib

𝑘 = 3(𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3) + 13.

Bukti:

Misal G = MS2(3), maka G dapat digambarkan sebagai berikut:

Maka

𝑉(𝐺) = 𝑣11 , 𝑣2

1 ,… ,𝑣𝑛11 ; 𝑣1

2 ,𝑣22 ,… , 𝑣𝑛2

2 ; 𝑣13 , 𝑣2

3 ,… , 𝑣𝑛33 ;𝑣0

1 , 𝑣02 , 𝑣0

3 ;𝑣1 ,𝑣2

dan

𝐸 𝐺

=

𝑣0

1𝑣11 , 𝑣0

1𝑣21 ,… ,𝑣0

1𝑣𝑛11 ; 𝑣0

2𝑣12 ,𝑣0

2𝑣22 ,… , 𝑣0

2𝑣𝑛22 ;𝑣0

3𝑣13 ,𝑣0

3𝑣23 ,… , 𝑣0

3𝑣𝑛33 ;

𝑣01𝑣1 , 𝑣0

2𝑣1 , 𝑣02𝑣2 ,𝑣0

3𝑣2

Jadi akan diperoleh:

𝑝 = 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 5, dan 𝑞 = 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 4.

Maka 𝑝 + 𝑞 = 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 5 + 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 4

= 2(𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3) + 9

Diberikan pelabelan f pada titik sebagai berikut:

MS2(3):

v1 v1

0

v12

v13

v14 v1

n1

v11

v20

v22

v23

v24 v2

n2

v21

v20

v32

v33

v34 v3

n3

v31

v2

Page 21: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

40

1n

11 n

21 n 31 n

41 n121 nn

3

21

221 nn

321 nn 421 nn

521 nn2321 nnn

3321 nnn 4321 nnn 5321 nnn

Terdapat pola pelabelan graf 𝐺 sebagai berikut:

𝑓 𝑣𝑖𝑘 = 𝑛𝑘−2 + 𝑛𝑘−1 + 𝑘 − 1 + 𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛𝑘 , 1 ≤ 𝑘 ≤ 3

𝑓 𝑣0𝑘 = 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 𝑘 + 2 , 1 ≤ 𝑘 ≤ 3

𝑓 𝑣 𝑙 = 𝑛1 + ⋯+ 𝑛𝑙 + 𝑙, 1 ≤ 𝑙 ≤ 2

𝑓 𝑣01𝑣𝑖

1 = 2𝑛1 + 2𝑛2 + 2𝑛3 + 10 − 𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛1

𝑓 𝑣02𝑣𝑖

2 = 𝑛1 + 2𝑛2 + 2𝑛3 + 8 − 𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛2

𝑓 𝑣03𝑣𝑖

3 = 𝑛1 + 𝑛2 + 2𝑛3 + 6 − 𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛3

𝑓 𝑣0𝑘𝑣𝑙 = 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑙 + 2𝑛 𝑙+1 + ⋯+ 2𝑛3 + 11 − 𝑘 + 𝑙 ,

1 ≤ 𝑘 ≤ 3, (𝑘 − 1) ≤ 𝑙 ≤ 𝑘

Dapat ditunjukkan bahwa 𝑓 adalah fungsi, yang memetakan 𝑉(𝐺) ∪ 𝐸(𝐺) ke

1, 2, 3,… , 𝑝 + 𝑞 . Karena 𝑉 𝐺 ∪ 𝐸 𝐺 = 1, 2, 3,… ,𝑝 + 𝑞 dan 𝑓 dapat

ditunjukkan injektif maka sudah pasti 𝑓 adalah surjektif. Karena 𝑓 injektif

juga sekaligus surjektif, maka 𝑓 bijektif.

Akan ditunjukkan bahwa untuk masing-masing sisi 𝑥𝑦 di 𝐺 berlaku

𝑓 𝑥 + 𝑓 𝑥𝑦 + 𝑓 𝑦 = 𝑘

a. Untuk sisi 𝑣01𝑣𝑖

1 di 𝐺 diperoleh:

Page 22: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

41

𝑓 𝑣01 + 𝑓 𝑣0

1𝑣𝑖1 + 𝑓 𝑣𝑖

1

= 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 3 + 2𝑛1 + 2𝑛2 + 2𝑛3 + 10 − 𝑖 + 𝑖

= 3 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 13

b. Untuk sisi 𝑣02𝑣𝑖

2 di 𝐺 diperoleh:

𝑓 𝑣02 + 𝑓 𝑣0

2𝑣𝑖2 + 𝑓 𝑣𝑖

2

= 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 4 + 𝑛1 + 2𝑛2 + 2𝑛3 + 8 − 𝑖 + (𝑛1 + 1

+ 𝑖)

= 3 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 13

c. Untuk sisi 𝑣03𝑣𝑖

3 di 𝐺 diperoleh:

𝑓 𝑣03 + 𝑓 𝑣0

3𝑣𝑖3 + 𝑓 𝑣𝑖

3

= 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 5 + 𝑛1 + 𝑛2 + 2𝑛3 + 6 − 𝑖 + (𝑛1 + 𝑛2

+ 2 + 𝑖)

= 3 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 13

d. Untuk sisi 𝑣0𝑘𝑣𝑙 di 𝐺 diperoleh:

𝑓 𝑣0𝑘 + 𝑓(𝑣0

𝑘𝑣 𝑙 ) + 𝑓 𝑣𝑙

= 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 𝑘 + 2

+ 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑙 + 2𝑛 𝑙+1 + ⋯+ 2𝑛3 + 11 − 𝑘 + 𝑙

+ 𝑛1 + ⋯+ 𝑛𝑙 + 𝑙

= 3 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 13

Jadi 𝐺 adalah super sisi ajaib dengan bilangan ajaib:

𝑘 = 3 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 13

Akan ditunjukkan bahwa 𝑓 memetakan 𝑉 ke 1, 2, 3,… ,𝑝 .

Page 23: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

42

a. Titik 𝑣𝑖𝑘

Diketahui 𝑓 𝑣𝑖𝑘 = 𝑛𝑘−2 + 𝑛𝑘−1 + 𝑘 − 1 + 𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛𝑘 , 1 ≤ 𝑘 ≤ 3

Karena 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛𝑘

Maka 𝑛𝑘−2 + 𝑛𝑘−1 + 𝑘 − 1 + 1 ≤ 𝑛𝑘−2 + 𝑛𝑘−1 + 𝑘 − 1 + 𝑖 ≤

𝑛𝑘−2 + 𝑛𝑘−1 + 𝑘 − 1 + 𝑛𝑘

𝑛𝑘−2 + 𝑛𝑘−1 + 𝑘 ≤ 𝑛𝑘−2 + 𝑛𝑘−1 + 𝑘− 1 + 𝑖 ≤ 𝑛𝑘−2 + 𝑛𝑘−1 + 𝑘− 1 + 𝑛𝑘

1 ≤ 𝑛𝑘−2 + 𝑛𝑘−1 + 𝑘 ≤ 𝑛𝑘−2 + 𝑛𝑘−1 + 𝑘 − 1 + 𝑖

≤ 𝑛𝑘−2 + 𝑛𝑘−1 + 𝑘 − 1 + 𝑛𝑘 < 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 5

1 ≤ 𝑛𝑘−2 + 𝑛𝑘−1 + 𝑘 − 1 + 𝑖 < 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 5

Jadi 1 ≤ 𝑓 𝑣𝑖𝑘 < 𝑝

b. Titik 𝑣0𝑘

Diket 𝑓 𝑣0𝑘 = 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 𝑘 + 2 , 1 ≤ 𝑘 ≤ 3

Karena 1 ≤ 𝑘 ≤ 3

Maka (𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 2) + 1 ≤ (𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 2) + 𝑘 ≤ (𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 +

2) + 3

𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 3 ≤ 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 𝑘 + 2 ≤ 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 5

1 < 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 3 ≤ 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 𝑘 + 2 ≤ 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 5

1 < 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 𝑘 + 2 ≤ 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 5

Jadi 1 < 𝑓 𝑣0𝑘 ≤ 𝑝

c. Titik 𝑣𝑙

Diketahui 𝑓 𝑣𝑙 = 𝑛1 + ⋯+ 𝑛𝑙 + 𝑙, 1 ≤ 𝑙 ≤ 2

Karena 1 ≤ 𝑙 ≤ 2

Page 24: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

43

Maka 𝑛1 + ⋯+ 𝑛𝑙 + 1 ≤ 𝑛1 + ⋯+ 𝑛𝑙 + 𝑙 ≤ 𝑛1 + ⋯+ 𝑛𝑙 + 2

1 < 𝑛1 + ⋯+ 𝑛𝑙 + 1 ≤ 𝑛1 + ⋯+ 𝑛𝑙 + 𝑙 ≤ 𝑛1 + ⋯+ 𝑛𝑙 + 2

< 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 5

Jadi 1 < 𝑓 𝑣𝑙 < 𝑝

Jadi terbukti bahwa 𝑓 memetakan 𝑉 ke 1, 2, 3,… ,𝑝 .

Terbukti bahwa graf 𝐺 adalah super sisi ajaib.

Teorema 6:

Graf multi star MS2(4) adalah super sisi ajaib dengan konstanta ajaib

𝑘 = 3(𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 𝑛4) + 18

Bukti:

Misal G = MS2(4), maka G dapat digambar sebagai berikut:

1

1V 1

2V

1

3V1

1nV

2

1V 2

2V

2

3V2

2nV

1

0V 2

0V

1̂V3

0V

3

3V3

3nV

3

1V 3

2V

4

0V2̂V 3̂V

4

1V 4

2V

4

3V4

4nV

Maka

𝑉(𝐺) = 𝑣1

1 ,𝑣21 ,… , 𝑣𝑛1

1 ; 𝑣12 , 𝑣2

2 ,… , 𝑣𝑛22 ;𝑣1

3 , 𝑣23 ,… ,𝑣𝑛3

3 ;𝑣14 ,𝑣2

4 ,… ,𝑣𝑛44

𝑣01 ,𝑣0

2 , 𝑣03 , 𝑣0

4 ;𝑣1 ,𝑣2 , 𝑣3

dengan

𝑣𝑖𝑗 adalah titik pada 𝑆𝑛𝑗

𝑗 dengan 𝑣0

𝑗 sebagai titik pusat, dan i = 1, 2, …, nj serta

j = 1, 2, 3, 4.

Page 25: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

44

𝑣𝑙 adalah titik pengait antara 𝑣0𝑙 dengan 𝑣0

𝑙+1, untuk l = 1, 2, 3.

Maka

𝐸 𝐺 =

𝑣0

1𝑣11 , 𝑣0

1𝑣21 ,… ,𝑣0

1𝑣𝑛11 ; 𝑣0

2𝑣12 ,𝑣0

2𝑣22 ,… , 𝑣0

2𝑣𝑛22 ;

𝑣03𝑣1

3 ,𝑣03𝑣2

3 ,… , 𝑣03𝑣𝑛3

3 ;𝑣04𝑣1

4 ,𝑣04𝑣2

4 ,… , 𝑣04𝑣𝑛4

4

𝑣01𝑣1 ,𝑣0

2𝑣1 ,𝑣02𝑣2 ,𝑣0

3𝑣2 , 𝑣03𝑣3 , 𝑣0

4𝑣3

Jadi akan diperoleh:

𝑝 = 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 𝑛4 + 7, dan 𝑞 = 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 𝑛4 + 6.

Maka 𝑝 + 𝑞 = 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 𝑛4 + 7 + 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 𝑛4 + 6

= 2(𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 𝑛4) + 13

Buat relasi f dari V(G) E(G) ke {1, 2, 3, …, 2(𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 𝑛4) + 13}

dengan aturan berikut

𝑓 𝑣𝑖𝑘 = 𝑛𝑘−3 + 𝑛𝑘−2 + 𝑛𝑘−1 + 𝑘 − 1 + 𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛𝑘 , 1 ≤ 𝑘 ≤ 4

𝑓 𝑣0𝑘 = 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 𝑛4 + 𝑘 + 3 , 1 ≤ 𝑘 ≤ 4

𝑓 𝑣 𝑙 = 𝑛1+𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑙 + 𝑙,1 ≤ 𝑙 ≤ 3

𝑓 𝑣01𝑣𝑖

1 = 2𝑛1 + 2𝑛2 + 2𝑛3 + 2𝑛4 + 14 − 𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛1

𝑓 𝑣02𝑣𝑖

2 = 𝑛1 + 2𝑛2 + 2𝑛3 + 2𝑛4 + 12 − 𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛2

𝑓 𝑣03𝑣𝑖

3 = 𝑛1 + 𝑛2 + 2𝑛3 + 2𝑛4 + 10 − 𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛3

𝑓 𝑣04𝑣𝑖

4 = 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 2𝑛4 + 8 − 𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛4

𝑓 𝑣0𝑘𝑣𝑙 = 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑙 + 2𝑛(𝑙+1) + 2𝑛(𝑙+2) + ⋯+ 2𝑛4 + 15 −

𝑘 + 𝑙 , 1 ≤ 𝑘 ≤ 4, (𝑘 − 1) ≤ 𝑙 ≤ 𝑘

Dapat ditunjukkan bahwa 𝑓 adalah fungsi, yang memetakan 𝑉(𝐺) ∪ 𝐸(𝐺) ke

1, 2, 3,… , 𝑝 + 𝑞 . Karena 𝑉 𝐺 ∪ 𝐸 𝐺 = 1, 2, 3,… ,𝑝 + 𝑞 dan 𝑓 dapat

Page 26: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

45

ditunjukkan injektif maka sudah pasti 𝑓 adalah surjektif. Karena 𝑓 injektif

juga sekaligus surjektif, maka 𝑓 bijektif.

Akan ditunjukkan bahwa untuk masing-masing sisi 𝑥𝑦 di 𝐺 berlaku 𝑓 𝑥 +

𝑓 𝑥𝑦 + 𝑓 𝑦 = 𝑘

a. Untuk sisi 𝑣01𝑣𝑖

1 di 𝐺 diperoleh:

𝑓 𝑣01 + 𝑓 𝑣0

1𝑣𝑖1 + 𝑓 𝑣𝑖

1

= 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 𝑛4 + 4

+ 2𝑛1 + 2𝑛2 + 2𝑛3 + 2𝑛4 + 14− 𝑖 + 𝑖

= 3 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 𝑛4 + 18

b. Untuk sisi 𝑣02𝑣𝑖

2 di 𝐺 diperoleh:

𝑓 𝑣02 + 𝑓 𝑣0

2𝑣𝑖2 + 𝑓 𝑣𝑖

2 = 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 𝑛4 + 5 + 𝑛1 + 2𝑛2 +

2𝑛3 + 2𝑛4 + 12 − 𝑖 + (𝑛1 + 1 + 𝑖)

= 3 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 𝑛4 + 18

c. Untuk sisi 𝑣03𝑣𝑖

3 di 𝐺 diperoleh:

𝑓 𝑣03 + 𝑓 𝑣0

3𝑣𝑖3 + 𝑓 𝑣𝑖

3

= 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 𝑛4 + 6

+ 𝑛1 + 𝑛2 + 2𝑛3 + 2𝑛4 + 10 − 𝑖 + (𝑛1 + 𝑛2 + 2 + 𝑖)

= 3 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 𝑛4 + 18

d. Untuk sisi 𝑣04𝑣𝑖

4 di 𝐺 diperoleh:

𝑓 𝑣04 + 𝑓 𝑣0

4𝑣𝑖4 + 𝑓 𝑣𝑖

4

= 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 𝑛4 + 7 + 𝑛1 + 𝑛2 + 2𝑛3 + 2𝑛4 + 8 − 𝑖

+ (𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 3 + 𝑖)

Page 27: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

46

= 3 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 𝑛4 + 18

e. Untuk sisi 𝑣0𝑘𝑣𝑙 di 𝐺 diperoleh:

𝑓 𝑣0𝑘 + 𝑓(𝑣0

𝑘𝑣𝑙 ) + 𝑓 𝑣𝑙

= 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 𝑛4 + 𝑘 + 3

+ 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑙 + 2𝑛 𝑙+1 + 2𝑛 𝑙+2 + ⋯+ 2𝑛4 + 15

− 𝑘 + 𝑙 + 𝑛1+𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑙 + 𝑙

= 3 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 𝑛4 + 18

Jadi 𝐺 adalah total sisi ajaib dengan bilangan ajaib:

𝑘 = 3 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 𝑛4 + 18

Akan ditunjukkan bahwa 𝑓 memetakan 𝑉 ke 1, 2, 3,… ,𝑝 .

a. Titik 𝑣𝑖𝑘

Diketahui 𝑓 𝑉𝑖𝑘 = 𝑛𝑘−3 + 𝑛𝑘−2 + 𝑛𝑘−1 + 𝑘 − 1 + 𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛𝑘 ,

1 ≤ 𝑘 ≤ 4

Karena 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛𝑘

Maka

𝑛𝑘−3 + 𝑛𝑘−2 + 𝑛𝑘−1 + 𝑘 − 1 + 1 ≤ 𝑛𝑘−3 + 𝑛𝑘−2 + 𝑛𝑘−1 + 𝑘 − 1 + 𝑖

≤ 𝑛𝑘−3 + 𝑛𝑘−2 + 𝑛𝑘−1 + 𝑘 − 1 + 𝑛𝑘

𝑛𝑘−3 + 𝑛𝑘−2 + 𝑛𝑘−1 + 𝑘 ≤ 𝑛𝑘−3 + 𝑛𝑘−2 + 𝑛𝑘−1 + 𝑘 − 1 + 𝑖

≤ 𝑛𝑘−3 + 𝑛𝑘−2 + 𝑛𝑘−1 + 𝑘 − 1 + 𝑛𝑘

1 ≤ 𝑛𝑘−3 + 𝑛𝑘−2 + 𝑛𝑘−1 + 𝑘 ≤ 𝑛𝑘−3 + 𝑛𝑘−2 + 𝑛𝑘−1 + 𝑘 − 1 + 𝑖

≤ 𝑛𝑘−3 + 𝑛𝑘−2 + 𝑛𝑘−1 + 𝑘 − 1 + 𝑛𝑘

< 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 𝑛4 + 7

Page 28: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

47

1 ≤ 𝑛𝑘−3 + 𝑛𝑘−2 + 𝑛𝑘−1 + 𝑘 − 1 + 𝑖 < 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 𝑛4 + 7

Jadi 1 ≤ 𝑓 𝑣𝑖𝑘 < 𝑝

d. Titik 𝑣0𝑘

Diket 𝑓 𝑣0𝑘 = 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 𝑛4 + 𝑘 + 3 , 1 ≤ 𝑘 ≤ 4

Karena 1 ≤ 𝑘 ≤ 4

Maka (𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 𝑛4 + 3) + 1 ≤ (𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 𝑛4 + 3) + 𝑘 ≤ (𝑛1 +

𝑛2 + 𝑛3 + 𝑛4 + 3) + 4

𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 𝑛4 + 4 ≤ 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 𝑛4 + 𝑘 + 3

≤ 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 𝑛4 + 7

1 < 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 𝑛4 + 4 ≤ 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 𝑛4 + 𝑘 + 3

≤ 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 𝑛4 + 7

Jadi 1 < 𝑓 𝑣0𝑘 ≤ 𝑝

e. Titik 𝑣𝑙

Diketahui 𝑓 𝑣𝑙 = 𝑛1+𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑙 + 𝑙,1 ≤ 𝑙 ≤ 3

Karena 1 ≤ 𝑙 ≤ 3

Maka

𝑛1+𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑙 + 1 ≤ 𝑛1+𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑙 + 𝑙 ≤ 𝑛1+𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑙 + 3

1 < 𝑛1+𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑙 + 1 ≤ 𝑛1+𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑙 + 𝑙 ≤ 𝑛1+𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑙 + 3

< 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 𝑛4 + 7

Jadi 1 < 𝑓 𝑣𝑙 < 𝑝

Jadi terbukti bahwa 𝑓 memetakan 𝑉 ke 1, 2, 3,… ,𝑝 .

Terbukti bahwa graf 𝐺 adalah super sisi ajaib.

Page 29: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

48

Berdasarkan pola pelabelan titik dan sisi pada graf multi star MS2(2),

MS2(3), dan MS

2(4), maka dapat diambil suatu generalisasi untuk pola pelabelan

titik dan sisi pada graf multi star MS2(m) sebagai berikut:

a. Titik 𝑣𝑖𝑘

𝑚 = 2 ⟹ 𝑓 𝑣𝑖𝑘 = 𝑛𝑘−1 + 𝑘 − 1 + 𝑖

𝑚 = 3 ⟹ 𝑓 𝑣𝑖𝑘 = 𝑛𝑘−2 + 𝑛𝑘−1 + 𝑘 − 1 + 𝑖

𝑚 = 4 ⟹ 𝑓 𝑣𝑖𝑘 = 𝑛𝑘−3 + 𝑛𝑘−2 + 𝑛𝑘−1 + 𝑘 − 1 + 𝑖

Jadi disimpulkan:

𝑓 𝑣𝑖𝑘 = 𝑛𝑘−(𝑚−1) + 𝑛𝑘−(𝑚−2) + ⋯+ 𝑛𝑘−1 + 𝑘 − 1 + 𝑖

𝑓 𝑣𝑖𝑘 = 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑘−1 + 𝑘 − 1 + 𝑖, 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛𝑘

b. Titik 𝑣0𝑘

𝑚 = 2 ⟹ 𝑓 𝑣0𝑘 = 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑘 + 1

𝑚 = 3 ⟹ 𝑓 𝑣0𝑘 = 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 𝑘 + 2

𝑚 = 4 ⟹ 𝑓 𝑣0𝑘 = 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 𝑛4 + 𝑘 + 3

Jadi disimpulkan:

𝑓 𝑣0𝑘 = 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + ⋯+ 𝑛𝑚 + 𝑘 + (𝑚 − 1), 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑚,𝑚 ≥ 2

c. Titik 𝑣𝑙

𝑚 = 2 ⟹ 𝑓 𝑣𝑙 = 𝑛1 + ⋯+ 𝑛𝑙 + 𝑙

𝑚 = 3 ⟹ 𝑓 𝑣𝑙 = 𝑛1 + ⋯+ 𝑛𝑙 + 𝑙

𝑚 = 4 ⟹ 𝑓 𝑣𝑙 = 𝑛1+ 𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑙 + 𝑙

Jadi disimpulkan: 𝑓 𝑣 = 𝑛1+𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑙 + 𝑙, 1 ≤ 𝑙 ≤ 𝑚 − 1

Page 30: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

49

d. Sisi 𝑣0𝑘𝑣𝑖

𝑘

1. Sisi 𝑣01𝑣𝑖

1

𝑚 = 2 ⟹ 𝑓 𝑣01𝑣𝑖

1 = 2𝑛1 + 2𝑛2 + 6 − 𝑖

𝑚 = 3 ⟹ 𝑓 𝑣01𝑣𝑖

1 = 2𝑛1 + 2𝑛2 + 2𝑛3 + 10 − 𝑖

𝑚 = 4 ⟹ 𝑓 𝑣01𝑣𝑖

1 = 2𝑛1 + 2𝑛2 + 2𝑛3 + 2𝑛4 + 14 − 𝑖

Jadi disimpulkan: 𝑓 𝑣01𝑣𝑖

1 = 2 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑚 + 4𝑚 − 2 − 𝑖

2. Sisi 𝑣02𝑣𝑖

2

𝑚 = 2 ⟹ 𝑓 𝑣02𝑣𝑖

2 = 𝑛1 + 2𝑛2 + 4 − 𝑖

𝑚 = 3 ⟹ 𝑓 𝑣02𝑣𝑖

2 = 𝑛1 + 2𝑛2 + 2𝑛3 + 8 − 𝑖

𝑚 = 4 ⟹ 𝑓 𝑣02𝑣𝑖

2 = 𝑛1 + 2𝑛2 + 2𝑛3 + 2𝑛4 + 12 − 𝑖

Jadi disimpulkan: 𝑓 𝑣02𝑣𝑖

2 = 𝑛1 + 2 𝑛2 + 𝑛3 + ⋯+ 𝑛𝑚 + 4𝑚 − 4 − 𝑖

3. Sisi 𝑣03𝑣𝑖

3

𝑚 = 2 ⟹ 𝑓 𝑣03𝑣𝑖

3 tidak ada

𝑚 = 3 ⟹ 𝑓 𝑣03𝑣𝑖

3 = 𝑛1 + 𝑛2 + 2𝑛3 + 6 − 𝑖

𝑚 = 4 ⟹ 𝑓 𝑣03𝑣𝑖

3 = 𝑛1 + 𝑛2 + 2𝑛3 + 2𝑛4 + 10 − 𝑖

Jadi disimpulkan: 𝑓 𝑣03𝑣𝑖

3 = 𝑛1 + 𝑛2 + 2 𝑛3 + ⋯+ 𝑛𝑚 + 4𝑚 − 6 − 𝑖

4. Sisi 𝑣04𝑣𝑖

4

𝑚 = 2 ⟹ 𝑓 𝑣04𝑣𝑖

4 =tidak ada

𝑚 = 3 ⟹ 𝑓 𝑣04𝑣𝑖

4 =tidak ada

𝑚 = 4 ⟹ 𝑓 𝑣04𝑣𝑖

4 = 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 2𝑛4 + 8 − 𝑖

Jadi disimpulkan:

𝑓 𝑣04𝑣𝑖

4 = 𝑛1 + 𝑛2+𝑛3 + 2 𝑛4 + ⋯+ 𝑛𝑚 + 4𝑚− 8 − 𝑖

Page 31: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

50

Sehingga, untuk sisi 𝑣0𝑘𝑣𝑖

𝑘 :

𝑓 𝑣01𝑣𝑖

1 = 2 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑚 + 4𝑚 − 2 − 𝑖

𝑓 𝑣02𝑣𝑖

2 = 𝑛1 + 2 𝑛2 + 𝑛3 + ⋯+ 𝑛𝑚 + 4𝑚 − 4 − 𝑖

𝑓 𝑣03𝑣𝑖

3 = 𝑛1 + 𝑛2 + 2 𝑛3 + ⋯+ 𝑛𝑚 + 4𝑚 − 6 − 𝑖

𝑓 𝑣04𝑣𝑖

4 = 𝑛1 + 𝑛2+𝑛3 + 2 𝑛4 + ⋯+ 𝑛𝑚 + 4𝑚− 8 − 𝑖

Jadi disimpulkan:

𝑓 𝑣0𝑘𝑣𝑖

𝑘 = 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯+ 𝑛(𝑘−1) + 2 𝑛𝑘 + 𝑛𝑘+1 + ⋯+ 𝑛𝑚 + 4𝑚 − 2𝑘 − 𝑖,

1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛𝑘 ,𝑚 ≥ 2

e. Sisi 𝑣0𝑘𝑣𝑙

𝑚 = 2 ⟹ 𝑓 𝑣0𝑘𝑣 𝑙 = 𝑛1 + 2𝑛𝑙+1 + 7 − 𝑘 + 𝑙

𝑚 = 3 ⟹ 𝑓 𝑣0𝑘𝑣𝑙 = 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑙 + 2𝑛 𝑙+1 + ⋯+ 2𝑛3 + 11 − 𝑘 + 𝑙

𝑚 = 4 ⟹ 𝑓 𝑣0𝑘𝑣𝑙

= 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑙 + 2𝑛(𝑙+1) + ⋯+ 2𝑛4 + 15 − 𝑘 + 𝑙

Jadi disimpulkan:

𝑓 𝑣0𝑘𝑣𝑙

= 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑙 + 2 𝑛𝑙+1 + 𝑛𝑙+2 + ⋯+ 𝑛𝑚 + 4𝑚 − 𝑘 + 𝑙 + 1 ,

𝑚 ≥ 2, (𝑘 − 1) ≤ 𝑙 ≤ 𝑘

f. Bilangan ajaib 𝑘:

𝑚 = 2 ⟹ 𝑓 𝑘 = 3(𝑛1 + 𝑛2) + 8

𝑚 = 3 ⟹ 𝑓 𝑘 = 3(𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3) + 13

𝑚 = 4 ⟹ 𝑓 𝑘 = 3(𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 𝑛4) + 18

Jadi disimpulkan: 𝑓 𝑘 = 3(𝑛1 + 𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑚 ) + 5𝑚− 2, 𝑚 ≥ 2

Dari beberapa pola di atas, maka dapat dibuat generalisasi dalam bentuk

teorema berikut:

Page 32: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

51

Teorema 7:

Graf multi star MS2(m) adalah super sisi ajaib, untuk bilangan asli m, dengan

konstanta ajaib

𝑘 = 3(𝑛1 + 𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑚 ) + 5𝑚 − 2, 𝑚 ≥ 2

Bukti:

𝑉 𝐺 =

𝑣11 ,𝑣2

1 ,… , 𝑣𝑛11 , 𝑣1

2 , 𝑣22 ,… , 𝑣𝑛2

2 ,… , 𝑣𝑛𝑚𝑚

𝑣01 , 𝑣0

2,,𝑣03 ,… , 𝑣0

𝑚

𝑣1 ,𝑣2 ,𝑣3 ,… ,𝑣𝑚

𝐸 𝐺 = 𝑣0

1𝑣11 , 𝑣0

1𝑣21 ,… , 𝑣0

1𝑣𝑛11 , 𝑣0

2𝑣12 , 𝑣0

2𝑣22 ,… , 𝑣0

2𝑣𝑛22 ,… , 𝑣0

𝑚𝑣, 𝑣0𝑚𝑣2

𝑚 ,… , 𝑣0𝑚𝑣𝑛𝑚

𝑚

𝑣01𝑣1 , 𝑣0

2𝑣1 , 𝑣02𝑣2 ,… , 𝑣0

𝑚−2𝑣𝑚−1 , 𝑣0𝑚𝑣𝑚−1

Jadi, MS2(m) mempunyai order

p(MS2(m)) = n1 + n2 + n3 + … + nm + 2m – 1

dan mempunyai ukuran

q(MS2(m)) = n1 + n2 + n3 + … + nm + 2(m – 1).

Dengan demikian, maka p + q = 2(n1 + n2 + n3 + … + nm) + 4m – 3.

Buat pola pelabelan f pada graf G = MS2(m) sebagai berikut:

1. 𝑓 𝑣𝑖𝑘 = 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑘−1 + 𝑘 − 1 + 𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛𝑘, 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑚

MS2(m):

v10

v12

v13

v14 v1

n1

v11

v20

v22

v23

v24 v2

n2

v21

vm0

vm2

vm3

vm4 vm

nm

vm1

… v1 v1 v(m-1)

Page 33: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

52

2. 𝑓 𝑣0𝑘 = 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + ⋯+ 𝑛𝑚 + 𝑘 + (𝑚 − 1), 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑚

3. 𝑓 𝑣 𝑙 = 𝑛1+𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑙 + 𝑙, 1 ≤ 𝑙 ≤ (𝑚− 1)

4. 𝑓 𝑣0𝑘𝑣𝑖

𝑘 = 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯+ 𝑛(𝑘−1) + 2 𝑛𝑘 + 𝑛𝑘+1 + ⋯+ 𝑛𝑚 + 4𝑚− 2𝑘 −

𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛𝑘 , 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑚

5. 𝑓 𝑣0𝑘𝑣𝑙 = 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑙 + 2 𝑛𝑙+1 + 𝑛𝑙+2 + ⋯+ 𝑛𝑚 + 4𝑚 −

𝑘 + 𝑙 + 1 , 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑚, (𝑘− 1) ≤ 𝑙 ≤ 𝑘

Maka dapat ditunjukkan bahwa f adalah fungsi bijektif.

Akan ditunjukkan bahwa untuk masing-masing sisi 𝑥𝑦 di 𝐺 berlaku 𝑓 𝑥 +

𝑓 𝑥𝑦 + 𝑓 𝑦 = 𝑘

a. Untuk sisi 𝑣0𝑘𝑣𝑖

𝑘 di 𝐺 diperoleh:

𝑓 𝑣0𝑘 + 𝑓 𝑣0

𝑘𝑣𝑖𝑘 + 𝑓 𝑣𝑖

𝑘

= 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + ⋯+ 𝑛𝑚 + 𝑘 + 𝑚 − 1

+ 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯+ 𝑛(𝑘−1) + 2 𝑛𝑘 + 𝑛𝑘+1 + ⋯+ 𝑛𝑚 + 4𝑚

− 2𝑘 − 𝑖 + 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑘−1 + 𝑘 − 1 + 𝑖

= 3 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑚 + 5𝑚− 2

b. Untuk sisi 𝑣0𝑘𝑣𝑙 di 𝐺 diperoleh:

𝑓 𝑣0𝑘 + 𝑓 𝑣0

𝑘𝑣𝑙 + 𝑓 𝑣 𝑙

= 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + ⋯+ 𝑛𝑚 + 𝑘 + 𝑚 − 1

+ 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑙 + 2 𝑛𝑙 +1 + 𝑛𝑙 +2 + ⋯+ 𝑛𝑚 + 4𝑚

− 𝑘 + 𝑙 + 1 + 𝑛1+𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑙 + 𝑙

= 3 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑚 + 5𝑚 − 2

Page 34: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

53

Jadi 𝐺 adalah super sisi ajaib dengan bilangan ajaib:

𝑘 = 3 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑚 + 5𝑚 − 2

Akan ditunjukkan bahwa 𝑓 memetakan 𝑉 ke 1, 2, 3,… , 𝑝 .

a. Titik 𝑣𝑖𝑘

Diketahui 𝑓 𝑣𝑖𝑘 = 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑘−1 + 𝑘 − 1 + 𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛𝑘 , 1 ≤

𝑘 ≤ 𝑚

Karena 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛𝑘 , 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑚

Maka 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛𝑘

𝑛1 + 𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑘−1 + 𝑘 − 1 + 1 ≤ 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑘−1 + 𝑘 − 1 + 𝑖 ≤ 𝑛1

+ 𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑘−1 + 𝑘 − 1 + 𝑛𝑘

𝑛1 + 𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑘−1 + 𝑘 ≤ 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑘−1 + 𝑘 − 1 + 𝑖 ≤ 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯

+ 𝑛𝑘−1 + 𝑘 − 1 + 𝑛𝑘

1 ≤ 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑘−1 + 𝑘 ≤ 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑘−1 + 𝑘 − 1 + 𝑖 ≤ 𝑛1 + 𝑛2

+ ⋯+ 𝑛𝑘−1 + 𝑘 − 1 + 𝑛𝑘 < 𝑛1 + 𝑛2 +⋯+ 𝑛𝑚 + 2𝑚− 1

1 ≤ 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑘−1 + 𝑘 − 1 + 𝑖 < 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑚 + 2𝑚− 1

Jadi 1 ≤ 𝑓 𝑣𝑖𝑘 ≤ 𝑝

b. Titik 𝑣0𝑘

Diket 𝑓 𝑣0𝑘 = 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + ⋯+ 𝑛𝑚 + 𝑘 + 𝑚 − 1 , 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑚

Karena 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑚

Maka 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + ⋯+ 𝑛𝑚 + 𝑚 − 1 + 1 ≤ 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 +

⋯+ 𝑛𝑚 + 𝑚 − 1 + 𝑘 ≤ 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + ⋯+ 𝑛𝑚 + 𝑚 − 1 + 𝑚

Page 35: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

54

𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + ⋯+ 𝑛𝑚 + 𝑚 ≤ 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + ⋯+ 𝑛𝑚 + 𝑘 + 𝑚 − 1

≤ 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + ⋯+ 𝑛𝑚 + 2𝑚 − 1

1 < 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + ⋯+ 𝑛𝑚 + 𝑚

≤ 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + ⋯+ 𝑛𝑚 + 𝑘 + 𝑚 − 1

≤ 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + ⋯+ 𝑛𝑚 + 2𝑚 − 1

1 < 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + ⋯+ 𝑛𝑚 + 𝑘 + 𝑚 − 1 ≤ 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 +

⋯+ 𝑛𝑚 + 2𝑚 − 1

Jadi 1 < 𝑓 𝑣0𝑘 ≤ 𝑝

c. Titik 𝑣𝑙

Diket 𝑓 𝑣 𝑙 = 𝑛1+𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑙 + 𝑙, 1 ≤ 𝑙 ≤ 𝑚 − 1

Karena 1 ≤ 𝑙 ≤ 𝑚 − 1

Maka 𝑛1+𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑙 + 1 ≤ 𝑛1+𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑙 + 𝑙 ≤ 𝑛1+𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑙 +

𝑚 − 1

1 < 𝑛1+𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑙 + 1 ≤ 𝑛1+𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑙 + 𝑙

≤ 𝑛1+𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑙 + 𝑚 − 1

< 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + ⋯+ 𝑛𝑚 + 2𝑚 − 1

1 < 𝑛1+𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑙 + 1 ≤ 𝑛1+𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑙 + 𝑙

< 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + ⋯+ 𝑛𝑚 + 2𝑚 − 1

Jadi 1 < 𝑓 𝑣𝑙 < 𝑝

Jadi terbukti bahwa 𝑓 memetakan 𝑉 ke 1, 2, 3,… ,𝑝 .

Dengan demikian, terbukti bahwa 𝐺 = 𝑀𝑆2(𝑚) adalah super sisi ajaib.

Page 36: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

55

C. Pelabelan Total Sisi Ajaib pada Graf Hairy Cycle C’n

Misalkan 1nS ,

2nS , 3nS , ….,

mnS adalah graf star masing-masing beroder

n1, n2, n3, …, dan nm, serta iv0 adalah titik pusat dari

inS . Graf yang diperoleh dari

gabungan m

i

niS

1

ditambah sisi iv0

1

0

iv (i = 1, 2, …, m – 1) dan mvv 0

1

0 adalah graf

sikel berambut (Hairy Cycle), dan dinotasikan dengan C’m. Dalam penelitian ini

juga ditunjukkan pelabelan pada graf hairy cycle, dengan kasus khusus pada

n1 = n2 = n3 = … = nm = c.

Teorema 8:

Graf Hairy Cycle 𝐶4′ dengan m rambut untuk masing-masing titik pada

sikel adalah total sisi ajaib.

Bukti:

Pelabelan total sisi ajaib pada suatu graph 𝐺 dengan order 𝑝 dan ukuran 𝑞

adalah fungsi bijektif 𝑓 dari 𝑉 ∪ 𝐸 ke himpunan bilangan bulat {1,2,3, …,

𝑝 + 𝑞} sedemikian hingga untuk masing-masing sisi 𝑥𝑦 di 𝐺 berlaku

𝑓 𝑥 + 𝑓 𝑥𝑦 + 𝑓 𝑦 = 𝑘, dengan k konstanta. Maka untuk membuktikan

teorema 3.1 perlu ditunjukkan bahwa :

i) 𝐺 adalah fungsi bijektif 𝑓 dari 𝑉 ∪ 𝐸 ke himpunan bilangan bulat

{1,2,3, …, 𝑝 + 𝑞}

ii) untuk masing-masing sisi 𝑥𝑦 di 𝐺 berlaku

𝑓 𝑥 + 𝑓 𝑥𝑦 + 𝑓 𝑦 = 𝑘

Misal:

𝑉 𝐺 = (𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑚 , 𝑏0 , 𝑏1 , 𝑏2, 𝑏3 , … , 𝑏𝑚 , 𝑐0, 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3, … , 𝑐𝑚 )

yang dikelompokkan sebagai berikut:

Page 37: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

56

𝑉1 𝐺 = 𝑎0 , 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑚

𝑉2 𝐺 = ( 𝑏0, 𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 , … , 𝑏𝑚 )

𝑉3 𝐺 = 𝑐0, 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3, … , 𝑐𝑚

Dimana:

𝑎0 sebagai titik pusat 𝑉1 𝐺 dan 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑚 sebagai titik ujung

𝑉1 𝐺 . 𝑏0 sebagai titik pusat 𝑉2 𝐺 dan 𝑏1, 𝑏2 , 𝑏3, … , 𝑏𝑚 sebagai titik

ujung 𝑉2 𝐺 . 𝑐0 sebagai titik pusat 𝑉3 𝐺 dan 𝑐1, 𝑐2 , 𝑐3 , … , 𝑐𝑚 sebagai

titik ujung 𝑉3 𝐺 . Sedangkan 𝑎0 , 𝑏0dan 𝑐0 saling terhubung.

𝐸 𝐺 =

(𝑎0𝑎1, 𝑎0𝑎2 , … , 𝑎0𝑎𝑚 , 𝑎0𝑏0 , 𝑏0𝑏1, 𝑏0𝑏2 , … , 𝑏0𝑏𝑚 , 𝑏0𝑐0, . . . , 𝑐0𝑐𝑚 , 𝑐0𝑎0)

yang dikelompokkan sebagai berikut:

𝐸1 𝐺 = (𝑎0𝑎1 , 𝑎0𝑎2, … , 𝑎0𝑎𝑚 , 𝑎0𝑏0)

𝐸2 𝐺 = ( 𝑏0𝑏1 , 𝑏0𝑏2 , … , 𝑏0𝑏𝑚 , 𝑏0𝑐0)

𝐸3 𝐺 = ( 𝑐0𝑐1, 𝑐0𝑐2, … , 𝑐0𝑐𝑚 , 𝑐0𝑎0)

Jadi untuk 𝐶3′ dengan 𝑚 rambut

𝑝 = 3(𝑚 + 1), dan 𝑞 = 3(𝑚 + 1).

Maka 𝑝 + 𝑞 = 3(𝑚 + 1) + 3(𝑚 + 1)

= 6(𝑚 + 1)

Graf Hairy Cycle 𝐶3′ dengan 𝑚 rambut dapat digambar sebagai berikut:

0a

0b

0c

1a

4a

3a

2a

ma

1b

2b

3b

4b

mb

1c

3c

2c

4c

mc

Gambar 3.8: Graf 𝐶3

′ Dengan 𝑚 Rambut

Page 38: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

57

dengan pelabelan sebagai berikut:

1

2

3

11 c

14 c

13 c

12 c

1mc

11 a

12 a

13 a 14 a

1ma

1n

12 b

11 b

13 b

11 mb Gambar 3.9: Pelabelan Graf 𝐶3

′ Dengan 𝑚 Rambut

Definisikan fungsi 𝑓 dari 𝑉 𝐺 ∪ 𝐸 𝐺 ke 1,2,3, … , 𝑝 + 𝑞 dengan

pengaitan sebagai berikut:

a. 𝑓 𝑎0 ≔ 1

b. 𝑓 𝑎𝑖 ≔ 3𝑖 + 2 untuk 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑚

c. 𝑓 𝑎0𝑎𝑖 ≔ 6𝑚 + 6 − 3𝑖 untuk 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑚

d. 𝑓 𝑎0𝑏0 ≔ 6𝑚 + 6 untuk 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑚

e. 𝑓 𝑏0 ≔ 2

f. 𝑓 𝑏𝑖 ≔ 3𝑖 + 3 untuk 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑚

g. 𝑓 𝑏0𝑏𝑖 ≔ 6𝑚 + 4 − 3𝑖 untuk 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑚

h. 𝑓 𝑏0𝑐0 ≔ 6𝑚 + 4 untuk 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑚

i. 𝑓 𝑐0 ≔ 3

j. 𝑓 𝑐𝑖 ≔ 3𝑖 + 1 untuk 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑚

k. 𝑓 𝑐0𝑐𝑖 ≔ 6𝑚 + 5 − 3𝑖 untuk 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑚

l. 𝑓 𝑐0𝑎0 ≔ 6𝑚 + 5 untuk 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑚

Maka:

i) Akan ditunjukkan bahwa 𝐺 adalah fungsi bijektif 𝑓 dari 𝑉(𝐺) ∪

𝐸(𝐺) ke himpunan bilangan bulat {1, 2, 3, …, 𝑝 + 𝑞}

1) 𝐺 adalah fungsi injektif

Page 39: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

58

Untuk titik di 𝐺

Ambil 𝑉𝑖 dan 𝑉𝑗 titik di 𝐺 dengan 𝑓 𝑉𝑖 = 𝑓(𝑉𝑗 ). Akan dibuktikan 𝑖 = 𝑗

sedemikian hingga 𝑉𝑖 = 𝑉𝑗 .

a. Untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, dan 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛.

Karena 𝑓 𝑥𝑖 = 𝑓(𝑥𝑗 )

Maka 𝑖 = 𝑗

Jadi 𝑥𝑖 = 𝑥𝑗

b. Untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, dan 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚.

Karena 𝑓 𝑎𝑖 = 𝑓(𝑎𝑗 )

Maka 𝑛 𝑖 + 2 = 𝑛 𝑗 + 2

𝑖 = 𝑗

Jadi 𝑎𝑖 = 𝑎𝑗

c. Untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, dan 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚.

Karena 𝑓 𝑏𝑖 = 𝑓(𝑏𝑗 )

Maka 𝑛 𝑖 + 3 = 𝑛 𝑗 + 3

𝑖 = 𝑗

Jadi 𝑏𝑖 = 𝑏𝑗

d. Untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, dan 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚.

Karena 𝑓 𝑐𝑖 = 𝑓(𝑐𝑗 )

Maka 𝑛 𝑖 + 1 = 𝑛 𝑗 + 1

𝑖 = 𝑗

Jadi 𝑐𝑖 = 𝑐𝑗

Untuk sisi di 𝐺

Page 40: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

59

a. Untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, dan 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚.

Ambil 𝑎0𝑎𝑖 dan 𝑎0𝑎𝑗 sisi di 𝐺 dengan 𝑓(𝑎0𝑎𝑖) = 𝑓(𝑎0𝑎𝑗 )

Akan dibuktikan 𝑖 = 𝑗 sedemikian hingga 𝑎0𝑎𝑖 = 𝑎0𝑎𝑗 .

Karena 𝑓 𝑎0𝑎𝑖 = 𝑓(𝑎0𝑎𝑗 )

Maka 6𝑚 + 6 − 3𝑖 = 6𝑚 + 6 − 3𝑗

𝑖 = 𝑗

Jadi 𝑎0𝑎𝑖 = 𝑎0𝑎𝑗 .

b. Untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, dan 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚

Ambil 𝑏0𝑏𝑖 dan 𝑏0𝑏𝑗 sisi di 𝐺 dengan 𝑓(𝑏0𝑏𝑖) = 𝑓(𝑏0𝑏𝑖)

Akan dibuktikan 𝑖 = 𝑗 sedemikian hingga 𝑏0𝑏𝑖 = 𝑏0𝑏𝑗 .

Karena 𝑓(𝑏0𝑏𝑖) = 𝑓(𝑏0𝑏𝑖).

Maka 6𝑚 + 4 − 3𝑖 = 6𝑚 + 4 − 3𝑗

𝑖 = 𝑗

Jadi 𝑏0𝑏𝑖 = 𝑏0𝑏𝑗 .

c. Untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, dan 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚

Ambil 𝑐0𝑐𝑖 dan 𝑐0𝑐𝑗 sisi di 𝐺 dengan 𝑓(𝑐0𝑐𝑖) = 𝑓(𝑐0𝑐𝑖)

Akan dibuktikan 𝑖 = 𝑗 sedemikian hingga 𝑐0𝑐𝑖 = 𝑐0𝑐𝑗 .

Karena 𝑓(𝑐0𝑐𝑖) = 𝑓(𝑐0𝑐𝑖).

Maka 6𝑚 + 5 − 3𝑖 = 6𝑚 + 5 − 3𝑗

𝑖 = 𝑗

Jadi 𝑐0𝑐𝑖 = 𝑐0𝑐𝑗 .

Jadi 𝑓 merupakan fungsi injektif dari 𝑉(𝐺) ∪ 𝐸(𝐺) ke 1,2,3, … , 𝑝 + 𝑞

2) 𝐺 adalah fungsi surjektif

Page 41: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

60

Akan ditunjukkan bahwa 𝑉(𝐺) ∪ 𝐸(𝐺) dipetakan ke 1,2,3, … , 𝑝 + 𝑞

a. Akan dibuktikan 1 ≤ 𝑓 𝑎𝑖 ≤ 𝑝 + 𝑞

Diketahui 𝑓 𝑎𝑖 = 𝑖, ∀ 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚

Karena 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚

Maka 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 ≤ 3𝑖 + 2

1 ≤ 𝑖 ≤ 3𝑖 + 2

Jadi 1 ≤ 𝑓 𝑎𝑖 ≤ 𝑝 + 𝑞

b. Akan dibuktikan 1 ≤ 𝑓 𝑏𝑖 ≤ 𝑝 + 𝑞

Diketahui 𝑓 𝑏𝑖 = 𝑖, ∀ 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚

Karena 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚

Maka 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 ≤ 3𝑖 + 3

1 ≤ 𝑖 ≤ 3𝑖 + 3

Jadi 1 ≤ 𝑓 𝑏𝑖 ≤ 𝑝 + 𝑞

c. Akan dibuktikan 1 ≤ 𝑓 𝑐𝑖 ≤ 𝑝 + 𝑞

Diketahui 𝑓 𝑐𝑖 = 𝑖, ∀ 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚

Karena 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚

Maka 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 ≤ 3𝑖 + 1

1 ≤ 𝑖 ≤ 3𝑖 + 1

Jadi 1 ≤ 𝑓 𝑏𝑖 ≤ 𝑝 + 𝑞

d. Akan dibuktikan 1 ≤ 𝑓 𝑎0 ≤ 𝑝 + 𝑞

Diketahui 𝑓 𝑎0 = 𝑛 − 2

Karena 1 ≤ 𝑛 − 2 ≤ 2𝑛(𝑚 + 1)

Jadi 1 ≤ 𝑓 𝑎0 ≤ 𝑝 + 𝑞

e. Akan dibuktikan 1 ≤ 𝑓 𝑏0 ≤ 𝑝 + 𝑞

Page 42: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

61

Diketahui 𝑓 𝑏0 = 𝑛 − 1

Karena 1 ≤ 𝑛 − 1 ≤ 2𝑛(𝑚 + 1

Jadi 1 ≤ 𝑓 𝑏0 ≤ 𝑝 + 𝑞

f. Akan dibuktikan 1 ≤ 𝑓 𝑐0 ≤ 𝑝 + 𝑞

Diketahui 𝑓 𝑐0 = 𝑛

Karena 1 ≤ 𝑛 ≤ 2𝑛(𝑚 + 1

Jadi 1 ≤ 𝑓 𝑐0 ≤ 𝑝 + 𝑞

g. Akan dibuktikan 1 ≤ 𝑓 𝛼0𝛼𝑖 ≤ 𝑝 + 𝑞

Diketahui 𝑓 𝛼0𝛼𝑖 = 6𝑚 + 6 − 3𝑖, ∀ 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚

Karena 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚

Maka −1.1 ≤ −1. 𝑖 ≤ −1. 𝑚

−1 ≤ −𝑖 ≤ −𝑚

6𝑚 + 6 − 2𝑖 − 1 ≤ 6𝑚 + 6 − 2𝑖 − 𝑖 ≤ 6𝑚 + 6 − 2𝑖 − 𝑚

6𝑚 + 5 − 2𝑖 ≤ 6𝑚 + 6 − 3𝑖 ≤ 5𝑚 + 6 − 2𝑖

1 ≤ 6𝑚 + 5 − 2𝑖 ≤ 6𝑚 + 6 − 3𝑖 ≤ 5𝑚 + 6 − 2𝑖 ≤ 6(𝑚 + 1)

1 ≤ 6𝑚 + 6 − 3𝑖 ≤ 6(𝑚 + 1)

Jadi 1 ≤ 𝑓 𝑎0𝑎𝑖 ≤ 𝑝 + 𝑞

h. Akan dibuktikan 1 ≤ 𝑓 𝑏0𝑏𝑖 ≤ 𝑝 + 𝑞

Diketahui 𝑓 𝑏0𝑏𝑖 = 6𝑚 + 4 − 3𝑖, ∀ 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚

Karena 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚

Maka −1.1 ≤ −1. 𝑖 ≤ −1. 𝑚

−1 ≤ −𝑖 ≤ −𝑚

6𝑚 + 4 − 2𝑖 − 1 ≤ 6𝑚 + 4 − 2𝑖 − 𝑖 ≤ 6𝑚 + 4 − 2𝑖 − 𝑚

6𝑚 + 3 − 2𝑖 ≤ 6𝑚 + 4 − 3𝑖 ≤ 5𝑚 + 4 − 2𝑖

Page 43: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

62

1 ≤ 6𝑚 + 3 − 2𝑖 ≤ 6𝑚 + 4 − 3𝑖 ≤ 5𝑚 + 4 − 2𝑖 ≤ 6(𝑚 + 1)

1 ≤ 6𝑚 + 4 − 3𝑖 ≤ 6(𝑚 + 1)

Jadi 1 ≤ 𝑓 𝑏0𝑏𝑖 ≤ 𝑝 + 𝑞

i. Akan dibuktikan 1 ≤ 𝑓 𝑐0𝑐𝑖 ≤ 𝑝 + 𝑞

Diketahui 𝑓 𝑐0𝑐𝑖 = 6𝑚 + 5 − 3𝑖, ∀ 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚

Karena 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚

Maka −1.1 ≤ −1. 𝑖 ≤ −1. 𝑚

−1 ≤ −𝑖 ≤ −𝑚

6𝑚 + 5 − 2𝑖 − 1 ≤ 6𝑚 + 5 − 2𝑖 − 𝑖 ≤ 6𝑚 + 5 − 2𝑖 − 𝑚

6𝑚 + 4 − 2𝑖 ≤ 6𝑚 + 5 − 3𝑖 ≤ 5𝑚 + 5 − 2𝑖

1 ≤ 6𝑚 + 4 − 2𝑖 ≤ 6𝑚 + 5 − 3𝑖 ≤ 5𝑚 + 5 − 2𝑖 ≤ 6(𝑚 + 1)

1 ≤ 6𝑚 + 5 − 3𝑖 ≤ 6(𝑚 + 1)

Jadi 1 ≤ 𝑓 𝑐0𝑐𝑖 ≤ 𝑝 + 𝑞

j. Akan dibuktikan 1 ≤ 𝑓 𝑎0𝑏0 ≤ 𝑝 + 𝑞

Diketahui 𝑓 𝑎0𝑏0 = 6𝑚 + 6

Karena 1 ≤ 6𝑚 + 6 ≤ 6𝑚 + 6

Jadi 1 ≤ 𝑓 𝑎0𝑏0 ≤ 𝑝 + 𝑞

k. Akan dibuktikan 1 ≤ 𝑓 𝑏0𝑐0 ≤ 𝑝 + 𝑞

Diketahui 𝑓 𝑏0𝑐0 = 6𝑚 + 5

Karena 1 ≤ 6𝑚 + 5 ≤ 6𝑚 + 6

Jadi 1 ≤ 𝑓 𝑏0𝑐0 ≤ 𝑝 + 𝑞

l. Akan dibuktikan 1 ≤ 𝑓 𝑐0𝑎0 ≤ 𝑝 + 𝑞

Diketahui 𝑓 𝑎0𝑏0 = 6𝑚 + 4

Karena 1 ≤ 6𝑚 + 4 ≤ 6𝑚 + 6

Page 44: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

63

Jadi 1 ≤ 𝑓 𝑐0𝑎0 ≤ 𝑝 + 𝑞

Sehingga dapat disimpulkan bahwa 1 ≤ 𝑓 𝑉 ≤ 𝑝 + 𝑞 dan 1 ≤ 𝑓 𝐸 ≤

𝑝 + 𝑞. Artinya 𝑉(𝐺) ∪ 𝐸(𝐺) dipetakan ke 1, 2, 3, … , 𝑝 + 𝑞 . Karena

𝑉 𝐺 ∪ 𝐸 𝐺 = 1, 2, 3, … , 𝑝 + 𝑞 dan 𝑓(𝐺) adalah injektif maka

sudah pasti 𝑓(𝐺) adalah surjektif. Karena 𝑓(𝐺) injektif juga sekaligus

surjektif, maka 𝑓(𝐺) bijektif.

ii) Akan ditunjukkan bahwa untuk masing-masing sisi 𝑥𝑦 di 𝐺

berlaku:

𝑓 𝑥 + 𝑓 𝑥𝑦 + 𝑓 𝑦 = 𝑘

a. Untuk sisi 𝑎0𝑎𝑖 di 𝐺 diperoleh:

𝑓 𝑎0 + 𝑓 𝑎0𝑎𝑖 + 𝑓 𝑎𝑖 = 1 + 6𝑚 + 6 − 3𝑖 + 3𝑖 + 2 = 6𝑚 + 9

b. Untuk sisi 𝑏0𝑏𝑖 di 𝐺 diperoleh:

𝑓 𝑏0 + 𝑓 𝑏0𝑏𝑖 + 𝑓 𝑏𝑖 = 2 + 6𝑚 + 4 − 3𝑖 + 3𝑖 + 3 = 6𝑚 + 9

c. Untuk sisi 𝑐0𝑐𝑖 di 𝐺 diperoleh:

𝑓 𝑐0 + 𝑓 𝑐0𝑐𝑖 + 𝑓 𝑐𝑖 = 3 + 6𝑚 + 5 − 3𝑖 + 3𝑖 + 1 = 6𝑚 + 9

d. Untuk sisi 𝑎0𝑏0 di 𝐺 diperoleh:

𝑓 𝑎0 + 𝑓 𝑎0𝑏0 + 𝑓 𝑏0 = 1 + 6𝑚 + 6 + 2 = 6𝑚 + 9

e. Untuk sisi 𝑏0𝑐0 di 𝐺 diperoleh:

𝑓 𝑏0 + 𝑓 𝑏0𝑐0 + 𝑓 𝑐0 = 2 + 6𝑚 + 4 + 3 = 6𝑚 + 9

f. Untuk sisi 𝑎0𝑏0 di 𝐺 diperoleh:

𝑓 𝑐0 + 𝑓 𝑐0𝑎0 + 𝑓 𝑎0 = 3 + 6𝑚 + 5 + 1 = 6𝑚 + 9

Jadi graf Hairy Cycle 𝐶3′ dengan 𝑚 rambut adalah total sisi ajaib dengan

bilangan ajaib: 𝑘 = 6𝑚 + 9

Page 45: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

64

Teorema 9:

Graf Hairy Cycle 𝐶4′ dengan m rambut pada masing-masing titik sikel

adalah total sisi ajaib.

Bukti:

Pelabelan total sisi ajaib pada suatu graph 𝐺 dengan order 𝑝 dan ukuran 𝑞

adalah fungsi bijektif 𝑓 dari 𝑉 ∪ 𝐸 ke himpunan bilangan bulat {1,2,3, …,

𝑝 + 𝑞} sedemikian hingga untuk masing-masing sisi 𝑥𝑦 di 𝐺 berlaku

𝑓 𝑥 + 𝑓 𝑥𝑦 + 𝑓 𝑦 = 𝑘, dengan k konstanta. Maka untuk membuktikan

teorema 3.2 perlu ditunjukkan bahwa :

i) 𝐺 adalah fungsi bijektif 𝑓 dari 𝑉 ∪ 𝐸 ke himpunan bilangan bulat

{1, 2, 3, …, 𝑝 + 𝑞}

ii) Untuk masing-masing sisi 𝑥𝑦 di 𝐺 berlaku 𝑓 𝑥 + 𝑓 𝑥𝑦 +

𝑓 𝑦 = 𝑘

Misal:

𝑉 𝐺 = (𝑎0, 𝑎1,𝑎2, … , 𝑎𝑚 , 𝑏0, 𝑏1,𝑏2, … , 𝑏𝑚 , 𝑐0, 𝑐1, 𝑐2, … , 𝑐𝑚 , 𝑑0, 𝑑1, 𝑑2, … , 𝑑𝑚 )

yang dikelompokkan sebagai berikut:

𝑉1 𝐺 = 𝑎0 , 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑚

𝑉2 𝐺 = ( 𝑏0, 𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 , … , 𝑏𝑚 )

𝑉3 𝐺 = 𝑐0, 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3, … , 𝑐𝑚

𝑉4 𝐺 = 𝑑0 , 𝑑1 , 𝑑2 , 𝑑3 , … , 𝑑𝑚

Dimana:

𝑎0 sebagai titik pusat 𝑉1 𝐺 dan 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑚 sebagai titik ujung

𝑉1 𝐺 . 𝑏0 sebagai titik pusat 𝑉2 𝐺 dan 𝑏1, 𝑏2 , 𝑏3, … , 𝑏𝑚 sebagai titik

ujung 𝑉2 𝐺 . 𝑐0 sebagai titik pusat 𝑉3 𝐺 dan 𝑐1, 𝑐2 , 𝑐3 , … , 𝑐𝑚 sebagai

Page 46: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

65

titik ujung 𝑉3 𝐺 . 𝑑0 sebagai titik pusat 𝑉4 𝐺 dan 𝑑1 , 𝑑2 , 𝑑3, … , 𝑑𝑚

sebagai titik ujung 𝑉4 𝐺 . Sedangkan 𝑎0, 𝑏0 , 𝑐0 dan 𝑑0 saling terhubung.

𝐸 𝐺

= (𝑎0𝑎1, 𝑎0𝑎2 , … , 𝑎0𝑎𝑚 , 𝑎0𝑏0 , 𝑏0𝑏1 , 𝑏0𝑏2 , … , 𝑏0𝑏𝑚 , 𝑏0𝑐0 , 𝑐0𝑐1, 𝑐0𝑐2, …,

𝑐0𝑐𝑚 , 𝑐0𝑑0, 𝑑0𝑑1, 𝑑0𝑑2 , … , 𝑑0𝑑𝑚 , 𝑑0𝑎0)

Yang dikelompokkan sebagai berikut:

𝐸1 𝐺 = (𝑎0𝑎1 , 𝑎0𝑎2, … , 𝑎0𝑎𝑚 , 𝑎0𝑏0)

𝐸2 𝐺 = ( 𝑏0𝑏1 , 𝑏0𝑏2 , … , 𝑏0𝑏𝑚 , 𝑏0𝑐0)

𝐸3 𝐺 = ( 𝑐0𝑐1, 𝑐0𝑐2, … , 𝑐0𝑐𝑚 , 𝑐0𝑑0)

𝐸4 𝐺 = ( 𝑑0𝑑1, 𝑑0𝑑2 , … , 𝑑0𝑑𝑚 , 𝑑0𝑎0)

Jadi untuk 𝐶4′ dengan m rambut

𝑝 = 4(𝑚 + 1), dan 𝑞 = 4(𝑚 + 1).

Maka 𝑝 + 𝑞 = 4(𝑚 + 1) + 4(𝑚 + 1)

= 8(𝑚 + 1)

Graf Hairy Cycle 𝐶4′ dengan 𝑚 rambut dapat digambar sebagai berikut:

0d

0c

0b

0a

1a

ma

4a

3a

2a

1b

2b

3b

4b m

b 1c

3c

2c

4c

mc

1d

4d

3d

2d

md

Gambar 3.17: Graf 𝐶4′ Dengan 𝑚 Rambut

Dengan pelabelan sebagai berikut:

Page 47: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

66

7

68

3

33 n

3)12( nm

39 n

37 n

35 n

13 n

15 n

17 n

19 n1)12( nm 43 n

47 n

45 n

49 n

4)12( nm

23 n

29 n

27 n

25 n

2)12( nm Gambar 3.18: Pelabelan Graf 𝐶4

′ Dengan 𝑚 Rambut

Didefinisikan fungsi 𝑓 dari 𝑉 𝐺 ∪ 𝐸 𝐺 ke 1,2,3, … , 𝑝 + 𝑞 sebagai

berikut:

a. 𝑓 𝑎0 ≔ 3

b. 𝑓 𝑎𝑖 ≔ 8𝑖 + 7 untuk 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑚

c. 𝑓 𝑎0𝑎𝑖 ≔ 8𝑚 + 5 − 8𝑖 untuk 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑚

d. 𝑓 𝑎0𝑏0 ≔ 8𝑚 + 4 untuk 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑚

e. 𝑓 𝑏0 ≔ 8

f. 𝑓 𝑏𝑖 ≔ 8𝑖 + 3 untuk 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑚

g. 𝑓 𝑏0𝑏𝑖 ≔ 8𝑚 + 4 − 8𝑖 untuk 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑚

h. 𝑓 𝑏0𝑐0 ≔ 8𝑚 + 1 untuk 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑚

i. 𝑓 𝑐0 ≔ 6

j. 𝑓 𝑐𝑖 ≔ 8𝑖 + 8 untuk 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑚

k. 𝑓 𝑐0𝑐𝑖 ≔ 8𝑚 + 1 − 8𝑖 untuk 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑚

l. 𝑓 𝑐0𝑑0 ≔ 8𝑚 + 2 untuk 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑚

m. 𝑓 𝑑0 ≔ 7

n. 𝑓 𝑑𝑖 ≔ 8𝑖 + 6 untuk 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑚

o. 𝑓 𝑑𝑑𝑖 ≔ 8𝑚 + 2 − 8𝑖 untuk 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑚

p. 𝑓 𝑑0𝑎0 ≔ 8𝑚 + 5 untuk 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑚

Page 48: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

67

Maka:

i) Akan ditunjukkan bahwa 𝐺 adalah fungsi bijektif 𝑓 dari 𝑉(𝐺) ∪ 𝐸(𝐺)

ke himpunan bilangan bulat {1, 2, 3, …, 𝑝 + 𝑞}

1) 𝐺 adalah fungsi injektif

Untuk titik di 𝐺

Ambil 𝑉𝑖 dan 𝑉𝑗 titik di 𝐺 dengan 𝑓 𝑉𝑖 = 𝑓(𝑉𝑗 ). Akan dibuktikan 𝑖 = 𝑗

sedemikian hingga 𝑉𝑖 = 𝑉𝑗 .

a. Untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, dan 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛.

Karena 𝑓 𝑥𝑖 = 𝑓(𝑥𝑗 )

Maka 𝑖 = 𝑗

Jadi 𝑥𝑖 = 𝑥𝑗

b. Untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, dan 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚.

Karena 𝑓 𝑎𝑖 = 𝑓(𝑎𝑗 )

Maka 2𝑛 𝑖 + 7 = 2𝑛 𝑗 + 7

𝑖 = 𝑗

Jadi 𝑎𝑖 = 𝑎𝑗

c. Untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, dan 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚.

Karena 𝑓 𝑏𝑖 = 𝑓(𝑏𝑗 )

Maka 2𝑛 𝑖 + 4 = 2𝑛 𝑗 + 4

𝑖 = 𝑗

Jadi 𝑏𝑖 = 𝑏𝑗

d. Untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, dan 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚.

Karena 𝑓 𝑐𝑖 = 𝑓(𝑐𝑗 )

Page 49: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

68

Maka 2𝑛 𝑖 + 1 = 2𝑛 𝑗 + 1

𝑖 = 𝑗

Jadi 𝑐𝑖 = 𝑐𝑗

e. Untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, dan 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚.

Karena 𝑓 𝑑𝑖 = 𝑓(𝑑𝑗 )

Maka 2𝑛 𝑖 + 2 = 2𝑛 𝑗 + 2

𝑖 = 𝑗

Jadi 𝑑𝑖 = 𝑑𝑗

Untuk sisi di 𝐺

a. Untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, dan 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚.

Ambil 𝑎0𝑎𝑖 dan 𝑎0𝑎𝑗 sisi di 𝐺 dengan 𝑓(𝑎0𝑎𝑖) = 𝑓(𝑎0𝑎𝑗 ). Akan

dibuktikan 𝑖 = 𝑗 sedemikian hingga 𝑎0𝑎𝑖 = 𝑎0𝑎𝑗 .

Karena 𝑓 𝑎0𝑎𝑖 = 𝑓(𝑎0𝑎𝑗 )

Maka 8𝑚 + 5 − 8𝑖 = 8𝑚 + 5 − 8𝑗

𝑖 = 𝑗

Jadi 𝑎0𝑎𝑖 = 𝑎0𝑎𝑗 .

b. Untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, dan 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚

Ambil 𝑏0𝑏𝑖 dan 𝑏0𝑏𝑗 sisi di 𝐺 dengan 𝑓(𝑏0𝑏𝑖) = 𝑓(𝑏0𝑏𝑖). Akan

dibuktikan 𝑖 = 𝑗 sedemikian hingga 𝑏0𝑏𝑖 = 𝑏0𝑏𝑗 .

Karena 𝑓(𝑏0𝑏𝑖) = 𝑓(𝑏0𝑏𝑖).

Maka 8𝑚 + 4 − 8𝑖 = 8𝑚 + 4 − 8𝑗

𝑖 = 𝑗

Jadi 𝑏0𝑏𝑖 = 𝑏0𝑏𝑗 .

Page 50: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

69

c. Untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, dan 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚

Ambil 𝑐0𝑐𝑖 dan 𝑐0𝑐𝑗 sisi di 𝐺 dengan 𝑓(𝑐0𝑐𝑖) = 𝑓(𝑐0𝑐𝑖). Akan dibuktikan

𝑖 = 𝑗 sedemikian hingga 𝑐0𝑐𝑖 = 𝑐0𝑐𝑗 .

Karena 𝑓(𝑐0𝑐𝑖) = 𝑓(𝑐0𝑐𝑖).

Maka 8𝑚 + 1 − 8𝑖 = 8𝑚 + 1 − 8𝑗

𝑖 = 𝑗

Jadi 𝑐0𝑐𝑖 = 𝑐0𝑐𝑗 .

d. Untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, dan 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚

Ambil 𝑑0𝑑𝑖 dan 𝑑0𝑑𝑗 sisi di 𝐺 dengan 𝑓(𝑑0𝑑𝑖) = 𝑓(𝑑0𝑑𝑖). Akan

dibuktikan 𝑖 = 𝑗 sedemikian hingga 𝑑0𝑑𝑖 = 𝑑0𝑑𝑗 .

Karena 𝑓(𝑑0𝑑𝑖) = 𝑓(𝑑0𝑑𝑖).

Maka 8𝑚 + 2 − 8𝑖 = 8𝑚 + 2 − 8𝑗

𝑖 = 𝑗

Jadi 𝑑0𝑑𝑖 = 𝑑0𝑑𝑗 .

Jadi 𝑓 merupakan fungsi injektif dari 𝑉(𝐺) ∪ 𝐸(𝐺) ke 1,2,3, … , 𝑝 + 𝑞

2) 𝐺 adalah fungsi surjektif

Akan ditunjukkan bahwa 𝑉(𝐺) ∪ 𝐸(𝐺) dipetakan ke 1,2,3, … , 𝑝 + 𝑞

a. Akan dibuktikan 1 ≤ 𝑓 𝑎𝑖 ≤ 𝑝 + 𝑞

Diketahui 𝑓 𝑎𝑖 = 𝑖, ∀ 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚

Karena 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚

Maka 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 ≤ 8𝑖 + 7

1 ≤ 𝑖 ≤ 8𝑖 + 7

Jadi 1 ≤ 𝑓 𝑎𝑖 ≤ 𝑝 + 𝑞

b. Akan dibuktikan 1 ≤ 𝑓 𝑏𝑖 ≤ 𝑝 + 𝑞

Page 51: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

70

Diketahui 𝑓 𝑏𝑖 = 𝑖, ∀ 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚

Karena 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚

Maka 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 ≤ 8𝑖 + 3

1 ≤ 𝑖 ≤ 8𝑖 + 3

Jadi 1 ≤ 𝑓 𝑏𝑖 ≤ 𝑝 + 𝑞

c. Akan dibuktikan 1 ≤ 𝑓 𝑐𝑖 ≤ 𝑝 + 𝑞

Diketahui 𝑓 𝑐𝑖 = 𝑖, ∀ 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚

Karena 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚

Maka 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 ≤ 8𝑖 + 8

1 ≤ 𝑖 ≤ 8𝑖 + 8

Jadi 1 ≤ 𝑓 𝑐𝑖 ≤ 𝑝 + 𝑞

d. Akan dibuktikan 1 ≤ 𝑓 𝑑𝑖 ≤ 𝑝 + 𝑞

Diketahui 𝑓 𝑑𝑖 = 𝑖, ∀ 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚

Karena 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚

Maka 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 ≤ 8𝑖 + 6

1 ≤ 𝑖 ≤ 8𝑖 + 6

Jadi 1 ≤ 𝑓 𝑑𝑖 ≤ 𝑝 + 𝑞

e. Akan dibuktikan 1 ≤ 𝑓 𝑎0 ≤ 𝑝 + 𝑞

Diketahui 𝑓 𝑎0 = 𝑛 − 1

Karena 1 ≤ 𝑛 − 1 ≤ 2𝑛(𝑚 + 1)

Jadi 1 ≤ 𝑓 𝑎0 ≤ 𝑝 + 𝑞

f. Akan dibuktikan 1 ≤ 𝑓 𝑏0 ≤ 𝑝 + 𝑞

Diketahui 𝑓 𝑏0 = 𝑛 + 4

Karena 1 ≤ 𝑛 + 4 ≤ 2𝑛(𝑚 + 1)

Page 52: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

71

Jadi 1 ≤ 𝑓 𝑏0 ≤ 𝑝 + 𝑞

g. Akan dibuktikan 1 ≤ 𝑓 𝑐0 ≤ 𝑝 + 𝑞

Diketahui 𝑓 𝑐0 = 𝑛 + 2

Karena 1 ≤ 𝑛 + 2 ≤ 2𝑛(𝑚 + 1)

Jadi 1 ≤ 𝑓 𝑐0 ≤ 𝑝 + 𝑞

h. Akan dibuktikan 1 ≤ 𝑓 𝑑0 ≤ 𝑝 + 𝑞

Diketahui 𝑓 𝑑0 = 𝑛 + 3

Karena 1 ≤ 𝑛 + 3 ≤ 2𝑛(𝑚 + 1)

Jadi 1 ≤ 𝑓 𝑑0 ≤ 𝑝 + 𝑞

i. Akan dibuktikan 1 ≤ 𝑓 𝑎0𝑎𝑖 ≤ 𝑝 + 𝑞

Diketahui 𝑓 𝑎0𝑎𝑖 = 8𝑚 + 5 − 8𝑖, ∀ 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚

Karena 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚

Maka −1.1 ≤ −1. 𝑖 ≤ −1. 𝑚

−1 ≤ −𝑖 ≤ −𝑚

8𝑚 + 5 − 7𝑖 − 1 ≤ 8𝑚 + 5 − 7𝑖 − 𝑖 ≤ 8𝑚 + 5 − 7𝑖 − 𝑚

8𝑚 + 4 − 7𝑖 ≤ 8𝑚 + 5 − 8𝑖 ≤ 7𝑚 + 5 − 7𝑖

1 ≤ 8𝑚 + 4 − 7𝑖 ≤ 8𝑚 + 5 − 8𝑖 ≤ 7𝑚 + 5 − 7𝑖 ≤ 8(𝑚 + 1)

1 ≤ 8𝑚 + 5 − 8𝑖 ≤ 8(𝑚 + 1)

Jadi 1 ≤ 𝑓 𝑎0𝑎𝑖 ≤ 𝑝 + 𝑞

j. Akan dibuktikan 1 ≤ 𝑓 𝑏0𝑏𝑖 ≤ 𝑝 + 𝑞

Diketahui 𝑓 𝑏0𝑏𝑖 = 8𝑚 + 4 − 8𝑖, ∀ 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚

Karena 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚

Maka −1.1 ≤ −1. 𝑖 ≤ −1. 𝑚

−1 ≤ −𝑖 ≤ −𝑚

Page 53: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

72

8𝑚 + 4 − 7𝑖 − 1 ≤ 8𝑚 + 4 − 7𝑖 − 𝑖 ≤ 8𝑚 + 4 − 7𝑖 − 𝑚

8𝑚 + 3 − 7𝑖 ≤ 8𝑚 + 4 − 8𝑖 ≤ 7𝑚 + 4 − 7𝑖

1 ≤ 8𝑚 + 3 − 7𝑖 ≤ 8𝑚 + 4 − 8𝑖 ≤ 7𝑚 + 4 − 7𝑖 ≤ 6(𝑚 + 1)

1 ≤ 8𝑚 + 4 − 8𝑖 ≤ 8(𝑚 + 1)

Jadi 1 ≤ 𝑓 𝑏0𝑏𝑖 ≤ 𝑝 + 𝑞

k. Akan dibuktikan 1 ≤ 𝑓 𝑐0𝑐𝑖 ≤ 𝑝 + 𝑞

Diketahui 𝑓 𝑐0𝑐𝑖 = 8𝑚 + 1 − 8𝑖, ∀ 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚

Karena 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚

Maka −1.1 ≤ −1. 𝑖 ≤ −1. 𝑚

−1 ≤ −𝑖 ≤ −𝑚

8𝑚 + 1 − 7𝑖 − 1 ≤ 8𝑚 + 1 − 7𝑖 − 𝑖 ≤ 8𝑚 + 1 − 7𝑖 − 𝑚

8𝑚 − 7𝑖 ≤ 8𝑚 + 1 − 8𝑖 ≤ 7𝑚 + 1 − 7𝑖

1 ≤ 8𝑚 + 7𝑖 ≤ 8𝑚 + 1 − 8𝑖 ≤ 7𝑚 + 1 − 7𝑖 ≤ 6(𝑚 + 1)

1 ≤ 8𝑚 + 1 − 8𝑖 ≤ 6(𝑚 + 1)

Jadi 1 ≤ 𝑓 𝑐0𝑐𝑖 ≤ 𝑝 + 𝑞

l. Akan dibuktikan 1 ≤ 𝑓 𝑑0𝑑𝑖 ≤ 𝑝 + 𝑞

Diketahui 𝑓 𝑑0𝑑𝑖 = 8𝑚 + 2 − 8𝑖, ∀ 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚

Karena 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚

Maka −1.1 ≤ −1. 𝑖 ≤ −1. 𝑚

−1 ≤ −𝑖 ≤ −𝑚

8𝑚 + 2 − 7𝑖 − 1 ≤ 8𝑚 + 2 − 7𝑖 − 𝑖 ≤ 8𝑚 + 2 − 7𝑖 − 𝑚

8𝑚 + 1 − 7𝑖 ≤ 8𝑚 + 2 − 8𝑖 ≤ 7𝑚 + 2 − 7𝑖

1 ≤ 8𝑚 + 1 − 7𝑖 ≤ 8𝑚 + 2 − 8𝑖 ≤ 7𝑚 + 2 − 7𝑖 ≤ 6(𝑚 + 1)

1 ≤ 8𝑚 + 2 − 8𝑖 ≤ 6(𝑚 + 1)

Page 54: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

73

Jadi 1 ≤ 𝑓 𝑑0𝑑𝑖 ≤ 𝑝 + 𝑞

m. Akan dibuktikan 1 ≤ 𝑓 𝑎0𝑏0 ≤ 𝑝 + 𝑞

Diketahui 𝑓 𝑎0𝑏0 = 8𝑚 + 4

Karena 1 ≤ 8𝑚 + 4 ≤ 8𝑚 + 8

Jadi 1 ≤ 𝑓 𝑎0𝑏0 ≤ 𝑝 + 𝑞

n. Akan dibuktikan 1 ≤ 𝑓 𝑏0𝑐0 ≤ 𝑝 + 𝑞

Diketahui 𝑓 𝑏0𝑐0 = 8𝑚 + 1

Karena 1 ≤ 8𝑚 + 1 ≤ 8𝑚 + 8

Jadi 1 ≤ 𝑓 𝑏0𝑐0 ≤ 𝑝 + 𝑞

o. Akan dibuktikan 1 ≤ 𝑓 𝑐0𝑑0 ≤ 𝑝 + 𝑞

Diketahui 𝑓 𝑐0𝑑0 = 8𝑚 + 2

Karena 1 ≤ 8𝑚 + 2 ≤ 8𝑚 + 8

Jadi 1 ≤ 𝑓 𝑐0𝑑0 ≤ 𝑝 + 𝑞

p. Akan dibuktikan 1 ≤ 𝑓 𝑑0𝑎0 ≤ 𝑝 + 𝑞

Diketahui 𝑓 𝑑0𝑎0 = 8𝑚 + 5

Karena 1 ≤ 8𝑚 + 5 ≤ 8𝑚 + 8

Jadi 1 ≤ 𝑓 𝑑0𝑎0 ≤ 𝑝 + 𝑞

Sehingga dapat disimpulkan bahwa 1 ≤ 𝑓 𝑉 ≤ 𝑝 + 𝑞 dan 1 ≤ 𝑓 𝐸 ≤

𝑝 + 𝑞. Artinya 𝑉(𝐺) ∪ 𝐸(𝐺) dipetakan ke 1, 2, 3, … , 𝑝 + 𝑞 . Karena

𝑉 𝐺 ∪ 𝐸 𝐺 = 1, 2, 3, … , 𝑝 + 𝑞 dan 𝑓(𝐺) adalah injektif maka

sudah pasti 𝑓(𝐺) adalah surjektif. Karena 𝑓(𝐺) injektif juga sekaligus

surjektif, maka 𝑓(𝐺) bijektif.

ii). Akan ditunjukkan bahwa untuk masing-masing sisi 𝑥𝑦 di 𝐺 berlaku:

𝑓 𝑥 + 𝑓 𝑥𝑦 + 𝑓 𝑦 = 𝑘

Page 55: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

74

a. Untuk sisi 𝑎0𝑎𝑖 di 𝐺 diperoleh:

𝑓 𝑎0 + 𝑓 𝑎0𝑎𝑖 + 𝑓 𝑎𝑖 = 3 + 8𝑚 + 5 − 8𝑖 + 8𝑖 + 7 = 8𝑚 + 15

b. Untuk sisi 𝑏0𝑏𝑖 di 𝐺 diperoleh:

𝑓 𝑏0 + 𝑓 𝑏0𝑏𝑖 + 𝑓 𝑏𝑖 = 8 + 8𝑚 + 4 − 8𝑖 + 8𝑖 + 3 = 8𝑚 + 15

c. Untuk sisi 𝑐0𝑐𝑖 di 𝐺 diperoleh:

𝑓 𝑐0 + 𝑓 𝑐0𝑐𝑖 + 𝑓 𝑐𝑖 = 6 + 8𝑚 + 1 − 8𝑖 + 8𝑖 + 8 = 8𝑚 + 15

d. Untuk sisi 𝑐0𝑐𝑖 di 𝐺 diperoleh:

𝑓 𝑐0 + 𝑓 𝑐0𝑐𝑖 + 𝑓 𝑐𝑖 = 7 + 8𝑚 + 2 − 8𝑖 + 8𝑖 + 6 = 8𝑚 + 15

e. Untuk sisi 𝑎0𝑏0 di 𝐺 diperoleh:

𝑓 𝑎0 + 𝑓 𝑎0𝑏0 + 𝑓 𝑏0 = 3 + 8𝑚 + 4 + 8 = 8𝑚 + 15

f. Untuk sisi 𝑏0𝑐0 di 𝐺 diperoleh:

𝑓 𝑏0 + 𝑓 𝑏0𝑐0 + 𝑓 𝑐0 = 8 + 8𝑚 + 1 + 6 = 8𝑚 + 15

g. Untuk sisi 𝑐0𝑑0 di 𝐺 diperoleh:

𝑓 𝑐0 + 𝑓 𝑐0𝑑0 + 𝑓 𝑑0 = 6 + 8𝑚 + 2 + 7 = 8𝑚 + 15

h. Untuk sisi 𝑑0𝑎0 di 𝐺 diperoleh:

𝑓 𝑑0 + 𝑓 𝑑0𝑎0 + 𝑓 𝑎0 = 7 + 8𝑚 + 5 + 3 = 8𝑚 + 15

Jadi 𝐺 𝐶4′ dengan m rambut adalah tota sisi ajaib dengan bilangan ajaib:

𝑘 = 8𝑚 + 𝑛 + 11

Teorema 10:

Graf Hairy Cycle 𝐶6′ dengan 𝑚 rambut untuk masing-masing titik pada

sikel adalah total sisi ajaib.

Bukti:

Page 56: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

75

Pelabelan total sisi ajaib pada suatu graph 𝐺 dengan order 𝑝 dan ukuran 𝑞

adalah fungsi bijektif 𝑓 dari 𝑉 ∪ 𝐸 ke himpunan bilangan bulat {1,2,3, …,

𝑝 + 𝑞} sedemikian hingga untuk masing-masing sisi 𝑥𝑦 di 𝐺 berlaku

𝑓 𝑥 + 𝑓 𝑥𝑦 + 𝑓 𝑦 = 𝑘, dengan k konstanta. Maka untuk membuktikan

teorema 3.3 perlu ditunjukkan bahwa :

i) 𝐺 adalah fungsi bijektif 𝑓 dari 𝑉 ∪ 𝐸 ke himpunan bilangan bulat

{1, 2, 3, …, 𝑝 + 𝑞}

ii) untuk masing-masing sisi 𝑥𝑦 di 𝐺 berlaku

𝑓 𝑥 + 𝑓 𝑥𝑦 + 𝑓 𝑦 = 𝑘

Misal:

𝑉 𝐺 = (𝑎0 , 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑚 , 𝑏0 ,𝑏1 , 𝑏2, … , 𝑏𝑚 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐2 , … , 𝑐𝑚 , 𝑑0 , 𝑑1 , 𝑑2 , … , 𝑑𝑚 , 𝑒0 ,𝑒1 , 𝑒2 ,… , 𝑒𝑚 )

yang dikelompokkan sebagai berikut:

𝑉1 𝐺 = 𝑎0 , 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑚

𝑉2 𝐺 = ( 𝑏0, 𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 , … , 𝑏𝑚 )

𝑉3 𝐺 = 𝑐0, 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3, … , 𝑐𝑚

𝑉4 𝐺 = 𝑑0 , 𝑑1 , 𝑑2 , 𝑑3 , … , 𝑑𝑚

𝑉5 𝐺 = 𝑒0, 𝑒1, 𝑒2, 𝑒3, … , 𝑒𝑚

Dimana:

𝑎0 sebagai titik pusat 𝑉1 𝐺 dan 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑚 sebagai titik ujung

𝑉1 𝐺 . 𝑏0 sebagai titik pusat 𝑉2 𝐺 dan 𝑏1, 𝑏2 , 𝑏3, … , 𝑏𝑚 sebagai titik

ujung 𝑉2 𝐺 . 𝑐0 sebagai titik pusat 𝑉3 𝐺 dan 𝑐1, 𝑐2 , 𝑐3 , … , 𝑐𝑚 sebagai

titik ujung 𝑉3 𝐺 . 𝑑0 sebagai titik pusat 𝑉4 𝐺 dan 𝑑1 , 𝑑2 , 𝑑3, … , 𝑑𝑚

sebagai titik ujung 𝑉4 𝐺 . 𝑒0 sebagai titik pusat 𝑉5 𝐺 dan

Page 57: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

76

𝑒1, 𝑒2, 𝑒3, … , 𝑒𝑚 sebagai titik ujung 𝑉5 𝐺 . Sedangkan 𝑎0 , 𝑏0 , 𝑐0, 𝑑0 dan 𝑒0

saling terhubung.

𝐸 𝐺

= (𝑎0𝑎1 , 𝑎0𝑎2, … , 𝑎0𝑎𝑚 , 𝑎0𝑏0 , 𝑏0𝑏1 , 𝑏0𝑏2 , … , 𝑏0𝑏𝑚 , 𝑏0𝑐0, 𝑐0𝑐1, 𝑐0𝑐2 , …,

𝑐0𝑐𝑚 , 𝑐0𝑑0, 𝑑0𝑑1, 𝑑0𝑑2 , … , 𝑑0𝑑𝑚 , 𝑑0𝑒0, 𝑒0𝑒1, 𝑒0𝑒2, … , 𝑒0𝑒𝑚 , 𝑒0𝑎0)

Yang dikelompokkan sebagai berikut:

𝐸1 𝐺 = (𝑎0𝑎1 , 𝑎0𝑎2, … , 𝑎0𝑎𝑚 , 𝑎0𝑏0)

𝐸2 𝐺 = ( 𝑏0𝑏1 , 𝑏0𝑏2 , … , 𝑏0𝑏𝑚 , 𝑏0𝑐0)

𝐸3 𝐺 = ( 𝑐0𝑐1, 𝑐0𝑐2, … , 𝑐0𝑐𝑚 , 𝑐0𝑑0)

𝐸4 𝐺 = ( 𝑑0𝑑1, 𝑑0𝑑2 , … , 𝑑0𝑑𝑚 , 𝑑0𝑒0)

𝐸5 𝐺 = ( 𝑒0𝑒1, 𝑒0𝑒2, … , 𝑒0𝑒𝑚 , 𝑒0𝑎0)

Jadi untuk 𝐶5′ dengan 𝑚 rambut

𝑝 = 5(𝑚 + 1), dan 𝑞 = 5(𝑚 + 1).

Maka 𝑝 + 𝑞 = 5(𝑚 + 1) + 5(𝑚 + 1)

= 10(𝑚 + 1)

Graf Hairy Cycle 𝐶5′ dengan m rambut dapat digambar sebagai berikut:

1e

1c

1b

0d

0e

0c

0b

1d

0a

1a

ma

4a

3a

2a

2b 3

b4

b

mb

3c

2c

4c

mc

md

4d

3d

2d

me

4e

3e

2e

Gambar 3.26: Graf 𝐶5

′ Dengan 𝑚 Rambut

Dengan pelabelan sebagai berikut:

Page 58: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

77

11 d

11 b

1n

53

2

4

11 c

1

11 e

1me

14 e

13 e

12 e

11 a12 a

13 a

11 ma

1mc14 c

13 c

12 c

1md

14 d

13 d12 d

12 b

13 b

14 b

1mb

Gambar 3.27: Pelabelan Graf 𝐶5

′ Dengan 𝑚 Rambut

Fungsi 𝑓 dari 𝑉 𝐺 ∪ 𝐸 𝐺 ke 1,2,3, … , 𝑝 + 𝑞 didefinisikan sebagai

berikut:

a. 𝑓 𝑎0 ≔ 1

b. 𝑓 𝑎𝑖 ≔ 5𝑖 + 5 untuk 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑚

c. 𝑓 𝑎0𝑎𝑖 ≔ 10𝑚 + 8 − 5𝑖 untuk 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑚

d. 𝑓 𝑎0𝑏0 ≔ 10𝑚 + 9 untuk 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑚

e. 𝑓 𝑏0 ≔ 4

f. 𝑓 𝑏𝑖 ≔ 5𝑖 + 1 untuk 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑚

g. 𝑓 𝑏0𝑏𝑖 ≔ 10𝑚 + 9 − 5𝑖 untuk 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑚

h. 𝑓 𝑏0𝑐0 ≔ 10𝑚 + 8 untuk 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑚

i. 𝑓 𝑐0 ≔ 2

j. 𝑓 𝑐𝑖 ≔ 5𝑖 + 2 untuk 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑚

k. 𝑓 𝑐0𝑐𝑖 ≔ 10𝑚 + 10 − 5𝑖 untuk 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑚

l. 𝑓 𝑐0𝑑0 ≔ 10𝑚 + 7 untuk 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑚

m. 𝑓 𝑑0 ≔ 5

n. 𝑓 𝑑𝑖 ≔ 5𝑖 + 3 untuk 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑚

o. 𝑓 𝑑0𝑑𝑖 ≔ 10𝑚 + 6 − 5𝑖 untuk 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑚

Page 59: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

78

p. 𝑓 𝑑0𝑒0 ≔ 10𝑚 + 6 untuk 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑚

q. 𝑓 𝑒0 ≔ 3

r. 𝑓 𝑒𝑖 ≔ 5𝑖 + 4 untuk 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑚

s. 𝑓 𝑒0𝑒𝑖 ≔ 10𝑚 + 7 − 5𝑖 untuk 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑚

t. 𝑓 𝑒0𝑎0 ≔ 10𝑚 + 10 untuk 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑚

Maka:

i) Akan ditunjukkan bahwa 𝐺 adalah fungsi bijektif 𝑓 dari 𝑉(𝐺) ∪ 𝐸(𝐺)

ke himpunan bilangan bulat {1, 2, 3, …, 𝑝 + 𝑞}

a. 𝐺 adalah fungsi injektif

Untuk titik di 𝐺

Ambil 𝑉𝑖 dan 𝑉𝑗 titik di 𝐺 dengan 𝑓 𝑉𝑖 = 𝑓(𝑉𝑗 ). Akan dibuktikan 𝑖 = 𝑗

sedemikian hingga 𝑉𝑖 = 𝑉𝑗 .

a. Untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, dan 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛.

Karena 𝑓 𝑥𝑖 = 𝑓(𝑥𝑗 )

Maka 𝑖 = 𝑗

Jadi 𝑥𝑖 = 𝑥𝑗

b. Untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, dan 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚.

Karena 𝑓 𝑎𝑖 = 𝑓(𝑎𝑗 )

Maka 𝑛 𝑖 + 5 = 𝑛 𝑗 + 5

𝑖 = 𝑗

Jadi 𝑎𝑖 = 𝑎𝑗

c. Untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, dan 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚.

Karena 𝑓 𝑏𝑖 = 𝑓(𝑏𝑗 )

Page 60: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

79

Maka 𝑛 𝑖 + 1 = 𝑛 𝑗 + 1

𝑖 = 𝑗

Jadi 𝑏𝑖 = 𝑏𝑗

d. Untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, dan 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚.

Karena 𝑓 𝑐𝑖 = 𝑓(𝑐𝑗 )

Maka 𝑛 𝑖 + 2 = 𝑛 𝑗 + 2

𝑖 = 𝑗

Jadi 𝑐𝑖 = 𝑐𝑗

e. Untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, dan 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚.

Karena 𝑓 𝑐𝑖 = 𝑓(𝑐𝑗 )

Maka 𝑛 𝑖 + 3 = 𝑛 𝑗 + 3

𝑖 = 𝑗

Jadi 𝑐𝑖 = 𝑐𝑗

f. Untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, dan 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚.

Karena 𝑓 𝑐𝑖 = 𝑓(𝑐𝑗 )

Maka 𝑛 𝑖 + 4 = 𝑛 𝑗 + 4

𝑖 = 𝑗

Jadi 𝑐𝑖 = 𝑐𝑗

Untuk sisi di 𝐺

a. Untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, dan 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚.

Ambil 𝑎0𝑎𝑖 dan 𝑎0𝑎𝑗 sisi di 𝐺 dengan 𝑓(𝑎0𝑎𝑖) = 𝑓(𝑎0𝑎𝑗 ). Akan

dibuktikan 𝑖 = 𝑗 sedemikian hingga 𝑎0𝑎𝑖 = 𝑎0𝑎𝑗 .

Karena 𝑓 𝑎0𝑎𝑖 = 𝑓(𝑎0𝑎𝑗 )

Page 61: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

80

Maka 10𝑚 + 8 − 5𝑖 = 10𝑚 + 8 − 5𝑗

𝑖 = 𝑗

Jadi 𝑎0𝑎𝑖 = 𝑎0𝑎𝑗 .

b. Untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, dan 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚

Ambil 𝑏0𝑏𝑖 dan 𝑏0𝑏𝑗 sisi di 𝐺 dengan 𝑓(𝑏0𝑏𝑖) = 𝑓(𝑏0𝑏𝑖). Akan

dibuktikan 𝑖 = 𝑗 sedemikian hingga 𝑏0𝑏𝑖 = 𝑏0𝑏𝑗 .

Karena 𝑓(𝑏0𝑏𝑖) = 𝑓(𝑏0𝑏𝑖).

Maka 10𝑚 + 9 − 5𝑖 = 10𝑚 + 9 − 5𝑗

𝑖 = 𝑗

Jadi 𝑏0𝑏𝑖 = 𝑏0𝑏𝑗 .

c. Untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, dan 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚

Ambil 𝑐0𝑐𝑖 dan 𝑐0𝑐𝑗 sisi di 𝐺 dengan 𝑓(𝑐0𝑐𝑖) = 𝑓(𝑐0𝑐𝑖). Akan dibuktikan

𝑖 = 𝑗 sedemikian hingga 𝑐0𝑐𝑖 = 𝑐0𝑐𝑗 .

Karena 𝑓(𝑐0𝑐𝑖) = 𝑓(𝑐0𝑐𝑖).

Maka 10𝑚 + 10 − 5𝑖 = 10𝑚 + 10 − 5𝑗

𝑖 = 𝑗

Jadi 𝑐0𝑐𝑖 = 𝑐0𝑐𝑗

d. Untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, dan 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚

Ambil 𝑑0𝑑𝑖 dan 𝑑0𝑑𝑗 sisi di 𝐺 dengan 𝑓(𝑑0𝑑𝑖) = 𝑓(𝑑0𝑑𝑖). Akan

dibuktikan 𝑖 = 𝑗 sedemikian hingga 𝑑0𝑑𝑖 = 𝑑0𝑑𝑗 .

Karena 𝑓(𝑑0𝑑𝑖) = 𝑓(𝑑0𝑑𝑖).

Maka 10𝑚 + 6 − 5𝑖 = 10𝑚 + 6 − 5𝑗

𝑖 = 𝑗

Page 62: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

81

Jadi 𝑐0𝑐𝑖 = 𝑐0𝑐𝑗 .

e. Untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, dan 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚

Ambil 𝑒0𝑒𝑖 dan 𝑒0𝑒𝑗 sisi di 𝐺 dengan 𝑓(𝑒0𝑒𝑖) = 𝑓(𝑒0𝑒𝑖). Akan dibuktikan

𝑖 = 𝑗 sedemikian hingga 𝑒0𝑒𝑖 = 𝑒0𝑒𝑗 .

Karena 𝑓(𝑒0𝑒𝑖) = 𝑓(𝑒0𝑒𝑖).

Maka 10𝑚 + 7 − 5𝑖 = 10𝑚 + 7 − 5𝑗

𝑖 = 𝑗

Jadi 𝑒0𝑒𝑖 = 𝑒0𝑒𝑗

Jadi 𝑓 merupakan fungsi injektif dari 𝑉(𝐺) ∪ 𝐸(𝐺) ke 1,2,3, … , 𝑝 + 𝑞

b. 𝐺 adalah fungsi surjektif

Akan ditunjukkan bahwa 𝑉(𝐺) ∪ 𝐸(𝐺) dipetakan ke 1,2,3, … , 𝑝 + 𝑞

a. Akan dibuktikan 1 ≤ 𝑓 𝑎𝑖 ≤ 𝑝 + 𝑞

Diketahui 𝑓 𝑎𝑖 = 𝑖, ∀ 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚

Karena 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚

Maka 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 ≤ 5𝑖 + 5

1 ≤ 𝑖 ≤ 5𝑖 + 5

Jadi 1 ≤ 𝑓 𝑎𝑖 ≤ 𝑝 + 𝑞

b. Akan dibuktikan 1 ≤ 𝑓 𝑏𝑖 ≤ 𝑝 + 𝑞

Diketahui 𝑓 𝑏𝑖 = 𝑖, ∀ 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚

Karena 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚

Maka 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 ≤ 5𝑖 + 1

1 ≤ 𝑖 ≤ 5𝑖 + 1

Jadi 1 ≤ 𝑓 𝑏𝑖 ≤ 𝑝 + 𝑞

c. Akan dibuktikan 1 ≤ 𝑓 𝑐𝑖 ≤ 𝑝 + 𝑞

Page 63: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

82

Diketahui 𝑓 𝑐𝑖 = 𝑖, ∀ 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚

Karena 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚

Maka 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 ≤ 5𝑖 + 2

1 ≤ 𝑖 ≤ 5𝑖 + 2

Jadi 1 ≤ 𝑓 𝑐𝑖 ≤ 𝑝 + 𝑞

d. Akan dibuktikan 1 ≤ 𝑓 𝑑𝑖 ≤ 𝑝 + 𝑞

Diketahui 𝑓 𝑑𝑖 = 𝑖, ∀ 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚

Karena 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚

Maka 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 ≤ 5𝑖 + 3

1 ≤ 𝑖 ≤ 5𝑖 + 3

Jadi 1 ≤ 𝑓 𝑑𝑖 ≤ 𝑝 + 𝑞

e. Akan dibuktikan 1 ≤ 𝑓 𝑒𝑖 ≤ 𝑝 + 𝑞

Diketahui 𝑓 𝑒𝑖 = 𝑖, ∀ 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚

Karena 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚

Maka 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 ≤ 5𝑖 + 4

1 ≤ 𝑖 ≤ 5𝑖 + 4

Jadi 1 ≤ 𝑓 𝑒𝑖 ≤ 𝑝 + 𝑞

f. Akan dibuktikan 1 ≤ 𝑓 𝑎0 ≤ 𝑝 + 𝑞

Diketahui 𝑓 𝑎0 = 𝑛 − 4

Karena 1 ≤ 𝑛 − 4 ≤ 2𝑛(𝑚 + 1)

Jadi 1 ≤ 𝑓 𝑎0 ≤ 𝑝 + 𝑞

g. Akan dibuktikan 1 ≤ 𝑓 𝑏0 ≤ 𝑝 + 𝑞

Diketahui 𝑓 𝑏0 = 𝑛 − 1

Karena 1 ≤ 𝑛 − 1 ≤ 2𝑛(𝑚 + 1)

Page 64: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

83

Jadi 1 ≤ 𝑓 𝑏0 ≤ 𝑝 + 𝑞

h. Akan dibuktikan 1 ≤ 𝑓 𝑐0 ≤ 𝑝 + 𝑞

Diketahui 𝑓 𝑐0 = 𝑛 − 3

Karena 1 ≤ 𝑛 − 3 ≤ 2𝑛(𝑚 + 1)

Jadi 1 ≤ 𝑓 𝑐0 ≤ 𝑝 + 𝑞

i. Akan dibuktikan 1 ≤ 𝑓 𝑑0 ≤ 𝑝 + 𝑞

Diketahui 𝑓 𝑑0 = 𝑛

Karena 1 ≤ 𝑛 − 3 ≤ 2𝑛(𝑚 + 1)

Jadi 1 ≤ 𝑓 𝑑0 ≤ 𝑝 + 𝑞

j. Akan dibuktikan 1 ≤ 𝑓 𝑒0 ≤ 𝑝 + 𝑞

Diketahui 𝑓 𝑒0 = 𝑛 − 2

Karena 1 ≤ 𝑛 − 2 ≤ 2𝑛(𝑚 + 1)

Jadi 1 ≤ 𝑓 𝑒0 ≤ 𝑝 + 𝑞

k. Akan dibuktikan 1 ≤ 𝑓 𝑎0𝑎𝑖 ≤ 𝑝 + 𝑞

Diketahui 𝑓 𝑎0𝑎𝑖 = 10𝑚 + 8 − 5𝑖, ∀ 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚

Karena 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚

Maka −1.1 ≤ −1. 𝑖 ≤ −1. 𝑚

−1 ≤ −𝑖 ≤ −𝑚

10𝑚 + 8 − 4𝑖 − 1 ≤ 10𝑚 + 8 − 4𝑖 − 𝑖 ≤ 10𝑚 + 8 − 4𝑖 − 𝑚

10𝑚 + 7 − 4𝑖 ≤ 10𝑚 + 8 − 5𝑖 ≤ 9𝑚 + 8 − 4𝑖

1 ≤ 10𝑚 + 7 − 4𝑖 ≤ 10𝑚 + 8 − 5𝑖 ≤ 9𝑚 + 8 − 4𝑖 ≤ 2𝑛(𝑚 + 1)

1 ≤ 10𝑚 + 8 − 5𝑖 ≤ 2𝑛(𝑚 + 1)

Jadi 1 ≤ 𝑓 𝑎0𝑎𝑖 ≤ 𝑝 + 𝑞

l. Akan dibuktikan 1 ≤ 𝑓 𝑏0𝑏𝑖 ≤ 𝑝 + 𝑞

Page 65: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

84

Diketahui 𝑓 𝑏0𝑏𝑖 = 10𝑚 + 9 − 5𝑖, ∀ 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚

Karena 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚

Maka −1.1 ≤ −1. 𝑖 ≤ −1. 𝑚

−1 ≤ −𝑖 ≤ −𝑚

10𝑚 + 9 − 4𝑖 − 1 ≤ 10𝑚 + 9 − 4𝑖 − 𝑖 ≤ 10𝑚 + 9 − 4𝑖 − 𝑚

10𝑚 + 8 − 4𝑖 ≤ 10𝑚 + 9 − 5𝑖 ≤ 9𝑚 + 9 − 4𝑖

1 ≤ 10𝑚 + 8 − 4𝑖 ≤ 10𝑚 + 9 − 5𝑖 ≤ 9𝑚 + 9 − 4𝑖 ≤ 2𝑛(𝑚 + 1)

1 ≤ 10𝑚 + 9 − 5𝑖 ≤ 2𝑛(𝑚 + 1)

Jadi 1 ≤ 𝑓 𝑏0𝑏𝑖 ≤ 𝑝 + 𝑞

m. Akan dibuktikan 1 ≤ 𝑓 𝑐0𝑐𝑖 ≤ 𝑝 + 𝑞

Diketahui 𝑓 𝑐0𝑐𝑖 = 10𝑚 + 10 − 5𝑖, ∀ 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚

Karena 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚

Maka −1.1 ≤ −1. 𝑖 ≤ −1. 𝑚

−1 ≤ −𝑖 ≤ −𝑚

10𝑚 + 10 − 4𝑖 − 1 ≤ 10𝑚 + 10 − 4𝑖 − 𝑖 ≤ 10𝑚 + 10 − 4𝑖 − 𝑚

10𝑚 + 9 − 4𝑖 ≤ 10𝑚 + 10 − 5𝑖 ≤ 9𝑚 + 10 − 4𝑖

1 ≤ 10𝑚 + 9 − 4𝑖 ≤ 10𝑚 + 10 − 5𝑖 ≤ 9𝑚 + 10 − 4𝑖 ≤ 2𝑛(𝑚 + 1)

1 ≤ 10𝑚 + 10 − 5𝑖 ≤ 2𝑛(𝑚 + 1)

Jadi 1 ≤ 𝑓 𝑐0𝑐𝑖 ≤ 𝑝 + 𝑞

n. Akan dibuktikan 1 ≤ 𝑓 𝑑0𝑑𝑖 ≤ 𝑝 + 𝑞

Diketahui 𝑓 𝑑0𝑑𝑖 = 10𝑚 + 6 − 5𝑖, ∀ 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚

Karena 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚

Maka −1.1 ≤ −1. 𝑖 ≤ −1. 𝑚

−1 ≤ −𝑖 ≤ −𝑚

Page 66: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

85

10𝑚 + 6 − 4𝑖 − 1 ≤ 10𝑚 + 6 − 4𝑖 − 𝑖 ≤ 10𝑚 + 6 − 4𝑖 − 𝑚

10𝑚 + 5 − 4𝑖 ≤ 10𝑚 + 6 − 5𝑖 ≤ 9𝑚 + 6 − 4𝑖

1 ≤ 10𝑚 + 5 − 4𝑖 ≤ 10𝑚 + 6 − 5𝑖 ≤ 9𝑚 + 6 − 4𝑖 ≤ 2𝑛(𝑚 + 1)

1 ≤ 10𝑚 + 6 − 5𝑖 ≤ 2𝑛(𝑚 + 1)

Jadi 1 ≤ 𝑓 𝑑0𝑑𝑖 ≤ 𝑝 + 𝑞

o. Akan dibuktikan 1 ≤ 𝑓 𝑒0𝑒𝑖 ≤ 𝑝 + 𝑞

Diketahui 𝑓 𝑒0𝑒𝑖 = 10𝑚 + 7 − 5𝑖, ∀ 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚

Karena 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚

Maka −1.1 ≤ −1. 𝑖 ≤ −1. 𝑚

−1 ≤ −𝑖 ≤ −𝑚

10𝑚 + 7 − 4𝑖 − 1 ≤ 10𝑚 + 7 − 4𝑖 − 𝑖 ≤ 10𝑚 + 7 − 4𝑖 − 𝑚

10𝑚 + 6 − 4𝑖 ≤ 10𝑚 + 7 − 5𝑖 ≤ 9𝑚 + 7 − 4𝑖

1 ≤ 10𝑚 + 6 − 4𝑖 ≤ 10𝑚 + 7 − 5𝑖 ≤ 9𝑚 + 7 − 4𝑖 ≤ 2𝑛(𝑚 + 1)

1 ≤ 10𝑚 + 7 − 5𝑖 ≤ 2𝑛(𝑚 + 1)

Jadi 1 ≤ 𝑓 𝑒0𝑒𝑖 ≤ 𝑝 + 𝑞

p. Akan dibuktikan 1 ≤ 𝑓 𝑎0𝑏0 ≤ 𝑝 + 𝑞

Diketahui 𝑓 𝑎0𝑏0 = 10𝑚 + 9

Karena 1 ≤ 10𝑚 + 9 ≤ 2𝑛 𝑚 + 1

Jadi 1 ≤ 𝑓 𝑎0𝑏0 ≤ 𝑝 + 𝑞

q. Akan dibuktikan 1 ≤ 𝑓 𝑏0𝑐0 ≤ 𝑝 + 𝑞

Diketahui 𝑓 𝑏0𝑐0 = 10𝑚 + 8

Karena 1 ≤ 10𝑚 + 8 ≤ 2𝑛(𝑚 + 1)

Jadi 1 ≤ 𝑓 𝑏0𝑐0 ≤ 𝑝 + 𝑞

r. Akan dibuktikan 1 ≤ 𝑓 𝑐0𝑑0 ≤ 𝑝 + 𝑞

Page 67: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

86

Diketahui 𝑓 𝑐0𝑑0 = 6𝑚 + 4

Karena 1 ≤ 10𝑚 + 7 ≤ 2𝑛(𝑚 + 1)

Jadi 1 ≤ 𝑓 𝑐0𝑑0 ≤ 𝑝 + 𝑞

s. Akan dibuktikan 1 ≤ 𝑓 𝑑0𝑒0 ≤ 𝑝 + 𝑞

Diketahui 𝑓 𝑑0𝑒0 = 10𝑚 + 6

Karena 1 ≤ 10𝑚 + 6 ≤ 2𝑛(𝑚 + 1)

Jadi 1 ≤ 𝑓 𝑑0𝑒0 ≤ 𝑝 + 𝑞

t. Akan dibuktikan 1 ≤ 𝑓 𝑒0𝑎0 ≤ 𝑝 + 𝑞

Diketahui 𝑓 𝑒0𝑎0 = 10𝑚 + 10

Karena 1 ≤ 10𝑚 + 10 ≤ 2𝑛(𝑚 + 1)

Jadi 1 ≤ 𝑓 𝑒0𝑎0 ≤ 𝑝 + 𝑞

Sehingga dapat disimpulkan bahwa 1 ≤ 𝑓 𝑉 ≤ 𝑝 + 𝑞 dan 1 ≤ 𝑓 𝐸 ≤

𝑝 + 𝑞. Artinya 𝑉(𝐺) ∪ 𝐸(𝐺) dipetakan ke 1, 2, 3, … , 𝑝 + 𝑞 . Karena

𝑉 𝐺 ∪ 𝐸 𝐺 = 1, 2, 3, … , 𝑝 + 𝑞 dan 𝑓(𝐺) adalah injektif maka

sudah pasti 𝑓(𝐺) adalah surjektif. Karena 𝑓(𝐺) injektif juga sekaligus

surjektif, maka 𝑓(𝐺) bijektif.

ii). Akan ditunjukkan bahwa untuk masing-masing sisi 𝑥𝑦 di 𝐺 berlaku:

𝑓 𝑥 + 𝑓 𝑥𝑦 + 𝑓 𝑦 = 𝑘

a. Untuk sisi 𝑎0𝑎𝑖 di 𝐺 diperoleh:

𝑓 𝑎0 + 𝑓 𝑎0𝑎𝑖 + 𝑓 𝑎𝑖 = 1 + 10𝑚 + 8 − 5𝑖 + 5𝑖 + 5

= 10𝑚 + 14

b. Untuk sisi 𝑏0𝑏𝑖 di 𝐺 diperoleh:

𝑓 𝑏0 + 𝑓 𝑏0𝑏𝑖 + 𝑓 𝑏𝑖 = 4 + 10𝑚 + 9 − 5𝑖 + 5𝑖 + 1

= 10𝑚 + 14

Page 68: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

87

c. Untuk sisi 𝑐0𝑐𝑖 di 𝐺 diperoleh:

𝑓 𝑐0 + 𝑓 𝑐0𝑐𝑖 + 𝑓 𝑐𝑖 = 2 + 10𝑚 + 10 − 5𝑖 + 5𝑖 + 2

= 10𝑚 + 14

d. Untuk sisi 𝑒0𝑒𝑖 di 𝐺 diperoleh:

𝑓 𝑑0 + 𝑓 𝑑0𝑑𝑖 + 𝑓 𝑑𝑖 = 5 + 10𝑚 + 6 − 5𝑖 + 5𝑖 + 3 = 10𝑚 + 14

e. Untuk sisi 𝑒0𝑒𝑖 di 𝐺 diperoleh:

𝑓 𝑒0 + 𝑓 𝑒0𝑒𝑖 + 𝑓 𝑒𝑖 = 3 + 10𝑚 + 7 − 5𝑖 + 5𝑖 + 4 = 10𝑚 + 14

f. Untuk sisi 𝑎0𝑏0 di 𝐺 diperoleh:

𝑓 𝑎0 + 𝑓 𝑎0𝑏0 + 𝑓 𝑏0 = 1 + 10𝑚 + 9 + 4 = 10𝑚 + 14

g. Untuk sisi 𝑏0𝑐0 di 𝐺 diperoleh:

𝑓 𝑏0 + 𝑓 𝑏0𝑐0 + 𝑓 𝑐0 = 4 + 10𝑚 + 8 + 2 = 10𝑚 + 14

h. Untuk sisi 𝑐0𝑑0 di 𝐺 diperoleh:

𝑓 𝑐0 + 𝑓 𝑐0𝑑0 + 𝑓 𝑑0 = 2 + 10𝑚 + 7 + 5 = 10𝑚 + 14

i. Untuk sisi 𝑑0𝑒0 di 𝐺 diperoleh:

𝑓 𝑑0 + 𝑓 𝑑0𝑒0 + 𝑓 𝑒0 = 5 + 10𝑚 + 6 + 3 = 10𝑚 + 14

j. Untuk sisi 𝑒0𝑎0 di 𝐺 diperoleh:

𝑓 𝑒0 + 𝑓 𝑒0𝑎0 + 𝑓 𝑎0 = 3 + 10𝑚 + 10 + 1 = 10𝑚 + 14

Jadi 𝐺 𝐶3′ dengan m rambut adalah total sisi ajaib dengan bilangan

ajaib:

𝑘 = 10𝑚 + 14

Page 69: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

89

BAB V

PENUTUP

A. Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan, maka beberapa kesimpulan yang dapat

diambil adalah sebagai berikut.

1. Graf multi star tipe 1 MS1(m) adalah super sisi ajaib

2. Graf multi star tipe 2 MS2(m) adalah super sisi ajaib

3. Graf Hairy Cycle C’3, C’4, C’5 dan C’6 adalah total sisi ajaib.

B. Saran

Berdasarkan penelitian, disarankan kepada peneliti yang lain untuk

mengkaji pelabelan super sisi ajaib pada graf yang lain serta melanjutkan

penelitian pelabelan total sisi ajaib untuk graf hairy cycle secara umum.

.

Page 70: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

90

DAFTAR PUSTAKA

Abdussakir. 2010. Pelabelan Sisi Ajaib Super pada Beberapa Bentuk Graf Ulat.

Prosiding Seminar Nasional UI-UNPAD 2010.

Baskoro, E.T. Sudarsana, I.W., dan Cholily, Y.M.. 2005. How to Construct New

Super Edge-magic Grafs from Some Old Ones. J. Indones. Math. Soc.

(MIHMI) 11:2: 155-162.

Bondy, J.A. & Murty, U.S.R., 1976. Graf Theory with Applications. London: The

Macmillan Press Ltd.

Chartrand, G. & Lesniak, L.. 1986. Graf and Digraf 2nd

Edition. California:

Wadsworth, Inc.

Gallian, J. A.. 2009. A Dynamic Survey of Graf Labeling, 12th Edition. The

Electronic Journal of Combinatorics.

Hussain, M., Baskoro, E.T. dan Slamin. 2009. On Super Edge-Magic Total Labeling

of Banana Trees. Utilitas Math. 79: 243-251.

Irawan, Andy. 2007. Super Edge Magic Labeling pada Graf Ulat Model Trisula

dengan Panjang n. Skripsi Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi

UIN Malang. Malang: UIN Malang

Miller, Mirka. 2000. Open Problems in Graf Theory: Labelings and Extremal Grafs.

Prosiding Konferensi Nasional Himpunan Matematika Indonesia X di Institut

Teknologi Bandung, 17-20 Juli.

Khikmah, Syafa’atul. 2005. Super Edge-Magic Labeling pada Graf Ulat dengan n

Badan dan n Kaki. Skripsi Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi

UIN Malang. Malang: UIN Malang.

Lorentz, Thereziea. 2009. Pelabelan Super Sisi Ajaib pada Graf Ulat (Caterpillars)

yang Mempunyai n Badan dan 2n Kaki dengan n Bilangan Asli. Skripsi

Jurusan Matematika - Fakultas MIPA UM. (Online http://karya-ilmiah.

um.ac.id/index.php/matematika/article/view/5098 diakses 3 September 2010)

Park, J.Y., Choi, J.H., dan Bae, Jae-Hyeong. 2008. On Super Edge-Magic Labeling

of Some Grafs. Bull. Korean Math. Soc. 45, No. 1 hal: 11–21

Rohima, Nur. 2005. Super Edge-Magic Labeling pada Graf Ulat Berekor dengan n

Badan dan 2 Kaki pada Tiap Badan. Skripsi Jurusan Matematika Fakultas

Sains dan Teknologi UIN Malang. Malang: UIN Malang.

Page 71: PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf ... pada kasus-kasus

91

Wallis, W.D. Baskoro, E.T. Miller, M. dan Slamin. 2000. Edge-Magic Total

Labelings Australas. J. Combin. 22: 177-190

Williyanto, Candra dan Irawanto, Bambang (2009) Super Edge-Magic Labeling on

Caterpillar Graf Model T€ With Length n. Undergraduate thesis, FMIPA

Universitas Diponegoro. (online http://eprints.undip.ac.id/2022/ diakses 3

September 2010)