PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE GRAF … · Pelabelan Graf 5 PEMBAHASAN 8 SIMPULAN DAN...

43
PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE ( () ), GRAF PLANAR (( ) ), GRAF JALINAN, DAN GRAF UBUR-UBUR ANISA TRIAGRINA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014

Transcript of PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE GRAF … · Pelabelan Graf 5 PEMBAHASAN 8 SIMPULAN DAN...

Page 1: PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE GRAF … · Pelabelan Graf 5 PEMBAHASAN 8 SIMPULAN DAN SARAN 2 8 Simpulan 28 Saran 2 8 DAFTAR PUSTAKA 28 ... dari simpul-simpul pada graf

PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE ( ( ) ), GRAF PLANAR (( ) ), GRAF

JALINAN, DAN GRAF UBUR-UBUR

ANISA TRIAGRINA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2014

Page 2: PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE GRAF … · Pelabelan Graf 5 PEMBAHASAN 8 SIMPULAN DAN SARAN 2 8 Simpulan 28 Saran 2 8 DAFTAR PUSTAKA 28 ... dari simpul-simpul pada graf
Page 3: PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE GRAF … · Pelabelan Graf 5 PEMBAHASAN 8 SIMPULAN DAN SARAN 2 8 Simpulan 28 Saran 2 8 DAFTAR PUSTAKA 28 ... dari simpul-simpul pada graf

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN

SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pelabelan Super Edge

Magic Pada Graf Cycle ( ( ) ), Graf Planar (( ) ), Graf

Jalinan, dan Graf Ubur-ubur adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi

pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi

mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan

maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan

dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada

Institut Pertanian Bogor.

Bogor, Oktober 2014

Anisa Triagrina

NIM G54100010

Page 4: PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE GRAF … · Pelabelan Graf 5 PEMBAHASAN 8 SIMPULAN DAN SARAN 2 8 Simpulan 28 Saran 2 8 DAFTAR PUSTAKA 28 ... dari simpul-simpul pada graf

ABSTRAK

ANISA TRIAGRINA. Pelabelan Super Edge Magic pada Graf Cycle

( ( ) ), Graf Planar (( ) ), Graf Jalinan, dan Graf Ubur-ubur.

Dibimbing oleh TEDUH WULANDARI MAS’OED dan MUHAMMAD ILYAS.

Pelabelan pada graf adalah pemetaan bijektif yang memetakan unsur himpunan

simpul atau himpunan sisi ke himpunan bilangan asli. Suatu graf ( ( ) ( )) dengan banyaknya simpul dan banyaknya sisi dapat dikatakan

memiliki pelabelan super edge magic jika dan hanya jika terdapat fungsi bijektif

yang memetakan label setiap simpul pada bilangan asli 1 sampai , dan setiap sisi

pada bilangan asli sampai . Selain itu, terdapat konstanta sehingga

jumlah label dua simpul yang adjacent dan satu sisi di antaranya adalah konstanta

. Dalam karya ilmiah ini terdapat satu lema dan empat teorema yang akan

dibahas. Lema membuktikan bahwa graf dengan pelabelan super edge magic

memiliki himpunan sisi yang terdiri dari bilangan asli yang berurutan. Masing-

masing dari keempat teorema tersebut membuktikan bahwa graf cycle

( ( ) ), graf planar (( ) ), graf jalinan, dan graf ubur-ubur

memiliki pelabelan super edge magic. Hal ini diketahui berdasarkan pada lema

sebelumnya.

Kata kunci: Himpunan Sisi yang Berurutan, Pelabelan Graf, Super Edge Magic

ABSTRACT

ANISA TRIAGRINA. Super Edge Magic Labeling of Cycle Graph ( ( ) ), Planar Graph (( ) ), Braid Graph and Jellyfish Graph. Supervised by

TEDUH WULANDARI MAS’OED and MUHAMMAD ILYAS.

Labeling in graph theory is a bijection mapping that maps each elements of a set

of vertices and a set of edges to the set of natural number. A graph denoted by

( ( ) ( )) with p vertices and q edges is called a super edge magic if and

only if there is a bijective function that maps each of vertices labels to the natural

numbers range 1 to and each of edges labels to the natural numbers range to . Also, there is a constant so that the number of two adjacent vertices

and one of edges is equal to . In this paper, there are one lemma and four

theorems were discussed. The lemma proves that graph with super edge magic

labeling has a set of edges that consists of consecutive integers. Each of the four

theorems proves that cycle graph ( ( ) ), planar graph (( ) ), braid graph and jellyfish graph has super edge magic labeling. This was proved

using the fact indicated in the lemma previously mentioned.

Keywords: Consecutive Set of Edges, Graph Labeling, Super Edge Magic

Page 5: PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE GRAF … · Pelabelan Graf 5 PEMBAHASAN 8 SIMPULAN DAN SARAN 2 8 Simpulan 28 Saran 2 8 DAFTAR PUSTAKA 28 ... dari simpul-simpul pada graf

PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE ( ( ) ), GRAF PLANAR (( ) ), GRAF JALINAN,

DAN GRAF UBUR-UBUR

ANISA TRIAGRINA

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains

pada

Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2014

Page 6: PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE GRAF … · Pelabelan Graf 5 PEMBAHASAN 8 SIMPULAN DAN SARAN 2 8 Simpulan 28 Saran 2 8 DAFTAR PUSTAKA 28 ... dari simpul-simpul pada graf
Page 7: PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE GRAF … · Pelabelan Graf 5 PEMBAHASAN 8 SIMPULAN DAN SARAN 2 8 Simpulan 28 Saran 2 8 DAFTAR PUSTAKA 28 ... dari simpul-simpul pada graf

Judul Skripsi : Pelabelan Super Edge Magic Pada Graf Cycle ( ( ) ), Graf

Planar (( ) ), Graf Jalinan, dan Graf Ubur-ubur

Nama : Anisa Triagrina

NIM : G54100010

Disetujui oleh

Teduh Wulandari Mas’oed, MSi

Pembimbing I

Muhammad Ilyas, MSi, MSc

Pembimbing II

Diketahui oleh

Dr Toni Bakhtiar, MSc

Ketua Departemen

Tanggal Lulus:

Page 8: PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE GRAF … · Pelabelan Graf 5 PEMBAHASAN 8 SIMPULAN DAN SARAN 2 8 Simpulan 28 Saran 2 8 DAFTAR PUSTAKA 28 ... dari simpul-simpul pada graf

PRAKATA

Segala puji serta syukur bagi Alloh AWT yang telah memberikan nikmat

dan karunia-Nya kepada kita semua. Shalawat serta salam semoga senantiasa

tercurahkan kepada Nabi Muhammad SAW, beserta keluarga, sahabat serta para

pengikutnya yang setia sampai akhir zaman. Alhamdulillah penulis bersyukur

karena berkat rahmat dan karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi

dengan judul “Pelabelan Super Edge Magic Pada Graf Cycle ( ( ) ), Graf

Planar (( ) ), Graf Jalinan, dan Graf Ubur-ubur”.

Terima kasih penulis ucapkan kepada Ibu Teduh Wulandari Mas’oed, M.Si

selaku dosen pembimbing I, Bapak Muhammad Ilyas M.Si, M.Sc selaku dosen

pembimbing II, dan Bapak Drs Siswandi, M.Si selaku dosen penguji yang telah

memberikan bimbingan yang sangat berharga juga untuk semua waktu, nasehat,

dukungan dan ilmu yang telah diberikan kepada penulis. Ungkapan terima kasih

juga disampaikan kepada ayah, ibu, mba, mas, adik serta Bagus, atas segala doa

dan saran kepada penulis dalam penyusunan skripsi ini. Terima kasih juga

disampaikan untuk teman satu kontrakan, yaitu Vina, Tari, Susi, Amal dan Ai atas

segala saran dan masukan kepada penulis. Tidak lupa juga terima kasih sebesar-

besarnya kepada teman-teman di Departemen Matematika IPB angkatan 47,

keluarga besar GUMATIKA IPB dan IKAHIMATIKA Indonesia Wilayah III

yang selalu memberikan semangat dan dukungan dalam menulis skripsi.

Akhirnya dengan segala kerendahan hati, penulis menyadari bahwa dalam

skripsi ini masih terdapat banyak kekurangan untuk menuju kesempurnaan.

Penulis mencoba berusaha semaksimal mungkin dengan harapan skripsi dapat

memperoleh hasil yang baik dan dapat bermanfaat bagi penelitian-penelitian

selanjutnya.

Bogor, Oktober 2014

Anisa Triagrina

Page 9: PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE GRAF … · Pelabelan Graf 5 PEMBAHASAN 8 SIMPULAN DAN SARAN 2 8 Simpulan 28 Saran 2 8 DAFTAR PUSTAKA 28 ... dari simpul-simpul pada graf

DAFTAR ISI

DAFTAR GAMBAR vi

PENDAHULUAN 1

Latar Belakang 1

Tujuan 1

LANDASAN TEORI 1

Teori Graf 2

Jenis-jenis Graf 3

Pelabelan Graf 5

PEMBAHASAN 8

SIMPULAN DAN SARAN 28

Simpulan 28

Saran 28

DAFTAR PUSTAKA 28

RIWAYAT HIDUP 29

Page 10: PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE GRAF … · Pelabelan Graf 5 PEMBAHASAN 8 SIMPULAN DAN SARAN 2 8 Simpulan 28 Saran 2 8 DAFTAR PUSTAKA 28 ... dari simpul-simpul pada graf

DAFTAR GAMBAR

1 Graf G 2

2 Walk 3

3 (a) ( ) , (b) ( ) , (c) ( ) 4

4 ( ) 4

5 (a) ( ), (b) ( ), (c) ( ) 5

6 (a) ( ), (b) ( ), (c) ( ) 5

7 Pelabelan edge magic pada graf 6

8 Pelabelan edge magic pada graf dengan (a) dan (b) 7

9 Pelabelan super edge magic pada graf dengan 8

10 Graf dan memiliki himpunan yang terdiri dari 5 bilangan asli yang

berurutan 10

11 Graf cycle ber-order 3 11

12 Graf cycle dan memiliki himpunan yang terdiri dari 3 bilangan asli yang

berurutan 12

13 Graf ( ) 13

14 Graf cycle ( ) dan memiliki himpunan yang terdiri dari 5 bilangan

asli yang beurutan 14

15 Graf ( ) 14

16 Graf cycle ( ) dan memiliki himpunan yang terdiri dari 5 bilangan

asli yang berurutan 15

17 Graf planar ber-order 5 15

18 Graf planar ber-order 5 dan memiliki himpunan yang terdiri dari 7 bilangan

asli yang beurutan 16

19 Graf ( ) 17

20 Graf ( ) dan memiliki himpunan yang terdiri dari 9 bilangan

asli yang berurutan 18

21 Graf ( ) 18

22 Graf ( ) dan memiliki himpunan yang terdiri dari 11 bilangan

asli yang berurutan 19

23 Graf jalinan ber-order 6 19

Page 11: PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE GRAF … · Pelabelan Graf 5 PEMBAHASAN 8 SIMPULAN DAN SARAN 2 8 Simpulan 28 Saran 2 8 DAFTAR PUSTAKA 28 ... dari simpul-simpul pada graf

24 Graf jalinan ber-order 6 dan memiliki himpunan yang terdiri dari 7 bilangan

asli yang berurutan 20

25 Graf ( ) 21

26 Graf ( ) dan memiliki himpunan yang terdiri dari 11 bilangan asli yang

berurutan 22

27 Graf ( ) 22

28 Graf ( ) dan memiliki himpunan yang terdiri dari 15 bilangan asli yang

berurutan 23

29 Graf ubur-ubur ber-order 6 24

30 Graf ubur-ubur ber-order 6 dan memiliki himpunan yang terdiri dari 7

bilangan asli yang beurutan 24

31 Graf ubur-ubur ( ) 26

32 Graf ubur-ubur ( ) dan memiliki himpunan yang terdiri

dari 9 bilangan asli yang berurutan 26

33 Graf ubur-ubur ( ) 27

34 Graf ubur-ubur ( ) dan memiliki himpunan yang terdiri

dari 10 bilangan asli yang berurutan 27

Page 12: PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE GRAF … · Pelabelan Graf 5 PEMBAHASAN 8 SIMPULAN DAN SARAN 2 8 Simpulan 28 Saran 2 8 DAFTAR PUSTAKA 28 ... dari simpul-simpul pada graf
Page 13: PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE GRAF … · Pelabelan Graf 5 PEMBAHASAN 8 SIMPULAN DAN SARAN 2 8 Simpulan 28 Saran 2 8 DAFTAR PUSTAKA 28 ... dari simpul-simpul pada graf
Page 14: PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE GRAF … · Pelabelan Graf 5 PEMBAHASAN 8 SIMPULAN DAN SARAN 2 8 Simpulan 28 Saran 2 8 DAFTAR PUSTAKA 28 ... dari simpul-simpul pada graf
Page 15: PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE GRAF … · Pelabelan Graf 5 PEMBAHASAN 8 SIMPULAN DAN SARAN 2 8 Simpulan 28 Saran 2 8 DAFTAR PUSTAKA 28 ... dari simpul-simpul pada graf

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Teori graf adalah salah satu cabang ilmu matematika yang mempelajari

sifat-sifat graf. Teori ini ditemukan pertama kali oleh ahli matematika asal Swiss,

Leonhard Euler pada tahun 1736 saat menyelesaikan masalah jembatan

Konigsberg.

Graf merupakan pasangan himpunan simpul dan himpunan sisi sehingga

membentuk pola graf tertentu. Pola-pola yang terbentuk didefinisikan dan

dikategorikan dalam kelas-kelas graf. Salah satu bahasan dalam graf adalah

pelabelan graf.

Pelabelan graf adalah pemetaan bijektif yang memetakan unsur himpunan

simpul dan atau himpunan sisi ke himpunan bilangan asli. Pelabelan dapat

dilakukan dengan dua cara, yaitu pelabelan simpul dan atau pelabelan sisi.

Pelabelan simpul adalah pelabelan dengan domain himpunan simpul, sedangkan

pelabelan sisi adalah pelabelan dengan domain himpunan sisi. Pelabelan total

adalah pelabelan dengan domain gabungan himpunan simpul dan himpunan sisi.

Terdapat beberapa jenis pelabelan pada graf, antara lain pelabelan gracefull¸

pelabelan harmoni, pelabelan beraturan, pelabelan tak beraturan, pelabelan ajaib

(magic labeling) dan pelabelan anti ajaib (antimagic labeling). Tulisan ini

merupakan rekonstruksi ulang dari tulisan S. M. Lee dan A. N-T Lee dalam

artikel “On Super Edge-Magic Graphs with Many Odd Cycles”.

Masalah yang akan dibahas pada penelitian ini adalah apakah graf dengan

pelabelan super sisi ajaib (super edge magic) memiliki himpunan sisi yang

berurutan dan apakah graf cycle ( ( ) ), graf planar (( ) ), graf jalinan, dan graf ubur-ubur dengan cycle ganjil memiliki pelabelan super

edge magic.

Tujuan Penelitian

Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah untuk:

1. Membuktikan bahwa graf dengan pelabelan super edge magic memiliki

himpunan sisi yang berurutan.

2. Membuktikan bahwa graf cycle ( ( ) ), graf planar (( ) ), graf jalinan, dan graf ubur-ubur dengan cycle ganjil memiliki pelabelan

super edge magic.

LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi dan konsep dasar dari teori

graf yang akan digunakan dalam pembahasan pada bab-bab selanjutnya.

Page 16: PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE GRAF … · Pelabelan Graf 5 PEMBAHASAN 8 SIMPULAN DAN SARAN 2 8 Simpulan 28 Saran 2 8 DAFTAR PUSTAKA 28 ... dari simpul-simpul pada graf

2

Teori Graf

Definisi 1 (Graf)

Suatu graf G adalah pasangan terurut (V,E) dengan V adalah himpunan tak

kosong dan berhingga dan E adalah himpunan pasangan tak terurut yang

menghubungkan elemen-elemen V. Graf G dinotasikan G = (V,E). Elemen V

disebut simpul atau vertex sedangkan elemen E disebut sisi atau edge. Himpunan

dari simpul-simpul pada graf G dinotasikan dengan V(G) atau V, sedangkan

himpunan dari sisi-sisi pada graf G dinotasikan dengan E(G) atau E.

(Foulds 1992)

Definisi 2 (Graf Tak Berarah)

Graf G disebut graf tak berarah apabila anggota himpunan sisi dari graf G

bukan merupakan pasangan terurut dari simpul-simpul G.

(Chartrand & Oellermann 1993)

Graf yang akan dibahas dalam karya ilmiah ini adalah graf tak berarah. Contoh

graf tak berarah dapat dilihat pada Gambar 1.

Gambar 1 Graf G = (V,E)

Himpunan simpul pada graf G = (V,E) adalah ( ) { } dan himpunan sisi

pada graf G adalah ( ) {( ) ( ) ( )}.

Definisi 3 (Order dan Size)

Misalkan diberikan graf G. Banyaknya simpul dari suatu graf G disebut

order dari G, dan banyaknya sisi dari G disebut size dari G. Order dari graf G

dinotasikan dengan | ( )| dan size dari graf G dinotasikan dengan | ( )|. (Chartrand & Oellermann 1993)

Pada Gambar 2.1, banyaknya simpul adalah 3, dituliskan | ( )| = 3, sedangkan

banyaknya sisi juga 3, dituliskan | ( )| = 3.

Definisi 4 (Walk)

Suatu walk pada graf G adalah suatu barisan simpul dan sisi dari graf G

dengan bentuk { ( ) ( ) ( ) }. Suatu walk yang

menghubungkan dengan dikatakan tertutup jika . Jika , maka

walk tersebut dikatakan terbuka.

(Chartrand & Oellermann 1993)

Contoh walk dapat dilihat pada Gambar 2.

{ ( ) ( ) ( ) ( ) }

c b

a

Page 17: PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE GRAF … · Pelabelan Graf 5 PEMBAHASAN 8 SIMPULAN DAN SARAN 2 8 Simpulan 28 Saran 2 8 DAFTAR PUSTAKA 28 ... dari simpul-simpul pada graf

3

Gambar 2 Walk.

Definisi 5 (Cycle)

Cycle pada suatu graf G adalah walk tertutup yang mengandung setidaknya

tiga simpul dan semua simpulnya berbeda.

(Foulds 1992)

Contoh cycle dapat dilihat pada Gambar 1.

Definisi 6 (Graf Cycle)

Suatu graf ber-order dengan yang membentuk sebuah cycle disebut

graf cycle dan dinotasikan dengan . (Chartrand & Oellermann 1993)

Gambar 1 dapat dinotasikan dengan .

Definisi 7 (Cycle Ganjil)

Cycle dikatakan ganjil jika banyaknya sisi atau simpul dari suatu cycle

bernilai ganjil.

(Foulds 1992)

Jenis-jenis Graf

Jenis graf sangat beragam, dan dapat dikelompokkan menjadi beberapa

kategori, bergantung pada pengelompokannya. Jenis graf yang akan dibahas

dalam karya ilmiah ini ada empat sesuai dengan banyaknya teorema yang akan

dibahas, yaitu graf cycle ( ( ) ), graf planar (planar graph) (( ) ), graf jalinan (braid graph), dan graf ubur-ubur (jellyfish graph).

Definisi 8 (Graf Cycle ( ( ) )) Graf cycle ( ( ) ) adalah graf dengan banyaknya simpul

dan banyaknya sisi ( ) , . Dengan himpunan simpulnya

dibagi menjadi dua jenis, yaitu dan . Himpunan simpul dari ( ( ) ) adalah { } dengan himpunan simpul dari adalah

{ } dan himpunan simpul dari adalah { }. Dan

himpunan sisi dari ( ( ) ) adalah himpunan sisi dari , dimana sisi dari

adalah sisi antar simpul , digabung dengan {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}.

(Lee dan Lee, 2003)

Beberapa contoh graf ( ( ) ) dapat dilihat pada Gambar 3.

1

2

3 4

5

Page 18: PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE GRAF … · Pelabelan Graf 5 PEMBAHASAN 8 SIMPULAN DAN SARAN 2 8 Simpulan 28 Saran 2 8 DAFTAR PUSTAKA 28 ... dari simpul-simpul pada graf

4

(a) (b) (c)

Gambar 3 (a) ( ) , (b) ( ) , (c) ( )

Definisi 9 (Graf Planar)

Graf planar (planar graph) adalah graf yang apabila digambar pada sebuah

bidang tidak ada sisi yang saling berpotongan (kecuali berpotongan pada sebuah

simpul).

(Foulds 1992)

Jenis graf planar yang akan dibahas pada tulisan ini adalah graf planar

(( ) ), sesuai artikel yang ditulis oleh S. M. Lee dan A. N-T Lee.

Pada graf ini simpul dibagi menjadi tiga jenis yaitu , dan , sehingga

himpunan simpul dari (( ) ) adalah { } dimana

himpunan simpul dari ( ) tersebut adalah { }, untuk

setiap konstanta dan himpunan simpul dari adalah { }. Sedangkan

himpunan sisi dari (( ) ) adalah {( ) ( ) ( ) ( ) ( )} digabung dengan {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}. Contoh graf planar

( ) dapat dilihat pada Gambar 4.

Gambar 4 ( )

Definisi 10 (Graf Jalinan)

Graf jalinan (braid graph) dinotasikan ( ) untuk setiap bilangan asli

adalah graf dengan himpunan simpul { } dan

himpunan sisi {( ) } {( ) } {( ) } {( ) }.

(Lee dan Lee, 2003)

Contoh graf jalinan ( ) dapat dilihat pada Gambar 5.

2

1

𝑌1

1

2

𝑌1 𝑌2

3

4

2

1

𝑌1

1 2

3

2

1

1

2

Page 19: PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE GRAF … · Pelabelan Graf 5 PEMBAHASAN 8 SIMPULAN DAN SARAN 2 8 Simpulan 28 Saran 2 8 DAFTAR PUSTAKA 28 ... dari simpul-simpul pada graf

5

(a) (b) (c)

Gambar 5 (a) ( ), (b) ( ), (c) ( )

Definisi 11 (Graf Ubur-ubur)

Graf ubur-ubur (jellyfish graph) dinotasikan ( )untuk setiap bilangan

asli adalah graf dengan himpunan simpul { } dan himpunan sisi

{( ) ( ) ( ) ( ) ( )} {( ) ( ) ( ) ( )} {( ) ( ) ( ) ( )}

(Lee dan Lee, 2003)

Contoh graf ubur-ubur ( ) dapat dilihat pada Gambar 6.

(a) (b) (c)

Gambar 6 (a) ( ), (b) ( ), (c) ( )

Pelabelan Graf

Karya ilmiah ini akan membahas pelabelan super edge magic pada beberapa

graf yang memiliki cycle ganjil. Berikut ini akan dijelaskan beberapa definisi

tentang pelabelan graf.

Definisi 12 (Pelabelan Edge Magic)

Misalkan graf G dengan banyaknya simpul p dan banyaknya sisi q. Suatu

pemetaan satu-satu dari himpunan simpul digabung himpunan sisi ke himpunan { } disebut sebagai pelabelan edge magic pada G jika ada konstanta

(disebut magic number ) sehingga ( ) ( ) ( ) untuk

setiap ( ) ( ). (Enomoto, et al. 1998)

Berikut ini akan diberikan contoh pelabelan edge magic. Misalkan diberikan graf

seperti pada Gambar 7. Banyaknya simpul ialah 5 dan banyaknya sisi juga 5,

sehingga masing-masing berlabel 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.

2 3 1

2 3 1

2 3 4 1

2 3 4 1

5

5

2 3 4 1

2 3 4 1

1 1

1 1

2 2

1 1

2 2 3

Page 20: PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE GRAF … · Pelabelan Graf 5 PEMBAHASAN 8 SIMPULAN DAN SARAN 2 8 Simpulan 28 Saran 2 8 DAFTAR PUSTAKA 28 ... dari simpul-simpul pada graf

6

Gambar 7 Pelabelan edge magic pada graf

Misal dan masing-masing edge dipadankan dengan suatu nilai :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) maka diperoleh label sisi, sehingga

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Maka, adalah magic number. Dan pelabelan edge magic dapat

digambarkan seperti Gambar 8 (a).

Sedangkan, apabila dipadankan dengan suatu nilai:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) maka diperoleh label sisi, sehingga

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Page 21: PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE GRAF … · Pelabelan Graf 5 PEMBAHASAN 8 SIMPULAN DAN SARAN 2 8 Simpulan 28 Saran 2 8 DAFTAR PUSTAKA 28 ... dari simpul-simpul pada graf

7

Maka, adalah magic number. Dan pelabelan edge magic dapat

digambarkan seperti Gambar 8 (b).

(a) (b)

Gambar 8 Pelabelan edge magic pada graf dengan

(a) dan (b)

Definisi 13 (Pelabelan Super Edge Magic)

Misalkan graf G dengan simpul p dan sisi q, dan G memiliki pelabelan edge

magic . Jika ( ) { } dan ( ) { } maka disebut pelabelan super edge magic.

(Enomoto, et al. 1998)

Berikut ini akan diberikan contoh pelabelan super edge magic. Misalkan diberikan

graf seperti pada Gambar 7. Berdasarkan definisi pelabelan super edge magic,

maka ( ) { } dan ( ) { }. Misal dan masing-masing edge dipadankan dengan suatu nilai :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) maka diperoleh label sisi, sehingga

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Maka, adalah magic number. Dan pelabelan super edge magic dapat

digambarkan seperti Gambar 9.

7 9

5 1

3

2

4

8 6

10

5 4

1 3

2

6

10

8 9

7

Page 22: PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE GRAF … · Pelabelan Graf 5 PEMBAHASAN 8 SIMPULAN DAN SARAN 2 8 Simpulan 28 Saran 2 8 DAFTAR PUSTAKA 28 ... dari simpul-simpul pada graf

8

Gambar 9 Pelabelan super edge magic pada graf dengan

Definisi 14 (Graf Edge Magic)

Suatu graf G disebut edge magic jika terdapat sebuah pelabelan edge magic.

(Enomoto, et al. 1998)

Gambar 8 (a) dan (b) merupakan contoh graf edge magic karena memiliki

pelabelan edge magic.

Definisi 15 (Graf Super Edge Magic)

Suatu graf G disebut super edge-magic jika terdapat sebuah pelabelan super

edge magic dari G.

(Enomoto, et al. 1998)

Gambar 9 merupakan contoh graf super edge magic karena memiliki pelabelan

super edge magic.

PEMBAHASAN

Pada bab ini akan dibahas lema dan teorema-teorema yang akan

membuktikan bahwa graf dengan pelabelan super edge magic memiliki himpunan

sisi yang berurutan dan beberapa graf dengan cycle ganjil memiliki pelabelan

super edge magic.

Berikut ini akan diberikan lema yang akan menunjukkan bahwa graf yang

memiliki himpunan beranggotakan hasil penjumlahan label dua simpul adjacent

dan himpunan tersebut terdiri dari bilangan asli yang berurutan merupakan graf

dengan pelabelan super edge magic.

Lema 3.1

Graf G dengan banyaknya simpul dan sisi adalah super edge magic jika dan

hanya jika terdapat fungsi bijektif ( ) { } sedemikian sehingga

himpunan { ( ) ( ) ( ) ( )} terdiri dari bilangan asli yang

berurutan. Dalam kasus ini, diperluas menjadi pelabelan super edge magic dari

G dengan , dimana ( ) dan { ( ) ( )

( )} juga { ( ) ( ) ( )}.

(R. M. Figueroa-Centeno, et al. 2001)

7

8 6

9 10

5

4 3

2

1

Page 23: PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE GRAF … · Pelabelan Graf 5 PEMBAHASAN 8 SIMPULAN DAN SARAN 2 8 Simpulan 28 Saran 2 8 DAFTAR PUSTAKA 28 ... dari simpul-simpul pada graf

9

Bukti

( ) Misalkan graf G merupakan graf super edge magic. Akan dibuktikan bahwa

graf G memiliki fungsi bijektif ( ) { } sedemikian sehingga

himpunan { ( ) ( ) ( ) ( )} merupakan himpunan yang terdiri

dari bilangan asli yang berurutan.

Misalkan G memiliki simpul dan sisi. Karena G graf super edge magic,

artinya ada ( ) { }, ( ) { } dan

konstanta sehingga ( ) ( ) ( ) untuk setiap ( ) ( ).

Karena ( ) ( ) ( ) maka dapat diperoleh

{ ( ) ( ) ( ) ( )} dan ( ) ( ) ( )

Karena ( ) { }, maka dapat diperoleh

{ ( ) ( ) ( )} yang merupakan himpunan yang

terdiri dari bilangan asli yang berurutan.

( ) Misalkan graf G memiliki fungsi bijektif ( ) { } sedemikian

sehingga himpunan { ( ) ( ) ( ) ( )} merupakan himpunan

yang terdiri dari bilangan asli yang berurutan. Akan dibuktikan bahwa graf G

memiliki pelabelan super edge magic dengan konstanta magic .

Misalkan graf G memiliki simpul dan sisi . Graf G memiliki fungsi

bijektif ( ) { } sedemikian sehingga { ( ) ( ) ( )

( )} merupakan himpunan yang terdiri dari bilangan asli yang berurutan.

Misal ( ). Diketahui ( ) { }.

Akan dibuktikan ( ) { } dan ada sedemikian

sehingga ( ) ( ) ( ), untuk setiap ( ) ( ).

Pilih ( ) ( ) ( ) Akibatnya diperoleh fungsi pelabelan

sisi

( ) ( ) ( )

( ( ) ( )), untuk { } dan .

Untuk suatu dan dapat diperoleh

( ) ( ) dengan ( ) sehingga

( ) ( ( ) ( ))

( ) ( )

Akibatnya diperoleh

( ( )) { ( ) ( )}

Jadi ( ( )) { }

Berikutnya akan ditunjukkan ada sehingga ( ) ( ) ( )

Pilih ,

akan dibuktikan ( ) ( ) ( ) untuk setiap ( ) ( ).

Tanpa mengurangi perumuman, ambil ( ) ( ) sebarang,

Page 24: PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE GRAF … · Pelabelan Graf 5 PEMBAHASAN 8 SIMPULAN DAN SARAN 2 8 Simpulan 28 Saran 2 8 DAFTAR PUSTAKA 28 ... dari simpul-simpul pada graf

10

misalkan ( ) ( ) dengan ( ).

Akibatnya diperoleh

( ( ) ( )) ( ( )) untuk suatu dan

( ) ( ( ))

Berikut ini diberikan dua ilustrasi untuk lebih memahami Lema 3.1. Ilustrasi

pertama akan ditunjukkan graf yang super edge magic dan memiliki himpunan

yang terdiri dari bilangan asli yang berurutan.

Misalkan diberikan graf seperti Gambar 7, banyaknya simpul dan sisi

ialah 5 ( ). Karena graf super edge magic, maka pilih ( )

{ } dan ( ) { }. Misalkan simpul-simpul pada graf

dipadankan dengan suatu nilai, yaitu:

( )

( )

( )

( )

( )

Maka, dapat diperoleh

{ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

sehingga,

{ }

{ }

merupakan himpunan yang terdiri dari 5 bilangan asli yang berurutan dan dapat

digambarkan sebagai berikut.

Gambar 10 Graf dan memiliki himpunan yang terdiri dari 5 bilangan asli yang

berurutan

Ilustrasi kedua akan ditunjukkan graf yang memiliki himpunan yang

terdiri dari bilangan asli yang berurutan dan memiliki pelabelan super edge

magic.

7

6 8

5 4

5

4 3

2

1

Page 25: PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE GRAF … · Pelabelan Graf 5 PEMBAHASAN 8 SIMPULAN DAN SARAN 2 8 Simpulan 28 Saran 2 8 DAFTAR PUSTAKA 28 ... dari simpul-simpul pada graf

11

Misalkan diberikan graf seperti Gambar 7, banyaknya simpul dan sisi

ialah 5 ( ). Misalkan juga graf memiliki ( ) { } dan

{ ( ) ( ) ( ) ( )}

{ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

{ }

{ }

maka, dipilih ( ) sehingga

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Dapat diperoleh dari

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

sehingga, graf merupakan graf super edge magic dan dapat dilihat pada

Gambar 9.

Selanjutnya akan dibahas beberapa teorema yang digunakan untuk

membuktikan bahwa graf dengan cycle ganjil memiliki pelabelan super edge

magic dengan menggunakan Lema 3.1.

Sebelum membuktikan Teorema 3.2, berikut diberikan contoh graf cycle

dengan himpunan sisi terdiri dari bilangan asli yang berurutan.

Misalkan diberikan graf cycle ber-order 3 dengan bentuk seperti pada

Gambar 11.

Gambar 11 Graf cycle ber-order 3

Misalkan simpul-simpul pada graf dipadankan dengan suatu nilai, yaitu :

( )

(𝑌 )

( )

Akibatnya, diperoleh :

S { ( ) ( ) ( ) (𝑌 ) ( ) (𝑌 )}

{ }

{ }

1

2

𝑌1

Page 26: PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE GRAF … · Pelabelan Graf 5 PEMBAHASAN 8 SIMPULAN DAN SARAN 2 8 Simpulan 28 Saran 2 8 DAFTAR PUSTAKA 28 ... dari simpul-simpul pada graf

12

Dari label-label simpul tersebut, dapat ditunjukkan bahwa himpunan sisi

dari graf tersebut terdiri dari bilangan asli yang berurutan dan dapat digambarkan

sebagai berikut.

Gambar 12 Graf cycle dan memiliki himpunan yang terdiri dari 3 bilangan

asli yang berurutan

Cara pelabelan tersebut merupakan salah satu contoh cara memperoleh

himpunan sisi yang terdiri dari bilangan asli yang berurutan pada suatu graf. Cara

ini juga digunakan untuk membuktikan Teorema 3.2.

Berikut akan dibuktikan Teorema 3.2 yang menyatakan bahwa graf

memiliki pelabelan super edge magic.

Teorema 3.2

( ) adalah super-edge magic, untuk setiap .

(Lee dan Lee, 2003)

Bukti

Diketahui graf ( ) memiliki jumlah simpul sebanyak dan jumlah

sisi sebanyak ( ) .

Didefinisikan fungsi ( ( ) ) { } dengan aturan :

( ) ;

( ) ;

(𝑌 ) ;

Akan dibuktikan bahwa graf ( ) memiliki fungsi bijektif ( ( ) )

{ } sedemikian sehingga himpunan { ( ) ( ) ( ) ( )} merupakan himpunan yang terdiri dari bilangan asli yang berurutan.

Dari definisi fungsi umum simpul, diperoleh fungsi umum sisi, yaitu:

( ) (𝑌 ) ;

( ) ( ) ;

( ) ( ( )) ;

( ) (𝑌 ) ;

1

2

3

4

5

3

Page 27: PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE GRAF … · Pelabelan Graf 5 PEMBAHASAN 8 SIMPULAN DAN SARAN 2 8 Simpulan 28 Saran 2 8 DAFTAR PUSTAKA 28 ... dari simpul-simpul pada graf

13

Sehingga, dapat diperoleh :

{ ( ) (𝑌 ) ( ) (𝑌 ) ( ) (𝑌 ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) (𝑌 ) ( ) ( ) ( )

( ( )) ( ) (𝑌 ) ( ) (𝑌 ) ( )

(𝑌 )}

Karena dan , maka dapat diperoleh :

{

( )

( )

}

{

}

{

}

{

}

{

}

merupakan himpunan yang berurutan.

Jadi, sesuai Lema 3.1 graf ( ) merupakan super-edge magic karena

memiliki himpunan yang terdiri dari bilangan asli yang berurutan.

Berikut ini diberikan ilustrasi untuk lebih memahami Teorema 3.2. Ada

beberapa ilustrasi yang akan diberikan. Pada dasarnya proses menunjukkan bahwa

graf memiliki himpunan sisi yang terdiri dari bilangan berurutan dengan mencoba

semua kemungkinan dengan mengikuti aturan yang ada.

Ilustrasi pertama, diberikan graf ( ) ber-order 4 dengan bentuk

seperti pada Gambar 13.

Gambar 13 Graf ( )

1

2

𝑌1 𝑌2

Page 28: PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE GRAF … · Pelabelan Graf 5 PEMBAHASAN 8 SIMPULAN DAN SARAN 2 8 Simpulan 28 Saran 2 8 DAFTAR PUSTAKA 28 ... dari simpul-simpul pada graf

14

Diketahui dan , maka simpul-simpul pada graf ( ) dapat

dipadankan dengan suatu nilai menurut aturan yang berlaku sebagai berikut :

( ) ( )

( ) ( )

(𝑌 )

(𝑌 )

Akibatnya, diperoleh

{ ( ) ( ) ( ) (𝑌 ) ( ) (𝑌 ) ( ) (𝑌 )

( ) (𝑌 )}

{ }

{ }

Dari label-label simpul tersebut, dapat ditunjukkan bahwa himpunan sisi

dari graf ( ) terdiri dari bilangan asli yang berurutan. Sehingga, graf

tersebut memiliki pelabelan super edge magic dan dapat digambarkan sebagai

berikut.

Gambar 14 Graf cycle ( ) dan memiliki himpunan yang terdiri

dari 5 bilangan asli yang berurutan

Ilustrasi kedua, diberikan graf ( ) ber-order 5 dengan bentuk seperti

pada Gambar 15.

Gambar 15 Graf ( )

Diketahui dan , maka simpul-simpul pada graf ( ) dapat

dipadankan dengan suatu nilai menurut aturan yang berlaku sebagai berikut :

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

(𝑌 )

1

2

4

5 6

3

3

7

4

3

4

2

1

𝑌1

Page 29: PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE GRAF … · Pelabelan Graf 5 PEMBAHASAN 8 SIMPULAN DAN SARAN 2 8 Simpulan 28 Saran 2 8 DAFTAR PUSTAKA 28 ... dari simpul-simpul pada graf

15

Akibatnya, diperoleh

{ ( ) ( ) ( ) (𝑌 ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) (𝑌 )}

{ }

{ }

Dari label-label simpul tersebut, dapat ditunjukkan bahwa himpunan sisi

dari graf ( ) terdiri dari bilangan asli yang berurutan. Sehingga, graf

tersebut memiliki pelabelan super edge magic dan dapat digambarkan sebagai

berikut.

Gambar 16 Graf cycle ( ) dan memiliki himpunan yang terdiri

dari 5 bilangan asli yang berurutan

Sebelum membuktikan Teorema 3.3, berikut diberikan contoh graf planar

yang memiliki himpunan sisi yang terdiri dari bilangan asli yang berurutan.

Misalkan diberikan graf planar ber-order 5 dengan bentuk seperti pada

Gambar 17.

Gambar 17 Graf planar ber-order 5

Misalkan simpul-simpul pada graf planar ber-order 5 dipadankan dengan suatu

nilai, yaitu :

( )

( )

( )

( )

( )

1

2

4

5

6

8

3

7

4

5

1 2

1

2

1

Page 30: PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE GRAF … · Pelabelan Graf 5 PEMBAHASAN 8 SIMPULAN DAN SARAN 2 8 Simpulan 28 Saran 2 8 DAFTAR PUSTAKA 28 ... dari simpul-simpul pada graf

16

Akibatnya, diperoleh :

S { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

{ }

{ }

Dari label-label simpul tersebut, dapat ditunjukkan bahwa himpunan sisi

dari graf tersebut terdiri dari bilangan asli yang berurutan dan dapat digambarkan

sebagai berikut.

Gambar 18 Graf planar ber-order 5 dan memiliki himpunan yang terdiri

dari 7 bilangan asli yang berurutan

Contoh ini digunakan untuk membuktikan Teorema 3.3.

Berikut akan dibuktikan Teorema 3.3 yang menyatakan bahwa graf planar

memiliki pelabelan super edge magic.

Teorema 3.3

Untuk , graf planar (( ) ) adalah super-edge magic.

(Lee dan Lee, 2003)

Bukti

Diketahui graf (( ) ) memiliki jumlah simpul sebanyak dan

jumlah sisi sebanyak .

Didefinisikan fungsi (( ) ) { } dengan aturan :

( )

( )

( )

( )

( ) ;

Akan dibuktikan bahwa graf (( ) ) memiliki fungsi bijektif ((

) ) { } sedemikian sehingga himpunan { ( ) ( ) ( ) ( )} merupakan himpunan yang terdiri dari bilangan asli yang berurutan.

1 5

3

4

2 3

4

5 6

7

8

9

Page 31: PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE GRAF … · Pelabelan Graf 5 PEMBAHASAN 8 SIMPULAN DAN SARAN 2 8 Simpulan 28 Saran 2 8 DAFTAR PUSTAKA 28 ... dari simpul-simpul pada graf

17

Dari definisi fungsi umum simpul, diperoleh fungsi umum sisi, yaitu:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ;

( ) ( ) ;

Sehingga, dapat diperoleh :

{ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

Karena , maka dapat diperoleh :

{

}

{

}

{

}

merupakan himpunan yang berurutan.

Jadi, sesuai Lema 3.1 graf planar (( ) ) merupakan super-

edge magic karena memiliki himpunan yang terdiri dari bilangan asli yang

berurutan.

Berikut ini akan diberikan beberapa ilustrasi untuk lebih memahami

Teorema 3.3.

Ilustrasi pertama, diberikan graf planar (( ) ) ber-order 6

dengan bentuk seperti pada Gambar 19.

Gambar 19 Graf (( ) )

1 2

2

2

1

1

Page 32: PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE GRAF … · Pelabelan Graf 5 PEMBAHASAN 8 SIMPULAN DAN SARAN 2 8 Simpulan 28 Saran 2 8 DAFTAR PUSTAKA 28 ... dari simpul-simpul pada graf

18

Diketahui , maka simpul-simpul pada graf (( ) ) dapat

dipadankan dengan suatu nilai menurut aturan yang berlaku sebagai berikut :

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Akibatnya, diperoleh :

S { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )}

{ }

{ }

Dari label-label simpul tersebut, dapat ditunjukkan bahwa himpunan sisi

dari graf (( ) ) terdiri dari bilangan asli yang berurutan. Sehingga,

graf tersebut adalah graf super edge magic dan dapat digambarkan sebagai

berikut.

1 6

4

5

2

3

3

4 5

6

7

8

9 10

11

Gambar 20 Graf (( ) ) dan memiliki himpunan yang terdiri

dari 9 bilangan asli yang berurutan

Ilustrasi kedua, diberikan graf (( ) ) ber-order 7 dengan

bentuk seperti pada Gambar 21.

Gambar 21 Graf (( ) )

1 2

3

2

1

1

2

Page 33: PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE GRAF … · Pelabelan Graf 5 PEMBAHASAN 8 SIMPULAN DAN SARAN 2 8 Simpulan 28 Saran 2 8 DAFTAR PUSTAKA 28 ... dari simpul-simpul pada graf

19

Diketahui , maka simpul-simpul pada graf (( ) ) dapat

dipadankan dengan suatu nilai menurut aturan yang berlaku sebagai berikut :

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Akibatnya, diperoleh

S { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

{ }

{ }

Dari label-label simpul tersebut, dapat ditunjukkan bahwa himpunan sisi

dari graf (( ) ) terdiri dari bilangan asli yang berurutan. Sehingga,

graf tersebut adalah graf super edge magic dan dapat digambarkan sebagai

berikut.

Gambar 22 Graf (( ) ) dan memiliki himpunan yang terdiri

dari 11 bilangan asli yang berurutan

Sebelum membuktikan Teorema 3.4, berikut diberikan contoh graf jalinan

yang memiliki himpunan sisi yang terdiri dari bilangan asli yang berurutan.

Misalkan diberikan graf jalinan ber-order 6 dengan bentuk seperti pada

Gambar 23.

Gambar 23 Graf jalinan ber-order 6

1 7

5

6

2

4

3

5 6

7

8

9

11

12

13

3

4 10

2 3 1

2 3 1

Page 34: PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE GRAF … · Pelabelan Graf 5 PEMBAHASAN 8 SIMPULAN DAN SARAN 2 8 Simpulan 28 Saran 2 8 DAFTAR PUSTAKA 28 ... dari simpul-simpul pada graf

20

Misalkan simpul-simpul pada graf jalinan ber-order 6 dipadankan dengan suatu

nilai, yaitu :

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Akibatnya, diperoleh

S { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

{ }

{ }

Dari label-label simpul tersebut, dapat ditunjukkan bahwa himpunan sisi

dari graf tersebut terdiri dari bilangan asli yang berurutan dan dapat digambarkan

sebagai berikut.

Gambar 24 Graf jalinan ber-order 6 dan memiliki himpunan yang terdiri

dari 7 bilangan asli yang berurutan

Contoh ini digunakan untuk membuktikan Teorema 3.4.

Berikut akan dibuktikan Teorema 3.4 yang menyatakan bahwa graf jalinan

memiliki pelabelan super edge magic.

Teorema 3.4

Graf jalinan ( ) adalah super-edge magic untuk setiap .

(Lee dan Lee, 2003)

Bukti

Diketahui graf ( ) memiliki jumlah simpul sebanyak dan jumlah sisi

sebanyak .

Didefinisikan fungsi ( ( )) { } dengan aturan :

( )

( )

4

6

1 3 5

2 4 6

8

10

5 7 9

Page 35: PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE GRAF … · Pelabelan Graf 5 PEMBAHASAN 8 SIMPULAN DAN SARAN 2 8 Simpulan 28 Saran 2 8 DAFTAR PUSTAKA 28 ... dari simpul-simpul pada graf

21

Akan dibuktikan bahwa graf B(n) memiliki fungsi bijektif ( ( )) { }

sedemikian sehingga himpunan { ( ) ( ) ( ) ( )} merupakan himpunan

yang terdiri dari bilangan asli yang berurutan.

Dari definisi fungsi umum simpul, diperoleh fungsi umum sisi, yaitu:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Sehingga, dapat diperoleh :

{ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

Karena , maka dapat diperoleh :

{ ( ) ( ) ( )

( ) }

{ }

{ }

merupakan himpunan yang berurutan.

Jadi, sesuai Lema 3.1 graf ( ) merupakan super-edge magic karena memiliki

himpunan yang terdiri dari bilangan asli yang berurutan.

Berikut ini akan diberikan beberapa ilustrasi untuk lebih memahami

Teorema 3.4.

Ilustrasi pertama, diberikan graf jalinan ( ) ber-order 8 dengan bentuk

seperti pada Gambar 25.

Gambar 25 Graf ( )

2 3 4 1

2 3 4 1

Page 36: PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE GRAF … · Pelabelan Graf 5 PEMBAHASAN 8 SIMPULAN DAN SARAN 2 8 Simpulan 28 Saran 2 8 DAFTAR PUSTAKA 28 ... dari simpul-simpul pada graf

22

Diketahui , maka simpul-simpul pada graf ( ) dapat dipadankan dengan

suatu nilai menurut aturan yang berlaku sebagai berikut :

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Akibatnya, diperoleh :

S { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

{ }

{ }

Dari label-label simpul tersebut, dapat ditunjukkan bahwa himpunan sisi

dari graf ( ) terdiri dari bilangan asli yang berurutan. Sehingga, graf tersebut

merupakan graf super edge magic dan dapat digambarkan sebagai berikut.

Gambar 26 Graf ( ) dan memiliki himpunan yang terdiri

dari 11 bilangan asli yang berurutan

Ilustrasi kedua, diberikan graf ( ) ber-order 10 dengan bentuk seperti

pada Gambar 27.

Gambar 27 Graf ( )

4

6

1 3 5 7

2 4 6 8

8

10

5 7 9 11

12

13

14

5

5

2 3 4 1

2 3 4 1

Page 37: PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE GRAF … · Pelabelan Graf 5 PEMBAHASAN 8 SIMPULAN DAN SARAN 2 8 Simpulan 28 Saran 2 8 DAFTAR PUSTAKA 28 ... dari simpul-simpul pada graf

23

Diketahui , maka simpul-simpul pada graf ( ) dapat dipadankan dengan

suatu nilai menurut aturan yang berlaku sebagai berikut :

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Akibatnya, diperoleh :

S { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

{

}

{ }

Dari label-label simpul tersebut, dapat ditunjukkan bahwa himpunan sisi

dari graf ( ) terdiri dari bilangan asli yang berurutan. Sehingga, graf tersebut

merupakan graf super edge magic dan dapat digambarkan sebagai berikut.

Gambar 28 Graf ( ) dan memiliki himpunan yang terdiri

dari 15 bilangan asli yang berurutan

Sebelum membuktikan Teorema 3.5, berikut diberikan contoh graf ubur-

ubur yang memiliki himpunan sisi yang terdiri dari bilangan asli yang berurutan.

Misalkan diberikan graf ubur-ubur ber-order 6 dengan bentuk seperti pada

Gambar 29.

4

6

1 3 5 7 9

2 4 6 8

8

10 10

5 7 9 11

12

13

14

15

16

17

18

Page 38: PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE GRAF … · Pelabelan Graf 5 PEMBAHASAN 8 SIMPULAN DAN SARAN 2 8 Simpulan 28 Saran 2 8 DAFTAR PUSTAKA 28 ... dari simpul-simpul pada graf

24

Gambar 29 Graf ubur-ubur ber-order 6

Misalkan simpul-simpul pada graf ubur-ubur ber-order 6 dipadankan dengan

suatu nilai, yaitu :

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Akibatnya, diperoleh :

S { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

{ }

{ }

Dari label-label simpul tersebut, dapat ditunjukkan bahwa himpunan sisi

dari graf tersebut terdiri dari bilangan asli yang berurutan dan dapat digambarkan

sebagai berikut.

Gambar 30 Graf ubur-ubur ber-order 6 dan memiliki himpunan yang

terdiri dari 7 bilangan asli yang berurutan

Contoh ini digunakan untuk membuktikan Teorema 3.5.

Berikut akan dibuktikan Teorema 3.5 yang menyatakan bahwa graf ubur-

ubur memiliki pelabelan super edge magic.

1 1

2

3 4

5

1 6

5 6

7

8 9

4 10

Page 39: PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE GRAF … · Pelabelan Graf 5 PEMBAHASAN 8 SIMPULAN DAN SARAN 2 8 Simpulan 28 Saran 2 8 DAFTAR PUSTAKA 28 ... dari simpul-simpul pada graf

25

Teorema 3.5

Graf ubur-ubur ( ) adalah super-edge magic untuk setiap .

(Lee dan Lee, 2003)

Bukti

Diketahui graf ( ) memiliki jumlah simpul sebanyak dan jumlah

sisi sebanyak .

Didefinisikan fungsi ( ( )) { } dengan aturan :

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Akan dibuktikan bahwa graf B(n) memiliki fungsi bijektif ( ( ))

{ } sedemikian sehingga himpunan { ( ) ( ) ( ) ( )} merupakan himpunan yang terdiri dari bilangan asli yang berurutan.

Dari definisi fungsi umum simpul, diperoleh fungsi umum sisi, yaitu:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Sehingga, dapat diperoleh :

{ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

Karena , maka dapat diperoleh :

{ ( )

( ) }

{

}

merupakan himpunan yang berurutan.

Jadi, sesuai Lema 3.1 graf ( ) merupakan super-edge magic karena

memiliki himpunan yang terdiri dari bilangan asli yang berurutan

.

Page 40: PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE GRAF … · Pelabelan Graf 5 PEMBAHASAN 8 SIMPULAN DAN SARAN 2 8 Simpulan 28 Saran 2 8 DAFTAR PUSTAKA 28 ... dari simpul-simpul pada graf

26

Berikut ini akan diberikan beberapa ilustrasi untuk lebih memahami

Teorema 3.5.

Ilustrasi pertama, diberikan graf ubur-ubur ( ) ber-order 8 dengan

bentuk seperti pada Gambar 31.

Gambar 31 Graf ubur-ubur ( )

Diketahui dan , maka simpul-simpul pada graf ( ) dapat

dipadankan dengan suatu nilai menurut aturan yang berlaku sebagai berikut :

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Akibatnya, diperoleh :

S { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

{ }

{ }

Dari label-label simpul tersebut, dapat ditunjukkan bahwa himpunan sisi

dari graf tersebut terdiri dari bilangan asli yang berurutan. Sehingga, graf ubur-

ubur ( ) merupakan graf yang memiliki pelabelan super edge magic dan dapat

digambarkan sebagai berikut.

Gambar 32 Graf ubur-ubur ( ) dan memiliki himpunan yang terdiri

dari 9 bilangan asli yang berurutan

1 1

2 2

1 7

3

4 5

6

2 8

6 5 10

9

8 7

11

12 13

Page 41: PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE GRAF … · Pelabelan Graf 5 PEMBAHASAN 8 SIMPULAN DAN SARAN 2 8 Simpulan 28 Saran 2 8 DAFTAR PUSTAKA 28 ... dari simpul-simpul pada graf

27

Ilustrasi kedua, diberikan graf ubur-ubur ( ) ber-order 9 dengan bentuk

seperti pada Gambar 33.

Gambar 33 Graf ubur-ubur ( )

Diketahui dan , maka simpul-simpul pada graf dipadankan

dengan suatu nilai menurut aturan yang berlaku sebagai berikut :

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Akibatnya, diperoleh :

S { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

{ }

{ }

Dari label-label simpul tersebut, dapat ditunjukkan bahwa himpunan sisi

dari graf tersebut terdiri dari bilangan asli yang berurutan. Sehingga, graf ubur-

ubur ( ) merupakan graf super edge magic dan dapat digambarkan sebagai

berikut.

Gambar 34 Graf ubur-ubur ( ) dan memiliki himpunan yang terdiri

dari 10 bilangan asli yang berurutan

1 1

2 2 3

1 7

3

4 5

6

2 8 9

6 5 10

9

8 7

11

12 13 14

Page 42: PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE GRAF … · Pelabelan Graf 5 PEMBAHASAN 8 SIMPULAN DAN SARAN 2 8 Simpulan 28 Saran 2 8 DAFTAR PUSTAKA 28 ... dari simpul-simpul pada graf

28

SIMPULAN DAN SARAN

Simpulan

Dalam karya ilmiah ini telah dibuktikan bahwa suatu graf adalah graf super

edge magic jika dan hanya jika graf tersebut memiliki himpunan yang

beranggotakan hasil penjumlahan label dua simpul yang adjacent dan terdiri dari

bilangan asli yang berurutan.

Dalam karya ilmiah ini juga ditunjukkan bahwa graf cycle ( ( ) ),

graf planar (( ) ), graf jalinan, dan graf ubur-ubur dengan cycle

ganjil memiliki himpunan beranggotakan hasil penjumlahan label dua simpul

yang adjacent dan terdiri dari bilangan asli yang berurutan. Sehingga, graf

tersebut merupakan graf yang memiliki pelabelan super edge magic.

Saran

Karya ilmiah ini membahas pelabelan super edge magic pada beberapa graf

dengan cycle ganjil. Bagi yang berminat membuat karya ilmiah yang berhubungan

dengan pelabelan super edge magic dapat mencari penyelesaian masalah

pelabelan pada graf lainnya.

DAFTAR PUSTAKA

Chartrand G, Oollermann OR. 1993, Applied and Algorithm Graph Theory.

New York (US) : Mc Graw-Hill.

Enomoto H, Llado AS., Nakamigawa T, Ringel G. 1998. Super edge-magic

graphs. SUT J. Math, 34(2), 105-109.

Figueroa-Centeno RM, Ichishima R, Muntaner-Batle FA. 2001. The place of

super edge-magic labelings among other classes of labelings. Discrete

Mathematics, 231(1), 153-168.

Foulds LR. 1992. Graph Theory Applications. New York (US): Spinger-

Verlag.

Lee SM, Lee ANT. 2003. On super edge-magic graphs with many odd cycles.

Congressus Numerantium, 65-80.

Page 43: PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE GRAF … · Pelabelan Graf 5 PEMBAHASAN 8 SIMPULAN DAN SARAN 2 8 Simpulan 28 Saran 2 8 DAFTAR PUSTAKA 28 ... dari simpul-simpul pada graf

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 21 Agustus 1992 dari ayah H.

Ikhwan Darmawan dan ibu Hj. Sumiyati. Penulis adalah putri ketiga dari empat

bersaudara. Tahun 2010 penulis lulus dari SMA Negeri 82 Jakarta dan pada tahun

yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui

jalur Undangan Seleksi Masuk IPB dan diterima di Departemen Matematika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif mengajar privat mata kuliah

kalkulus TPB di bimbingan belajar dan privat mahasiswa Smart Quantum dan

mengajar privat untuk tingkat SD, SMP, SMA dan D3 IPB di bimbingan belajar

dan privat. Penulis juga aktif sebagai bendahara Departemen Komunikasi dan

Informasi BEM FMIPA pada tahun 2011/2012 dan staf Departemen

Pengembangan Sumber Daya Mahasiswa Gugus Mahasiswa Matematika pada

tahun 2012/2013. Penulis juga pernah aktif di organisasi luar kampus sebagai staf

Departemen Komunikasi dan Informasi Ikatan Himpunan Mahasiswa Matematika

Wilayah 3, yaitu Jawa Barat, Banten, DKI Jakarta dan Kalimantan Barat. Selain

itu, penulis juga aktif dalam berbagai kepanitiaan di antaranya panitia IPB

Mathematics Challenge (IMC) sebagai bendahara Divisi Humas pada tahun 2012,

panitia Sport Competition and Art Festival on MIPA Faculty (SPIRIT) sebagai

anggota Divisi Humas pada tahun 2012, Community Development (COMDEV)

IKAHIMATIKA INDONESIA Wilayah 3 Regional Jabodetabek dan Banten

sebagai Sekretaris Umum pada tahun 2012, dan aktif membantu di berbagai

kepanitiaan lainnya.

Penulis juga aktif mengikuti kepanitiaan berbagai acara selama menjadi

staf organisasi BEM dan GUMATIKA. Dan pernah mengikuti acara Kongres

Nasional Ikatan Himpunan Mahasiswa Matematika Se-Indonesia di UM Metro,

Lampung.