01/10/13 1

Disusun Oleh :hasan abDul ChOlil(a410090012)

^ Relasi & Fungsi ^

Materi :RELASI (pengertian)Menyatakan Relasi

FUNGSI (pengertian)Notasi fungsi

Banyak pemetaan 2 himp.Merumuskan Fungsi

Pendahuluan :

Standar kompetensi

Kompetensi dasarIndikator

STANDAR KOMPETENSI

MEMAHAMI BENTUK ALJABAR,

RELASI, FUNGSI DAN PERSAMAAN

GARIS LURUS

Kompetensi Dasar

Memahami Fungsi & Relas i

inDiKaTOR

Menjelaskan dengan kata-kata dan menyatakan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan relasi dan fungsi

Menyatakan suatu fungsi dengan notasi

A. A. RELASIRELASIDiketahui A={ Ayu, Diketahui A={ Ayu, Bayu, Cindy, Bayu, Cindy, Doni } dan B Doni } dan B = { Buku tulis, = { Buku tulis, Pensil, Pensil, Penggaris} . Jika himpunan Penggaris} . Jika himpunan A ke himpunan B A ke himpunan B dinyatakan relasi “ membeli dinyatakan relasi “ membeli “ , maka lebih jelasnya “ , maka lebih jelasnya dapat ditunjukkan pada dapat ditunjukkan pada gambar di bawah :gambar di bawah :

01/10/13 6

01/10/13 7

Diagram disamping dinamakan diagram panah . Arah relasi ditunjukkan dengan anak panah dan nama relasinya adalah

“ membeli“

A .B .C .D .

.1 .2 .3

BA

membeli

Pengertian Relasi:Pengertian Relasi: Relasi ( hubungan ) dari himpunan Relasi ( hubungan ) dari himpunan

A ke B adalah pemasangan A ke B adalah pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B.anggota-anggota B.

Relasi dalam matematika misalnya : lebih dari , kurang dari , setengah dari , faktor dari , dan sebagainya .

01/10/13 8

01/10/13 9

Menyatakan Relasi

Relasi antara dua himpunan dapat

dinyatakan dengan 3 cara , yaitu : Diagram

Panah , Diagram Cartesius , dan Himpunan pasangan

berurutan .

01/10/13 10

Contoh :

Jika Anto suka sepakbola , Andi suka voli dan bulutangkis serta Budi dan Badri suka basket dan sepakbola . Buatlah Diagram Panah keadaan tersebut apabila A adalah himpunan anak dan B adalah himpunan olahraga .

01/10/13 11

BA

. Voli

. Basket

. Bulutangkis

. Sepakbola

Anto .

Andi .

Budi .

Badri .

Suka akan

2. Diketahui P = { 1, 2, 3, 4 } dan 2. Diketahui P = { 1, 2, 3, 4 } dan Q = { 2, 4, 6, 8 } . Gambarlah diagram Q = { 2, 4, 6, 8 } . Gambarlah diagram panah yang menyatakan relasi dari P panah yang menyatakan relasi dari P dan Q dengan hubungan : dan Q dengan hubungan : a. Setengah dari a. Setengah dari b. Faktor dari b. Faktor dari Jawab : a. Jawab : a.

01/10/13 12

1

. 2

. 4

. 6

. 8

1 .

2 .

3 .

4 .

QPSetengah dari

b.b.

01/10/13 13

. 2

. 4

. 6

. 8

1 .

2 .

3 .

4 .

QP Faktor dari

b. Diagram Cartesiusb. Diagram Cartesius

Contoh :Contoh :

Diketahui A = { 1, 2, 3, 4, 5 } danDiketahui A = { 1, 2, 3, 4, 5 } dan

B = { 1, 2, 3, …, 10 }.B = { 1, 2, 3, …, 10 }.

Gambarlah diagram cartesius yang Gambarlah diagram cartesius yang menyatakan relasi A ke B denganmenyatakan relasi A ke B dengan

hubungan : hubungan :

a. Satu lebihnya daria. Satu lebihnya dari

b. Akar kuadrat darib. Akar kuadrat dari

01/10/13 14

Jawab Jawab : : a . Satu lebihnya dari a . Satu lebihnya dari

01/10/13 15

1

1 2 3 4 5 6 7 98 100

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Him

pu

nan

B

Himpunan A

Jawab :Jawab : b. Akar kuadrat dari b. Akar kuadrat dari

01/10/13 16

1

1 2 3 4 5 6 7 98 100

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Him

pu

nan

B

Himpunan A

CC. Himpunan pasangan berurutan. Himpunan pasangan berurutan

17

Contoh :

Himpunan A = { 1, 2, 3, … , 25} dan

B = { 1, 2, 3, … , 10 } .

Tentukan himpunan pasangan berurutan yang menyatakan relasi A ke B dengan hubungan :

a. kuadrat dari

b. dua kali dari

c. Satu kurangnya dari

Jawab : Jawab :

01/10/13

a. { (1,1), (4,2), (9,3),(16,4), (25,5) }a. { (1,1), (4,2), (9,3),(16,4), (25,5) }

b. { (2,1), (4,2), (6,3), (8,4), (10,5), (12,6), b. { (2,1), (4,2), (6,3), (8,4), (10,5), (12,6),

(14,7),(16,8), (18,9),(20,10) } (14,7),(16,8), (18,9),(20,10) }

c. { (1,2) , (2,3), (3,4), (4,5), (5,6), (6,7), c. { (1,2) , (2,3), (3,4), (4,5), (5,6), (6,7), (7,8), (8,9), (9,10) } (7,8), (8,9), (9,10) }

B. FUNGSIB. FUNGSI

01/10/13 19

Pengertian Fungsi

Sebuah fungsi f : x y adalah suatu aturan yang memasangkan tiap anggota x pada suatu himpunan (daerah asal / domain), dengan tepat sebuah nilai y dari himpunan kedua (daerah kawan / kodomain). Himpunan nilai yang diperoleh disebut daerah hasil / range fungsi tersebut .

Untuk lebih memahami pengertian diatas perhatikan contoh berikut :

Contoh : Contoh :

Perhatikan diagram panah dibawah ini :Perhatikan diagram panah dibawah ini :

01/10/13 20

. 1

. 2

. 3

. 4

. 5

. 1

. 2

. 3

. 4

. 5

0 .

2 .

4 .

6 .

BA

Daerah kawan/kodomain

Daerah asal/Domain

Daerah hasil/Range

DDari diagram panah diatas dapat dilihat bahwa : ari diagram panah diatas dapat dilihat bahwa :

1. 1. Fungsi A ke B adalah relasi khusus yang Fungsi A ke B adalah relasi khusus yang

memasangkan setiap anggota A dengan memasangkan setiap anggota A dengan

tepat satu anggota B.tepat satu anggota B.

2. Himpunan A = { 0, 2, 4, 6 } disebut daerah 2. Himpunan A = { 0, 2, 4, 6 } disebut daerah

asal ( Domain ), Himpunan B = { 1, 2, 3, 4, 5 } asal ( Domain ), Himpunan B = { 1, 2, 3, 4, 5 }

disebut daerah kawan ( Kodomain ), dan disebut daerah kawan ( Kodomain ), dan

{ 1, 2, 5 } disebut daerah hasil ( Range ).{ 1, 2, 5 } disebut daerah hasil ( Range ).

01/10/13 21

01/10/13 22

Notasi Fungsi

Fungsi/ pemetaan dapat dinotasikan dengan huruf kecil f , g , h , dan

sebagainya. Misal :

f : x y dibaca f memetakkan x ke y , maka :

y = f(x) dibaca sama dengan f dari x digunakan untuk menunjukkan bahwa y

adalah fungsi dari x .

SSuatu fungsi juga dapat dinyatakan dengan tiga uatu fungsi juga dapat dinyatakan dengan tiga cara yaitu cara yaitu dengan diagram panah , diagram dengan diagram panah , diagram cartesius , dan himpunan pasangan berurutan .cartesius , dan himpunan pasangan berurutan .

01/10/13 23

Contoh : Diketahui A = { a, i, u, e, o } dan B = { 1, 2, 3, 4 } a. Buatlah diagram panah yang menunjukkan pemetaan f yang ditentukan oleh : a 1 , i 2 , u 1 , e 4 , o 2 . b. Nyatakan pula dengan diagram cartesius c . Nyatakan pula f sebagai himpunan pasangan berurutan .

01/10/13 24

Jawab :

a . Diagram panah

. 1

. 2

. 3

. 4

. 1

. 2

. 3

. 4

a .

i .

u .

e .

o .

a .

i .

u .

e .

o .

BA

b. Diagram cartesiusb. Diagram cartesius

01/10/13 25

1

a i u e o0

2

3

4

5

6

7

8

9

10

{ (a , 1) , (i , 2) , (u , 1) , (e , 4) , (o , 2) }

01/10/13 26

c. Himpunan pasangan berurutan

Jika n(A) = a , dan n(B) = b , maka banyak pemetaan yang mungkin terjadi dari

himpunan A ke B adalah ba dan

himpunan B ke A adalah ab

01/10/13 27

Banyaknya pemetaan dari dua himpunan

Contoh :Berapa banyaknya pemetaan yang mungkin terjadi untuk pemetaan berikut : a. Dari himpunan A = {a} dan B = {1} b. Dari himpunan C = {1} dan D = { a , b }

c. Dari himpunan E = {a,b} dan F = {1}

d. Dari himpunan G = {1} dan H = { a,b,c }e. Dari himpunan I = {1,2} dan J = { a,b}f. Dari himpunan K = {a,i,u,e,o} dan L = {1,2,3}g. Dari himpunan M = {a,b,c,d} dan N = {1,2,3,4,5}

01/10/13 28

Jawab :

a. n(A) = 1 , n(B) = 1

Banyak pemetaan 11 = 1

b. n(C) = 1 , n(D) = 2

Banyak pemetaan 21 = 2

01/10/13 29

c. n(E) = 2 , n(F) = 1 Banyak pemetaan 12 = 1 d. n(G) = 1 , n(H) = 3 Banyak pemetaan 31 = 3 e. n(I) = 2 , n(J) = 2 Banyak pemetaan 22 = 4 f. n(K) = 5 , n(L) = 3 Banyak pemetaan 35 = 243 g. n(M) = 4 , n(N) = 5 Banyak pemetaan 54 = 625

c. n(E) = 2 , n(F) = 1 Banyak pemetaan 12 = 1 d. n(G) = 1 , n(H) = 3 Banyak pemetaan 31 = 3 e. n(I) = 2 , n(J) = 2 Banyak pemetaan 22 = 4 f. n(K) = 5 , n(L) = 3 Banyak pemetaan 35 = 243 g. n(M) = 4 , n(N) = 5 Banyak pemetaan 54 = 625

f : x y dibaca f memetakkan x ke y dan dapat dinyatakan dengan f(x) . Maka rumus fungsi dapat ditulis f(x) = y . Contoh : Diketahui suatu fungsi f : x x + 2 dengan daerah asal fungsi { x/ 1 < x < x << 6, x 6, x ∈ A} a. Tentukan rumus fungsi ! b. Tentukan daerah asal fungsi ! c . Tentukan daerah hasil fungsi ! d. Jika f(x) = 15 , maka tentukan nilai x !

01/10/13 30

Merumuskan suatu fungsi

a. Rumus fungsi f(x) = x +2 b. Daerah asal = { 2, 3, 4, 5 } c. Daerah hasil : f(x) = x + 2 untuk x = 2 f(x) = 2 + 2 = 4 x = 3 f(x) = 3 + 2 = 5 x = 4 f(x) = 4 + 2 = 6 x = 5 f(x) = 5 + 2 = 7 Jadi daerah hasil fungsi : { 4, 5, 6, 7 } d. f(x) = 15 x + 2 = 15 x = 15 – 2 x = 13 Jadi nilai x = 1301/10/13 31

Jawab :

01/10/13 32

Uji Kompetensi 4

1. Diketahui A = { 2, 3, 4, 5 } dan B = { 0, 1, 2, 3, } Relasi A ke B adalah “ dua lebihnya dari “ ,

maka : a. Himpunan pasangan berurutan : { ( 2,0), (3,…), (…,2), (…,…) } b. Diagram Panah

PembahasanPembahasan

01/10/13 33

1. Diketahui A = { 2, 3, 4, 5 } dan B = { 0, 1, 2, 3, } Relasi A ke B adalah “ dua lebihnya dari “ , maka : a. Himpunan pasangan berurutan : { ( 2,0), (3,1), (4,2), (5,3) } b. Diagram Panah

BA

.0

. 1

. 2

. 3

2 .3 .4 .5 .

Dua lebihnya dari

01/10/13 34

2. Gambarlah relasi-relasi berikut dengan diagram panah. Kemudian tentukan termasuk fungsi atau bukan fungsi ! a. { (1,2), (1,3), (2,4), (3,5) } b. { (1,1), (2,2), (3,3) } c. { (3,4), (5,6), (7,8) } d. { (2,3), (3,4), (4,5) }

PembahasanPembahasan

01/10/13 35

a. { (1,2), (1,3), (2,4), (3,5) } bukan fungsi karena ada anggota x yang berpasangan lebih dari satu dengan anggota y .

. 2

. 3

. 4

. 5

1 .2 .3 .

Bukan fungsi

yx

01/10/13 36

b. { (1,1), (2,2), (3,3) }

1 .

2 .

3 .

. 1

. 2

. 3

Fungsi

BA

01/10/13 37

c. { (3,4), (5,6), (7,8) }

. 4

. 6

. 8

3 .

5 .

7 .

Fungsi

P Q

01/10/13 38

d. { (2,3), (3,4), (4,5) }

. 3

. 4

. 5

2 .

3 .

4 .

Fungsi

K L

01/10/13 39

3 . Fungsi f : x x + 3 mempunyai domain { -2, -1, 0, 1, 2 } . a.Tunjukkan fungsi f dalam diagram panah .b. Nyatakan dalam himpunan pasangan berurutan .c.Tulis range dari f .

PembahasanPembahasan

01/10/13 40

a. Fungsi f : x x + 3 , jadi f(x) = x + 3 Untuk x = -2 maka f(-2) = -2 + 3 = 1 x = -1 maka f(-1) = -1 + 3 = 2 x = 0 maka f(0) = 0 + 3 = 3 x = 1 maka f(1) = 1 + 3 = 4 x = 2 maka f(2) = 2 + 3 = 5

. 1 . 2 . 3 . 4 . 5

-2 .-1 . 0 . 1 . 2 .

x+3x

01/10/13 41

b. Himpunan pasangan berurutan { (-2,1), (-1,2), (0,3), (1,4), (2,5) } c. Range (daerah hasil ) = ( 1, 2, 3, 4, 5 )

4. Suatu persamaan fungsi f(x) = ½ x + 1 dengan daerah asal { 2, 4, 6, 8, 10 } . Tentukan : a. Daerah hasil / bayangan . b. Himpunan pasangan berurutan .

01/10/13 42

Pembahasan :

a. f(x) = ½ x + 1 f(2) = ½ . 2 + 1 = 1 + 1 = 2 f(4) = ½ . 4 + 1 = 2 + 1 = 3 f(6) = ½ . 6 + 1 = 3 + 1 = 4 f(8) = ½ . 8 + 1 = 4 + 1 = 5 f(10) = ½ . 10 + 1 = 5 + 1 = 6 Jadi Range / daerah hasil / daerah

bayangan = { 2, 3, 4, 5, 6 } b. Himpunan pasangan berurutan { (2,2), (4,3), (6,4), (8,5), (10,6) }

01/10/13 43