BAB II MUTUAL INDUCTANCE

BAB IIMUTUAL INDUCTANCE

Induktansi Sendiri (Self Inductance)Bila pada sebuah kumparan terjadi perubahan arus, maka fluksi magnet yang melingkupi kumparan tersebut akan berubah juga.Menurut Hukum Faraday, maka pada kumparan akan di Induksikan tegangan sebesar :

Dimana :L adalah Induktansi Sendiri (Self Inductance), Henry.Pada kumparan yang mempunyai N buah gulungan, tegangan yang diinduksikan adalah sebesar :

Bila persamaan (1) & (2) digabungkan dan diperoleh

Induktansi Bersama (Mutual Inductance)

Pada gambar dibawah ini, dua kumparan ditempatkan berdekatan : I1 12 11 N1 N21 2 (1)Arus yang mengalir adalah fungsi dari waktu hingga fluksi 1 yang ditimbulkannya juga akan berubah dengan waktu. Fluksi ini terdiri dari dua bagian yaitu :1. Fluksi magnet yang hanya melingkupi kumparan pertama disebut fluksi bocor 112. Fluksi magnet yang melingkupi kumparan pertama dan kumparan kedua yang diberi simbol 12

Sehingga 1 = 11 + 12 1 = Fluk total pada umparan 1

Pada kumparan kedua akan diinduksikan tegangan sebesar :

Karena 12 ditimbulkan oleh arus i, maka pers (3) dapat ditulis :

Dimana : M = Induktansi bersama antara kedua kumparan

Persamaan (3) & (4) disatukan :

Bila kedua kumparan digulung pada inti besi yang sama, hubungan antara fluksi dan arus tidaklah linier dan induktansi bersama dinyatakan oleh persamaan (5). Bila kedua kumparan dihubungkan oleh udara sebagai medium perantara, hubungan fluksi dan arus adalah linier dan dinyatakan oleh persamaan.

Kaupling bersama adalah bilateral dan hasil yang sama akan diperoleh bila i2 mengalir pada kumparan kedua. 21 i2

22

(2)

pada gambar diatas, i2 akan menimbulkan fluksi 2 yang terdiri dari dua bagian yakni :1. Fluksi bocor 22 yang hanya melingkupi kumparan kedua.2. Fluksi 21 yakni fluksi yang melingkupi kumparan kedua dan pertama.Sehingga : 2 = 22 + 21

Akibat arus i2 yang mengalir pada kumparan kedua, maka pada kumparan pertama akan di induksikan tegangan :Maka dari persamaan (5), (6), (7) didapat :

Koefisien KouplingFluksi yang melingkupi kedua kumparan pada gambar (1) tergantung pada penempatan, orientasi sumbu kumparan dan pada permeabilitas medium.Bagian fluksi total yang melingkupi/menghubungkan kedua kumparan disebut koefisien koupling K, dan didefinisikan sebagai berikut : 1 = 11 + 12 2 = 22 + 21

Karena 12 1 & 21 2 harga maksimum K = 1M dapat dinyatakan dalam besaran L1 & L2Koefisien koupling K adalah sebuah bilangan non negatif yang tidak tergantung pada arah arus yang mengalir pada kumparan.

Bila dua buah kumparan ditempatkan diudara dengan jarak yang agak besar, Induktansi bersama M akan kecil, dan harga K akan mendekati nol. Tetapi bila dua buah kumparan di kopel rapat, misalnya dua buah kumparan digulung pada sebuah inti yang sama, hampir semua fluksi akan melingkupi kedua kumparan dan harga K akan mendekati satu. Dalam hal ini dikatakan bahwa kedua kumparan dikopel rapat (closely coupled).Analisa Rangkaian TerkopelUntuk menunjukkan arah gulungan (winding sense) dan pengaruhnya terhadap tegangan Induktansi bersama, kumparan digulung pada sebuah inti seperti pada gambar sebagai berikut :

2M

1 R1 R2

I2I1

L1L2

V2V1

(3)Arah arus dipilih seperti pada gambar.Persamaan tegangan pada masing-masing loop

1 & 2 saling melemahkan ketika arah fluks berlawanan atau saling melemahkan maka tanda M LPada tegangan induktansi bersama mungkin positif atau negatif tergantung pada arah gulungan.

Dengan menggunakan aturan tangan kanan pada masing-masing kumparan, arah 1 & 2 dapat ditentukan.Bila arah 1 & 2 sudah diketahui, maka tanda tegangan induktansi bersama dapat ditentukan dengan menggunakan hukum berikut ini :Jika 1 & 2 yang ditimbulkan akibat arah arus positif yang ditentukan saling memperkuat, tanda M = tanda L, dan bila saling memperlemah, tanda M berbeda dengan tanda L.

Pada steady state dapat dituliskan dalam bentuk phasor :(R1 + JL1) I1 JMI2 = V1-JMI1 + (R2 + JL2) I2 = V2Bentuk umum persamaan arus loop untuk rangkaian yang mempunyai dua buah loop adalah :Z11 I1 Z12 I12 = V1 Z21 I1 + Z22 I2 = V2

Dimana : Z12 & Z21 : Impedansi bersama antara loop 1 & loop 2 yang dialiri oleh arus I1 & I2

Loop demikian disebut dikopel konduktif oleh karena arus loop I1 & I2 mengalir melalui cabang bersama. Sekarang kita mempunyai persamaan yang sama untuk rangkaian pada gambar (3) dimaan jM sesuai dengan Z12 & Z21, tetapi kedua loop pada gambar (3) tidak dikopel secara konduktif oleh karena kedua arus loop I1 & I2 tidak mempunyai cabang bersama, tetapi persamaan (8) menyatakan bahwa koupling antara kedua loop ada dan koupling tersebut dinamakan koupling magnetik (magnetik coupling).Arus NaturalPada pembahasan terdahulu, dua buah loop yang dikopel secara magnetik, dimana masing-masing loop mempunyai sumber tegangan.Pada bagian ini, kita membahas arus natural dalam sebuah loop yang tidak mempunyai sumber tegangan.

1221R1R2i2I1V1jMjL1jL2

Pada gambar diatas, hanya loop satu yang mempunyai sumber tegangan, tentukan arus I, dan dengan menggunakan aturan tangan diperoleh arah fluksi 12.Hukum Lenz menyatakan : Bahwa polaritas tegangan induksi adalah sedemikian sehingga bila sakelar ditutup arus I2 akan mengalir melalui kumparan dengan arus sedemikian sehingga menimbulkan fluksi yang menentang fluksi utama yang ditimbulkan arus I1Karena itu, bilamana saklar ditutup (pada gambar diatas) arah fluksi 21 adalah seperti yang ditunjukkan dengan menggunakan aturan tangan kanan arah arus natural dapat ditentukan.Persamaan arus loop adalah :(R1 + JL1) I1 JMI2 = V1 -JMI1,+ (R2 + JL2) I2 = 0

Karena loop-loop tidak mempunyai driving voltage, maka arus I2 yang mengalir pada loop2 adalah akibat dari tegangan indukstansi bersama JWMI1, sehingga :JMI1 = (R2 + JL2) I2Tegangan ini diperlihatkan pada gambar berikut ini :

R2

I2JL2

- JMI1 +

Arah sumber tegangan harus seperti yang ditunjukkan oleh anak panah, jadi polaritas sesaat dengan Induktansi bersama pada kumparan kedua adalah positif pada terminal dimana arus natural meninggalkan kumparan.Aturan Dot (Dot Rule)Pada pembahasan diatas terlihat bahwa polaritas tegangan Induktansi bersama dapat ditentukan dari bagan inti yang menunjukkan arah gulungan. Tapi cara ini tidak praktis karena dalam rangkaian listrik kita menggambarkan hanya simbol gulungan saja. Kumparan ditandai dengan dot seperti pada gambar :

I

I

(a)

I

(b)

(c)

Pada masing-masing kumparan, sebuah dot ditempatkan pada terminal yang setiap saat mempunyai polaritas yang sama. Untuk menempatkan dot pada sepasang kumparan, cara berikut ini dapat ditempuh :1. Tentukan arah arus pada salah satu kumparan dan tempatkan sebuah dot pada terminal dimana arah arus masuk kegulungan.2. Tentukan arah yang ditimbulkan oleh arus ini dengan menggunakan aturan tangan kanan.3. Tentukan arah pada kumparan kedua dimana arah ini menentang pada gulungan pertama.4. Dengan menggunakan aturan tangan kanan tentukan arah arus natural pada kumparan kedua.Dimana arus meninggalkan gulungan dan tempatkan dot pada terminal ini.

Keempat langkah diatas diperlihatkan oleh gambar (a), (b) & (c) untuk menentukan tanda tegangan induktansi bersama dalam persamaan arus loop dipergunakan aturan dot berbunyi sebagai berikut :Bila kedua arus yang ditentukan memasuki atau meninggalkan sepasang kumparan yang dikopel pada terminal yang diberi dot, tanda M akan = tanda L dan bila satu arus memasuki terminal yang diberi tanda dot dan satu lagi meninggalkan, tanda M akan berlawanan dengan tanda L.Gambar M berlawanan dengan tanda L

I1 I2 I1 I2

Gambar yang memperlihatkan M = L

I1 I2 I1 I2

Rangkaian Ekivalen Koupling KonduktifUntuk menganalisa rangkaian yang dikopel secara magnetik, kita dapat mengganti rangkaian tersebut, dengan rangkaian yang dikopel secara konduktif yang ekivalen, tetapi ekivalen rangkaian tidak selalu dapat direalisasikan secara fisik.

Perhatikan gambar berikut ini :

R1 R2 JM

I1 I2 V1 JL1 JL2 Persamaan arus loop dalam bentuk matriks adalah :

Perhatikan gambar berikut ini :

R1 J (L1-M) J (L2-M) R2 V1 JMV2 I1 I2

Arus I1 & I2 mengalir pada cabang bersama JWM dengan arah yang berlawanan.Persamaan arus loop dalam bentuk matriks adalah :

Persamaan (1) sama dengan persamaan (2) dengan kata lain rangkaian pada gambar (1) yang dikopel secara magnetik ekivalen dengan rangkaian pada gambar (2) yang dikopel konduktif.Contoh :1. Kumparan pertama dari sepasang kumparan yang dikopel dialiri arus sebesar 5 A.Arus tersebut menghasilkan fluksi yang hanya melingkupi kumparan pertama sebesar 0,2 mwb dan yang melingkupi kumparan pertama dan kedua sebesar 0,4 mwb. Banyak lilitan kumparan kedua N2 = 1500 lilitan dan N1 = 500 lilitan.Ditanya : L1, L2, M dan K

I = 5A11 = 0,2 mwb 12 = 0,4 mwb

N1 = 500 lilitan N2 = 1500 lilitan

2. Dua buah kumparan yang dikopel secara magnetik masing-masing mempunyai induktansi sendiri L1 = 0,05 H dan L2 = 0,2 HKoefisien koupling K = 0,5Kumparan kedua mempunyai lilitan sebanyak 1000 lilitan. Bila pada kumparan pertama mengalir arus i1 = 5 sin 400t A.Tentukan tegangan pada kumparan kedua dan max yang dibangkitkan kumpuran pertama.Penyelesaian :

Tegangan yang diinduksikan pada kumparan kedua :