PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian...

Click here to load reader

  • date post

    07-Jul-2019
  • Category

    Documents

  • view

    213
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF MULTI STAR · BAB II: KAJIAN PUSTAKA A. Graf ... Penelitian...

  • LAPORAN

    PENELITIAN BERSAMA DOSEN-MAHASISWA

    PELABELAN SUPER SISI AJAIB

    PADA GRAF MULTI STAR

    Ketua Tim:

    ABDUSSAKIR, M.Pd

    FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

    UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM

    MALANG

    2010

  • PENGESAHAN LAPORAN

    PENELITIAN BERSAMA DOSEN-MAHASISWA

    Judul Penelitian : Pelabelan Super Sisi Ajaib pada Graf Multi Star

    Ketua Peneliti/NIP : Abdussakir, M.Pd/19751006 200312 1 001

    Anggota/NIP/NIM : Evawati Alisah, M.Pd/10720604 199903 2 001

    Liya Fitrotul Chusna/07610055

    Nuril Anwar Hamdani/07610081

    Malang, 29 Desember 2010

    Mengetahui

    Dekan Fakultas Sains dan Teknologi, Ketua Peneliti,

    Prof. Drs. Sutiman B. Sumitro, SU., D.Sc Abdussakir, M.Pd

    NIP. 19540311 198002 1 002 NIP 19751006 200312 1 001

    Mengesahkan

    Ketua Lemlitbang UIN Maliki Malang,

    Dr. Hj. Ulfah Utami, M.Si

    NIP. 19650509 199903 2 002

  • iii

    DAFTAR ISI

    Halaman Sampul

    Halaman Pengesahan

    Kata Pengantar ..................................................................................................... i

    Daftar Isi .............................................................................................................. iii

    BAB I: PENDAHULUAN

    A. Latar Belakang ................................................................................ 1 B. Rumusan Masalah ........................................................................... 3 C. Batasan Masalah .............................................................................. 3 D. Tujuan Penelitian ............................................................................. 3 E. Manfaat Penelitian ........................................................................... 3

    BAB II: KAJIAN PUSTAKA

    A. Graf ................................................................................................. 4 B. Derajat Titik .................................................................................... 6 C. Graf Terhubung ............................................................................... 13 D. Graf Star dan Multi Star .................................................................. 19 E. Pelabelan Total Sisi Ajaib ................................................................ 22

    BAB III: METODE PENELITIAN

    A. Jenis Penelitian .................................................................................. 24 B. Tahap Penelitian ................................................................................ 24

    BAB IV: PEMBAHASAN

    A. Pelabelan Super Sisi Ajaib pada Graf Multi Star Tipe 1 MS1(m) ........ 26 B. Pelabelan Super Sisi Ajaib pada Graf Multi Star Tipe 2 MS2(m) ........ 34 C. Pelabelan Total Sisi Ajaib pada Graf Hairy Cycle Cn ......................... 55

    BAB V: PENUTUP

    A. Kesimpulan ......................................................................................... 89 B. Saran ................................................................................................... 89

    DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 90

  • 1

    BAB I

    PENDAHULUAN

    A. Latar Belakang

    Masalah pelabelan dalam teori graf mulai dikembangkan pada pertengahan

    tahun 1960-an. Pelabelan pada suatu graf muncul pertama kali dari karya Rosa pada

    tahun 1967. Pelabelan pada suatu graf adalah sebarang pemetaan (fungsi) yang

    memasangkan unsur-unsur graf (titik atau sisi) dengan bilangan (biasanya bilangan

    bulat). Jika domain dari fungsi adalah titik, maka pelabelan disebut pelabelan titik

    (vertex labeling). Jika domainnya adalah sisi, maka disebut pelabelan sisi (edge

    labeling), dan jika domainnya titik dan sisi, maka disebut pelabelan total (total

    labeling) (Miller, 2000:165 dan Wallis dkk., 2000:178).

    Pelabelan total sisi ajaib (edge-magic total labeling) pada graf G adalah

    fungsi bijektif dari V(G) E(G) pada himpunan {1, 2, 3, , V(G) +E(G)}

    sehingga untuk sebarang sisi xy di G berlaku

    (x) + (xy) + (y) = k

    untuk suatu konstanta k. Selanjutnya k disebut bilangan ajaib pada G dan G disebut

    total sisi ajaib. Pelabelan total sisi ajaib yang memetakan V(G) ke himpunan {1, 2, 3,

    , V(G)} disebut pelabelan super sisi ajaib (super edge-magic labeling). Graf

    yang dapat dikenai pelabelan super sisi ajaib disebut graf super sisi ajaib (Wallis

    dkk., 2000:178 dan Park dkk. 2008:11).

  • 2

    Graf ulat (caterpillar) adalah graf yang jika semua titik ujungnya dibuang

    akan menghasilkan lintasan (Gallian, 2009). Titik ujung adalah titik yang berderajat

    satu (Chartrand dan Lesniak, 1986). Graf bintang (star) dengan (n + 1) yang

    dinotasikan dengan Sn, adalah graf bipartisi komplit K(1,n), dengan n bilangan asli.

    Graf bintang Sn mempunyai sebanyak n titik ujung dan 1 titik pusat. Jika sebanyak m

    graf bintang (m > 1) titik pusatnya dihubungkan langsung dengan satu sisi secara

    berurutan, maka akan diperoleh graf ulat dalam bentuk umum. Dalam penelitian ini,

    m graf bintang (m > 1) yang titik pusatnya dihubungkan langsung dengan satu sisi

    secara berurutan disebut graf multi star.

    Penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa jenis graf

    termasuk pada beberapa bentuk grah ulat sudah banyak dilakukan. Baskoro dkk

    (2005) meneliti cara mengkonstruk graf super sisi ajaib dari suatu graf. Ji Yeon Park

    dkk (2008) meneliti pelabelan super sisi ajaib pada graf layang-layang. Hussain dkk

    (2009) meneliti tentang pelabelan super sisi ajaib pada pohon banana (banana trees).

    Rohima (2005) dan Khikmah (2005) masing-masing menunjukkan bahwa graf ulat

    berekor dengan n badan dan 2 kaki pada tiap badan serta graf ulat dengan n badan

    dan n kaki adalah super edge magic. Irawan (2007) menunjukkan bahwa graf ulat

    model trisula dengan panjang n adalah super sisi ajaib. Williyanto dan Irawanto

    (2009) menunjukkan bahwa grah ulat model T adalah super sisi ajaib. Lorentz (2009)

    menunjukkan bahwa graf ulat dengan n badan dan 2n kaki adalah super sisi ajaib.

    Abdussakir (2010) menunjukkan bahwa graf ulat bentuk , bentuk H, dan graf ulat

  • 3

    dengan himpunan derajat D = {1, 4} dan n titik berderajat 4, dengan n bilangan asli

    adalah super sisi ajaib.

    Beberapa penelitian tentang pelabelan super sisi ajaib pada graf ulat ini masih

    pada kasus-kasus yang khusus. Karena bentuk umum graf ulat dapat diperoleh dari

    graf multi star, maka penelitian mengenai pelabelan super sisi ajaib pada graf ulat

    secara umum dapat ditunjukkan melalui pelabelan super sisi ajaib pada graf multi

    star. Dengan demikian, maka penelitian ini berusaha menunjukkan bahwa graf multi

    star adalah super sisi ajaib.

    B. Rumusan Masalah

    Pertanyaan yang dirumuskan dalam penelitian ini adalah bagaimana

    pelabelan super sisi ajaib pada graf multi star?

    C. Tujuan Penelitian

    Sesuai rumusan masalah, maka tujuan penelitian ini adalah untuk menjelaskan

    pelabelan super sisi ajaib pada graf multi star.

    D. Manfaat Penelitian

    Penelitian ini diharapkan dapat memberikan bukti atau penjelasan bahwa graf

    multi star adalah super sisi ajaib. Penelitian ini diharapkan dapat menjadi penambah

    wawasan mengenai pelabelan super sisi ajaib dan menggugah peneliti lain untuk

    melakukan penelitian lebih lanjut mengenai pelabelan super sisi ajaib pada beberapa

    jenis graf lainnya.

  • 26

    BAB IV

    PEMBAHASAN

    A. Pelabelan Super Sisi Ajaib pada Graf Multi Star Tipe 1 MS1(m)

    Seperti telah dijelaskan pada kajian pustaka, misalkan 1n

    S , 2n

    S , 3n

    S , ., mn

    S

    adalah graf star masing-masing beroder n1, n2, n3, , dan nm, serta iv0 adalah titik

    pusat dari in

    S . Graf yang diperoleh dari gabungan m

    i

    niS

    1

    ditambah sisi iv01

    0

    iv , i = 1,

    2, , m 1, dalam penelitian ini disebut graf multi star tipe 1 dan dilambangkan

    dengan MS1(m). Berikut adalah gambar graf multi star tipe 1 MS

    1(m).

    MS1(m) mempunyai himpunan titik dan himpunan sisi sebagai berikut:

    1() = {11 , 2

    1 , , 11 , 1

    2 , 22 , , 2

    2 , , , , 0

    1 , 02,,0

    3 , ,0 }, dan

    1() = 0

    , = 1, 2, , ; = 1, 2, , {1

    00

    kkvv , k = 1, 2, , m 1}.

    Jadi, MS1(m) mempunyai order

    p(MS1(m)) = n1 + n2 + n3 + + nm + m

    dan mempunyai ukuran

    MS1(m):

    v10

    v12

    v13

    v14 v1

    n1

    v11

    v20

    v22

    v23

    v24 v2

    n2

    v21

    vm0

    vm2

    vm3

    vm4 vm

    nm

    vm1

  • 27

    q(MS1(m)) = n1 + n2 + n3 + + nm + (m 1).

    Dengan demikian, maka p + q = 2(n1 + n2 + n3 + + nm) + 2m 1.

    Untuk menentukan pelabelan super sisi ajaib, dalam penelitian ini ditetapkan

    titik 11 diberi label 1. Hasil penelitian disajikan sebagai teorema.

    Teorema 1.

    Graf multi star MS1(2) adalah super sisi ajaib dengan bilangan ajaib

    k = 31 + 22 + 6

    Bukti

    Graf MS1(2) dapat digambarkan sebagai berikut:

    Diperoleh bahwa p(MS1(2)) + q(MS

    1(2)) = 2(n1 + n2) + 3.

    Konstruksi suatu relasi f dari

    V(MS1(2)) E(MS

    1(2))

    ke

    {1, 2, 3, , 2(n1 + n2) + 3}

    dengan aturan sebagai berikut :

    1 = i = 1, 2, , n1

    MS1(2):

    v10

    v12

    v13

    v14 v1

    n1

    v11

    v20

    v22

    v23

    v24 v2

    n2

    v21

  • 28

    2 = 1 + 2 + i = 1, 2, , n2

    01 = 1 + 2

    02 = 1 + 1

    01

    1 = 21 + 22 + 4 i = 1, 2, , n1

    02

    2 = 1 + 22 + 3 i = 1, 2, , n2

    010

    2 = 1 + 22 + 3

    Dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa f adalah fungsi bijektif. Selanjutnya

    akan ditunjukkan bahwa f adalah pelabelan total sisi ajaib.

    Untuk sisi 01

    1 diperoleh

    01 + 0

    11 +

    1 = 1 + 2 + 21 + 22 + 4 +

    = 31 + 22 + 6.

    Untuk sisi 02

    2 diperoleh

    02 + 0

    22 +

    2 = 1 + 1 + 1 + 22 + 3 + 1 + 2 +

    = 31 + 22 + 6.

    Untuk sisi 010

    2 diperoleh

    01 + 0

    102 + 0

    2 = 1 + 2 + 1 + 22 + 3 + 1 + 1

    = 31 + 22 + 6.

    Diperoleh bilangan ajaib

    k = 31 + 22 + 6

    Dengan melihat peta dari V(MS1(2)) oleh f , yaitu

    1 = i = 1, 2, , n1

    2 = 1 + 2 + i = 1, 2, , n2

  • 29

    01 = 1 + 2

    02 = 1 + 1

    maka terlihat bahwa V(MS1(2)) dipetakan ke

    {1, 2, 3, , n1 + n2 + 2} = {1, 2, 3, , p(MS1(2))}.

    Dengan demikian, terbukti bahwa MS1(2) adalah super sisi ajaib.

    Teorema 2.

    Graf multi star MS1(3) adalah super sisi ajaib dengan bilangan ajaib

    k = 31 + 22 + 33 + 8

    Bukti

    Graf MS1(3) dapat digambarkan sebagai berikut:

    Diperoleh bahwa p(MS1(3)) + q(MS

    1(3)) = 2(n1 + n2 + n3) + 5.

    Konstruksi suatu relasi f dari

    V(MS1(3)) E(MS

    1(3))

    ke

    {1, 2, 3, , 2(n1 + n2 + n3) + 5}

    MS1(3):

    v10

    v12

    v13

    v14 v1

    n1

    v11

    v20

    v22

    v23

    v24 v2

    n2

    v21

    v30

    v32

    v33

    v34 v3

    n3

    v31

  • 30

    dengan aturan sebagai berikut :

    1 = i = 1, 2, , n1

    2 = 1 + 3 + 2 + i = 1, 2, , n2

    3 = 1 + 1 + i = 1, 2, , n3

    01 = 1 + 3 + 2

    02 = 1 + 1

    03 = 1 + 2 + 3 + 3

    01

    1 = 21 + 22 + 23 + 6 i = 1, 2, , n1

    02

    2 = 1 + 22 + 23 + 5 i = 1, 2, , n2

    02

    3 = 1 + 2 + 23 + 4 i = 1, 2, , n3

    010

    2 = 1 + 22 + 23 + 5

    020

    3 = 1 + 2 + 23 + 4

    Dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa f adalah fungsi bijektif. Selanjutnya

    akan ditunjukkan bahwa f adalah pelabelan total sisi ajaib.

    Untuk sisi 01

    1 diperoleh

    01 + 0

    11 +

    1 = 1 + 3 + 2 + 21 + 22 + 23 + 6 +

    = 31 + 22 + 33 + 8.

    Untuk sisi 02

    2 diperoleh

    02 + 0

    22 +

    2

    = 1 + 1 + 1 + 22 + 23 + 5 + 1 + 3 + 2 +

    = 31 + 22 + 33 + 8.

    Untuk sisi 03

    3 diperoleh

  • 31

    03 + 0

    33 +

    3

    = 1 + 2 + 3 + 3 + 1 + 2 + 23 + 4 + 1 + 1 +

    = 31 + 22 + 33 + 8.

    Untuk sisi 010

    2 diperoleh

    01 + 0

    102 + 0

    2 = 1 + 3 + 2 + 1 + 22 + 23 + 5 + 1 + 1

    = 31 + 22 + 33 + 8

    Untuk sisi 020

    3 diperoleh

    02 + 0

    203 + 0

    3

    = 1 + 1 + 1 + 2 + 23 + 4 + 1 + 2 + 3 + 3

    = 31 + 22 + 33 + 8

    Diperoleh bilangan ajaib

    k = 31 + 22 + 33 + 8

    Dengan melihat peta dari V(MS1(3)) oleh f , yaitu

    1 = i = 1, 2, , n1

    2 = 1 + 3 + 2 + i = 1, 2, , n2

    3 = 1 + 1 + i = 1, 2, , n3

    01 = 1 + 3 + 2

    02 = 1 + 1

    03 = 1 + 2 + 3 + 3

    maka terlihat bahwa V(MS1(3)) dipetakan ke

    {1, 2, 3, , 1 + 2 + 3 + 3} = {1, 2, 3, , p(MS1(3))}.

    Dengan demikian, terbukti bahwa MS1(3) adalah super sisi ajaib.

  • 32

    Teorema 3.

    Graf multi star tipe 1 MS1(m) adalah super sisi ajaib, untuk bilangan asli m,

    dengan bilangan ajaib

    Bukti

    Graf multi star tipe 1 MS1(m) dapat digambar sebagai berikut.

    MS1(m) mempunyai himpunan titik dan himpunan sisi sebagai berikut:

    MS1() = {11 , 2

    1 , , 11 , 1

    2 , 22 , , 2

    2 , , , , 0

    1 , 02,,0

    3 , ,0 }, dan

    MS1() = 0

    , = 1, 2, , ; = 1, 2, , {1

    00

    kkvv , k = 1, 2, , m 1}.

    Jadi, MS1(m) mempunyai order

    p(MS1(m)) = n1 + n2 + n3 + + nm + m

    dan mempunyai ukuran

    q(MS1(m)) = n1 + n2 + n3 + + nm + (m 1).

    Dengan demikian, maka p + q = 2(n1 + n2 + n3 + + nm) + 2m 1.

    Untuk m ganjil, konstruksi suatu relasi f dari

    V(MS1(m)) E(MS

    1(m))

    ke

    MS1(m):

    v10

    v12

    v13

    v14 v1

    n1

    v11

    v20

    v22

    v23

    v24 v2

    n2

    v21

    vm0

    vm2

    vm3

    vm4 vm

    nm

    vm1

  • 33

    {1, 2, 3, , 2(n1 + n2 + n3 + + nm) + 2m 1}

    dengan aturan sebagai berikut :

    0 =

    1 + 3 + + 1 +

    2,

    1 + 3 + + +1

    2+ 2 + 4 + + 1 +

    +1

    2 ,

    =

    1 + 3 + + + 1

    2, ; = 1,2, ,

    1 + 3 + + + 1

    2+ 2 + 4 + + +

    2 , ; = 1,2, ,

    0

    =

    1 + 3 ++ 1 + 2 +1 + +3 + +

    +2 + 4 ++ 2 + 2 + +2 + + 1 + 2 + 1,

    1 + 3 ++ 2 + + 2 +2 + +4 ++

    +2 + 4 + + 1 + 2 +1 + +3 + + 1 + 2 + 1,

    00

    +1 =

    1 + 3 + + 1 + 2 +1 + +3 ++

    +2 + 4 + + + 2 +2 + +4 ++ 1 + 2 ,

    1 + 3 ++ + 2 +2 + +4 + +

    +2 + 4 ++ 1 + 2 +1 + +3 ++ 1 + 2 ,

    Relasi f akan menghasilkan pelabelan super sisi ajaib pada graf multi star

    MS1(m) dengan bilangan ajaib

    = 3 1 + 3 + + + 2 2 + 4 + + 1 +5 + 1

    2

    untuk bilangan asli ganjil m.

    Untuk m genap, konstruksi suatu relasi f dari

    V(MS1(m)) E(MS

    1(m))

    ke

    {1, 2, 3, , 2(n1 + n2 + n3 + + nm) + 2m 1}

    dengan aturan sebagai berikut :

    0 =

    1 + 3 + + 1 +

    2,

    1 + 3 + + 1 +

    2+ 2 + 4 + + 1 +

    +1

    2 ,

  • 34

    =

    1 + 3 + + + 1

    2, ; = 1,2, ,

    1 + 3 + + 1 +

    2+ 2 + 4 + + +

    2 , ; = 1,2, ,

    0

    =

    1 + 3 ++ 1 + 2 +1 + +3 ++ 1

    +2 + 4 ++ 2 + + 2 +2 + +4 + + + 2 + 1,

    1 + 3 ++ 2 + + 2 +2 + +4 + + 1

    +2 + 4 + + 1 + 2 +1 + +3 ++ + 2 + 1,

    00

    +1 =

    1 + 3 ++ 1 + 2 +1 + +3 ++ 1

    +2 + 4 + + + 2 +2 + +4 ++ + 2 ,

    1 + 3 ++ + 2 +2 + +4 ++ 1

    +2 + 4 ++ 1 + 2 +1 + +3 ++ + 2 ,

    Relasi f akan menghasilkan pelabelan super sisi ajaib pada graf multi star

    MS1(m) dengan bilangan ajaib

    = 3 1 + 3 + + 1 + 2 2 + 4 + + +5 + 2

    2

    untuk bilangan asli ganjil m.

    B. Pelabelan Super Sisi Ajaib pada Graf Multi Star Tipe 2 MS2(m)

    Graf yang diperoleh dari gabungan m

    i

    niS

    1

    ditambah titik vi (i = 1, 2, , m 1)

    dan sisi iv0 vi serta v

    i 10

    iv (i = 1, 2, , m 1), dalam penelitian ini disebut graf multi

    star tipe 2 dan dilambangkan dengan MS2(m). Berikut adalah gambar graf multi star

    tipe 2.

    MS2(m):

    v10

    v12

    v13

    v14 v1

    n1

    v11

    v20

    v22

    v23

    v24 v2

    n2

    v21

    vm0

    vm2

    vm3

    vm4 vm

    nm

    vm1

    v1 v1 v

    (m-1)

  • 35

    Maka diperoleh,

    =

    11 ,2

    1 , , 11 , 1

    2 , 22 , , 2

    2 , ,

    01 , 0

    2,,03 , , 0

    1 ,2 ,3 , ,

    = 0

    111 , 0

    121 , , 0

    111 , 0

    212 , 0

    222 , , 0

    222 , , 0

    , 02

    , , 0

    011 , 0

    21 , 022 , , 0

    21 , 01

    Jadi, MS2(m) mempunyai order

    p(MS2(m)) = n1 + n2 + n3 + + nm + 2m 1

    dan mempunyai ukuran

    q(MS2(m)) = n1 + n2 + n3 + + nm + 2(m 1).

    Dengan demikian, maka p + q = 2(n1 + n2 + n3 + + nm) + 4m 3.

    Teorema 4:

    Graf multi star MS2(2) adalah super sisi ajaib dengan konstanta ajaib

    = 3 1 + 2 + 8.

    Bukti:

    Misal G = MS2(2), maka G dapat digambarkan sebagai berikut:

    Maka

    MS2(2):

    v1 v10

    v12

    v13

    v14 v1

    n1

    v11

    v20

    v22

    v23

    v24 v2

    n2

    v21

  • 36

    = 11 , 2

    1 , 31 , , 1

    1 ;12 , 2

    2 , 32 , , 2

    2 ; 01 , 0

    2; 1

    dan

    =

    011

    1 ,012

    1 , , 011

    1 ; 021

    2 , 022

    2 , , 022

    2 ; 011 , 0

    21

    Jadi akan diperoleh:

    = 1 + 2 + 3, dan = 1 + 2 + 2.

    Sehingga + = 2(1 + 2) + 5

    Misalkan dibuat pelabelan sebagai berikut:

    1

    3

    2

    1n

    221 nn

    11 n

    321 nn

    21 n 31 n

    41 n121 nn

    Terdapat pola pelabelan f sebagai berikut:

    = 1 + 1 + , 1 , 1 2

    0 = 1 + 2 + + 1 , 1 2

    = + , = 1

    01

    1 = 21 + 22 + 6 , 1 1

    02

    2 = 1 + 22 + 4 , 1 2

    0 = 1 + 2+1 + 7 + , 1 2, = 1

    Dapat ditunjukkan bahwa adalah fungsi, yang memetakan () () ke

    1, 2, 3, , + . Karena = 1, 2, 3, , + dan dapat

  • 37

    ditunjukkan injektif maka sudah pasti adalah surjektif. Karena injektif

    juga sekaligus surjektif, maka bijektif.

    Akan ditunjukkan bahwa untuk masing-masing sisi di berlaku

    + + =

    a. Untuk sisi 01

    1 di diperoleh:

    01 + 0

    11 + = 1 + 2 + 2 + 21 + 22 + 6 +

    = 31 + 32 + 8

    b. Untuk sisi 02

    2 di diperoleh:

    02 + 0

    22 +

    2

    = 1 + 2 + 3 + 1 + 22 + 4 + (1 + 1 + )

    = 31 + 32 + 8

    c. Untuk sisi 01 di diperoleh:

    0 + 0

    1 + 1

    = 1 + 2 + + 1 + 1 + 22 + 7 + 1

    + 1 + 1

    = 31 + 32 + 8

    Jadi adalah super sisi ajaib dengan bilangan ajaib:

    = 31 + 32 + 8

    Akan ditunjukkan bahwa memetakan ke 1, 2, 3, , .

    a) Titik

    Diketahui = 1 + 1 + , 1 , 1 2

    Karena 1

  • 38

    Maka 1 + 1 + 1 1 + 1 + 1 + 1 +

    1 + 1 + 1 + 1 + 1 +

    1 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + < 1 + 2 + 3

    1 1 + 1 + < 1 + 2 + 3

    Jadi 1 <

    b) Titik 0

    Diketahui 0 = 1 + 2 + + 1 , 1 2

    Karena 1 2

    Maka (1 + 2 + 1) + 1 (1 + 2 + 1) + (1 + 2 + 1) + 2

    1 + 2 + 2 1 + 2 + + 1 1 + 2 + 3

    1 + 2 + 2 1 + 2 + + 1 1 + 2 + 3

    1 < 1 + 2 + 2 1 + 2 + + 1 1 + 2 + 3

    1 < 1 + 2 + + 1 1 + 2 + 3

    Jadi 1 < 0

    c. Titik

    Diketahui = + , = 1

    Dengan = 1, pola untuk titik bisa ditulis 1 = 1 + 1.

    Karena 1 < 1 + 1 < 1 + 2 + 3

    Maka 1 < <

    Jadi terbukti bahwa memetakan ke 1, 2, 3, , .

    Terbukti bahwa graf adalah super sisi ajaib.

  • 39

    Teorema 5:

    Graf multi star MS2(3) adalah super sisi ajaib dengan konstanta ajaib

    = 3(1 + 2 + 3) + 13.

    Bukti:

    Misal G = MS2(3), maka G dapat digambarkan sebagai berikut:

    Maka

    () = 11 , 2

    1 , ,11 ; 1

    2 ,22 , , 2

    2 ; 13 , 2

    3 , , 33 ;0

    1 , 02 , 0

    3 ;1 ,2

    dan

    =

    0

    111 , 0

    121 , ,0

    111 ; 0

    212 ,0

    222 , , 0

    222 ;0

    313 ,0

    323 , , 0

    333 ;

    011 , 0

    21 , 022 ,0

    32

    Jadi akan diperoleh:

    = 1 + 2 + 3 + 5, dan = 1 + 2 + 3 + 4.

    Maka + = 1 + 2 + 3 + 5 + 1 + 2 + 3 + 4

    = 2(1 + 2 + 3) + 9

    Diberikan pelabelan f pada titik sebagai berikut:

    MS2(3):

    v1 v10

    v12

    v13

    v14 v1

    n1

    v11

    v20

    v22

    v23

    v24 v2

    n2

    v21

    v20

    v32

    v33

    v34 v3

    n3

    v31

    v2

  • 40

    1n

    11 n

    21 n 31 n

    41 n121 nn

    3

    21

    221 nn

    321 nn 421 nn

    521 nn2321 nnn

    3321 nnn 4321 nnn5321 nnn

    Terdapat pola pelabelan graf sebagai berikut:

    = 2 + 1 + 1 + , 1 , 1 3

    0 = 1 + 2 + 3 + + 2 , 1 3

    = 1 + + + , 1 2

    01

    1 = 21 + 22 + 23 + 10 , 1 1

    02

    2 = 1 + 22 + 23 + 8 , 1 2

    03

    3 = 1 + 2 + 23 + 6 , 1 3

    0 = 1 + 2 + + + 2 +1 + + 23 + 11 + ,

    1 3, ( 1)

    Dapat ditunjukkan bahwa adalah fungsi, yang memetakan () () ke

    1, 2, 3, , + . Karena = 1, 2, 3, , + dan dapat

    ditunjukkan injektif maka sudah pasti adalah surjektif. Karena injektif

    juga sekaligus surjektif, maka bijektif.

    Akan ditunjukkan bahwa untuk masing-masing sisi di berlaku

    + + =

    a. Untuk sisi 01

    1 di diperoleh:

  • 41

    01 + 0

    11 +

    1

    = 1 + 2 + 3 + 3 + 21 + 22 + 23 + 10 +

    = 3 1 + 2 + 3 + 13

    b. Untuk sisi 02

    2 di diperoleh:

    02 + 0

    22 +

    2

    = 1 + 2 + 3 + 4 + 1 + 22 + 23 + 8 + (1 + 1

    + )

    = 3 1 + 2 + 3 + 13

    c. Untuk sisi 03

    3 di diperoleh:

    03 + 0

    33 +

    3

    = 1 + 2 + 3 + 5 + 1 + 2 + 23 + 6 + (1 + 2

    + 2 + )

    = 3 1 + 2 + 3 + 13

    d. Untuk sisi 0 di diperoleh:

    0 + (0

    ) +

    = 1 + 2 + 3 + + 2

    + 1 + 2 + + + 2 +1 + + 23 + 11 +

    + 1 + + +

    = 3 1 + 2 + 3 + 13

    Jadi adalah super sisi ajaib dengan bilangan ajaib:

    = 3 1 + 2 + 3 + 13

    Akan ditunjukkan bahwa memetakan ke 1, 2, 3, , .

  • 42

    a. Titik

    Diketahui = 2 + 1 + 1 + , 1 , 1 3

    Karena 1

    Maka 2 + 1 + 1 + 1 2 + 1 + 1 +

    2 + 1 + 1 +

    2 + 1 + 2 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 +

    1 2 + 1 + 2 + 1 + 1 +

    2 + 1 + 1 + < 1 + 2 + 3 + 5

    1 2 + 1 + 1 + < 1 + 2 + 3 + 5

    Jadi 1 <

    b. Titik 0

    Diket 0 = 1 + 2 + 3 + + 2 , 1 3

    Karena 1 3

    Maka (1 + 2 + 3 + 2) + 1 (1 + 2 + 3 + 2) + (1 + 2 + 3 +

    2) + 3

    1 + 2 + 3 + 3 1 + 2 + 3 + + 2 1 + 2 + 3 + 5

    1 < 1 + 2 + 3 + 3 1 + 2 + 3 + + 2 1 + 2 + 3 + 5

    1 < 1 + 2 + 3 + + 2 1 + 2 + 3 + 5

    Jadi 1 < 0

    c. Titik

    Diketahui = 1 + + + , 1 2

    Karena 1 2

  • 43

    Maka 1 + + + 1 1 + + + 1 + + + 2

    1 < 1 + + + 1 1 + + + 1 + + + 2

    < 1 + 2 + 3 + 5

    Jadi 1 < <

    Jadi terbukti bahwa memetakan ke 1, 2, 3, , .

    Terbukti bahwa graf adalah super sisi ajaib.

    Teorema 6:

    Graf multi star MS2(4) adalah super sisi ajaib dengan konstanta ajaib

    = 3(1 + 2 + 3 + 4) + 18

    Bukti:

    Misal G = MS2(4), maka G dapat digambar sebagai berikut:

    1

    1V1

    2V

    1

    3V1

    1nV

    2

    1V2

    2V

    2

    3V2

    2nV

    1

    0V2

    0V

    1V3

    0V

    3

    3V3

    3nV

    3

    1V3

    2V

    4

    0V2V 3V

    4

    1V4

    2V

    4

    3V4

    4nV

    Maka

    () = 1

    1 ,21 , , 1

    1 ; 12 , 2

    2 , , 22 ;1

    3 , 23 , ,3

    3 ;14 ,2

    4 , ,44

    01 ,0

    2 , 03 , 0

    4 ;1 ,2 , 3

    dengan

    adalah titik pada

    dengan 0

    sebagai titik pusat, dan i = 1, 2, , nj serta

    j = 1, 2, 3, 4.

  • 44

    adalah titik pengait antara 0 dengan 0

    +1, untuk l = 1, 2, 3.

    Maka

    =

    0

    111 , 0

    121 , ,0

    111 ; 0

    212 ,0

    222 , , 0

    222 ;

    031

    3 ,032

    3 , , 033

    3 ;041

    4 ,042

    4 , , 044

    4

    011 ,0

    21 ,022 ,0

    32 , 033 , 0

    43

    Jadi akan diperoleh:

    = 1 + 2 + 3 + 4 + 7, dan = 1 + 2 + 3 + 4 + 6.

    Maka + = 1 + 2 + 3 + 4 + 7 + 1 + 2 + 3 + 4 + 6

    = 2(1 + 2 + 3 + 4) + 13

    Buat relasi f dari V(G) E(G) ke {1, 2, 3, , 2(1 + 2 + 3 + 4) + 13}

    dengan aturan berikut

    = 3 + 2 + 1 + 1 + , 1 , 1 4

    0 = 1 + 2 + 3 + 4 + + 3 , 1 4

    = 1+2 + + + ,1 3

    01

    1 = 21 + 22 + 23 + 24 + 14 , 1 1

    02

    2 = 1 + 22 + 23 + 24 + 12 , 1 2

    03

    3 = 1 + 2 + 23 + 24 + 10 , 1 3

    04

    4 = 1 + 2 + 3 + 24 + 8 , 1 4

    0 = 1 + 2 + + + 2(+1) + 2(+2) + + 24 + 15

    + , 1 4, ( 1)

    Dapat ditunjukkan bahwa adalah fungsi, yang memetakan () () ke

    1, 2, 3, , + . Karena = 1, 2, 3, , + dan dapat

  • 45

    ditunjukkan injektif maka sudah pasti adalah surjektif. Karena injektif

    juga sekaligus surjektif, maka bijektif.

    Akan ditunjukkan bahwa untuk masing-masing sisi di berlaku +

    + =

    a. Untuk sisi 01

    1 di diperoleh:

    01 + 0

    11 +

    1

    = 1 + 2 + 3 + 4 + 4

    + 21 + 22 + 23 + 24 + 14 +

    = 3 1 + 2 + 3 + 4 + 18

    b. Untuk sisi 02

    2 di diperoleh:

    02 + 0

    22 +

    2 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 1 + 22 +

    23 + 24 + 12 + (1 + 1 + )

    = 3 1 + 2 + 3 + 4 + 18

    c. Untuk sisi 03

    3 di diperoleh:

    03 + 0

    33 +

    3

    = 1 + 2 + 3 + 4 + 6

    + 1 + 2 + 23 + 24 + 10 + (1 + 2 + 2 + )

    = 3 1 + 2 + 3 + 4 + 18

    d. Untuk sisi 04

    4 di diperoleh:

    04 + 0

    44 +

    4

    = 1 + 2 + 3 + 4 + 7 + 1 + 2 + 23 + 24 + 8

    + (1 + 2 + 3 + 3 + )

  • 46

    = 3 1 + 2 + 3 + 4 + 18

    e. Untuk sisi 0 di diperoleh:

    0 + (0

    ) +

    = 1 + 2 + 3 + 4 + + 3

    + 1 + 2 + + + 2 +1 + 2 +2 + + 24 + 15

    + + 1+2 + + +

    = 3 1 + 2 + 3 + 4 + 18

    Jadi adalah total sisi ajaib dengan bilangan ajaib:

    = 3 1 + 2 + 3 + 4 + 18

    Akan ditunjukkan bahwa memetakan ke 1, 2, 3, , .

    a. Titik

    Diketahui = 3 + 2 + 1 + 1 + , 1 ,

    1 4

    Karena 1

    Maka

    3 + 2 + 1 + 1 + 1 3 + 2 + 1 + 1 +

    3 + 2 + 1 + 1 +

    3 + 2 + 1 + 3 + 2 + 1 + 1 +

    3 + 2 + 1 + 1 +

    1 3 + 2 + 1 + 3 + 2 + 1 + 1 +

    3 + 2 + 1 + 1 +

    < 1 + 2 + 3 + 4 + 7

  • 47

    1 3 + 2 + 1 + 1 + < 1 + 2 + 3 + 4 + 7

    Jadi 1 <

    d. Titik 0

    Diket 0 = 1 + 2 + 3 + 4 + + 3 , 1 4

    Karena 1 4

    Maka (1 + 2 + 3 + 4 + 3) + 1 (1 + 2 + 3 + 4 + 3) + (1 +

    2 + 3 + 4 + 3) + 4

    1 + 2 + 3 + 4 + 4 1 + 2 + 3 + 4 + + 3

    1 + 2 + 3 + 4 + 7

    1 < 1 + 2 + 3 + 4 + 4 1 + 2 + 3 + 4 + + 3

    1 + 2 + 3 + 4 + 7

    Jadi 1 < 0

    e. Titik

    Diketahui = 1+2 + + + ,1 3

    Karena 1 3

    Maka

    1+2 + + + 1 1+2 + + + 1+2 + + + 3

    1 < 1+2 + + + 1 1+2 + + + 1+2 + + + 3

    < 1 + 2 + 3 + 4 + 7

    Jadi 1 < <

    Jadi terbukti bahwa memetakan ke 1, 2, 3, , .

    Terbukti bahwa graf adalah super sisi ajaib.

  • 48

    Berdasarkan pola pelabelan titik dan sisi pada graf multi star MS2(2),

    MS2(3), dan MS

    2(4), maka dapat diambil suatu generalisasi untuk pola pelabelan

    titik dan sisi pada graf multi star MS2(m) sebagai berikut:

    a. Titik

    = 2 = 1 + 1 +

    = 3 = 2 + 1 + 1 +

    = 4 = 3 + 2 + 1 + 1 +

    Jadi disimpulkan:

    = (1) + (2) + + 1 + 1 +

    = 1 + 2 + + 1 + 1 + , 1 , 1

    b. Titik 0

    = 2 0 = 1 + 2 + + 1

    = 3 0 = 1 + 2 + 3 + + 2

    = 4 0 = 1 + 2 + 3 + 4 + + 3

    Jadi disimpulkan:

    0 = 1 + 2 + 3 + + + + ( 1), 1 , 2

    c. Titik

    = 2 = 1 + + +

    = 3 = 1 + + +

    = 4 = 1+ 2 + + +

    Jadi disimpulkan: = 1+2 + + + , 1 1

  • 49

    d. Sisi 0

    1. Sisi 01

    1

    = 2 01

    1 = 21 + 22 + 6

    = 3 01

    1 = 21 + 22 + 23 + 10

    = 4 01

    1 = 21 + 22 + 23 + 24 + 14

    Jadi disimpulkan: 01

    1 = 2 1 + 2 + + + 4 2

    2. Sisi 02

    2

    = 2 02

    2 = 1 + 22 + 4

    = 3 02

    2 = 1 + 22 + 23 + 8

    = 4 02

    2 = 1 + 22 + 23 + 24 + 12

    Jadi disimpulkan: 02

    2 = 1 + 2 2 + 3 + + + 4 4

    3. Sisi 03

    3

    = 2 03

    3 tidak ada

    = 3 03

    3 = 1 + 2 + 23 + 6

    = 4 03

    3 = 1 + 2 + 23 + 24 + 10

    Jadi disimpulkan: 03

    3 = 1 + 2 + 2 3 + + + 4 6

    4. Sisi 04

    4

    = 2 04

    4 =tidak ada

    = 3 04

    4 =tidak ada

    = 4 04

    4 = 1 + 2 + 3 + 24 + 8

    Jadi disimpulkan:

    04

    4 = 1 + 2+3 + 2 4 + + + 4 8

  • 50

    Sehingga, untuk sisi 0

    :

    01

    1 = 2 1 + 2 + + + 4 2

    02

    2 = 1 + 2 2 + 3 + + + 4 4

    03

    3 = 1 + 2 + 2 3 + + + 4 6

    04

    4 = 1 + 2+3 + 2 4 + + + 4 8

    Jadi disimpulkan:

    0

    = 1 + 2 + + (1) + 2 + +1 + + + 4 2 ,

    1 , 1 , 2

    e. Sisi 0

    = 2 0 = 1 + 2+1 + 7 +

    = 3 0 = 1 + 2 + + + 2 +1 + + 23 + 11 +

    = 4 0

    = 1 + 2 + + + 2(+1) + + 24 + 15 +

    Jadi disimpulkan:

    0

    = 1 + 2 + + + 2 +1 + +2 + + + 4 + + 1 ,

    2, ( 1)

    f. Bilangan ajaib :

    = 2 = 3(1 + 2) + 8

    = 3 = 3(1 + 2 + 3) + 13

    = 4 = 3(1 + 2 + 3 + 4) + 18

    Jadi disimpulkan: = 3(1 + 2 + + ) + 5 2, 2

    Dari beberapa pola di atas, maka dapat dibuat generalisasi dalam bentuk

    teorema berikut:

  • 51

    Teorema 7:

    Graf multi star MS2(m) adalah super sisi ajaib, untuk bilangan asli m, dengan

    konstanta ajaib

    = 3(1 + 2 + + ) + 5 2, 2

    Bukti:

    =

    11 ,2

    1 , , 11 , 1

    2 , 22 , , 2

    2 , ,

    01 , 0

    2,,03 , , 0

    1 ,2 ,3 , ,

    = 0

    111 , 0

    121 , , 0

    111 , 0

    212 , 0

    222 , , 0

    222 , , 0

    , 02

    , , 0

    011 , 0

    21 , 022 , , 0

    21 , 01

    Jadi, MS2(m) mempunyai order

    p(MS2(m)) = n1 + n2 + n3 + + nm + 2m 1

    dan mempunyai ukuran

    q(MS2(m)) = n1 + n2 + n3 + + nm + 2(m 1).

    Dengan demikian, maka p + q = 2(n1 + n2 + n3 + + nm) + 4m 3.

    Buat pola pelabelan f pada graf G = MS2(m) sebagai berikut:

    1. = 1 + 2 + + 1 + 1 + , 1 , 1

    MS2(m):

    v10

    v12

    v13

    v14 v1

    n1

    v11

    v20

    v22

    v23

    v24 v2

    n2

    v21

    vm0

    vm2

    vm3

    vm4 vm

    nm

    vm1

    v1 v1 v

    (m-1)

  • 52

    2. 0 = 1 + 2 + 3 + + + + ( 1), 1

    3. = 1+2 + + + , 1 ( 1)

    4. 0

    = 1 + 2 + + (1) + 2 + +1 + + + 4 2

    , 1 , 1

    5. 0 = 1 + 2 + + + 2 +1 + +2 + + + 4

    + + 1 , 1 , ( 1)

    Maka dapat ditunjukkan bahwa f adalah fungsi bijektif.

    Akan ditunjukkan bahwa untuk masing-masing sisi di berlaku +

    + =

    a. Untuk sisi 0

    di diperoleh:

    0 + 0

    +

    = 1 + 2 + 3 + + + + 1

    + 1 + 2 + + (1) + 2 + +1 + + + 4

    2 + 1 + 2 + + 1 + 1 +

    = 3 1 + 2 + + + 5 2

    b. Untuk sisi 0 di diperoleh:

    0 + 0

    +

    = 1 + 2 + 3 + + + + 1

    + 1 + 2 + + + 2 +1 + +2 + + + 4

    + + 1 + 1+2 + + +

    = 3 1 + 2 + + + 5 2

  • 53

    Jadi adalah super sisi ajaib dengan bilangan ajaib:

    = 3 1 + 2 + + + 5 2

    Akan ditunjukkan bahwa memetakan ke 1, 2, 3, , .

    a. Titik

    Diketahui = 1 + 2 + + 1 + 1 + , 1 , 1

    Karena 1 , 1

    Maka 1

    1 + 2 + + 1 + 1 + 1 1 + 2 + + 1 + 1 + 1

    + 2 + + 1 + 1 +

    1 + 2 + + 1 + 1 + 2 + + 1 + 1 + 1 + 2 +

    + 1 + 1 +

    1 1 + 2 + + 1 + 1 + 2 + + 1 + 1 + 1 + 2

    + + 1 + 1 + < 1 + 2 ++ + 2 1

    1 1 + 2 + + 1 + 1 + < 1 + 2 + + + 2 1

    Jadi 1

    b. Titik 0

    Diket 0 = 1 + 2 + 3 + + + + 1 , 1

    Karena 1

    Maka 1 + 2 + 3 + + + 1 + 1 1 + 2 + 3 +

    + + 1 + 1 + 2 + 3 + + + 1 +

  • 54

    1 + 2 + 3 + + + 1 + 2 + 3 + + + + 1

    1 + 2 + 3 + + + 2 1

    1 < 1 + 2 + 3 + + +

    1 + 2 + 3 + + + + 1

    1 + 2 + 3 + + + 2 1

    1 < 1 + 2 + 3 + + + + 1 1 + 2 + 3 +

    + + 2 1

    Jadi 1 < 0

    c. Titik

    Diket = 1+2 + + + , 1 1

    Karena 1 1

    Maka 1+2 + + + 1 1+2 + + + 1+2 + + +

    1

    1 < 1+2 + + + 1 1+2 + + +

    1+2 + + + 1

    < 1 + 2 + 3 + + + 2 1

    1 < 1+2 + + + 1 1+2 + + +

    < 1 + 2 + 3 + + + 2 1

    Jadi 1 < <

    Jadi terbukti bahwa memetakan ke 1, 2, 3, , .

    Dengan demikian, terbukti bahwa = 2() adalah super sisi ajaib.

  • 55

    C. Pelabelan Total Sisi Ajaib pada Graf Hairy Cycle Cn

    Misalkan 1n

    S , 2n

    S , 3n

    S , ., mn

    S adalah graf star masing-masing beroder

    n1, n2, n3, , dan nm, serta iv0 adalah titik pusat dari inS . Graf yang diperoleh dari

    gabungan m

    i

    niS

    1

    ditambah sisi iv01

    0

    iv (i = 1, 2, , m 1) dan mvv 01

    0 adalah graf

    sikel berambut (Hairy Cycle), dan dinotasikan dengan Cm. Dalam penelitian ini

    juga ditunjukkan pelabelan pada graf hairy cycle, dengan kasus khusus pada

    n1 = n2 = n3 = = nm = c.

    Teorema 8:

    Graf Hairy Cycle 4 dengan m rambut untuk masing-masing titik pada

    sikel adalah total sisi ajaib.

    Bukti:

    Pelabelan total sisi ajaib pada suatu graph dengan order dan ukuran

    adalah fungsi bijektif dari ke himpunan bilangan bulat {1,2,3, ,

    + } sedemikian hingga untuk masing-masing sisi di berlaku

    + + = , dengan k konstanta. Maka untuk membuktikan

    teorema 3.1 perlu ditunjukkan bahwa :

    i) adalah fungsi bijektif dari ke himpunan bilangan bulat

    {1,2,3, , + }

    ii) untuk masing-masing sisi di berlaku

    + + =

    Misal:

    = (0, 1, 2, 3, , , 0 , 1 , 2, 3 , , , 0, 1, 2, 3, , )

    yang dikelompokkan sebagai berikut:

  • 56

    1 = 0 , 1, 2, 3, ,

    2 = ( 0, 1 , 2 , 3 , , )

    3 = 0, 1, 2, 3, ,

    Dimana:

    0 sebagai titik pusat 1 dan 1, 2, 3, , sebagai titik ujung

    1 . 0 sebagai titik pusat 2 dan 1, 2 , 3, , sebagai titik

    ujung 2 . 0 sebagai titik pusat 3 dan 1, 2 , 3 , , sebagai

    titik ujung 3 . Sedangkan 0 , 0dan 0 saling terhubung.

    =

    (01, 02 , , 0 , 00 , 01, 02 , , 0 , 00, . . . , 0 , 00)

    yang dikelompokkan sebagai berikut:

    1 = (01 , 02, , 0 , 00)

    2 = ( 01 , 02 , , 0 , 00)

    3 = ( 01, 02, , 0 , 00)

    Jadi untuk 3 dengan rambut

    = 3( + 1), dan = 3( + 1).

    Maka + = 3( + 1) + 3( + 1)

    = 6( + 1)

    Graf Hairy Cycle 3 dengan rambut dapat digambar sebagai berikut:

    0a

    0b

    0c

    1a

    4a

    3a

    2a

    ma

    1b

    2b

    3b

    4b

    mb

    1c

    3c

    2c

    4c

    mc

    Gambar 3.8: Graf 3

    Dengan Rambut

  • 57

    dengan pelabelan sebagai berikut:

    1

    2

    3

    11 c

    14 c

    13 c

    12 c

    1mc

    11 a

    12 a

    13 a 14 a

    1ma

    1n

    12 b

    11 b

    13 b

    11 mb Gambar 3.9: Pelabelan Graf 3

    Dengan Rambut

    Definisikan fungsi dari ke 1,2,3, , + dengan

    pengaitan sebagai berikut:

    a. 0 1

    b. 3 + 2 untuk = 1,2,3, ,

    c. 0 6 + 6 3 untuk = 1,2,3, ,

    d. 00 6 + 6 untuk = 1,2,3, ,

    e. 0 2

    f. 3 + 3 untuk = 1,2,3, ,

    g. 0 6 + 4 3 untuk = 1,2,3, ,

    h. 00 6 + 4 untuk = 1,2,3, ,

    i. 0 3

    j. 3 + 1 untuk = 1,2,3, ,

    k. 0 6 + 5 3 untuk = 1,2,3, ,

    l. 00 6 + 5 untuk = 1,2,3, ,

    Maka:

    i) Akan ditunjukkan bahwa adalah fungsi bijektif dari ()

    () ke himpunan bilangan bulat {1, 2, 3, , + }

    1) adalah fungsi injektif

  • 58

    Untuk titik di

    Ambil dan titik di dengan = ( ). Akan dibuktikan =

    sedemikian hingga = .

    a. Untuk 1 , dan 1 .

    Karena = ( )

    Maka =

    Jadi =

    b. Untuk 1 , dan 1 .

    Karena = ( )

    Maka + 2 = + 2

    =

    Jadi =

    c. Untuk 1 , dan 1 .

    Karena = ( )

    Maka + 3 = + 3

    =

    Jadi =

    d. Untuk 1 , dan 1 .

    Karena = ( )

    Maka + 1 = + 1

    =

    Jadi =

    Untuk sisi di

  • 59

    a. Untuk 1 , dan 1 .

    Ambil 0 dan 0 sisi di dengan (0) = (0 )

    Akan dibuktikan = sedemikian hingga 0 = 0 .

    Karena 0 = (0 )

    Maka 6 + 6 3 = 6 + 6 3

    =

    Jadi 0 = 0 .

    b. Untuk 1 , dan 1

    Ambil 0 dan 0 sisi di dengan (0) = (0)

    Akan dibuktikan = sedemikian hingga 0 = 0 .

    Karena (0) = (0).

    Maka 6 + 4 3 = 6 + 4 3

    =

    Jadi 0 = 0 .

    c. Untuk 1 , dan 1

    Ambil 0 dan 0 sisi di dengan (0) = (0)

    Akan dibuktikan = sedemikian hingga 0 = 0 .

    Karena (0) = (0).

    Maka 6 + 5 3 = 6 + 5 3

    =

    Jadi 0 = 0 .

    Jadi merupakan fungsi injektif dari () () ke 1,2,3, , +

    2) adalah fungsi surjektif

  • 60

    Akan ditunjukkan bahwa () () dipetakan ke 1,2,3, , +

    a. Akan dibuktikan 1 +

    Diketahui = , 1

    Karena 1

    Maka 1 3 + 2

    1 3 + 2

    Jadi 1 +

    b. Akan dibuktikan 1 +

    Diketahui = , 1

    Karena 1

    Maka 1 3 + 3

    1 3 + 3

    Jadi 1 +

    c. Akan dibuktikan 1 +

    Diketahui = , 1

    Karena 1

    Maka 1 3 + 1

    1 3 + 1

    Jadi 1 +

    d. Akan dibuktikan 1 0 +

    Diketahui 0 = 2

    Karena 1 2 2( + 1)

    Jadi 1 0 +

    e. Akan dibuktikan 1 0 +

  • 61

    Diketahui 0 = 1

    Karena 1 1 2( + 1

    Jadi 1 0 +

    f. Akan dibuktikan 1 0 +

    Diketahui 0 =

    Karena 1 2( + 1

    Jadi 1 0 +

    g. Akan dibuktikan 1 0 +

    Diketahui 0 = 6 + 6 3, 1

    Karena 1

    Maka 1.1 1. 1.

    1

    6 + 6 2 1 6 + 6 2 6 + 6 2

    6 + 5 2 6 + 6 3 5 + 6 2

    1 6 + 5 2 6 + 6 3 5 + 6 2 6( + 1)

    1 6 + 6 3 6( + 1)

    Jadi 1 0 +

    h. Akan dibuktikan 1 0 +

    Diketahui 0 = 6 + 4 3, 1

    Karena 1

    Maka 1.1 1. 1.

    1

    6 + 4 2 1 6 + 4 2 6 + 4 2

    6 + 3 2 6 + 4 3 5 + 4 2

  • 62

    1 6 + 3 2 6 + 4 3 5 + 4 2 6( + 1)

    1 6 + 4 3 6( + 1)

    Jadi 1 0 +

    i. Akan dibuktikan 1 0 +

    Diketahui 0 = 6 + 5 3, 1

    Karena 1

    Maka 1.1 1. 1.

    1

    6 + 5 2 1 6 + 5 2 6 + 5 2

    6 + 4 2 6 + 5 3 5 + 5 2

    1 6 + 4 2 6 + 5 3 5 + 5 2 6( + 1)

    1 6 + 5 3 6( + 1)

    Jadi 1 0 +

    j. Akan dibuktikan 1 00 +

    Diketahui 00 = 6 + 6

    Karena 1 6 + 6 6 + 6

    Jadi 1 00 +

    k. Akan dibuktikan 1 00 +

    Diketahui 00 = 6 + 5

    Karena 1 6 + 5 6 + 6

    Jadi 1 00 +

    l. Akan dibuktikan 1 00 +

    Diketahui 00 = 6 + 4

    Karena 1 6 + 4 6 + 6

  • 63

    Jadi 1 00 +

    Sehingga dapat disimpulkan bahwa 1 + dan 1

    + . Artinya () () dipetakan ke 1, 2, 3, , + . Karena

    = 1, 2, 3, , + dan () adalah injektif maka

    sudah pasti () adalah surjektif. Karena () injektif juga sekaligus

    surjektif, maka () bijektif.

    ii) Akan ditunjukkan bahwa untuk masing-masing sisi di

    berlaku:

    + + =

    a. Untuk sisi 0 di diperoleh:

    0 + 0 + = 1 + 6 + 6 3 + 3 + 2 = 6 + 9

    b. Untuk sisi 0 di diperoleh:

    0 + 0 + = 2 + 6 + 4 3 + 3 + 3 = 6 + 9

    c. Untuk sisi 0 di diperoleh:

    0 + 0 + = 3 + 6 + 5 3 + 3 + 1 = 6 + 9

    d. Untuk sisi 00 di diperoleh:

    0 + 00 + 0 = 1 + 6 + 6 + 2 = 6 + 9

    e. Untuk sisi 00 di diperoleh:

    0 + 00 + 0 = 2 + 6 + 4 + 3 = 6 + 9

    f. Untuk sisi 00 di diperoleh:

    0 + 00 + 0 = 3 + 6 + 5 + 1 = 6 + 9

    Jadi graf Hairy Cycle 3 dengan rambut adalah total sisi ajaib dengan

    bilangan ajaib: = 6 + 9

  • 64

    Teorema 9:

    Graf Hairy Cycle 4 dengan m rambut pada masing-masing titik sikel

    adalah total sisi ajaib.

    Bukti:

    Pelabelan total sisi ajaib pada suatu graph dengan order dan ukuran

    adalah fungsi bijektif dari ke himpunan bilangan bulat {1,2,3, ,

    + } sedemikian hingga untuk masing-masing sisi di berlaku

    + + = , dengan k konstanta. Maka untuk membuktikan

    teorema 3.2 perlu ditunjukkan bahwa :

    i) adalah fungsi bijektif dari ke himpunan bilangan bulat

    {1, 2, 3, , + }

    ii) Untuk masing-masing sisi di berlaku + +

    =

    Misal:

    = (0, 1,2, , , 0, 1,2, , , 0, 1, 2, , , 0, 1, 2, , )

    yang dikelompokkan sebagai berikut:

    1 = 0 , 1, 2, 3, ,

    2 = ( 0, 1 , 2 , 3 , , )

    3 = 0, 1, 2, 3, ,

    4 = 0 , 1 , 2 , 3 , ,

    Dimana:

    0 sebagai titik pusat 1 dan 1, 2, 3, , sebagai titik ujung

    1 . 0 sebagai titik pusat 2 dan 1, 2 , 3, , sebagai titik

    ujung 2 . 0 sebagai titik pusat 3 dan 1, 2 , 3 , , sebagai

  • 65

    titik ujung 3 . 0 sebagai titik pusat 4 dan 1 , 2 , 3, ,

    sebagai titik ujung 4 . Sedangkan 0, 0 , 0 dan 0 saling terhubung.

    = (01, 02 , , 0 , 00 , 01 , 02 , , 0 , 00 , 01, 02, ,

    0 , 00, 01, 02 , , 0 , 00)

    Yang dikelompokkan sebagai berikut:

    1 = (01 , 02, , 0 , 00)

    2 = ( 01 , 02 , , 0 , 00)

    3 = ( 01, 02, , 0 , 00)

    4 = ( 01, 02 , , 0 , 00)

    Jadi untuk 4 dengan m rambut

    = 4( + 1), dan = 4( + 1).

    Maka + = 4( + 1) + 4( + 1)

    = 8( + 1)

    Graf Hairy Cycle 4 dengan rambut dapat digambar sebagai berikut:

    0d

    0c

    0b

    0a

    1a

    ma

    4a

    3a

    2a

    1b

    2b

    3b

    4b mb

    1c

    3c

    2c

    4c

    mc

    1d

    4d

    3d

    2d

    md

    Gambar 3.17: Graf 4 Dengan Rambut

    Dengan pelabelan sebagai berikut:

  • 66

    7

    68

    3

    33 n

    3)12( nm

    39 n

    37 n

    35 n

    13 n

    15 n

    17 n

    19 n1)12( nm 43 n

    47 n

    45 n

    49 n

    4)12( nm

    23 n

    29 n

    27 n

    25 n

    2)12( nm Gambar 3.18: Pelabelan Graf 4

    Dengan Rambut

    Didefinisikan fungsi dari ke 1,2,3, , + sebagai

    berikut:

    a. 0 3

    b. 8 + 7 untuk = 1,2,3, ,

    c. 0 8 + 5 8 untuk = 1,2,3, ,

    d. 00 8 + 4 untuk = 1,2,3, ,

    e. 0 8

    f. 8 + 3 untuk = 1,2,3, ,

    g. 0 8 + 4 8 untuk = 1,2,3, ,

    h. 00 8 + 1 untuk = 1,2,3, ,

    i. 0 6

    j. 8 + 8 untuk = 1,2,3, ,

    k. 0 8 + 1 8 untuk = 1,2,3, ,

    l. 00 8 + 2 untuk = 1,2,3, ,

    m. 0 7

    n. 8 + 6 untuk = 1,2,3, ,

    o. 8 + 2 8 untuk = 1,2,3, ,

    p. 00 8 + 5 untuk = 1,2,3, ,

  • 67

    Maka:

    i) Akan ditunjukkan bahwa adalah fungsi bijektif dari () ()

    ke himpunan bilangan bulat {1, 2, 3, , + }

    1) adalah fungsi injektif

    Untuk titik di

    Ambil dan titik di dengan = ( ). Akan dibuktikan =

    sedemikian hingga = .

    a. Untuk 1 , dan 1 .

    Karena = ( )

    Maka =

    Jadi =

    b. Untuk 1 , dan 1 .

    Karena = ( )

    Maka 2 + 7 = 2 + 7

    =

    Jadi =

    c. Untuk 1 , dan 1 .

    Karena = ( )

    Maka 2 + 4 = 2 + 4

    =

    Jadi =

    d. Untuk 1 , dan 1 .

    Karena = ( )

  • 68

    Maka 2 + 1 = 2 + 1

    =

    Jadi =

    e. Untuk 1 , dan 1 .

    Karena = ( )

    Maka 2 + 2 = 2 + 2

    =

    Jadi =

    Untuk sisi di

    a. Untuk 1 , dan 1 .

    Ambil 0 dan 0 sisi di dengan (0) = (0 ). Akan

    dibuktikan = sedemikian hingga 0 = 0 .

    Karena 0 = (0 )

    Maka 8 + 5 8 = 8 + 5 8

    =

    Jadi 0 = 0 .

    b. Untuk 1 , dan 1

    Ambil 0 dan 0 sisi di dengan (0) = (0). Akan

    dibuktikan = sedemikian hingga 0 = 0 .

    Karena (0) = (0).

    Maka 8 + 4 8 = 8 + 4 8

    =

    Jadi 0 = 0 .

  • 69

    c. Untuk 1 , dan 1

    Ambil 0 dan 0 sisi di dengan (0) = (0). Akan dibuktikan

    = sedemikian hingga 0 = 0 .

    Karena (0) = (0).

    Maka 8 + 1 8 = 8 + 1 8

    =

    Jadi 0 = 0 .

    d. Untuk 1 , dan 1

    Ambil 0 dan 0 sisi di dengan (0) = (0). Akan

    dibuktikan = sedemikian hingga 0 = 0 .

    Karena (0) = (0).

    Maka 8 + 2 8 = 8 + 2 8

    =

    Jadi 0 = 0 .

    Jadi merupakan fungsi injektif dari () () ke 1,2,3, , +

    2) adalah fungsi surjektif

    Akan ditunjukkan bahwa () () dipetakan ke 1,2,3, , +

    a. Akan dibuktikan 1 +

    Diketahui = , 1

    Karena 1

    Maka 1 8 + 7

    1 8 + 7

    Jadi 1 +

    b. Akan dibuktikan 1 +

  • 70

    Diketahui = , 1

    Karena 1

    Maka 1 8 + 3

    1 8 + 3

    Jadi 1 +

    c. Akan dibuktikan 1 +

    Diketahui = , 1

    Karena 1

    Maka 1 8 + 8

    1 8 + 8

    Jadi 1 +

    d. Akan dibuktikan 1 +

    Diketahui = , 1

    Karena 1

    Maka 1 8 + 6

    1 8 + 6

    Jadi 1 +

    e. Akan dibuktikan 1 0 +

    Diketahui 0 = 1

    Karena 1 1 2( + 1)

    Jadi 1 0 +

    f. Akan dibuktikan 1 0 +

    Diketahui 0 = + 4

    Karena 1 + 4 2( + 1)

  • 71

    Jadi 1 0 +

    g. Akan dibuktikan 1 0 +

    Diketahui 0 = + 2

    Karena 1 + 2 2( + 1)

    Jadi 1 0 +

    h. Akan dibuktikan 1 0 +

    Diketahui 0 = + 3

    Karena 1 + 3 2( + 1)

    Jadi 1 0 +

    i. Akan dibuktikan 1 0 +

    Diketahui 0 = 8 + 5 8, 1

    Karena 1

    Maka 1.1 1. 1.

    1

    8 + 5 7 1 8 + 5 7 8 + 5 7

    8 + 4 7 8 + 5 8 7 + 5 7

    1 8 + 4 7 8 + 5 8 7 + 5 7 8( + 1)

    1 8 + 5 8 8( + 1)

    Jadi 1 0 +

    j. Akan dibuktikan 1 0 +

    Diketahui 0 = 8 + 4 8, 1

    Karena 1

    Maka 1.1 1. 1.

    1

  • 72

    8 + 4 7 1 8 + 4 7 8 + 4 7

    8 + 3 7 8 + 4 8 7 + 4 7

    1 8 + 3 7 8 + 4 8 7 + 4 7 6( + 1)

    1 8 + 4 8 8( + 1)

    Jadi 1 0 +

    k. Akan dibuktikan 1 0 +

    Diketahui 0 = 8 + 1 8, 1

    Karena 1

    Maka 1.1 1. 1.

    1

    8 + 1 7 1 8 + 1 7 8 + 1 7

    8 7 8 + 1 8 7 + 1 7

    1 8 + 7 8 + 1 8 7 + 1 7 6( + 1)

    1 8 + 1 8 6( + 1)

    Jadi 1 0 +

    l. Akan dibuktikan 1 0 +

    Diketahui 0 = 8 + 2 8, 1

    Karena 1

    Maka 1.1 1. 1.

    1

    8 + 2 7 1 8 + 2 7 8 + 2 7

    8 + 1 7 8 + 2 8 7 + 2 7

    1 8 + 1 7 8 + 2 8 7 + 2 7 6( + 1)

    1 8 + 2 8 6( + 1)

  • 73

    Jadi 1 0 +

    m. Akan dibuktikan 1 00 +

    Diketahui 00 = 8 + 4

    Karena 1 8 + 4 8 + 8

    Jadi 1 00 +

    n. Akan dibuktikan 1 00 +

    Diketahui 00 = 8 + 1

    Karena 1 8 + 1 8 + 8

    Jadi 1 00 +

    o. Akan dibuktikan 1 00 +

    Diketahui 00 = 8 + 2

    Karena 1 8 + 2 8 + 8

    Jadi 1 00 +

    p. Akan dibuktikan 1 00 +

    Diketahui 00 = 8 + 5

    Karena 1 8 + 5 8 + 8

    Jadi 1 00 +

    Sehingga dapat disimpulkan bahwa 1 + dan 1

    + . Artinya () () dipetakan ke 1, 2, 3, , + . Karena

    = 1, 2, 3, , + dan () adalah injektif maka

    sudah pasti () adalah surjektif. Karena () injektif juga sekaligus

    surjektif, maka () bijektif.

    ii). Akan ditunjukkan bahwa untuk masing-masing sisi di berlaku:

    + + =

  • 74

    a. Untuk sisi 0 di diperoleh:

    0 + 0 + = 3 + 8 + 5 8 + 8 + 7 = 8 + 15

    b. Untuk sisi 0 di diperoleh:

    0 + 0 + = 8 + 8 + 4 8 + 8 + 3 = 8 + 15

    c. Untuk sisi 0 di diperoleh:

    0 + 0 + = 6 + 8 + 1 8 + 8 + 8 = 8 + 15

    d. Untuk sisi 0 di diperoleh:

    0 + 0 + = 7 + 8 + 2 8 + 8 + 6 = 8 + 15

    e. Untuk sisi 00 di diperoleh:

    0 + 00 + 0 = 3 + 8 + 4 + 8 = 8 + 15

    f. Untuk sisi 00 di diperoleh:

    0 + 00 + 0 = 8 + 8 + 1 + 6 = 8 + 15

    g. Untuk sisi 00 di diperoleh:

    0 + 00 + 0 = 6 + 8 + 2 + 7 = 8 + 15

    h. Untuk sisi 00 di diperoleh:

    0 + 00 + 0 = 7 + 8 + 5 + 3 = 8 + 15

    Jadi 4 dengan m rambut adalah tota sisi ajaib dengan bilangan ajaib:

    = 8 + + 11

    Teorema 10:

    Graf Hairy Cycle 6 dengan rambut untuk masing-masing titik pada

    sikel adalah total sisi ajaib.

    Bukti:

  • 75

    Pelabelan total sisi ajaib pada suatu graph dengan order dan ukuran

    adalah fungsi bijektif dari ke himpunan bilangan bulat {1,2,3, ,

    + } sedemikian hingga untuk masing-masing sisi di berlaku

    + + = , dengan k konstanta. Maka untuk membuktikan

    teorema 3.3 perlu ditunjukkan bahwa :

    i) adalah fungsi bijektif dari ke himpunan bilangan bulat

    {1, 2, 3, , + }

    ii) untuk masing-masing sisi di berlaku

    + + =

    Misal:

    = (0 , 1 , 2 , , , 0 ,1 , 2, , , 0 , 1 , 2 , , , 0 , 1 , 2 , , , 0 ,1 , 2 , , )

    yang dikelompokkan sebagai berikut:

    1 = 0 , 1, 2, 3, ,

    2 = ( 0, 1 , 2 , 3 , , )

    3 = 0, 1, 2, 3, ,

    4 = 0 , 1 , 2 , 3 , ,

    5 = 0, 1, 2, 3, ,

    Dimana:

    0 sebagai titik pusat 1 dan 1, 2, 3, , sebagai titik ujung

    1 . 0 sebagai titik pusat 2 dan 1, 2 , 3, , sebagai titik

    ujung 2 . 0 sebagai titik pusat 3 dan 1, 2 , 3 , , sebagai

    titik ujung 3 . 0 sebagai titik pusat 4 dan 1 , 2 , 3, ,

    sebagai titik ujung 4 . 0 sebagai titik pusat 5 dan

  • 76

    1, 2, 3, , sebagai titik ujung 5 . Sedangkan 0 , 0 , 0, 0 dan 0

    saling terhubung.

    = (01 , 02, , 0 , 00 , 01 , 02 , , 0 , 00, 01, 02 , ,

    0 , 00, 01, 02 , , 0 , 00, 01, 02, , 0 , 00)

    Yang dikelompokkan sebagai berikut:

    1 = (01 , 02, , 0 , 00)

    2 = ( 01 , 02 , , 0 , 00)

    3 = ( 01, 02, , 0 , 00)

    4 = ( 01, 02 , , 0 , 00)

    5 = ( 01, 02, , 0 , 00)

    Jadi untuk 5 dengan rambut

    = 5( + 1), dan = 5( + 1).

    Maka + = 5( + 1) + 5( + 1)

    = 10( + 1)

    Graf Hairy Cycle 5 dengan m rambut dapat digambar sebagai berikut:

    1e

    1c

    1b

    0d

    0e

    0c

    0b

    1d

    0a

    1a

    ma

    4a

    3a

    2a

    2b 3

    b4

    b

    mb

    3c

    2c

    4c

    mc

    md

    4d

    3d

    2d

    me

    4e

    3e

    2e

    Gambar 3.26: Graf 5

    Dengan Rambut

    Dengan pelabelan sebagai berikut:

  • 77

    11 d

    11 b

    1n

    53

    2

    4

    11 c

    1

    11 e

    1me

    14 e

    13 e

    12 e

    11 a12 a

    13 a

    11 ma

    1mc14 c

    13 c

    12 c

    1md

    14 d

    13 d12 d

    12 b

    13 b

    14 b

    1mb

    Gambar 3.27: Pelabelan Graf 5

    Dengan Rambut

    Fungsi dari ke 1,2,3, , + didefinisikan sebagai

    berikut:

    a. 0 1

    b. 5 + 5 untuk = 1,2,3, ,

    c. 0 10 + 8 5 untuk = 1,2,3, ,

    d. 00 10 + 9 untuk = 1,2,3, ,

    e. 0 4

    f. 5 + 1 untuk = 1,2,3, ,

    g. 0 10 + 9 5 untuk = 1,2,3, ,

    h. 00 10 + 8 untuk = 1,2,3, ,

    i. 0 2

    j. 5 + 2 untuk = 1,2,3, ,

    k. 0 10 + 10 5 untuk = 1,2,3, ,

    l. 00 10 + 7 untuk = 1,2,3, ,

    m. 0 5

    n. 5 + 3 untuk = 1,2,3, ,

    o. 0 10 + 6 5 untuk = 1,2,3, ,

  • 78

    p. 00 10 + 6 untuk = 1,2,3, ,

    q. 0 3

    r. 5 + 4 untuk = 1,2,3, ,

    s. 0 10 + 7 5 untuk = 1,2,3, ,

    t. 00 10 + 10 untuk = 1,2,3, ,

    Maka:

    i) Akan ditunjukkan bahwa adalah fungsi bijektif dari () ()

    ke himpunan bilangan bulat {1, 2, 3, , + }

    a. adalah fungsi injektif

    Untuk titik di

    Ambil dan titik di dengan = ( ). Akan dibuktikan =

    sedemikian hingga = .

    a. Untuk 1 , dan 1 .

    Karena = ( )

    Maka =

    Jadi =

    b. Untuk 1 , dan 1 .

    Karena = ( )

    Maka + 5 = + 5

    =

    Jadi =

    c. Untuk 1 , dan 1 .

    Karena = ( )

  • 79

    Maka + 1 = + 1

    =

    Jadi =

    d. Untuk 1 , dan 1 .

    Karena = ( )

    Maka + 2 = + 2

    =

    Jadi =

    e. Untuk 1 , dan 1 .

    Karena = ( )

    Maka + 3 = + 3

    =

    Jadi =

    f. Untuk 1 , dan 1 .

    Karena = ( )

    Maka + 4 = + 4

    =

    Jadi =

    Untuk sisi di

    a. Untuk 1 , dan 1 .

    Ambil 0 dan 0 sisi di dengan (0) = (0 ). Akan

    dibuktikan = sedemikian hingga 0 = 0 .

    Karena 0 = (0 )

  • 80

    Maka 10 + 8 5 = 10 + 8 5

    =

    Jadi 0 = 0 .

    b. Untuk 1 , dan 1

    Ambil 0 dan 0 sisi di dengan (0) = (0). Akan

    dibuktikan = sedemikian hingga 0 = 0 .

    Karena (0) = (0).

    Maka 10 + 9 5 = 10 + 9 5

    =

    Jadi 0 = 0 .

    c. Untuk 1 , dan 1

    Ambil 0 dan 0 sisi di dengan (0) = (0). Akan dibuktikan

    = sedemikian hingga 0 = 0 .

    Karena (0) = (0).

    Maka 10 + 10 5 = 10 + 10 5

    =

    Jadi 0 = 0

    d. Untuk 1 , dan 1

    Ambil 0 dan 0 sisi di dengan (0) = (0). Akan

    dibuktikan = sedemikian hingga 0 = 0 .

    Karena (0) = (0).

    Maka 10 + 6 5 = 10 + 6 5

    =

  • 81

    Jadi 0 = 0 .

    e. Untuk 1 , dan 1

    Ambil 0 dan 0 sisi di dengan (0) = (0). Akan dibuktikan

    = sedemikian hingga 0 = 0 .

    Karena (0) = (0).

    Maka 10 + 7 5 = 10 + 7 5

    =

    Jadi 0 = 0

    Jadi merupakan fungsi injektif dari () () ke 1,2,3, , +

    b. adalah fungsi surjektif

    Akan ditunjukkan bahwa () () dipetakan ke 1,2,3, , +

    a. Akan dibuktikan 1 +

    Diketahui = , 1

    Karena 1

    Maka 1 5 + 5

    1 5 + 5

    Jadi 1 +

    b. Akan dibuktikan 1 +

    Diketahui = , 1

    Karena 1

    Maka 1 5 + 1

    1 5 + 1

    Jadi 1 +

    c. Akan dibuktikan 1 +

  • 82

    Diketahui = , 1

    Karena 1

    Maka 1 5 + 2

    1 5 + 2

    Jadi 1 +

    d. Akan dibuktikan 1 +

    Diketahui = , 1

    Karena 1

    Maka 1 5 + 3

    1 5 + 3

    Jadi 1 +

    e. Akan dibuktikan 1 +

    Diketahui = , 1

    Karena 1

    Maka 1 5 + 4

    1 5 + 4

    Jadi 1 +

    f. Akan dibuktikan 1 0 +

    Diketahui 0 = 4

    Karena 1 4 2( + 1)

    Jadi 1 0 +

    g. Akan dibuktikan 1 0 +

    Diketahui 0 = 1

    Karena 1 1 2( + 1)

  • 83

    Jadi 1 0 +

    h. Akan dibuktikan 1 0 +

    Diketahui 0 = 3

    Karena 1 3 2( + 1)

    Jadi 1 0 +

    i. Akan dibuktikan 1 0 +

    Diketahui 0 =

    Karena 1 3 2( + 1)

    Jadi 1 0 +

    j. Akan dibuktikan 1 0 +

    Diketahui 0 = 2

    Karena 1 2 2( + 1)

    Jadi 1 0 +

    k. Akan dibuktikan 1 0 +

    Diketahui 0 = 10 + 8 5, 1

    Karena 1

    Maka 1.1 1. 1.

    1

    10 + 8 4 1 10 + 8 4 10 + 8 4

    10 + 7 4 10 + 8 5 9 + 8 4

    1 10 + 7 4 10 + 8 5 9 + 8 4 2( + 1)

    1 10 + 8 5 2( + 1)

    Jadi 1 0 +

    l. Akan dibuktikan 1 0 +

  • 84

    Diketahui 0 = 10 + 9 5, 1

    Karena 1

    Maka 1.1 1. 1.

    1

    10 + 9 4 1 10 + 9 4 10 + 9 4

    10 + 8 4 10 + 9 5 9 + 9 4

    1 10 + 8 4 10 + 9 5 9 + 9 4 2( + 1)

    1 10 + 9 5 2( + 1)

    Jadi 1 0 +

    m. Akan dibuktikan 1 0 +

    Diketahui 0 = 10 + 10 5, 1

    Karena 1

    Maka 1.1 1. 1.

    1

    10 + 10 4 1 10 + 10 4 10 + 10 4

    10 + 9 4 10 + 10 5 9 + 10 4

    1 10 + 9 4 10 + 10 5 9 + 10 4 2( + 1)

    1 10 + 10 5 2( + 1)

    Jadi 1 0 +

    n. Akan dibuktikan 1 0 +

    Diketahui 0 = 10 + 6 5, 1

    Karena 1

    Maka 1.1 1. 1.

    1

  • 85

    10 + 6 4 1 10 + 6 4 10 + 6 4

    10 + 5 4 10 + 6 5 9 + 6 4

    1 10 + 5 4 10 + 6 5 9 + 6 4 2( + 1)

    1 10 + 6 5 2( + 1)

    Jadi 1 0 +

    o. Akan dibuktikan 1 0 +

    Diketahui 0 = 10 + 7 5, 1

    Karena 1

    Maka 1.1 1. 1.

    1

    10 + 7 4 1 10 + 7 4 10 + 7 4

    10 + 6 4 10 + 7 5 9 + 7 4

    1 10 + 6 4 10 + 7 5 9 + 7 4 2( + 1)

    1 10 + 7 5 2( + 1)

    Jadi 1 0 +

    p. Akan dibuktikan 1 00 +

    Diketahui 00 = 10 + 9

    Karena 1 10 + 9 2 + 1

    Jadi 1 00 +

    q. Akan dibuktikan 1 00 +

    Diketahui 00 = 10 + 8

    Karena 1 10 + 8 2( + 1)

    Jadi 1 00 +

    r. Akan dibuktikan 1 00 +

  • 86

    Diketahui 00 = 6 + 4

    Karena 1 10 + 7 2( + 1)

    Jadi 1 00 +

    s. Akan dibuktikan 1 00 +

    Diketahui 00 = 10 + 6

    Karena 1 10 + 6 2( + 1)

    Jadi 1 00 +

    t. Akan dibuktikan 1 00 +

    Diketahui 00 = 10 + 10

    Karena 1 10 + 10 2( + 1)

    Jadi 1 00 +

    Sehingga dapat disimpulkan bahwa 1 + dan 1

    + . Artinya () () dipetakan ke 1, 2, 3, , + . Karena

    = 1, 2, 3, , + dan () adalah injektif maka

    sudah pasti () adalah surjektif. Karena () injektif juga sekaligus

    surjektif, maka () bijektif.

    ii). Akan ditunjukkan bahwa untuk masing-masing sisi di berlaku:

    + + =

    a. Untuk sisi 0 di diperoleh:

    0 + 0 + = 1 + 10 + 8 5 + 5 + 5

    = 10 + 14

    b. Untuk sisi 0 di diperoleh:

    0 + 0 + = 4 + 10 + 9 5 + 5 + 1

    = 10 + 14

  • 87

    c. Untuk sisi 0 di diperoleh:

    0 + 0 + = 2 + 10 + 10 5 + 5 + 2

    = 10 + 14

    d. Untuk sisi 0 di diperoleh:

    0 + 0 + = 5 + 10 + 6 5 + 5 + 3 = 10 + 14

    e. Untuk sisi 0 di diperoleh:

    0 + 0 + = 3 + 10 + 7 5 + 5 + 4 = 10 + 14

    f. Untuk sisi 00 di diperoleh:

    0 + 00 + 0 = 1 + 10 + 9 + 4 = 10 + 14

    g. Untuk sisi 00 di diperoleh:

    0 + 00 + 0 = 4 + 10 + 8 + 2 = 10 + 14

    h. Untuk sisi 00 di diperoleh:

    0 + 00 + 0 = 2 + 10 + 7 + 5 = 10 + 14

    i. Untuk sisi 00 di diperoleh:

    0 + 00 + 0 = 5 + 10 + 6 + 3 = 10 + 14

    j. Untuk sisi 00 di diperoleh:

    0 + 00 + 0 = 3 + 10 + 10 + 1 = 10 + 14

    Jadi 3 dengan m rambut adalah total sisi ajaib dengan bilangan

    ajaib:

    = 10 + 14

  • 89

    BAB V

    PENUTUP

    A. Kesimpulan

    Berdasarkan pembahasan, maka beberapa kesimpulan yang dapat

    diambil adalah sebagai berikut.

    1. Graf multi star tipe 1 MS1(m) adalah super sisi ajaib

    2. Graf multi star tipe 2 MS2(m) adalah super sisi ajaib

    3. Graf Hairy Cycle C3, C4, C5 dan C6 adalah total sisi ajaib.

    B. Saran

    Berdasarkan penelitian, disarankan kepada peneliti yang lain untuk

    mengkaji pelabelan super sisi ajaib pada graf yang lain serta melanjutkan

    penelitian pelabelan total sisi ajaib untuk graf hairy cycle secara umum.

    .

  • 90

    DAFTAR PUSTAKA

    Abdussakir. 2010. Pelabelan Sisi Ajaib Super pada Beberapa Bentuk Graf Ulat.

    Prosiding Seminar Nasional UI-UNPAD 2010.

    Baskoro, E.T. Sudarsana, I.W., dan Cholily, Y.M.. 2005. How to Construct New

    Super Edge-magic Grafs from Some Old Ones. J. Indones. Math. Soc.

    (MIHMI) 11:2: 155-162.

    Bondy, J.A. & Murty, U.S.R., 1976. Graf Theory with Applications. London: The

    Macmillan Press Ltd.

    Chartrand, G. & Lesniak, L.. 1986. Graf and Digraf 2nd

    Edition. California:

    Wadsworth, Inc.

    Gallian, J. A.. 2009. A Dynamic Survey of Graf Labeling, 12th Edition. The

    Electronic Journal of Combinatorics.

    Hussain, M., Baskoro, E.T. dan Slamin. 2009. On Super Edge-Magic Total Labeling

    of Banana Trees. Utilitas Math. 79: 243-251.

    Irawan, Andy. 2007. Super Edge Magic Labeling pada Graf Ulat Model Trisula

    dengan Panjang n. Skripsi Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi

    UIN Malang. Malang: UIN Malang

    Miller, Mirka. 2000. Open Problems in Graf Theory: Labelings and Extremal Grafs.

    Prosiding Konferensi Nasional Himpunan Matematika Indonesia X di Institut

    Teknologi Bandung, 17-20 Juli.

    Khikmah, Syafaatul. 2005. Super Edge-Magic Labeling pada Graf Ulat dengan n

    Badan dan n Kaki. Skripsi Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi

    UIN Malang. Malang: UIN Malang.

    Lorentz, Thereziea. 2009. Pelabelan Super Sisi Ajaib pada Graf Ulat (Caterpillars)

    yang Mempunyai n Badan dan 2n Kaki dengan n Bilangan Asli. Skripsi

    Jurusan Matematika - Fakultas MIPA UM. (Online http://karya-ilmiah.

    um.ac.id/index.php/matematika/article/view/5098 diakses 3 September 2010)

    Park, J.Y., Choi, J.H., dan Bae, Jae-Hyeong. 2008. On Super Edge-Magic Labeling

    of Some Grafs. Bull. Korean Math. Soc. 45, No. 1 hal: 1121

    Rohima, Nur. 2005. Super Edge-Magic Labeling pada Graf Ulat Berekor dengan n

    Badan dan 2 Kaki pada Tiap Badan. Skripsi Jurusan Matematika Fakultas

    Sains dan Teknologi UIN Malang. Malang: UIN Malang.

  • 91

    Wallis, W.D. Baskoro, E.T. Miller, M. dan Slamin. 2000. Edge-Magic Total

    Labelings Australas. J. Combin. 22: 177-190

    Williyanto, Candra dan Irawanto, Bambang (2009) Super Edge-Magic Labeling on

    Caterpillar Graf Model T With Length n. Undergraduate thesis, FMIPA

    Universitas Diponegoro. (online http://eprints.undip.ac.id/2022/ diakses 3

    September 2010)

    http://eprints.undip.ac.id/2022/Bagian Sampul dan Pengesahan.pdf (p.1-2)Daftar Isi.pdf (p.3)BAB I.pdf (p.4-6)BAB IV Bagian 1.pdf (p.7-35)BAB IV Bagian 2.pdf (p.36-68)BAB V.pdf (p.69)Daftar Rujukan.pdf (p.70-71)