2. Persamaan Differensial Orde Dua Bentuk umum persamaan Differensial Orde Dua adalah :

2

2

dxyda + b

dxdy

+ cy = f(x) (1)

di mana, a, b, dan c adalah koefisien konstanta dan f(x) adalah suatu fungsi x yang

diketahui.

Misalkan diketahui f(x) = 0, maka persamaannya menjadi :

2

2

dxyda + b

dxdy

+ cy = 0 (2)

dan misalkan y = u dan y = v (di mana u dan v adalah fungsi dari x) adalah dua

penyelesaian dari persamaan maka :

2

2

dxuda + b

dxdu

+ cu = 0 dan 2

2

dxvda + b

dxdv

+ cv = 0

Dengan menjumlahkan kedua persamaan, maka :

a

2

2

dxud

+

2

2

dxvd

+ b

dxdu

+

dxdv

+ c(u+v) = 0 (3)

di mana v)(udxd + =

dxdu

+ dxdv

dan v)(udxd

2

2

+ = 2

2

dxud + 2

2

dxvd , sehingga persamaan itu

dapat ditulis kembali sebagai :

v)(udx

uda 2

2

+ + b v)(udxd + + c(u + v) = 0 (4)

yang merupakan persamaan awal (2), dengan variabel y diganti (u + v), dengan

pengertian jika y = u dan y = v adalah penyelesaian dari persamaan :

2

2

dxyda + b

dxdy

+ cy = 0, maka berlaku juga untuk y = u + v.

Jika diketahui a = 0, maka persamaan (2) menjadi :

bdxdy

+ cy = 0 atau dxdy

+ ky = 0, k = bc

Dengan metode pemisahan variabel, maka :

dxdy

= – ky ⇒ ∫ ydy

= – ∫ dxk ⇒ ln y = – kx + c

∴ y = e – k x + c = e – kx.e c = A.e – k x (dengan A = e c)

∴ y = Ae m x (jika – k = m) (5)

46

Untuk membuktikan bahwa penyelesaian y = Aemx dari persamaan orde dua (2), sehingga

persamaan akan menjadi,

y = Ae m x

dxdy

= Ame m x

2

2

dxyd = Am2e m x

dengan mensubtitusi ke persamaan (2) maka,

aAm2e m x + bAme m x + cAe m x = 0

Jika dibagi kedua sisinya dengan Ae m x, akan diperoleh :

am2 + bm + c = 0 (6)

Yang merupakan sebuah persamaan kuadrtaik yang menghasilkan dua nilai m. Nilai –

nilai ini katakan :

m = m1 dan m = m2

sehingga y = A xm1e dan y = B xm2e merupakan penyelesaian dari persamaan itu. Dapat

disimpulkan bahwa penyelesaian persamaan (2), berlaku juga untuk y = A xm1e + B xm2e .

Persamaan kuadratik (6) disebut persamaan karakteristik yang diperoleh dari persamaan

(2) dengan m2 untuk 2

2

dxyd , m untuk

dxdy

dan 1 untuk y.

Contoh 30

Selesaikanlah 2

2

dxyd + 5

dxdy

+ 6y = 0

Penyelesaian

Persamaan karakteristiknya adalah m2 + 5m + 6 = 0

(m1 + 3)(m2 + 2) = 0

∴ m1 = – 3 dan m2 = – 2

∴Penyelesaiaannya adalah y = A -3xe + B -2xe

2. 1 Penyelesaian Persamaan Karakteristik untuk Akar – akar real yang berbeda

Beberapa tipe penyelesaian dari persamaan karakteristik dengan akar–akar real yang

berbeda.

Contoh 31

Selesaikanlah 2

2

dxyd + 3

dxdy

+ 2y = 0

Penyelesaian

47

Persamaan karakteristiknya adalah m2 + 3m + 2 = 0

(m1 + 2)(m2 + 1) = 0

∴ m1 = – 2 dan m2 = – 1

∴Penyelesaiaannya adalah y = A -2xe + B -xe

Contoh 32

Selesaikanlah 2

2

dxyd – 7

dxdy

+ 12y = 0

Penyelesaian

Persamaan karakteristiknya adalah m2 – 7m + 12 = 0

(m1 – 3)(m2 – 4) = 0

∴ m1 = 3 dan m2 = 4

∴Penyelesaiaannya adalah y = A 4xe + B 3xe

2. 2 Penyelesaian Persamaan Karakteristik untuk Akar – akar real yang sama

Tinjau Persamaan :

2

2

dxyd + 6

dxdy

+ 9y = 0

Persamaan karakteristiknya adalah : m2 + 6m + 9 = 0, sehingga,

∴(m + 3)(m + 3) = 0

∴m = – 3 dan m = – 3

∴Penyelesaiaannya adalah y = A -3xe + B -3xe atau y = C -3xe ,

Pada kasus yang lebih umum dapat ditunjukkan bahwa penyelesaian persamaan

differensial orde dua dengan akar riel yang sama dapat ditulis sebagai :

y = A -3xe + Bx -3xe atau y = xm1e (A + Bx)

Contoh 33

Selesaikanlah 2

2

dxyd + 4

dxdy

+ 4y = 0

Penyelesaian

Persamaan karakteristiknya adalah m2 + 4m + 4 = 0

(m1 + 2)(m2 +2) = 0

∴ m1 = – 2 dan m2 = – 2

∴Penyelesaiaannya adalah y = -2xe (A + Bx)

48

Contoh 34

Selesaikanlah 2

2

dxyd + 10

dxdy

+ 25y = 0

Penyelesaian

Persamaan karakteristiknya adalah m2 + 10m + 25 = 0

(m1 + 5)(m2 +5) = 0 atau (m1 + 5)2 = 0

∴ m1 = – 2 dan m2 = – 2

∴Penyelesaiaannya adalah y = -5xe (A + Bx)

Contoh 35

Selesaikanlah 2

2

dxyd + 8

dxdy

+ 16y = 0

Penyelesaian

Persamaan karakteristiknya adalah m2 + 10m + 25 = 0

(m1 + 4)(m2 + 4) = 0 atau (m1 + 4)2 = 0

∴ m1 = – 4 dan m2 = – 4

∴Penyelesaiaannya adalah y = -4xe (A + Bx)

2. 3 Penyelesaian Persamaan Karakteristik untuk Akar – akar kompleks

Jika persamaan memiliki akar-akar kompleks, misalkan :

m = α ± jβ yaitu m1 = α ± jβ dan m2 = α – jβ

maka penyelesaiaannya akan berbentuk :

y = C x)jβα(e + + D x)jβα(e − = Ceαx.e jβx + Deαx.e -jβx

= eαx{ Ce jβ x + De -jβ x}

Diketahui bahwa :

e jx= cos x + j sin x

e -jx= cos x – j sin x

sehingga penyelesaian di atas dapat ditulis :

y = eαx{C(cos βx + j sin βx) + D(cos βx – j sin βx)}

= eαx{(C + D) cos βx + j(C –D) sin βx}

y = eαx{A cos βx + jB sin βx}

dengan A = C + D dan B = j(C – D)

Jika m = α ± jβ, penyelesaiannya dapat ditulis dalam bentuk :

y = eαx{A cos βx + B sin βx}

Berikut ini sebuah contoh lagi : m = - 2 ± 3j maka y = e -2x{A cos 3x + B sin 3x}

49

e jβ x= cos βx + j sin βx

e -jβ x= cos βx – j sin βx

Contoh 36

Selesaikanlah 2

2

dxyd + 4

dxdy

+ 9y = 0

Penyelesaian

Persamaan karakteristiknya adalah m2 + 4m + 9 = 0

∴m = 2

36-164- ± = 2

20-4- ± = 2

52j4- ± = - 2 ± 5 j

untuk α = - 2 dan β = 5

Penyelesaiaannya adalah

y = e-2x{A cos 5 x + B sin 5 x}

Contoh 37

Selesaikanlah 2

2

dxyd – 2

dxdy

+ 10y = 0

Penyelesaian

Persamaan karakteristiknya adalah m2 – 2m + 10 = 0

∴m = 2

40-42- ± = 2

36-4- ± = 1 ± 3 j

untuk α = 1 dan β = 3

Penyelesaiaannya adalah

y = e-2x{A cos 3x + B sin 3x}

Kesimpulan :

Jika a 2

2

dxyd + b

dxdy

+ cy = 0

Dengan persamaan karaktersitiknya : am2 + bm + c = 0

1. Akar-akar riil yang berbeda m = m1 dan m = m2

Penyelesaiannya adalah y = A xm1e + B xm2e .

2. Akar-akar riil yang sama m = m1 dan m = m1

Penyelesaiannya adalah y = xm1e (A + Bx).

3. Akar-akar kompleks m = α ± jβ

Penyelesaiannya adalah y = eαx{A cos βx + B sin βx}

50

Misalkan persamaan berbentuk :

2

2

dxyd ± n2y = 0, (7)

yang merupakan kasus khusus dari persamaan :

2

2

dxyda + b

dxdy

+ cy = 0, dimana b = 0

maka

2

2

dxyda + cy = 0, atau 2

2

dxyda +

ac

y = 0

dapat ditulis sebagai 2

2

dxyd ± n2 y = 0, yang mencakup nilai positif dan negatif.

(a) Jika 2

2

dxyd + n2 y = 0, ⇒ m2 + n2 = 0 ⇒ m2 = – n2 ∴ m2 = ± jn

(sama seperti m = α ± jβ, dengan α = 0 dan β = n)

∴ y = A cos nx + B sin nx

(b) Jika 2

2

dxyd – n2 y = 0, ⇒ m2 – n2 = 0 ⇒ m2 = n2 ∴ m2 = ± n

∴ y = C e nx + D e –nx

dengan,

cosh nx = 2

e nx nxe −+ ⇒ e nx + e –nx = 2 cosh nx

sinh nx = 2

e nx nxe −− ⇒ e nx – e –nx = 2 sinh nx

Dengan penjumlahan kedua persamaan menjadi :

2enx = 2 cosh nx + 2 sinh nx

∴enx = cosh nx + sinh nx

Jika dikurangkan kedua persamaan menjadi

∴e -nx = cosh nx – sinh nx

Sehingga, penyelesaian, dari persamaan (7), dapat ditulis kembali :

∴ y = C e nx + D e –nx

∴y = (C + D) cosh nx + (C – D) sinh nx atau y = A cosh nx + B sinh nx

Catatan :

2

2

dxyd + n2 y = 0 ⇒ ∴ y = A cos nx + B sin nx

2

2

dxyd – n2 y = 0 ⇒ ∴ y = A cosh nx + B sinh nx

51

Contoh 38 :

Selesaikanlah 2

2

dxyd + 16 y = 0

Penyelesaian

Diketahui m2 + 16 = 0

⇒ ∴ m2 = – 16 atau m = ± j4∴ y = A cos 4x + B sin 4x

Contoh 39 :

Selesaikanlah 2

2

dxyd – 3y = 0

Penyelesaian

Diketahui m2 – 3y = 0

⇒ ∴ m2 = 3 atau m = ± 3∴ y = A cosh 3 x + B sinh 3 x

Contoh 40 :

Selesaikanlah 2

2

dxyd + 5y = 0

Penyelesaian

Diketahui m2 + 5y = 0

⇒ ∴ m2 = – 5 atau m = ± j 5∴ y = A cos 5 x + B sin 5 x

Contoh 41 :

Selesaikanlah 2

2

dxyd – 4y = 0

Penyelesaian

Diketahui m2 – 4y = 0

⇒ ∴ m2 = 4 atau m = ± 2∴ y = A cosh 2x + B sinh 2x

52

I. Latihan

Selesaikanlah :

1. 2

2

dxyd – 12

dxdy

+ 36y = 0 2. 2

2

dxyd + 7y = 0

3. 2

2

dxyd + 2

dxdy

– 3y = 0 4. 2 2

2

dxyd + 4

dxdy

+ 3y = 0

5. 2

2

dxyd – 9y = 0 6. y′′ – y′ – 2y = 0

7. y′′ – 7y′ = 0 8. y′′ – 5 y = 0

9. 2

2

dtxd – 16x = 0 10. 2

2

dtrd – φ2 x = 0

Jawaban :

1. y = e6x(A + Bx) 2. y = A cos 7 x + B sin 7 x

3. y = Aex + Be-3x 4. y = e-x

+

2xBsin

2xAcos

5. y = A cosh 3x + B sinh 3x 6. y = Ae-x + Be2x

7. y = A + Be7x 8. y = Ae√5 x + Be-√5 x

9. x(t) = Ae4t + Be-4t 10. r(t) = Aeφ t + Be- φ t

Tugas V (Dikumpulkan Sebelum UTS)

II. Selesaikanlah :

1. 2

2

dtyd – 4

dtdy

+ y = 0 11. y′′ – 29 y′ + 2y = 0

2. 2

2

dtId + 60

dtdI

+ 500I = 0 12. y′′ – 41 y′ + 8

1 y = 0

3. x + 128 x + 96x = 0 13. y - 2 y + 21 y = 0

4. 2

2

dxyd +

dxdy

– 6y = 0 14. 2

2

dxyd – 6

dxdy

+ 25y = 0

5. 2

2

dtxd + 9

dtdx

+ 14x = 0 15. 2

2

dxyd –10

dxdy

+ 29y = 0

6. 2y′′ – 5y′ + 2y = 0 16. 2

2

dxyd + 9y = 0

7. q + 1000 q + 96q = 0 17. 2

2

dtxd + 8

dtdx

+ 25x = 0

8. 2

2

dtQd + 1000

dtdQ

+160.000Q = 0 18. 2

2

dtQd + 8

dtdQ

+ 52Q = 0

9. 2

2

dtxd + k

dtdx

= 0 29. x + 16 x = 0

10. 2

2

dtxd –

10g

x = 0 20. x + 3k x = 0

53