Multi-Stage (Dynamic) Programming

Dynamic Programming

• Biasanya masalah RO diselesaikan secara tunggal dan sekaligus ( sekali pukul)

• DP intinya memecah (mendekomposisi) problem menjadi subproblem yang lebih kecil dan kemudian menggabungkan (mengkomposisi) kembali subproblem2 tsb untuk mendapatkan jawaban yang diinginkan

Ciri-ciri Dynamic Programming

1. Keputusan suatu masalah ditandai optimisasi pada tahap berikutnya.

2. Masalah yang akan diselesaikan harus dipisah menjadi n subproblem.

3. DP berhubungan dengan problem2 dimana pilihan dibuat pada masing2 stage (tahap2). Seluruh kemungkinan dicerminkan oleh state (keadaan2)

Ciri-ciri Dynamic Programming

4. Setiap keputusan pada tahap-tahap mempunyai fungsi return yang akan mengevaluasi pilihan yang dibuat thd tujuan keseluruhannya (max/min).

5. Tahap proses keputusan dihubungkan dengan tahap yang berdekatan melalui fungsi transisi.

6. Ada hubungan rekursif yang menghubungkan optimasi thp n dg thp (n-1) atau menghubung- kan optimasi thp n dengan thp (n+1).

Ciri-ciri Dynamic Programming

• Hubungan itu ada dua, yaitu :– Forward recursive equation– Backward recursive equation

Forward recursive equation

f0(X0) = 0

fj*(Xj) = opt { Rj(kj) @ f*j-1(Xj@kj) }

J = 1,2,3, … n

Forward recursive equation

f0(X0) = 0

f1*(X1) = opt { R1(k1) @ f*0(X1@k1) }

f2*(X2) = opt { R2(k2) @ f*1(X2@k2) }

f3*(X3) = opt { R3(k3) @ f*2(X3@k3) }

dst… sampai dg nJ = 1,2,3, … n

Backward recursive equation

fn+1(Yn+1) = 0

fj*(Yj) = opt { Rj(kj) @ f*j+1(Yj@kj) }

J = 1,2,3, … n

Backward recursive equation

fn+1(Yn+1) = 0

fn*(Yn) = opt { Rn (kn) @ f*n+1(Yn@kn) }

fn-1*(Yn-1) = opt { Rn-1(kn-1) @ f*n(Yn-1@kn-1) }

fn-2*(Yn-2) = opt { Rn-2(kn-2) @ f*n-1(Yn-2@kn-2) }dst.. sampai dg n =1

J = 1,2,3, … n

Arti simbol :

• f*(X) atau f*(Y) fungsi return optimum

• X atau Y state (keadaan)

• X@k atau Y@k fungsi transisi

• j stage (tahap) ke j

• K variabel keputusan

• @ simbol matematika (+,-,x, : ,akar dll)

Model Dynamic Programming

• Masalah Penentuan Route

• Masalah Alokasi

• Masalah Muatan (knapsack)

• Masalah Capital Budgeting

Masalah Penentuan Route

• Suatu sistem jalan menghubungkan 3 sumber yang akan membawa sampah ke dua tempat pembuangan limbah. Tiap-tiap garis lurus membutuhkan 1 hari untuk menempuh jarak dari 1 node ke 1 node berikutnya. Sehingga diperlukan 4 hari perjalanan dari H ke D.

Masalah Penentuan Route

• Pada tiap node terdapat pemeriksaan dan penempatan ulang dari limbah tersebut yang menyebabkan keterlambatan. Lamanya waktu keterlambatan yang dapat diantisipasi ditunjukkan dalam bilangan yang berada dalam node tersebut. Tujuannya menentukan suatu route sehingga keterlambatan pengangkutan tersebut minimum ??

Masalah Penentuan Route

H1

H2

H3

4

3

3

6

5

7

4

4

3

2

D1

D2

Tahap 1

Tahap 2Tahap 3

Masalah Penentuan Route

• Diselesaikan dengan cara Backward (mundur) sebagai berikut !!

Masalah Penentuan Route

H1

H2

H3

4

3

3

6

5

7

4

4

3

2

D1

D2

Tahap 1

Tahap 2Tahap 3

4

3

2

Masalah Penentuan Route

H1

H2

H3

4

3

3

6

5

7

4

4

3

2

D1

D2

Tahap 1

Tahap 2Tahap 3

4

3

2

8

Masalah Penentuan Route

H1

H2

H3

4

3

3

6

5

7

4

4

3

2

D1

D2

Tahap 1

Tahap 2Tahap 3

4

3

2

8

9

Masalah Penentuan Route

H1

H2

H3

4

3

3

6

5

7

4

4

3

2

D1

D2

Tahap 1

Tahap 2Tahap 3

4

3

2

8

9

6

Masalah Penentuan Route

H1

H2

H3

4

3

3

6

5

7

4

4

3

2

D1

D2

Tahap 1

Tahap 2Tahap 3

4

3

2

8

9

6

12

11

9

12

Masalah Penentuan Route

H1

H2

H3

4

3

3

6

5

7

4

4

3

2

D1

D2

Tahap 1

Tahap 2Tahap 3

4

3

2

8

9

6

12

11

9

12

Masalah Penentuan Route

H1

H2

H3

4

3

3

6

5

7

4

4

3

2

D1

D2

Tahap 1

Tahap 2Tahap 3

4

3

2

8

9

6

12

11

9

12

Masalah Penentuan Route

H1

H2

H3

4

3

3

6

5

7

4

4

3

2

D1

D2

Tahap 1

Tahap 2Tahap 3

4

3

2

8

9

6

12

11

9

12

Masalah Penentuan Route

H1

H2

H3

4

3

3

6

5

7

4

4

3

2

D1

D2

Tahap 1

Tahap 2Tahap 3

4

3

2

8

9

6

12

11

9

12

Masalah Penentuan Route

H1

H2

H3

4

3

3

6

5

7

4

4

3

2

D1

D2

Tahap 1

Tahap 2Tahap 3

4

3

2

8

9

6

12

11

9

12

Masalah Penentuan Route

H1

H2

H3

4

3

3

6

5

7

4

4

3

2

D1

D2

Tahap 1

Tahap 2Tahap 3

4

3

2

8

9

6

12

11

9

12

Minimum keterlambatan 9 hari

Masalah Alokasi

• Keuntungan pd empat macam kegiatan merupakan fungsi dari jam kerja yang dialokasikan pd masing2 kegiatan dituangkan dalam tabel berikut ini . Jika setiap hari tersedia 4 jam kerja, bagaimana alokasi waktu sehingga keuntungan perharinya maksimum ???

Masalah Alokasi

Jam Kerja

K E G I A T A N

1 2 3 4

0 0 0 0 0

1 1 2 3 2

2 3 5 7 5

3 6 8 10 8

4 9 11 12 10

Masalah Alokasi

• Kegiatan Tahap ( stage )

• Xj adalah banyaknya jam kerja yang dialokasikan pada tahap j.

• Pj(Xj) adalah keuntungan dari alokasi X jam kerja pd kegiatan j.

• Maks : Z = P1(X1) + P2(X2) + P3(X3) + P4(X4)

• Kendala : X1 + X2 + X3 + X4 = 4 dan

X1 , X2, X3 , X4 ≥ 0

Masalah Alokasi• State ( keadaan) nya disimbolkan dengan

Yj , dimana :• Y1 = juml jam kerja yang disediakan pada tahap

1,2,3,4• Y2 = juml jam kerja yang disediakan pada tahap

2,3,4• Y3 = juml jam kerja yang disediakan pada tahap

3,4• Y4 = juml jam kerja yang disediakan pada tahap

4

Masalah Alokasi• Sedangkan fungsi keuntungan tiap stage

(tahap) adalah :• f*4(Y4)= keuntungan optimum pada tahap 4 dgn

Y4 tertentu • f*3(Y3)= keuntungan optimum pada tahap 3,4

dgn Y3 tertentu • f*2(Y2)= keuntungan optimum pada tahap 2,3,4

dgn Y2 tertentu• f*1(Y1)= keuntungan optimum pada tahap 1,2,3,4

dgn Y1 tertentu

Tahap 4 : f*4(Y4) =maks {P4(X4)} dgn f5(Y5) = 0

Y4

P4(X4)f4*(Y4) X*4

X4=0 X4=1 X4=2 X4=3 X4=4

0 0 - - - - 0 0

1 - 2 - - - 2 1

2 - - 5 - - 5 2

3 - - - 8 - 8 3

4 - - - - 10 10 4

Tahap 3 : f*3(Y3) =maks {P3(X3) + f*4(Y4) }

Y3

P3(X3) + f*4(Y4)f3*(Y3) X*3

X3=0 X3=1 X3=2 X3=3 X3=4

0 0+0=0 - - - - 0 0

1 0+2=2 3+0=3 - - - 3 1

2 0+5=5 3+2=5 7+0=7 - - 7 2

3 0+8=8 3+5=8 7+2=9 10+0=10 - 10 3

4 0+10=10 3+8=11 7+5=12 10+2=12 12+0=12 12 2,3,4

Tahap 2 : f*2(Y2) = maks {P2(X2) + f*3(Y3) }

Y2

P2(X2) + f*3(Y3)f2*(Y2) X*2

X2=0 X2=1 X2=2 X2=3 X2=4

0 0+0=0 - - - - 0 0

1 0+3=3 2+0=2 - - - 3 0

2 0+7=7 2+3=5 5+0=5 - - 7 0

3 0+10=10 2+7=9 5+3=8 8+0=8 - 10 0

4 0+12=12 2+10=12 5+7=12 8+3=11 11+0=11 12 0,1,2

Tahap 1 : f*1(Y1) = maks {P1(X1) + f*2(Y2) }

Y1

P1(X1) + f*2(Y2)f1*(Y1) X*1

X1=0 X1=1 X1=2 X1=3 X1=4

0 0+0=0 - - - - 0 0

1 0+3=3 1+0=1 - - - 3 0

2 0+7=7 1+3=4 3+0=3 - - 7 0

3 0+10=10 1+7=8 3+3=6 6+0=6 - 10 0

4 0+12=12 1+10=11 3+7=10 6+3=9 9+0=9 12 0

Jadi keuntungan maks adalah 12, dengan beberapa alokasi alternatif sbb :

Alternatif

(i)

Tahap 1 Tahap 1 Tahap 1 Tahap 1(Kegiatan-1) (Kegiatan-2) (Kegiatan-3) (Kegiatan-4)

1 0 0 4 0

2 0 0 3 1

3 0 0 2 2

4 0 2 2 0

5 0 1 3 0

Masalah Muatan (Knapsack)

• Sebuah perusahaan angkutan sedang mempertimbangkan mengangkut 3 jenis barang. Berat masing-masing barang dan biaya angkutannya seperti pada tabel di bawah . Armada tersebut memiliki kapasitas maks. W = 5 ton. Barang apa saja yang harus diangkut dan berapa banyaknya agar penerimaan maksimum ??

Masalah Muatan (Knapsack)

Barang (i) Berat / item (dlm ton)

Biaya / item(vi) dlm

juta Rp

1 2 65

2 3 80

3 1 30

Masalah Capital Budgeting

• Sebuah perusahaan memiliki beberapa usulan proyek dari ketiga pabriknya guna kemungkinan pengembangan. Masing-masing pabrik memasukkan proposalnya beserta biaya(Cost) dan penerimaan (Revenue) nya seperti tabel di bawah. Proposal dengan biaya nol berarti tidak ada dana yang dialokasikan pada suatu pabrik. Tujuan perusahaan adalah memaksimumkan seluruh penerimaan, dari alokasi dana yang dimiliki sebesar 5 milyar ???

Masalah Capital Budgeting

Proposal

kePabrik 1 Pabrik 2 Pabrik 3

Cost (C1)

Revenue (R1)

Cost (C2)

Revenue (R2)

Cost (C3)

Reveneu (R3)

1 0 0 0 0 0 0

2 1 5 2 8 1 3

3 2 6 3 9 - -

4 - - 4 12 - -

Masalah Capital Budgeting

• DIKERJAKAN UNTUK PR_ 9