OPTIMISASI - stta.namestta.name/materi/Modul Optimisasi 2018_19.pdfProgram Studi Teknik Industri...

MODUL PRAKTIKUM OPTIMISASI Program Studi Teknik Industri

OPTIMISASI

TEKNIK INDUSTRI

2018/2019


PENDAHULUUAN

Selamat datang para praktikan di Praktikum Teknik Optimasi. Anda akan melaksanakan praktikum ini selama 10 pertemuan. Tujuan utama praktikum ini adalah memberikan penerapan teori kedalam bentuk praktek dalam menyelesaikan kasus-kasus optimasi industri yang mendekati kenyataan.

Selamat Melaksanakan

Praktikum Teknik Optimasi


FORMAT LAPORAN

1. Tiap kelompok mengumpulkan satu laporan akhir. 2. Laporan akhir dikumpulkan dalam bentuk CD ( Compact Dsc) dan dibuat dalam Format Website (Homepage) dengan file berextention htm atau html 3. Desain Laporan sangat mempengaruhi penilaian Akhir.


MODUL I TIME SERIES & FORECASTING

Tujuan Praktikum 1. Praktikan dapat memahami dan mengerti cara pengolahan dan perhitungan produksi serta penjualan dengan menggunakan metode peramalan 2. memberikan pemahaman penggunaan QS kepada praktika untuk memahami cara pengolahan data peramalan.

Forecasting adalah peramalan atau perkiraan mengenai sesuatu yang belum terjadi. Ramalan yang dilakukan pada umumnya akan berdasarkan data yang terdapat di masa lampau yang dianalisis dengan mengunakan metode-metode tertentu. Forecasting diupayakan dibuat dapat meminimumkan pengaruh ketidakpastian tersebut, dengan kata lainbertujuan mendapatkan ramalanyang bisa meminimumkan kesalahan meramal (forecast error) yang biasanya diukur dengan Mean Absolute Deviation, Absolute Error, dan sebagainya. Peramalan merupakan alat bantu yang sangat penting dalam perencanaan yang efektif dan efisien (Subagyo, 1986).

Peramalan permintaan memiliki karakteristik tertentu yang berlaku secara umum. Karakteristik ini harus diperhatikan untuk menilai hasil suatu proses peramalan permintaan dan metode peramalan yang digunakan. Karakteristik peramalan yaitu faktor penyebab yang berlaku di masa lalu diasumsikan akan berlaku juga di masa yang akan datang, dan peramalan tak pernah sempurna, permintaan aktual selalu berbeda dengan permintaan yang diramalkan (Baroto, 2002). Penggunaan berbagai model peramalan akan memberikan nilai ramalan yang berbeda dan derajat dari galat ramalan (forecast error) yang berbeda pula. Seni dalam melakukan peramalan adalah memilih model peramalan terbaik yang mampu mengidentifikasi dan menanggapi pola aktivitas historis dari data. Model-model peramalan dapat dikelompokan ke dalam dua kelompok utama, yaitu metode kualitatif dan metode kuantitatif. Metode kuantitatif dikelompokkan ke dalam dua kelompok utama, yaitu intrinsik dan ekstrinsik.

Metode kualitatif ditujukan untuk peramalan terhadap produk baru, pasar baru, proses baru, perubahan sosial dari masyarakat, perubahan teknologi, atau penyesuaian terhadap ramalan-ramalan berdasarkan metode kuantitatif.

http://fariedpradhana.files.wordpress.com/2012/06/pola-horizontal.jpg


2. Pola Musiman Pola musiman terjadi bila nilai data dipengaruhi oleh faktor musiman (misalnya kuartal

tahun tertentu, bulanan atau hari-hari pada minggu tertentu). Struktur datanya dapat digambarkan sebagai berikut ini.

3. Pola Siklis Pola ini terjadi bila data dipengaruhi oleh fluktuasi ekonomi jangka panjang seperti yang

berhubungan dengan siklus bisnis. Struktur datanya dapat digambarkan sebagai berikut.

4. Pola Trend Pola Trend terjadi bila ada kenaikan atau penurunan sekuler jangka panjang dalam data. Struktur datanya dapat digambarkan sebagai berikut.

http://fariedpradhana.files.wordpress.com/2012/06/pola-musiman.jpg

http://fariedpradhana.files.wordpress.com/2012/06/pola-siklis.jpg


Metode Peramalan

Model kuantitatif intrinsik sering disebut sebagai model-model deret waktu (Time Series model). Model deret waktu yang populer dan umum diterapkan dalam peramalan permintaan adalah rata-rata bergerak (Moving Averages), pemulusan eksponensial (Exponential Smoothing), dan proyeksi kecenderungan (Trend Projection). Model kuantitatif ekstrinsik sering disebut juga sebagai model kausal, dan yang umum digunakan adalah model regresi (Regression Causal model) (Gaspersz, 1998). 1. Weight Moving Averages (WMA)

Model rata-rata bergerak menggunakan sejumlah data aktual permintaan yang baru untuk membangkitkan nilai ramalan untuk permintaan di masa yang akan datang. metode rata-rata bergerak akan efektif diterapkan apabila permintaan pasar terhadap produk diasumsikan stabil sepanjang waktu. Metode rata-rata bergerak terdapat dua jenis, rata-rata bergerak tidak berbobot (Unweight Moving Averages) dan rata-rata bobot bergerak (Weight Moving Averages). Model rata-rata bobot bergerak lebih responsif terhadap perubahan karena data dari periode yang baru biasanya diberi bobot lebih besar. Rumus rata-rata bobot bergerak yaitu sebagai berikut.

2. Single Exponential Smoothing (SES)

Pola data yang tidak stabil atau perubahannya besar dan bergejolak umumnya menggunakan model pemulusan eksponensial (Exponential Smoothing Models). Metode Single Exponential Smoothing lebih cocok digunakan untuk meramalkan hal-hal yang fluktuasinya secara acak (tidak teratur). Peramalan menggunakan model pemulusan eksponensial rumusnya adalah sebagai berikut.

Permasalahan umum yang dihadapi apabila menggunakan model pemulusan eksponensial adalah memilih konstanta pemulusan (α) yang diperirakan tepat. Nilai konstanta pemulusan

http://fariedpradhana.files.wordpress.com/2012/06/pola-trend.jpg

http://fariedpradhana.files.wordpress.com/2012/06/wma.jpg

http://fariedpradhana.files.wordpress.com/2012/06/ses.jpg


dipilih di antara 0 dan 1 karena berlaku 0 < α < 1. Apabila pola historis dari data aktual permintaan sangat bergejolak atau tidak stabil dari waktu ke waktu, nilai α yang dipilih adalah yang mendekati 1. Pola historis dari data aktual permintaan tidak berfluktuasi atau relatif stabil dari waktu ke waktu, αyang dipilih adalah yang nilainya mendekati nol (Gaspersz, 1998). 3. Regresi Linier Model analisis Regresi Linier adalah suatu metode populer untuk berbagai macam permasalahan. Menurut Harding (1974) dua variabel yang digunakan, variabel x dan variabel y, diasumsikan memiliki kaitan satu sama lain dan bersifat linier. Rumus perhitungan Regresi Linier yaitu sebagai berikut.

Keterangan: Y = hasil peramalan n = periode a = perpotongan dengan sumbu tegak b = menyatakan slope atau kemiringan garis regresi Ukuran Akurasi Peramalan

Model-model peramalan yang dilakukan kemudian divalidasi menggunakan sejumlah indikator. Indikator-indikator yang umum digunakan adalah rata-rata penyimpangan absolut (Mean Absolute Deviation), rata-rata kuadrat terkecil (Mean Square Error), rata-rata persentase kesalahan absolut (Mean Absolute Percentage Error), validasi peramalan (Tracking Signal), dan pengujian kestabilan (Moving Range). 1. Mean Absolute Deviation (MAD)

Metode untuk mengevaluasi metode peramalan menggunakan jumlah dari kesalahan-kesalahan yang absolut. Mean Absolute Deviation (MAD)mengukur ketepatan ramalan dengan merata-rata kesalahan dugaan (nilai absolut masing-masing kesalahan). MAD berguna ketika mengukur kesalahan ramalan dalam unit yang sama sebagai deret asli. Nilai MAD dapat dihitung dengan menggunakan rumus sebegai berikut.

2. Mean Square Error (MSE)

Mean Squared Error (MSE) adalah metode lain untuk mengevaluasi metode peramalan. Masing-masing kesalahan atau sisa dikuadratkan. Kemudian dijumlahkan dan ditambahkan dengan jumlah observasi. Pendekatan ini mengatur kesalahan peramalan yang besar karena kesalahan-kesalahan itu dikuadratkan. Metode itu menghasilkan kesalahan-kesalahan sedang yang kemungkinan lebih baik untuk kesalahan kecil, tetapi kadang menghasilkan perbedaan yang besar.

http://fariedpradhana.files.wordpress.com/2012/06/rl-11.jpg





http://fariedpradhana.files.wordpress.com/2012/06/mad.jpg


3. Mean Absolute Percentage Error (MAPE)

Mean Absolute Percentage Error (MAPE) dihitung dengan menggunakan kesalahan absolut pada tiap periode dibagi dengan nilai observasi yang nyata untuk periode itu. Kemudian, merata-rata kesalahan persentase absolut tersebut. Pendekatan ini berguna ketika ukuran atau besar variabel ramalan itu penting dalam mengevaluasi ketepatan ramalan. MAPE mengindikasi seberapa besar kesalahan dalam meramal yang dibandingkan dengan nilai nyata.

4. Tracking Signal

Validasi peramalan dilakukan dengan Tracking Signal. Tracking Signal adalah suatu ukuran bagaimana baiknya suatu peramalan memperkirakan nilai-nilai aktual. Nilai Tracking Signal dapat dihitung dengan menggunakan rumus sebegai berikut.

Tracking signal yang positif menunjukan bahwa nilai aktual permintaan lebih besar daripada ramalan, sedangkan tracking signal yang negatif berarti nilai aktual permintaan lebih kecil daripada ramalan. Tracking signal disebut baik apabila memiliki RSFE yang rendah, dan mempunyai positive erroryang sama banyak atau seimbang dengan negative error, sehingga pusat dari tracking signal mendekati nol. Tracking signal yang telah dihitung dapat dibuat peta kontrol untuk melihat kelayakkan data di dalam batas kontrol atas dan batas kontrol bawah. 5. Moving Range (MR)

Peta Moving Range dirancang untuk membandingkan nilai permintaan aktual dengan nilai peramalan. Data permintaan aktual dibandingkan dengan nilai peramal pada periode yang sama. Peta tersebut dikembangkan ke periode yang akan datang hingga dapat dibandingkan data peramalan dengan permintaan aktual. Peta Moving Range digunakan untuk pengujian kestabilan sistem sebab-akibat yang mempengaruhi permintaan. Rumus perhitungan peta Moving Range adalah sebagai berikut.

http://fariedpradhana.files.wordpress.com/2012/06/mse.jpg

http://fariedpradhana.files.wordpress.com/2012/06/mape.jpg

http://fariedpradhana.files.wordpress.com/2012/06/ts1.jpg

http://fariedpradhana.files.wordpress.com/2012/06/mr.jpg


Jika ditemukan satu titik yang berada diluar batas kendali pada saat peramalan diverifikasi maka harus ditentukan apakah data harus diabaikan atau mencari peramal baru. Jika ditemukan sebuah titik berada diluar batas kendali maka harus diselidiki penyebabnya. Penemuan itu mungkin saja membutuhkan penyelidikan yang ekstensif. Jika semua titik berada di dalam batas kendali, diasumsikan bahwa peramalan permintaan yang dihasilkan telah cukup baik. Jika terdapat titik yang berada di luar batas kendali, jelas bahwa peramalan yang didapat kurang baik dan harus direvisi (Gaspersz, 1998).

Kegunaan peta Moving Range ialah untuk melakukan verifikasi hasil peramalan least square terdahulu. Jika peta Moving Range menunjukkan keadaan diluar kriteria kendali. Hal ini berarti terdapat data yang tidak berasal dari sistem sebab-akibat yang sama dan harus dibuang maka peramalan pun harus diulangi lagi. PENGERTIAN TIME SERIES Time series merupakan metode dalam statistika untuk mengumpulkan data variabel tertentu dari waktu ke waktu secara kronologisn yang kemudian dijadikan dasar untuk melakukan peramalan. Trend • Macam – macam bentuk trend 1. Trend linier Trend yang merupakan suatu garis lurus yang mempunyai bentuk umum persamaan garis : Yt = a + bX a=nilai trend pada saat X = 0 atau pada waktu dasar(origin) b= koefisien garis trend X= unit waktu tertentu Yt = nilai trend untuk setiap nilai X tertentu 2. Trend Non Linier Suatu garis trend yang merupakan garis lengkung yang mempunyai fungsi persamaan garis non linier. A) Yt = a+bX+CX² à persamaan trend kuadratis/parabola B) Yt = abX à persamaan trend eksponensial Cara mendapatkan nilai trend 1. Moving average method 2. Semi average method Least square method Langkah - langkah Pengolahan Data Time Series and Forecasting dengan QS\ 1. Buka aplikasi QS pilih Forecasting and Linear Regression 2. Pada problem name di isi nama perusahaan 3. Time unit (satuan waktu) missal month untuk bulan 4. Number of time unit (periode) diisi jumlah data yang akan diramalkan 5. Jika sudah Klik Ok dan masukkan data peramalannya 6. Kemudian klik “solve dan analysis” .


MODUL II LINEAR DAN INTEGER LINEAR PROGRAMMING

A. Tujuan Praktikum 1. Praktikan dapat memahami dan mengerti cara-cara pengumpulan data dan mengetahui data-data yang diperlukan model linear dan integer programming yang berasal dari kehidupan nyata serta memformulasikan data yang diperoleh tersebut. 2. Mengetahui dan memahami solusi yang dihasilkan dari model linear dan integer programming mengenai masalah pengalokasian sumber-sumber yang terbatas untuk mencapai tujuan optimal. B. Landasan Teori A.1. Linear Programming

Semua organisasi harus membuat keputusan bagaimana mengalokasikan sumber-sumbernya, dan tidak ada organisasi yang beroperasi secara permanen dengan sumber yang tidak terbatas, akibatnya manajemen harus secara terus menerus mengalokasikan sumber yang langka untuk mencapai tujuan organisasi, bagaimanapun caranya. Tiap organisasi mencoba untuk mencapai tujuan tertentu (tabungan, anggaran, advertensi, nasabah, tersedianya bahan-bahan). Linear Programming merupakan teknik matematik untuk mendapatkan alternatif penggunaan terbaik atas sumber-sumber organisasi. Kata sifat linear digunakan untuk menggambarkan hubungan antara dua atau lebih variabel, hubungan yang langsung dan proses proporsional. Misalnya dalam hubungan linear antara jam kerja dengan output : perubahan jumlah jam produksi sebesar 10% dalam beberapa operasi akan mengakibatkan 10% perubahan output. Sedangkan kata program merupakan penggunaan teknik matematika tertentu untuk mendapatkan kemungkinan pemecahan terbaik atas persoalan yang melibatkan sumber yang serba terbatas. Ada beberapa syarat-syarat utama pada persoalan Linear Programming dalam suatu industri, yaitu : a. Mempunyai tujuan untuk dicapai

Tujuan utama suatu industri misal kita asumsikan memaksimumkan keuntungan, sedangkan kita tahu keuntungan tidak berhubungan secara linear dengan volume penjualan, tetapi dari konsep akutansi yang disebut total kontribusi didapat:

Total Kontribusi = (Harga Jual /unit - Biaya Variabel /unit) x (Volume Penjualan) Bila anda menemui istilah “laba” dalam linear programming maka yang sebenarnya dimaksud adalah “kontribusi” ini. b. Harus ada alternatif tindakan yang salah satu darinya akan mencapai tujuan.

Sebagai contoh industri mebel mengalokasikan kapasitas industrinya untuk meja dan kursi dalam perbandingan 50 : 50 ? 70 : 30 ? 25 : 75 ? atau dalam angka perbandingan lain.


c. Sumber harus merupakan persediaan terbatas. Industri mebel diatas memiliki jumlah jam mesin yang terbatas, akibatnya semakin

banyak waktu digunakan untuk membuat meja, akan semakin sedikit kursi yang dapat dibuat. Dalam pembahasan model Linear pragramming digunakan simbol-simbol sebagai berikut : m = macam batasan - batasan sumber atau fasilitas yang tersedia. n = macam kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas tersebut. i = nomor setiap macam sumber atau fasilitas yang tersedia [ i = 1,2,3, ... ,m ] j = nomor setiap macam kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas yang tersedia [ j = 1,2, ... , n ] Xj = tingkat kegiatan ke j [ j = 1,2, ... , n ] aij = banyak sumber i yang diperlukan untuk menghasilkan setiap unit keluaran atau output kegiatan [ i = 1,2, ... , m dan j = 1,2, ... , n ] bi = banyak sumber i yang tersedia untuk dialokasikan ke setiap unit kegiatan [i=1,2,... ,m ] Z = nilai yang dioptimalkan [ maksimum atau minimum ] Cj = kenaikan nilai Z apabila ada pertambahan tingkat kegiatan [ Xj ] dengan satu satuan [ unit ] atau merupakan sumbangan setiap satuan keluaran kegiatan terhadap nilai Z. Keseluruhan simbol - simbol diatas selanjutnya disusun kedalam bentuk tabel standart LP seperti pada tabel dibawah ini : Tabel : Data untuk model Linear Programing


Atas dasar tabel diatas kemudan dapat disusun model matematis yang digunakan untuk mengemukakan suatu permasalahan LP sebagai berikut : Fungsi Tujuan : Maksimum (Minimum) Z = C1X1 + C2X2 + C3X3 + ........ + CnXn Batasan - batasan : 1). a11X1 + a12X2 + a13X3 + ....... + a1nXn ( £ = ³ ) b1 2). a21X1 + a22X2 + a23X3 + ....... + a2nXn ( £ = ³ ) b2 . . m). a m1X1 +am2X3 +am3X3 + ........ + amnXn ( £ = ³ ) bm dan X1 ³ X2 ³ .............. Xn ³ 0 Terminologi model LP dapat dinyatakan sebagai berikut : 1. Fungsi yang akan dimaksimumkan : C1X1 + C2X2 + C3X3 + .............. + CnXn disebut fungsi tujuan [ objective function ] 2. Fungsi - fungsi batasan dapat dikelompokkan menjadi dua macam, yaitu: a. Fungsi batasan fungsional, yaitu fungsi - fungsi batasan sebanyak m yaitu a11X1 + a12X2 + a13X3 + ............. + amXn b. Fungsi batasan non negatif disebut sebagai non negatif constrains yaitu fungsi fungsi batasan yang dinyatakan dengan Xj ³ 0. 3. Variabel - variabel Xj disebut sebagai decision variables. 4. aij, bi dan Cj, yaitu masukan - masukan konstan disebut sebagai parameter model. Masalah - masalah LP yang dapat mengikuti model diatas antara lain : 1. Masalah minimasi yaitu fungsi tujuan yang menggambarkan upaya untuk mendapatkan biaya seminimal mungkin. Dalam hal ini, fungsi tujuan dinyatakan sebagai berikut : Minimumkan Z = C1X1 + C2X2 + C3X3 + ......... + CnXn 2. Masalah dengan fungsi batasan fungsional yang memiliki tanda matematis ³ , sehingga apabila dirumuskan terlihat sebagai berikut : ai1X1 + ai2X2 + ai3X3 + ........... +ainXn ³ bi


3. Masalah dengan fungsi batasan fungsional yang memiliki tanda matematis = , sehingga bila dirumuskan sebagai berikut : ai1X1 + ai2X2 +ai3X3 + ........... + ainXn = bi 4. Masalah tertentu, dimana fungsi batasan non negatif tidak diperllukan atau Xi tidak terbatas. Asumsi-asumsi Linear Programming : 1. Proportionality.

Asumsi ini berarti bahwa naik turunya nilai Z dan penggunaan sumber atau fasilitas yang tersedia akan berubah secara sebanding (proportional) dengan perubahan tingkat kegiatan. 2. Additivity.

Asumsi ini berarti bahwa nilai tujuan tiap kegiatan tidak saling mempengaruhi atau dalam LP dianggap bahwa kenaikan dari nilai tujuan (Z) yang diakibatkan oleh kenaikan suatu kegiatan dapat ditambah tanpa mempengaruhi bagian nilai Z yang diperoleh dari kegiatan lain.

3. Disibility.

Asumsi ini menyatakan bahwa keluaran ( output ) yang dihasilkan oleh setiap kegiatan dapat berupa bilangan pecahan.

4. Deterministic ( certainty ).

Asumsi ini menyatakan bahwa semua parameter yang terdapat dalam model LP (a, bj, cj) dapat diperkirakan dengan pasti, meskipun jarang dengan tepat. Beberapa pengertian dalam Linear Programming 1. Solution Solution adalah jawaban akhir suatu masalah. 2. Feasible Solution Feasible Solution adalah penyelesaian yang tidak melanggar batasan- batasan yang ada. 3. No Feasible Solution

No Feasible Solution berarti tidak ada daerah yang layak. Artinya apabila sifat atau letak batasan – batasan sedemikian rupa sehingga tidak memungkinkan terdapatnya daerah atau alternatif - alternatif yang layak.

4. Optimal Solution

Optimal Solution adalah penyelesaian layak yang mempunyai nilai tujuan (nilai Z dalam fungsi tujuan ) yang optimal atau terbaik (maksimum atau minimum ).

5. Multiple Optimal Solution Multiple Optimal Solution berarti terdapatnya beberapa alternatif optimal dalam suatu masalah. 6. Boundary Equation Boundary Equation terjadi apabila suatu batasan dengan tanda “=“.


7. Corner Point Feasible Solution Corner Point Feasible Solution adalah penyelesaian layak yang terletak pada sudut ( perpotongan ) antara dua garis. 8. Corner Point Infeasible Solution

Corner Point Infeasible Solution adalah titik yang terletak pada perpotongan dua garis tetapi diluar daerah yang layak.

9. No Optimal Solution

Penyelesaian tidak optimal terjadi apabila suatu masalah tidak mempunyai jawaban atau penyelesaian optimal. Hal ini di sebabkan oleh faktor - faktor sebagai berikut : a. Tidak ada penyelesaian layak. b. Ada batasan yang tidak membatasi besar nilai Z. Ketentuan - ketentuan atau sifat Linear Programming Ketentuan 1: a. Kalau hanya ada satu penyelesaian optimal, berupa Corner Point Feasible Solution. b. Kalau Multiple Solution maka terdapat lebih dari dua titik optimal yang terletak pada garis yang menghubungkan dua Corner Solution. Ketentuan 2: Corner Point Feasible Solution jumlahnya terbatas. Ketentuan 3: Kalau Corner Point Feasible Solution lebih baik dari dua Corner Point Feasible Solution yang terdekat, maka titik itu merupakan titik optimal atau terbaik diantara semua Corner Point Feasible Solution. Beberapa Metode Penyelesaian Linear Programming 1. Metode Grafis

Metode ini digunakan apabila variable model LP yang ada tidak melebihi dua variable atau yang berdimensi 2 x n atau m x 2 2. Metode Simpleks

Apabila suatu masalah LP melibatkan lebih dari dua kegiatan maka metode grafik tidak dapat digunakan dalam menentukan kombinasi optimal, untuk itu digunakan metode simplek. Analisis Sensitivitas

Analisis Sensitivitas bertujuan untuk menghindari perhitungan - perhitungan ulang, bila terjadi perubahan satu atau beberapa koefisien model LP pada saat penyelesaian optimal telah tercapai. Pada dasarnya perubahan - perubahan yang mungkin terjadi setelah tercapainya penyelesaian optimal terdiri dari beberapa macam, yakni :

1. Keterbatasan kapasitas sumber (nilai kanan fungsi-fungsi batasan). 2. Koefisien-koefisien fungsi tujuan. 3. Koefisien-koefisien teknis fungsi-fungsi batasan tertentu koefisien - koefisien menunjukkan beberapa bagian kapasitas sumber yang dikonsumsi oleh satu satuan kegiatan. 4. Penambahan variable - variable baru.


5. Penambahan batasan baru. Secara umum, perubahan - perubahan tersebut diatas akan mengakibatkan salah satu diantara : 1. Penyelesaian optimal tidak berubah, artinya baik variable - variable dasar maupun nilai - nilainya tidak mengalami perubahan. 2. Variable - variable dasar mengalami perubahan, tetapi nilai - nilainya tidak berubah. 3. Penyelesaian optimal sama sekali tidak berubah. 4. Tujuan dan segenap keterbatasannya harus dapat dinyatakan sebagai persamaan atau ketidaksamaan matematika dan harus ada kesamaan atau ketidaksamaan linear.

Pada dasarnya, metode-metode yang dikembangkan untuk memecahkan masalah linear programming ditunjukkan untuk mencari solusi dari beberapa alternatif solusi yang dibentuk oleh persamaan-persamaan pembatas sehingga diperoleh nilai fungsi tujuan yang optimum.

Ada dua cara yang bisa digunakan untuk menyelesaikan persoalan-persoalan linear programming dengan cara grafis dan metode simpleks. Cara grafis dapat digunakan bila ada persoalan linear programming yang akan diselesaikan memiliki dua buah variabel. Walaupun demikian, cara ini telah memberikan satu petunjuk penting bahwa untuk memecahkan persoalan-persoalan linear programming, kita hanya perlu memperhatikan titik ekstrim (titik terjauh) pada ruang solusi atau daerah fisibel. Petunjuk ini telah menjadi kunci dalam mengembangkan metode simpleks.

Metode simpleks merupakan teknik yang paling berhasil dikembangkan untuk menghasilkan /memecahkan persoalan linear programming yang mempunyai jumlah variabel keputusan dan pembatas yang besar. Algoritma simpleks ini diterangkan dengan menggunakan logika secara aljabar matriks, sedemikian rupa sehingga operasi perhitungan dapat dibuat lebih efisien. Klasifikasi Dan Struktur Biaya Produksi

Agar dapat melaksanakan analisa dan evaluasi alternatif-alternatif yang berkaitan dengan proyek engineering (produk jasa, proses ataupun fasilitas kerja) maka diperlukan kemampuan untuk mengidentifikasikan jenis dan macam biaya yang ada, untuk memperjelas biaya-biaya yang harus dikeluarkan dalam kegiatan produksi. Beberapa jenis biaya yang umum dipakai adalah sebagai berikut : 1. Biaya awal dan operasional

Adalah biaya-biaya yang harus dikeluarkan pada awal sebelum kegiatan produksi diselenggarakan. Biaya awal biasanya dipergunakan untuk keperluan pembelian mesin (fasilitas produksi), instalasi, gedung, dam sebagainya. Biaya awal ini cenderung besar dan memiliki nilai strategis yang mencakup dimensi waktu jangka panjang. Biaya awal dikeluarkan hanya sekali saja untuk setiap asset yang ditanamkan. Selanjutnya biaya-biaya yang harus dikeluarkan secara rutin/periodik akan diklasifikasikan dalam bentuk biaya operasional dan perawatan.

2. Biaya langsung dan tidak langsung

Biaya langsung adalah biaya yang dapat diidentifikasikan secara langsung dengan suatu proses produksi tertentu atau produk output yang dihasilkan, contohnya adalah biaya material langsung, komponen, tenaga kerja langsung, dan sebagainya. Biaya tidak langsung tidak dapat


diidentifikasikan dengan proses ataupun output produk tertentu, dan tidak dapat dihitung secara detail untuk setiap unit output.

3. Biaya tetap (fixed cost) dan biaya tidak tetap (variabel cost)

Biaya tetap adalah biaya yang berkaitan dengan pengoperasian fasilitas-fasilitas produksi dalam suatu periode tertentu, biaya tersebut besarnya relatif tetap atau konstan selama aktivitas produksi tersebut berlangsung, dan tidak peduli dengan volume produksi yang dihasilkan. Biaya variabel adalah biaya yang jumlahnya berubah-ubah sesuai dengan tingkat kegiatan yang ada dalam perusahaan yang bersangkutan. Oleh karena itu biaya itu terpengaruh oleh besar kecilnya tingkat kegiatan yang ada di dalam perusahaan, maka apabila tingkat kegiatan dalam perusahaan tersebut tinggi maka jumlah biaya ini akan tinggi pula, demikian sebaliknya. Bagan biaya tetap

Bagan biaya variabel

4. Biaya semivariabel

Adalah merupakan biaya yang didalamnya terkandung unsur-unsur biaya tetap dan biaya variabel secara bersama-sama. Dengan demikian apabila terdapat perubahan-perubahan tingkat produksi, maka jumlah biaya semivariabel ini akan berubah pula, namun perubahan yang terjadi tidak akan mengikuti secara langsung terhadap setiap unit perubahan tingkat kegiatan yang ada dalam perusahaan yang bersangkutan.


Untuk mempermudah analisis yang memerlukan pemisahan biaya semivariabel, maka biaya semivariabel ini dapat dipisahkan menjadi biaya tetap dan biaya variabel dengan metode-metode sebagai berikut : a. Metode Titik Terendah dan Tertinggi

Memerlukan data kapasitas (atau tingkat kegiatan) yang terendah berikut biaya semivariabel yang dikelurkan pada kapasitas tersebut serta data kapasitas yang tertinggi berikut biaya semivariabel pada kapasitas tertinggi pula. Perhitungan dapat dilakukan dengan rumus sebagai berikut :

Keterangan : BTT/unit : Biaya tidaktetap/unit atau biaya variabel/unit. b1 : jumlah biaya pada tingkat kapasitas 1 b2 : jumlah biaya pada tingkat kapasitas 2 k : tingkat kapasitas 1 k2 : tingkat kapasitas 2

Disamping mempergunakan perhitungan tersebut , besarnya biaya tetap yang ada didalam perusahaan tersebut dapat pula diperhitungkan secara langsung yaitu :

Keterangan : BT : jumlah biaya tetap b1 : jumlah biaya pada tingkat kapasitas 1 b2 : jumlah biaya pada tingkat kapasitas 2 k1 : tingkat kapasitas 1 k2 : tingkat kapasitas 2 b. Metode Kuadrat Terkecil

Memerlukan biaya yang lebih banyak apabila dibandinhgkan dengan metode titik terendah dan tertinggi. Demikian pula data yang dipergunakan akan lebih banyak, maka hasil yang diperoleh pada umumnya akan lebih baik. Persamaannya adalah :

Keterangan : Y : jumlah biaya semivariabel a : jumlah biaya tetap b : biaya variabel per unit


X : tingkat kegiatan dalam perusahaan Untuk mencari besar nilai a dan b digunakan persamaan sebagai berikut :

Keterangan : n : jumlah data yang dipergunakan Y : jumlah biaya semivariabel a : jumlah biaya tetap b : biaya variabel per unit X : tingkat kegiatan dalam perusahaan c. Metode Biaya Cadangan ( Stand By Cost Method )

Analisis perilaku biaya dalam metode ini adalah terlebih dahulu menentukan unsur biaya tetap dari biaya yang bersangkutan. Hal ini berbeda dengan metode titik tertinggi-terendah. Penentuan unsur biaya tetap dilakukan dengan cara menghentikan kegiatan perusahaan untuk sementara waktu. Dengan cara ini diketahui besarnya biaya yang terjadi jika perusahaan terhenti kegiatannya. Biaya ini disebut dengan biaya cadangan ( stand by cost ). Selisih antar biaya cadangan dengan biaya yang terjadi ketika perusahaan beroperasi disebut unsur biaya variabel. Untuk mendapatkan biaya variabel perunit dengan cara membagi biaya variabel dengan volume produksi. B.2. INTEGER LINEAR PROGRAMMING

Integer Linear Programming (ILP) atau programa bilangan bulat adalah bentuk lain dari Linear Programming dimana fungsi divisibilitasnya lemah atau hilang sama sekali. Bentuk ini muncul karena dalam kenyataannya tidak semua variabel keputusan dapat berupa bilangan pecahan. Misalnya, variabel-variabel yang nilainya harus positif seperti produksi mobil, produksi kapal terbang / laut, jumlah jembatan, jumlah gedung, kebutuhan tenaga kerja, jumlah penganggur, jumlah ternak, dll. Solusi optimalnya tidak masuk akal bila menghasilkan bilangan-bilangan pecahan.

Asumsi divisibilitas melemah, artinya sebagian dari nilai variabel keputusan harus berupa bilangan bulat ( integer ) dan sebagian lainnya boleh berupa pecahan, persoalan ini disebut ILP campuran ( mixed integer linear programming ). Apabila seluruh variabel keputusan dari suatu persoalan Linear Programming harus berharga integer, maka persoalan tersebut disebut sebagai persoalan Integer Linear Programming murni ( all integer linear programming ). Selain bentuk diatas ada pula persoalan ILP yang seluruh variabelnya harus berharga 0 dan 1. Persoalan semacam ini disebut sebagai persoalan ILP nol-


satu ( 0-1 ILP ). Kondisi ini akan dijumpai dalam kasus dimana persoalan yang dihadapi merupakan persoalan keputusan “ya” atau “tidak”. 1. Model Integer Linear Programming Model umum dari ILP adalah sebagai berikut : Optimumkan ( Maksimum atau Minimum ) Z = f ( X1 , X2 , … , Xn ) Dengan batasan : (X1 , X2 , … , Xn ) £ atau ³ bi dan Xj ³ 0 i = 1, 2, 3, …, m Xj integer j = 1, 2, 3, …, n Untuk model dasar total integer linear programming :

Optimumkan ( Maksimum atau Minimum ) Dengan batasan :

dan Xj ³ 0 i = 1, 2, 3,…, m Xj integer j = 1, 2, 3, …, n Sedangkan model dasar untuk mixed integer linear programming : Optimumkan ( maksimum atau minimum )


Dengan batasan : dan Xj ³ 0 dan integer i = 1, 2, 3, …, m Yk ³ 0 j = 1, 2, 3, …, n k = 1, 2, 3, …, k 2. Metode Pemecahan Integer Linear Programming

Dalam Linear Programming, metode simpleks didasari oleh pengenalan bahwa pemecahan optimum terjadi di titik ekstrim dari ruang pemecahan. Hasil yang penting ini pada intinya mengurangi usaha pencarian pemecahan yang tidak terbatas menjadi sejumlah yang terbatas. Sebaliknya, ILP memulai dengan sejumlah titik pemecahan yang terbatas (dengan asumsi ILP murni yang dibatasi). Tetapi sifat variabel yang berbentuk bilangan bulat mempersullit perancangan sebuah algoritma yang efektif untuk mencari secara langsung diantara titik integer yang layak dari ruang pemecahan. Mengingat kesulitan ini, para peneliti telah mengambangkan sebuah prosedur pemecahan yang didasari oleh pemanfaatan keberhasilan besar dalam memecahkan masalah-masalah Linear Programming.

Strategi untuk prosedur ini dapat diringkaskan dalam tiga langkah :

1. Longgarkan ruang pemecahan dari masalah integer yang bersangkutan dengan mengabaikan batasan integer sama sekali. Langkah ini mengkonversikan ILP menjadi LP biasa. 2. Pecahkan model LP “yang longgar” yang dihasilkan dan diidentifikasi titik optimum ( kontinyu ) dari LP itu. 3. Dengan dimulai dari titik optimum kontinyu, tambahkan batasan khusus yang akan secara berulang-ulang memaksa titik ekstrim optimum dari model LP yang dihasilkan untuk bergerak ke arah batasan integer yang diinginkan.

Alasan dimulai pencarian pemecahan optimum ILP dipemecahan optimum Linear Programming adalah bahwa terdapat kemungkinan yang lebih besar bahwa kedua pemecahan itu akan terletak berdekatan satu sama lain, sehingga meningkatkan kemungkinan untuk menemukan pemecahan integer tersebut secara cepat.

Inti prosedur yang diajukan ini adalah pendekatan memecahkan masalah-masalah Linear Programming yang berturut-turut, yang lebih dapat dikelola dari segi perhitungan dibandingkan memecahkan masalah-masalah ILP secara langsung.


Terdapat dua metode untuk menghasilkan batasan-batasan khusus yang akan memaksa pemecahan dari masalah Linear Programming yang dilonggarkan untuk bergerak kearah pemecahan integer yang diinginkan : 1. Branch and Bound 2. Bidang pemotong

Dalam kedua metode ini, batasan yang ditambahkan secara efektif menyingkirkan beberapa bagian dari ruang pemecahan yang dilonggarkan, tetapi tidak pernah menyingkirkan satupun titik integer yang layak. Metode Branch and Bound jauh lebih berhasil dari segi perhitungan daripada metode bidang pemotong. Karena alasan ini, sebagian besar program komputer komersial didasari oleh prosedur Branch and Bound. 3. Metode Branch and Bound

Langkah-langkah metode Branch and Bound dalam menentukan solusi integer optimal untuk model maksimasi adalah sebagai berikut :

1. Dapatkan solusi simplex optimal dari model program linear dengan batasan integer yang dilepaskan. 2. Tentukan solusi simplex relaxed sebagai batas atas sedangkan solusi hasil pembulatan kebawah sebagai batas bawah pada node 1. 3. Pilih variabel dengan bagian pecahan yang terbesar untuk pencabangan. Ciptakan dua batasan baru untuk variabel ini yang mencerminkan pembagian nilai integer. Hasilnya adalah sebuah batasan £ dan sebuah batasan ³. 4. Ciptakan dua node baru, satu dengan batasan £ dan satu dengan batasan ³. 5. Selesaikan model program linear relaxed dengan batasan baru yang ditambahkan pada tiap node. 6. Solusi simplek relaxed adalah merupakan batas atas pada tiap node dan solusi integer maksimum yang ada (pada node mana saja) adalah merupakan batas bawah. 7. Jika proses ini menghasilkan solusi integer fisibel dengan nilai batas atas terbesar pada akhir node yang mana saja, maka solusi integer optimal telah tercapai. Jika tidak muncul suatu solusi integer fisibel, lakukan pencabangan dari node dengan batas atas terbesar. 8. Ulangi langkah 3. Untuk model minimasi, solusi relaxed merupakan solusi yang dibulatkan keatas, sedangkan batas atas serta batas bawahnya merupakan kebalikan dari model maksimasi.


C. Prosedur Praktikum

D. Langkah – langkah Pengolahan Data LP dengan QS 3.0 1. Masuk ke program QS 3.0 2. Pilih menu Linear Programming pada Modules 1 3. Pilih menu input data, klik menu data entry 4. Masukkan data yang diperlukan meliputi Variable Names, Objective Function, dan Constraint Coefficient. 5. Pilih menu Solution , klik Solve the Problem 6. Pilih menu Solution , klik Solve and Display Tableau 7. Pilih menu Solution, klik Show the Solution untuk menampilkan hasil Pengolahan Linear Programming E. Langkah – langkah Pengolahan Data ILP dengan QS 3.0 1. Masuk ke program QS 3.0 2. Pilih menu Integer Linear Programming pada Modules 1 3. Pilih menu input data, klik menu data entry 4. Masukkan data yang diperlukan meliputi Variable Names, Objective Function, Constraint Coefficient, dan Variables Bounds and Integrity for Nutrition. 5. Pilih menu Solution , klik Solve the Problem 6. Pilih menu Solution , klik Solve and Display Steps


7. Pilih menu Solution, klik Show the Solution untuk menampilkan hasil Pengolahan Integer Linear Programming yang berupa tabel Solution Summary for Nutrition.


MODUL III LINEAR GOAL PROGRAMMING

A. Tujuan Praktikum 1. Praktikan dapat memahami data-data yang diperlukan pada kasus Linear Goal Programming yang berasal dari kehidupan nyata dan memformulasikan data tersebut ke dalam model matematis. 2. Praktikan dapat mengetahui dan memahami pemecahan masalah pengalokasian sumber-sumber yang terbatas secara optimal. B. Landasan Teori LGP: Konsep-Konsep Dasar Dan Unsurnya

LGP merupakan pengembangan Linear Programming (LP). LGP diperkenalkan oleh Charnes dan Cooper pada awal tahun enampuluhan. Teknik ini disempurnakan dan diperluas oleh Ijiri pada pertengahan tahun enampuluhan, dan penjelasan yang lengkap dengan beberapa aplikasi dikembangkan oleh Ignizio dan Lee pada tahun tujuhpuluhan. Perbedaan utama antara LGP dan LP terletak pada struktur dan penggunaan fungsi tujuan. Dalam LP fungsi tujuannya hanya mengandung satu tujuan , sementara dalam LGP semua tujuan apakah satu atau beberapa digabungkan dalam sebuah fungsi tujuan. Ini dapat dilakukan dengan mengekspresikan tujuan itu dalam bentuk sebuah kendala (goal constraint), memasukkan suatu variabel simpangan (deviational variable) dalam kendala itu untuk mencerminkan seberapa jauh tujuan itu dicapai, dan menggabungkan variabel simpangan dalam fungsi tujuan. Dalam LP tujuannya bisa maksimasi atau minimasi, sementara dalam LGP tujuannya adalah meminimumkan penyimpangan-penyimpangan dari tujuan-tujuan tertentu. Ini berarti semua masalah LGP adalah masalah minimasi.

Karena penyimpangan-penyimpangan dari tujuan-tujuan itu diminimumkan, sebuah model LGP dapat menangani aneka ragam tujuan dengan dimensi atau satuan ukuran yang berbeda. Tujuan-tujuan yang saling bentrok juga dapat diselesaikan. Jika terdapat banyak tujuan, prioritas atau urutan ordinalnya dapat ditentukan, proses penyelesaian LGP itu akan berjalan sedemikian rupa sehingga tujuan dengan prioritas tertinggi dipenuhi sedekat mungkin sebelum memikirkan tujuan-tujuan dengan prioritas lebih rendah. Jika LP berusaha mengidentifikasikan solusi optimum dari suatu himpunan solusi layak, LGP mencari titik yang paling memuaskan dari sebuah persoalan dengan beberapa tujuan. Sekali lagi LGP ingin meminimumkan penyimpangan - penyimpangan dari tujuan - tujuan dengan mempertimbangkan hirarki prioritas. Unsur-Unsur LGP

Setiap model LGP paling sedikit terdiri dari tiga komponen, yaitu sebuah fungsi tujuan, kendala-kendala tujuan, dan kendala non negatif. Fungsi Tujuan : Ada tiga jenis fungsi tujuan dalam LGP, yaitu : Minimumkan


Minimumkan

untuk k = 1,2,…, K Minimumkan

untuk k = 1,2,…, K

Fungsi tujuan yang pertama digunakan jika variabel simpangan dalam suatu masalah tidak dibedakan menurut prioritas atau bobot. Fungsi tujuan kedua digunakan dalam suatu masalah dimana urutan tujuan diperlukan, tetapai variabel simpangan di dalam setiap tingkat prioritas memiliki kepentingan yang sama. Dalam fungsi tujuan ketiga, tujuan-tujuan diurutkan dan variabel simpangan pada setiap tingkat prioritas dibedakan dengan menggunakan bobot yang berlainan Wki . Jadi fungsi tujuan yang akan digunakan tergantung pada situasi masalahnya. Kendala Tujuan

Ada enam jenis kendala tujuan yang berlainan. Maksud setiap jenis kendala itu ditentukan oleh hubungannya dengan fungsi tujuan. Pada tabel 1.1 disajikan keenam jenis kendala itu. Terlihat bahwa setiap jenis kendala tujuan harus punya satu atau dua variabel simpangan yang ditempatkan pada fungsi tujuan. Dimungkinkan adanya kendala-kendala yang tidak dimiliki variabel simpangan. Kendala-kendala ini sama seperti kendala-kendala persamaan linier. Persamaaan pertama pada tabel 1.1 maknanya serupa dengan kendala pertidaksamaan £ dalam masalah program linear maksimasi. Persamaan kedua maknanya serupa dengan kendala pertidaksamaan ³ pada masalah program linear minimasi. Persamaan ketiga, keempat, dan kelima semuanya memperbolehkan penyimpangan dua arah, tetapi persamaan kelima mencari penggunaan sumber daya yang diinginkan sama dengan bI . Ini serupa dengan kendala persamaan dalam LP, tetapi tidak melekat pada solusi karena dimungkinkan adanya penyimpangan negatif dan positif. Jika kendala persamaan dianggap perumusan model LGP, ia dapat dimasukkan dengan menempatkan sebuah artificial variable dI

+ , seperti pada persamaan keenam. Persamaan ketiga dan keempat memperbolehkan adanya penyimpangan positif dan negatif dari nilai RHSnya. Dalam kendala LP tidak ada pembanding untuk persamaan ketiga dan keempat. Tabel. Jenis-jenis Kendala Tujuan


Kendala Non Negatif

Seperti dalam LP, variabel-variabel model LGP biasanya bernilai lebih besar atau sama dengan nol. Semua model LGP terdiri dari variabel simpangan dan variabel keputusan, sehingga pernyataan non negatif dilambangkan sebagai xj , dI

- , dI+ ³ 0.

Kendala Struktural

Disamping ketiga komponen yang telah disebutkan itu, dalam model LGP kadang-kadang terdapat komponen yang lain, yaitu : kendala struktural yang artinya kendala-kendala lingkungan yang tidak berhubungan langsung dengan tujuan-tujuan masalah yang dipelajari. Variabel simpangan tidak dimasukkan dalam kendala ini, karena itu kendala ini tidak diikutsertakan dalam fungsi tujuan. 1. Asumsi Model LGP

Sebelum merumuskan model, perlu diketahui bahwa model LGP memerlukan sejumlah asumsi. Jika dalam membuat model dari suatu masalah tertentu asumsi-asumsi itu tidak dapat dipenuhi, maka LGP bukan merupakan model yang cocok untuk masalah yang sedang dipelajari. Jadi asumsi model membatasi penerapan LGP. Asumsi-asumsi berikut harus diingat agar penerapan model LGP bermanfaat.


Additivitas dan linieritas. Diasumsikan bahwa proporsi penggunaan bI yang ditentukan oleh aij harus tetap benar tanpa memperhatikan nilai solusi xj yang dihasilkan. Artinya, LHS dari kendala tujuan harus sama dengan nilai RHS. Divisibilitas. Diasumsikan bahwa nilai-nilai xj , dI

- , dI+ yang dihasilkan dapat dipecah. Artinya,

kita dapat menyelesaikan jumlah pecahan nilai xj dan menggunakan jumlah pecah sumber daya dalam solusi itu. Asumsi ini tidak membatasi penggunaan model LGP, karena prosedur solusi Goal Programming yang lain, yaituInteger Goal Programming, dapat mencari solusi integer. Terbatas. Diasumsikan bahwa nilai xj , dI

- , dI+ yang dihasilkan harus terbatas. Artinya, kita

tidak dapat memiliki nilai variabel keputusan , sumber daya, atau penyimpangan tujuan yang tidak terbatas. Segalanya dalam dunia ini terbatas. Kepastian dan periode waktu statis. Diasumsikan bahwa parameter model LGP seperti aij , bI , Pk , wkidiketahui dengan pasti dan mereka akan tetap statis selama periode perencanaan dimana hasil model digunakan. 2. Perumusan Masalah LGP

Perumusan suatu masalah LGP sangat mirip dengan perumusan sebuah masalah LP. Penjelasan variabel keputusan xj , koefisien teknologi aij , dan nilai sisi kanan bI , diperlukan baik dalam LP maupun LGP. Langkah-langkah perumusan LGP meliputi beberapa tahap, yaitu:

1. Tentukan variabel keputusan. 2. Nyatakan sistem kendala. Kuncinya pertama adalah menentukan nilai-nilai sisi kanan dan kemudian menentukan koefisien teknologi yang cocok dan variabel keputusan yang diikutsertakan dalam kendala. Perhatikan Jenis penyimpangan yang diperbolehkan dari nilai RHS. JikA penyimpangan diperbolehkan dalam dua arah, tempatkan kedua variabel simpangan pada kendala itu. Jika penyimpangan hanya diperbolehka pada satu arah, tempatkan hanya satu variabel simpangan yang tepat pada kendala yang bersangkutan. 3. Tentukan prioritas utama. Kuncinya disini adalah membuat urutan tujuan-tujuan. Biasanya urutan tujuanmerupakan pernyataan preferensi Individu. Jika persoalannya tidak memiliki urutan tujuan, lewati langkah ini dan kemudian ke langkah berikutnya. 4. Menentukan bobot. Disini kuncinya adalah membuat urutan di dalam suatu tujuan tertentu. Jika tidak diperlukan lewati langkah ini. 5. Nyatakan fungsi tujuan. Disini kuncinya adalah memilih variabel simpangan yang benar untuk dimasukkan dalam fungsi tujuan. Gunakan Tabel 1.1 untuk meyakinkan penggunaan nilai RHS yang diinginkan adalah konsisten dengan keperluan persoalan. Kedua, tambahkan prioritas dan bobot yang tepat jika diperlukan. 6. Nyatakan keperluan non negatif. Langkah ini merupakan bagian resmi dari perumusan masalah LGP. Prosedur formulasi ini merupakan salah satu pendekatan yang mungkin bermanfaat dalam perumusan model LGP. Pembaca dapat memperbaiki atau mengubah prosedur itu sesuai dengan kebutuhan masing - masing.


MODUL IV TRANSPORTASI

(RUTE DISTRIBUSI– SUPPLY CHAIN MANAGEMENT) A. Tujuan Praktikum 1. Memperkenalkan Konsep Supply Chain Management (SCM) atau yang disebut Manajemen Rantai Pemasok. 2. Praktikan dapat memahami dan mengerti data-data yang diperlukan pada kasus jaringan distribusi produk (Transportasi) yang berasal dari kehidupan nyata dan memformulasikan data tersebut ke dalam model matematis. 3. Mengetahui dan memahami solusi yang dihasilkan mengenai masalah pengalokasian sumber-sumber yang terbatas untuk mencapai tujuan optimal. B. Landasan Teori B.1. Supply Chain Management

Supply chain Management (SCM) adalah modifikasi praktek tradisional dari manajemen logistik. Dimana SCM adalah adalah Sebuah pendekatan untuk integrasi yang effisien antara pemasok (Supplier), pabrik (manufactur), pusat distribusi, wholesaler, pengecer (retailer) dan konsumen akhir,dimana produk diproduksi dan didistribusikan dalam jumlah yang benar/tepat, lokasi yang tepat dan waktu yang tepat dalam rangka meminimalkan sistem biaya dan meningkatkan tingkat kepuasan pelayanan. Sedangkan Manajemen Logisitik adalah Sebuah proses perencananan, implementasi dan pengontrolan secara efisien terhadap biaya persediaan dan penyimpanan bahan baku, persediaan dalam proses dan produk jadi. Dari pengertian-pengertian tadi terlihat bahwa SCM mengandung makna yang lebih luas dibandingkan dengan manajemen logistik.

Manajemen rantai pemasok atau yang lebih populer dengan sebutan Supply chain Management (SCM) adalah memiliki pengertian sebagai berikut: “Supply chain Management adalah Sebuah pendekatan untuk integrasi yang effisien antara pemasok (Supplier), pabrik (manufaktur), pusat distribusi, wholesaler, pengecer (retailer) dan konsumen akhir,dimana produk diproduksi dan didistribusikan dalam jumlah yang benar/tepat, lokasi yang tepat dan waktu yang tepat dalam rangka meminimalkan sistem biaya dan meningkatkan tingkat kepuasan pelayanan”

Gambar 1. Supply chain yang sederhana


Gambar 1. memberikan sebuah gambaran tentang supply chain (SC) yang sederhana. Sebuah SC akan memiliki komponen-komponen yang biasanya disebut channel. Contoh: Supplier, manufaktur, distribution center, wholesaler, dan retailer. Semua channel tersebut bekerja untuk memenuhi kebutuhan konsemen akhir.

Kenyataannya sebuah SC akan jauh lebih komplek dari gambar 1. Dimana sebuah pemasok mungkin sebagai pabrik (industri manufaktur) yang memiliki pemasok-pemasok. Dengan kata lain SC bisa melibatkan sejumlah pabrik manufaktur dan pabrik manufaktur bisa memiliki banyak pemasok.

Gambar 2. Supply chain yang Komplek (Jaringan logistik)

SCM mempertimbangkan dengan seksama tiap-tiap fasilitas yang mempunyai dampak dan peran dalam membuat produk sesuai dengan kebutuhan pelanggan mulai dari pemasok, pabrik, gudang, pusat distribusi sampai ke pengecer dan toko. SCM tidak hanya mengatur aliran material/produk tetapi juga aliran informasi.

Tujuan dari SCM adalah untuk efisien dan efektifitas biaya keseluruhan sistem (systemwide costs) mulai dari transportastion, distribusi, persediaan (inventory) bahan baku, WIP (Work in Process), dan barang jadi, kesemuanya diharapkan untuk diminimalkan. Namun demikian, penekanan SCM bukan hanya memperkecil biaya transportasi atau mengurangi inventori, tetapi lebih dari itu, yaitu pada pendekatan sistem ke SCM. B.2. Transportasi Jaringan Distribusi Produk

Persoalan transportasi terpusat pada pemiihan rute dalam jaringan distribusi produk antara pusat industri dan distribusi gudang atau antara distribusi gudang regional dan distribusi pengeluaran lokal. Selain masalah-masalah pendistribusian, model transportasi dapat juga digunakan untuk masalah-masalah penjadwalan dan masalah penentuan lokasi yang layak dari beberapa alternatif lokasi yang ada.

Dalam menggunakan metode transportasi pihak manajemen mencari rute distribusi yang akan mengoptimumkan tujuan tertentu. Misalnya tujuan meminimumkan total biaya transportasi, memaksimumkan laba atau meminimumkan waktu yang digunakan. Formulasi program linier adalah sebagai berikut : Maksimum (Minimum) :


Berdasarkan pembatas :

, I = 1,2,…,m

, j = 1,2,…,n Xij ³ 0 untuk seluruh I dan j Pada persoalan transportasi i digunakan tabel seperti di atas, tetapi diganti dengan tabel berikut :

Meskipun persoalan transportasi ini dapat diselesaikan dengan metode simpleks, tetapi karena sifat-sifatnya yang khusus itu, maka dapat disusun suatu prosedur yang jauh lebih sederhana yang hanya secara sepintas lalu seakan-akan tidak ada hubungannya dengan metode simpleks.

Sesuai dengan namanya, metode transportasi pertama kali diformulasikan sebagai suatu prosedur khusus untuk mendapatkan program biaya minimum dalam mendistribusikan unit yang homogen dari suatu produk atas sejumlah titik penawaran (sumber-sumber)kr sejumlah titik permintaan (tujuan). Pada saat tertentu, tiap sumber mempunyai kapasitas tertentu dari tiap-tiap sumber ke tiap-tiap tujuan sudah diketahui. Tujuannya adalah merencanakan pengiriman dari sumber-sumber ke tujuan sedemilian rupa untuk meminimumkan total biaya transportasi. Persoalan transportasi mempunyai ciri-ciri khusus sebagai berikut: 1. Terdapat sejumlah sumber dan tujuan tertentu. 2. Kuantitas komoditas atau barang yang didistribusikan dari setiap sumber dan yang diminta oleh setiap tujuan, besarnya tertentu.


3. Komoditas yang dikirim atau diangkut dari suatu sumber ke suatu tujuan,besarnya sesuai dengan permintaan dan atau kapasitas sumber. 4. Ongkos pengangkutan komoditas dari suatu sumber ke suatu tujuan, besarnya tertentu.

Suatu model transportasi dikatakan seimbang apabila total supply (sumber) sama dengan total demand (tujuan). Dalam persoalan sebenarnya, batasan ini tidak selalu terpenuhi, atau dengan kata lain, jumlah supply yang tersedia mungkin lebih besar atau lebih kecil daripada jumlah yang diminta. Jika hal ini terjadi, maka model persoalannya disebut sebagai model yang tidak seimbang (unbalanced). Batasan di atas dikemukakan hanya karena ia menjadi dasar dalam pengembangan teknik transportasi. Namun setiap persoalan transportasi dapat dibuat seimbang dengan cara memasukkan variabel semu. Jika jumlah demand melebihi jumlah supply akan dibuat suatu sumber dummy yang akan mensupply kekurangan tersebut, demikian juga sebaliknya. C. Prosedur Praktikum

D. Langkah – langkah Pengolahan Data Transportasi dengan QS 3.0 1. Masuk ke program QS 3.0 2. Pilih menu Transportation pada Modules 1 3. Pilih menu input data, klik menu data entry 4. Masukkan data yang diperlukan, nama kasus, jumlah sumber, jumlah tujuan, dan fungsi tujuan yang diinginkan 5. Isikan nama sumber (source entry) dan nama tujuan (destination point entry) yang diminta oleh program


kemudian pilih pengisian data Spreadsheet Format 6. Isikan data sesuai studi kasus saudara 7. Pilih menu Solution , klik Select Initial Solution Method (untuk memilih metode transportasi), klik Vogel’s Approximation Method (VAM) 8. Pilih menu Solution, klik Solve and Display Tableau (untuk menampilkan tiap iterasi) 9. Pilih menu Solution, klik Show the Solution (untuk menampilkan final solusi kasus transportasi), kemudian klik All (untuk menampilkan semua solusi)


MODUL V PENUGASAN

A. Tujuan Praktikum 1. Praktikan dapat memahami data-data yang dibutuhkan dalam kasus penugasan yang berasal dari kehidupan nyata dan memformulasikan data tersebut dalam model matematik. 2. Praktikan dapat memahami manfaat metode penugasan dalam rangka mengambil keputusan optimal dari bermacam-macam sumber daya produktif yang mempunyai tingkat efisiensi yang berbeda-beda. B. Landasan Teori Penugasan merupakan suatu kasus khusus dalam masalah linear programming pada umumnya. Persoalan penugasan merupakan kasus khusus dari persoalan transportasi. Dengan kata lain kita dapat memecahkan suatu persoalan penugasan dengan menggunakan metode transportasi. Masalah penugasan dapat dijelaskan dengan mudah oleh suatu matrik segiempat, dimana baris-barisnya menunjukkan sumber-sumber dan kolomnya menunjukkan tugas-tugas. Tujuan / Tugas-tugas 1 2 3 ........................... n

Sebelum model dapat dipecahkan dengan teknik penugasan terlebih dahulu diseimbangkan dengan menambah pekerjaan-pekerjaan atau obyek semu (dummy) bergantung pada apakah n atau m tersebut.Dengan demikian diasubsikan bahwa m = n. Secara matematis, model penugasan ini dapat dinyatakan sebagai berikut :


Dengan demikian, model persoalan penugasan ini adalah : Minimumkan ( maksimumkan ) :

Dengan batasan :

Metode penugasan, juga dikenal sebagai fload teknik atau metode penugasan Hungarian yang didasari 3 langkah sebagai berikut : 1. Menentukan tabel biaya kesempatan ( opportunity cost ) Biaya setiap macam tindakan atau keputusan meliputi kesempatan yang dikorbankan dalam tindakan tersebut. Sebagai contoh, kalau kita membeli rumah baru, kita terpaksa melupakan mobil baru. Ini adalah contoh analisis biaya kesempatan, bila kita melakukan sesuatu, kita tidak dapat mengerjakan yang lain. Contoh : Tabel 1 : Opportunity cost

Pekerjaan\mesin X Y Z A $25 $31 $35

B $15 $20 $24

C $22 $19 $17


Dari tabel diatas apabila kita secara sembarang menugaskan pekerjaan A ke mesin X maka kita akan mengorbankan kesempatan untuk menghemat $10 ($25 - $15) pengorbanan inilah yang disebut biaya kesempatan. 2. Menentukan bisa tidaknya penugasan optimal dibuat. Tujuan langkah 2 adalah untuk merumuskan penugasan pekerjaan untuk mesin agar meminimumkan total biaya . Melalui tabel total biaya kesempatan, tujuan ini dapat dicapai dengan menugaskan pekerjaan untuk mesin sedemikian rupa hingga didapat total biaya kesempatan nol, Jadi kemungkinan penugasan pekerjaan pada mesin yang paling baik akan mengandung biaya kesempatan nol . Ada metode yang cocok untuk menentukan apakah suatu penugasan optimal dapat dibuat atau tidak. Metode ini meliputi penarikan garis lurus (vertikal atau horizontal). Pada tabel biaya kesempatan sedemikian rupa sehingga meminimumkan jumlah garis yang diperlukan untuk menutupi semua segi empat nol. Bila jumlah garis sama dengan jumlah baris dalam tabel maka penugasan dapat dibuat dan persoalan dapat dipecahkan. Dilain pihak, suatu penugasan optimal tidak dapat dibuat bila jumlah garis lebih kecil dari jumlah baris. Tabel 2 : Penentuan Penugasan Optimal

Pekerjaan\mesin X Y Z

A 0 2 6

B 0 1 5

C 7 0 0

Pengujian atas penugasan optimal yang diterapkan pada tabel diatas hanya membutuhkan dua garis (garis C dan kolom X ) untuk menutupi bidang segi empat nol. Karena masih ada baris maka suatu penugasan optimal tidak mungkin dilakukan. 3. Memperbaiki total biaya kesempatan. Bila suatu penugasan optimal tidak bisa dilakukan, kita harus mengubah tabel total biaya kesempatan dengan memasukan beberapa penugasan yang tidak berada dalam baris atau kolom yang dilalui garis. Prosedur pelaksanaannya adalah sebagai berikut : a. Pilih jumlah terkecil dalam tabel yang tidak dilalui oleh garis dan kekurangan jumlah ini dari semua nilai yang tidak dilalui oleh garis lurus. b. Tambahkan angka terkecil yang sama keangka yang terletak pada perpotongan antara dua garis lurus Dari tabel 2 yang diperbaiki didapat tabel berikut :


Tabel 3 : Perbaikan Total Biaya Pekerjaan\mesin X Y Z

A 0 2 7

B 0 0 6

C 7 0 0 Dari tabel 3 diatas dapat dilihat jumlah minimum dari garis yang diperlukan menutupi semua nol adal tiga, dan jumlah ini sama dengan jumlah baris, maka penugasan optimal dapat dibuat. Masalah-masalah pada kasus penugasan meliputi masalah biaya dan masalah keuntungan. Untuk masalah biaya berarti kita mempunyai masalah minimasi yang langsung dapat kita pecahkan dengan langkah-langkah diatas. Sedangkan untuk masalah maksimasi langkah pertama yang harus dilakukan adalah merubah matrik keuntungan menjadi suatu matrik opportunity cost yang dijelaskan pada tabel berikut: Tabel 4 : Matrik Keuntungan


A 13 14 13

B 16 9 10

C 12 13 8 Untuk mendapatkan matrik opportunity loss seluruh elemen dalam setiap baris dikurangi dengan nilai maksimum dalam baris yang sama. Prosedur ini menghasilkan matrik opportunity loss yang ditunjukkan pada tabel 5 berikut dimana nilai sebenarnya adalah negatif. Tabel 5 : Matrik Opportunity Loss


A 1 0 1

B 0 7 6

C 1 0 5 Dari matrik opportunity loss ini selanjutnya dapat diselesaikan dengan langkah-langkah yang sama pada kasus minimasi.


D. Langkah – langkah Pengolahan Data Penugasan dengan QS 3.0 1. Masuk ke program QS 3.0 2. Pilih menu Assigment and Traveling Salesman pada Modules 3. Pilih menu input data, klik menu data entry 4. Masukkan data yang diperlukan, nama kasus, jumlah obyek, jumlah task, jenis permasalahan (assigment atau travelling salesman) dan fungsi tujuan yang diinginkan 5. Isikan nama Objek dan nama task yang diminta oleh program kemudian pilih pengisian data Spreadsheet Format 6. Isikan data sesuai studi kasus saudara 7. Pilih menu Solution , klik Solve and Display Steps (untuk menampilkan tiap iterasi) 8. Pilih menu Solution, klik Show the Solution untuk menampilkan final solusi untuk kasus penugasan


MODUL VI PROGRAM DINAMIS

A. Tujuan Praktikum 1. Praktikan dapat memahami dan mengerti cara-cara pengumpulan data dan mengetahui data-data yang dibutuhkan model program dinamis yang berasal dari kehidupan nyata dan memformulasikan data yang diperoleh tersebut. 2. Praktikan dapat mengetahui dan memahami solusi yang dihasilkan dari model program dinamis dalam rangka pengambilan keputusan yang optimal. B. Landasan Teori

Pada umumnya model-model penyelidikan operasional bertujuan mencari solusi pemecahan masalah yang optimal dari nilai-nilai variabel keputusan. Variabel keputusan adalah variabel yang dapat diubah dan dikendalikan oleh pengambil keputusan. Dalam dunia nyata kita mungkin menghadapi berbagai jenis masalah yang dapat diformulasikan kedalam berbagai jenis model. Salah satu model dari masalah yang dapat dipecahkan secara bertahap dengan membagi masalah menjadi bagian-bagian yang lebih kecil (dekomposisi) dan pada solusi dapat terjawab pada tahap akhir dengan menyatukan keputusan-keputusan pada tahap-tahap yang ada (komposisi). Pendekatan ini disebut “ multi stage problem solving ”. Program dinamis adalah teknik pemecahan yang sistematis untuk memperoleh jawaban dari masalah multi stage problem solving ini.

Program dinamis adalah merupakan teknik matematis yang sering digunakan untuk membuat serangkaian keputusan yang saling berkaitan dengan suatu prosedur yang sistematis untuk menetukan kombinasi keputusan yang mengoptimasi efektivitas keseluruhan keputusan. Dibanding dengan teknik pemecahan masalah dalam penyelidikan operasional yang lain, program dinamis hanya memiliki satu bentuk umum pemecahan masalah bertahap. Suatu masalah yang akan diformulasikan secara program dinamis memerlukan suatu modifikasi bentuk umum program dinamis sehingga sesuai dengan masalah yang dihadapi. Disini terlihat bahwa program dinamis tidak memiliki sifat unik dalam formulasi matematis. Karakteristik Program Dinamis

Suatu masalah dapat diformulasikan kedalam model program dinamis akan memiliki karakteristik sebagai berikut :

1. Permasalahan dapat dibagi menjadi tahap-tahap (stage) dengan sebuah keputusan pada setiap tahap. 2. Setiap tahap memiliki sejumlah status (state) yang berhubungan dengan tahap tersebut. Secara umum, status merupakan berbagai kemungkinan masukan yang ada pada sistem tertentu. Jumlah status bisa terbatas (finite) atau tidak terbatas (infinite). 3. Pilihan keputusan setiap tahap adalah keputusan yang dapat dipilih untuk tahap tertentu. 4. Solusi optimal dari masalah program dinamis adalah sama dengan keputusan pemilihan status dari tahap yang terakhir.


5. Hubungan rekrusif yang mengidentifikasi pilihan optimal untuk setiap status pada tahap n, memberikan pilihan optimal untuk setiap status pada tahap n+1. Deskripsi Matematik Program Dinamis

Permasalahan program dinamis dapat dibagi menjadi beberapa bagian yang masing-masing bagian terdiri dari beberapa pilihan yang harus dipilih sebagai keputusan. Bagian tertentu dimana pengambilan keputusan dilakukan disebut sebagai tahap (stage) dari permasalahan yang memiliki parameter-parameter masukan yang disebut sebagai status (state). Keputusan yang diambil pada setiap tahap memperhatikan parameter masukan (status) yang dikendalikan dengan suatu fungsi transformasi.

Pada setiap tahap harus dibuat satu keputusan pilihan status. Keputusan pemilihan status menghasilkan nilai yang besarnya ditentukan oleh suatu fungsi transformasi, nilai ini biasa disebut sebagai fungsi perolehan (return function). Fungsi perolehan ini akan bergantung pada varibel status dan keputusan yang diambil pada tahap n tertentu. Jadi suatu keputusan yang diambil pada tahap n tertentu akan memberikan fungsi perolehan yang nilainya optimal untuk tahap yang ke-n tersebut artinya bila fungsi tujuan maksimasi dan demikian sebaliknya bila tujuan minimasi.

Gambar Fungsi transformasi program dinamis Dimana : Sn = Status masukan Sn = Status keluaran n = Nomor tahap Xn = Keputusan Rn = Fungsi persoalan = fn (Sn, Xn)

Pada persoalan program dinamis tahap majemuk, masing-masing ada keputusan optimalnya maka hubungan fungsi peralihan Sn (variabel keluaran sistem tahap n) dengan Sn (variabel masukan sistem tahap n) dan Xn (keputusan pada tahap n) dinyatakan sebagai :

Sn = Sn Xn atau Keluaran tahap n sama dengan masukan tahap n keputusan yang dibuat pada tahap n. Secara umum pada program dinamis dapat dicarikan beberapa definisi sebagai berikut : a. Tahap adalah bagian dari program dinamis yang menggambarkan sistem secara keseluruhan dimana keputusan harus dibuat.


b. Status adalah bagian yang menggambarkan variabel masukan yang ada pada tahap-tahap tertentu. Status merupakan penghubung antara dua tahap karena masukan bagi tahap tertentu merupakan keluaran tahap sebelumnya. c. Alternatif adalah variabel keputusan pada setiap tahap yang berhubungan dengan fungsi perolehan. Variabel keputusan ini bersifat mutually exlusive. Program Dinamis Deterministik

Pendekatan program dinamis sebagai persoalan deterministik, dimana state pada stage berikutnya sepenuhnya ditentukan oleh state dan keputusan pada stage saat ini. Dapat diterangkan dengan diagram berikut:

Program Dinamis Probabilistik Pada program dinamis probabilistik , tahap (stage) berikutnya tidak dapat seluruhnya ditentukan oleh state dan keputusan pada stage saat ini, tetapi ada suatu distribusi kemungkinan mengenai apa yang akan terjadi. Namun, distribusi kemungkinan ini masih seluruhnya ditentukan oleh state dan keputusan pada stage saat ini. Struktur dasar program dinamis probabilistik ini dapat digambarkan sbb:


Dimana:

N adalah banyaknya state yang mungkin pada stage (n+1) (p1,p2,…, pn) adalah distribusi kemungkinan dari terjadinya suatu state berdasarkan state Sn

dan keputusan Xn pada stage n

ci adalah kontribusi dari stage n terhadap fungsi tujuan, jika state berubah menjadi state i.



D. Langkah – langkah Pengolahan Data Program Dinamis dengan QS 3.0 1. Masuk ke program QS 3.0 2. Pilih menu Dynamic Programming pada Modules 1 3. Pilih menu input data, klik menu data entry 4. Masukkan data yang diperlukan 5. Pilih menu Solution , klik Solve the Problem 6. Pilih menu Solution, klik Solve and Display Steps untuk menampilkan hasil proses secara detail 7. Pilih menu Solution, klik Show the Solution untuk menampilkan hasil program dinamis


MODUL VII RANTAI MARKOV

Tujuan Praktikum 1. Praktikan dapat memahami data-data yang dibutuhkan dalam model rantai markov yang berasal dari kehidupan nyata serta memformulasikan data yang diperoleh tersebut 2. Praktikan dapat memahami dan mengetahui solusi yang dihasilkan oleh rantai markov mengenai permasalahan yang berhubungan dengan variable pada masa sekarang yang didasarkan pada sifat-sifatnya di masa lalu dalam usaha untuk menafsirkan sifat-sifat variable yang sama di masa mendatang.

Markov Chain baru diperkenalkan sekitar tahun 1907, oleh seorang Matematisi Rusia Andrei A. Markov (1856-1922). Andrey Markov menghasilkan hasil pertama (1906) untuk proses ini, murni secara teoritis. Sebuah generalisasi ke bentuk tak terbatas dalam ruang diskrit diberikan oleh Kolmogorov (1936). Rantai Markov terkait dengan gerakan Brown dan ergodic hipotesis, dua topik dalam fisika yang penting dalam tahun-tahun awal abad ke-20, tetapi tampaknya Markov lebih fokus pada perluasan hukum bilangan besar dalam percobaaan-percobaaan. Model ini berhubungan dengan suatu rangkaian proses dimana kejadian akibat suatu suatu eksperimen hanya tergantung pada kejadian yang langsung mendahuluinya dan tidak tergantung pada rangkaian kejadian sebelum-sebelumnya yang lain. Pada 1913, ia menerapkan temuannya untuk pertama kalinya untuk 20.000 pertama Pushkin huruf "Eugene Onegin".

Pengelompokkan tipe populasi dari proses acak bisa digambarkan sebagai jika X adalah proses acak, maka populasi dari proses acak adalah semua nilai yang mungkin yang bisa dimasukkan dalam suatu proses contohnya

Jika X adalah proses acak yang menggambarkan suatu persamaan, maka populasi dari X

dapat digambarkan sebagai suatu nilai yang memenuhi persamaan tersebut. Jika populasi dari S dari suatu proses acak X dapat dihiting (contoh S={1,2,3,...}), dalam hal ini X disebut Discrete Time Random Process perubahan state terjadi pada titik-titik integer. Jika populasi dari S dari suatu proses acak X tidak dapat dihitung ( contoh S = ∞) maka X disebut Continuous Time Random Process perubahan state (discrete state) terjadi pada sembarang waktu.

Markov Chain merupakan proses acak di mana semua informasi tentang masa depan terkandung di dalam keadaan sekarang (yaitu orang tidak perlu memeriksa masa lalu untuk menentukan masa depan). Untuk lebih tepatnya, proses memiliki properti Markov, yang berarti bahwa bentuk ke depan hanya tergantung pada keadaan sekarang, dan tidak bergantung pada bentuk sebelumnya. Dengan kata lain, gambaran tentang keadaan sepenuhnya menangkap semua informasi yang dapat mempengaruhi masa depan dari proses evolusi. Suatu Markov Chain merupakan proses stokastik berarti bahwa semua transisi adalah probabilitas (ditentukan oleh kebetulan acak dan dengan demikian tidak dapat diprediksi secara detail, meskipun mungkin diprediksi dalam sifat statistik),(www.wikipedia.org). Konsep Dasar Markov Chain Apabila suatu kejadian tertentu dari suatu rangkaian eksperimen tergantung dari beberapa kemungkinan kejadian , maka rangkaian eksperimen tersebut disebut Proses Stokastik.

http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Andrey_Markov&prev=/search%3Fq%3Dmarkov%2Bchain%26hl%3Did%26sa%3DG&rurl=translate.google.co.id&usg=ALkJrhgJud76pgV9Ud2kTUyBvmUsplivww

http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Andrey_Nikolaevich_Kolmogorov&prev=/search%3Fq%3Dmarkov%2Bchain%26hl%3Did%26sa%3DG&rurl=translate.google.co.id&usg=ALkJrhitHw1Zb8HvpufPKTXOIqa1wpPKnw

http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Brownian_motion&prev=/search%3Fq%3Dmarkov%2Bchain%26hl%3Did%26sa%3DG&rurl=translate.google.co.id&usg=ALkJrhiozCA64hoRC4NnCuDDHTkyhU0dYQ

http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Ergodic_hypothesis&prev=/search%3Fq%3Dmarkov%2Bchain%26hl%3Did%26sa%3DG&rurl=translate.google.co.id&usg=ALkJrhi9V-KLr3okaiSVSFNtoZgRUogamw



http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_large_numbers&prev=/search%3Fq%3Dmarkov%2Bchain%26hl%3Did%26sa%3DG&rurl=translate.google.co.id&usg=ALkJrhhsU94R8oFgV2XPjmxanxAczd-f4g

http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Eugene_Onegin&prev=/search%3Fq%3Dmarkov%2Bchain%26hl%3Did%26sa%3DG&rurl=translate.google.co.id&usg=ALkJrhiBIww-VynqLD8IEfYqePuYqBRZ_A

http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Stochastic_process&prev=/search%3Fq%3Dmarkov%2Bchain%26hl%3Did%26sa%3DG&rurl=translate.google.co.id&usg=ALkJrhiPVx2FA7ULue4H8aCEE0qotRzgRQ

http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Markov_property&prev=/search%3Fq%3Dmarkov%2Bchain%26hl%3Did%26sa%3DG&rurl=translate.google.co.id&usg=ALkJrhin23Ddr4S5yFEWTc5-lkcWbonCfg


Sebuah rantai Markov adalah suatu urutan dari variabel-variabel acak X 1, X 2, X 3,...... dengan sifat Markov yaitu, mengingat keadaan masa depan dan masa lalu keadaan yang independen, dengan kata lain:

Nilai yang mungkin untuk membentuk Xi S disebut ruang keadaan rantai. Markov Chain adalah sebuah Proses Markov dengan populasi yang diskrit ( dapat dihitung) yang berada pada suatu discrete state (position) dan diizinkan utk berubah state pada time discrete. Ada beberapa macam variasi dari bentuk rantai markov Continuous Markov memiliki indeks kontinu. Sisa rantai Markov homogen (rantai Markov stasioner) adalah proses di mana untuk semua n. Probabilitas transisi tidak tergantung dari n. Sebuah rantai Markov orde m di mana m adalah terbatas, Dengan kata lain, keadaan selanjutnya tergantung pada keadaan m selanjutnya. Sebuah rantai (Y n) dari (X n) yang memiliki 'klasik' Markov properti sebagai berikut: Biarkan Yn = (X n, X n -1, ..., X n - m 1 ), yang memerintahkan m-tupel dari nilai-nilai X. Maka Y n adalah sebuah rantai Markov dengan ruang keadaan S m dan memiliki klasik properti Markov. Sebuah aditif rantai Markov order m di mana m adalah terbatas adalah untuk semua n> m.

http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Random_variable&prev=/search%3Fq%3Dmarkov%2Bchain%26hl%3Did%26sa%3DG&rurl=translate.google.co.id&usg=ALkJrhjMHc9qqfp9nuAfZku9uUqZWmH9Cw

http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Random_variable&prev=/search%3Fq%3Dmarkov%2Bchain%26hl%3Did%26sa%3DG&rurl=translate.google.co.id&usg=ALkJrhjMHc9qqfp9nuAfZku9uUqZWmH9Cw

http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Continuous-time_Markov_process&prev=/search%3Fq%3Dmarkov%2Bchain%26hl%3Did%26sa%3DG&rurl=translate.google.co.id&usg=ALkJrhiCB8vrGi7-SEuqqcSSryOu6duT2A



http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Additive_Markov_chain&prev=/search%3Fq%3Dmarkov%2Bchain%26hl%3Did%26sa%3DG&rurl=translate.google.co.id&usg=ALkJrhgLRmDoaIGLUos4q4bziDkmlcwK1Q


Status-statusnya adalah: 1. Reachable State Status j reachable dari status i apabila dalam rantai dpat terjadi transisi dari status i ke status j melalui sejumlah transisi berhingga; Terdapat n, 0 ≤ n ≤ ∞, sehingga Pn

ij > 0 2. Irreduceable Chain Jika dalam suatu rantai Markov setiap status reachable dari setiap status lainnya, rantai tersebut adalah irreduceable. 3. Periodic State Suatu status i disebut periodic dengan peroda d > 1, jika pn

ii > 0, hanya untuk n = d, 2d, 3d,. . .; sebaliknya jika pn

ii > 0, hanya untuk n = 1, 2, 3, ... maka status tersebut disebut aperiodic. 4. Probability of First Return Probabilitas kembali pertama kalinya ke status i terjadi dalam n transisi setelah meninggalkan i.

(note: fi

(0) didefinisikan = 1 untuk semua i) 5. Probability of Ever Return Probabilitas akan kembalimya ke status i setelah sebelumnya meninggalkan i.

6. Transient State Suatu status disebut transient jika probabilitas fi < 1; yaitu bahwa setelah dari i melalui sejumlah transisi terdapat kemungkinan tidak dapat kembali ke i. 7. Recurrent State Suatu status disebut recurrent jika probabilitas fi = 1; yaitu bahwa setelah dari i melalui sejumlah transisi selalu ada kemungkinan untuk kembali ke i. 8. Mean Recurrent Time of State Untuk suatu status recurrent, jumlah step rata-rata untuk kembali ke status i

9. Null Recurrent State Suatu Recurrent State disebut recurrent null jika mi = ∞ 10. Positive Recurrent State Suatu recurrent state disebut positive recurrent atau recurrent nonnull jika mi < ∞ 11. Communicate State Dua status, i dan j, dikatakamn berkomunikasi jika i reachable dari j dan juga reachable dari i ; ditulis dengan notasi 12. Ergodic Rantai Markov disebut ergodic jika, irreduceable, aperiodic, dan seluruh status positive recurrent Teorema-Teorema


1. Teorema mengenai Relasi Ekovalensi a. Relasi i <—> j merupakan relasi ekuivalen 1. untuk setiap status i , berlaku i <—> i 2. jika i <—> j, maka juga j <—> i 3. jika i <—> j dan j <—> k maka i <—> k b. Status-status suatu Rantai Markov dapat dipartisi kedalam kelas-kelas ekivalensi sehingga i <—> j, jika dan hanya jika i dan j berada dalam kelas ekivalensi yang sama. c. Suatu Rantai Markov irreducible jika dan hanya jika didalamnya hanya terdiri atas tepat satu kelas ekivalensi. d. Jika i<—> j, maka i dan j memiliki periode yang sama. e. Untuk i<—> j, jika i recurrent maka juga j recurrent. 2. Teorema mengenai Irreducible jika {Xn}suatu rantai Markov, maka tepat salah satu kondisi berikut ini terjadi: a. Semua status adalah positif recurrent b. Semua status recurrent null c. Semua status trancient 3. Teorema mengenai Limiting Probability Definisi: πj

(n) adalah probabilitas suatu Rantai Markov { Xn}berada dalam status j pada step ke n. Maka πj

(n) = P[ Xn = j] Distribusi awal ( initial ) dari masing-masing status 0, 1, 2, …… dinyatakan sebagaiπj

(0) = P[ X0 = j], untuk j = 0, 1, 2, …… Suatu rantai Markov memiliki distribusi probabilitas stasioner π = (π0, π1, π2, ...., πn ) apabila terpenuhi persamaan π = π P asalkan setiap πi ≥ 0 dan ∑i πi =1. Jika suatu rantai Markov homogen waktu (stasioner dari waktu ke waktu) yang irreducible, aperiodic, maka limit probabiltasnya

, untuk j = 0, 1, ...... selalu ada dan independent dari distribusu probabilitas status awal π (0) = (π0

(0) , π1(0) , π2

(0), …..). Jika seluruh status tidak positif recurrent (jadi seluruhnya recurrent null atau seluruhnya transient), maka πj

= 0 untuk semua j dan tidak terdapat distribusi probabilitas stasioner. Syarat - syarat yang harus dipenuhi dalam menerapkan Rantai Markov pada suatu kasus : 1. jumlah probabilitas transisi untuk suatu keadaan awal dari system sama dengan 1 2. Probabilitas - probabilitas tersebut berlaku untuk semua partisan dalam system 3. Probabilitas transisi konstan sepanjang waktu 4. Kondisi merupakan independent. Langkah - langkah Pengolahan Rantai Markov : 1. Buka aplikasi QS pilih Forecasting and Linear Regression 2. Pada problem name di isi nama perusahaan 3. Time unit (satuan waktu) missal month untuk bulan 4. Number of time unit (periode) diisi jumlah data yang akan diramalkan 5. Jika sudah Klik Ok dan masukkan data peramalannya 6. Kemudian klik “solve dan analysis” .


MODUL VIII

ANTRIAN

A. Tujuan Praktikum 1. Praktikan dapat memahami data-data yang dibutuhkan dalam kasus antrian yang berasal dari kehidupan nyata dan memformulasikan data tersebut dalam model matematik. 2. Praktikan dapat memahami manfaat dari analisa antrian dalam rangka mengambil keputusan yang optimal. B. Landasan Teori

Teori antrian adalah teori yang menyangkut studi matematis dari antrian-antrian atau baris-baris penungguan. Formasi baris-baris penungguan ini tentu saja merupakan suatu fenomena biasa yang terjadi apabila kebutuhan suatu pelayanan melebihi kapasitas yang tersedia untuk menyelenggarakan pelayanan. Sebuah sistem pelayanan mencakup fasilitas pelayanan yang terdiri dari satu atau lebih pelayan, yang akan memberikan jenis-jenis pelayanan khusus kepada pelanggan yang datang pada fasilitas pelayanan tersebut. Keputusan-keputusan yang berkenaan dengan jumlah kapasitas fasilitas pelayanan harus dapat ditentukan, walaupun sebenarnya tidak mungkin dapat dibuat suatu prediksi yang tepat mengenai kapan unit-unit yang membutuhkan pelayanan itu akan datang dan atau berapa lama waktu yang diperlukan untuk menyelenggarakan pelayanan itu. Struktur Dasar Model Antrian Proses yang terjadi pada model antrian dapat digambarkan sebagai berikut :

Unit-unit yang memerlukan pelayanan yang diturunkan dari suatu sumber input memasuki sistem antrian dan ikut dalam antrian. Dalam waktu-waktu tertentu, anggota antrian ini dipilih untuk dilayani. Pemilihan ini didasarkan pada suatu aturan tertentu yang diebut disiplin pelayanan. Pelayanan yang diperlukan dilaksanakan dengan suatu mekanisme pelayanan tertentu. Setelah itu, unit-unit tersebut meninggalkan sistem antrian. Sistem antrian memiliki beberapa komponen sebagai berikut : 1. Populasi Masukan


2. Distribusi Kedatangan 3. Disiplin Pelayanan 4. Fasilitas Pelayanan 5. Distribusi Pelayanan 6. Kapasitas Sistem Pelayanan 7. Keluar 8. Karakteristik Sistem Lainnya Struktur Model Antrian

Berdasarkan proses pelayanannya, dapat diklasifikasikan fasilitas-fasilitas pelayanan dalam susunan saluran dan fasa yang akan membentuk suatu struktur antrian yang berbeda-beda. Ada empat struktur antrian dasar menurut Buffa dan Sarin yang menggambarkan kondisi umum di sustu fasilitas layanan :

1. Saluran Tunggal Fasa Tunggal (Single Channel Single Phase) Struktur antrian ini merupakan struktur yang paling sederhana dimana hanya memiliki satu jalur (saluran) untuk memasuki sistem pelayanan yang ada dan hanya ada satu stasiun pelayanan, sehingga setelah menerima pelayanan pelanggan (individu-individu) keluar dari sistem. 2. Saluran Berganda Fasa Tunggal (Multiple Channel Phase Single) Struktur antrian ini terjadi jika jumlah stasiun pemrosesan (pelayanan) ditambah atau lebih dari satu tetapi tetap menggunakan satu antrian tunggal. 3. Saluran Tunggal Fasa Berganda (Single Channel Multiple Phase) Struktur antrian ini pada dasarnya memiliki sejumlah fasilitas layanan secara serial, menunjukkan dua atau lebih pelayanan yang dilaksanakan secara berurutan. 4. Saluran Berganda Fasa Berganda Struktur antrian ini mempunyai beberapa fasilitas pelayanan pada setiap tahap, sehingga lebih dari satu individu dapat dilayani pada suatu waktu. Sistem Antrian Dasar Pendatang Tetap dan Waktu Pelayanan

Dalam kasus dimana tingkat kedatangan dan tingkat pelayanan bersifat tetap, maka ada tiga kemungkinan yang terjadi yaitu : 1. Tak ada antrian, waktu menganggur. Kondisi ini terjadi apabila waktu pelayanan lebih kecil daripada waktu antar kedatangan, sehingga sebelum terjadi kedatangan berikutnya fasilitas pelayanan telah selesai melayani unit sebelumnya, karena hal tersebutlah fasilitas pelayanan akan menganggur sampai kedatangan pelanggan berikutnya. 2. Tak ada antrian, Tak ada waktu menganggur. Kondisi ini terjadi apabila waktu pelayanan sama dengan waktu antar kedatangan, sehingga ketika unit (pelanggan) berikutnya datang kepada fasilitas pelayanan pada waktu itu pula fasilitas pelayanan selesai melayani unit sebelumnya, sehingga dapat langsung dilayani. 3. Ada antrian, Tak ada waktu menganggur. Kondisi ini terjadi apabila waktu pelayanan lebih besar daripada waktu antar kedatangan, sehungga ketika unit berikutnya datang fasilitas pelayanan belum selesai melayani unit sebelumnya, hal ini mengakibatkan unit yang datang


berikutnya harus menunggu sampai fasilitas pelayanan tersebut selesai melayani unit sebelumnya. Jika suatu sistem antrian telah mulai berjalan, keadaan sistem (jumlah unit dalam sistem) akan sangat dipengaruhi oleh state (keadaan) awal dan waktu yang telah dilalui. Dalam keadaan seperti ini, sistem dikatakan dalam kondisi transien. Tetapi, lama kelamaan keadaan sistem akan independen terhadap terhadap state awal tersebut, dan juga terdapat waktu yang dilaluinya. Keadaan sistem seperti ini dikatakan berada dalam kondisi steady state. Teori antrian cenderung memusatkan pada kondisi steady state, sebab kondisi transien lebih sukar dianalisis. C. Prosedur Praktikum


D. Langkah – langkah Pengolahan Data Antrian dengan QS 3.0 1. Masuk ke program QS 3.0 2. Pilih menu Queuing Theory pada Modules 1 3. Pilih menu input data, klik menu data entry 4. Masukkan data yang diperlukan 5. Pilih menu Solution , klik Solve the Problem 6. Pilih menu Solution, klik Show the Solution untuk menampilkan hasil analisa antrian 7. Pilih menu Solution, klik Show Probabilities untuk menampilkan probabilitas sistem antrian tersebut


STUDI KASUS I TIME SERIES AND FORECASTING

PT. DEIVY

Perkembangan produk sepeda motor di Indonesia semakin pesat dari waktu ke waktu. Setiap perusahaan sepeda motor berusaha menghasilkan produk yang berkualitas tinggi, baik segi teknologi, interior dan eksteriornya. Hal ini, mengakibatkan persaingan antar perusahaan produk sepeda motor. Mengantisipasi hal tersebut, PT. Deivy melakukan ramalan penjualan untuk mengetahui perkembangan penjualan produknya. Berikut ini adalah data penjualan sepeda motor Honda Supra X 125 periode Oktober 2010 - Maret 2013. Tabel 1. Data Penjualan PT. Deivy


STUDI KASUS 2 LINEAR DAN INTEGER LINEAR PROGRAMMING

Menurut para ahli gizi, bahwa untuk tetap sehat seseorang harus mengkonsumsi

makanan untuk memenuhi kebutuhan gizinya dengan kandungan karbohidrat minimal 200 gram/pekan, kandungan lemak minimal 250 gram/pekan dan kandungan protein minimal200 gram/pekan, kandungan kadar gula minimal 250 gram/pekan, kandungan vitamin minimal 300 gram/pekan. Misalkan, seorang mahasiswa dalam memenuhi kebutuhan gizinya tersebut, tiap pekan menganggarkan paling banyak Rp100.000 untuk membeli x porsi coto,y porsi sop saudara dan z opor ayam. Tentukan jumlah porsi coto,sop saudara dan opor ayam yang harus dikonsumsi dengan biaya paling kecil yang harus dikeluarkan oleh mahasiswa tersebut agar kebtutuhan gizinya tetap terpenuhi.


Variabel Keputusan : Harga 1 porsi coto = Rp5000 Harga 1 porsi sop saudara =Rp10000 Harga 1 porsi opor ayam =Rp 7000 Batasan : Kandungan coto, sop saudara per porsinya dan opor ayam adalah: Komponen Coto Sop saudara Opor ayam Karbohidrat (gram) 20 30 20 Lemak (gram) 15 15 10 Protein (gram) 25 25 25 Kadar gula (gram) 20 20 22 Vitamin 25 30 25 Secara matematis Biaya konsumsi per pekan ( fungsi tujuan minimasi ) dapat dituliskan sebagai berikut : Fungsi tujuan : Zmin = 5000x + 10000y+7000z Dimana : x = coto y = sop saudara z = opor ayam Kendala tujuan : Kendala anggaran 5000x + 10000y + 7000z ≤ 100000 Kendala karbohidrat 20x + 30y +20z ≥ 200 Kendala lemak 15x + 15y +10z ≥ 250 Kendala protein 25x + 25y + 25z ≥ 200 Kendala gula 20x + 20y + 22z ≥ 250 Kendala Vitamin 25x + 30y + 25z ≥ 300 x, y, z ≥ 0

STUDI KASUS 3 LINEAR GOAL PROGRAMMING

Menurut para ahli gizi, bahwa untuk tetap sehat seseorang harus mengkonsumsi

makanan untuk memenuhi kebutuhan gizinya dengan kandungan karbohidrat minimal 200 gram/pekan, kandungan lemak minimal 250 gram/pekan dan kandungan protein minimal200 gram/pekan, kandungan kadar gula minimal 250 gram/pekan, kandungan vitamin minimal 300 gram/pekan. Misalkan, seorang mahasiswa dalam memenuhi kebutuhan gizinya tersebut, tiap pekan menganggarkan paling banyak Rp100.000 untuk membeli x porsi coto,y porsi sop saudara dan z opor ayam. Tentukan jumlah porsi coto,sop saudara dan opor ayam yang harus dikonsumsi dengan biaya paling kecil yang harus dikeluarkan oleh mahasiswa tersebut agar kebtutuhan gizinya tetap terpenuhi.


Variabel Keputusan : Harga 1 porsi coto = Rp5000 Harga 1 porsi sop saudara =Rp10000 Harga 1 porsi opor ayam =Rp 7000 Batasan : Kandungan coto, sop saudara per porsinya dan opor ayam adalah: Komponen Coto Sop saudara Opor ayam Karbohidrat (gram) 20 30 20 Lemak (gram) 15 15 10 Protein (gram) 25 25 25 Kadar gula (gram) 20 20 22 Vitamin 25 30 25 Secara matematis Biaya konsumsi per pekan ( fungsi tujuan minimasi ) dapat dituliskan sebagai berikut : Fungsi tujuan : Zmin = 5000x + 10000y+7000z Dimana : x = coto y = sop saudara z = opor ayam Kendala tujuan : Kendala anggaran 5000x + 10000y + 7000z ≤ 100000 Kendala karbohidrat 20x + 30y +20z ≥ 200 Kendala lemak 15x + 15y +10z ≥ 250 Kendala protein 25x + 25y + 25z ≥ 200 Kendala gula 20x + 20y + 22z ≥ 250 Kendala Vitamin 25x + 30y + 25z ≥ 300

STUDI KASUS 4 TRANSPORTASI

Perusahaan PT. Bayu bergerak dalam bidang produksi parfum dengan merk Pucel dan

Eskul. PT. Bayu mempunyai 3 pabrik ( factory ) di 3 kota yaitu Jakarta, Semarang dan Surabaya. Daerah pemasarannya( retail ) meliputi Bandung, Purwokerto, Yogyakarta, Klaten, dan Malang. Departemen pemasaran dan distribusi produk akan melakukan tinjauan terhadap pendistribusian produk untuk dapat memaksimalkan keuntungan dan meminimalkan biaya yang dikeluarkan. Data – data yang dimiliki adalah sebagai berikut : Kapasitas Produksi (supply) dari ketiga pabrik : Untuk produk Pucel Pabrik Jakarta : 700 unit/bulan Pabrik Semarang : 550 unit/bulan


Pabrik Surabaya : 600 unit/bulan Untuk produk Eskul Pabrik Jakarta : 650 unit/bulan Pabrik Semarang : 600 unit/bulan Pabrik Surabaya : 550 unit/bulan Permintaan (demand) dari ketiga daerah pemasaran Untuk produk Pucel Bandung : 500 unit Purwokerto : 300 unit Yogyakarta : 350 unit Klaten : 300 unit Malang : 400 unit Untuk produk Eskul Bandung : 450 unit Purwokerto : 350 unit Yogyakarta : 300 unit Klaten : 350 unit Malang : 350 unit Jarak tempuh antar kota Pabrik Jakarta ke Bandung : 80 km Pabrik Jakarta ke Purwokerto : 280 km Pabrik Jakarta ke Yogyakarta : 420 km Pabrik Jakarta ke Klaten : 440 km Pabrik Jakarta ke Malang : 630 km Pabrik Semarang ke Bandung : 560 km Pabrik Semarang ke Purwokerto : 300 km Pabrik Semarang ke Yogyakarta : 100 km Pabrik Semarang ke Klaten : 80 km Pabrik Semarang ke Malang : 250 km Pabrik Surabaya ke Bandung : 670 km Pabrik Surabaya ke Purwokerto : 450 km Pabrik Surabaya ke Yogyakarta : 200 km Pabrik Surabaya ke Klaten : 120 km Pabrik Surabaya ke Malang : 70 km Kendaraan yang dipakai sebagai alat distribusi adalah sama Investasi kendaraan : 150 juta Nilai ekonomis : 5 tahun Biaya perawatsn : 1.5 juta Suku bunga : 10 %


Spesifikasi penggunaan bahan bakar 1 liter untuk 20 km. Kapasitas angkut kendaraan: Pucel : 200 buah Eskul : 180 buah


LEMBAR KERJA PENGOLAHAN DATA Biaya penyusutan I : 10 % n : 5 tahun P = investasi + biaya perawatan (P/A, 10%, N) = 150.000.000 + 1.500.000 ( 3,7908 ) = 150.000.000 + 5.686.200 = 155.686.200 F = P ( F/P , I % , N ) N = 5 tahun. = 155.686.200 ( 1,6105 ) = 250.732.625,1

I/Bulan = N = 5 X 12 = 60 bulan

= 60 - 1 = 0,9918

Penyusutan / bulan = A / Bulan = F n = 60 bulan = 250.732.625,1 0,9918 (1 + 0,10)60 – 1


= 250.732.625,1 = 250.732.625,1 ( 3,268 ) = 819.394.218,8 Penyusutan / unit ( dalam 1 bulan mengangkut 5 kali ) Produk Pucel

Penyusutan/unit = = = 819.394,2188 Produk Eskul

Penyusutan / unit = = 910.438,0209 Upah sopir dan buruh/bulan Upah supir/bulan = Rp 550.000/unit Upah buruh/bulan = Rp 400.000/unit Upah supir Produk Pucel

= = 550/unit Produk Eskul

= = 611,11/unit Upah buruh Produk Pucel dengan jumlah buruh 3

= 3 x = 1200/unit Produk Eskul dengan jumlah buruh 3

= = 1.333,32/unit Biaya BBM/unit (harga 1 liter BBM = Rp 4500)


= Produk Pucel

Pabrik Jakarta ke Bandung : = 180/unit

Pabrik Jakarta ke Purwokerto : = 630/unit

Pabrik Jakarta ke Yogyakarta : = 945/unit

Pabrik Jakarta ke Klaten : = 990/unit

Pabrik Jakarta ke Malang : = 1.417,5/unit

Pabrik Semarang ke Bandung : = 1.260/unit

Pabrik Semarang ke Purwokerto: = 675/unit

Pabrik Semarang ke Yogyakarta: = 225/unit

Pabrik Semarang ke Klaten : = 180/unit

Pabrik Semarang ke Malang : = 562,5/unit

Pabrik Surabaya ke Bandung : = 1.507,5/unit

Pabrik Surabaya ke Purwokerto: = 1.012,5/unit

Pabrik Surabaya ke Yogyakarta: = 450/unit

Pabrik Surabaya ke Klaten : = 270/unit

Pabrik Surabaya ke Malang : = 157,5/unit Produk Eskul


Pabrik Jakarta ke Bandung : = 200/unit

Pabrik Jakarta ke Purwokerto : = 700/unit

Pabrik Jakarta ke Yogyakarta : = 1.050/unit

Pabrik Jakarta ke Klaten : = 1.100/unit

Pabrik Jakarta ke Malang : = 1.575/unit

Pabrik Semarang ke Bandung : = 1.400/unit

Pabrik Semarang ke Purwokerto: = 750/unit

Pabrik Semarang ke Yogyakarta: = 250/unit

Pabrik Semarang ke Klaten : = 200/unit

Pabrik Semarang ke Malang : = 625/unit

Pabrik Surabaya ke Bandung : = 1.675/unit

Pabrik Surabaya ke Purwokerto: = 1.125/unit

Pabrik Surabaya ke Yogyakarta: = 500/unit

Pabrik Surabaya ke Klaten : = 300/unit

Pabrik Surabaya ke Malang : = 175/unit Biaya transport/unit = B.Penyusutan/unit + B.Supir/unit + B.Buruh/unit + BBM/unit Produk Pucel Pabrik Jakarta ke Bandung : Rp 821.324,2188 Pabrik Jakarta ke Purwokerto : Rp 821.774,2188 Pabrik Jakarta ke Yogyakarta : Rp 822.089,2188 Pabrik Jakarta ke Klaten : Rp 822.134,2188 Pabrik Jakarta ke Malang : Rp 822.561,7188 Pabrik Semarang ke Bandung : Rp 822.404,2188


Pabrik Semarang ke Purwokerto : Rp 821.819,2188 Pabrik Semarang ke Yogyakarta : Rp 821.369,2188 Pabrik Semarang ke Klaten : Rp 821.324,2188 Pabrik Semarang ke Malang : Rp 821.706,7188 Pabrik Surabaya ke Bandung : Rp 822.651,7188 Pabrik Surabaya ke Purwokerto : Rp 822.156,7188 Pabrik Surabaya ke Yogyakarta : Rp 821.594,2188 Pabrik Surabaya ke Klaten : Rp 821.414,2188 Pabrik Surabaya ke Malang : Rp 821.301,7188 Produk Eskul Pabrik Jakarta ke Bandung : Rp 912.582,4509 Pabrik Jakarta ke Purwokerto : Rp 913.082,4509 Pabrik Jakarta ke Yogyakarta : Rp 913.432,4509 Pabrik Jakarta ke Klaten : Rp 913.482,4509 Pabrik Jakarta ke Malang : Rp 913.957,4509 Pabrik Semarang ke Bandung : Rp 913.782,4509 Pabrik Semarang ke Purwokerto : Rp 913.132,4509 Pabrik Semarang ke Yogyakarta : Rp 912.632,4509 Pabrik Semarang ke Klaten : Rp 912.582,4509 Pabrik Semarang ke Malang : Rp 913.007,4509 Pabrik Surabaya ke Bandung : Rp 914.057,4509 Pabrik Surabaya ke Purwokerto : Rp 913.507,4509 Pabrik Surabaya ke Yogyakarta : Rp 912.882,4509 Pabrik Surabaya ke Klaten : Rp 912.682,4509 Pabrik Surabaya ke Malang : Rp 912.557,4509


STUDI KASUS 5 PENUGASAN

PT. Furniture salah satu perusahaan yang bergerak dalam bidang industri meubel melakukan beberapa perombakan dalam perusahaannya. Hal ini dirasakan sangat perlu karena semakin banyaknya pesaing-pesaing yang bermunculan. Perusahaan ini merubah strategi dan begitu juga dengan sistem manajemennya. Perusahaan menempatkan karyawan pada stasiun kerja tertentu untuk mendapatkan Produktion Time minimum. Untuk itu PT. Furniture melakukan analisa penugasan untuk mencari solusi yang terbaik. Proses Produksi Proses produksi merupakan langkah yang penting dalam pembuatan suatu produk. Untuk memproduksi tempat majalah tersebut diperlukan bahan sebagai berikut : kayu ramin dengan panjang 2 M dan tebal 2,5 cm. Kebutuhan 1 unit produk diperkirakan 6-7 batang dan paku untuk 1 unit produk 118 buah paku kecil. Setiap hari perusahaan beroperasi selama 8 jam. Tahapan produksinya adalah : 1. Tahap Pengukuran Pada tahap ini kayu ramin diukur sesuai dengan bagian produknya. 2. Tahap Pemotongan Kayu ramin dipotong sesuai dengan ukurannya. 3. Tahap Penghalusan kayu yang telah dipotong dihaluskan pada tahap ini dengan amplas. 4. Tahap perakitan awal Kayu yang telah dihaluskan dirakit perbagiannya masing-masing. 5. Tahap perakitan akhir Kayu yang telah dirakit perbagian kemudian dirakit menjadi produk jadi. 6. Tahap pengecatan Tahap ini merupakan tahap terkakhir produk yang jadi dipernis dan dicat SPESIFIKASI MANUSIA DAN MESIN Untuk proses pembuatan tempat majalah ini perusahaan memiliki 6 orang tenaga kerja yang dapat diandalkan untuk mengerjakan keenam tahapan tersebut, kemudian dilkakukan pengukuran waktu kerja tiap tahap produksi untuk tiap unitnya. Pegawai/karyawan perusahaan tersebut mempunyai spefikasi masing-masing sebagai berikut :

Pegawai I mempunyai good skill (c1), excellent effort (b1), excellent condition, dan good consistency.

Pegawai II mempunyai excellent skill (b2), excellent effort (b2), good condition dan excellent consistency.

Pegawai III mempunyai excellent skill (b1), good effort (c1), good condition dan ideal consistency.

Pegawai IV mempunyai superskill skill (a2), good effort (c2), ideal condition dan good consistency.

Pegawai V mempunyai good skill (c2), superskill effort (a2), good condition dan ideal consistency.

Pegawai VI mempunyai excellent skill (b2), good effort (c1), excellent condition dan ideal consistency.


Masing – masing pegawai membutuhkan waktu untuk keperluan pribadi 6 menit, istirahat lelah 5 menit dan menunggu selama 3 menit. Mesin yang digunakan dalam memproduksi tempat majalah ini mempunyai kapasitas yang sama atau dengan kata lain mempunyai kinerja yang sama.


Hasil Perhitungan

Uji Kecukupan Data

diketahui : K = 2 , s = 0.05 Contoh : Operator I pada pengukuran.

N’ < N Data Cukup Untuk Perhitungan selanjutnya Anda kerjakan sebagai Tugas Pendahuluan dan masukkan hasilnya kedalam tabel berikut:


Uji Keseragaman Data

BKA/BKB =

Contoh : SD1 = BKA/BKB = 9.63 ± 0.82 = 10.45 hingga 8.81


Waktu Normal (WN) WN = WS * PR PR = 1 + Spesifikasi karyawan Diketahui : Operator I = Skill Good (C1) = +0.06 Excellent Effort (B1) = +0.1 Excellent Condition = +0.04 Good Consistancy = +0.01 +

+0.21 Sehingga : PR = I = 1 + 0.21 = 1.21 II = ……………………….. III = ……………………….. IV = ………………………… V = …………………………. VI = ………………………… Contoh : Operator I pada Pengukuran WN1 = 9.63 * 1.21 = 11.6523 menit


STUDI KASUS 6 PROGRAM DINAMIS

PT. AROMA sebagai perusahaan manufaktur yang memproduksi produk yang antara lain

sabun, parfum, dan shampo. Untuk produk sabun diproduksi dengan type Detul, Lox dan Lafeboy. Untuk itu perusahaan melakukan penelitian operasional yang bertujuan untuk mengetahui perencanaan produksi yang optimal. Rumusan Masalah Permasalahan yang timbul adalah bagaimanakah penjadwalan produksi untuk periode kedepan termasuk pengendalian persediaan bagi perusahaan PT. AROMA dengan mempertimbangkan jumlah permintaan yang diramal sesuai dengan data historis, dan juga biaya produksi dari produk yang bersangkutan, untuk mendapatkan laba maksimal dan biaya yang minimal. Batasan Masalah Dalam kasus ini permasalahan kami batasi hingga :

Hanya produk sabun dengan type Detul, Lox dan Lafeboy. Perencanaan untuk 12 periode mendatang. Biaya produksi bersifat tetap. Proses produksi berjalan lancar.

Pengumpulan Data Peramalan 12 periode mendatang untuk tiap-tiap tipe.

Daftar harga bahan baku : Maret 2001 = Rp 2210,- /liter April 2001 = Rp 2430,- /liter Biaya tenaga kerja : Rp 201,- /liter tetap untuk setiap periode. Biaya variabel listrik :


Type Detul Rp 299,- /liter. Type Lox Rp 312,- /liter. Type Lafeboy Rp 355,- /liter. Biaya setup mesin Rp 23.500,- Biaya simpan 95 % dari total biaya produksi. Kapasitas produksi total 15900 liter. Kapasitas gudang 16500 liter. Persediaan Mei ’00 Detul 345 liter, Lox 410 liter, Lafeboy 295 liter. Pengolahan data Total Biaya produksi = Biaya bahan baku + Biaya tenaga kerja + Biaya variabel listrik. Biaya bahan baku = Biaya Bahan baku sebelumnya + (1 + Indeks konsumen) Dimana, Biaya Bahan Baku = Harga Bahan Baku Periode Sebelum x (1 + Ic)

= x 100%

= x 100% = 9.95% Perhitungan Biaya Bahan Baku/liter Mei 2001 = Rp 2430 x (1 + 9.95% ) = Rp 2671.785 Perhitungan Total Biaya Produksi/liter Mei 2001 type Detul = Rp 2671.785 + Rp 201 + Rp 299 = Rp 3171.785/liter type Lox = Rp 2671.785 + Rp 201 + Rp 312 = Rp 3184.785 type Lafeboy = Rp 2671.785 + Rp 201 + Rp 355 = Rp 3227.785


PERHITUNGAN BIAYA SIMPAN Diketahui besarnya biaya simpan untuk tiap – tiap jenis produk untuk setiap periode adalah 1,25% dari total biaya produksi. Perhitungan Biaya Simpan/liter type Detul = 1,25% x Rp 3171.785 = Rp 39.647/liter type Lox = 1.25% x Rp 3184.785 = Rp 39.809/liter Type Lafeboy = 1.25% x Rp 3227.785 = Rp 40.347/liter


PERHITUNGAN DEMAND Demand = Demand Peramalan – Inventory Demand type Detul Demand untuk periode 1 = 1120 - 345 = 775 Demand untuk periode 2 = 1235 – 345 = 890 Demand untuk periode 3 = 1321 – 345 = 976 Demand untuk periode 4 = 1089 – 345 = 744 Demand untuk periode 5 = 1324 – 345 = 979 Demand untuk periode 6 = 1215 – 345 = 870 Demand untuk periode 7 = 1153 – 345 = 808 Demand untuk periode 8 = 1356 – 345 = 1011 Demand untuk periode 9 = 1345 – 345 = 1000 Demand untuk periode 10 = 1276 – 345 = 931 Demand untuk periode 11 = 1141 – 345 = 796 Demand untuk periode 12 = 1291 – 345 = 946 Demand type Lox Demand untuk periode 1 = 1550 – 410 = 1140 Demand untuk periode 2 = 1129 – 410 = 719 Demand untuk periode 3 = 1375 – 410 = 965 Demand untuk periode 4 = 1455 – 410 = 1045 Demand untuk periode 5 = 1279 – 410 = 869 Demand untuk periode 6 = 1575 – 410 = 1165 Demand untuk periode 7 = 1575 – 410 = 1165 Demand untuk periode 8 = 1575 – 410 = 1165 Demand untuk periode 9 = 1575 – 410 = 1165 Demand untuk periode 10 = 1107 – 410 = 697


Demand untuk periode 11 = 1063 – 410 = 653 Demand untuk periode 12 = 1120 – 410 = 710 Demand type Lafeboy Demand untuk periode 1 = 1295 – 295 = 1000 Demand untuk periode 2 = 1325 – 295 = 1030 Demand untuk periode 3 = 1325 – 295 = 1030 Demand untuk periode 4 = 1325 – 295 = 1030 Demand untuk periode 5 = 1325 – 295 = 1030 Demand untuk periode 6 = 1325 – 295 = 1030 Demand untuk periode 7 = 1325 – 295 = 1030 Demand untuk periode 8 = 1024 – 295 = 729 Demand untuk periode 9 = 1125 – 295 = 830 Demand untuk periode 10 = 1879 – 295 = 1584 Demand untuk periode 11 = 1105 – 295 = 810 Demand untuk periode 12 = 1015 – 295 = 720 PERHITUNGAN KAPASITAS PRODUKSI TYPE DETUL Kapasitas = Kapasitas Total – (Demand type 2 – Inventory awal) – (Demand type 3 – Inventori awal) Kapasitas untuk periode 1 = 15900 – (1550 - 410) – (1295 – 295) = 13760 Kapasitas untuk periode 2 = Kapasitas Total - (Demand type 2) - ( Demand type 3) = 15900 – (1129 - 410) – (1325 - 295) = 13865.95 Kapasitas untuk periode 3 = 15900 – (1375 – 410) – (1325 - 295) = 13610 Kapasitas untuk periode 4 = 15900 – (1455 – 410) – (1325 - 295) = 16201.785 Kapasitas untuk periode 5 = 15900 – (1279 – 410) – (1325 - 295) = 13706 Kapasitas untuk periode 6 = 15900 – (1575 – 410) – (1325 - 295) = 13410 Kapasitas untuk periode 7 = 15900 – (1575 – 410) – (1325 - 295) = 13410 Kapasitas untuk periode 8 = 15900 – (1575 – 410) – (1024 - 295) = 13711 Kapasitas untuk periode 9 = 15900 – (1575 – 410) – (1125 - 295) = 13610 Kapasitas untuk periode 10 = 15900 – (1107 – 410) – (1879 - 295) = 13324 Kapasitas untuk periode 11 = 15900 – (1063 – 410) – (1105 - 295) = 14142 Kapasitas untuk periode 12 = 15900 – (1120 - 410) – (1015 - 295) = 14175 TYPE LOX Kapasitas untuk periode 1 = 15900 – (1120 – 345) – (1295 – 295) = 14125 Kapasitas untuk periode 2 = 15900 – (1235 – 345) – (1325 - 295) = 13759.95 Kapasitas untuk periode 3 = 15900 – (1321 – 345) – (1325 - 295) = 13549 Kapasitas untuk periode 4 = 15900 – (1089 – 345) – (1325 - 295) = 16167.74 Kapasitas untuk periode 5 = 15900 – (1324 – 345) – (1325 - 295) = 13251 Kapasitas untuk periode 6 = 15900 – (1215 – 345) – (1325 - 295) = 16031.79 Kapasitas untuk periode 7 = 15900 – (1153 – 345) – (1325 - 295) = 13422 Kapasitas untuk periode 8 = 15900 – (1356 – 345) – (1024 - 295) = 13520 Kapasitas untuk periode 9 = 15900 – (1345 – 345) – (1125 - 295) = 13430 Kapasitas untuk periode 10 = 15900 – (1276 – 345) – (1879 - 295) = 12745 Kapasitas untuk periode 11 = 15900 – (1141 – 345) – (1105 - 295) = 13654


Kapasitas untuk periode 12 = 15900 – (1291 – 345) – (1015 - 295) = 13594 TYPE LAFEBOY Kapasitas untuk periode 1 = 15900 – (1120 – 345) – (1550 – 410) = 13985 Kapasitas untuk periode 2 = 15900 – (1235 – 345) - (1129 - 410) = 14241 Kapasitas untuk periode 3 = 15900 – (1321 – 345) - (1375 – 410) = 13508.95 Kapasitas untuk periode 4 = 15900 – (1089 – 345) - (1455 – 410) = 13365.95 Kapasitas untuk periode 5 = 15900 – (1324 – 345) - (1279 – 410) = 15968.79 Kapasitas untuk periode 6 = 15900 – (1215 – 345) - (1575 – 410) = 15781.79 Kapasitas untuk periode 7 = 15900 – (1153 – 345) - (1575 – 410) = 13172 Kapasitas untuk periode 8 = 15900 – (1356 – 345) - (1575 – 410) = 12969 Kapasitas untuk periode 9 = 15900 – (1345 – 345) - (1575 – 410) = 12980 Kapasitas untuk periode 10 = 15900 – (1276 – 345) - (1107 – 410) = 13517 Kapasitas untuk periode 11 = 15900 – (1141 – 345) - (1063 – 410) = 13696 Kapasitas untuk periode 12 = 15900 – (1291 – 345) - (1120 - 410) = 13489

KAPASITAS GUDANG TYPE DETUL, LOX DAN LAFEBOY Kapasitas gudang = 16500 untuk periode 1 hingga 12 PERHITUNGAN KAPASITAS GUDANG TYPE DETUL, LOX DAN LAFEBOY Kapasitas gudang = 16500 untuk periode 1 hingga 12


STUDI KASUS 7 RANTAI MARKOV

Global System for Mobile communications (GSM) merupakan alat telekomunikasi yang siap dipakai sewaktu-waktu dimana saja dan kapan saja.Persaingan ketat antar perusahaan kartu seluler telah menjadikan perusahaan kartu seluler berlomba-lomba memberikan tawaran yang menarik kepada pelanggan maupun calon pelanggannya, dengan tujuan untuk menarik pelanggan sebanyak-banyaknya.Berdasarkan pengamatan di pasaran, bahwa semakin banyaknya pilihan merek GSM yang ditawarkan, maka konsumen akan selektif dan memilih merek GSM yang dirasakan sesuai dengan keinginan dan kebutuhannya. Berikut ini merupakan data pengamatan transisi pengguna gsm ke gsm lain.


STUDI KASUS 8 ANTRIAN

OPTIMISASI - stta.namestta.name/materi/Modul Optimisasi 2018_19.pdfProgram Studi Teknik Industri...

Documents

Transcript of OPTIMISASI - stta.namestta.name/materi/Modul Optimisasi 2018_19.pdfProgram Studi Teknik Industri...