Maksimum lokal

Minimum lokalMinimum global

Maksimum global

NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI DUA VARIABEL

I. LANDASAN TEORI1. Definisi

Misalkan f adalah fungsi daerah asal S. Dan misalkan P0 adalah sebuah titik di S.

A. f (P0 ) adalah nilai maksimum global dari f di S jika f (P0 )≥ f (P ) untuk

seluruh P di S.

B. f (P0 ) adalah nilai minimum global dari f di S jika f (P0 )≤ f (P ) untuk

seluruh P di S.

C. f (P0 ) adalah nilai ekstrem global dari f di S jika f (P0 ) bukan nilai

maksimum global dan bukan nilai minimum global.

Kita dapat memperoleh definisi-definisi untuk nilai maksimum lokal dan nilai minimum lokal jika pada A dan B hanya berlaku di N ∩S, dimana N adalah

lingkungan dari P0. f (P0 ) adalah nilai ekstrem lokal dari f di S jika f (P0 ) bukan

nilai maksimum lokal atau minimum lokal.

Berikut adalah Interpretasi Geometri dari konsep yang telah didefinisikan

2. Teorema I (Teorema Keberadaan Maksimum-minimum).

Jika f kontinu pada sebuah himpunan S tertutup terbatas, maka f mencapai nilai maksimum (global) dan nilai minimum (global) di himpunan tersebut.

Nilai Ekstrem terjadi pada titik-titik kritis. Titik kritis dari f di S ada tiga jenis :1. Titik Batas (boundary point).2. Titik Stasioner (Stationary point). Kita menyebut P0 titik stasioner jika P0

adalah sebuah titik dalam di S di mana f dapat didiferensialkan dan ∇ f (P0 )=0. Di titik tersebut, suatu bidang singgung akan horizontal.

3. Titik tunggal (singular point). Kita menyebut P0 sebuah titik tunggal jika P0 adalah sebuah titik dalam di S di mana f tidak dapat dideferensial,

misalkan, sebuah titik di mana grafik dari f mempunyai sudut lancip.

3. Teorema II (Teorema Titik Kritis)

4. Teorema III (Uji Parsial Kedua)

Misalkan f didefinisikan pada sebuah himpunan S yang mengandung P0. Jika

f (P0) adalah sebuah nilai ekstrem, maka P0 harus merupakan titik kritis, yaitu P0 adalah :

(i) Sebuah titik batas di S ; atau(ii) Sebuah titik stasioner dari f ; atau(iii) Sebuah titik tunggal dari f

Andaikan f (x , y ) mempunyai turunan parsial kedua kontinyu dalam lingkungan

(x0 , y0) dan ∇ f (x0 , y0 )=0. Misalkan

D=D (x0 , y0 )=f xx (x0 , y0 )¿ f yy (x0 , y 0)−f xy2(x0 , y0)

Maka

(i) Jika D>0dan f xx (x0 , y0 )<0 , f (x0 , y0) adalah sebuah nilai maksimum

lokal;

(ii) Jika D>0dan f xx (x0 , y0 )>0 , f (x0 , y0) adalah sebuah nilai minimum

local;

(iii) Jika D<0 , f (x0 , y0) bukan sbuah nilai ekstrem, ((x0 , y0 )adalah

subuah titik pelana);(iv) Jika D = 0, maka tidak dapat ditarik kesimpulan.

12’

II. PENERAPAN1. Permasalahan

Sebuah saluran terbuka dengan penampang melintang berbentuk trapesium dengan sudut alas yang sama akan dibuat dengan membuat tekukan di sepanjang lembaran logam yang mempunyai lebar 12 inci. Tentukan sudut-sudut alas dan lebar sisinya agar dapat menghasilkan kapasitas saluran maksimum. ?

2. Solusia. Pemodelan Matematika

Kapasitas saluran akan maksimum jika luas penampang saluran mencapai maksimum.Luas Penampang saluran adalah luas daerah trapesium yang dimodelkan pada gambar di atas.

L trapezium ¿( jumlah panjang sisi sejajar )×(tinggi trapesium)

2

Misalkan fungsi luas trapezium dinyatakan sebagai L(x ,θ) yang merupakan fungsi dengan variabel x danθ.Maka :

L ( x , θ )=¿¿

⇔L ( x ,θ )=12x2sin 2θ−2 x2sinθ+12x sin θ

DenganDomain L={( x ,θ )∨0<x<6 ,0<θ<π }

Interpretasi geometri. z=L ( x ,θ ) .

b. Penyelesaian ModelMenurut Interpretasi geometri terlihat jelas bahwa titik gertinggi dari L merupakan titik stasioner. Jadi kita akan memeriksa titik stasioner yang terjadi.Kita akan menggunakan teorema 3. Uji Parsial kedua.

∇ L (x0 ,θ0 )=0

Sehingga diperoleh :Lx ( x , θ )=x sin 2θ−4 x sinθ+12sinθ=0 …………..(1)

Lθ (x , θ )=x2 cos2θ−2 x2cos θ+12x cosθ=0 ……..(2)

Dari Persamaan (1) diperoleh :

x= 12 sin θ4 sinθ−sin 2θ

……………. …………………………..(3)

Subtitusi persamaan (3) ke (2) diperoleh :

( 12 sin θ4 sin θ−sin 2θ

)2

cos2θ−2( 12sin θ4 sinθ−sin 2θ

)2

cosθ+12 ( 12 sinθ4 sin θ−sin 2θ

)cos θ=0

⇔72 sin2θ sin 2θ

¿¿¿

⇔72 sin2θ sin 2θ−288 sin3θ+576 sin3θ−144 sin2θ∗θsin2θ

¿¿¿

⇔288 sin3θ−144 sin3θ∗cosθ

¿¿¿

⇔288 sin3θ−144 sin3θcosθ=0

⇔144 sin3θ (2−cosθ )=0

Jadi nilai θ yang memenuhi adalah {0 , π3 , π } Subtitusi nilai θ ke persamaan (3) diperoleh :

θ x0π3

4

π

Jadi nilai ( x ,θ ) yang memenuhi adalah (4 ,π3 )

Sehingga diperoleh titik stasioner (4 ,π3 )

Selanjutnya kita akan menggunakan uji parsial kedua untuk mengetahui maksimum ataupun minimum titik stasioner yang diperoleh.

Lxx=sin 2θ−4 sin θ

Lxx(4 ,π3)=sin 2

π3−4 sin

π3=−3 √3

2

Lθθ=−2 x2sin 2θ+2 x2 sin θ−12 x sinθ

Lθθ(4 , π3 )=−2 ( 4 )2 sin 2π3+2 ( 4 )2 sin

π3−12 (4 )sin

π3=−24√3

Lxθ=2 xcos 2θ−4 x cosθ+12cosθ

Lxθ(4 ,π3 )=2(4)cos2 ( π

3)−4 (4 )cos ( π

3)+12cos ( π3 )=−6

¿=¿

D=Lxx(4 ,π3 )∗Lθθ(4 ,

π3 )−(Lxθ (4 , π3 ))

2

=(−3√32 )∗(−24 √3)−(−6 )2

¿108−36=72

Karena D>0 dan Lxx(4 ,π3 )<0 maka L(4 ,

π3) maksimum lokal.

c. Interpretasi HasilBerdasarkan hasil analisis dan uji parsial kedua diperoleh L akan mencapai

maksimum pada titik (4 ,π3).

Yang dapat ditafsirkan bahwa Luas Penampang saluran akan mencapai

maksimum apabila x=4 inci dan θ=π3=60 °.

60 °60 °

4 44