3

TUGAS

GEOMETRI TRANSFORMASI

“GRUP”

KELOMPOK 8

1. I WAYAN AGUS PUTRAWAN (2008.V.1.0093)

2. I KADEK DWIJAYAPUTRA (2008.V.1.0094)

3. I KETUT DIARTA (2008.V.1.0123)

4. AGUS EKA SURYA KENCANA (2008.V.1.0043)

SEMESTER VI C

MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN

ILMU PENGETAHUAN ALAM (FPMIPA)

INSTITUT KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

(IKIP) PGRI BALI DENPASAR

2011

4

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan kehadapan Ida Sang Hyang Widhi Wasa, karena

berkat rahmat-Nya kami dapat menyelesaikan paper ini tepat pada waktunya. Paper ini

merupakan tugas yang dibuat untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah yaitu

“Geometri Transformasi”.

Mata kuliah geometri transformasi sangat penting, karena mata kuliah ini

merupakan dasar – dasar matematika yang berisi materi tentang geometri euclidis dan

geometri analitik bidang, transformasi, pencerminan, isometri, hasilkali

transformasi,transformsiasi balikan, setengah putaran, grup, ruas garis berarah, geseran,

pencerminan geser, transformasi kesebangunan, afinitas dan lain sebagainya, materi ini

digunakan sebagai bahan ajar di sekolah menengah.

Terselesainya paper ini tidak terlepas dari bantuan dan bimbingan berbagai

pihak. Maka dari itu kami mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:

1. Bapak I Made Bawa Muliana, S.Pd, M.Pd selaku Dosen Mata Kuliah Geometri

Transformasi yang telah membimbing kami.

2. Bapak/Ibu Dosen serta Staff pegawai yang berada di lingkungan FPMIPA yang

telah memberikan masukan dan saran.

3. Teman-teman Jurusan Pendidikan Matematika dan semua pihak yang telah

membantu dan mendukung kelancaran pembuatan paper ini.

Menyadari adanya keterbatasan dan kekurangan dalam penyusunan laporan ini,

kami mengharapkan saran dan kritik dari para pembaca. Semoga laporan ini dapat

memberikan manfaat bagi pembaca.

Denpasar, April 2011

Tim Penulis

5

DAFTAR ISI

Kata Pengantar .................................................................................................... i

Daftar Isi.............................................................................................................. ii

BAB I PENDAHULUAN ................................................................................... 1

A. Latar Belakang .................................................................................. 1

B. Rumusan Masalah ............................................................................. 1

C. Tujuan Penulisan .............................................................................. 1

D. Manfaat Penulisan ............................................................................. 2

BAB II PEMBAHASAN .................................................................................... 3

A. Himpunan Dengan Struktur Grup ..................................................... 3

B. Sifat-sifat Dasar Grup ........................................................................ 5

C. Grup Bagian (Subgrup) ..................................................................... 7

BAB III PENUTUP ............................................................................................ 11

A. Simpulan ............................................................................................ 11

B. Saran ................................................................................................... 12

Daftar Pustaka

6

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Ada tiga akar sejarah teori grup: teori persamaaan aljabar, teori

bilangan dan geometri. Teori grup merupakan cabang matematik di mana

seseorang melakukan sesuatu terhadap sesuatu dan kemudian

membandingkan hasilnya dengan hasil pekerjaan yang sama dari objek yang

berbeda, atau pekerjaan yang beda pada objek yang sama. Grup digunakan

dalam dunia matematika dan ilmu pengetahuan alam, di antaranya untuk

menemukan simetri internal dari struktur lain, dalam bentuk grup automorfis.

Sebuah simetri internal dari suatu struktur biasanya diasosiasikan dengan satu

sifat invarian, dan berbagai macam transformasi yang mengubah sifat

invarian ini, bersama dengan oprasi komposisi suatu transformasi, dari sebuah

grup yang disebut grup simetri.

Pembahasan dalam paper ini difokuskan pada topik grup dan dibatasi

pada topik yang dikatagorikan himpunan dengan struktur grup, sifat-sifat

sederhana dari grup, dan subgrup.

B. Rumusan Masalah

Adapun rumusan masalah yang diajukan adalah sebagai berikut:

1. Bagaimanakah himpunan dengan struktur grup?

2. Apa sajakah sifat sederhana dari grup?

3. Apakah grup bagian (Subgrup)?

C. Tujuan Penulisan

Adapun tujuan yang dapat kita peroleh sebagai berikut:

1. Untuk mengetahui himpunan dengan struktur grup.

2. Untuk mengetahui sifat sederhana dari grup.

3. Untuk mengetahui grup bagian (Subgrup).

7

D. Manfaat Penulisan

Adapun manfaat yang dapat kita peroleh, sebagai berikut:

1. Mahasiswa dapat menambah wawasan dalam penyusunan paper.

2. Mahasiswa dapat mengetahui himpunan dengan struktur grup.

3. Mahasiswa dapat mengetahui beberapa sifat sederhana grup.

4. Mahasiswa dapat mengetahui grup bagian (Subgrup).

8

BAB II

PEMBAHASAN

A. Himpunan Dengan Struktur Grup

Suatu struktur aljabar merupakan suatu sistem yang mengandung dua

unsur utama yakni sebuah himpunan dan operasi biner yang didefinisikan di

dalamnya. Sebuah sistem yang terdiri dari sebuah himpunan tak kosong G dan

sebuah operasi biner yang didefinisikan didalamnya disebut grupoid. Jika

operasi biner dalam grupoid tersebut bersifat asosiatif, maka sistem tersebut

menjadi sebuah semi grup. Selanjutnya semi grup yang memuat elemen

identitas, yakni sebuah elemen e sedemikian hingga untuk setiap a G

berlaku a e = e a = a, disebut monoid. Dan apabila setiap elemen dalam

monoid memiliki invers, yakni untuk setiap a G, a−1

G sedemikian

hingga a a−1

= a−1

a = e, maka sistem yang baru disebut grup.

Definisi A.1 Suatu himpunan tak kosong G dengan sebuah operasi

(dinotasikan (G, )), dapat membentuk Grup jika dan hanya jika memenuhi

empat aksioma berikut.

1. Tertutup, yakni jika diambil sebarang dua elemen dalam G maka hasil

operasinya juga akan merupakan elemen G dan hasil tersebut adalah

tunggal. Atau secara simbolis: ( a, b G), ( !c G), a b = c

2. Operasi bersifat asosiatif, yakni ( a, b, c G), (a b) c = a (b c).

3. Ada elemen identitas dalam G, yakni ( e G), ( a G), a e = e a = a.

4. Tiap-tiap elemen dalam G memiliki invers, yakni ( a G), ( a−1

G), a

a−1

= a−1

a = e, dimana e adalah elemen identitas terhadap operasi .

Apabila salah satu sifat diatas tidak dipenuhi, maka G bukan grup. Untuk

menyatakan grup, dapat ditulis (G, ).

9

Definisi A.2

1. Sebuah grup yang banyaknya unsur-unsur takhingga dinamakan grup tak

hingga.

2. Sebuah grup yang banyaknya unsur-unsur terhingga dinamakan grup

terhingga.

Definisi A.3 Sebuah grup (G, ) merupakan grup komutatif apabila ( a, b

G), a b = b a.

Contoh soal:

Misalkan G = {-1, 1} adalah suatu himpunan. Tunjukan bahwa G adalah

suatu grup terhadap perkalian (G, ).

Penyelesaian :

Tabel 1.

Daftar Cayley G = {-1, 1} terhadap (G, )

Dari tabel 1. akan ditunjukan bahwa G = {-1, 1} merupakan suatu grup

terhadap perkalian (G, ), yaitu :

a. Tertutup (( a, b G), ( !c G), a b = c)

Ambil sebarang nilai dari G, misalkan -1 dan 1 G. Maka: -1 1 = -1

Karena hasilnya -1 G, maka tertutup terhadap G

b. Assosiatif (( a, b, c G), (a b) c = a (b c))

Ambil sebarang nilai dari G, misalkan a = -1, b = -1 dan c = 1 G

(a b) c = (-1 -1) 1 = 1 1 = 1

a (b c) = 1 (-1 -1) = 1 1 = 1

10

Sehingga (a b) c = a (b c) = 1

maka G assosiatif

c. Adanya unsur satuan atau identitas (e = 1, terhadap perkalian)

( e G), ( a G), a e = e a = a

Ambil sebarang nilai dari G

• misalkan -1 G sehingga -1 e = e (-1) = -1

• misalkan 1 G sehingga 1 e = e 1 = 1

maka G ada unsur satuan atau identitas

d. Adanya unsur balikan atau invers

( a G), ( a−1

G), a a−1

= a−1

a = e, dimana e adalah elemen

identitas terhadap operasi .

• Ambil sebarang nilai dari G, misalkan -1 G, pilih -1 G, sehingga :

-1 (-1) = 1 = e, maka (-1)-1

= -1

• Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 1 G, pilih 1 G, sehingga :

1 1 = 1 1 = e, maka (1)-1

= 1

maka G ada unsur balikan atau invers

Kesimpulan dari point a, b, c dan d, maka :

G = {-1, 1} merupakan grup terhadap perkalian (G, ).

B. Sifat-sifat Dasar Grup

Teorema-teorema berikut memaparkan beberapa sifat-sifat dasar dari

grup:

Teorema B.1 Elemen identitas dari suatu grup adalah tunggal.

Teorema B.2 Invers dari setiap elemen dalam suatu grup adalah tunggal.

Teorema B.3 Jika G adalah grup dengan operasi biner , maka dalam G

berlaku hukum kanselasi kiri dan hukum kanselasi kanan. Yakni, a b = a c

berimplikasi b = c, dan a b = c b berimplikasi a = c, a, b, c G.

Teorema B.4 Jika G grup dan a1, a2, · · · , an adalah sebarang n elemen

dalam G, maka berlaku (a1 a2 · · · an)−1

=

11

Teorema B.5 Jika G adalah grup maka untuk sebarang elemen a dalam G

berlaku (a−1

)−1

= a.

Teorema B.6 Dalam sebuah grup G, persamaan ax = b, dengan a, b G dan

x adalah peubah, mempunyai penyelesaian tunggal yakni x = a−1b.

Teorema B.7 Jika suatu himpunan tak kosong G terhadap operasi

memenuhi aksioma: tertutup, asosiatif, dan persamaan a x = b dan y a =

b mempunyai penyelesaian untuk setiap a, b G, maka (G, ) merupakan

grup.

Contoh 1:

Misalkan (G, ) adalah suatu Grup, maka :

a. Jika a G, maka (a-1)-1

= a

b. Jika a, b G, maka (ab)-1

= b-1

a-1

Bukti :

a. Berdasarkan aksioma grup, bahwa dalam grup terdapat sifat unsur satuan

atau identitas, e = a-1

(a-1

)-1

dan e = a-1

a

Sehingga : e = e

a-1

(a-1

)-1

= a-1

a

Akibatnya :

(a-1

)-1

= a

b. Berdasarkan aksioma grup, bahwa dalam grup terdapat sifat unsur satuan

atau identitas, e = ( ab) (ab)-1

dan e = a (b b-1

) a-1

berdasarkan

sifat asosiatif grup maka e = (ab ) b-1

a-1

Sehingga : e = e

(ab) (ab)-1

= (a b ) b-1

a-1

Akibatnya :

(ab)-1

= b-1

a-1

Dalam operasi penjumlahan (+), dapat dituliskan sebagai berikut:

Misalkan (G, +) adalah suatu Grup, maka :

a. Jika a G, maka -(-a) = a

b. Jika a, b G, maka -(a + b) = (-b) + (-a)

12

Contoh 2:

Misalkan (G, ) adalah suatu Grup perkalian dan a, b, x G, maka :

a. Jika xa = xb, maka a = b (penghapusan kiri)

b. Jika ax = bx, maka a = b (penghapusan kanan)

Bukti :

a. Misalkan xa = xb

maka :

xa = xb

x-1

(xa) = x-1

(xb) berdasarkan sifat asosiatif dalam suatu grup

(x-1

x) a = (x-1

x) b

ea = eb

a = b

b. Misalkan ax = bx

maka :

ax = bx

(ax) x-1 = (bx) x-1 ) berdasarkan sifat asosiatif dalam suatu grup

a (x-1x) = b (x-1x)

ae = be

a = b

Dalam operasi penjumlahan (+), dapat ditulis sebagai berikut :

Misalkan (G, +) adalah suatu Grup penjumlahan dan a, b, x G, maka :

a. Jika x + a = x + b, maka a = b (penghapusan kiri)

b. Jika a + x = b + x, maka a = b (penghapusan kanan)

C. Subgrup

Pada pembahasan ini akan diperkenalkan Subgrup yang merupakan

bagian dari Grup. Subgrup dapat diartikan sebagai grup bagian yang

mempunyai sifat-sifat dari Grup. Adapun definisinya adalah sebagai berikut :

13

Definisi C.1 Misalkan (G, ) adalah sebuah grup dan H suatu himpunan

bagian tak kosong dari G. H merupakan subgrup dari G jika dan hanya jika

(H, ) membentuk sebuah grup.

Berdasarkan definisi tersebut maka agar menjadi sebuah subgrup dari

grup G maka H haruslah merupakan sebuah grup dalam grup G, yang berarti

H harus memenuhi semua aksioma grup terhadap operasi biner yang sama

dengan G. Selanjutnya mengingat H merupakan himpunan bagian dari G maka

ada aksioma yang sudah secara langsung akan diwariskan dari G ke H, yakni

aksioma asosiatif, sehingga dapat diturunkan teorema berikut.

Teorema C.1 Misalkan (G, ) adalah sebuah grup dan H suatu himpunan

bagian tak kosong dari G. H merupakan subgrup dari G jika memenuhi tiga

aksioma berikut.

1. Tertutup : ( c, d H), c d H.

2. Elemen identitas e H; dengan e juga merupakan elemen identitas dalam

grup G terhadap operasi .

3. ( c H), c−1

H.

Selanjutnya dapat dianalisa bahwa jika aksioma tertutup dan invers sudah

dipenuhi oleh H maka aksioma identitas juga akan terpenuhi. Sehingga

aksioma pada teorema di atas dapat direduksi dan menghasilkan teorema

berikut.

Teorema C.2 Misalkan (G, ) adalah sebuah grup dan H suatu himpunan

bagian tak kosong dari G. H merupakan subgrup dari G jika memenuhi dua

aksioma berikut.

1. Tertutup : ( c, d H), c d H.

2. ( c H), c−1

H.

Akhirnya dua aksioma pada teorema di atas dapat dikombinasikan dan

menghasilkan teorema berikut.

Teorema C.3 Misalkan (G, ) adalah sebuah grup dan H suatu himpunan

bagian tak kosong dari G. H merupakan subgrup dari G jika ( c, d H), c

d−1

H.

14

Definisi C.2 Misalkan (G, ) grup. H dan K keduanya himpunan bagian dalam

G. Maka

H K = {a G|a = h k, h H ^ k K}

dan

H−1

= {a G|a = h−1

, h H}

Definisi di atas digunakan untuk pembuktian teorema-teorema berikut.

Teorema C.4 Jika (H, ) subgrup pada (G, ), maka H H = H dan H−1

= H.

Teorema C.5 Jika H dan K keduanya subgrup pada (G, ), maka H K

merupakan subgrup jika hanya jika H K = K H.

Teorema C.6 Jika H dan K keduanya subgrup pada (G, ), maka H K juga

merupakan subgrup pada (G, ).

Teorema C.7 Misal G grup dan a G. Jika H adalah himpunan dari semua

hasil perpangkatan dari a dalam G, maka H merupakan subgrup dari G.

Contoh soal:

Misalkan G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah merupakan himpunan grup dari Z6.

Tunjukan bahwa H = {0, 2, 4} adalah merupakan Subgrup dari G = {0, 1, 2,

3, 4, 5} terhadap penjumlahan (G, +).

Penyelesaian :

H = {0, 2, 4} merupakan himpunan bagian dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5},

sehingga H G.

Dari tabel 2. akan ditunjukan H = {0, 2, 4} memenuhi syarat-syarat suatu

Grup :

Tabel 2.

Daftar Cayley G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} terhadap (G, +)

15

a. Tertutup (( a, b G), ( !c G), a b = c)

Ambil sebarang nilai dari H, misalkan 0, 2, 4 H

0 + 0 = 0

0 + 2 = 2

0 + 4 = 4

2 + 2 = 4

2 + 4 = 0

4 + 4 = 2

4

karena hasilnya 0, 2, 4 H, maka tertutup terhadap H

b. Assosiatif (( a, b, c G), (a b) c = a (b c))

Ambil sebarang nilai dari H, misalkan a = 2, b = 2 dan c = 4 H

(a + b) + c = (2 + 2) + 4 = 4 + 4 = 2

a + (b + c) = 2 + (2 + 4) = 2 + 0 = 2

Sehingga :

(a + b) + c = a + (b + c) = 2

maka H assosiatif

c. Adanya unsur satuan atau identitas (e = 0, terhadap penjumlahan)

( e G), ( a G), a e = e a = a

Ambil sebarang nilai dari H,

Misalkan 0 H, 0 + e = e + 0 = 0

Misalkan 2 H, 2 + e = e + 2 = 2

Misalkan 4 H, 4 + e = e + 4 = 4

maka H ada unsur satuan atau identitas

d. Adanya unsur balikan atau invers

( a G), ( a−1

G), a a−1

= a−1

a = e, dimana e adalah elemen

identitas terhadap operasi .

Ambil sebarang nilai dari H,

Misalkan 0 H pilih 0 H sehingga 0 + 0 = 0 = e, maka (0)-1

= 0

Misalkan 2 H, pilih 4 H, sehingga 2 + 4 = 0 = e, maka (2)-1

= 4

Misalkan 4 H, pilih 2 H, sehingga 4 + 2 = 0 = e, maka (4)-1

= 2

Mka H ada unsur balikan atau invers

Jadi, H = {0, 2, 4} memenuhi syarat-syarat suatu Grup, sehingga (H,+)

Subgrup dari (G, +).

5

BAB III

PENUTUP

A. Simpulan

Berdasarkan hasil pembahasan di atas dapat kami simpulkan hal-hal

sebagai berikut:

1. Grupoid (G,*) dikatakan suatu Grup jika memenuhi syarat-syarat :

a. Tertutup

b. Assosiatif

c. Adanya unsur satuan atau identitas

d. Adanya unsur balikan atau invers

2. Sifat-sifat Grup diantaranya

- Elemen identitas dari suatu grup adalah tunggal.

- Invers dari setiap elemen dalam suatu grup adalah tunggal.

- Jika G adalah grup dengan operasi biner , maka dalam G berlaku

hukum kanselasi kiri dan hukum kanselasi kanan. Yakni, a b = a c

berimplikasi b = c, dan a b = c b berimplikasi a = c, a, b, c G.

- Jika G grup dan a1, a2, · · · , an adalah sebarang n elemen dalam G,

maka berlaku (a1 a2 · · · an)−1

=

- Jika G adalah grup maka untuk sebarang elemen a dalam G berlaku

(a−1

)−1

= a.

- Dalam sebuah grup G, persamaan ax = b, dengan a, b G dan x

adalah peubah, mempunyai penyelesaian tunggal yakni x = a−1b.

- Jika suatu himpunan tak kosong G terhadap operasi memenuhi

aksioma: tertutup, asosiatif, dan persamaan a x = b dan y a = b

mempunyai penyelesaian untuk setiap a, b G, maka (G, )

merupakan grup.

3. Agar menjadi sebuah subgrup dari grup G maka H haruslah merupakan

sebuah grup dalam grup G, yang berarti H harus memenuhi semua

aksioma grup terhadap operasi biner yang sama dengan G.

6

B. Saran

Saran yang dapat kami sampaikan yaitu kepada mahasiswa atau calon

guru, Grup adalah materi yang sangat penting, materi grup adalah salah satu

materi di Mata kuliah geometri transformasi. Mata kuliah ini penting karena

merupakan dasar – dasar matematika yang digunakan sebagai bahan ajar di

sekolah menengah, maka dari itu kami berharapkan paper ini dapat bermanfaat

bagi semua pihak yang membaca.

7

DAFTAR PUSTAKA

Rawuh, (1993). Geometri Transformasi, Depdikbud, Ditjen. Dikti., Jakarta.

http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_grup

http://matematikakusuka.com/?page_id=420