Multimedia para el Aprendizaje de Aplicaciones de la Derivada en...

Editorial

Multimedia para el Aprendizaje de Aplicaciones de la Derivada en Problemas de Optimización Autores:

Miguel Ángel López SantanaAna Luisa Estrada Esquivel

Marcial Heriberto Arroyo AvenaOscar Ariel Parra Ortiz

Cesar Humberto Arroyo Villa

Multimedia para el Aprendizaje de Aplicaciones de la Derivada en Problemas de

Optimización

Autores:Miguel Angel López Santana; [email protected] Luisa Estrada Esquivel; [email protected] Heriberto Arroyo Avena; [email protected] Ariel Parra Ortiz; [email protected] Humberto Arroyo Villa; [email protected]

Fuente: https://www.google.com.mx/search?q=aplicaciones+de+la+derivada+gif&espv=2&biw=931&bih=585&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwi7xeXag5HMAhWluIMKHdOWCFUQ_AUIBigB#imgrc=_2j4qR89p-q-FM%3A

Fuente: https://www.google.com.mx/search?q=aplicaciones+de+la+derivada+gif&espv=2&biw=931&bih=585&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwi7xeXag5HMAhWluIMKHdOWCFUQ_AUIBigB#imgrc=or-ixIBe0A9RKM%3A

Edición y Diseño: LeyssiYarelhi González Reyes

mailto:[email protected]





La Universidad y sus Estrategias de Vinculación es una publicación editada por la Universidad Tecnocientífica del Pacifico S.C., calle 20 de Noviembre, 75, Col. Mololoa, C.P. 63050. Tel. (31)1212-5253, www.tecnocientífica.com. Mayo

2016. Primera Edición digital. Tiraje: 50 ejemplares.

ISBN: 978-607-9488-05-5

Queda prohibida la reproducción total o parcial de los contenidos e imágenes de la publicación sin previa

autorización de La Universidad Tecnocientífica del Pacifico S.C.

Editorial

Multimedia para el Aprendizaje de Aplicaciones de la Derivada en Problemas

de Optimización

http://www.tecnocientífica.com/

Presentación

En este material se presentan unarecopilación de actividades sobre aplicaciones de laderivada a máximos y mínimos de una función enforma analítica, a máximos y mínimos con razones decambio, a problemas de optimización deminimización y maximización.

Los autores

Índice

Aplicaciones de la derivada a máximos y mínimos de una función en forma analítica ……………………….

Aplicaciones de la derivada a máximos y mínimos con razones de cambio……………………………………..

Aplicaciones de la derivada para problemas de optimización de tipo minimización……………………..

Aplicaciones de la derivada para problemas de optimización de tipo maximización……………………..

Bibliografía……………………………………………………..

4

15

35

43

49

Cálculo Diferencial

Aplicaciones de la derivada a máximos y mínimos de una función

en forma analítica

Fuente: https://www.google.com.mx/search?q=maximos+y+minimos+gif&espv=2&biw=931&bih=585&tbm=isch&imgil=sSSnVMqmB_HaJM%253A%253B_Hz_mkSZOEN-PM%253Bhttp%25253A%25252F%25252Fcentros5.pntic.mec.es%25252Fies.de.melilla%25252FTrazado_Criterio_1deriv.htm&source=iu&pf=m&fir=sSSnVMqmB_HaJM%253A%252C_Hz_mkSZOEN-PM%252C_&usg=__sn--88eTG2RNVrS0pbLEk8P2DCU%3D&ved=0ahUKEwiH34yPgJHMAhWmvIMKHcyQCz0QyjcIIw&ei=ZA4RV4edN6b5jgTMoa7oAw#imgrc=WHM_tcKK_eRZqM%3A

4

Cálculo de Máximos y Mínimos (Criterio de la primera derivada)

Unas de las aplicaciones del cálculo diferencial se presenta

en los máximos y mínimos de una función, a continuación se

describe el criterio de la primera derivada:

1) Se deriva la función original.

2) Se iguala la derivada obtenida a cero y se procede a

obtener los valores críticos (se factoriza).

3) Se sustituye un valor próximo anterior y otro posterior al

valor crítico en la derivada:

Si en la sustitución nos dan signos de positivo a

negativo se trata de un máximo.

Si en la sustitución nos dan signos de negativo a

positivo se trata de un mínimo.

4) Se sustituye los valores críticos en la función original y se

procede a calcular las coordenadas finales.

5) Se bosqueja la función como forma de comprobación.


5

Ejercicio: Mediante el criterio de la primera derivada resolver.

393)( 23 xxxxf

963)(' 2 xxxf)1

0963 2 xx)2

Se puede utilizar cualquier

método para factorizar. Como

es una función cuadrática se

puede usar la formula general.

02 cbxax

a

acbbx

2

42

Los valores son:

3a 6b 9c

)3(2

)9)(3(466 2

1

x

Calculando los valores críticos:

)3(2

)9)(3(466 2

2

x

1

3

)3 Para x = +1 en la derivada:

x 963)(' 2 xxxf

0

2

9)0(6)0(3 2

9)2(6)2(3 2

Es un

Mínimo



6

Sustituyendo los valores críticos en la

función original y calculando los

valores finales.

2,1

)3 Para x = -3 en la derivada:

x 963)(' 2 xxxf

4

2

9)4(6)4(3 2

9)2(6)2(3 2

Es un Máximo

)4

3)1(9)1(3)1()( 23 xfPara x = +1

2)( xfCoordenada:

30,3

3)3(9)3(3)3()( 23 xf

Para x = -3

30)( xfCoordenada:

MáximoMínimo

3931)( xf 3272727)( xf



7

)5 Bosquejo de la grafica: 393)( 23 xxxxf

2,1 Mínimo

30,3 Máximo



8

12073

2)( 23 xxxxf

5362

3)( 23 xxxxf

10702

25

3

5)( 23 xxxxf

15003

5)( 3 xxxf

10152

17

3

4)( 23 xxxxf

38219)( 23 xxxxf

41232)( 23 xxxxf

20152)( 23 xxxxf

322)( xxxf

23 4)( xxxf

1602

135

2)(

23

4

xx

xx

xf

51402

57

3

32

4

3)(

234

xxxx

xf


Ejercicios Propuestos.


9

Máximos y mínimos de una función, a continuación se describe el criterio de

la segunda derivada:

1) Se deriva la función original.

2) Se iguala la derivada obtenida a cero y se procede a

obtener los valores críticos (se factoriza).

3) Se deriva por segunda vez la función. Sustituir los valores

críticos en la segunda derivada.

• Si f’’(x)<0 se tiene un máximo.

• Si f’’(x)>0 se tiene un mínimo.

4) Se sustituye los valores críticos en la función original y se

procede a calcular las coordenadas finales.

5) Se bosqueja la función como forma de comprobación.

Cálculo de Máximos y Mínimos (Criterio de la segunda derivada)


10

Ejercicio: Mediante el criterio de la segunda derivada resolver.

393)( 23 xxxxf

963)(' 2 xxxf)1

0963 2 xx)2

Se puede utilizar cualquier

método para factorizar. Como

es una función cuadrática se

puede usar la formula general.

02 cbxax

a

acbbx

2

42

Los valores son:

3a 6b 9c

)3(2

)9)(3(466 2

1

x

Calculando los valores críticos:

)3(2

)9)(3(466 2

2

x

1

3

)3 Segunda derivada:

963)(' 2 xxxf

66)('' xxf



11

Sustituyendo los valores críticos en la

función original y calculando los

valores finales.

2,1

)3 Para x = 1 y x = -3 en la segunda derivada:

x 66)('' xxf

1

3

6)1(6

6)3(6 12

12

f’’(x)<0 Es un Máximo

)4

3)1(9)1(3)1()( 23 xfPara x = +1

2)( xfCoordenada:

30,3

3)3(9)3(3)3()( 23 xf

Para x = -3

30)( xfCoordenada:

MáximoMínimo

3931)( xf 3272727)( xf

f’’(x)>0 Es un Mínimo



12

)5 Bosquejo de la grafica: 393)( 23 xxxxf

2,1 Mínimo

30,3 Máximo



13

12073

2)( 23 xxxxf

5362

3)( 23 xxxxf

10702

25

3

5)( 23 xxxxf

15003

5)( 3 xxxf

10152

17

3

4)( 23 xxxxf

38219)( 23 xxxxf

41232)( 23 xxxxf

20152)( 23 xxxxf

322)( xxxf

23 4)( xxxf

1602

135

2)(

23

4

xx

xx

xf

51402

57

3

32

4

3)(

234

xxxx

xf


Ejercicios Propuestos.


14


Aplicaciones de la derivada a máximos

y mínimos con razones de cambio

15

La base del estudio de los límites y en consecuencia de la derivada, sedebe ver por medio del análisis de las razones de cambio o de losincrementos como por ejemplo: En longitud, área, volumen,temperatura, masa, tiempo, precios, etc.

Razón de cambio


16

Analizando las razones en el llenado de recipientesrespecto al volumen y altura.

En el caso de un cilindro si se tiene un gasto constante, se puede observarla relación volumen de líquido y altura del recipiente.

Gasto

Constante

h

Volumen

Altura

Recta

Razón de cambio


17


En el caso de un cono cilíndrico si se tiene un gasto constante, se puedeobservar la relación volumen de líquido y altura delrecipiente.(Pirámide).

Gasto

Constante

h

Volumen

Altura

Exponencial

Razón de cambio


18


En el caso de un cono cilíndrico si se tiene un gasto constante, se puedeobservar la relación volumen de líquido y altura del recipiente (Pirámideinvertida).

Gasto

Constante

h

Volumen

Altura

Logarítmica

Razón de cambio


19


En el caso de una esfera si se tiene un gasto constante, se puedeobservar la relación volumen de líquido y altura del recipiente.

Gasto

Constante

h

Volumen

Altura

Cúbica

Razón de cambio


20

En la vida diaria se determinan razones decambio de diversas situaciones de tiponatural, Económico, Social. Situaciones enlas que nos interesa conocer cuál es el máspequeño (mínimo) o más grande (máximo)valor, como aumenta (crece) o disminuye(decrece) ese valor, en un intervalo detiempo específico, en general problemasdonde se estudian fenómenos relativos a lavariación de una cantidad que depende deotra, por lo que se hace necesario describir ycuantificar estos cambios a través demodelos matemáticos, gráficas y tablas.

Razón de cambio


21

Veamos el ejemplo de la producción de acero en Monterrey N.L.(México) en millones de toneladas, durante el año de 1992 apartir del mes de enero se muestra en la tabla.

Meses ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SEP OCT NOV DIC

Producción en millones

de toneladas

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

6.7 8.5 8.9 7.8 9.7 10.5 9.3 11.2 8.8 11.7 11.5 11.9

1) Tomando valores consecutivos, ¿Para qué intervalo demeses la producción de acero fue mayor y de cuánto fue?

2) ¿Podrías calcular con una muy buena aproximación, quéproducción hubo el 15 de junio?

Razón de cambio


22

Observando la Gráfica:

ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SEP OCT NOV DIC

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

Producción en millones

de toneladas

Razón de cambio


23

El tiempo total necesario para detener un automóvil después depercibir un peligro, se compone del tiempo de reacción (tiempoentre el reconocimiento del peligro y la aplicación del freno). Lagráfica muestra las distancias de parada en metros (distancianecesita para detenerse totalmente) de un automóvil que viaja alas velocidades V(m/seg) desde el instante que se observa elpeligro. Una compañía que fabrica autos realiza pruebas concoches manejados a control remoto y para garantizar que estostienen distancia promedio de parada aceptables se plantean lassiguientes cuestiones:

Si un automóvil viaja a una velocidad de 40 m /seg y en esosmomentos esta colocada una barda a 14.0 mts. frente a él, alaplicar el freno ¿choca el auto contra la barda? ¿Por qué?

Razón de cambio


24

Observando la Gráfica:

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Velocidad en m/seg

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

Distancia

Velocidad 0 m/s 5 m/s 10 m/s 15 m/s 20 m/s 25 m/s 30 m/s 35 m/s

Distancia (m) 0 0.9 1.6 2.7 4.1 6.2 8.8 11.9

Razón de cambio


25

Para determinar el tiempo promedio defrenado para puntos consecutivos se utiliza:

Velocidad = Cambio en la distancia

Cambio en la velocidad______________________

Esta relación entre el cambio en la distanciay el cambio en la velocidad es una razón decambio o de incrementos. Esto también sele conoce como un limite o derivada de unafunción.

Razón de cambio


26

Ejercicio: Un jugador de football soccer, patea un balón en un tiro libre directo hacia la

portería contraria; si el balón sigue una trayectoria dada por la función 𝑓 𝑥 = −𝑥2

12+

2𝑥; dada en metros. Si se sabe que la velocidad del pie del jugador es de 50 𝑚 𝑠𝑒𝑔,(𝑓′ 0 = 50), calcular:

a) La altura máxima que alcanza el balón.b) El alcance máximo horizontal del balón.c) La velocidad del balón en el aire.

Razón de cambio

El esquema es:

Calculando la derivada de la función, en este casotomando como variable independiente a “x”:

212

2'

xxf

026

x

26

' x

xf

Igualando la derivada acero y despejando a “x”:

62

x

x62

mx 12

Calculando la altura máxima “y", sustituyendo “x”:

12212

1212

2

f

2412

14412 f

mf 1212

El alcance es de 24 metros


27

Ejercicio: Un jugador de football soccer, patea un balón en un tiro libre directo hacia la

portería contraria; si el balón sigue una trayectoria dada por la función 𝑓 𝑥 = −𝑥2

12+ 2𝑥;

dada en metros. Si se sabe que la velocidad del pie del jugador es de 50 𝑚 𝑠𝑒𝑔, (𝑓′ 0 =50), calcular:a) La altura máxima que alcanza el balón.b) El alcance máximo horizontal del balón.c) La velocidad del balón en el aire.

Calculando la velocidad del balón mediante la derivadade la función, en este caso tomando como variableindependiente a “t”:

dt

dx

dt

dxxxf 2

12

2'

Despejando el dx/dt y sustituyendo x=0, f’(0)=50:

12,12Coordenada

Alcance 24 metros

El esquema es:

2

6'

x

dt

dxxf

dt

dx

dt

dxxxf 2

6'

26

'

x

xf

dt

dx

26

0

50

2

50

seg

m

dt

dx25

hr

km

dt

dx90

Cálculo DiferencialRazón de cambio

28

Ejercicio: Un jugador de basketball, lanza un balón en un tiro de tres puntos hacia lacanasta contraria; si el balón sigue una trayectoria dada por la función 𝑓 𝑥 =

−3𝑥2

20+

4𝑥

3; dada en metros. Si se sabe que la velocidad de las manos del jugador es de

10 𝑚 𝑠𝑒𝑔, (𝑓′ 0 = 10), calcular:a) La altura máxima que alcanza el balón.b) El alcance máximo horizontal del balón.c) La velocidad del balón en el aire.

El esquema es:


3

4

20

6'

xxf

03

4

10

3

x

3

4

10

3'

xxf

Igualando la derivada acero y despejando a“x”:

10

3

3

4 x

x33

104

mmx 44.49

40

Calculando la altura máxima “y", sustituyendo “x”:

9

40

3

4

20

9

403

9

40

2

f

27

160

27

80

9

40

f

mmf 96.227

80

9

40

El alcance es de 8.88 metros


29

Ejercicio: Un jugador de basketball, lanza un balón en un tiro de tres puntos hacia lacanasta contraria; si el balón sigue una trayectoria dada por la función 𝑓 𝑥 =

−3𝑥2

20+

4𝑥

3; dada en metros. Si se sabe que la velocidad de las manos del jugador es

de 10 𝑚 𝑠𝑒𝑔, (𝑓′ 0 = 10), calcular:a) La altura máxima que alcanza el balón.b) El alcance máximo horizontal del balón.c) La velocidad del balón en el aire.


dt

dx

dt

dxxxf

3

4

10

3'


3

4

10

03

10

seg

m

seg

m

dt

dx5.7

2

15

hr

km

dt

dx27

dt

dx

dt

dxxxf

3

4

20

6'

3

4

10

3'

x

dt

dxxf

3

4

10

3

'

x

xf

dt

dx

3

41

10

4

30


30

Ejercicio: Un coreback de football Americano, lanza el balón hacia el receptor; si el

balón sigue una trayectoria dada por la función 𝑓 𝑥 = −𝑥2

98+

2𝑥

7; dada en metros. Si se

sabe que la velocidad de las manos del jugador es de 7 𝑚 𝑠𝑒𝑔, (𝑓′ 0 = 7), calcular:a) La altura máxima que alcanza el balón.b) El alcance máximo horizontal del balón.c) La velocidad del balón en el aire.

El esquema es:

Calculando la derivada de la función, en estecaso tomando como variable independiente a“x”:

7

2

98

2'

xxf

07

2

49

x

7

2

49'

xxf


497

2 x

x

7

249

mx 14

Calculando la alturamáxima “y", sustituyendo“x”:

7

142

98

1414

2

f

7

28

98

19614 f

mf 214



31

Ejercicio: Un coreback de football Americano, lanza el balón hacia el receptor; si el

balón sigue una trayectoria dada por la función 𝑓 𝑥 = −𝑥2

98+

2𝑥

7; dada en metros.

Si se sabe que la velocidad de las manos del jugador es de 7 𝑚 𝑠𝑒𝑔, (𝑓′ 0 = 7),calcular:a) La altura máxima que alcanza el balón.b) El alcance máximo horizontal del balón.c) La velocidad del balón en el aire.


dt

dx

dt

dxxxf

7

2

49'


dt

dx

dt

dxxxf

7

2

98

2'

7

2

49'

x

dt

dxxf

7

2

49

0

7

seg

m

seg

m

dt

dx5.24

2

49

hr

km

dt

dx2.88

7

2

49

'

x

xf

dt

dx

7

21

7

2

49


32

Ejercicio: Un Pitcher, lanza la bola hacia el bateador; si la bola sigue una trayectoria

dada por la función 𝑓 𝑥 = −8𝑥2

4225+

16𝑥

65; dada en metros. Si se sabe que la velocidad

del bate y de la bola combinados generan un impulso de 10 𝑚 𝑠𝑒𝑔 (𝑓′ 0 = 10), yla valla fina está a 121.92 metros del bateador, calcular:a) La altura máxima que alcanza la bola.b) El alcance máximo horizontal de la bola.c) La velocidad del balón en el aire.

El esquema es:


65

16

4225

16'

xxf

065

16

4225

16

x


4225

16

65

16 x

x1665

422516

mx 65

Calculando la alturamáxima “y", sustituyendo“x”:

65

6516

4225

65865

2

f

65

1040

4225

3380065 f

mf 865



33

Ejercicio: Un Pitcher, lanza la bola hacia el bateador; si la bola sigue una trayectoria dada

por la función 𝑓 𝑥 = −8𝑥2

4225+

16𝑥

65; dada en metros. Si se sabe que la velocidad del bate y

de la bola combinados generan un impulso de 10 𝑚 𝑠𝑒𝑔 (𝑓′ 0 = 10), y la valla fina está a121.92 metros del bateador, calcular:a) La altura máxima que alcanza la bola.b) El alcance máximo horizontal de la bola.c) La velocidad del balón en el aire.



dt

dx

dt

dxxxf

65

16

4225

16'

65

16

4225

16'

x

dt

dxxf

65

16

4225

016

10

seg

m

seg

m

dt

dx625.40

8

325

hr

km

dt

dx25.146

65

16

4225

16

'

x

xf

dt

dx

65

161

10

dt

dx

16

650

8

325

Razón de cambio


34


Aplicaciones de la derivada para problemas de optimización de tipo

minimización

35

Ejercicio: Una empresa desea fabricar una caja de cartulina con capacidad de 108 cm³, cuya formadebe ser la de un prisma cuadrangular, ¿Qué medidas debe tener la caja para ocupar la mínimacantidad de material de fabricación?, y así reducir los costos.

Optimización.

Formula del volumen:El esquema es:

x

La expresión es implícita paraconvertirla en explicita, se despejala variable “y”:

yxxv

yx

2

108

24 xxya

2432x

xa

x

y

y

y

y

x

xy

3108cmv

yx2108

Ahora se necesita conocer el áreadel prisma (superficie de lacartulina):

24 xxya

Sustituir “y” en el área:

2

2

1084 x

xxa

Se deriva la expresión en amboslados de la igualdad:

21432 xxa

1211 24321' xxa

xxa 2432' 2

Se iguala a cero la derivada y sedespeja la variable “x”:

xx 24320 2

xx

2432

2

32432 x

3

2

432x

3216 x

x6

3 33 216 x


36

Ejercicio: Una empresa desea fabricar una caja de cartulina con capacidad de 108 cm³,cuya forma debe ser la de un prisma cuadrangular, ¿Qué medidas debe tener la cajapara ocupar la mínima cantidad de material de fabricación?, y así reducir los costos.

Optimización.

El esquema es:

x x

y

y

y

y

x

xy

3108cmv

Comprobando si es el mínimo dematerial (Segunda derivada, x=6):

xxa 2432' 2

1112 24322" xxa

2864" 3 xa

2864

"3

xa

26

8646"

3a

2216

8646" a

246" a

66" a

Como el resultado espositivo es unmínimo, si resultanegativo es unmáximo.

Calculando la altura de la caja “y”:

yx2108

y2

6108

y36108

y36

108

y3

cm6 cm6

cm3

Entonces las medidas optimas paraminimizar la cantidad de cartulina enla fabricación de la caja es:

3108cmv

Máximoxf

Mínimoxf

0"

0"


37

Se quiere construir un envase cilíndrico, hecho de lamina. El volumen del cilindrodeberá ser de 64cm³; Encontrar las dimensiones que debe tener para que la cantidad delámina empleada sea la mínima.

Optimización (Ejercicios de minimizar).

h

r

364cmv

hrv 2

364cmv

Formula del volumen:

hr 264 La expresión es implícitapara convertirla enexplicita, se despeja lavariable “h”:

2

64

rh

Ahora se necesita conocer el áreadel prisma (superficie de la lámina):

hrrA 22 2

h

r

rd 2

rhrA 22 2 dP Sustituir “h” en el área:

2

2 6422

rrrA

rrA

1282 2

Se deriva la expresión en ambos ladosde la igualdad:

1112 128122' rrA

12 1282 rrA

21284' rrA

Se iguala a cero la derivada y sedespeja la variable “r”:

2

12840

rr

rr

4128

2

34128 r

3

4

128r

r3

4

128

cmr 16.2

Comprobando si es el mínimo dematerial (Segunda derivada, r=2.16):

1212824" rA 32564" rA

3

2564"

rA

316.2

2564" A


38

Se quiere construir un envase cilíndrico, hecho de lamina. El volumen del cilindrodeberá ser de 64cm³; Encontrar las dimensiones que debe tener para que la cantidadde lámina empleada sea la mínima.


cm36.4

cm16.2

364cmv

97.37"A

Como el resultado es positivo es unmínimo, si resulta negativo es unmáximo.

Máximoxf

Mínimoxf

0"

0"

2

64

rh

Calculando la altura del cilindro “h”:

216.2

64

h

cmh 36.4

Entonces las medidas optimas para minimizarla cantidad de cartulina en la fabricación de lacaja es:


39

Encuentre las dimensiones de un cono circular recto de volumen mínimo que se puedacircunscribir en una esfera de radio “r”.


r

3

2hrv

r

ry

x

ry22

Formula del volumen del conode radio “r=x” y “h=y+r”:

La expresión es implícitapara convertirla enexplicita, se despeja lavariable “x”:

Ahora se sustituye“x²” en el volumen:

Se deriva la expresión en amboslados de la igualdad (el radio es unaconstante, solo “v” y “y” sonvariables):

y

x

r

x

r

y

Teorema de Pitágoras:

222 COry 222 COry

COry 22

CO

Teorema de Tales:

3

2 ryxv

h

h

22 ryxryr

x

ry

ryr

22

2

22

22

xry

ryr

3

22

22

ryry

ryr

v

22

32

3 ry

ryrv


40

Encuentre las dimensiones de un cono circular recto de volumen mínimo que sepueda circunscribir en una esfera de radio “r”.


Se iguala a cero la derivada y se despeja la variable “y”:

22

32

3 ry

ryrv

222

32222 23

3'

ry

yryryryrv

222

2222 23

3'

ry

ryyryryrv

222

22222 2233

3'

ry

ryyryryrv

222

2222 32

3'

ry

rryyryrv

222

2222 32

30

ry

rryyryr

2222 320 rryyryr

La condición es: у≠г; y≠-г; factorizando elpolinomio del lado derecho mediante la búsquedade dos números que multiplicados den el tercertermino y a l mismo tiempo sumados den elsegundo termino.

ryryry 302

ry

ry

3

03

Se puede deducir:

ry

ry

ry

0

02

ry

ry

0


41

Encuentre las dimensiones de un cono circular recto de volumen mínimo que se puedacircunscribir en una esfera de radio “r”.


r

Ahora a comprobar en donde la derivada espositiva o negativa:

y

x

rh 4

222

22 3

3'

ry

ryryryrv

ryry 4;2

222

32 3

3'

ry

ryryrv

Se busca sustituir un valor menor y otromayor al valor critico:

222

32

2

32

3

2'

rr

rrrrrv

222

32

43

3'

rr

rrrv

22

5

33

27'

r

rrv

2' rv

222

32

4

34

3

4'

rr

rrrrrv

222

32

163

5'

rr

rrrv

4

6

27

5'

r

rv

768

125'

2rv

Como los signos muestran quela derivada tiende de menos amas, significa que es mínimo.

Entonces las medidasoptimas son:

r3


42


Aplicaciones de la derivada para problemas de optimización de tipo

maximización

43

Ejercicio: Una ventana tiene forma de medio punto (medio circulo). Encuentre lasdimensiones del rectángulo para que la ventana permita la máxima entrada de luz, siel perímetro de la misma debe ser de 10 metros.

Optimización.

El esquema es:

Calculando el área de la ventana(Rectángulo + Medio circulo):

y

Calculando el perímetro:

mP 10

2

2

2

x

yxA

x

y

102

xyyx

1022

2

y

xx

8

2xxyA

De la ecuación del perímetro sedespeja la variable “y”, parasustituirla en el área.

2

2102

xy

2

2202

xy

22

220

x

y

4

220

xy

Sustituyendo “y”:

84

220 2xxxA

2x

102

2

2

y

x

84

220 22 xxxA

84

220 222 xxxxA

8

2202 222 xxxxA


44

Ejercicio: Una ventana tiene forma de medio punto (medio circulo). Encuentre lasdimensiones del rectángulo para que la ventana permita la máxima entrada de luz, si elperímetro de la misma debe ser de 10 metros.

Optimización.

El esquema es:

y

mP 10

x

y

Obteniendo la primera derivada, seiguala a cero y se calcula el valorcritico de “x”:

2x8

2440 222 xxxxA

8

440 22 xxxA

8

440 2

xxA

4408

1 2xxA

xA 42408

1'

x 42408

10

x 42400

4042 x

42

40x

mx 8.2

Calculando la segundaderivada:

428

1"A

Como el resultado es negativo es un máximo,si resulta positivo es un mínimo.

Máximoxf

Mínimoxf

0"

0"

78.1" A


45

Ejercicio: Una ventana tiene forma de medio punto (medio circulo). Encuentre lasdimensiones del rectángulo para que la ventana permita la máxima entrada de luz,si el perímetro de la misma debe ser de 10 metros.

Optimización.

mP 10

m8.2

m4.1

m4.1

Calculando la altura de laventana:

4

220

xy

4

28.220 y

my 4.1 m4.1

Las dimensiones quedan:


46

Ejercicio: Una ventana tiene forma de rectángulo coronado por un triangulo equilátero.Encuentre las dimensiones del rectángulo para que la ventana permita la máxima entradade luz, si el perímetro de la misma debe ser de 12 metros.

Optimización.

El esquema es: Calculando el área de la ventana(Rectángulo + Triangulo):

y

Calculando el perímetro:

mP 12

4

32xyxA

x

xx

y

12 xxyyx

1223 yx

2

4

3xxyA

De la ecuación del perímetro sedespeja la variable “y”, parasustituirla en el área.

xy 3122

2

312 xy

2

3

2

12 xy

2

36

xy

Sustituyendo “y”:

2

4

3

2

36 x

xxA

22

4

3

2

36 xxxA

22 433.05.16 xxxA 2067.16 xxA

Obteniendo la primera derivada, se iguala acero y se calcula el valor critico de “x”:

xA 134.26'

x134.260

6134.2 x

134.2

6x

mx 81.2


47

Ejercicio: Una ventana tiene forma de rectángulo coronado por un trianguloequilátero. Encuentre las dimensiones del rectángulo para que la ventana permita lamáxima entrada de luz, si el perímetro de la misma debe ser de 12 metros.

Optimización.

m78.1

Calculando la segundaderivada:

mP 12

m81.2

Calculando el valor de “y”:

134.2" A

Como el resultado es negativo es un máximo,si resulta positivo es un mínimo.

Máximoxf

Mínimoxf

0"

0"

2

36

xy

2

81.236y

my 785.1

Las dimensiones quedan:

m78.1

m81.2m81.2


48


Bibliografía.

1. Larson, Ron. Matemáticas 1 (Cálculo Diferencial), McGraw-Hill, 2009.2. Purcell, Edwin J. Cálculo, Editorial Pearson, 2007.3. Ayres, Frank. Cálculo, McGraw-Hill, 2005.4. Leithold, Louis. El Cálculo con Geometría Analítica, Editorial Oxford UniversityPress, 2009.5. Granville, William A. Cálculo Diferencial e Integral, Editorial Limusa, 2009.6. Hasser, Norman B. Análisis matemático Vol. 1, Editorial Trillas, 2009.7. Courant, Richard. Introducción al cálculo y análisis matemático Vol. I, EditorialLimusa, 2008.

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