N A U T I K A

M O D U L P E M B E L A J A R A N D I G I T A L

POLITEKNIK PELAYARAN SURABAYA

A R I E P U J I A S T U T I 1600 200 74

Program Teknologi Pendidikan Pascasarjana

UNIVERSITAS PGRI adi buana

2018

i

Kata Pengantar

Segala puji bagi Allah Tuhan semesta alam yang telah memberikan nikmat yang

begitu besar sehingga penulis dapat menyelesaikan modul digital Matematika Terapan

bagi taruna Politeknik Pelayaran Surabaya. Modul ini sebagai panduan untuk Mata

Kuliah Matematika Terapan yang kurikulumnya telah menyesuaikan International

Maritime Organization (IMO) model course sebagaimana amandemen Manila 2010.

Setiap materi telah disesuaikan dengan kebutuhan taruna di atas kapal sehingga istilah

yang digunakan menggunakan istilah sebagaimana standar IMO. Modul ini juga

menggunakan tautan (link) yang bisa dibuka berupa animasi sehingga mempermudah

pemahaman taruna dalam memperlajari materi yang diberikan setiap bab.

Kami ucapkan terima kasih sebesar-besarnya pada semua pihak yang telah

membantu kami dalam menyelesaikan modul digital ini. Demikian pengantar dari kami

semoga bermanfaat.

Surabaya, Oktober 2018

Penyusun

Arie Puji Astuti

ii

DAFTAR TABEL

Tabel 1.1 Notasi Vektor ..................................................................................................... 2

Tabel 1.2 Komponen Vektor ............................................................................................. 10

Tabel 2.1 Notasi yang digunakan di ellips ...................................................................... 25

iii

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 Lintasan rute kapal ....................................................................................... 1

Gambar 1.2 Vektor ............................................................................................................. 2

Gambar 1.3 Faktor yang berpengaruh pada kecepatan dan arah kapal ...................... 3

Gambar 1.4 Vektor kapal dan vektor arus ...................................................................... 4

Gambar 1.5 Penjumlahan vektor ...................................................................................... 4

Gambar 1.6 Vektor negatif ................................................................................................ 5

Gambar 1.7 Resultan akhir pengurangan ........................................................................ 5

Gambar 1.8 Vektor poligon: lebih dari 2 vektor ............................................................ 5

Gambar 1.9 Resultan hasil penjumlahan ......................................................................... 6

Gambar 1.10 Vektor poligon arah kebalikan .................................................................. 6

Gambar 1.11 Resultan vektor poligon ............................................................................. 7

Gambar 1.12 Arah resultan dari arus dan kapal ........................................................... 8

Gambar 1.13 Penetapan komponen vektor ..................................................................... 9

Gambar 1.14 Komponen Vektor ...................................................................................... 10

Gambar 2.1 Lingkaran pada pusat koordinat ................................................................. 14

Gambar 2.2 Titik A pada setiap kuadran ........................................................................ 15

Gambar 2.3 Posisi lingkaran pada sembarang titik ........................................................ 16

Gambar 2.4 Garis singgung lingkaran ............................................................................. 18

Gambar 2.5 Tampilan RADAR ........................................................................................ 20

iv

Gambar 2.6 Tampilan posisi pada RADAR .................................................................... 20

Gambar 2.7 Posisi kapal asing dalam bentuk proyeksi sumbu X dan Y ..................... 21

Gambar 2.8 Grafik Parabolik ............................................................................................ 23

Gambar 2.9 Proses pembuatan ellips ............................................................................... 24

Gambar 2.10 Bagian ellips ................................................................................................. 25

Gambar 2.11 Ellips berpusat di (4, -2) ............................................................................. 27

Gambar 2.12 Hiperbola berpusat di (0,0) ...................................................................... 28

Gambar 2.13 Kurva hiperbolik ......................................................................................... 30

Gambar 2.14 Kurva hiperbolik berpusat di (h, k) .......................................................... 30

Gambar 2.15 Kurva hiperbolik berpusat di (8, -4) ......................................................... 25

Gambar 2.16 Time Different (TD) atau coding delay pada stasiun master dan

sekunder ......................................................................................................... 33

Gambar 2.17 Waktu yang dibutuhkan antara stasiun master dan sekunder .............. 33

Gambar 2.18 Posisi pemancar M dan X serta sebuah kapal ......................................... 34

v

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ............................................................................................................ i

KATA PENGANTAR ........................................................................................................ ii

DAFTAR TABEL ................................................................................................................. iii

DAFTAR GAMBAR ............................................................................................................ iv

DAFTAR ISI ........................................................................................................................ vii

BAB I VEKTOR

A. Definisi Vektor............................................................................................. 1

B. Besaran vektor dan besaran skalar ............................................................ 2

C. Notasi vektor ................................................................................................ 2

D. Penjumlahan dan pengurangan vektor ..................................................... 3

E. Metode segitiga ............................................................................................ 4

F. Metode Poligon ............................................................................................ 5

G. Metode Jajaran genjang ............................................................................. 8

H. Metode komponen vektor .......................................................................... 9

I. Vektor kecepatan dan percepatan ............................................................. 11

J. Rangkuman .................................................................................................. 13

BAB II LINGKARAN, PARABOLA, ELLIPS DAN HIPERBOLA

A. Definisi lingkaran ........................................................................................ 14

B. Persamaan lingkaran pada pusat koordinat ............................................. 14

C. Persamaan umum lingkaran pada koordinat kartesius .......................... 16

D. Persamaan garis singgung lingkaran ....................................................... 18

E. Aplikasi lingkaran pada pelayaran ........................................................... 20

F. Parabola ...................................................................................................... 22

vi

G. Ellips ........................................................................................................... 24

H. Hiperbola .................................................................................................... 28

I. Hiperbola berpusat di (h,k) ..................................................................... 30

J. Aplikasi hiperbolik pada pelayaran ........................................................ 32

K. Rangkuman ................................................................................................. 37

Daftar Pustaka

Glosarium

Index

1

VEKTOR

Definisi Vektor Sebuah kapal menempuh jarak dari Pelabuhan A menuju Pelabuhan B dapat

menggunakan 3 jalan, sebagaimana gambar di bawah. Rute 1 memiliki jarak tempuh 80

mil, rute 2 memiliki jarak tempuh 75 mil, rute 3 memiliki jarak tempuh 55 mil.

Gambar 1.1 Lintasan rute kapal

Jarak tempuh terdekat dan terpendek adalah jarak rute 3, dan perpindahan dari

Pelabuhan A ke Pelabuhan B menggunakan rute 3 adalah sebuah vektor. Sehingga dari

ilustrasi di atas, dapat dijabarkan bahwa vektor adalah besaran yang memiliki arah dan

nilai dengan lintasan garis lurus. Arah ditunjukkan dengan tanda panah dan nilai

ditunjukkan dengan besarnya jarak yaitu 55 km.

Deskripsi Mata Kuliah : (alokasi waktu : 3 x 2 JP)

1. Pembahasan vektor terkait dengan penentuan jarak dan arah haluan kapal.

Diharapkan setelah pembelajaran ini taruna dapat menjelaskan dan mendapatan

nilai kecepatan kapal yang dipengaruhi oleh kecepatan arus arah angin, serta

arah haluan kapal.

2. Pembahasan vektor juga memuat perhitungan resultan dengan beberapa

metode, baik metode poligon, jajaran genjang dan komponen vektor.

2

Besaran Vektor dan Besaran Skalar Selain besaran vektor, kita juga mengenal besaran skalar yang hanya memiliki nilai saja

dan ia tidak memiliki arah, sebagai contoh massa, volume, suhu, massa jenis, luas,dan

sebagainya. Berbeda dengan vektor yang memiliki arah dan nilai semisal kecepatan, gaya,

percepatan, perpindahan, dan sebagainya

Notasi Vektor Untuk menuliskan sebuah vektor ada beberapa notasi yang dapat digunakan, sehingga

jika kita membaca buku yang membahas tentang vektor ada beberapa notasi yang

kemungkinan digunakan oleh penulis. Misalkan kita ingin menggambar vektor a

sebagaimana gambar berikut.

Gambar 1.2 Vektor

Dalam menggambarkan vektor, dimulai dari titik pangkal A menuju titik ujung B dan

diberikan ujung tanda panah. Untuk menuliskan (notasi) sebuah vektor pada gambar

di atas dapat ditulis:

Tabel 1.1 Notasi Vektor

• Vektor a → huruf tebal • Vektor AB → huruf tebal

• Vektor a → huruf miring • Vektor AB → huruf miring • Vektor �̅� → tanda 𝒃𝒂𝒓̅̅ ̅̅ ̅̅ (garis atas) • Vektor 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ → tanda 𝑏𝑎𝑟̅̅ ̅̅ ̅̅ (garis atas) • Vektor �⃗⃗� → tanda panah • Vektor 𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ → tanda panah

Di buku ini vektor dinotasikan dengan huruf tebal, misal vektor a , vektor b, dst.

3

Penjumlahan dan pengurangan Vektor Kecepatan kapal terkadang dipengaruhi angin dan arus laut, sehingga kecepatan kapal

akan berubah dan arah juga akan berubah. Besar kecepatan kapal setelah dipengaruhi

oleh angin dan arus dinamakan resultan vektor kapal, sehingga resultan vektor adalah

penjumlahan dari vektor kapal, vektor arus, dan vektor angin. Untuk menjumlahkan

vektor dapat menggunakan beberapa metode, yaitu :

❖ Metode segitiga ❖ Metode jajaran genjang

❖ Metode poligon ❖ Metode diagram (grafik)

Dalam pelayaran yang sering digunakan adalah metode diagram, karena kapal yang

berlayar dipengaruhi oleh arah arus dan kecepatan arus, arah kapal dan kecepatan kapal,

kecepatan angin dan arah angin. Sebagai dasar, maka akan dikupas mulai metode segitiga

terlebih dahulu.

Gambar 1.3 Faktor yang berpengaruh pada kecepatan kapal dan arah kapal

arah kapal

Faktor kapalkecepatan

kapal

arah angin

Faktor anginkecepatan

angin

kecepatan arus

Faktor arusarah arus

4

Metode segitiga Dalam metode ini, vektor yang dijumlahkan menggunakan dua garis vektor dan 1 garis

resultan. Misalkan vektor kecepatan kapal adalah a dan vektor kecepatan arus adalah b,

maka dapat digambarkan sebagai berikut.

Gambar 1.4 Vektor kapal dan vektor arus

Vektor a digambar lebih panjang karena kecepatan kapal lebih cepat daripada kecepatan

arus laut, misalkan kecepatan kapal 8 knot dan kecepatan arus 2 knot, sehingga dengan

metode segitiga dapat digambarkan resultan vektor kapal sebagai berikut.

R = a + b

Gambar 1.5 Penjumlahan Vektor

5

Untuk vektor yang memiliki arah kebalikan bertanda negatif, sehingga operasi yang

terjadi adalah pengurangan.

Gambar 1.6 Vektor negatif

Sehingga untuk resultannya

R = a – b

Gambar 1.7 Resultan akhir pengurangan

Metode Poligon Pada metode poligon hampir sama dengan metode segitiga, tetapi jumlah vektornya lebih

dari 2. Misalkan untuk angin dengan vektor a, arus laut dengan vektor b, kapal dengan

vektor c, maka hasil penggambaran sebagai berikut.

Gambar 1.8 Vektor poligon : lebih dari 2 vektor

Hasil penjumlahan dengan metode poligon untuk kapal, angin dan arus laut didapatkan

resultan kapal.

R = a + b + c

6

Gambar 1.9 Resultan hasil penjumlahan

Apabila arah vektor berkebalikan maka vektor bernilai negatif, sehingga gambar menjadi

berikut.

Gambar 1.10 Vektor poligon arah kebalikan

Contoh 1.1

Tentukan gambar resultan untuk arah kebalikan pada arus dan angin sedangkan arah

kapal tetap!

Penyelesaian:

R = -a + (-b) + c = -a –b +c

Gambar 1.11Resultan Vektor Poligon

7

Tugas 1 1. Tentukan resultan dari gambar berikut, jika d = a + b - c !

2. Sebagaimana soal nomor 1, tentukan hasil gambar jika e = - a + b - c

3. Sebuah kapal berangkat dari posisi 6o 23’12’’ N / 108o 32’48’’ E menuju

38o 32’19’’ N / 162o 02’14’’ E, tentukan gambar vektor kapal !

4. Sebuah kapal berada 58o dengan jarak 20 mil dari dermaga , tentukan

posisi dermaga dari kapal !

Metode jajaran genjang Metode Jajaran genjang sebagai salah satu penyelesaian 2 vektor yang bermula dari titik

pangkal yang sama. Penyelesaian vektor ini dapat menggunakan rumus:

R = √𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝟐.𝒂. 𝒃. 𝑪𝒐𝒔𝜽

Contoh 1.2.

Sebuah kapal bergerak 12 knot menuju arah utara dan arus laut bergerak 3 knot ke arah

barat laut. Tentukan resultan kecepatan kapal !

Penyelesaian :

Gambar 1.12 arah Resultan dari arus dan kapal

8

R = √𝑣𝑎𝑟𝑢𝑠2 + 𝑣𝑘𝑎𝑝𝑎𝑙

2 + 2. 𝑣𝑎𝑟𝑢𝑠. 𝑣𝑘𝑎𝑝𝑎𝑙. 𝐶𝑜𝑠𝜃

R = √32 + 122 + 2.3.12. 𝐶𝑜𝑠 45

R = √9 + 144 + 50,91

R = √203,91

R = 14,3 knot

Tugas 2

1. Buktikan bahwa rumus resultan 2 vektor tidak bertentangan dengan

dalil phytagoras !

2. Kapal bergerak dengan kecepatan 9 knot dengan arah 150o, apabila

terkena arus dengan arah 270o dengan kecepatan 2 knot, tentukan

kecepatan kapal!

3. Kapal ke arah selatan dengan kecepatan 14 knot terkena arus 3 knot ke

arah barat, tentukan kecepatan kapal

4. Sebuah kapal dengan kecepatan 10 knot ke arah timur terkena

gelombang laut dengan arah timur laut berkecepatan 3 knot,tentukan

nilai kecepatan akhir kapal !

Metode komponen vektor Yang menjadi kelemahan dalam metode jajaran genjang adalah tidak mampu

menghitung apabila vektor lebih dari 2, sehingga untuk 3, 4, 5 vektor dan seterusnya

tidak dapat diselesaikan dengan metode tersebut. Adapun untuk menyelesaikan

permasalahan tersebut adalah dengan metode komponen vektor.

Dasar penetapan komponen vektor berdasarkan sifat proyeksi vektor terhadap sumbu X

dan sumbu Y pada diagram kartesius, sehingga untuk penetapan komponen vektor

berdasarkan gambar berikut.

9

Gambar 1.13 Penetapan komponen vektor

Vektor V diproyeksikan pada sumbu x dan sumbu y, sehingga dapat ditentukan nilai

komponen vektor Vx dan komponen vektor Vy.

Vx = V.cos Ɵ

Vy = V.sin Ɵ

Contoh 1.3

Sebuah kapal bergerak menuju arah utara dengan kecepatan 10 knot, kemudian terkena

arus sebesar 2 knot dengan arah 70o serta arah angin sebesar 4 knot dengan arah 60o.

Tentukan kecepatan akhir kapal !

Penyelesaian :

Gambar 1.14 Komponen Vektor

10

Adapun tabel perhitungan sebagai berikut.

Tabel 1.2 Komponen Vektor

Kecepatan Sumbu X Sumbu Y

V1 = 10 knot

Ɵ = 90o

10 cos 90

= 0 Knot

10 sin 90

= 10 knot V2 = 4 knot

Ɵ = 60o

4 cos 60

= 2 knot

4 sin 60

= 3,46 knot V3 = 2 knot

Ɵ = 70o

2 cos 70

= 0,68 knot

2 sin 70

= 1,87 knot Total ∑𝑉𝑥 = 2,68knot ∑𝑉𝑦 = 15,55 knot

Menghitung nilai resultan

R = √𝑉𝑥2 + 𝑉𝑦

2

R = √2,682 + 15,552

R = √7,18 + 241,8

R = √248,9

R = 15,8 knot

Vektor Kecepatan dan Percepatan

Kecepatan dan percepatan adalah sebuah besaran vektor yang memiliki arah dan

nilai. Pada pelayaran vektor kecepatan dapat diamati pada kecepatan kapal, kecepatan

arus dan kecepatan angin, sehingga ketiga vektor ini harus diperhatikan. Kecepatan kapal

dalam knot atau millaut/jam. Vektor kecepatan digambarkan dengan sebuah garis vektor

yang arahnya tergantung pada setiap arah arus, kapal dan angin. Sehingga ketiga vektor

kecepatan tersebut dapat diselesaikan dengan metode komponen vektor. Adapun

kecepatan dirumuskan sebagai berikut.

𝒗 =∆𝒔

∆𝒕

Keterangan : v = kecepatan (knot)

11

S = jarak tempuh (millaut)

T = waktu tempuh (jam)

Vektor percepatan hanya berkaitan dengan kecepatan kapal yang berubah setiap

satuan waktu, sehingga dapat dirumuskan.

a = ∆𝒗

∆𝒕

dengan : a = percepatan kapal (knot/jam)

v = kecepatan kapal (knot)

t = waktu tempuh (jam)

Contoh 1.4

1. Sebuah kapal bergerak dengan kecepatan 8 knot, 5 menit kemudian

kecepatannya menjadi 10 knot, tentukan percepatan yang diberikan pada kapal!

Penyelesaian:

V1 = 8 knot

V2 = 10 knot

T = 5 menit = 0,083 jam

a = ∆𝒗

∆𝒕=

𝟏𝟎−𝟖

𝟎,𝟎𝟖𝟑=

𝟐

𝟎,𝟎𝟖𝟑= 𝟐𝟒

𝒌𝒏𝒐𝒕

𝒋𝒂𝒎𝟐

Tugas 3

1. Dua buah kapal bergerak saling mendekati, jika kapal A kecepatannya 8 knot

dan kapal B kecepatannya 6 knot, sedangkan jarak kedua kapal 10 mil, tentukan

lama waktu yang dibutuhkan agar kedua kapal bertemu!

2. Dua buah kapal bergerak searah, jika kapal A kecepatannya 8 knot dan kapal B

mengejarnya kecepatannya 12 knot, sedangkan jarak kedua kapal 20 mil,

tentukan lama waktu yang dibutuhkan agar kedua kapal bertemu!

12

3. Sebuah kapal bergerak dari pelabuhan A dengan posisi 6o 23’12’’ N / 108o 32’48’’

E menuju pelabuhan B dengan posisi 38o 32’19’’ N / 162o 02’14’’ E, , jika

kecepatan rata-rata kapal 10 knot dan kapal berangkat pada tanggal 2 Agustus 2018

pada pukul 18.00, tentukan waktu tiba kapal !

4 knot, tentukan kecepatan kapal akhir!

4. Sebuah kapal menyeberang sungai dengan jarak 200 m bergerak dari dermaga A

menuju dermaga B. jika kecepatan kapal 8 knot dan air sungai 2 knot, tentukan

kecepatan akhir dan arah haluan kapal sehingga kapal tepat sampai di dermaga B!

5. Sebuah kapal bergerak ke arah utara dengan

kecepatan 12 knot, terkena angin dengan

kecepatan 2 knot ke arah timur laut dan

arah arus laut ke arah 30o dengan kecepatan

13

Rangkuman 1. Penyelesaian 2 vektor untuk mendapatkan resultan dapat menggunakan rumus

resultan.

R = √𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝟐.𝒂. 𝒃. 𝑪𝒐𝒔𝜽

2. Penyelesaian 2 vektor atau lebih dapat menggunakan metode komponen vektor

Vx = V.cos Ɵ

Vy = V.sin Ɵ

Menghitung nilai resultan

R= √𝑽𝒙𝟐 + 𝑽𝒚

𝟐

3. Menentukan kecepatan kapal dengan persamaan

𝑣 =∆𝑠

∆𝑡

Keterangan : v = kecepatan (knot) S = jarak tempuh (millaut)

T = waktu tempuh (jam)

4. Menentukan percepatan kapal dengan persamaan

a = ∆𝒗

∆𝒕

dengan : a = percepatan kapal (knot/jam)

v = kecepatan kapal (knot)

t = waktu tempuh (jam)

Simulasi Link simulasi 1

Link simulasi 2

14

LINGKARAN, PARABOLA, ELLIPS

DAN HIPERBOLA

Definisi Lingkaran Lingkaran merupakan kumpulan titik dengan radius (jarak) yang sama. Lingkaran

merupakan bentuk geometri yang dapat digambarkan dalam koordinat kartesius

sehingga didapatkan persamaan lingkaran yang menggunakan aturan tangensial.

Persamaan lingkaran pada pusat koordinat Lingkaran yang digambarkan pada koordinat kartesius dapat diletakkan pusatnya pada

pusat koordinat sebagai berikut.

Gambar 2.1 Lingkaran Pada Pusat Koordinat

Deskripsi Mata Kuliah : (alokasi waktu : 3 x 2 JP)

1. Pembahasan lingkaran, parabola, ellips dan hiperbola berkaitan dengan

penentuan titik fokus (lokus), titik puncak, sumbu simetri, garis asimtot, dan

penentuan persamaan serta ekstraksi persamaan hingga didapatkan

informasi yang tepat dan akurat dari persamaan lingkaran, parabola, ellips

dan hiperbola

2. Pembahasan vektor juga memuat aplikasi perhitungan posisi pada radar

15

Dari gambar di atas jarak setiap titik pada keliling lingkaran adalah sama, yaitu 5 satuan.

Artinya pada setiap titik apabila kita mengambil jarak dari pusat koordinat dan ditarik

pada sisi keliling akan didapatkan jarak OP = 5. Jika dilihat dari sudut pandang segitiga,

dimanapun garis OP selalu dapat disebut sisi miring dari segitiga (hypotenuse). Sehingga

persamaan phytagoras berlaku pada persamaan lingkaran, yaitu:

𝑶𝑷𝟐 = 𝑶𝑵𝟐 + 𝑷𝑵𝟐

Dengan persamaan tersebut didapatkan nilai ON = x dan PN = y. Dengan mengadopsi

persamaan diatas didapatkan nilai

𝟓𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 atau

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟐𝟓

Persamaan diatas dapat berlaku untuk segala titik yang disekitar keliling lingkaran,

misalkan kita mengambil sebuah titik Q (x1 , y1), maka dengan kuadran yang berbeda

dapat ditentukan persamaan lingkaran sebagai berikut.

Gambar 2.2 Titik A pada setiap kuadran

Titik Q pada kuadran II dapat kita proyeksikan pada sumbu x, sehingga didapatkan

segitiga QNO berlaku persamaan phytagoras.

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟐𝟓

Sehingga persamaan lingkaran yang berpusat pada titik pusat koordinat kartesius adalah:

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒓𝟐

16

Persamaan umum lingkaran pada koordinat kartesius Lingkaran yang digambarkan pada koordinat kartesius dapat diletakkan pusatnya pada

setiap titik di koordinat tersebut, sehingga pusat lingkaran dapat juga berubah-ubah.

Gambar 2.3 Posisi lingkaran pada sembarang titik

Untuk persamaan lingkaran pada sembarang titik seperti gambar di atas, bahwa titik

C(a,b) dengan jari-jari r. Jika P diproyeksikan pada sumbu X maka panjang titik N

dimulai dari pusat koordinat adalah x, sedangkan P diproyeksikan pada sumbu Y maka

didapatkan panjangnya adalah y. Sehingga panjang CN = x-a sedangkan panjang PN=y-

b dan CP = r atau jari-jari. Apabila dimasukkan dalam rumus phytagoras didapatkan.

𝑪𝑷𝟐 = 𝑪𝑵𝟐 + 𝑷𝑵𝟐

𝒓𝟐 = (𝒙 − 𝒂)𝟐 + (𝒚 − 𝒃)𝟐

Dapat dijabarkan sebagai berikut.

𝒓𝟐 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒂𝒙 + 𝒂𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒃𝒚 + 𝒃𝟐

Atau

𝒙𝟐 − 𝟐𝒂𝒙 + 𝒂𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒃𝒚 + 𝒃𝟐 − 𝒓𝟐 = 𝟎

Jika –a = m dan –b = n, maka

𝒙𝟐 + 𝟐𝒎𝒙 + 𝒎𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟐𝒏𝒚 + 𝒏𝟐 − 𝒓𝟐 = 𝟎

Jika 𝐦𝟐 + 𝐧𝟐 − 𝐫𝟐 kita sebut sebagai c, atau 𝐜 = 𝐦𝟐 + 𝐧𝟐 − 𝐫𝟐 maka

𝒙𝟐 + 𝟐𝒎𝒙 + 𝒚𝟐 + 𝟐𝒏𝒚 + 𝒄 = 𝟎

17

Persamaan di atas adalah persamaan umum lingkaran di sembarang titik yang berpusat

di (a,b) atau (-m, -n). Dengan 𝑐 = 𝑚2 + 𝑛2 − 𝑟2 atau

𝒓𝟐 = 𝒎𝟐 + 𝒏𝟐 − 𝒄

𝒓 = √𝒎𝟐 + 𝒏𝟐 − 𝒄

Contoh 2.1.

Tentukan jari-jari dan pusat lingkaran pada persamaan berikut.

x2 – 6x + y2 – 10y + 18 = 0

Penyelesaian

Pada persamaan di atas kita bandingkan dengan persamaan umum lingkaran yang

berpusat di (a,b) Dengan –a = m dan –b = n

𝒙𝟐 + 𝟐𝒎𝒙 + 𝒚𝟐 + 𝟐𝒏𝒚 + 𝒄 = 𝟎 Didapatkan

2mx = -6x → m = -3 → a = 3

2ny = -10y → n = -5 → b = 5

Jari – jari lingkaran

𝑟 = √𝑚2 + 𝑛2 − 𝑐

𝑟 = √(−3)2 + (5)2 − 18

𝑟 = √9 + 25 − 18

𝑟 = √16

𝑟 = 4

Tugas 1

1. Tentukan pusat lingkaran dan diameter untuk persamaan x2+ y2 = 64

2. Tentukan persamaan lingkaran yang memiliki titik pusat di (-2, 4) dan diameter

6 cm

3. Tentukan jari-jari dan titik pusat lingakaran yang memiliki persamaan

x2+ 6x +9 + y2+1-2y-36 = 0

4. Tentukan persamaan lingkaran, jari-jari dan titik pusat pada persamaan

45 - (x -5)2 - y2 + 4y = 0

Pusat lingkaran = (3,5)

18

Persamaan garis singgung lingkaran Sebuah garis lurus menyinggung keliling lingkaran sehingga dinamakan garis singgung.

Sebuah lingkaran dengan persamaan x2 + 4x + y2 + 6y – 87 = 0 disinggung dengan sebuah

garis pada titik (4, -11). Untuk membuktikan apakah memang ada garis yang

menyinggun pada titik tersebut, maka harus disubtitusikan titik (4, -11) pada persamaan

x2 + 4x + y2 + 6y – 87 = 0, apabila memang hasilnya 0, maka benar ada garis yang

menyinggung pada lingkaran.

Subtitusi (4, -11) pada → x2 + 4x + y2 + 6y – 87 = 0

(4)2 + 4(4) + (-11)2 + 6(-11) – 87 = 0

16 + 16 + 121 – 66 – 87 = 0

0 = 0

Sehingga dapat digambarkan

Gambar 2.4 Garis singgung lingkaran

Adapun untuk mengetahui garis tersebut memotong pada sumbu kartesius pada titik

tertentu harus diketahui dengan menghitung kemiringan garis jari-jari lingkaran pada

titik (4, -11) dengan menggunakan gradien, dimana

𝒎 =𝒚𝟐 − 𝒚𝟏

𝒙𝟐 − 𝒙𝟏

Dari gambar diketahui 2 titik, yaitu (-2, -3) sebagai (x1; y1) dan (4, -11) sebagai (x2; y2)

dengan demikian gradien jari-jari lingkaran didapatkan

𝒎 =𝒚𝟐 − 𝒚𝟏

𝒙𝟐 − 𝒙𝟏=

−𝟏𝟏 − (−𝟑)

𝟒 − (−𝟐)=

−𝟖

𝟔

19

Untuk kemiringan garis singgung karena tegak lurus dengan jari-jari lingkaran, maka

didapatkan

𝒎𝟏 × 𝒎𝟐 = −𝟏 −𝟖

𝟔 × 𝒎𝟐 = −𝟏

𝒎𝟐 = 𝟔

𝟖

Adapun titik singgung pada (4, -11) dengan gradien 𝑚2 =6

8 dapat ditentukan

persamaan garis singgungnya dengan persamaan berikut

𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏)

didapatkan

y-(-11) = 6

8 (x – 4)

y + 11 = 6

8 (x – 4)

y = 6

8 (x – 4) – 11

y = 6

8 x - 3 – 11

y = 6

8 x – 14

Tugas 2

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat pada pusat sumbu kartesius yang

bersinggungan dengan garis lurus pada titk (3, 4), serta tentukan persamaan

garis singgungnya !

2. Tentukan persamaan garis lurus yang menyinggung lingkaran dengan

persamaan 2x2 + 16x + 2y2 – 20 y – 108 = 0 pada titik (2, 13) !

20

Aplikasi lingkaran pada pelayaran dapat dilihat

dari penggunaan radar sebagai berikut.

Gambar 2.5 Tampilan Radar dapat dibaca sebagai

kumpulan lingkaran dengan jari-jari (radius) kelipatan

1 mil. Gambar tersebut memuat lingkaran dengan radius

capaian deteksi 1 mil, 2 mil, 3 mil, 4 mil. Posisi kapal pada

35o 34’.1 N / 135o19’.6 E. Apabila ia mendeteksi kapal

pada jarak 2 mil dan pada arah 50o dapat digambarkan

sebagai berikut.

Gambar 2.5 Tampilan RADAR

Fungsi RADAR antara lain:

1. Penentuan posisi kapal (fix position)

2. Menentukan ada/tidaknya tubrukan kapal

3. Memandu keluar-masuk pelabuhan atau

perairan sempit

4. Memprediksi adanya hujan (awan rendah)

dengan teknik plotting

Aplikasi Lingkaran pada Pelayaran

Gambar 2.6 Tampilan Posisi pada RADAR

21

Simulasi Link penggunaan RADAR

Contoh 2.2

Jika sebuah kapal pada posisi 35o 34’.1 N / 135o19’.6 E mendeteksi kapal asing dengan

radar pada jarak 2 mil dan posisi 50o, tentukan posisi kapal asing tersebut !

Penyelesaian

Untuk mendapatkan posisi kapal asing tersebut dapat menggunakan perbandingan sisi

segitiga sebagai berikut !

Gambar 2.7 Posisi kapal asing dalam bentuk proyeksi sumbu x dan y

x = radius x cos 40o = 2mil x 0,766 = 1, 532 mil

y = radius x sin 40o = 2mil x 0,64 = 1, 285 mil

Posisi kapal asing tersebut adalah

35o 34’.1 + 1’.3N / 135o19’.6 + 1’.5 E = 35o 35’.4 N / 135o21’.1 E

Tugas 3

1. Sebuah kapal asing terdeteksi pada posisi 74o dan jarak 3 mil. Jika posisi kapal

pendeteksi 13o42’.4 N / 112o 34’.3 E , tentukan posisi kapal asing tersebut !

2. Sebuah kapal pada posisi 17o12’.2 N / 97o 24’.1 E mendeteksi kapal asing pada

posisi 17o13’.6 N / 97o 25’.5 E, tentukan jarak dan posisi kapal pada radar !

22

PARABOLA Parabola dalam perhitungan matematika masuk dalam pembahasan persamaan kuadrat.

Persamaan kuadrat memiliki persamaan umum

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎

Dengan a dan b sebagai koefisien serta c sebagai konstanta. Adapun penyelesaian

persamaan kuadrat dalam bab ini hanya menggunakan 2 metode, yaitu pemfaktoran dan

rumus abc sebagai solusi praktis pada penyelesaian persamaan kuadrat.

Pemfaktoran 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 dapat difaktorkan menjadi

(x + m) (x + n) dengan m x n = c dan m + n = b

Rumus abc untuk mendapatkan akar-akar persamaan sebagai berikut.

𝒙𝟏𝟐 =−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄

𝟐𝒂

Titik tengah atau sumbu simetri parabola menggunakan rumus

𝒙 =−𝒃

𝟐𝒂

Titik Puncak dengan memasukkan nilai sumbu simetri pada persamaan kuadrat

Contoh 2.3

Tentukan solusi persamaan kuadrat f(x) = x2 – x – 6 serta gambar paraboliknya !

Penyelesaian

Akar persamaan kuadrat hanya bisa didapatkan dengan syarat f(x) = 0, sehingga

x2 – x – 6 = 0

(x – 3) (x + 2) = 0

x – 3 = 0 atau x + 2 = 0

x = 3 x = -2

sehingga solusi akar persamaan kuadratnya adalah (3, -2)

23

adapun sumbu simetrinya 𝑥 =−𝑏

2𝑎=

−(−1)

2(1)=

1

2

titik puncak parabola didapatkan dengan mensubtitusikan sumbu simetri = ½ kedalam

persamaan f(x) = x2 – x – 6 , didapatkan

f(1/2) = ( ½ )2 – ½ - 6 = – 6,25

adapun gambar grafik parabolik sebagai berikut

Gambar 2.8 Grafik parabolik

Tugas 4

1. Buatlah grafik parabola dari persamaan f(x) = x2 – 7x – 10 !

2. Tentukan sumbu simetri dan titik puncak kurva f(x) = x2 – 3x – 10

24

ELLIPS Ellips merupakan kurva tertutup sebagaimana lingkaran. Adapun proses pembentukan

persamaan ellips dapat menggunakan bantuan persamaan lingkaran yang berpusat pada

pusat koordinat kartesius.

Gambar 2.9 Proses Pembuatan ellips

Pada gambar di atas adalah lingkaran dengan jari-jari =1 dan berpusat pada (0,0).

Sedangkan ellips memiliki sumbu mayor (-a, a) dan sumbu minor (-b,b). Pada persamaan

lingkaran yang berpusat pada (0,0) dengan jari-jari = 1 didapatkan

𝑥2 + 𝑦2 = 1

Sedangkan untuk sebuah ellips memiliki persamaan

𝑥2

𝑎2+

𝑦2

𝑏2= 1

Sebagai pembuktian, jika panjang a = 1 dan b = 1, maka jika disubtitusikan dalam

persamaan ellips, akan didapatkan kembali persamaan lingkaran

𝑥2

12 +𝑦2

12 = 1 atau 𝑥2 + 𝑦2 = 1

Koordinat titik fokus dapat menggunakan rumus c2 = a2 – b2

25

Untuk membuat sebuah ellips dapat dilihat dengan animasi berikut. Dengan

menggunakan dengan dua bua paku berwarna hijau dan sebuah tali yang diikatkan pada

kedua paku tersebut, maka dapat dibentuk sebuah ellips.

Simulasi Link pembuatan ellips

Istilah yang digunakan dalam ellips

Gambar 2.10 Bagian ellips

Dari gambar di atas didapatkan:

1. Pusat di (h,k)

2. Puncak di (h+a, k) dan (h-a, k)

3. Fokus di (h+c, k) dan (h-c, k)

Tabel 2.1 Notasi yang digunakan di ellips

Simbol/notasi Keterangan

Af1 + Af2 = k Total 2 garis antara fokus dengan salah satu titik keliling

sebesar bilangan konstan

f1 dan f2 Fokus ellips

2m Jarak antar fokus

ab Sumbu mayor

cd Sumbu minor

LL Latus rektum = 𝟐𝒄𝒌𝟐

𝒂𝒉

26

Persamaan ellips pada sembarang titik

(𝒙 − 𝒉)𝟐

𝒂𝒉𝟐+

(𝒚 − 𝒌)𝟐

𝒄𝒌𝟐= 𝟏 𝒂𝒕𝒂𝒖

(𝒙 − 𝒉)𝟐

𝒂𝟐+

(𝒚 − 𝒌)𝟐

𝒃𝟐= 𝟏

Contoh 2.4

Tentukan titik pusat, titik puncak, panjang sumbu mayor, panjang sumbu minor dan

fokus dari dari persamaan ellips berikut!

𝑥2

16+

𝑦2

4= 1

Penyelesaian

Berdasarkan persamaan tersebut dapat diuraikan:

a. Titik pusat = (0,0)

b. Titik fokus = c2 = a2 – b2 = 16 – 4 = 12 ➔ c = ±√12

→ (√12, 0)𝑑𝑎𝑛 (−√12, 0)

c. Titik Puncak = (4,0) , (-4,0) , (0,2) , (0, -2)

d. Panjang sumbu mayor = 8

e. Panjang sumbu minor = 4

Contoh 2.5

Tentukan persamaan ellips yang puncaknya (0,9) dan (0,-9) serta fokusnya (0,7) dan

(0,-7) !

Penyelesaian

Diketahui a = 9, c = 7

c2 = a2 – b2 → b2 = a2 – c2 = 81 – 49 = 32

Persamaan ellips 𝑥2

𝑏2 +𝑦2

𝑎2 = 1 menjadi 𝑥2

32+

𝑦2

81= 1

27

Contoh 2.6

Tentukan koordinat titik pusat, puncak, fokus, panjang sumbu mayor dan minor serta

gambarkan bentuk ellipsnya pada persamaan berikut !

4x2 – 32x + 9y2 + 36y + 64 = 0

Penyelesaian

Persamaan 4x2 – 32x + 9y2 + 36y + 64 = 0

Kita ubah dalam bentuk baku

(𝑥 − ℎ)2

𝑎2 +(𝑦 − 𝑘)2

𝑏2 = 1

Sehingga

4x2 – 32x + 9y2 + 36y + 64 = 0

4x2 – 32x + 9y2 + 36y = -64

4 (x2 – 8x) + 9 (y2 + 4y) = -64

4 (x2 – 8x + 16) + 9 (y2 + 4y + 4) = -64 + 64 + 36

4 (x – 4)2 + 9 (y + 2)2 = 36

(𝑥−4)2

9+

(𝑦+2)2

4= 1

Berdasarkan persamaan tersebut, maka didapatkan

• a = 3 , b = 2 dan c = ±√5

• Pusat di (4 , - 2)

• Titik puncak : (7, -2) dan (1, -2)

• Fokus di (4+√5 , - 2) dan (4-√5 , - 2)

• Panjang sumbu mayor = 6 dan panjang sumbu minor = 4

• Gambar ellips :

Gambar 2.11 Ellips berpusat di (4, -2)

28

Tugas 5

1. Tentukan titik puncak, titik fokus, sumbu minor dan mayor pada persamaan

berikut !

a. 𝑥2

64+

𝑦2

16= 1

b. 𝑥2

9+

𝑦2

81= 1

c. (𝑥−2)2

36+

(𝑦−5)2

25= 1

2. Tentukan persamaan ellips dari Titik fokus di (9, 0) dan (-9, 0), serta panjang

sumbu mayor = 24

HIPERBOLA Hiperbola merupakan kumpulan titik-titik yang selisih jarak terhadap 2 titik selalu sama.

Untuk membuat hiperbola mirip dengan membuat ellips dengan bantuan benang,

adapun teknik menggambar hiperbola sebagai berikut.

Simulasi Link menggambar hiperbola

Gambar 2.12 Hiperbola berpusat di (0,0)

Keterangan :

• Persamaan hiperbola berpusat di (0,0) dinyatakan sebagai

𝒙𝟐

𝒂𝟐−

𝒚𝟐

𝒃𝟐= 𝟏

29

• Latus Rektum atau tali busur yang melewati titik fokus dan tegak lurus dengan

sumbu x dinyatakan dengan rumus

𝑳 = 𝟐𝒃𝟐

𝒂

• Asimtot atau garis pemisah yang membatasi kurva hiperbola sehingga tidak

memotong garis tersebut dinyatakan dengan rumus

𝒚 = ±𝒃

𝒂𝒙

• Untuk persamaan fokus dinyatakan dengan c2 = a2 + b2

Contoh 2.7

Tentukan koordinat titik puncak, titik fokus, panjang sumbu mayor, panjang sumbu

minor, panjang latus rektum, dan buatlah grafik hiperboliknya dari persamaan

berikut !

𝒙𝟐

𝟐𝟓−

𝒚𝟐

𝟏𝟔= 𝟏

Penyelesaian

Berdasarkan persamaan di atas didapatkan :

• a = 5 dan b = 4, sehingga c2 = 25 + 16 = 41 → c = ±√41 = ±6,4

• Koordinat titik puncak = (5, 0) dan (-5, 0)

• Koordinat titik fokus = (√41, 0) dan = (−√41, 0)

• Panjang sumbu mayor = 10

• Panjang sumbu minor = 8

• Persamaan asimtot = y = ±4

5𝑥

• Panjang latus rektum = L = 2.42

5=

32

5= 6,4

30

Gambar 2. 13 Kurva Hiperbolik

Hiperbola berpusat di (h,k) Hiperbola yang berpusat disembarang titik atau di (h,k) memiliki kesamaan dengan

penentuan persamaan di ellips. Adapun persamaan hiperbola yang berpusat di (h,k)

adalah sebagai berikut.

(𝒙 − 𝒉)𝟐

𝒂𝟐−

(𝒚 − 𝒌)𝟐

𝒃𝟐= 𝟏

Untuk posisi hiperbola seperti gambar berikut.

Gambar 2.14 Kurva Hiperbolik berpusat di (h,k)

31

Keterangan :

• Pusat hiperbolik pada (h,k)

• Puncak hiperbolik pada (h + a, k) dan (h-a, k)

• Fokus hiperbolik pada (h+c, k) dan (h-c, k)

Contoh 2.8

Tentukan koordinat titik pusat, puncak, fokus, panjang sumbu mayor dan minor ,

persamaan asimtot, serta gambarkan bentuk kurva hiperbolik pada persamaan

berikut !

(𝑥 − 8)2

16−

(𝑦 + 4)2

9= 1

Penyelesaian

Berdasarkan persamaan tersebut, maka didapatkan :

• a = 4, b = 3 dan c = 5

• Pusat di (8 , - 4)

• Titik puncak : (12, -4) dan (4, -4)

• Fokus di (13 , - 4) dan (3 , - 4)

• Panjang sumbu mayor = 8 dan panjang sumbu minor = 6

• Persamaan asimtot → 𝑦 + 4 =3

4(𝑥 − 8) dan 𝑦 + 4 = −

3

4(𝑥 − 8)

Gambar 15. Kurva Hiperbolik berpusat di (8, -4)

32

Aplikasi Hiperbolik di Pelayaran Pengoperasian LORAN C

Semua stasiun LORAN mengirimkan sinyal dengan frekuensi 100kHz.

Pengiriman sinyal pertama dilakukan oleh master, berikutnya oleh stasiun sekunder

(stasiun sekunde bisa lebih dari 2) misal stasiun sekunder W, stasiun sekunder X, stasiun

sekunder Y, dan stasiun sekunder Z. Pada stasiun master akan mengirimkan 9 sinyal

sedangkan setiap stasiun sekunder mengirimkan 8 sinyal.

Stasiun master mengirimkan sinyal pertama kemudian ditahan selama 1000 μs

dan dilanjutkan pengiriman sinyal kedua, kemudian ditahan 1000 μs dan diulang hingga

pengiriman sinyal ke delapan. Antara sinyal ke delapan dan kesembilan ditahan selama

2000 μs. Setelah stasiun master selesai mengirimkan sinyal, berikutnya sinyal dikirim

melalui stasiun sekunder dengan menunda waktu pengiriman sinyal selama beberapa

detik, penundaan ini dinamakan secondary coding delay (SCD) atau coding delay atau

Beda waktu (Time Different – TD) Stasiun sekunder pertama atau dinamakan stasiun

sekunder W mengirimkan sinyal sebanyak delapan sinyal, kemudian ada coding delay

untuk dilanjutkan oleh stasun sekunder X, dan seterusnya hingga stasiun sekunder Z.

Proses pengiriman sinyal dari master hingga sekunder Z dapat digambarkan sebagai

berikut.

Gambar 2.16 Time Different (TD) atau coding delay

pada stasiun master dan sekunder

33

Total coding delay dari Master hingga sebelum master mengirimkan kembali

sinyal adalah Group Repetition interval (GRI) atau emission delay (ED). Total

waktu yang dibutuhkan dari master untuk mengirimkan sinyal sebelum stasiun

sekunder mengirimkan sinyal disebut baseline travel time (BTT) atau coding

delay pertama atau TDW.

Gambar 2.17 Waktu yang dibutuhkan antara stasiun master dan sekunder

34

Berikut ini adalah contoh bagaimana menentukan posisi sebuah kapal (A) dengan

melihat posisi pemancar master (M) dan pemancar sekunder (X).

Gambar 2.18. Posisi pemancar M dan X serta sebuah kapal

Pada gambar 16 di atas dapat dijelaskan bahwa sebuah pemancar Master (M) dengan

koordinat (x,y)=(-200,0) dan pemancar sekunder (X) dengan koordinat (x,y)=(200,0),

dan sebuah kapal (A) sebagai observer yang menerima pancaran sinyal dari kedua

stasiun, sehingga dapat dicari jarak antara kapal dengan pemancar master (dam) serta

jarak kapal dengan pemancar sekunder (das), sebagai berikut:

𝒅𝒂𝒎 = [(𝒙𝒂 + 𝟐𝟎𝟎)𝟐 + 𝒚𝒂𝟐]𝟎.𝟓

𝒅𝒂𝒔 = [(𝒙𝒂 − 𝟐𝟎𝟎)𝟐 + 𝒚𝒂𝟐]𝟎.𝟓

35

Jika jarak antara pemancar sekunder dengan kapal ingin dipastikan, maka kapal harus

memasukkan koordinatnya. Misalkan posisi kapal (271.9, 200), maka besar jarak antara

kapal dengan pemancar sekunder sebagai berikut:

𝑑𝑎𝑠 = [(𝑥𝑎 − 200)2 + 𝑦𝑎2]0.5

𝑑𝑎𝑠 = [271.9−200)2 + 2002]0.5

𝑑𝑎𝑠 = [(71.9)2 + 2002]0.5

𝑑𝑎𝑠 = [5,169.61 + 40,000]0.5

𝑑𝑎𝑠 = [45,169.1]0.5

𝑑𝑎𝑠 = 212.531 𝑁𝑀

Sedangkan jarak antara kapal (A) dengan pemancar master (M) sebagai berikut:

𝑑𝑎𝑚 = [(𝑥𝑎 + 200)2 + 𝑦𝑎2]0.5

𝑑𝑎𝑚 = [271.9+200)2 + 2002]0.5

𝑑𝑎𝑚 = [(471.9)2 + 2002]0.5

𝑑𝑎𝑚 = [222,689.61 + 40,000]0.5

𝑑𝑎𝑚 = [262,689.61]0.5

𝑑𝑎𝑚 = 512.531 𝑁𝑀

Sehingga dari perhitungan di atas, bisa dicari nilai Z yaitu perbedaan jarak antara dam

dengan das menggunakan rumus:

36

𝑍 = 𝑑𝑎𝑚 − 𝑑𝑎𝑠

𝑍 = [(𝑥𝑎 + 200)2 + 𝑦𝑎2]0.5 − [(𝑥𝑎 − 200)2 + 𝑦𝑎

2]0.5

𝑍 = 512.531 − 212.531

𝑍 = 300 𝑁𝑀

Nilai 300 NM menunjukkan kecnderungan kapal A lebih dekat dengan stasiun pemancar

sekunder (walaupun tanpa melihat gambar 2.3), karena posisi pemancar sekunder berada

di koordinat sumbu x sebesar 200 NM. Apabila kecepatan rambat gelombang

elektromagnetik sebesar 3 x 108 m/s, maka dalam 1 NM atau 1.852 km, waktu yang

dibutuhkan gelombang untuk menempuh jarak 1 NM sebesar:

𝑡 =𝑠

𝑣

𝑡 =1,852 𝑚

300,000,000 𝑚/𝑠= 6.18 × 10−6 𝑠𝑒𝑘𝑜𝑛 atau 6.180 μs

Jika jarak kapal A dengan pemancar Master 512.531 NM, maka waktu yang dibutuhkan

sinyal dari pemancar master untuk mencapai kapal A sebesar 512.531 x 6.180 μs =

3,167.44 μs.

Tugas 6

1. Tentukan titik puncak, titik fokus, sumbu mayor pada persamaan berikut !

a. 𝑥2

64−

𝑦2

25= 1

b. 𝑥2

25−

𝑦2

81= 1

c. (𝑥−5)2

36−

(𝑦−8)2

64= 1

2. Tentukan persamaan hiperbola jika Titik fokus di (10, 0) dan (-10, 0), serta

panjang sumbu mayor = 16

37

Rangkuman 1. Persamaan lingkaran yang berpusat pada titik pusat koordinat kartesius

adalah:

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2

2. Persamaan umum lingkaran yang berpusat di (a,b) dengan nilai –a = m

dan -b = n

𝑥2 + 2𝑚𝑥 + 𝑦2 + 2𝑛𝑦 + 𝑐 = 0

Dengan c = m2 + n2 − r2 atau 𝑟 = √𝑚2 + 𝑛2 − 𝑐

3. Persamaan garis singgung lingkaran

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

Dengan Untuk kemiringan garis singgung karena tegak lurus dengan jari-

jari lingkaran, maka didapatkan

𝑚1 × 𝑚2 = −1

4. Persamaan kuadrat memiliki persamaan umum

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

Untuk solusi persamaan dapat menggunakan rumus abc

𝑥12 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

5. Persamaan umum sebuah ellips yang berpusat pada (0,0)

𝑥2

𝑎2+

𝑦2

𝑏2= 1

6. Persamaan ellips pada sembarang titik

(𝑥 − ℎ)2

𝑎2+

(𝑦 − 𝑘)2

𝑏2= 1

7. Persamaan hiperbola berpusat di (0,0) dinyatakan sebagai

𝑥2

𝑎2−

𝑦2

𝑏2= 1

38

8. Latus Rektum atau tali busur yang melewati titik fokus dan tegak lurus

dengan sumbu x dinyatakan dengan rumus

𝐿 = 2𝑏2

𝑎

9. Asimtot atau garis pemisah yang membatasi kurva hiperbola sehingga tidak

memotong garis tersebut dinyatakan dengan rumus

𝑦 = ±𝑏

𝑎𝑥

10. persamaan hiperbola yang berpusat di (h,k) adalah sebagai berikut.

(𝑥 − ℎ)2

𝑎2−

(𝑦 − 𝑘)2

𝑏2= 1

39

DAFTAR PUSTAKA

Bole, A. G, Dineley. W. O, Nicholls. C. E. 2000. The Navigational Control Manual.

Second Edition. Oxford: Butterworth Heinemann

Spiegel, murray. 1956. . Schaum outline series: Theory and Problems of colledge algebra.

New York: Mc Graw Hill

Banner, Andrian. 2007. The Calculus Livesaver. Oxford: Princenton Univercity Press

Spiegel,Murray. Wrede, Robert. 2010. Schaum Outlines: Advance Calculus. Third

Edition. New York: Mc Graw Hill

Lipschutz, Seymour. Lipson, Marc. 2009. Schaum Outlines: Linier Algebra. Fourth

Edition. New York: Mc Graw Hill

40

GLOSARIUM

Besaran skalar Besaran yang memiliki besar, tetapi tidak memiliki arah disebut

besaran skalar. Contohnya waktu, volume, massa jenis dan suhu.

Besaran vektor besaran yang memiliki nilai dan memiliki arah. Contohbesaran

vektor misalnya kecepatan, percepatan perpindahan,

Coding delay persyaratan logika dalam suatu bahasa pemrograman baik huruf,

angka, dan simbol yang membentuk program dengan mempertimbangkan

penundaan

Ellips irisan kerucut dan dapat didefinisikan sebagai lokus dari semua titik, dalam

satu bidang, yang memiliki jumlah jarak yang sama dari dua titik tetap yang telah

ditentukan sebelumnya (disebut fokus).

Garis singgung lingkaran Garis singgung lingkaran tegak lurus dengan diameter

lingkaran yang melalui titik singgungnya.

Grafik adalah gambaran pasang surutnya suatu keadaan atau data yang ada dengan

garis atau gambar.

Hiperbola tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang perbandingan jaraknya

terhadap suatu titik dan suatu garis selalu tetap.

Kecepatan besaran vektor yang menunjukkan seberapa cepat benda berpindah.

Besar dari vektor ini disebut dengan kelajuan dan dinyatakan dalam satuan meter

per sekon (m/s atau ms−1).

Komponen vektor hasil penguraian suatu vektor menjadi dua vektor yang saling

tegak lurus

Kuadran adalah 1/4 lingkaran. Jadi, dalam satu lingkaran, terdapat empat bagian

atau kuadranyang terbagi oleh 2 sumbu yang berpotongan tegak lurus. Dalam

koordinat cartesius, adalah kuadran I, II, III, dan IV.

41

Kurva suatu objek geometri yang merupakan satu-dimensi dan kontinyu

Lingkaran himpunan semua titik di bidang datar yang berjarak sama dari suatu

titik tetap di bidang tersebut.

Notasi vektor definisi atau penggambaran suatu vektor

Parabola bagian kerucut yang merupakan irisan antara permukaan suatu kerucut

melingkar dengan suatu bidang

Persamaan garis perbandingan antara selisih koordinat y dan koordinat x dari dua

titik yang terletak pada garis itu.

Proyeksi sumbu gambar bayangan suatu benda yang berasal dari benda atau

imajiner yang dituangkan dalam bidang gambar menurut cara-cara tertentu

Pusat koordinat bidang koordinat yang dibentuk oleh garis tegak Y (sumbu Y)

dan garis mendatar X (sumbu X). Titik perpotongan antara garis Y dan garis X

disebut pusat Koordinat (titik O).

RADAR atau Radio Detection and Ranging, yang berarti deteksi dan penjarakan

radio) adalah suatu sistem gelombang elektromagnetik yang berguna untuk

mendeteksi, mengukur jarak dan membuat map benda-benda seperti pesawat

terbang, kapal

Resultan suatu gaya yang berkerja pada suatu obyek, yang merupakan hasil

penjumlahan dari gaya-gaya yang bekerja pada benda tersebut

Stasiun master stasiun pemancar utama yang sebagai sumber sinyal

Stasiun sekunder stasiun relay atau penerus dari sinyal stasiun master

Time different (td) waktu beda pada sebuah pancaran sinyal setiap kali sinyal

ditembakkan

42

INDEX

A

Arah resultan 8

Aplikasi

hiperbolik pada pelayaran 32

lingkaran pada pelayaran 20

Arah kapal 3

B

Bagian ellips 25

Besaran

Besaran scalar 2

Besaran vektor 2, 11

C

Coding delay 33, 34

E

Ellips 24, 25

G

Garis singgung lingkaran 18, 19, 38

Grafik parabolik 23

H

Hiperbola 29, 30, 31

Hiperbola berpusat di (0,0) 29, 31, 38

Hiperbola berpusat di (h,k) 31, 39

K

43

Kecepatan 2, 3 ,4, 8, 11

Komponen vektor 9, 10, 11

Kuadran 15

Kurva

Kurva hiperbolik 30, 31, 32

Kurva hiperbolik berpusat di (h, k) 31

L

Link

Ellips 25

Hiperbola 29

RADAR 20

Vektor 13

Lingkaran 14, 15, 16

pada sembarang titik 17

M

Metode

jajaran genjang 3, 8, 9

komponen vektor 9, 11

polygon 3, 5, 6

segitiga 3, 4, 5

N

Notasi vektor 2

P

Parabola 22, 23

Perhitungan

Pengurangan vektor 3

Penjumlahan vektor 3

Persamaan

Persamaan garis singgung lingkaran 18, 19

44

Persamaan lingkaran pada pusat koordinat 14

Persamaan umum lingkaran pada koordinat

kartesius 14, 16

Proses pembuatan ellips 24

Proyeksi sumbu x dan y 9, 15, 16, 21

Pusat koordinat 14, 15,16, 24

R

RADAR 20, 21

Rangkuman 13, 38

Resultan 3, 4, 5

Resultan hasil penjumlahan 6

Resultan vektor poligon 7

Rute kapal 1

S

Stasiun

master 33, 34

sekunder 33, 34

T

Time different (td) 33, 34

V

Vektor

Vektor arus 3, 4

Vektor kapal 3, 4, 7

Vektor kecepatan dan percepatan 11

Vektor negatif 5

Vektor poligon 5, 6, 7

Vektor poligon arah kebalikan 5, 6

45