Pdb Order Satu

Click here to load reader

  • date post

    23-Oct-2015
  • Category

    Documents

  • view

    66
  • download

    5

Embed Size (px)

Transcript of Pdb Order Satu

  • BAB 1 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDER SATU

    1.1. PENDAHULUAN

    Persamaan Diferensial adalah salah satu cabang ilmu matematika yang

    banyak digunakan dalam memahami permasalahan-permasalahan di

    bidang fisika dan teknik. Persamaan Diferensial merupakan alat yang

    ampuh dalam menyelesaikan berbagai macam masalah praktis yang

    sering muncul di dunia nyata. Pada pembahasan berikut, pertama akan

    diberikan pengertian Persamaan Diferensial, order dan derajat serta

    penyelesaian Persamaan Diferensial. Selanjutnya dibahas berbagai teknik

    penyelesaian Persamaan Diferensial order satu.

    Tujuan Instruksional : Setelah mempelajari bab ini, saudara harus dapat

    Membedakan Persamaan Diferensial Biasa dengan Persamaan Diferensial Parsial, serta membedakan order dan derajat

    Persamaan Diferensial

    Mengidentifikasi dan menentukan penyelesaian Persamaan Diferensial dengan peubah terpisah, Persamaan Diferensial eksak,

    serta Persamaan Diferensial Linier order satu.

    Menentukan faktor integral dan mengubah Persamaan Diferensial menjadi Eksak.

    Mengidentifikasi dan menentukan penyelesaian Persamaan Diferensial tipe homogen, Riccati, dan Bernoulli.

    Mereduksi Persamaan Diferensial nonhomogen ke bentuk Persamaan Diferensial Homogen.

  • 1.2. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL

    Pada kuliah kalkulus, kita telah belajar bagaimana menentukan

    derivatif (turunan) )('' xfydxdy == dari suatu fungsi )(xfy = . Misalnya, jika

    xey x 3cos2 += , maka

    xedxdy x 3sin32 = . (1.1)

    Atau jika diberikan persamaan dalam bentuk Cyxg =),( dengan C konstanta, kita dapat mendiferensialkan secara implisit untuk memperoleh

    dxdy . Misalkan dipunyai fungsi implisit

    922 =+ yx maka akan diperoleh

    022 =+dxdyyx

    atau

    yx

    dxdy = . (1.2)

    Persamaan (1.1) dan (1.2) di atas merupakan contoh persamaan diferensial.

    Definisi : Suatu persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang

    menyatakan hubungan fungsi yang tidak diketahui dan mengandung

    turunan-turunan pada persamaan tersebut.

  • Jika hanya ada satu peubah bebas, maka disebut Persamaan

    Diferensial Biasa (PDB), sebagai contoh adalah persamaan (1.1) dan (1.2).

    Contoh PDB lainya adalah sebagai berikut :

    .0

    sin3

    24

    2

    2

    2

    ==

    =+

    dxxydyy

    xydxdy

    dxyd

    exydxdy x

    Sedangkan jika persamaan memuat dua atau lebih peubah bebas,

    maka disebut Persamaan Diferensial Parsial (PDP). Misalkan :

    .0

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    =+

    +

    =

    =

    +

    zu

    yu

    xu

    tu

    xu

    ovtv

    xv

    Pembahasan tentang PDP akan dibicarakan dalam bab tersendiri.

    1.2.1. Bentuk Umum dan Order PDB Bentuk umum PDB order n adalah

    ),...,'',',,( )()( 1= nn yyyyxfy (1.3) yang menyatakan adanya keterkaitan antara peubah bebas x dan peubah

    tak bebas y beserta turunan-turunannya dalam bentuk persamaan yang

    identik nol. Beberapa buku menulis persamaan ini dalam bentuk

    0=),...,'',',,( )(nyyyyxf . Order dari Persamaan diferensial adalah order tertinggi dari turunan

    yang ada dalam persamaan. Misalkan

    xxydxdy sin2 =+

    adalah persamaan diferensial order satu, sedangkan

  • 02

    2=+ y

    dxyd

    merupakan persamaan diferensial order dua.

    1.2.2. Penyelesaian PDB

    Masalah kita selanjutnya adalah bagaimana menemukan

    penyelesaian PDB, yaitu suatu fungsi )(xy yang memenuhi PDB tersebut.

    Definisi : Suatu fungsi )(xy yang didefinisikan pada suatu interval disebut

    penyelesaian PDB jika secara identik memenuhi persamaan (1.3) pada

    interval yang diberikan.

    Contoh 1.3.1 :

    Fungsi xkey = adalah penyelesaian persamaan diferensial ydxdy = pada

    interval

  • Contoh 1.3.3 :

    Persamaan 1sin =+ yexy x , merupakan penyelesaian bentuk implisit dari

    .cossin

    yexyey

    dxdy

    x

    x

    ++=

    1.2.3. Masalah Nilai Awal

    Misalkan akan dicari penyelesaian )(xyy = dari PDB order satu ).,(' yxfy = (1.4)

    yang memenuhi

    00 yxy =)( . (1.5) Persamaan (1.5) disebut kondisi awal dari PDB order satu. PDB

    (1.4) dengan kondisi awal (1.5) disebut Masalah Nilai Awal (MNA). Penyelesaian yang memenuhi kondisi awal ini disebut penyelesaian

    khusus, sedangkan jika tidak diberikan kondisi awal dinamakan

    penyelesaian umum, seperti Contoh 1.1.2. Jadi pada penyelesaian umum

    masih memuat konstanta sebarang C, sedangkan pada penyelesaian

    khusus sudah tidak memuat konstanta sebarang.

    Contoh 1.4.1 :

    Persamaan xxy +=2

    2 adalah penyelesaian khusus dari MNA

    .)(,' 001 == yxy Latihan 1.2 : Tunjukkan bahwa fungsi yang diberikan merupakan penyelesaian dari

    Persamaan diferensial

    1. xCeyyy 2,2' == . 2. xexccyyyy +==++ )(,0'2'' 21 .

    3. xyxyy sec21,sec'' 3 ==+ .

    4. xxxx eececyeyyy 221 )sin(,sin2'3'' +==+ .

    5. 0)4(,164,4

    ' 22 === yyxy

    xy .

  • 1.3. PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDER SATU Pada Bagian ini, kita akan membahas teknik-teknik penyelesaian

    PDB order satu. Untuk PDB order satu yang berbentuk )(' xfy = , dimana f fungsi kontinu dari satu peubah bebas x, maka kita dapat mengintegralkan

    secara langsung kedua ruas untuk memperoleh penyelesaiannya.

    Selanjutnya akan dicari penyelesaian PDB order satu

    ),(' yxfdxdyy == (1.6)

    dimana f fungsi kontinu dari dua peubah bebas x dan y. Penyelesaian (1.6) tidak dapat diperoleh dengan mengintegralkan secara langsung. Untuk

    memperoleh penyelesaiannya dapat dilakukan dengan pemisahan peubah,

    seperti dibahas dalam bagian berikut.

    1.3.1 PD dengan Peubah terpisah Untuk mencari penyelesaian umum dari persamaan (1.6), terlebih dahulu kita pisahkan peubah x dan y , sehingga kita peroleh fungsi

    )()(),( yqxpyxf = . Persamaan (6) berubah menjadi

    )()( yqxpdxdy =

    atau dapat ditulis

    .)()(

    dxxpyq

    dy = (1.7)

    Dengan asumsi bahwa y adalah fungsi dari x, maka kita punya

    dxxyqxy

    yqdy

    ))(()('

    )(= , sehingga persamaan (1.7) menjadi

    dxxpdxxyqxy )())(()(' = .

  • Selanjutnya dengan menuliskan )(xyu = dan )(' xydu = , maka dengan mengintegralkan kedua ruas kita peroleh penyelesaian umum

    persamaan (1.7), yaitu

    += Cdxxpuqdu )()( (1.8) dengan C konstanta sebarang.

    Berikut ini beberapa contoh PDB dengan peubah yang dapat dipisahkan.

    Contoh 1.5.1:

    Selesaikan .cos2 xedxdy y=

    Penyelesaian :

    Dengan melakukan pemisahan peubah diperoleh

    dxxdye y cos2= . Integralkan kedua ruas

    .sin2 Cxey += Sehingga kita peroleh Penyelesaian umumnya adalah

    ).sin2ln( Cxy += Untuk mengecek kebenaran penyelesaian ini, perhatikan bahwa

    ).cos2(sin2

    1' xCx

    y += Substitusikan ke PDB, kita peroleh

    xexCx

    Cx cos2)cos2(sin2

    1 )sin2ln( +=+

    Karena Cx

    e Cx +=+

    sin21)sin2ln( , persamaan di atas terpenuhi

    untuk setiap 0sin2 >+Cx . Dengan demikian y adalah penyelesaian PDB tersebut.

    Contoh 1.5.2

  • Selesaikan ).( yxydxdy += 2

    Penyelesaian :

    PDB dapat kita tulis dalam bentuk

    ).( 12 += xydxdy

    Pemisahan peubah memberikan

    .)( dxxy

    dy 12 +=

    Integralkan kedua ruas diperoleh

    Cxxy ++= 2ln 2 atau

    Cxxey ++= 22 .

    Dalam beberapa kasus akan kita jumpai persamaan diferensial

    dalam bentuk

    (1.9)

    Contoh 1.5.3 :

    Selesaikan .0=+ xdxdyye x Penyelesaian :

    Persamaan dapat kita bawa ke bentuk

    .dxxeydy x= Integralkan keuda ruas, diperoleh

    .)( Cexy x += 121 2

    atau

    Cexy x += )(12 .

    .),(),( 0=+ dyyxNdxyxM

  • Contoh 1.5.4 :

    Selesaikan 223

    yx

    dxdy =

    Penyelesaian.

    PD

    223

    yx

    dxdy =

    Dapat ditulis dalam bentuk

    22 3xdxdyy =

    atau,

    dxxdyy 22 3=

    Integralkan kedua ruas, diperoleh

    cdxxdyy += 22 3 cxy += 33

    3,

    atau,

    ,3 133 cxy += .

    Dalam hal ini cc 31 = konstanta. Jadi penyelesaian umumnya adalah

    31

    13 ]3[ cxy += .

    Contoh 1.5.5 :

    Selesaikan 223 yytdtdy +=

    Penyelesaian

  • PD dapat ditulis dalam bentuk

    ,)1()1( 23

    23+=+=

    ytyt

    dtdy

    atau

    dttdyy

    )1(1 32 +=

    Integralkan kedua ruas, diperoleh

    cdttdyy

    ++= )1(1 32 atau, ,

    411 4 ctt

    y++=

    .

    atau

    ,44

    14 ctt

    y ++= dengan c1 = 4c,

    Latihan 1.3.1 : Selesaikan soal berikut dengan pemisahan peubah.

    1. .yxe

    xdxdy

    += 2. ).(21 yx

    dxdy =

    3. .)()(

    113

    +=

    yxy

    dxdy 4. .

    2xxyedxdy =

    5. .0sincos2 =+ dxxdyxy 6. .)( 023 =+ dxyydyex

    7. .02)12sec( 1 =++ dxxydyx 8. .12 =dxdyxy

    9. .)(ln xydydxx = 10. .)( 012 =+ dxxydyx

    Selesaikan MNA berikut :

    11. .)(, 1012

    2 =+= ye

    edxdyy

    x

    x 12. .)(, 210 ==+ yxxy

    dxdy

    13. .)(, 10 ==+ PPtePdtdP t 14. .)(, 21

    2== p

    qpp

    dqdp

  • 15. .)(,)( 110 ==+ ydtyydyt

    1.3.2. Persamaan Diferensial Linier Order Satu Persamaan linier order satu adalah persamaan yang berbentuk

    )