1

OPTIMASI &

PROGRAM LINIER (PL)

BAB 1

2

Pendahuluan

Kita mengenal beberapa masalah keputusan yang butuh sumberdaya berikut :

Minyak TanahWaktuUangPekerjaDll.

3

Mathematical Programming (MP)

MP adalah ilmu manajemen yang menentukan suatu optimasi, atau efisiensi yang sangat tinggi, dengan menggunakan sumber daya untuk mencapai tujuan individu pada suatu bisnisKata kunci :Optimasi (Optimization)

4

Penerapan Optimasi

Penentuan Product MixManufakturTransportasi dan LogistikPerencanaan FinansialDll.

5

Karakteristik Masalah Optimasi

Keputusan (Decisions)Kendala (Constraints)Tujuan (Objectives)

6

Bentuk Umum Optimasi

MAX (or MIN): f0(X1, X2, …, Xn)Subject to: f1(X1, X2, …, Xn)<=b1

:fk(X1, X2, …, Xn)>=bk

:fm(X1, X2, …, Xn)=bm

N.B: Jika seluruh fungsi bersifat linier, maka disebut dengan masalah Program Linier/ Linear Programming (LP) problem

7

Masalah Program Linier (PL)

MAX (or MIN): c1X1 + c2X2 + … + cnXn

Subject to: a11X1 + a12X2 + … + a1nXn <= b1

:ak1X1 + ak2X2 + … + aknXn >=bk

:am1X1 + am2X2 + … + amnXn = bm

8

Contoh PLPT. GUNDAR memproduksi 2 jenis pipa, yaitu : Aqua & Hydro, degan rincian sumber daya sbb:

Aqua HydroPompa 1 1Jam Kerja 9 jam 6 jamPipa 12 meter 16 meterLaba/Unit $350 $300

Terdapat 200 pompa, 1566 jam kerja, dan 2880 meter persediaan pipa.

9

5 Langkah Formulasi Model PL

1. Memahami masalah2. Identifikasi variabel keputusan

X1=jumlah pipa Aqua yang dihasilkanX2=jumlah pipa Hydro yang dihasilkan

3. Penentuan fungsi tujuan sebagai kombinasi linier dari variabel keputusan

MAX: 350X1 + 300X2

10

5 Langkah Formulasi Model PL (sambungan)

4. Menentukan konstrain sebagai kombinasi linier dari variabel keputusan

1X1 + 1X2 <= 200 } pompa9X1 + 6X2 <= 1566 } jam kerja12X1 + 16X2 <= 2880 } pipa

5. Identifikasi batas atas atau bawah dari variabel keputusan.

X1 >= 0X2 >= 0

11

Model PL PT. GUNDARMAX: 350X1 + 300X2

S.T.: 1X1 + 1X2 <= 2009X1 + 6X2 <= 156612X1 + 16X2 <= 2880X1 >= 0X2 >= 0

12

Penyelesaian Masalah PL: Pendekatan Intuitif

Ide : Setiap Aqua (X1) menimbulkan laba/unit yg tertinggi ($350), buatlah kemungkinan tersebut!Seberapa besar hal tsb. dapat terjadi?

Misalkan X2 = 0Konstrain-1: 1X1 <= 200 Konstrain-2: 9X1 <=1566 or X1 <=174Konstrain-3: 12X1 <= 2880 or X1 <= 240

Jika X2=0, nilai maksimum X1 adalah 174 keuntungan totalnya adalah $350*174 + $300*0 = $60,900Solusi tersebut layak (feasible), tapi apakah optimal?

No!

13

Penyelesaian Masalah PL:Pendekatan Grafik

Beberapa konstrain/kendala suatu PLmendefinisikan daerah feasiblenyaTitik terbaik dari daerah feasible adalah solusi optimal masalah tersebutUntuk PL dengam 2 variabel, sangatlah mudah untuk memplot daerah feasible dan menentukan solusi optimalnya

14

X2

X1

250

200

150

100

50

00 50 100 150 200 250

(0, 200)

(200, 0)

Garis batas dari konstrain pompa

X1 + X2 = 200

Plotting Konstrain-1

15

X2

X1

250

200

150

100

50

00 50 100 150 200 250

(0, 261)

(174, 0)

Garis batas dari konstrain jam kerja

9X1 + 6X2 = 1566

Plotting Konstrain-2

16

X2

X1

250

200

150

100

50

00 50 100 150 200 250

(0, 180)

(240, 0)

Garis batas dari konstrain pipa 12X1 + 16X2 = 2880

Daerah Feasible

Plotting Konstrain-3

17

Plotting Sebuah Kurva Bertingkat Dari Fungsi Tujuan

X1

250

200

150

100

50

00 50 100 150 200 250

(0, 116.67)

(100, 0)

Fungsi Tujuan 350X1 + 300X2 = 35000

X2

18

Kurva Kedua Dari Fungsi TujuanX2

X1

250

200

150

100

50

00 50 100 150 200 250

(0, 175)

(150, 0)

Fungsi Tujuan 350X1 + 300X2 = 35000

Fungsi Tujuan 350X1 + 300X2 = 52500

19

Gunakan Kurva Bertingkat Untuk Melokalisir Solusi OptimalX2

X1

250

200

150

100

50

00 50 100 150 200 250

Fungsi Tujuan350X1 + 300X2 = 35000

Fungsi Tujuan 350X1 + 300X2 = 52500

Solusi Optimal

20

Perhitungan Solusi Optimal

Solusi optimal terjadi dimana kendala pompa dan jam kerja beririsan.Hal ini terjadi ketika:

X1 + X2 = 200 (1)dan 9X1 + 6X2 = 1566 (2)

Dari (1) kita dapatkan X2 = 200 -X1 (3)Subtitusi (3) ke dalam (2), dan kita punyai :

9X1 + 6 (200 -X1) = 1566yang menghasilkan X1 = 122

Sehingga solusi optimalnya adalah :X1=122, X2=200-X1=78

Total Keuntungan = $350*122 + $300*78 = $66,100

21

Hitung Nilai Fungsi Tujuan Setiap Titik SudutX2

X1

250

200

150

100

50

00 50 100 150 200 250

(0, 180)

(174, 0)

(122, 78)

(80, 120)

(0, 0)

obj. value = $54,000

obj. value = $64,000

obj. value = $66,100

obj. value = $60,900obj. value = $0

Catt.: Metode ini tak akan berjalan jika solusinya tak terbatas

22

Ringkasan Pendekatan Grafik Pada Masalah PL

1. Plot garis batas setiap konstrain2. Identifikasi daerah feasible/layak3. Lokalisasi solusi optimal dengan

melakukan:a. Plotting Kurva bertingkatb. Hitung nilai setiap titik sudut

23

Selesai … ?Bersambung !