Pelabelan Product Cordial Gabungan Salinan di antara Graf ...digilib.uin-suka.ac.id/16942/1/BAB I,...

Pelabelan Product Cordial Gabungan Salinan di antara Graf

Helm dan Graf Helm Tertutup

SKRIPSI

Untuk memenuhi sebagian persyaratan mencapai derajat Sarjana S-1

Disusun oleh

Irfan Setiawan

11610049

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN KALIJAGA

YOGYAKARTA

2015

e,J Universitas lstam Negeri Sunan Kaliiaga narrF-',- FM-UTNSK-BM-O5-o3/RO

Hal : Persetujuan Skipsi

Lamp : -

Kepada

Yth. Dekan Fakultas Sains dan Teknologi

UIN Sunan Kalijag Yogyakaft

di Yogyakarta

Assalamu?laikum wr. wb.

Setelah membaca, rneneliti, mernberikan petunjuk dan rnengoreKi serta mengadakan perbailon

seperlunya, malo lomi selaku pernbimbing berpendapat bahwa skipsi Saudara:

Nama

NIM

: Irfan Setiawan

:1161ffi49

Judul Skipsi .: Pdabelan Wrct@rdialGabungan Salinan di antara Graf Helm dan Graf Helm

Teftrtup

sudah dapat dhjukan kembali kepada Prcgram Studi llatematika Fafultas Sains dan Teknologi UIN Sunan

lGluaga Yogtrakafta sebagai sahh sall qarat untuk memperoleh gelar Safiana Sffi Satu datam Program

Studi MatemaUka Fakullas Sains dan Teknologi.

Dengan ini kami mengharap agar skipsi/trgas akhir Saudam tersebut di atas dapat segera

dimunaqosrphlon. Atas perhatiannya kami ucapkan terima losih.

Wasslamu'alaikum wn wb.

Yogyakarta, 12 Mei 2015

Dra. Khurul Warpati, M.Si.

NIP. 19650731 200003 2 001

I

..'.J Universitas lslam Negeri Sunan Kaliiaga,4. *fA'r CERTt-E'"- Flrl -UI NSK-BM-O5-O3/ RO

Hal : Persetujuan Skipsi

Lamp : -

Kepada

Yth. Dekan Fakultas Sains dan Teknologi

UIN Sunan lGlijag Yogryrakarta

di Yogyakarta

Asglamu'alakum wr. wb.

Setelah membaca, meneliti, mernberikan petunjuk dan mengoreksi serta mengadakan perbaikan

seperlunya, malo lomi sdalar pembimbing berpendapat bahwa skipsi Saudam:

Nama

NIM

: Irfan Setiawan

:1151ffi219

Judul Skipsi .: Pelabelan Wuct@rdial@bungan Salinan di antara Graf Helm dan Graf Helm

TerhrUp

sudah dapat diajulon kembali kepada Program Sh.rdi MatemaUka Fal(ljltas Sains dan Teknologi UIN Sunan

KalUaga YogryElGrta sebagai salah saUJ qBrat untrk memperoleh gelar Sarjana Strata Satu dalam Program

S[rdi MatemaUka Fakultas Sains dan Tetnologi.

Dengan ini kami mengharap agar skipsi/tugas akhir Saudar:a tersebut di atas dapat segenr

dimunaqsyahkan. Atas perhaUannya kami ucapkan terima kasih.

Wassbmu'abikum wr. wb.

Yogyakarta, 12 lvlei 2015

PAbins rr_*t ..={,--V-\Y

Ptuehammad Abrori, S.Si., M.Kom.

NrP. L9720423 199903 1 003

iii

SURAT PERNYATAAN KEASLIAN SKRIPSI

Saya yang bertanda tangan di bawah ini:

Nama

NIM

Irfan Setiawan

11610049

Prodi/Smt : Maternatika/ VIII

Fakultas Sains dan Teknologr

Menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang berjudul "Pelabelan

Prodttct Cordial Gabungan Salinan di antara Graf Helm dan Graf Helm

Tertr.ttup" adalah benar-benar hasil karya sendiri melainkan bukan jiplakan,

kecuali jika dalam pengutipan substansi disebutkan sumbernya dalam daftar

pustaka dan setrianjang pengetahuan saya juga tidak terdapat karya dalam tugas

akhir yang pernah ditulis oleh orang lain.

Yogyakarta, 18 Mei 2015

Yang menyatakan,

NrM.11610049

vi

HALAMAN PERSEMBAHAN

“Saya mempersembahkan karya ini untuk

almamater tercinta Universitas Islam Negeri Sunan Kalijaga,

kedua orang tua tercinta

dan semua pihak yang telah mengerahkan segala bantuannya.”

vii

HALAMAN MOTTO

“Janganlah kamu bersikap lemah,

dan jangan pula kamu bersedih hati,

padahal kamulah orang-orang yang paling tinggi derajatnya,

jika kamu orang-orang yang beriman”.

(Surah Al-Imran Ayat 139)

“Semangatlah dalam hal yang bermanfaat untukmu,

minta tolonglah pada Allah,

dan jangan malas (patah semangat)“.

(H.R. Muslim No. 2664)

“Belajarlah selagi yang lain sedang tidur,

bekerjalah selagi yang lain sedang bermalas-malasan,

bersiap-siaplah selagi yang lain sedang bermain

dan bermimpilah selagi yang lain sedang berharap” .

(William Arthur Ward)

viii

KATA PENGANTAR

Penulis menyampaikan puji dan rasa syukur yang sebesar-besarnya ke

hadirat Allah Swt., yang telah menganugerahkan segala karunia dan hidayah-Nya,

sehingga Penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini. Sholawat dan salam

semoga tercurahkan kepada Nabi Muhammad Saw., beserta keluarga, sahabat, dan

seluruh umat Islam di dunia. Amin.

Tugas akhir dengan judul “Pelabelan Product Cordial Gabungan

Salinan di antara Graf Helm dan Graf Helm Tertutup” telah diselesaikan oleh

penulis guna memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Strata

Satu di Program Studi Matematika pada Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan

Kalijaga Yogyakarta.

Penulis menyadari sepenuh hati bahwa penulisan tugas akhir ini tidak

akan terwujud sebagaimana mestinya tanpa disertai dengan motivasi, arahan, dan

bimbingan dari berbagai pihak.

Saya sebagai penulis menyampaikan ucapan terima kasih yang sebesar-

besarnya kepada:

1. Ibu Dr. Maizer Said Nahdi, M.Si. selaku Dekan Fakultas Sains dan

Teknologi Universitas Islam Negeri Sunan Kalijaga Yogyakarta.

2. Bapak Dr. M. Wakhid Musthofa selaku Ketua Program Studi Matematika.

ix

3. Ibu Dra. Khurul Wardati, M.Si. selaku Pembimbing I yang telah

meluangkan waktu untuk membantu, memotivasi, membimbing dan

mengarahkan penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini.

4. Bapak Abrori, S.Si., M.Kom. selaku Pembimbing II yang telah

meluangkan waktu membantu, memotivasi, membimbing dan

mengarahkan dalam menyelesaikan tugas akhir ini.

5. Ibu Malahayati, M.Sc., selaku dosen pembimbing akademik yang telah

bersedia mengarahkan dan memberikan motivasi selama menduduki

bangku kuliah di Program Studi Matematika.

6. Semua Bapak/Ibu dosen yang telah membimbing saya lewat pengajaran,

arahan, dan dukungan selama menempuh pendidikan di kampus tercinta

ini.

7. Ayahanda, Ibunda, Kakak, dan Adik tercinta dan tersayang yang selalu

memberikan dukungan lewat do’a dan kasih sayang sehingga membuat

penulis selalu merasa bersemangat dalam mengerjakan tugas akhir ini.

8. Semua sahabat di Pondok Al-Barokah yang senantiasa selalu mendo’akan

dan memotivasi penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini.

9. Teman-teman seperjuangan Matematika 2011 yang telah setia menjadi

teman belajar penulis selama ini.

10. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu yang telah

membantu dalam penyelesaian tugas akhir ini.

xi

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL .......................................................................... i

HALAMAN PERSETUJUAN SKRIPSI ........................................... ii

HALAMAN PENGESAHAN SKRIPSI ............................................ iv

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN SKRIPSI ....................... v

HALAMAN PERSEMBAHAN ......................................................... vi

HALAMAN MOTTO ........................................................................ vii

KATA PENGANTAR ........................................................................ viii

DAFTAR ISI ...................................................................................... xi

DAFTAR GAMBAR .......................................................................... xiii

DAFTAR TABEL .............................................................................. xvi

DAFTAR LAMBANG ....................................................................... xvii

ABSTRAK .......................................................................................... xviii

BAB I PENDAHULUAN ................................................................... 1

1.1 Latar Belakang ................................................................... 1

1.2 Batasan Masalah ................................................................. 6

1.3 Rumusan Masalah............................................................... 7

1.4 Tujuan Penelitian ................................................................ 7

1.5 Manfaat Penelitian .............................................................. 8

1.6 Tinjauan Pustaka ................................................................ 8

1.7 Sistematika Penulisan ......................................................... 11

1.8 Metode Penelitian ............................................................... 12

xii

BAB II LANDASAN TEORI ............................................................. 16

2.1 Himpunan ......................................................................... 16

2.2 Teori Graf......................................................................... 18

2.3 Fungsi .............................................................................. 31

2.4 Kombinatorik ................................................................... 37

2.5 Nilai Mutlak ..................................................................... 37

BAB III PELABELAN PRODUCT CORDIAL SISI PADA GRAF HELM

DAN GRAF HELM TERTUTUP ........................................ 39

3.1 Pelabelan Product Cordial Sisi ......................................... 39

BAB IV PELABELAN PRODUCT CORDIAL GABUNGAN SALINAN DI

ANTARA GRAF HELM DAN GRAF HELM TERTUTUP 62

4.1 Pelabelan Product Cordial ................................................ 62

BAB V PENUTUP............................................................................. 116

5.1 Kesimpulan ...................................................................... 116

5.2 Saran ................................................................................ 117

DAFTAR PUSTAKA ......................................................................... 118

xiii

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 Skema Penelitian .............................................................. 15

Gambar 2.1 Graf 1G ............................................................................. 19

Gambar 2.2 Graf Tidak Berarah 2G ..................................................... 20

Gambar 2.3 Graf 3G ............................................................................ 21

Gambar 2.4 Graf 4G ............................................................................ 23

Gambar 2.5 Graf 5G ............................................................................ 24

Gambar 2.6 Graf Terkoneksi6G dan

7G .............................................. 25

Gambar 2.7 Graf Sederhana 8G ........................................................... 26

Gambar 2.8 Graf 3-reguler dan 4-reguler ............................................. 27

Gambar 2.9 Graf Lengkap 1K , 2K dan 3K .......................................... 28

Gambar 2.10 Graf Siklus 4C dan 5C ................................................... 29

Gambar 2.11 Graf 9G , 10G dan 9 10G G .............................................. 30

Gambar 2.12 Ilustrasi Fungsi ............................................................... 33

Gambar 2.13 Jenis-Jenis Fungsi ........................................................... 35

Gambar 3.1 Graf Roda 3W dan 5W ....................................................... 40

Gambar 3.2 Graf 11G ........................................................................... 41

Gambar 3.3 Graf Helm 11H ................................................................. 42

Gambar 3.4 Graf Helm Tertutup 11CH ................................................. 43

Gambar 3.5 Graf Siklus 6C .................................................................. 45


xiv



Gambar 3.9 Graf Helm 11H ................................................................. 53

Gambar 3.10 Graf Helm 7H ................................................................ 54



Gambar 3.13 Graf Helm Tertutup 12CH ............................................... 59

Gambar 3.14 Graf Helm Tertutup 7CH ............................................... 61

Gambar 4.1 Graf Gear 8G ................................................................... 64



Gambar 4.4 Gabungan Lintasan 3 Salinan Graf Roda 4W ..................... 70

Gambar 4.5 Gabungan Lintasan 5 Salinan Graf Helm 7H ................... 80

Gambar 4.6 Gabungan Lintasan 5 Salinan Graf Helm 3H .................... 81

Gambar 4.7 Gabungan Lintasan 5 Salinan Graf Helm 10H ................... 83



Gambar 4.10 Gabungan Lintasan 4 Salinan Graf Helm 4H .................. 86

Gambar 4.11 Gabungan Lintasan 4 Salinan Graf Helm 4H .................. 88

Gambar 4.12 Gabungan Lintasan 3 Salinan Graf Helm Tertutup 7CH . 92


xv




Gambar 4.17 Gabungan 2 Salinan Graf Helm 4H dengan Lintasan

9P 101


8P . 102


5P . 103


5P . 104

Gambar 4.21 Gabungan 2 Salinan Graf Helm Terutup 6CH dengan

Lintasan 6P ..................................................................... 108

Gambar 4.22 Gabungan 2 Salinan Graf Helm Tertutup 6CH dengan

Lintasan 8P ..................................................................... 109


Lintasan 9P .................................................................... 110


Lintasan 11P ..................................................................... 111

Gambar 4.25 Gabungan 2 Salinan Graf Helm 5H dengan Lintasan 4P . 112

Gambar 4.26 Gabungan 2 Salinan Graf Helm 5H dengan Lintasan 4P .. 113

Gambar 4.27 Gabungan 2 Salinan Graf Helm 6H dengan Lintasan 4P . 114


Lintasan 5P ..................................................................... 115

xvi

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 Persamaan dan Perbedaan Penelitian .................................... 10

xvii

DAFTAR LAMBANG

: Kurang dari sama dengan

( )V G : Himpunan Simpul

( )E G : Himpunan Sisi

nC : Graf Siklus

nW : Graf Roda

nG : Graf Gear

nH : Graf Helm

nCH : Graf Helm Tertutup

( )f e : Fungsi Pelabelan Sisi

( )f v : Fungsi Pelabelan Simpul

: Akhir dari suatu pembuktian

xviii

PELABELAN PRODUCT CORDIAL GABUNGAN SALINAN DI ANTARA

GRAF HELM DAN GRAF HELM TERTUTUP

ABSTRAK

Pelabelan merupakan salah satu konsep yang muncul sebagai hasil

perkembangan dari teori graf. Pelabelan graf berperan vital dalam beberapa

bidang ilmu pengetahuan, seperti, astronomi, teori pengkodean, x-ray

crystallography, radar dan manajemen database. Pelabelan yang akan digunakan

dalam kasus ini adalah product cordial dan product cordial sisi. Kedua pelabelan

tersebut muncul setelah adanya penelitian pelabelan cordial yang dilakukan oleh

Cahit. Graf Cordial diinvestigasi oleh Cahit melalui graf famili, sehingga tujuan

dalam penelitian ini untuk mengkaji lebih dalam mengenai pelabelan product

cordial sisi pada graf famili yaitu graf helm dan helm tertutup dan product cordial

pada gabungan salinan di antara keduanya. Cara yang digunakan dalam

membuktikan kedua pelabelan tersebut yaitu dengan menggunakan aturan

kombinatorik dan memperhatikan simpul yang saling adjacent dan sisi yang

saling incident.

Terdapat istilah fungsi diinduksi dalam pelabelan product cordial dan

product cordial sisi yang memuat aturan product. Perbedaannya, jika aturan

product pada pelabelan product cordial sisi yang digunakan adalah sisinya,

sedangkan product cordial menggunakan simpul-simpulnya. Hasil penelitian

menyatakan bahwa dengan menggunakan pola tertentu untuk kasus n ganjil dan

genap pada graf helm dan graf helm tertutup berlaku pelabelan product cordial

sisi, sedangkan pada gabungan salinan di antara keduanya berlaku pelabelan

product cordial. Graf yang memenuhi pelabelan product cordial disebut sebagai

graf product cordial, sedangkan graf yang memenuhi pelabelan product cordial

sisi disebut sebagai graf product cordial sisi.

Kata Kunci: Pelabelan product cordial, pelabelan product cordial sisi, graf helm

dan graf helm tertutup.

1

BAB I

Pendahuluan

1.1 Latar Belakang

Teori graf merupakan bagian dari ilmu matematika yang umurnya

tergolong muda jika dibandingkan dengan ilmu yang lainnya. Teori graf

mulai ditemukan pada tahun 1736 oleh Leonhard Euler (1707-1783).

Masalah yang harus dipecahkan pada saat itu adalah terkait dengan jembatan

Konisberg. Jembatan tersebut terdiri atas tujuh jembatan yang terletak di atas

sungai Pregel. Jembatan tersebut hanya boleh dilewati tepat satu kali dalam

menempuh empat kawasan yang terhubung satu sama lain di kota Konisberg.

Jika empat kawasan tadi diasumsikan sebagai simpul dan tujuh jembatannya

sebagai sisi maka terbentuklah awal mula konsep teori graf.

Salah satu hasil dari perkembangan teori graf yaitu munculnya konsep

tentang pelabelan atau dikenal dengan istilah valuation yaitu suatu pemetaan

yang membawa elemen-elemen graf pada bilangan-bilangan yang biasanya

berupa bilangan bulat positif atau non-negatif. Pilihan domain yang paling

lazim digunakan adalah semua himpunan simpul dan sisi yang disebut

sebagai pelabelan total, himpunan simpul (pelabelan simpul), atau himpunan

sisi (pelabelan sisi) (Wallis, 2001).

2

Pelabelan graf memainkan banyak peran vital dalam bidang ilmu

pengetahuan. Beberapa contoh dari bidang tersebut adalah astronomi, teori

pengkodean, x-ray crystallography, radar dan manajemen database (Ponraj

dkk, 2014). Pelabelan graf juga bermanfaat untuk beberapa area dalam ilmu

komputer dan jaringan komunikasi (Vaidya dan Shah, 2014). Banyak variasi

pelabelan yang termuat dalam teori graf ini, salah satu di antaranya adalah

pelabelan cordial.

Graf cordial adalah versi yang lebih lemah dari graf graceful dan graf

harmonious. Pelabelan cordial muncul berawal dari suatu kegagalan dalam

membuktikan dugaan bahwa pelabelan graceful dan harmonius berlaku untuk

semua tree. Pelabelan cordial dapat diinvestigasi untuk beberapa graf famili,

seperti graf siklus, graf komplit, graf roda, dan sebagainya (Cahit, 1987).

Graf roda yang termasuk dalam graf famili merupakan dasar dalam

pembentukan graf helm dengan menghubungkan simpul-simpul pendant

dengan simpul-simpul pada graf roda sehingga dihasilkan graf helm.

Berdasarkan kajian yang dilakukan oleh peneliti lain, dikatakan bahwa graf

helm dijadikan sebagai konstruksi graf helm tertutup dengan penambahan sisi

baru yang menghubungkan setiap simpul pendant pada graf helm oleh suatu

sisi yang disebut sebagai sisi eksternal. Lebih spesifik lagi terkait dengan graf

helm dan graf helm tertutup, keduanya memenuhi pelabelan product cordial

sisi. Pelabelan tersebut didefinisikan sebagai suatu pemetaan dari elemen-

elemen graf G yang himpunan sisinya ditentukan terlebih dahulu sebagai

3

domain yang harus dikaitkan dengan bilangan biner. Pelabelan tersebut juga

memiliki fungsi yang diinduksi berupa *: ( ) {0,1}f V G dengan ketentuan

1 2*( ) ( ). ( )...... ( ),nf v f e f e f e kemudian kondisi hasil akhir akan memenuhi

(0) (1) 1f fv v dan (0) (1) 1,f fe e dengan (0)fv dan (1)fv secara

berturut-turut merupakan jumlah simpul dari graf G di bawah fungsi *f

yang diberi label 0 dan 1, sedangkan (0)fe dan (1)fe secara berturut-turut

merupakan jumlah sisi dari graf G di bawah fungsi f yang diberi label 0 dan

1.

Graf hasil salinan gabungan di antara graf helm dan graf helm tertutup

memenuhi pelabelan product cordial. Pelabelan tersebut didefinisikan

sebagai suatu pemetaan dari elemen graf G dengan domain fungsi yang

pertama kali diketahui berupa himpunan simpul. Pelabelan tersebut juga

memiliki fungsi yang diinduksi yaitu berupa himpunan sisi yang dikaitkan

dengan bilangan biner dan memiliki ketentuan 1 2( ) ( ). ( )g e g v g v . Ketentuan

yang lainnya analog dengan definisi pelabelan product cordial sisi.

Penelitian mengenai pelabelan product cordial sisi pada graf helm dan

graf helm tertutup sudah dibuktikan oleh S. K. Vaidya dan C.M. Barasara

(2012). Pelabelan pada graf helm dan graf helm tertutup tersebut

dikembangkan lagi dengan penerapannya menggunakan graf hasil

penggabungan salinan di antara keduanya dan hasil yang diperoleh memenuhi

pelabelan product cordial sebagaimana pembuktian yang telah dilakukan oleh

G.V. Ghodasara dan S.M. Vaghasiya (2014).

4

Pelabelan product cordial memuat suatu aturan kombinatorik, yaitu

aturan dasar menambah dan mengalikan atau menambah saja. Khususnya

mengenai kombinatorik dengan aturan dasar mengalikan, di dalamnya dapat

dihasilkan jumlah setiap bagian simpul yang dapat dituliskan dalam bentuk

persamaan baik itu untuk bagian yang berlabel 0 maupun 1 sesuai dengan

aturan atau pola dalam bentuk fungsi yang sudah ditentukan. Berdasarkan

aturan ini, kita akan semakin mudah dalam membuat suatu ilustrasi dari

setiap pelabelan yang dibentuk dan memberikan kemudahan juga dalam

setiap pembuktian. Pelabelan product cordial sisi hanya mengandung aturan

dasar menambah yaitu suatu aturan yang dapat memberikan hasil akumulasi

penjumlahan dari masing-masing label baik itu 0 maupun 1 pada bagian

sisinya sehingga memenuhi product cordial sisi sesuai dengan pola yang

sudah ditentukan sebelumnya.

Aturan product yang ada dalam pelabelan product cordial sisi dan

product cordial merupakan hal yang menarik untuk diteliti dan dikaji karena

secara berturut-turut sesuai definisinya aturan tersebut diterapkan pada

pelabelan simpul dan sisi. Aturan product pada pelabelan simpul akan

menghasilkan label sisi dengan mengoperasikan setiap simpul yang adjacent

pada sisi tersebut, sedangkan aturan product pada sisi akan menghasilkan

pelabelan simpul dengan mengoperasikan setiap sisi yang incident dengan

simpul-simpul tersebut. Jika kita menggunakan aturan product pada simpul

maka label sisi-sisinya yang dihasilkan merupakan akibat dari adanya

5

pelabelan simpul. Jika kita menggunakan aturan product pada sisi maka

pelabelan simpul yang diperoleh merupakan akibat dari adanya pelabelan sisi.

Pelabelan product cordial sisi yang ada dalam tugas akhir ini diterapkan

dalam graf helm, dan graf helm tertutup. Terdapat hal unik di dalamnya yaitu

untuk setiap kondisi dari graf ini selalu memenuhi pelabelan product cordial

sisi baik itu simpul yang berjumlah genap maupun ganjil. Berbeda dengan

product cordial sisi, product cordial diterapkan pada gabungan lintasan

dengan salinan di antara graf helm dan graf helm tertutup dan gabungan dua

salinannya oleh lintasan yang panjangnya berbeda. Sesuatu yang menarik

terkait dengan penerapan product cordial yakni untuk simpul yang berjumlah

ganjil maupun genap dengan pola yang sudah ditentukan ternyata memenuhi

pelabelan product cordial.

Berdasarkan penjelasan di atas, maka penulis tertarik untuk mengkaji dan

membahas secara mendalam mengenai pelabelan product cordial sisi pada

graf, helm graf, helm tertutup dan product cordial pada graf hasil gabungan

salinan di antara keduanya. Kedua pelabelan tersebut memiliki suatu pola

kasus ganjil dan genap yang diberikan dalam pembuktian pada setiap teorema

yang diberikan. Pola yang sudah ada tersebut dapat digunakan sebagai

langkah dalam menghasilkan suatu persamaan. Pembentukan persamaan

dapat diperoleh melalui aturan dasar kombinatorik dengan aturan dasar

mengalikan dan menambah atau aturan dasar menambah saja. Jika banyak

simpul dan salinan sudah diketahui maka kemudian diperoleh jumlah

simpulnya, setelah itu dapat dicari label sisinya dengan menggunakan aturan

6

product. Jika jumlah simpul dan sisi sudah diketahui dan memenuhi kondisi

(0) (1) 1g gv v dan (0) (1) 1g ge e maka akan berlaku pelabelan product

cordial.

Pola pelabelan product cordial sisi juga bersifat tertentu sebagaimana

diberikan dalam pembuktian teorema pelabelan. Pola yang sudah ada tersebut

kemudian dapat dibuat persamaan secara langsung tanpa menggunakan

kombinatorik dengan aturan dasar mengalikan. Jika langkah itu selesai

dilakukan maka jumlah sisi dan simpul yang berlabel 0 atau 1 secara mudah

dapat diketahui tanpa harus menghitung satu per satu. Pola yang sudah

dibentuk persamaan tersebut akan berlaku pelabelan product cordial sisi jika

memenuhi (0) (1) 1f fv v dan (0) (1) 1f fe e yang secara berturut-turut

(0)fv dan (1)fv merupakan jumlah simpul yang berlabel 0 dan 1, sedangkan

(0)fe dan (1)fe secara berturut-turut merupakan jumlah sisi yang berlabel 0

dan 1.

1.2 Batasan Masalah

Masalah yang akan dibahas dalam penulisan tugas akhir ini adalah

tentang pelabelan graf yang dikhususkan untuk graf yang sederhana,

berhingga, terkoneksi dan tidak berarah dengan order p (simpul) dan ukuran q

(sisi) yang penerapannya diaplikasikan pada graf helm, helm tertutup dan

gabungan salinan di antara kedua graf tersebut.

7

1.3 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang dan batasan masalah yang telah dipaparkan

sebelumnya maka dapat dirumuskan permasalahan yang akan dikaji dalam

tugas akhir ini yaitu sebagai berikut:

1. Bagaimanakah pelabelan product cordial sisi pada graf helm, graf helm

tertutup dan product cordial gabungan salinan di antara keduanya?

2. Bagaimanakah cara untuk melakukan pelabelan product cordial sisi pada

graf helm, graf helm tertutup dan product cordial gabungan salinan di

antara keduanya?

1.4 Tujuan Penelitian

Secara garis besar tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah sebagai

berikut:

1. Untuk mengetahui pelabelan product cordial sisi pada graf helm, graf

helm tertutup dan product cordial gabungan salinan di antara keduanya.

2. Untuk mengetahui cara melakukan pelabelan product cordial sisi pada

graf helm, graf tertutup, dan product cordial gabungan salinan di antara

keduanya.

8

1.5 Manfaat Penelitian

Berdasarkan penelitian yang dilakukan ini, penulis mengharapkan dapat

memberikan manfaat sebagaimana yang disampaikan berikut ini:

1. Memberikan pengetahuan dan wawasan bagi pembaca tentang pelabelan

product cordial sisi pada graf helm, graf helm tertutup dan product cordial

gabungan salinan di antara keduanya.

2. Memberikan pengetahuan kepada pembaca bahwa dalam pelabelan

product cordial dan product cordial sisi akan dibahas terkait dengan

aturan product, kombinatorik, sisi yang saling incident, simpul-simpul

yang saling adjacent, dan kondisi saat n ganjil dan genap dengan n sebagai

banyak simpul yang membentuk graf siklus berlaku masing-masing

pelabelan.

3. Sebagai dasar atau acuan bagi pihak tertentu yang berminat untuk

mengembangkan teori graf khususnya tentang pelabelan product cordial

sisi dan product cordial ke arah yang lebih luas lagi.

1.6 Tinjauan Pustaka

Sumber utama pustaka yang digunakan dalam tugas akhir ini berupa

jurnal. Sebagai penunjang untuk memperjelas istilah-istilah dasar dari

pembahasan tentang graf ini penulis menggunakan referensi dari beberapa

buku.

Jurnal yang berjudul Product Cordial Labeling of Graphs Related to

Helm, Closed Helm and Gear Graph (G.V. Ghodasara dan S.M. Vaghasiya,

2014) berisi penjelasan tentang gabungan lintasan dari hasil salinan di antara

9

graf helm dan graf helm tertutup memenuhi pelabelan product cordial.

Gabungan itu berupa gabungan lintasan dengan salinan di antara keduanya

dan gabungan dua salinan oleh lintasan yang panjangnya berbeda-beda.

Terdapat pola pelabelan tertentu di dalamnya, kemudian dari pola tersebut

dapat diketahui jumlah masing-masing label baik itu bagian yang berlabel 0

maupun 1. Label tersebut diterapkan pada setiap bagian simpul dan sisi graf

hasil gabungan helm nH dan graf helm tertutup

nCH . Gabungan di antara

kedua graf tersebut berupa k salinan dan dua salinan dengan lintasan yang

berubah-ubah. Kondisi pelabelan untuk n dan k bernilai ganjil maupun genap

dalam kasus ini berlaku pelabelan product cordial.

Jurnal yang berjudul Edge Product Cordial Labeling of Graphs (S.K.

Vaidya dan C.M. Barasara, 2012) berisi penjelasan mengenai pelabelan

product cordial sisi pada beberapa graf standar seperti graf nC , graf nW , graf

pohon, graf 1nC K , graf nAC , graf helm nH , graf helm tertutup nCH , graf

web nWb , graf bunga nFl , graf gear nG dan graf shell nS . Berdasarkan jurnal

ini, penulis hanya mengkaji lebih dalam lagi mengenai pelabelan product

cordial sisi pada graf helm dan graf helm tertutup karena keduanya memiliki

kesamaan yakni setiap n ganjil maupun genap pada nH dan nCH tetap

memenuhi pelabelan product cordial. Berdasarkan pola yang sudah ada baik

itu untuk graf yang memiliki jumlah n ganjil maupun genap, jumlah dari

label 0 dan 1 dapat diketahui secara mudah dan akhirnya memenuhi pelabelan

product cordial. Berikut ini disajikan tabel mengenai perbedaan dan

persamaan penelitian:

10

Tabel 1.1 Persamaan dan Perbedaan Penelitian

Penulis Persamaan Perbedaan

G.V. Ghodasara

dan S.M.

Vaghasiya

(2014)

Penerapannya

dalam Graf helm

dan Graf Helm

Tertutup

Penerapannya pada Graf Hasil

Gabungan Salinan di antara Graf Helm,

Helm Tertutup and Graf Gear

S.K. Vaidya dan

C.M. Barasara,

(2012)

Penerapannya pada graf nC , graf nW ,

graf pohon, graf 1nC K , graf nAC ,

graf helm nH , graf helm tertutup nCH ,

graf web nWb , graf bunga nFl , graf

gear nG dan graf shell nS

Penjelasan yang dipaparkan penulis berbeda dengan hasil penelitian

dalam jurnal yang dicantumkan pada tabel 1.1. Perbedaan yang sangat

tampak terletak pada contoh-contoh pada setiap kasus pelabelan product

cordial sisi dan product cordial.

Referensi yang bersumber pada buku lebih banyak digunakan untuk

menjelaskan istilah dasar dalam tulisan ini. Istilah tersebut berupa definisi-

definisi yang secara tepat tercantum dalam landasan teori. Misalnya, definisi

mengenai graf, lintasan, graf reguler, graf siklus, graf lengkap dan sebagainya.

11

1.7 Sistematika Penulisan

Penyusunan sistematika yang jelas dalam suatu penulisan adalah hal yang

sangat penting sekali untuk diperhatikan karena dapat memberikan

kemudahan dalam memahami secara keseluruhan isi dari penulisan. Oleh

karena itu, penulis akan menjelaskan gambaran secara umum mengenai

sistematika penulisannya yaitu sebagai berikut:

BAB I PENDAHULUAN

Bab ini berisi penjelasan mengenai latar belakang, batasan masalah,

rumusan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, sistematika penulisan,

dan metode penulisan.

BAB II DASAR TEORI

Bab ini memuat istilah-istilah dasar yang digunakan dalam pembahasan

seperti himpunan, fungsi, kombinatorik, nilai mutlak, faktor persekutuan

terkecil, pelabelan, dan lainnya yang ada kaitan dengan teori graf.

BAB III DAN BAB IV PEMBAHASAN

Bab ini berisi penjelasan terkait dengan pelabelan product cordial sisi

pada graf helm dan helm tertutup serta product cordial gabungan salinan di

antara keduanya. Pola pada tiap-tiap kasus yang terdapat dalam pelabelan

product cordial sisi dan product cordial ini bersifat tertentu dan dapat

dijadikan langkah awal dalam membuktikan kedua pelabelan tersebut.

Terkait dengan cara melakukan pelabelan akan dijelaskan lebih lanjut

12

dengan menggunakan pembuktian teorema yang disertai dengan contoh

ilustrasinya agar dapat dengan mudah dipahami.

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN

Bagian ini memuat kesimpulan tentang pelabelan product cordial sisi

pada graf helm, graf helm tertutup dan product cordial graf gabungan salinan

di antara kedua graf tersebut. Kesimpulan ini merupakan inti atau hasil akhir

dari keseluruhan penelitian atau kajian yang sudah dilakukan oleh penulis.

Bagian ini juga memuat saran yang tentunya bersifat membangun yang

diberikan secara umum bagi pembaca yang ingin menambah pengetahuan dan

wawasan dan ingin meneruskan dan mengembangkan penelitiannya tentang

pelabelan product cordial sisi pada graf helm, graf helm tertutup dan graf

product cordial gabungan salinan di antara keduanya.

1.8 Metode Penelitian

Metode yang digunakan oleh penulis adalah metode literatur atau

kepustakaan dengan memahami dan mengkaji beberapa sumber baik itu dari

jurnal maupun buku sumber yang mendukung dan menunjang penulisan tugas

akhir ini. Penulis lebih banyak menggunakan jurnal dari sebagian peneliti

yang membahas pelabelan product cordial sisi dan product cordial yang

menurut penulis perlu dikaji dan dipahami lebih dalam lagi agar diketahui

secara jelas dan runtut dalam penjabarannya berdasarkan beberapa pola yang

sudah ada pada masing-masing graf.

13

Hal pertama yang dilakukan dalam pelabelan product cordial yaitu

memahami teorema yang sudah ada. Terdapat pola tertentu dalam setiap

pembuktiannya yang bertujuan untuk mengetahui bagian-bagian yang harus

diberi label 0 dan 1. Pelabelan ini diterapkan dalam graf hasil salinan dari

masing-masing graf helm dan graf helm tertutup. Jika hasilnya berupa

gabungan lintasan dengan k salinan pada graf helm atau graf helm tertutup

maka berdasarkan pola yang sudah ditentukan dapat dibentuk suatu

persamaan dengan menggunakan aturan kombinatorik dengan aturan dasar

mengalikan. Persamaan itu kemudian digunakan untuk mengetahui seberapa

banyak label 0 dan 1 pada setiap bagiannya. Jika setiap bagian tersebut sudah

diketahui maka dengan mudah total bagian yang diberi label 1 dan 0 dapat

diketahui juga dengan menggunakan kombinatorik aturan dasar menambah,

sedangkan jika hasil salinannya berupa dua salinan graf helm atau graf helm

tertutup dengan lintasan yang berubah-ubah (k pada lintasan kP dengan

panjangnya 1k ) maka digunakan aturan kombinatorik dengan aturan dasar

menambah saja.

Jika langkah pelabelan simpul pada pelabelan product cordial ini sudah

selesai maka dilanjutkan dengan mencari label sisi dengan mengoperasikan

simpul-simpul yang adjacent dengan menggunakan aturan product sehingga

diperoleh total sisi yang diberi label 0 dan 1. Jika jumlah label 0 dan 1 pada

simpul dan sisi sudah diketahui maka dapat dikatakan memenuhi pelabelan

product cordial jika memenuhi (0) (1) 1g gv v dan (0) (1) 1,g ge e

dengan notasi (0),gv (1)gv secara berturut-turut merupakan jumlah simpul

14

yang berlabel 0 dan 1, sedangkan (0),ge (1)ge secara berturut-turut

merupakan jumlah sisi yang berlabel 0 dan 1. Suatu graf yang memenuhi

pelabelan product cordial disebut sebagai graf product cordial.

Jika pelabelan product cordial sisi yang akan diberikan dalam kasus ini

diterapkan pada graf helm dan helm tertutup maka dengan pola yang sudah

ada dapat langsung diketahui persamaan untuk mengetahui bagian yang harus

diberi label 0 dan 1. Total label dari sisinya dapat dihasilkan dengan

menggunakan kombinasi dengan aturan dasar menambah. Jika sudah

diketahui pelabelan sisinya maka dapat dicari juga pelabelan pada simpulnya

dengan memperhatikan sisi yang incident pada tiap-tiap simpulnya dan

selanjutnya dioperasikan dengan menggunakan aturan product. Total label 0

dan 1 pada sisi dan simpulnya sudah dihasilkan sehingga dapat dikatakan

bahwa pelabelan product cordial sisi terpenuhi jika

berlaku (0) (1) 1f fv v dan (0) (1) 1f fe e , dengan (0),fv (1)fv secara

berturut-turut merupakan jumlah simpul yang berlabel 0 dan 1, sedangkan

(0),fe (1)fe secara berturut-turut merupakan jumlah sisi yang berlabel 0 dan

1. Suatu graf yang memenuhi pelabelan product cordial sisi disebut sebagai

graf product cordial sisi. Secara mudah penelitian ini dapat dipahami dengan

memperhatikan skema metode penelitian berikut ini.

15

Pelabelan product cordial sisi

(Vaidya dan Barasara, 2012)

Pelabelan product cordial

(Vaghasiya dan Ghodasara,

2014)

Graf helm

Salinan graf

helm tertutup

Graf

helm

tertutu

p

Graf helm

tertutup

Salinan graf helm

Graf hasil gabungan

lintasan k salinan

Graf hasil gabungan 2

salinan dengan

lintasan berubah-ubah

Gambar 1.1 Skema Penelitian

GRAF

Incident Adjacent

Graf product cordial sisi

Graf product cordial

116

BAB V

PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan uraian mengenai beberapa hal terkait dengan graf

product cordial sisi dan product cordial yang dibahas dalam penelitian,

penulis dapat memberikan kesimpulan sebagai berikut:

1. Kondisi pelabelan yang harus terpenuhi terlebih dahulu dalam graf product

cordial sisi adalah pelabelan sisi, sedangkan syarat dalam graf product

cordial yang harus terpenuhi terlebih dahulu adalah kondisi pelabelan

simpul.

2. Pelabelan product cordial sisi memperhatikan sisi yang saling incident

dalam menentukan fungsi yang diinduksi, sedangkan graf product cordial

menggunakan simpul yang saling adjacent.

3. Perhitungan jumlah sisi ataupun simpul pada setiap bagian pola pelabelan

product cordial sisi dan graf product cordial dapat digunakan suatu aturan

kombinatorik sehingga dapat dengan mudah diketahui jumlah sisi dan

simpul yang berlabel 0 dan 1.

4. Aturan pelabelan product cordial dan product cordial sisi yang terdapat

dalam kajian ini tidak dapat dilakukan dengan sembarang pola melainkan

harus dengan pola tertentu. Sebagai salah satu contohnya, diberikan graf

helm nH dengan n ganjil dan pola label 0 dan 1 yang digunakan pada

117

sisinya secara berturut-turut yaitu 3 1

2

n dan

3 1

2

n sehingga dihasilkan

jumlah label 0 dan 1 pada simpulnya secara berturut-turut yaitu n+1 dan n.

5. Graf helm dan graf helm tertutup memenuhi pelabelan product cordial,

sedangkan graf hasil gabungan di antara keduanya memenuhi pelabelan

product cordial sisi untuk n ganjil dan genap.

5.2 Saran

Bagi pembaca yang ingin melakukan penelitian atau mengembangkan

lebih lanjut terkait dengan pelabelan product cordial dan product cordial sisi

pada suatu graf dapat menggunakan jenis graf lainnya. Misalnya, graf bunga

yang mempunyai variasi berbeda dengan graf helm dan graf helm tertutup.

118

DAFTAR PUSTAKA

Abdussakir dkk. 2009. Teori Graf Topik Dasar Untuk Tugas Akhir/Skripsi.

Malang: UIN Malang Press.

Aldous, Joan dan Robin Wilson. 2004. Graphs and Applications An Introductory

Approach. UK: The Open University.

Bartle, Robert G dan Donald R. Sherbert. 2011. Introduction To Real Analysis,

edisi ke-4. USA: John Wiley & Sons, Inc.

Cahit, I. Cordial Graphs: A Weaker Version of Graceful and Harmonius Graphs,

ARS Combinatoria 23 (1987), pp. 201-208.

Gallian, J. A. 2007. A Dynamic Survey of Graph Labeling. Electronic Journal

Combinatorics.

Grossman, Peter. 2002. Descrete Mathematics for Computing. New York:

Palgrave Macmillan.

Iswadi, Hazrul dkk. 2012. Kalkulus. Malang: Bayumedia Publishing.

J. Purcell, Edwin dkk. 2003. Kalkulus Jilid 1 Edisi Kedelapan. Prentice Hall, Inc.

Lipschutz, Seymour dan Marc Lipson. 2007. Matematika Diskret. The McGraw-

Hill Companies.

Ponraj, R dkk. 2014. Difference Cordial Labeling of Subdivision of Snake Graphs,

Universal Journal of Applied Mathematics, 2(1): 40-45.

Rosen, Kenneth H. 2007. Discrete Mathematics and Its Application, edisi ke- 6,

Mc-Graw-Hill.

Setya Budhi, Wono. 2005. Langkah Awal Menuju ke Olimpiade Matematika.

Jakarta: CV Ricardo.

Vaghasiya, S.M. dan G.V. Ghodasara. Product Cordial Labeling of Graph

Related to Helm, Closed Helm and Gear Graph, Internasional Journal of

Pure and Applied Mathematics, Vol. 91 (2014), No. 4, 495-504.

Vaidya, S.K. dan M. Barasara. Edge Product Cordial Labeling of Graphs, J.Math.

Computh, Sci. 2 (2012), No.5, 1436-1450.

119

119

Vaidya, S.K. dan M. Barasara. Further Results on Product Cordial Labeling,

International J. Math. Combin. Vol. 3 (2012), 64 -71.

Vaidya, S.K. dan N.H. Shah. 2014. Some New Results on Prime Cordial Labeling,

9 halaman, Article ID 607018, 9. Hindawi Publishing Corporation.

Vasudev, C. 2007. Combinatorics and Graph Teory. New Delhi: New Age

International (P) Ltd., Publishers.

West, Douglas B. 2001. Introduction to Graph Theory. Singapore: Pearson

Education, Inc.

Pelabelan Product Cordial Gabungan Salinan di antara Graf ...digilib.uin-suka.ac.id/16942/1/BAB I,...

Documents

Transcript of Pelabelan Product Cordial Gabungan Salinan di antara Graf ...digilib.uin-suka.ac.id/16942/1/BAB I,...