Pdb Order Satu

25
BAB 1 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDER SATU 1.1. PENDAHULUAN Persamaan Diferensial adalah salah satu cabang ilmu matematika yang banyak digunakan dalam memahami permasalahan-permasalahan di bidang fisika dan teknik. Persamaan Diferensial merupakan alat yang ampuh dalam menyelesaikan berbagai macam masalah praktis yang sering muncul di dunia nyata. Pada pembahasan berikut, pertama akan diberikan pengertian Persamaan Diferensial, order dan derajat serta penyelesaian Persamaan Diferensial. Selanjutnya dibahas berbagai teknik penyelesaian Persamaan Diferensial order satu. Tujuan Instruksional : Setelah mempelajari bab ini, saudara harus dapat Membedakan Persamaan Diferensial Biasa dengan Persamaan Diferensial Parsial, serta membedakan order dan derajat Persamaan Diferensial Mengidentifikasi dan menentukan penyelesaian Persamaan Diferensial dengan peubah terpisah, Persamaan Diferensial eksak, serta Persamaan Diferensial Linier order satu. Menentukan faktor integral dan mengubah Persamaan Diferensial menjadi Eksak. Mengidentifikasi dan menentukan penyelesaian Persamaan Diferensial tipe homogen, Riccati, dan Bernoulli. Mereduksi Persamaan Diferensial nonhomogen ke bentuk Persamaan Diferensial Homogen.

Transcript of Pdb Order Satu

Page 1: Pdb Order Satu

BAB 1 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDER SATU

1.1. PENDAHULUAN

Persamaan Diferensial adalah salah satu cabang ilmu matematika yang

banyak digunakan dalam memahami permasalahan-permasalahan di

bidang fisika dan teknik. Persamaan Diferensial merupakan alat yang

ampuh dalam menyelesaikan berbagai macam masalah praktis yang

sering muncul di dunia nyata. Pada pembahasan berikut, pertama akan

diberikan pengertian Persamaan Diferensial, order dan derajat serta

penyelesaian Persamaan Diferensial. Selanjutnya dibahas berbagai teknik

penyelesaian Persamaan Diferensial order satu.

Tujuan Instruksional : Setelah mempelajari bab ini, saudara harus dapat

• Membedakan Persamaan Diferensial Biasa dengan Persamaan

Diferensial Parsial, serta membedakan order dan derajat

Persamaan Diferensial

• Mengidentifikasi dan menentukan penyelesaian Persamaan

Diferensial dengan peubah terpisah, Persamaan Diferensial eksak,

serta Persamaan Diferensial Linier order satu.

• Menentukan faktor integral dan mengubah Persamaan Diferensial

menjadi Eksak.

• Mengidentifikasi dan menentukan penyelesaian Persamaan

Diferensial tipe homogen, Riccati, dan Bernoulli.

• Mereduksi Persamaan Diferensial nonhomogen ke bentuk

Persamaan Diferensial Homogen.

Page 2: Pdb Order Satu

1.2. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL

Pada kuliah kalkulus, kita telah belajar bagaimana menentukan

derivatif (turunan) )('' xfydxdy

== dari suatu fungsi )(xfy = . Misalnya, jika

xey x 3cos2 += − ,

maka

xedxdy x 3sin32 −−= − . (1.1)

Atau jika diberikan persamaan dalam bentuk Cyxg =),( dengan C

konstanta, kita dapat mendiferensialkan secara implisit untuk memperoleh

dxdy . Misalkan dipunyai fungsi implisit

922 =+ yx

maka akan diperoleh

022 =+dxdyyx

atau

yx

dxdy

−= . (1.2)

Persamaan (1.1) dan (1.2) di atas merupakan contoh persamaan

diferensial.

Definisi : Suatu persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang

menyatakan hubungan fungsi yang tidak diketahui dan mengandung

turunan-turunan pada persamaan tersebut.

Page 3: Pdb Order Satu

Jika hanya ada satu peubah bebas, maka disebut Persamaan

Diferensial Biasa (PDB), sebagai contoh adalah persamaan (1.1) dan (1.2).

Contoh PDB lainya adalah sebagai berikut :

.0

sin3

24

2

2

2

=−

=−−

=+

dxxydyy

xydxdy

dxyd

exydxdy x

Sedangkan jika persamaan memuat dua atau lebih peubah bebas,

maka disebut Persamaan Diferensial Parsial (PDP). Misalkan :

.0

2

2

2

2

2

2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂

=−∂∂

+∂∂

zu

yu

xu

tu

xu

ovtv

xv

Pembahasan tentang PDP akan dibicarakan dalam bab tersendiri.

1.2.1. Bentuk Umum dan Order PDB Bentuk umum PDB order n adalah

),...,'',',,( )()( 1−= nn yyyyxfy (1.3)

yang menyatakan adanya keterkaitan antara peubah bebas x dan peubah

tak bebas y beserta turunan-turunannya dalam bentuk persamaan yang

identik nol. Beberapa buku menulis persamaan ini dalam bentuk

0=),...,'',',,( )(nyyyyxf .

Order dari Persamaan diferensial adalah order tertinggi dari turunan

yang ada dalam persamaan. Misalkan

xxydxdy sin2 =+

adalah persamaan diferensial order satu, sedangkan

Page 4: Pdb Order Satu

02

2=+ y

dxyd

merupakan persamaan diferensial order dua.

1.2.2. Penyelesaian PDB

Masalah kita selanjutnya adalah bagaimana menemukan

penyelesaian PDB, yaitu suatu fungsi )(xy yang memenuhi PDB tersebut.

Definisi : Suatu fungsi )(xy yang didefinisikan pada suatu interval disebut

penyelesaian PDB jika secara identik memenuhi persamaan (1.3) pada

interval yang diberikan.

Contoh 1.3.1 :

Fungsi xkey = adalah penyelesaian persamaan diferensial ydxdy

= pada

interval ∞<<∞− x , karena .)( xx kekedxd

= Jadi jika disubstitusikan ke

dalam persamaan diperoleh xke = xke , yang berlaku untuk semua x.

Tidak semua penyelesaian PDB dapat disajikan secara eksplisit

seperti Contoh 1.3.1. Beberapa kasus ditemukan penyelesaian yang

disajikan dalam bentuk implisit, seperti contoh berikut.

Contoh 1.3.2 :

Persamaan Cyx =+ 22 , untuk suatu konstanta C > 0, merupakan

penyelesaian bentuk implisit dari .yx

dxdy

−=

Page 5: Pdb Order Satu

Contoh 1.3.3 :

Persamaan 1sin =+ yexy x , merupakan penyelesaian bentuk implisit dari

.cossin

yexyey

dxdy

x

x

++

−=

1.2.3. Masalah Nilai Awal

Misalkan akan dicari penyelesaian )(xyy = dari PDB order satu

).,(' yxfy = (1.4)

yang memenuhi

00 yxy =)( . (1.5)

Persamaan (1.5) disebut kondisi awal dari PDB order satu. PDB

(1.4) dengan kondisi awal (1.5) disebut Masalah Nilai Awal (MNA).

Penyelesaian yang memenuhi kondisi awal ini disebut penyelesaian

khusus, sedangkan jika tidak diberikan kondisi awal dinamakan

penyelesaian umum, seperti Contoh 1.1.2. Jadi pada penyelesaian umum

masih memuat konstanta sebarang C, sedangkan pada penyelesaian

khusus sudah tidak memuat konstanta sebarang.

Contoh 1.4.1 :

Persamaan xxy +=2

2 adalah penyelesaian khusus dari MNA

.)(,' 001 ==− yxy

Latihan 1.2 : Tunjukkan bahwa fungsi yang diberikan merupakan penyelesaian dari

Persamaan diferensial

1. xCeyyy 2,2' == .

2. xexccyyyy −+==++ )(,0'2'' 21 .

3. xyxyy sec21,sec'' 3 ==+ .

4. xxxx eececyeyyy 221 )sin(,sin2'3'' −− −+==+− .

5. 0)4(,164,4

' 22 ==−= yyxy

xy .

Page 6: Pdb Order Satu

1.3. PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDER SATU Pada Bagian ini, kita akan membahas teknik-teknik penyelesaian

PDB order satu. Untuk PDB order satu yang berbentuk )(' xfy = , dimana f

fungsi kontinu dari satu peubah bebas x, maka kita dapat mengintegralkan

secara langsung kedua ruas untuk memperoleh penyelesaiannya.

Selanjutnya akan dicari penyelesaian PDB order satu

),(' yxfdxdyy == (1.6)

dimana f fungsi kontinu dari dua peubah bebas x dan y. Penyelesaian (1.6) tidak dapat diperoleh dengan mengintegralkan secara langsung. Untuk

memperoleh penyelesaiannya dapat dilakukan dengan pemisahan peubah,

seperti dibahas dalam bagian berikut.

1.3.1 PD dengan Peubah terpisah Untuk mencari penyelesaian umum dari persamaan (1.6), terlebih

dahulu kita pisahkan peubah x dan y , sehingga kita peroleh fungsi

)()(),( yqxpyxf = .

Persamaan (6) berubah menjadi

)()( yqxpdxdy

=

atau dapat ditulis

.)()(

dxxpyq

dy= (1.7)

Dengan asumsi bahwa y adalah fungsi dari x, maka kita punya

dxxyqxy

yqdy

))(()('

)(= , sehingga persamaan (1.7) menjadi

dxxpdxxyqxy )(

))(()('

= .

Page 7: Pdb Order Satu

Selanjutnya dengan menuliskan )(xyu = dan )(' xydu = , maka

dengan mengintegralkan kedua ruas kita peroleh penyelesaian umum

persamaan (1.7), yaitu

∫ ∫ += Cdxxpuq

du )()(

(1.8)

dengan C konstanta sebarang.

Berikut ini beberapa contoh PDB dengan peubah yang dapat dipisahkan.

Contoh 1.5.1:

Selesaikan .cos2 xedxdy y−=

Penyelesaian :

Dengan melakukan pemisahan peubah diperoleh

dxxdye y cos2= .

Integralkan kedua ruas

.sin2 Cxey +=

Sehingga kita peroleh Penyelesaian umumnya adalah

).sin2ln( Cxy +=

Untuk mengecek kebenaran penyelesaian ini, perhatikan bahwa

).cos2(sin2

1' xCx

y+

=

Substitusikan ke PDB, kita peroleh

xexCx

Cx cos2)cos2(sin2

1 )sin2ln( +−=+

Karena Cx

e Cx

+=+−

sin21)sin2ln( , persamaan di atas terpenuhi

untuk setiap 0sin2 >+Cx . Dengan demikian y adalah penyelesaian PDB

tersebut.

Contoh 1.5.2

Page 8: Pdb Order Satu

Selesaikan ).( yxydxdy

+= 2

Penyelesaian :

PDB dapat kita tulis dalam bentuk

).( 12 += xydxdy

Pemisahan peubah memberikan

.)( dxxy

dy 12 +=

Integralkan kedua ruas diperoleh

Cxxy ++= 2ln 2

atau

Cxxey ++= 22.

Dalam beberapa kasus akan kita jumpai persamaan diferensial

dalam bentuk

(1.9)

Contoh 1.5.3 :

Selesaikan .0=+− xdxdyye x

Penyelesaian :

Persamaan dapat kita bawa ke bentuk

.dxxeydy x−=

Integralkan keuda ruas, diperoleh

.)( Cexy x +−= 121 2

atau

Cexy x +−= )(12 .

.),(),( 0=+ dyyxNdxyxM

Page 9: Pdb Order Satu

Contoh 1.5.4 :

Selesaikan 2

23yx

dxdy

=

Penyelesaian.

PD

2

23yx

dxdy

=

Dapat ditulis dalam bentuk

22 3xdxdyy =

atau,

dxxdyy 22 3=

Integralkan kedua ruas, diperoleh

cdxxdyy += ∫∫ 22 3

⇒ cxy+= 3

3

3,

atau,

,3 133 cxy +=

.

Dalam hal ini cc 31 = konstanta.

Jadi penyelesaian umumnya adalah

31

13 ]3[ cxy += .

Contoh 1.5.5 :

Selesaikan 223 yytdtdy

+=

Penyelesaian

Page 10: Pdb Order Satu

PD dapat ditulis dalam bentuk

,)1()1( 2

323

−+

=+=y

tytdtdy

atau

dttdyy

)1(1 32 +=

Integralkan kedua ruas, diperoleh

cdttdyy

++= ∫∫ )1(1 32

atau, ,411 4 ctt

y++=

.

atau

,44

14 ctt

y++

−= dengan c1 = 4c,

Latihan 1.3.1 : Selesaikan soal berikut dengan pemisahan peubah.

1. .yxe

xdxdy

+= 2. ).( 21 yx

dxdy

−=

3. .)()(

113

−+

=y

xydxdy 4. .

2xxyedxdy

=

5. .0sincos2 =+ dxxdyxy 6. .)( 023 =−+ dxyydyex

7. .02)12sec( 1 =++ − dxxydyx 8. .12 =dxdyxy

9. .)(ln xydydxx = 10. .)( 012 =−+ dxxydyx

Selesaikan MNA berikut :

11. .)(, 10122 =

+= y

ee

dxdyy

x

x 12. .)(, 210 ==−+ yxxy

dxdy

13. .)(, 10 ==+ PPtePdtdP t 14. .)(, 21

2=

−= p

qpp

dqdp

Page 11: Pdb Order Satu

15. .)(,)( 110 ==+− ydtyydyt

1.3.2. Persamaan Diferensial Linier Order Satu Persamaan linier order satu adalah persamaan yang berbentuk

)()()( xbyxadxdyxa =+ 21 (1.10)

dimana ),(),( xaxa 21 dan )(xb hanya bergantung pada peubah bebas x.

Misalnya,

.tan)(sin

,)1(

,2

xyxdxdy

xxydxdyx

xeydxdyx x

=+

=++

=− −

Persamaan 02 =− − yexdxdy bukan persamaan linier, meskipun peubah

dapat dipisahkan. Sedangkan persamaan xydxdyyx =+− 22 )( bukan

persamaan linier dan peubah tidak dapat dipisah.

Pada persamaan (1.10), diasumsikan bahwa ),(),( xaxa 21 dan )(xb

kontinu pada suatu interval tertentu dengan 01 ≠)(xa . Maka persamaan

dapat kita bawa ke bentuk

)()(

)()(

xaxby

xaxa

dxdy

11

2 =+

atau

)()( xQyxPdxdy

=+ (1.11)

yang merupakan Bentuk Standar PDB linier order satu.

Penyelesaian PDB Linier Langkah-langkah penyelesaian PDB Linier order satu adalah

sebagai berikut :

Page 12: Pdb Order Satu

Langkah 1. Tuliskan PDB dalam bentuk standar

)()( xQyxPdxdy

=+ .

Langkah 2. Tentukan faktor integral

∫=µ dxxPex )()( .

Langkah 3. Kalikan )(xQ dengan µ dan integralkan

∫ + .)()( CdxxQxµ

Langkah 4. Tuliskan penyelesaian umum

∫ += .)()()( CxQxyx µµ

atau

.)()()(

xCxQxy

µµ∫ +

=

Contoh 1.6.1 :

Tentukan penyelesaian umum dari

.22 =+ xydxdyx

Penyelesaian.

Langkah 1. Tulis persamaan dalam bentuk standar:

.221

xy

xdxdy

=+

Jadi x

xP 1=)( dan

22

xxQ =)( .

Langkah 2. Tentukan faktor integral

.

)(ln

)(

xe

eexx

dxdxxP x

==

==µ ∫∫ 1

Langkah 3. Kalikan 22

xxQ =)( dengan x=µ dan integralkan, sehigga

diperoleh

Page 13: Pdb Order Satu

∫ +==

∫ ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

.ln22

2)()( 2

Cxdxx

dxx

xdxxQxµ

Langkah 4. Penyelesaian umumnya adalah

Cxxy += ln2

atau

.ln2x

Cxy +=

Contoh 1.6.2 :

Selesaikan PD

1sincos =+ xydxdyx

Penyelesaian.

PD dapat dinyatakan dalam

xxxy

dxdy

cos1

cossin

=+

atau

xxydxdy sectan =+

Yang merupakan bentuk PD linier

)()( xqyxpdxdy

=+ ,

dengan x(x)q,x(x)p sectan == .

Selanjutnya diperoleh faktor integral

xeee xdxxpdx secseclntan=== ∫∫

Kalikan PD dengan faktor integral, diperoleh

Page 14: Pdb Order Satu

xxxydxdyx 2sectansecsec =+

atau

xxydxd 2sec)sec( =

.

Integralkan kedua ruas,

cdx xxy += ∫ 2secsec

Jadi penyelesaian PD adalah,

cxxy += tansec

atau,

xcxcxx

xy cossinsec

1sectan

+=+=

Contoh 1.6.3 :

Selesaikan PD

ydxdyyx =+ )2( 3

Penyelesaian.

Perhatikan bahwa PD memuat y3 ,jadi ini bkan PD linier, tetapi jika

kita lihat x sebagai fungsi y , dan PD dapat kita tulis dalam bentuk

32yxdydxy +=

Atau

22yyx

dydx

=−

Maka diperoleh bentuk PD linear dengan x sebagai fungsi y,

Page 15: Pdb Order Satu

22and1dengan y(y)qy

(y)p(y)qx(y)pdydx

=−==+

Selanjutnya dapat kita selesaikan dengan langkah-langkah

seperti pada contoh sebelumnya.

Faktor integralnya adalah

dyype )(∫ y

yee ydyy 11ln1

==== −−− ∫∫

Kalikan PD dengan y1 ,

yyx

dydx

y21

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

Atau

yy

xdyd 21. =⎥

⎤⎢⎣

Dengan mengintegralkan kedua ruas diperoleh

cyy

x += 21 ,

Jadi penyelesaian PD adalah,

)( 2ycyx += .

Ada dan tunggalnya penyelesaian PDB linier order satu yang

memenuhi syarat awal tertentu diberikan dalam sifat berikut.

Sifat 1.6.1 :

Misalkan P(x) dan Q (x) fungsi kontinu pada interval β<<α x . Maka

terdapat satu dan hanya satu fungsi )(xyy = yang memenuhi

Page 16: Pdb Order Satu

)()( xQyxPdxdy

=+ pada interval tersebut dengan kondisi awal

,)( 00 yxy = dimana β<<α 0x .

Latihan 1.3.2 : Selesaikan PDB linier order satu berikut

1. ., 0>=+ xeydxdyx x 2. .22

xxey

dxdy

=−

3. .,cos)(tan 222 ππ <<−=+ xxyx

dxdy 4. .ln2 xxy

dxdyx =−

5. .)( dxxxydxdyx 22 1−=+ 6. .12 3 −+= xexxy

dxdy

Selesaikan MNA berikut

7. .2)1(,0,1ln3 −=>+=− yxxydxdyx 8. .)(, 10142 ==+ yy

dxdy

9. .)(, 103 22 −==+ yxyxdxdy 10. ( ) .,)cos( 00

2==−+ πydxxyxdy

1.3.3 Persamaan Diferensial Eksak Perhatikan kembali persamaan diferensial order satu yang dituliskan

dalam bentuk diferensial

Definisi : Persamaan 0=+ dyyxNdxyxM ),(),( dikatakan PD Eksak jika

terdapat fungsi ),( yxQ sedemikian sehingga ),( yxMxQ=

∂∂ dan

),( yxNyQ=

∂∂ .

.),(),( 0=+ dyyxNdxyxM

Page 17: Pdb Order Satu

Dengan mengingat diferensial total dari fungsi ),( yxQ , maka dari

definisi di atas dapat disimpulkan bahwa persamaan

0=+ dyyxNdxyxM ),(),( eksak jika dan hanya jika xN

yM

∂∂

=∂∂ .

Adapun langkah-langkah untuk menyelesaikan PD Eksak adalah

sebagai berikut.

Langkah 1. Tuliskan PD dalam bentuk diferensial :

Langkah 2. Tes ke-eksak-an PD; Apakah

?xN

yM

∂∂

=∂∂

Langkah 3. Jika eksak, integralkan M terhadap x atau N terhadap y. Misal

dipilih M, maka :

∫ += )(),( ygdxMyxQ .

Langkah 4. Turunkan Q terhadap y dan samakan hasilnya dengan N

( ) ).(' ygdxMy

N +∂∂

= ∫

Langkah 5. Integralkan )(' yg untuk memperoleh g.

Langkah 6. Tuliskan penyelesaian umum dalam bentuk implisit:

CyxQ =),( .

Langkah 7. Tentukan C jika diberikan kondisi awal tertentu.

Contoh 1.7.1 :

Selesaikan PD .)(, 302

22

=−

−−= y

xyyx

dxdy

Penyelesaian :

Langkah 1. Bentuk diferensial PD adalah :

.)()( 022 2 =−+− dyxydxyx

Langkah 2. PD ini eksak, karena

.),(),( 0=+ dyyxNdxyxM

Page 18: Pdb Order Satu

xN

yM

∂∂

=−=∂∂ 2 .

Langkah 3. Misal dipilih M untuk diintegralkan, maka :

).(

)()(

)(),(

ygxyx

ygdxyx

ygdxMyxQ

+−=

+−=

+=

∫∫

2

2

221

Langkah 4. SamakanyQ∂∂ dengan N, maka :

xydydgx 220 2 −=+−

atau

.)(' 2yyg =

Langkah 5. Integralkan )(' yg , diperoleh :

.)( 331 yyg =

Langkah 6. Penyelesaian umum dalam bentuk implisit:

. .Cyxyx =+− 3312

21 2

Langkah 7. Dengan kondisi awal 30 =)(y , diperoleh C = 9, sehingga

penyelesaian khususnya adalah :

.92 3312

21 =+− yxyx

Contoh 1.7.2 :

Selesaikan persamaan .)()( 0122 22 =+−−− dxxyydyxyx

Penyelesaian :

Akan kita selesaikan mengikuti langkah-langkah di atas, tanpa menuliskan

masing-masing item.

Persamaan sudah dalam bentuk diferensial, selanjutnya tes ke-eksak-an:

.)()(xN

xxyxxy

yxyy

yM

∂∂

=∂−∂

=+−=∂

+−∂=

∂∂ 22212 22

Page 19: Pdb Order Satu

Jadi persamaan tersebut eksak. Selanjutnya

).(

)()(),(

ygxyxxy

ygdxxyyyxQ

+−+=

+−+= ∫22

2 12

Untuk memperoleh )(yg , gunakan fakta NyQ=

∂∂ :

.)(' xyxygxxyyQ 22 22 −=++=∂∂

Jadi xyyg 4−=)(' , atau

.)( 22xyyg −=

Sehingga penyelesaian umumnya adalah

.Cxyxyxxy =−−+ 222 2

Pada bagian sebelumnya, kita mencari faktor integral

∫=µ dxxPex )()(

untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier order satu dalam bentuk

standar

)()( xQyxPdxdy

=+ .

Ternyata faktor integral ∫=µ dxxPex )()( akan membawa persamaan

diferensial linier order satu )()( xQyxPdxdy

=+ menjadi PD eksak

(Tunjukkan!).

Secara umum suatu faktor integral adalah faktor ),( yxµ yang

membawa persamaan diferensial tidak eksak menjadi persamaan

diferensial eksak.

Contoh 1.7.3 :

Page 20: Pdb Order Satu

Tunjukkan bahwa 02 =−+ dxxeydyx x )( tidak eksak, tetapi dengan

mengalikan dengan faktor x=µ PD tersebut menjadi eksak. Kemudian

selesaikan.

Penyelesaian :

Tes ke-eksak-an, kita punyai

22 =−∂∂ )( xxeyy

dan .)( 1=∂∂ xx

Jadi persamaan tidak eksak. Dengan mengalikan dengan faktor integral x

diperoleh

02 22 =−+ dxexxydyx x )( .

Persamaan menjadi eksak, karena

xexxyy

x 22 2 =−∂∂ )( = ).( 2x

x∂∂

Selanjutnya kita punyai

)(),( ygexeexyxyxQ xxx +−+−= 2222 .

dan

.)(' 22 xygxyQ

=+=∂∂

Jadi 0=)(' yg sehingga .)( Cyg =

Dengan demikian penyelesaian umumnya adalah

.Cexeexyx xxx =−+− 2222

Menemukan faktor integral Seperti terlihat pada contoh 3, faktor integral adalah suatu fungsi

yang jika dikalikan dengan PD non eksak, maka PD tersebut menjadi PD

eksak. Bagaimana menemukan foaktor integral tersebut akan dijelaskan

sebagai berikut:

Misal 0),(),( =+ dyyxNdxyxM PD non eksak dan ),( yxµ faktor

integral, maka 0=+ NdyMdx µµ adalah PD eksak, sehingga

Page 21: Pdb Order Satu

xN

yM

∂∂

=∂∂ µµ

atau

µµµµxNN

xyMM

y ∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

My

Nxx

Ny

M∂∂

−∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

⇔µµµ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

−=⇔

xN

yM

Nx

My

µµ

µ .

Ada beberapa kasus, yaitu

(i). ),( yxµ = )(xµ ( Faktor integral hanya merupakan fungsi x saja)

Pada kasus ini dipunyai

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−−=

xN

yM

Nxµ

µ0

∫∂∂

−∂∂

=⇔

∂∂

−∂∂

=⇔

∂∂

−∂∂

=∂

∂∂

=∂∂

−∂∂

dxN

xN

yM

e

dxN

xN

yM

dxN

xN

yM

xM

xN

yM

µ

µ

µµ

µµ

ln

Jadi jika N

xN

yM

∂∂

−∂∂

menghasilkan fungsi x saja maka µ = )(xµ

(ii). ),( yxµ = )(yµ ( Faktor integral hanya merupakan fungsi y saja)

Page 22: Pdb Order Satu

Pada kasus ini dipunyai secara sama akan dipunyai

∂∂

−∂∂

=dy

MxN

yM

eµ .

Jadi jika M

xN

yM

∂∂

−∂∂

menghasilkan fungsi y saja , maka µ = )(yµ

(iii) Jika xMyN

xN

yM

−∂∂

−∂∂

menghasilkan fungsi xy, maka µ = )(xyµ

(iv) Jika MN

xN

yM

−∂∂

−∂∂

menghasilkan fungsi (x+y), maka µ = )( yx+µ

(v) Jika MN

xN

yM

+∂∂

−∂∂

menghasilkan fungsi (x - y), maka µ = )( yx−µ

(vi) Jika yMxNxN

yM

22 −∂∂

−∂∂

menghasilkan fungsi )( 22 yx + , maka µ = )( 22 yx +µ

Jadi untuk mencari faktor integral kita harus menghitung terlebih dahulu

xN

yM

∂∂

−∂∂ , kemudian kita tentukan pembaginya ( pembaginya apa)

sehingga diperoleh fungsi yang mandiri.

Contoh 1.7.4:

Tunjukkan faktor integral dari PD 0)2( =−+ dxxeydyx x sehingga menjadi

PD eksak.

Penyelesaian:

Page 23: Pdb Order Satu

Pada contoh 1.7.3. telah ditunjukkan bahwa PD ini tidak eksak, kemudian

dengan mengalikan PD dengan x, PD menjadi eksak ( Jadi x adalah faktor

integral). Disini kita akan mengetahui dari mana x itu didapat.

)2(),( xxeyyxM −= dan .1),( == xyxN

2)2( =−∂∂

=∂∂ xxey

yyM dan .1)( =

∂∂

=∂∂ x

xxN

Sehingga diperoleh

1=∂∂

−∂∂

xN

yM dan

xNxN

yM

1=∂

∂−

∂∂

fungsi dari x saja.

Maka faktor integralnya adalah

xxedx

xedx

NxN

yM

ex ==∫

=∫

∂∂

−∂∂

= ln1

)(µ .

Contoh 1.7.5. :

Tentukan solusi umum PD .0)32()224( 22 =+++++ dyyxxdxyxyx Penyelesaian :

yxyxyxM 224),( 2 ++= dan .32),( 2 yxxyxN ++=

22 +=∂∂ x

yM dan .14 +=

∂∂ x

xN

Sehingga diperoleh

12 +−=∂∂

−∂∂ x

xN

yM .

Selanjutnya kita pilih pembaginya, yaitu N – M , sehingga diperoleh

yxxxx

yxyxxx

MNxN

yM

)12()12()12(

2212

2

+−++−+−

=

+−+−+−

=−

∂∂

−∂∂

Page 24: Pdb Order Satu

))(12(

)12(yxx

x++−

+−=

)(

1yx +

= fungsi dari (x + y) saja.

Selanjutnya misalkan z = x + y

zMN

xN

yM

∂−

∂∂

−∂∂

=∂µµ

zzz

yx∂

=∂+

=∂∂ 1µµ

Integralkan, diperoleh

yxzz +==⇔= µµ lnln

Faktor integralnya adalah yx +=µ

PD menjadi

.0)32)(()224)(( 22 =+++++++ dyyxxyxdxyxyxyx atau

.0)3242()22264( 22232223 =++++++++++ dyyyxxyxxdxyxyyxyyxx Bukti bahwa PD ini eksak:

2223 22264),( yxyxyyxxyxM ++++=

yxyxxy

M 4426 2 +++=∂∂

2223 3242),( yyxxyxxyxN ++++=

yxyxxxN 4426 2 +++=∂∂

Jadi =∂∂

xN

xM∂∂ . terbukti Eksak.

Solusi PD adalah

∫ += )(),( ygdxMyxQ

∫ +++++= )()22264( 2223 ygdxyxyxyyxx

)(222 22234 ygxyyxyxyxx +++++=

Page 25: Pdb Order Satu

2223223 3242),()('422 yyxxyxxyxNygxyxxxyQ

++++==++++=∂∂

Diperoleh 23)(' yyg = 3)( yyg =

Dengan demikian penyelesaian umum PD adalah

Cyxyyxyxyxx =+++++ 322234 222 .

Latihan 1.3.3 : Selesaikan PD eksak berikut

1. .xy

yxdxdy

22

2 +

+−= 2. .)(, 30

22

432

2=

+

+−= y

yx

xyxdxdy

3. .)(,)()( 100 ==++++ ydyyxedxyye xx 4. .sin

cos2yyx

ydxdy

−=

5. .)()( 02 =++− dxxedyexe yyy 6. .0)sin()sin( =+ dxxyxdxxyy

7. Tentukan ),( yxN sehingga 02 =++− dyyxNdxxyxy ),()( eksak.

8. Tentukan ),( yxM sehingga 0)lnsin(),( =−++ dyyeyyxdxyxM x eksak.

Tunjukkan bahwa PD berikut adalah non eksak, kemudian tentukan faktor

integralnya sehigga PD tersebut menjadi eksak dan selesaikan.

9. 0)23(2 2 =++ dxyxdyxy 10. 0)1()23( 2 =−+− dyxdxy

11. .0)1()23( 22 =+++++ dyxxdxxx 11. 012 3 =−−− dyxy)(xdx)x(y